12 Počet pravděpodobnostiV této kapitole jsou použité příklady z knihy: Musilová & Musilová (2006).

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny $X$ vyjadřuje tzv. pravděpodobnostní funkce $P(X)$ s  hodnotami pravděpodobnosti $p(x_i)=p_i$, kde $\sum_i p_i=1$. Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny $X$ udává funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti (hustoty pravděpodobnosti) $f(x)$, pro kterou platí $ \int_\Omega f(x)\,\text{d} x=1$, kde $\Omega$ je definiční obor veličiny $X$. Pro hodnoty $x\notin\Omega$ platí $f(x)=0$. Významná rozdělení pravděpodobnosti jsou:

• Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti diskrétní i spojité náhodné veličiny $X$, které přiřazuje všem jejím hodnotám stejnou pravděpodobnost. Rovnoměrné rozdělení má ve všech bodech daného intervalu $\langle a,b\rangle,$ konstantní hustotu pravděpodobnosti

  $$ f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{b-a} & \mbox{pro } x\in\langle a,b\rangle\\0 & \mbox{pro } x\notin\langle a,b\rangle\end{matrix}\right. $$

  12.1

• Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny $X$, které lze vyjádřit pomocí zvoleného parametru $\lambda>0$ jako

  $$ p_i=\dfrac{\lambda^{x_i}}{x_i!}\,\text{e}^{-\lambda}. $$

  12.2

• Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny $X$, které je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru tzv. Gaussovy funkce

  $$ f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\text{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}, $$

  12.3

  kde parametr $\mu$ znamená střední hodnotu veličiny $X$, parametr $\sigma$ jeho směrodatnou odchylku (viz dále).

Ve statistické fyzice se také střední počet rozlišitelných částic (např. molekul) ve stavu senergií $E$ určuje pomocí tzv. Maxwellovy-Boltzmannovy rozdělovací funkce. Pro nerozlišitelné částice platí tzv. Fermiho-Diracovo rozdělení pro fermiony (elektrony, protony, neutrina, atd.) a Boseho-Einsteinovo rozdělení pro bosony (např. fotony). V matematické statistice se často používá tzv. Studentovo rozdělení (viz např. Pánek, 2001), atd. V návaznosti na rozdělení pravděpodobnosti můžeme určit celou řadu statistických nástrojů, pomocí nichž můžeme analyzovat náhodnou veličinu $X$ (reprezentující například soubor naměřených hodnot). Mezi nejdůležitější z nich patří:

• Váha – v případě diskrétní náhodné veličiny $X$ s jednotlivými hodnotami $x_i$ zavádíme tzv. váhu $w_i$, kterou můžeme zpravidla stanovit na základě tzv. vnitřních nejistot (chyb) $\delta x_i$ hodnot $x_i$ (například chyby měření, atd.), tedy na základě relace

  $$ w_i\sim \dfrac{1}{\delta{x_i}^2}.$$

  12.4

  Dále zavedeme tzv.{sumu vah} $S_w$ a tzv. střední váhu $w_s$,

  $$ S_w=\sum_{i=1}^Nw_i,\quad w_s=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^Nw_i=\dfrac{S_w}{N}, $$

  12.5

  kde $N$ je celkový počet diskrétních hodnot $x_i$. Mezi váhami a hodnotami pravděpodobnosti existuje tedy volná relace – pokud suma vah $S_w=1$, potom $w_i=p_i$. Obdobným způsobem můžeme v případě spojité náhodné veličiny zavést tzv. váhovou funkci $w(x)$, jejíž suma bude dána jako $\int_\Omega w(x)\,\text{d} x$. Je tedy opět zjevné, že pokud tento integrál bude normován (bude roven jedné) bude platit $w(x)=f(x)$, váhová funkce se takto stává hustotou pravděpodobnosti.

• Střední hodnota (aritmetický průměr), která se obvykle značí $\bar{x}$, $\langle{x}\rangle$ nebo také $\mu$. V případě diskrétní náhodné veličiny $X$ bude střední hodnota definována jako suma všech hodnot $x_i$ veličiny $X$ dělená jejich počtem nebo jako suma násobků všech hodnot veličiny $X$ s příslušnými hodnotami pravděpodobnostní funkce, tedy

  $$ \langle{x}\rangle=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx_i=\sum_{i=1}^Nx_ip_i.$$

  12.6

  V případě použití druhého vztahu mluvíme také o tzv. očekávané hodnotě, značené $E(X)$, resp. o váženém aritmetickém průměru. Jemný rozdíl mezi těmito pojmy závisí na definici prvku $x_i$ veličiny $X$, případně na způsobu volby tzv. statistické váhy. tzv. váhovanou střední hodnotu (váhovaný aritmetický průměr) stanovíme jako

  $$ \langle{x}\rangle=\frac{1}{S_w}\sum_{i=1}^Nx_iw_i. $$

  12.7

  Střední hodnotu (neváhovanou a váhovanou) spojité náhodné veličiny $X$ stanovíme jako

  $$ \langle{x}\rangle=E(X)=\int_\Omega x\,f(x)\,\text{d} x,\quad \langle{x}\rangle=\frac{\int_\Omega x\,w(x)\,\text{d} x}{\int_\Omega w(x)\,\text{d} x}. $$

  12.8
  V případě dále uváděných statistických nástrojů je stanovení jejich váhovaných podob zcela obdobné.

• Rozptyl a směrodatná odchylka jsou nejčastěji označované jako $D(X)$, $\text{var}(X)$, případně $\sigma^2(X)$ (rozptyl) a  $\sigma(X)$ (směrodatná odchylka). Rozptyl (disperze) je definován jako střední hodnota druhých mocnin odchylek od střední hodnoty (aritmetického průměru) veličiny $X$, směrodatná odchylka je odmocninou z rozptylu. Pro diskrétní náhodnou veličinu $X$ se stejnou váhou (pravděpodobností) všech hodnot $x_i$ je rozptyl definován jako

  $$ D(X)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\langle{x}\rangle)^2=\langle{x^2}\rangle-\left\langle{x}\right\rangle^2. $$

  12.9

  V případě různých pravděpodobností diskrétních hodnot náhodné veličiny $X$ bude rozptyl určen vztahem

  $$ D(X)=\sum_{i=1}^N p_i\cdot(x_i-\langle{x}\rangle)^2=-\langle{x}\rangle^2+\sum_{i=1}^N x_i^2\cdot p_i. $$

  12.10

  Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ je rozptyl definován vztahem

  $$ D(X)=\int_\Omega(x-\langle{x}\rangle)^2\,f(x)\,\text{d} x\,=-\langle{x}\rangle^2+\int_\Omega x^2f(x)\,\text{d} x. $$

  12.11

  Pro směrodatnou odchylku obecně platí $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$.

• Nejpravděpodobnější hodnotu $P_{\max}(X)$ pro diskrétní náhodnou veličinu $X$ stanovíme jako hodnotu $x_i$ s nejvyšší hodnotou pravděpodobnostní funkce $p_i$, tedy $P_{\max}(X)=(x_i,{\max}\,(p_i))$. V případě spojité náhodné veličiny $X$ určíme nejpravděpodobnější hodnotu $P_{\max}(X)$ jako maximum funkce hustoty pravděpodobnosti $f(x)$ v definičním oboru $\Omega$ veličiny $X$, tedy $P_{\max}(X)={\max}\,(f(x))$ pro $x\in\Omega$.

• Medián ($\tilde{x}_{0,5}$) a čtvrtkvantily ($\tilde{x}_{0,25},\,\tilde{x}_{0,75}$, také nazývané dolní a horní kvartil) jsou hodnoty $x_i$, v nichž je monotónně uspořádaný statistický soubor rozdělen na příslušné množství stejně početných částí. Medián tedy dělí statistický soubor na dvě stejně početné poloviny. Výhodou mediánu oproti střední hodnotě je jeho neovlivnitelnost extrémně vychýlenými hodnotami. Například u souboru $\{1,\,2,\,2,\,3,\,27\}$ medián $\tilde{x}_{0,5}=2$, střední hodnota $\langle{x}\rangle=7$. V případě spojité náhodné veličiny $X$ určíme medián a čtvrtkvantily (případně jakkoli jinak definované kvantily) z integrálních rovnic

  $$ \int_{-\infty}^{\tilde{x}_{0,5}}f(x)\,\text{d} x\,=\dfrac{1}{2},\quad \int_{-\infty}^{\tilde{x}_{0,25}}f(x)\,\text{d} x\,=\dfrac{1}{4},\quad \int_{-\infty}^{\tilde{x}_{0,75}}f(x)\,\text{d} x\,=\dfrac{3}{4}. $$

  12.12

• Distribuční funkce $F(x)$ vyjadřuje pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny $X$ s daným rozdělením pravděpodobnosti bude menší nebo rovna $x$. V případě diskrétní náhodné veličiny $X$ bude distribuční funkce $F(x)$ daná předpisem

  $$ F(x)=P(X\leq x)=\sum_{x_i\leq x}p_i, $$

  12.13

  bude tedy v bodech $x_i$ nespojitá a mezi body $x_i$ konstantní. Pro spojitou náhodnou veličinu $X$ můžeme distribuční funkci $F(x)$ zapsat jako integrál funkce hustoty pravděpodobnosti,

  $$ F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,\text{d} t. $$

  12.14

  Každá distribuční funkce $F(x)$ je neklesající a zprava spojitá, její asymptotické vlastnosti lze vyjádřit jako $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1, \lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$, pro libovolnou dvojici $x_1,x_2$ platí $P(x_1<x\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)$.