7.2 Stokesova věta (Stokesův-Kelvinův teorém)

Stokesova věta srovnává tok vektoru rotace vektorového pole $\vec{F}$ plochou $S$, definovanou v trojrozměrném (obecně $n$-rozměrném) Eukleidovském prostoru a integrál tohoto pole po uzavřené křivce $s$, ohraničující tuto plochu. Matematický zápis Stokesovy věty má tvar

$$ \iint_S\left(\vec{\nabla}\times\vec{F}\right)\cdot\vec{n}\,\text{d} S=\oint_{\partial\vec{S}}\vec{F}\cdot\vec{t}\,\text{d} {s}, $$

7.2

kde $\vec{F}$ je obecné vektorové pole, $\vec{n}$ je jednotkový vektor normály plochy $S$, $\partial\vec{S}$ je orientovaná uzavřená hranice plochy $S$ (křivka $s$), $\vec{t}$ je tečný vektor křivky $s$.

Příklady

7.9

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y)=(x^2-y,x)$ která působí po celé kružnici o poloměru $R$ se středem v bodě $(0,0)$ v matematicky kladném směru a jejíž začátek i konec jsou v bodě $(R,0)$.

$W=2\pi R^2$

Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v matematicky záporném směru?

Změní: $W=-2\pi R^2$

7.10

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y)=(x^2-y,x)$ která působí po obvodu čtverce postupně z bodu $(0,0)$ do bodů $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$ a zpět do počátku.

$W=2$

Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v opačném směru?

Změní: $W=-2$

7.11

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y)=(x^3-x^2,x-1)$ která působí po obvodu trojúhelníka postupně z bodu $(0,0)$ do bodů $(2,0)$, $(0,1)$ a zpět do počátku.

$W=1$

Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v opačném směru?

Změní: $W=-1$

7.12

$W=1$

Změní se velikost práce, pokud síla bude působit v opačném směru?

Změní: $W=-1$

7.13

Pomocí Stokesovy věty ověřte výpočet práce síly z příkladu 4.33.

$W=\displaystyle\iint_{\partial V}\text{rot}\,\vec{F}\cdot\vec{n}\,\text{d} S$, $\text{rot}\,\vec{F}=(0,0,2)$, $\vec{n}=(0,0,-1)$, $S=\dfrac{\pi}{4}$, $W=-\dfrac{\pi}{2}$

7.14

Pomocí Stokesovy věty ověřte výpočet práce síly z příkladu 4.34.

$W=\displaystyle\iint_{\partial V}\text{rot}\,\vec{F}\cdot\vec{n}\,\text{d} S$, $\text{rot}\,\vec{F}=(0,0,2)$, $\vec{n}=(0,0,1)$, $S=\pi-1$, $W=2(\pi-1)$

7.15

Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y)=\left[y^2,\,(x+y)^2\right]$, působící po obvodě trojúhelníka ve směru vrcholů v bodech $[3,0]$, $[0,3]$, $[3,3]$.

$W=-18$

7.16

Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y)=\left[y,\,(x+y)^2\right]$, působící v matematicky záporném směru po křivce $x^2+y^2=1$.

$W=\pi$

7.17

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=\left(y,-x,z\right)$, působící nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále po křivce $z^2=R^2-y^2$ z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,R\right)$ a nakonec po křivce $x^2=R^2-z^2$ z bodu $\left(0,0,R\right)$ zpět do výchozího bodu.

$W=-\dfrac{\pi R^2}{2}$

7.18

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=\left(y^2,z^2,x^2\right)$, působící nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále po křivce $z^2=R^2-y^2$ z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,R\right)$ a nakonec po křivce $x^2=R^2-z^2$ z bodu $\left(0,0,R\right)$ zpět do výchozího bodu.

$W=-2R^3$

7.19

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=\left(y,z,x\right)$, působící po povrchu tělesa z příkladu 6.47

nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(0,-R,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(R,0,0\right)$, dále po křivce $z=H-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu,
$W=-\dfrac{\pi R^2}{4}$
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec po křivce $z=H-x^2$ z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu,

$W=-\dfrac{\pi R^2}{4}-\dfrac{4}{3}R^3$
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(0,-R,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu.

$W=-\dfrac{\pi R^2}{2}-\dfrac{4}{3}R^3$

7.20

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=\left(y^2,z^2,x^2\right)$, působící po povrchu tělesa z příkladu 6.15

nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále nejkratším možným způsobem z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec opět nejkratším možným způsobem z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu,

$W=-\dfrac{R}{3}\left(2R^2+HR+H^2\right)$
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(0,-R,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále nejkratším možným způsobem z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec opět nejkratším možným způsobem z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu.

$W=-\dfrac{2}{3}H^2R$

7.21

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}(x,y,z)=\left(y^2,-z^2,x^2\right)$, působící po povrchu tělesa z příkladu 6.47

nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(0,-R,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(R,0,0\right)$, dále po křivce $z=H-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu,

$W=\dfrac{2}{3}R^3(2H+1)+\dfrac{R^4}{2}-\dfrac{4}{5}R^5=\dfrac{8}{15}R^5+\dfrac{R^4}{2}+\dfrac{2}{3}R^3$
nejprve po křivce $y^2=R^2-x^2$ z bodu $\left(R,0,0\right)$ v matematicky kladném směru do bodu $\left(0,R,0\right)$, dále po křivce $z=H-y^2$ z bodu $\left(0,R,0\right)$ do bodu $\left(0,0,H\right)$ a nakonec po křivce $z=H-x^2$ z bodu $\left(0,0,H\right)$ zpět do výchozího bodu.

$W=\dfrac{2}{3}R^3(2H-1)-\dfrac{R^4}{2}-\dfrac{4}{5}R^5=\dfrac{8}{15}R^5-\dfrac{R^4}{2}-\dfrac{2}{3}R^3$

7.22

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty dokažte, že práce síly $\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)$ působící v matematicky kladném směru po křivce dané průnikem ploch $S_1=\{x^2+y^2+z^2=R^2\}$ a $S_2=\{x-z=0\}$, je nulová.

Úlohu lze řešit jak v kulovém, tak v pootočeném válcovém souřadném systému (transformace bází).

7.23

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(z^3,x^2,y)$ působící po obvodu rovnoběžníka z výchozího bodu $(0,0,0)$ ve směru bodů $(A,0,A)$, $(A,A,A)$, $(0,A,0)$ a zpět do výchozího bodu.

$W=A^3-A^2$

7.24

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(z^3,x^2,y)$ působící po obvodu trojúhelníka z výchozího bodu $(0,0,0)$ ve směru bodů $(A,0,0)$, $(0,B,C)$ a zpět do výchozího bodu.

$W=\dfrac{A^2B}{3}-\dfrac{AC^3}{4}$

7.25

Pomocí křivkového integrálu i Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(y^2,xz,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+y^2\le R^2,\,z=6\big\},$ po vykonání 1 okruhu z bodu $(R,0,6)$ do stejného bodu, v matematicky záporném směru.

$6\pi R^2$

7.26

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+y^2+(z-R)^2=R^2,\,x,y,z\in\langle 0,R\rangle\big\},$ ve směru bodů $(0,0,0)$, $(R,0,R)$, $(0,R,R)$ a zpět do bodu $(0,0,0)$.

$W=2R^3\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)$

7.27

Pomocí křivkového integrálu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+(y-R)^2+z^2=R^2,\,x\in\langle -R,0\rangle,\,y,z\in\langle 0,R\rangle\big\},$ ve směru bodů $(-R,R,0)$, $(0,R,R)$, $(0,0,0)$ a zpět do bodu $(-R,R,0)$.

$W=2R^3\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)$

7.28

Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(z^2,x^2,y^2)$ působící po obvodu plochy dané předpisem: $S=\big\{(x,y,z)\big|x^2+(y+R)^2+z^2=R^2$, $x\in\langle -R,0\rangle,\,y\in\langle -R,0\rangle,z\in\langle 0,R\rangle\big\},$ ve směru bodů $(-R,-R,0)$, $(0,-R,R)$, $(0,0,0)$ a zpět do bodu $(-R,-R,0)$.

$W=2R^3\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3}\right)$

7.29

Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(xz,-yz,0)$ působící po plášti válce o poloměru $R$, jehož osa prochází bodem $(-R,0,0)$ a splývá s vektorem $(0,0,z)$. Síla působí po uzavřené trajektorii z počátečního bodu $(0,0,0)$ ve směru bodů $(-R,R,0)$, $(-R,R,H)$, $(0,0,H)$ a zpět do bodu $(0,0,0)$.

$W=0$

7.30

Pomocí křivkového integrálu 2. druhu i pomocí Stokesovy věty určete práci síly $\vec{F}=(xz^2,xz^2,yz^2)$ působící po povrchu válce o poloměru $R$, jehož osa prochází bodem $(R,0,0)$ a splývá s vektorem $(0,0,z),\,z\in\langle 0,H\rangle$. Síla působí po uzavřené trajektorii z počátečního bodu $(R,R,H)$ po hraně pláště válce do bodu $(0,0,H)$, dále po úsečce do bodu $(2R,0,H)$, a opět po hraně pláště válce zpět do bodu $(R,R,H)$.

$W=\dfrac{\pi R^2H^2}{2}$