Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku
Početní praktikum Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzityMgr. Ing. arch. Petr Kurfürst, Ph.D.

8 Taylorův rozvoj

Možnost nahrazení libovolné matematické funkce polynomem byla formulována počátkem 18. století matematiky Jamesem Gregorym a Brookem Taylorem. V případě nekonečněkrát diferencovatelné funkce půjde o nekonečnou mocninnou řadu. Rozvoj funkce do řady je jedním z nejpoužívanějších nástrojů pro vyjádření přibližné hodnoty funkcí, který tvoří základ mnoha principů numerické matematiky, atd.

8.1 Rozvoj funkce jedné proměnné

Obecný zápis Taylorova rozvoje nekonečněkrát diferencovatelné funkce jedné proměnné v obecném bodě $x_0$ lze vyjádřit pomocí nekonečné řady

$$ \begin{align} f(x) =f(x_0)&+\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x_0}(x-x_0)+\frac{1}{2!}\left.\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right|_{x_0}(x-x_0)^2+ \frac{1}{3!}\left.\frac{\partial^3f}{\partial x^3}\right|_{x_0}(x-x_0)^3 +\\ &+ \frac{1}{4!}\left.\frac{\partial^4f}{\partial x^4}\right|_{x_0}(x-x_0)^4+\,\ldots\, =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left.\frac{\partial^nf}{\partial x^n}\right|_{x_0}(x-x_0)^n, \end{align} $$
8.1

kde řád derivace charakterizuje řád Taylorova rozvoje, stupeň mocniny určuje stupeň členu Taylorova polynomu (v případě funkce jedné proměnné se obojí shoduje). Položíme-li $x_0=0$, dostáváme tzv. Maclaurinovu řadu (rozvoj) jako speciální případ Taylorova rozvoje.

Příklady

8.1

Rozviňte následující neurčité integrály do Taylorovy řady

  1. $\displaystyle\int\frac{\text{e}^{x^2}}{x}\,\text{d} x$,
    $\ln x+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{x^{2k}}{k!\,2k}+\text{C}$
  2. $\displaystyle\int\frac{\sin x}{x}\,\text{d} x$,
    $\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!\,(2k+1)}+\text{C}$
  3. $\displaystyle\int\frac{\cos x}{x}\,\text{d} x$,
    $\ln x+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\dfrac{x^{2k}}{(2k)!\,\,2k}+\text{C}$
  4. $\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{x}\,\text{d} x$.
    $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left[(-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\sum\limits_{m=0}^{k}\dfrac{1}{m!\,(2k-m+1)!}\right]+\text{C}$
8.2

Napište rozvoj následujících funkcí do 4.stupně v bodě $x_0=0$ (Maclaurinův rozvoj):

  1. $f(x)=\text{e}^{3x}$,
    $1+3x+\dfrac{9}{2}(x^2+x^3)+\dfrac{27}{8}x^4+\mathcal{O}(x^5)$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{2x+1}$,
    $1–3x+7x^2–14x^3+28x^4+\mathcal{O}(x^5)$
  3. $f(x)=\ln\left(1-\sin^2x\right)$,
    $-x^2-\dfrac{x^4}{6}+\mathcal{O}(x^6)$
  4. $f(x)=\text{e}^x\sin x$,
    $x+x^2+\dfrac{x^3}{3}+\mathcal{O}(x^5)$
  5. $f(x)=\dfrac{\sinh\left(x^2+2\sin^4x\right)}{1+x^{10}}$,
    $x^2+2x^4+\mathcal{O}(x^6)$
  6. $f(x)=\sqrt{\cos\left(3x+x^3\right)}$.
    $1-\dfrac{9}{4}x^2-\dfrac{75}{32}x^4+\mathcal{O}(x^6)$
8.3

Pomocí Taylorova rozvoje určete hodnoty uvedených limit následujících funkcí:

  1. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^x-1-x}{x^2}$,
    $\dfrac{1}{2}$
  2. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\text{e}^x-\sin x-\cos x}{\text{e}^{x^2}-\text{e}^{x^3}}$,
    $1$
  3. $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{\dfrac{1-\text{e}^x}{\ln\left(x+1\right)}}$,
    $\text{i}$
  4. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[5]{1–5x^2+x^4}-1+x^2}{x^4}$,
    $-\dfrac{9}{5}$
  5. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x^2}-\ln\cos x}{x\sin x}$,
    $\dfrac{1}{3}$
  6. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln\left(1+x\,\text{arctg}\, x\right)+1-\text{e}^{x^2}}{\sqrt{1+2x^4}-1}$,
    $-\dfrac{4}{3}$
  7. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x−1+\dfrac{1}{2}x\sin x}{\left[\ln\left(1+x\right)\right]^4}$,
    $-\dfrac{1}{24}$
  8. $\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\ln\left(1+x\right)}-\dfrac{1}{\text{tg}\, x}\right]$.
    $\dfrac{1}{2}$
8.4

Vypočítejte přibližnou hodnotu následujících integrálů s chybou nepřevyšující $10^{-3}$

  1. tzv. chybové funkce $\text{erf}\, x=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^x\,\text{e}^{-t^2}\,\text{d} t$ pro horní mez $x=1$,
    $0,\!842\,714\,222$
  2. tzv. integrálního sinu $\text{Si}\, x=\displaystyle\int_0^x\frac{\sin t}{t}\,\text{d} t$ pro horní mez $x=1$,
    $0,\!946\,082\,766$
  3. tzv. integrálního kosinu $\text{C}i x=-\displaystyle\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,\text{d} t\,\,(x>0)$ pro spodní mez $x=1$. Tento integrál lze přepsat do tvaru $\text{C}i x=\gamma+\ln x+\displaystyle\int_0^x\dfrac{\cos t-1}{t}\,\text{d} t$, kde tzv. Eulerova (Eulerova-Mascheroniho) konstanta ${\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}}\left(\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k}-\ln n\right)\approx 0,\!577\,215\,665$,
    $0,\!337\,400\,849$

  4. tzv. exponenciálního integrálu $\text{Ei}\, x=-\displaystyle\int_{-x}^\infty\frac{\text{e}^{-t}}{t}\,\text{d} t =\displaystyle\int_{-\infty}^x\frac{\text{e}^{t}}{t}\,\text{d} t$ pro $x=-1$. Tento integrál lze přepsat do tvaru $\text{Ei}\, x=\gamma+\ln|x|+\displaystyle\int_0^{-x}\dfrac{\text{e}^{-t}-1}{t}\,\text{d} t$, kde $\gamma$ je stejná Eulerova konstanta jako v  příkladu 8.4c,

    $-0,\!219\,386\,753$
  5. exponenciálního integrálu $\text{Ei}\, x$ popsaného v příkladě 8.4d, kde hodnota meze $x=1$ (tento případ má konečné řešení, protože integrování funkce se singularitou lze za určitých podmínek provést přiřazením tzv. hlavní hodnoty určitého integrálu),
    $1,\!894\,854\,554$
  6. tzv. integrálního logaritmu $\text{li}\,x=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{\text{d} t}{\ln t}$ pro $x_1=2$ a $x_2=10$ (integrovanou funkci lze rozvinout do vhodné řady pomocí substituce $t=\text{e}^u$).
    $5,\!073\,622\,569$
8.5

Pomocí Taylorova rozvoje dokažte Eulerovu identitu pro

$y(x)$: $\text{C}_1\,\text{e}^{\text{i} x}+\text{C}_2\,\text{e}^{-\text{i} x}=\text{A}\cos x+\text{B}\sin x$.

  • Jaký je vztah mezi jednotlivými koeficienty?
    $\text{A}=\text{C}_1+\text{C}_2,\,\text{B}=\text{i}(\text{C}_1-\text{C}_2)$
  • Čemu se budou rovnat, pokud $y(0)=1,\,y^\prime(0)=1$?
    $\text{C}_1=\dfrac{1-\text{i}}{2},\,\text{C}_2=\dfrac{1+\text{i}}{2},\,\text{A}=1,\,\text{B}=1$
8.6
Ověřte platnost klasického vztahu pro kinetickou energii $T=\frac{1}{2}mv^2$ pro malé rychlosti, $v\ll c$. Úplné relativistické vyjádření kinetické energie má tvar $T=E-E_0$, kde $E$ představuje celkovou energii $E=mc^2$, $E_0$ je tzv. klidová energie, $E_0=m_0c^2$. Veličiny $m$ a $m_0$, tedy relativistická a klidová hmotnost, jsou svázány vztahem $m=\gamma\,m_0$, kde tzv. Lorentzův faktor $\gamma=(1-v^2/c^2)^{-1/2}$ (viz také příklad 2.41.
Pomocí Taylorova rozvoje relativistického vyjádření do druhého řádu.
8.7

Napište Taylorův rozvoj funkce $f(x)=\dfrac{\text{A} x}{(\text{B}+x^2)^{3/2}}$, kde $\text{A}$, $\text{B}$ jsou konstanty, do třetího řádu. Dále napište:

  1. Taylorův polynom třetího stupně funkce $f(x)$ v okolí bodu $x=0$,
    $\left.T_3(x)\right|_{x_0=0}=\dfrac{\text{A}}{\text{B}^{\frac{3}{2}}}x-\dfrac{3\text{A}}{2\text{B}^{\frac{5}{2}}}x^3$
  2. Třetí stupeň tohoto polynomu v okolí bodu $x=1$.
    $\left.T_3^{\text{III}}(x)\right|_{x_0=1}=-\dfrac{\text{A}\left(3\text{B}^{2}-24\text{B}+8\right)}{2\left(\text{B}+1\right)^{\frac{9}{2}}}(x-1)^3$
8.8

Ukažte, že

  1. Planckův zákon $B_{\nu}(T)$ pro malé frekvence $\nu$ přejde na Rayleighův-Jeansův zákon, známý v radiové fyzice,
    $B_{\nu}(T)=\dfrac{2h\nu^3}{c^2}\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\,\to\,\dfrac{2\nu^2}{c^2}kT$
  2. Převeďte Planckův zákon ve formě $B_{\nu}(T)$ na tvar $B_{\lambda}(T)$ a dokažte přechod na Rayleighův-Jeansův zákon pro velké vlnové délky $\lambda$.
    $B_{\lambda}(T)=\dfrac{2hc^2}{\lambda^5}\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\,\to\,\dfrac{2c}{\lambda^4}kT$