6.4 Geometrické a fyzikální charakteristiky útvarů

Vypočítejte objem

6.45

elipsoidu o poloosách $a,\,b,\,c$,

$V=\dfrac{4}{3}\pi abc$

6.46

kužele o poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,

$V=\dfrac{\pi R^2H}{3}$

6.47

tělesa $\mathcal{A}=\{(x,y,z)\,|\,z\in\langle 0,\,H-x^2-y^2\rangle\}$, kde $H=R^2$,

$V=\dfrac{\pi R^2H}{2}$

6.48

tělesa $\mathcal{A}=\{(x,y,z)\,|\,z\in\langle 0,\,H-x^2-y^2\rangle\}$, ${x^2+y^2}\leq R^2$, $H>R^2$,

$V=\pi R^2\left(H-\dfrac{R^2}{2}\right)$

6.49

anuloidu (toroidu) o poloměru osy toru $R$ a poloměru trubice $a$,

$V=2\pi^2Ra^2$

6.50

tělesa $\mathcal{A}=\left\{(x,y,z)\,|\,z\in\left\langle \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{3}},\,\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right\rangle\right\}$,

$V=\dfrac{\pi R^3}{3}$

6.51

tělesa $\mathcal{A}=\left\{(x,y,z)\,|\,z\in\left\langle\dfrac{R}{2},\,\sqrt{R^2-x^2-y^2}\right\rangle\right\}$,

$V=\dfrac{5}{24}\pi R^3$

6.52

tělesa $\mathcal{A}$, jehož povrch vznikne rotací asteroidy z příkladu 4.4 okolo osy $y$,

$V=\dfrac{32}{105}\pi a^3$

6.53

tělesa $\mathcal{A}$, jehož povrch vznikne rotací kardioidy z příkladu 4.13 okolo osy $y$.

$V=\dfrac{8}{3}\pi a^3$

nahoru

Vypočítejte velikost plochy

6.54

kulové slupky o poloměru $R$,

$S=4\pi R^2$

6.55

pláště kužele o poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,

$S=\pi R\sqrt{R^2+H^2}$

6.56

pláště tělesa z příkladu 6.45,

$S=\dfrac{\pi}{6}\left[(1+4R^2)^{\frac{3}{2}}-1\right]$

6.57

celého povrchu tělesa z příkladu 6.46,

$S=\dfrac{\pi}{6}\left[(1+4R^2)^{\frac{3}{2}}-1\right]+2\pi R(H-R^2)+\pi R^2$

6.58

pláště tělesa z příkladu 6.48,

$S=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\pi R^2$

6.59

celého povrchu tělesa z příkladu 6.49,

$S=\dfrac{7}{4}\pi R^2$

6.60

pláště anuloidu (toroidu) o poloměru osy toru $R$ a poloměru trubice $a$,

$S=4\pi^2Ra$

6.61

ohraničené asteroidou z příkladu 4.4,

$S=\dfrac{3}{8}\pi a^2$

6.62

která vznikne rotací asteroidy z příkladu 4.4 okolo osy $y$,

$S=\dfrac{12}{5}\pi a^2$

6.63

ohraničené kardioidou z příkladu 4.13,

$S=\dfrac{3}{2}\pi a^2$

6.64

která vznikne rotací kardioidy z příkladu 4.13 okolo osy $y$,

$S=\dfrac{16}{3}\pi a^2$

6.65

hyperbolického paraboloidu, daného předpisem $z=x^2-y^2$, $x^2+y^2\le 4$,

$S=\dfrac{\pi}{6}\left(17^{\frac{3}{2}}-1\right)\approx 36,\!18$

6.66

hyperbolického paraboloidu, daného předpisem $z=xy$, $x^2+y^2\le 4$. Jaký by musel být poloměr $\rho$ válce, jehož pláštěm je hyperbolický paraboloid ohraničen, aby jeho plocha byla stejná jako v příkladu 6.63?

$S=\dfrac{2\pi}{3}\left(5^{\frac{3}{2}}-1\right)\approx 21,\!32$, $\rho=\left[\left(\dfrac{17^{\frac{3}{2}}+3}{4}\right)^{\frac{2}{3}}-1\right]^{\frac{1}{2}}\approx 2,\!44$

nahoru

Ve vhodně zvolené soustavě souřadnic vypočítejte polohu středu hmotnosti

6.67

homogenní polokoule o poloměru $R$,

$z_T=\dfrac{3}{8}R$

6.68

homogenního kužele o poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,

$z_T=\dfrac{H}{4}$

6.69

homogenního symetrického jehlanu o hraně podstavy $A$ a výšce $H$,

$z_T=\dfrac{H}{4}$

6.70

homogenního tělesa z příkladu 6.45,

$z_T=\dfrac{H}{3}$

6.71

homogenního tělesa z příkladu 6.46,

$z_T=\dfrac{R^2(3H-2R^2)}{6H-3R^2}$

6.72

homogenního tělesa z příkladu 6.48,

$z_T=\dfrac{9}{16}R$

6.73

homogenní plochy z příkladu 6.62,
$y_T=-\dfrac{25}{32}$
homogenního tělesa z příkladu 6.51,
$y_T=-\dfrac{4}{5}\,a$

6.74

homogenního tělesa, ohraničeného seshora plochou $x^2+y^2+z^2=R^2$ a zespoda plochou $z=\sqrt{x^2+y^2}$,

$z_T=\dfrac{3R}{8\left(2-\sqrt{2}\right)}\approx 0,\!64\,R$

6.75

tělesa z příkladu 6.49,

$z_T=\dfrac{27}{40}R$

6.76

poloviny homogenního elipsoidu o poloosách $a,\,b,\,c$, s rovinou podstavy, vymezenou poloosami $a,\,b$.

$z_T=\dfrac{3}{8}c$

nahoru

Vypočítejte moment setrvačnosti vzhledem k ose symetrie

6.77

homogenní koule o hmotnosti $M$ a poloměru $R$,

$J=\dfrac{2}{5}MR^2$

6.78

homogenního válce o hmotnosti $M$ a poloměru $R$,

$J=\dfrac{MR^2}{2}$

6.79

homogenního kužele o hmotnosti $M$, poloměru podstavy $R$ a výšce $H$,

$J=\dfrac{3}{10}MR^2$

6.80

homogenního tělesa z příkladu 6.45,

$J=\dfrac{MR^2}{3}$

6.81

homogenního tělesa z příkladu 6.46,

$J=\dfrac{3H-2R^2}{6H-3R^2}MR^2$

6.82

homogenního tělesa z příkladu 6.48.

$J=\dfrac{MR^2}{4}$

6.83

tělesa z příkladu 6.49,

$J=\dfrac{53}{200}MR^2$

6.84

homogenního elipsoidu o hmotnosti $M$ a poloosách $a,\,b,\,c$, rotujícího okolo poloosy $c$,

$J=\dfrac{M}{5}(a^2+b^2)$

6.85

homogenního tělesa, jehož povrch vznikne rotací asteroidy z příkladu 4.4 okolo osy $y$,

$J=\dfrac{64}{143}Ma^2$

6.86

homogenního tělesa, jehož povrch vznikne rotací kardioidy z příkladu 4.13 okolo osy $y$,

$J=\dfrac{24}{35}Ma^2$

6.87

homogenního tělesa, ohraničeného seshora plochou $z=H-2\left(x^2+y^2\right)$ a zespoda plochou $z=0$. Výsledek vyjádřete jako funkci hmotnosti daného tělesa a délky $R=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{H/2}$ v rovině $z=0$,

$J=\dfrac{MR^2}{3}$

6.88

prázdné uzavřené válcové nádoby, tj. sestávající z pláště a obou podstav, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$, s poloměrem $R$ a výškou $H=R$. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru $R$,

$J=\dfrac{3}{4}MR^2$

6.89

prázdné uzavřené kuželové nádoby, tj. sestávající z pláště a podstavy, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$, s poloměrem $R$ a výškou $H$. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru $R$,

$J=\dfrac{MR^2}{2}$

6.90

prázdné uzavřené nádoby, tvořené celým pláštěm tělesa (tj. sestávající z vlastního pláště i podstavy) z příkladu 6.45, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru podstavy $R$,

$J=M\dfrac{\left(1+4R^2\right)^{3/2}\left(\dfrac{3}{5}R^2-\dfrac{1}{10}\right)+\dfrac{1}{10}+3R^4}{\left(1+4R^2\right)^{3/2}-1+6R^2}$

6.91

prázdné uzavřené nádoby, tvořené celým pláštěm tělesa (tj. sestávající z vlastního pláště i podstavy) z příkladu 6.48, vytvořené z materiálu zanedbatelné tloušťky s konstantní plošnou hustotou $\sigma$. Výsledek vyjádřete v jednotkách celkové hmotnosti nádoby $M$ a poloměru podstavy $R$.

$J=\dfrac{\left(9\sqrt{3}+20\right)MR^2}{\left(\sqrt{3}+2\right)24}$

6.92

Odvoďte moment setrvačnosti homogenní polokruhové desky zanedbatelné tloušťky s poloměrem $R$, rotující

okolo osy, procházející jejím středem, kolmé k rovině desky,
$J=\dfrac{MR^2}{2}$
okolo osy, ležící v rovině desky, procházející její základnou (průměrem),
$J=\dfrac{MR^2}{4}$
okolo osy, ležící v rovině desky, procházející jejím středem hmotnosti rovnoběžně s její základnou.
pomocí Steinerovy věty: $z_T=\dfrac{4}{3\pi}R$, $J=\dfrac{MR^2}{4}-\left(\dfrac{4}{3\pi}\right)^2MR^2\approx\dfrac{7}{100}MR^2$

Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti desky $M$ a poloměru $R$.

6.93

Odvoďte moment setrvačnosti homogenní desky zanedbatelné tloušťky, jejíž okraj má tvar asteroidy z příkladu 4.4, rotující okolo osy procházející jejím středem kolmo k její rovině. Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti desky $M$ a délky poloosy $a$.

$J=\dfrac{7}{32}Ma^2$

6.94

Odvoďte moment setrvačnosti $J_k$ duté koule o poloměru $R$ s kulovou koncentrickou dutinou o poloměru $H$, s konstantní hustotou $\rho$. Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti $M$ duté koule, jejího poloměru $R$ a poloměru dutiny $H$. Pomocí limitního přechodu (případně jiným způsobem) následně odvoďte moment setrvačnosti $J_s$ homogenní kulové slupky o poloměru $R$.

$J_k=\dfrac{2}{5}M\dfrac{R^5-H^5}{R^3-H^3},\,J_s=\dfrac{2}{3}MR^2$

6.95

Odvoďte moment setrvačnosti homogenní krychle o hraně $A$, rotující

okolo osy, procházející jejím středem a středy dvou protilehlých stran,
$J=\dfrac{MA^2}{6}$
okolo osy, procházející jejím středem a středy dvou protilehlých hran,
$J=\dfrac{MA^2}{6}$
okolo osy, procházející hranou krychle (vypočítejte přímou integrací a ověřte pomocí Steinerovy věty).
$J=\dfrac{2}{3}MA^2$

Výsledek vyjádřete v jednotkách hmotnosti $M$ krychle a délky její hrany $A$.