4.2 Křivkový integrál 2. druhu

Křivkovým integrálem 2. druhu nazýváme integrál $\displaystyle\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot\vec{t}\,\text{d} s=\displaystyle\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot\,\text{d}\vec{s}$ obecného vektorového pole $\vec{F}(x,y,z)$ podél křivky $\mathcal{C}$ ve směru jejího tečného vektoru $\vec{t}$, kde $\text{d} s$ je délkový element křivky (viz odstavec 4.1). Explicitní zápis integrálu 2. druhu v kartézské souřadné soustavě bude mít tvar

$$ \int_{x_1}^{x_2}F_x\,\text{d} x+\int_{y_1}^{y_2}F_y\,\text{d} y+\int_{z_1}^{z_2}F_z\,\text{d} z, $$

4.6

kde $F_x,\,F_y,\,F_z$ jsou jednotlivé složky vektoru $\vec{F}$. Analogicky k rovnici 4.2 bude mít parametrizovaný křivkový integrál 2. druhu tvar

$$ \int_{t_1}^{t_2}\left[F_x(t)\frac{\text{d} x(t)}{\text{d} t}+F_y(t)\frac{\text{d} y(t)}{\text{d} t}+F_z(t)\frac{\text{d} z(t)}{\text{d} t}\right]\text{d} t. $$

4.7

Typickým příkladem integrálu 2. druhu je výpočet vykonané práce jako integrálu vektoru síly $\vec{F}$ podél orientované křivky $\mathcal{C}$.

Příklady

4.18

Přímým výpočtem v kartézských souřadnicích i pomocí vhodné parametrizace vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\displaystyle\int_\mathcal{C}(x + 1)\,\text{d} y + y\,\text{d} x$, kde křivka $\mathcal{C}$ je čtvrtkružnice s poloměrem $a$ v 1. kvadrantu.

$a$

4.19

Vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\displaystyle\int_\mathcal{C}x\,\text{d} x+y\,\text{d} y+(xz−y)\,\text{d} z$, kde křivka $\mathcal{C}$ je daná parametricky $x=t^2$, $y=2t$, $z=4t^3$, $t\in\langle 0,1\rangle$.

$\dfrac{5}{2}$

4.20

Vypočítejte křivkový integrál druhého druhu $\displaystyle\oint_\mathcal{C}(2−y)\,\text{d} x+(1+x)\,\text{d} y$, kde křivka $\mathcal{C}$ je obvod trojúhelníka s vrcholy $A=[0,0]$, $B=[1,1]$, $C=[0,2]$.

$2$

4.21

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(y,z,x)$, působící v matematicky kladném směru po uzavřené křivce, která je daná průnikem ploch $z=xy$ a $x^2+y^2=1$.

$W=-\pi$

4.22

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(\dfrac{y}{x},x\right)$, působící po křivce $xy=1$ od bodu $\left[3,\frac{1}{3}\right]$ do bodu $\left[\frac{1}{2},2\right]$.

$W=\ln 6-\dfrac{5}{3}$

4.23

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(x−y,x+y)$, působící po dráze $y=x^2$, $x\in\langle 0,2\rangle$.

$W=\dfrac{38}{3}$

4.24

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(y,−x,z)$, působící po obvodě trojúhelníka, jehož vrcholy jsou tvořeny průsečíky roviny $3x+2y+6z=6$ se souřadnicovými osami.

$W=-6$

4.25

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(yz,xy,yz)$, působící po obvodě trojúhelníka, jehož vrcholy jsou tvořeny průsečíky roviny $2x+3y+4z=12$ se souřadnicovými osami.

$W=22$

4.26

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=(x^2+y,3y^2,0)$, která působí po uzavřené křivce, sestávající z půlkružnice o poloměru $a$ v 1. a 2. kvadrantu a úsečky (průměru).

$W=-\dfrac{\pi a^2}{2}$

4.27

Vypočítejte práci, kterou by vykonalo tíhové pole při jízdě tobogánem s přesně třemi otáčkami, pokud by tíhové pole vypadalo $\vec{F}_g=−mg(0,0,z)$. Tobogán si lze představit jako válcovou šroubovici, použijte obecné koeficienty.

$W=18\pi^2b^2mg$

4.28

Vypočítejte práci, kterou vykoná síla $\vec{F}=\left(x^2+y, 3y^2, 0\right)$, která působí v matematicky kladném směru po půlkružnici o poloměru $a$. Půlkružnice má střed v počátku souřadného systému a prochází 2. a 3. kvadrantem roviny $xy$ kartézské souřadné soustavy.

$W=-\dfrac{\pi a^2}{2}-2a^3$