2.3 Tenzorový počet

1. $\varepsilon_{ij}\,\varepsilon_{ij}=2!$
   Pomocí rovnic 2.44 a 2.45.
2. $\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{ijk}=3!$
   Pomocí rovnic 2.44 a 2.45.
3. $\varepsilon_{ijkl}\,\varepsilon_{ijkl}=4!$
   Pomocí rovnic 2.44 a 2.45.
4. Odhadněte výsledek $\varepsilon_{i_1\,i_2\,i_3\,\ldots\,i_n}\,\varepsilon_{i_1\,i_2\,i_3\,\ldots\,i_n}$.
   Pomocí rovnic 2.44 a 2.45.

Jednotlivé členy tzv. Cauchyho tenzoru deformace $E_{ij}$ (popisujícího malé deformace) lze pomocí indexů zapsat jako

kde $i,j=1,2,3$ a $v_i,v_j$ jsou složky vektoru rychlosti.

• V Einsteinově notaci napište výraz pro divergenci tohoto tenzoru,
  $\dfrac{\partial E_{ij}}{\partial x_j}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2v_i}{\partial x_j^2}+\dfrac{\partial^2v_j}{\partial x_i\partial x_j}\right)$
• napište také explicitní výraz pro 1. vektorovou složku této divergence.
  $\dfrac{\partial E_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial E_{xy}}{\partial y}+\dfrac{\partial E_{xz}}{\partial z}=\dfrac{1}{2}\left[\Delta v_x+ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{v}\right)\right]$

Kovariantní metrický tenzor $g_{ij}$ válcové souřadné soustavy v pořadí souřadnicových směrů $r,\phi,z$, je vyjádřen maticí (viz rovnice A.36)

Obdobný kovariantní metrický tenzor kulové souřadné soustavy v pořadí souřadnicových směrů $r,\theta,\phi$, je vyjádřen maticí (viz rovnice )

Určete:

1. všechny nenulové tzv. Christoffelovy symboly $\Gamma_{\mu\nu}^{\rho}$ válcové soustavy (určující křivost dané metriky), které jsou obecně definovány předpisem (viz také rovnice A.12)

   $$ \begin{align*} \Gamma_{\mu\nu}^{\rho}=\frac{1}{2}g^{\rho\lambda}\left(\frac{\partial g_{\nu\lambda}}{\partial x_\mu}+\frac{\partial g_{\mu\lambda}}{\partial x_\nu}- \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\lambda}\right), \end{align*} $$
   $\Gamma_{\phi\phi}^r=-r,\,\Gamma_{\phi r}^{\phi}=\Gamma_{r\phi}^{\phi}=\dfrac{1}{r}$
2. všechny nenulové Christoffelovy symboly kulové soustavy, definované rovněž předpisem A.12, $$ \begin{align*} \vec\nabla\times\vec{A}=\epsilon_{ijk}\,\frac{1}{h_jh_k}\left[\frac{\partial}{\partial x_j}(h_kA_k)\right]\vec{e}_i, \end{align*} $$

   $\Gamma_{\theta\theta}^r=-r$, $\Gamma_{\theta r}^{\theta}=\Gamma_{r\theta}^{\theta}= \Gamma_{\phi r}^{\phi}=\Gamma_{r\phi}^{\phi}=\dfrac{1}{r}$,

   $\Gamma_{\phi\phi}^r=-r\sin^2\theta,\, \Gamma_{\phi\phi}^\theta=-\sin\theta\cos\theta,\,\Gamma_{\phi\theta}^\phi=\Gamma_{\theta\phi}^\phi=\,\text{cotg}\,\theta$

3. explicitní tvar vektoru rotace vektoru $\vec{A}$ ve válcové soustavě, obecně daný předpisem (viz také rovnice A.20)

   viz relace A.45 v příloze A

4. explicitní tvar vektoru rotace vektoru $\vec{A}$ v kulové soustavě, obecně daný stejným předpisem.

   viz relace A.71 v příloze příloze A.

Jsou zadány kovariantní tenzor $A_{ij}$ a kovariantní metrický tenzor $g_{ij}$ dané souřadné soustavy, v pořadí souřadnicových směrů $r,\theta,\phi$, ve tvaru

Určete:

1. smíšený metrický tenzor $g_{j}^{i}$,
   $g_{j}^i=\left(\begin{array}{r} 1 &\,\,0 &\,\,0\\[6pt]0 &\,\,1 &\,\,0\\[6pt]0 &\,\,0 &\,\,1\end{array}\right)=\delta_{j}^i$
2. smíšený tenzor $A_{j}^{i}$,
   $$A_{j}^i= \left(\begin{array}{c} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ &&\\ \dfrac{a_{21}}{r^2}&\dfrac{a_{22}}{r^2}&\dfrac{a_{23}}{r^2}\\[9pt] \dfrac{a_{31}}{r^2\sin^2\theta}&\dfrac{a_{32}}{r^2\sin^2\theta}& \dfrac{a_{33}}{r^2\sin^2\theta} \end{array}\right)$$
3. kontravariantní tenzor $A^{ij}$.
   $A^{ij}=\left(\begin{array}{c} a_{11}&\dfrac{a_{21}}{r^2}&\dfrac{a_{31}}{r^2\sin^2\theta}\\[9pt] \dfrac{a_{12}}{r^2}&\dfrac{a_{22}}{r^4}&\dfrac{a_{32}}{r^4\sin^2\theta}\\[9pt] \dfrac{a_{13}}{r^2\sin^2\theta}&\dfrac{a_{23}}{r^4\sin^2\theta}&\dfrac{a_{33}}{r^4\sin^4\theta} \end{array}\right)$

Ve čtyřrozměrném prostoru (prostoročase) jsou zadány kovariantní tenzor $A_{\mu\nu}$ a kovariantní metrický tenzor $g_{\alpha\beta}$ dané souřadné soustavy, v pořadí souřadnicových směrů $t,u,v,w$, ve tvaru

Určete:

Kovariantní tenzor elektromagnetického pole $F_{\mu\nu}$ je definován,

kde tzv. čtyřpotenciál (čtyřvektor elektromagnetického potenciálu) $ A_\mu=\left(\dfrac{\phi}{c},\,-\vec{A}\right)$.

Složka $A_0=\dfrac{\phi}{c}$ vyjadřuje škálovaný skalární potenciál elektrického pole a složky $A_1,A_2,A_3$ tvoří tzv. vektorový (magnetický) potenciál. Kovariantní čtyřvektor souřadnic události zapíšeme jako $x_\mu=(ct,-\vec{r})$. Metrický tenzor (Minkowského) plochého čtyřprostoru (prostoročasu) má tvar

Vektory elektrické intenzity a magnetické indukce jsou definovány jako

Napište:

1. explicitní podobu tenzoru $F_{\mu\nu}$
   $F_{\mu\nu}= \left(\begin{array}{c} 0 &\dfrac{E_x}{c} &\dfrac{E_y}{c} &\dfrac{E_z}{c}\\ -\dfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ -\dfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ -\dfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{array}\right)$
2. explicitní podobu tenzoru $F^{\mu\nu}$
   $F^{\mu\nu}= \left(\begin{array}{c} 0 &-\dfrac{E_x}{c} &-\dfrac{E_y}{c} &-\dfrac{E_z}{c}\\ \dfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ \dfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ \dfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{array}\right)$
3. duální tenzor $^\star F_{\mu\nu}$,
   $^\star F_{\mu\nu}= \left(\begin{array}{c} 0 &-B_x &-B_y &-B_z\\[6pt] B_x & 0 &-\dfrac{E_z}{c} &\dfrac{E_y}{c} \\[8pt] B_y &\dfrac{E_z}{c} & 0 &-\dfrac{E_x}{c}\\[8pt] B_z &-\dfrac{E_y}{c} &\dfrac{E_x}{c} & 0 \end{array}\right)$
4. duální tenzor $^\star F^{\mu\nu}$,
   $^\star F^{\mu\nu}= \left(\begin{array}{c} 0 &B_x & B_y & B_z\\[6pt] -B_x & 0 &-\dfrac{E_z}{c} &\dfrac{E_y}{c} \\[8pt] -B_y &\dfrac{E_z}{c} & 0 &-\dfrac{E_x}{c}\\[8pt] -B_z &-\dfrac{E_y}{c} &\dfrac{E_x}{c} & 0 \end{array}\right)$
5. tzv. invarianty elektromagnetického pole $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ a $F_{\mu\nu}\,^\star F^{\mu\nu}$,
   $ F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2\left(\dfrac{E^2}{c^2}-B^2\right),\, F_{\mu\nu}\,^\star F^{\mu\nu}=4\,\dfrac{\vec{E}\cdot\vec{B}}{c}$

6. pomocí čtyřrozměrné divergence

   $$ \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\dfrac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial x^\nu}= \dfrac{\partial\,^\star F^{\mu\nu}}{\partial x^\nu}=0 $$

   odvoďte 1. pár Maxwellových rovnic,

   $\dfrac{\partial\,^\star F^{\mu 0}}{\partial x^0}=\vec\nabla\cdot\vec{B}={0},\, \dfrac{\partial\,^\star F^{\mu i}}{\partial x^i}=-\vec\nabla\times\vec{E}-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}=\vec{0},\, i=1,2,3,$

7. pomocí čtyřrozměrné divergence

   $$\dfrac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^\nu}=-\mu_0\,j^\mu,$$

   kde $j^\mu$ je kontravariantní čtyřvektor proudové hustoty $j^\mu=(c\rho,\vec{j})$, odvoďte 2. pár Maxwellových rovnic.

   $\dfrac{\partial F^{\mu 0}}{\partial x^0}=-\vec\nabla\cdot\vec{E}=-\dfrac{\rho}{\epsilon_0}$,

   $\dfrac{\partial F^{\mu i}}{\partial x^i}=\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}-\vec\nabla\times\vec{B}=-\mu_0\,\vec{j},\, i=1,2,3,\,c=(\mu_0\epsilon_0)^{-1/2}$.

Kontravariantní tenzor energie-hybnosti $T^{\alpha\beta}$ pro makroskopickou ideální tekutinu je definován

kde $\rho$ je hustota, $p$ je skalární tlak a $u^\mu$ je tzv. čtyřrychlost (čtyřvektor rychlosti), definovaná jako tečna k tzv. světočáře $s$, tedy $u^\mu=\text{d} x^\mu/\text{d} s$, kde $s=c\,\tau$. Tzv. vlastní čas $\tau$ v soustavě spojené s pohybujícím se tělesem je pomocí tzv. souřadnicového času $t$ (tj. normálního času pozorovatele) definován jako $t=\gamma\tau$, kde tzv. Lorentzův faktor $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ (viz také příklad 8.5. Čtyřvektor události $x^\mu$ a metrický tenzor Minkowského prostoročasu $g^{\mu\nu}$ lze odvodit pomocí jejich definice v příkladu 2.40.

Napište:

1. explicitní podobu tenzoru $T^{\alpha\beta}$,

   Pomocí výrazů: $ W=\dfrac{\gamma^2}{c^2}\left(\rho+pv^2\right)$, $\vec{S}={\gamma^2}\left(\dfrac{\rho}{c^2}+p\right)\vec{v}$, $\sigma^{\alpha\beta}=\dfrac{\gamma^2}{c^2}\left(\dfrac{\rho}{c^2}+p\right)v^\alpha v^\beta+p\,\delta^{\alpha\beta}$, $\sigma_{\alpha\beta}=\dfrac{\gamma^2}{c^2}\left(\dfrac{\rho}{c^2}+p\right)v_\alpha v_\beta+p\,\delta_{\alpha\beta}$, můžeme zapsat,

   $ T^{\alpha\beta}= \left(\begin{array}{c} W &\dfrac{S_x}{c} &\dfrac{S_y}{c} &\dfrac{S_z}{c}\\ \dfrac{S_x}{c} & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \dfrac{S_y}{c} & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \dfrac{S_z}{c} & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{array}\right)$

2. explicitní podobu tenzoru $T_{\alpha\beta}$,
   $ T_{\alpha\beta}= \left(\begin{array}{r} W &-\dfrac{S_x}{c} &-\dfrac{S_y}{c} &-\dfrac{S_z}{c}\\ -\dfrac{S_x}{c} & \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ -\dfrac{S_y}{c} & \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ -\dfrac{S_z}{c} & \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{array}\right)$
3. explicitní podobu těchto tenzorů v soustavě $(0)$, spojené s pohybující se tekutinou.
   $ T^{\alpha\beta}(0)=T_{\alpha\beta}(0)= \left(\begin{array}{c} \dfrac{\rho}{c^2} &\,0 &\,\,0 &\,\,0\\ 0 &\,p &\,\,0 &\,\,0\\ 0 &\,0 &\,\,p &\,\,0\\ 0 &\,0 &\,\,0 &\,\,p \end{array}\right)$