6.3 Objemový integrál

Objemovým integrálem označujeme trojný integrál skalární funkce $f(x,y,z)$ přes oblast (těleso) $\mathcal{T}\in\mathbb{R}^3$ s objemem $V$:

$$ \iiint_Vf(x,y,z)\,\text{d} V=\iiint_Vf(x,y,z)\,\text{d} x\,\text{d} y\,\text{d} z. $$

6.22

Pomocí objemového integrálu lze určit geometrické a fyzikální charakteristiky těles: Položíme-li $f=1$, výsledkem bude velikost objemu ${V}$ tělesa $\mathcal{T}$. Položíme-li $f=\rho$ (objemová hustota hmoty), dostáváme $\rho\,\text{d} V=\text{d} m$, tedy element hmotnosti tělesa $\mathcal{T}$, výsledkem integrace bude celková hmotnost $M$ tělesa,

$$ M=\iiint_{\mathcal{T}}\,\text{d} m=\iiint_V\rho\,\text{d} V. $$

6.23

Pokud položíme například $f=z\rho$, dostáváme tzv. statický moment $S_z$ tělesa vzhledem k ose $z$, jeho vydělením hmotností dostáváme $z$-ovou souřadnici středu hmotnosti $z_T$ tělesa (obdobně pro ostatní souřadnicové směry), tedy

$$ \begin{align} x_T &=\frac{1}{M}\iiint_{\mathcal{T}}x\,\text{d} m=\frac{1}{M}\iiint_{{V}}x\rho\,\text{d} V, \\ y_T &=\frac{1}{M}\iiint_{\mathcal{T}}y\,\text{d} m, \\ z_T &=\frac{1}{M}\iiint_{\mathcal{T}}z\,\text{d} m. \end{align} $$

6.24

Položíme-li $f=r^2\rho$, kde $r$ je vzdálenost obecného bodu tělesa od zvolené přímky v prostoru (osy $o$), dostáváme moment setrvačnosti $J_o$ tělesa $\mathcal{T}$ vzhledem k této ose. Momenty setrvačnosti tělesa $\mathcal{T}$ např. vzhledem k jednotlivým kartézským souřadnicovým osám potom budou

$$ \begin{align} J_x &=\iiint_{\mathcal{T}}(y^2+z^2)\,\text{d} m=\iiint_V(y^2+z^2)\,\rho\,\text{d} V, \\ J_y &=\iiint_{\mathcal{T}}(z^2+x^2)\,\text{d} m, \\ J_z &=\iiint_{\mathcal{T}}(x^2+y^2)\,\text{d} m. \end{align} $$

6.25

Příklady k problematice objemového integrálu jsou součástí následujícího odstavce 6.4.