7 Integrální větyVe výsledcích příkladů s geometrickými nebo fyzikálními veličinami nejsou uváděny příslušné jednotky.

7.1 Greenova věta

Věta, nazvaná podle matematika a fyzika George Greena (1793 – 1841), dává do souvislosti integrál přes oblast $D\in\mathbb{R}^2$ a integrál po uzavřené křivce $\mathcal{C}$, ohraničující oblast $D$. Pro vektorové pole $\vec{F}=[F_1(x,y),F_2(x,y)]$, spojitě diferencovatelné v $D(x,y)$, platí následující formulace Greenovy věty:

kde $\partial\vec{D}$ značí matematicky kladně orientovanou uzavřenou hranici oblasti $D$ (křivku $\mathcal{C}$). Stokesova a Gaussova věta (viz odstavce 7.2 a 7.3) jsou zobecněním Greenovy věty pro $\mathbb{R}^n$.

Příklady

7.1

Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál $ \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\,\text{e}^x\left[\left(1-\cos y\right)\,\text{d} x-\left(y-\sin y\right)\,\text{d} y\right]$, kde $\mathcal{C}$ je kladně orientovaná uzavřená křivka ohraničující oblast $D$: $0<x<\pi$, $0<y<\sin x$.

$\dfrac{1}{5}\left(1-\text{e}^{\pi}\right)$

7.2

Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál $ \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}y^2\,\text{d} x+x^2\,\text{d} y$, kde $\mathcal{C}$ je kladně orientovaná uzavřená křivka ohraničující oblast $D$: $0<x<3$, $0<y<2-\dfrac{2}{3}x$.

$2$

7.3

Pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah kruhu o poloměru $R$.

Pomocí identity $S=\displaystyle\iint_S\left(\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}\right)\text{d} S= \left\{\dfrac{\partial F_2}{\partial x}-\dfrac{\partial F_1}{\partial y}=1\right\}= \displaystyle\oint_{\partial{\vec{S}}}\vec{F}\cdot\text{d}\vec{s}$, $S=\pi R^2$

7.4

Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah elipsy s poloosami $a,\,b$.

Stejným způsobem jako v předešlém příkladě, $S=\pi ab$

7.5

Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah trojúhelníka s vrcholy v bodech $(0,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$.

$S=\dfrac{3}{2}$

7.6

Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené křivkou, danou obecnou rovnicí $x^4-a^2\left(x^2-y^2\right)=0$, kde $a$ je konstanta, tzv. Geronovy (Huygensovy) lemniskáty (viz obrázek 7.1, viz také příklad 7.35).

$S=\dfrac{4a^2}{3}$

7.7

Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené asteroidou z příkladu 4.4.

$S=\dfrac{3\pi}{8}a^2$

7.8

Pomocí plošného integrálu i pomocí Greenovy věty vypočítejte obsah plochy, uzavřené smyčkou křivky, dané obecnou rovnicí $x^3+y^3=3\,axy$ (tzv. Descartova listu, viz obrázek 7.2). Vhodnou parametrizací je například: $x=x(t),\,y=tx(t)$, kde $t=\text{tg}\phi$.

$S=\dfrac{3}{2}a^2$