Petr Zemánek Petr Hasil Ústav matematiky a statistiky, Ústav matematiky, Pˇrírodovˇedecká fakulta, Lesnická a dˇrevaˇrská fakulta, Masarykova univerzita, Brno Mendelova univerzita v Brnˇe Sbírka ˇrešených pˇríklad˚u z matematické analýzy I (3. vydání) zemanek@math.muni.cz http://www.math.muni.cz/~xzemane2 hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil a = b / · a a2 = ab / + a2 − 2ab 2a2 − 2ab = a2 − ab 2(a2 − ab) = a2 − ab / : (a2 − ab) 2 =? 1 Úvod Milá čtenářko, milý čtenáři, cílem této sbírky je nabídnout podrobný návod k řešení příkladů, které jsou standardní součástí cvičení k úvodnímu kurzu matematické analýzy a vhodně tak doplnit základní texty k tomuto kurzu, viz [2,3]. Základy této sbírky tvoří zápisky ze cvičení k předmětům MB101, MB102, M1100, M1101 a demonstrativních cvičení k MB101 a MB102 vedených autory v letech 2006–2009 na Fakultě informatiky a Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity. Většina zadání uvedených příkladů je buď převzata z publikací [1,2,4–11] (mnohdy z příkladů uvedených k samostatnému řešení) nebo z různých zdrojů, které se autorům dostaly v průběhu let do rukou, případně na monitor. Protože uvést zde kompletní seznam všech použitých zdrojů by bylo bohužel nemožné, prohlašujeme, že drtivá většina zadání příkladů je převzata od jiných autorů. Ovšem všechna řešení jsou původní a byla vypracována autory této publikace. Brno, jaro 2012 Petr Zemánek a Petr Hasil i Obsah Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 Kapitola I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kapitola I. 2. Limity posloupností a funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Kapitola I. 3. Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Kapitola I. 4. l’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Kapitola I. 5. Vyšetřování průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Kapitola I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Kapitola I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Integrální počet funkcí jedné proměnné 363 Kapitola II. 1. Základní integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Kapitola II. 2. Integrace racionální lomené funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Kapitola II. 3. Speciální integrační metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Kapitola II. 4. Určitý a nevlastní integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 Kapitola II. 5. Aplikace integrálního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 Seznam použité literatury 523 ii I. Diferenciální poˇcet funkcí jedné promˇenné I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy Základní vzorce Poznámka 1. Nejde o úplný přehled. Je uvedeno pouze znění základních vzorců bez ohledu na to, kde (ne)jsou definovány. Některé vzorce lze snadno odvodit z ostatních zde uvedených. • Mnohočleny (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , a2 − b2 = (a − b)(a + b), (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 , a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ), (a + b)n = n i=0 n i an−i · bi . • Mocninná funkce a0 = 1, a−r = 1 ar , a 1 r = r √ a, ar as = ar+s , (ar )s = ars . • Logaritmus a exponenciála loga x = y ⇔ x = ay , log 1 = 0, loga a = 1, log ab = b log a, log(ab) = log a + log b, log a b = log a − log b, loga ax = x = aloga x , ln x = lg x = loge x, e = 2, 71828 . . . , loga b = logc b logc a = ln b ln a . • Goniometrické funkce tg x = sin x cos x , cotg x = cos x sin x , sin2 x + cos2 x = 1, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2 x − sin2 x, sin2 x 2 = 1−cos x 2 , cos2 x 2 = 1+cos x 2 . x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 sin x 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 cos x 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 tg x 0 √ 3 3 1 √ 3 – cotg x – √ 3 1 √ 3 3 0 1 2 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné • Zlomky a b ± c d = ad±cb bd , a b c d = ac bd , a b c d = a b d c = ad bc , (a b )−1 = b a , (a b )r = ar br , ca cb = a b , c cb = 1 b , a a = 1. • Ostatní Komplexní čísla (C) i2 = −1, a + ib = a − ib, a2 + b2 = (a − ib)(a + ib). Kvadratický polynom P(x) = ax2 + bx + c D = b2 − 4ac, x1,2 = −b± √ D 2a , P(x) = a(x − x1)(x − x2). Doplnění na čtverec ax2 + bx + c = a(x2 + b a x + c a ), x2 + px + q = (x + p 2 )2 − p2 4 + q. Reálná čísla Definice 2. Buď A = ∅ uspořádaná množina, B ⊆ A, B = ∅, libovolná. Řekneme, že prvek a ∈ A je supremum množiny B (píšeme supB = a), jestliže 1) x ≤ a pro každé x ∈ B; 2) je-li y ∈ A takové, že x ≤ y pro každé x ∈ B, pak je a ≤ y. Analogicky se definuje infimum množiny B (inf B). Je-li a = max A, pak je a největším prvkem množiny A, tj. pro každý prvek x ∈ A platí x ≤ a. Analogické tvrzení platí pro min A. Kvadratické rovnice Rovnice tvaru ax2 + bx + c = 0, kde x ∈ R, nebo x ∈ C. Řešíme pomocí vzorců D = b2 − 4ac, x1,2 = −b ± √ D 2a . • D > 0 ⇒ 2 různé reálné kořeny, • D = 0 ⇒ 1 dvojnásobný reálný kořen, • D < 0 ⇒ 2 komplexně sdružené komplexní kořeny. Posouvání grafu Nechť je dána funkce y = f(x) a nenulová reálná čísla a, b. (i) Uvažujme funkci ˜y = f(x + a). Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď doleva (je-li a > 0) nebo doprava (je-li a < 0), a to o velikost čísla a. (ii) Uvažujme funkci ^y = f(x) + b. Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď nahoru (je-li b > 0) nebo dolů (je-li b < 0), a to o velikost čísla b. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 3 (1) Určete (jestliže existují) sup M, inf M, max M a min M, kde i) M = {0, −1, 2, 5, 6, 8} ; ii) M = 1 n : n ∈ N ; iii) M = n2 − 2n + 1 : n ∈ Z ; iv) M = [0, 1). Řešení: i) max M = sup M = 8 a min M = inf M = −1; ii) max M = sup M = 1, inf M = 0 a min M neexistuje; iii) max M a sup M neexistuje, min M = inf M = 0; iv) max M neexistuje, sup M = 1 a min M = inf M = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 4 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (2) Dokažte následující tvrzení: "Buď M = ∅, M ⊆ R a nechť a ∈ R. Pak a = sup M ⇔ 1) x ≤ a ∀x ∈ M, 2) ∀ε > 0 ∃x1 ∈ M : x1 > a − ε." Řešení: „⇒“ Buď a = sup M, pak z definice x ≤ a pro ∀x ∈ M, tj. platí 1). Předpokládejme, že 2) neplatí. Pak existuje ε0 > 0 tak, že ∀x ∈ M je x ≤ a − ε0. Tedy a − ε0 je horní závora množiny M a zároveň a = sup M ⇒ a ≤ a − ε0, což je spor. Tedy 2) platí. „⇐“ Nechť platí 1) i 2). Podle definice určitě platí sup M ≤ a. Předpokládejme, že sup M < a. Potom položme ε = a − sup M > 0. Z 2) plyne, že ∃x1 ∈ M : x1 > a − ε = sup M, což je spor. Proto nutně sup M = a. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 5 (3) Za předpokladu existence daných výrazů dokažte: i) sup x∈A [−f(x)] = − inf x∈A [f(x)]; ii) inf x∈A [−f(x)] = − sup x∈A [f(x)]; iii) sup x∈A [f(x) + g(x)] ≤ sup x∈A [f(x)] + sup x∈A [g(x)]; iv) inf x∈A [f(x) + g(x)] ≥ inf x∈A [f(x)] + inf x∈A [g(x)]; v) v částech iii) a iv) nelze nerovnosti nahradit rovnostmi. Řešení: i) sup x∈A [−f(x)] = c ⇒ ⇒ [−f(x) ≤ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≤ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≤ b] ⇒ ⇒ [f(x) ≥ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≥ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≥ −b] ⇒ ⇒ inf x∈A [f(x)] = −c ⇒ sup x∈A [−f(x)] = c = − inf [f(x)] . ii) inf x∈A [−f(x)] = c ⇒ ⇒ [−f(x) ≥ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≥ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≥ b] ⇒ ⇒ [f(x) ≤ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≤ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≤ −b] ⇒ ⇒ sup x∈A [f(x)] = −c ⇒ inf x∈A [−f(x)] = c = − sup [f(x)] . iii) f(x) ≤ sup x∈A f(x), g(x) ≤ sup x∈A g(x) ∀x ∈ A ⇒ ⇒ f(x) + g(x) ≤ sup x∈A f(x) + sup x∈A g(x) ∀x ∈ A ⇒ ⇒ sup x∈A [f(x) + g(x)] ≤ sup x∈A sup x∈A f(x) + sup x∈A g(x) ⇒ sup x∈A [f(x) + g(x)] ≤ sup x∈A f(x) + sup x∈A g(x). iv) f(x) ≥ inf x∈A f(x), g(x) ≥ inf x∈A g(x) ∀x ∈ A ⇒ ⇒ f(x) + g(x) ≥ inf x∈A f(x) + inf x∈A g(x) ∀x ∈ A ⇒ ⇒ inf x∈A [f(x) + g(x)] ≥ inf x∈A inf x∈A f(x) + inf x∈A g(x) ⇒ inf x∈A [f(x) + g(x)] ≥ inf x∈A f(x) + inf x∈A g(x). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 6 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné v) Tvrzení dokážeme nalezením vhodného protipříkladu. Uvažujme např. funkce f(x) = sin x a g(x) = cos x na množině A = 0, π 2 . Pak v iii) obdržíme sup x∈A [sin x + cos x] = √ 2, přičemž supx∈A sin x = 1 a supx∈A cos x = 1. V části iv) dostaneme inf x∈A [sin x + cos x] = 1, přičemž infx∈A sin x = 0 a infx∈A cos x = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 7 (4) Dokažte pro libovolné podmnožiny A a B množiny R a libovolná reálná čísla a, b, c: i) a = max M ⇒ a = sup M; ii) A ⊆ B ⇒ sup A ≤ sup B; iii) A ⊆ B ⇒ inf A ≥ inf B; iv) sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B}; v) inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B}; vi) sup(A ∩ B) ≤ min {sup A, sup B}; vii) inf(A ∩ B) ≥ max {inf A, inf B}; viii) min {a, b} = 1 2 (a + b − |a − b|); ix) max {a, b} = 1 2 (a + b + |a − b|); x) |a| = max {a, −a} = − min {a, −a}; xi) min {a, max {b, c}} = max {min {a, b}, min {a, c}}; xii) max {a, min {b, c}} = min {max {a, b}, max {a, c}}. Řešení: i) a = max M ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ a ∈ M ⇒ ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ [(b ∈ R, x ≤ b ∀x ∈ M) ⇒ a ≤ b] ⇒ ⇒ a = sup M. ii) Označme a = sup A a b = sup B. Pak platí b = sup B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ A ⇒ a ≤ b, neboť a = sup A. iii) Označme a = inf A a b = inf B. Pak platí b = inf B ⇒ x ≥ b ∀x ∈ B ⇒ x ≥ b ∀x ∈ A ⇒ a ≥ b, neboť a = inf A. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 8 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné iv) Označme a = sup A, b = sup B, c = sup (A ∪ B) a d = max {sup A, sup B}. Pak platí x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒ ⇒ [x ≤ a ≤ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ≤ d ∀x ∈ B] ⇒ ⇒ x ≤ d ∀x ∈ A ∪ B ⇒ c ≤ d. Také platí d = max {a, b} ⇒ (d = a) ∨ (d = b) podle ii) ⇒ d ≤ c ∨ d ≤ c ⇒ d ≤ c. To znamená, že c = d. v) Označme a = inf A, b = inf B, c = inf (A ∪ B) a d = min {inf A, inf B}. Pak platí x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≥ b ∀x ∈ B] ⇒ ⇒ [x ≥ a ≥ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≥ b ≥ d ∀x ∈ B] ⇒ ⇒ x ≥ d ∀x ∈ A ∪ B ⇒ c ≥ d. Také platí d = min {a, b} ⇒ (d = a) ∨ (d = b) podle iii) ⇒ d ≥ c ∨ d ≥ c ⇒ d ≤ c. To znamená, že c = d. vi) Označme a = sup A, b = sup B, c = sup (A ∩ B) a d = min {sup A, sup B}. Pak platí x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒ ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ≤ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒ ⇒ x ≤ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒ c ≤ d. vii) Označme a = inf A, b = inf B, c = inf (A ∩ B) a d = max {inf A, inf B}. Pak platí x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≥ b ∀x ∈ B] ⇒ ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ≥ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒ ⇒ x ≥ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒ c ≥ d. viii) Pro a ≥ b platí 1 2 (a + b − |a − b|) = 1 2 (a + b − a + b) = b = min {a, b} . Pro a < b platí 1 2 (a + b − |a − b|) = 1 2 (a + b + a − b) = a = min {a, b} . ix) Pro a ≥ b platí 1 2 (a + b + |a − b|) = 1 2 (a + b + a − b) = a = max {a, b} . Pro a < b platí 1 2 (a + b + |a − b|) = 1 2 (a + b − a + b) = b = max {a, b} . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 9 x) Z části viii) a ix) plyne max {a, −a} = 1 2 (a − a + |a − (−a)|) = 1 2 |2a| = |a| , − min {a, −a} = − 1 2 (a − a − |a − (−a)|) = 1 2 |2a| = |a| . xi) Zvážíme všechny možné varianty. Pro a ≥ b a a ≥ c platí max {min {a, b} , min {a, c}} = max {b, c} = min {a, max {b, c}} . Pro a < b a a < c platí max {min {a, b} , min {a, c}} = max {a, a} = a = min {a, max {b, c}} . Pro a ≥ b a a < c platí max {min {a, b} , min {a, c}} = max {b, a} = a = min {a, max {b, c}} . Pro a < b a a ≥ c platí max {min {a, b} , min {a, c}} = max {a, c} = a = min {a, max {b, c}} . xii) Zvážíme všechny možné varianty. Pro a ≥ b a a ≥ c platí min {max {a, b} , max {a, c}} = min {a, a} = a = max {a, min {b, c}} . Pro a < b a a < c platí min {max {a, b} , max {a, c}} = min {b, c} = max {a, min {b, c}} . Pro a ≥ b a a < c platí min {max {a, b} , max {a, c}} = min {a, c} = a = max {a, min {b, c}} . Pro a < b a a ≥ c platí min {max {a, b} , max {a, c}} = min {b, a} = a = max {a, min {b, c}} . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 10 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (5) Dokažte: i) max x : x = n n + 1 , n = −1, n ∈ Z = 2; ii) sup x : x = n n + 1 , n ∈ N = 1; iii) inf x : x = 1 n2 + 1 , n ∈ Z = 0; iv) max x : x = 1 n2 + 1 , n ∈ Z = 1; v) sup (A ∪ B ∪ C) = 1, kde A = x : x = n2 n2 + 1 , n ∈ Z , B = x : x = 1 n , n ∈ N , C = x : x = n − 3 2n + 1 , n ≥ 0 . Řešení: i) Pro n = −2 je x = −2 −1 = 2. Dále platí n n+1 = 1 − 1 n+1 ≤ 1+ 1 n+1 ≤ 2 pro všechna n ∈ Z \ {−1}. ii) Platí n n+1 ≤ n+1 n+1 ≤ 1 pro n ∈ N. Buď nyní ε > 0 libovolné. Zvolíme-li n ∈ N, n > 1 ε , pak n n + 1 = 1 1 + 1 n > 1 1 + ε = 1 − ε 1 + ε > 1 − ε. iii) Platí 1 n2+1 ≥ 0 pro n ∈ Z. Buď dále ε > 0 libovolné. Zvolíme-li n ∈ N, n > 1√ ε , pak 1 n2 + 1 ≤ 1 1 ε + 1 = ε 1 + ε < ε. iv) Platí 1 n2+1 ≤ 1 pro n ∈ Z. Pro n = 0 platí x = 1 0+1 = 1. v) Platí sup A = 1, sup B = 1 a sup C = 1 2 . Z Příkladu 4 části iv) plyne sup (A ∪ B ∪ C) = sup [(A ∪ B) ∪ C] = = max {sup (A ∪ B) , sup C} = = max {max {sup A, sup B} , sup C} = = max {sup A, sup B, sup C} = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 11 (6) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí tzv. distributivní zákony i) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), ii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Řešení: i) ⊆: x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇒ ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇒ ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒ ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) , ⊇: x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∨ x ∈ (B ∩ C) ⇒ ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒ ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇒ ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C. ii) ⊆: x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒ ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒ ⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) , ⊇: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒ ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒ ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 12 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (7) Určete množiny dané těmito výrazy: i) (1, ∞) ∩ (−1, 2]; ii) (0, ∞) \ (−1, 2); iii) ((−∞, −2) ∪ [−2, 0)) ∪ [0, ∞); iv) [−1, 5] ∩ [5, 100]; v) [−1, 10] ∩ [15, 20]; vi) [−1, 4) = [−1, 4) = [−1, 4)C ; vii) [1, 5) \ (0, 5]. Řešení: i) (1, ∞) ∩ (−1, 2] = (1, 2] ; ii) (0, ∞) \ (−1, 2) = [2, ∞) ; iii) ((−∞, −2) ∪ [−2, 0)) ∪ [0, ∞) = (−∞, ∞) ; iv) [−1, 5] ∩ [5, 100] = {5} ; v) [−1, 10] ∩ [15, 20] = {∅} ; vi) [−1, 4) = (−∞, −1) ∪ [4, ∞) ; vii) [1, 5) \ (0, 5] = {∅} . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 13 (8) Vyřešte kvadratickou rovnici 2x2 − x − 3 = 0 a) v R, b) v C. Řešení: Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice D = (−1)2 − 4 · 2 · (−3) = 25. Protože D > 0, rovnice má dva reálné kořeny. Ty snadno dopočítáme. x1,2 = −(−1) ± √ D 2 · 2 = 1 ± 5 4 = 3 2 , −1. Rovnice má tedy v R dva kořeny a to 3 2 a −1, stejně jako v C, neboť komplexní čísla jsou nadmnožinou čísel reálných. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 14 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (9) Vyřešte kvadratickou rovnici x2 + 4x + 4 = 0 a) v R, b) v C. Řešení: Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice D = 42 − 4 · 1 · 4 = 0. Protože D = 0, rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. Ten snadno dopočítáme. x1,2 = −4 ± √ D 2 · 1 = −2. Rovnice má tedy v R jeden dvojnásobný kořen a to −2, stejně jako v C, neboť komplexní čísla jsou nadmnožinou čísel reálných. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 15 (10) Vyřešte kvadratickou rovnici x2 − 4x + 29 = 0 a) v R, b) v C. Řešení: Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice D = (−4)2 − 4 · 1 · 29 = −100. Protože D < 0, rovnice nemá žádný reálný kořen – má dvojici komplexních kořenů. Ty dopočítáme. x1,2 = −(−4) ± √ D 2 · 1 = 4 ± √ −100 2 = 4 ± √ 100i2 2 = 4 ± 10i 2 = 2 + 5i, 2 − 5i. Rovnice tedy v R nemá žádný kořen. V C jsou jejími kořeny komplexně sdružená čísla 2 + 5i a 2 − 5i. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 16 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (11) Určete, pro která x ∈ R je výraz −2x2 + x + 3 a) nezáporný, b) kladný. Řešení: Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf – parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů. Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient (−2) záporný, je parabola otevřena dolů. Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici: D = 25 ⇒ x1,2 = 3 2 , −1. Graf tedy vypadá takto: Daný výraz je tedy nezáporný pro x ∈ −1, 3 2 a kladný pro x ∈ −1, 3 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 17 (12) Určete, pro která x ∈ R je výraz x2 + 4x + 4 a) kladný, b) nezáporný. Řešení: Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf – parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů. Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient (1) kladný, je parabola otevřena nahoru. Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici: D = 0 ⇒ x1,2 = −2. Graf tedy vypadá takto: Daný výraz je tedy kladný pro x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, ∞) a nezáporný pro x ∈ R. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 18 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (13) Určete, pro která x ∈ R je výraz x2 − 4x + 29 a) kladný, b) záporný. Řešení: Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf – parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů. Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient (1) kladný, je parabola otevřena nahoru. Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici: D = −100. Protože je diskriminant záporný, rovnice nemá žádný reálný kořen a parabola osu x nikde neprotíná. Graf tedy vypadá takto: Daný výraz je tedy kladný pro x ∈ R a nikdy není záporný, tj. můžeme říct, že je záporný pro x ∈ ∅. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 19 (14) Určete definiční obor funkce f(x) = 1 x3 − x2 + x − 1 . Řešení: Musí platit x3 − x2 + x − 1 = 0 ⇔ (x − 1) x2 + 1 = 0 ⇔ x = 1. Proto D(f) = R \ {1}. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 20 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (15) Určete definiční obor funkce f(x) = 2x2 x + |x| . Řešení: Musí platit x + |x| = 0. Nejdříve uvažme x ≥ 0, potom x + x = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0. Pro x < 0 dostaneme x − x = 0 ⇔ 0 = 0, proto definiční obor je D(f) = (0, ∞) . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 21 (16) Určete definiční obor funkce f(x) = x2 − 5x + 6. Řešení: Musí platit x2 − 5x + 6 ≥ 0. Kořeny tohoto kvadratického polynomu jsou x1 = 2 a x2 = 3. Poněvadž koeficient u druhé mocniny je kladný, má graf této kvadratické funkce podobu Proto definiční obor funkce je D(f) = (−∞, 2] ∪ [3, ∞). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 22 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (17) Určete definiční obor funkce f(x) = ln x 2x2+3x−2 . Řešení: Z logaritmu dostáváme, že x > 0. Dále ve jmenovateli nesmí být nula, tedy v definičním oboru dané funkce nejsou kořeny polynomu 2x2 + 3x − 2. Snadno určíme, že kořeny jsou x1 = −2, x2 = 1 2 . Tedy D(f) = 0, 1 2 ∪ 1 2 , ∞ . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 23 (18) Určete definiční obor funkce f(x) = 3x 2x−8 + √ 10 − x − ln(x + 2). Řešení: Zde určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik. V první části, lomeném výrazu, nesmí být ve jmenovateli nula. Tedy nutně x = 4. V druhé části musí být pod odmocninou nezáporné číslo, odtud x ≤ 10. A konečně, z logaritmu dostáváme, že x > −2. Celkem D(f) = (−2, 4) ∪ (4, 10]. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 24 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (19) Určete definiční obor funkce f(x) = ln(x2 + 4x − 5) + 2x2 √ 2x + 6 . Řešení: Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik. V první části musí platit x2 + 4x − 5 > 0. Jde o kvadratický polynom jehož grafem je parabola otevřená nahoru (vedoucí koeficient je kladný) a snadno dopočítáme, že jeho kořeny jsou −5 a 1. Graf tedy vypadá takto: Tedy x ∈ (−∞, −5) ∪ (1, ∞). V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není přípustná nula, tj. 2x + 6 > 0 ⇒ x > −3. Celkem D(f) = (1, ∞). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 25 (20) Určete definiční obor funkce f(x) = arccos 1 − 2x 4 . Řešení: Nejdříve připomeňme grafy a základní vlastnosti cyklometrických funkcí Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 26 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Proto musí platit −1 ≤ 1 − 2x 4 ≤ 1 ⇔ −4 ≤ 1 − 2x ∧ 1 − 2x ≤ 4 ⇔ ⇔ −5 ≤ −2x ∧ −2x ≤ 3 ⇔ x ≤ 5 2 ∧ x ≥ − 3 2 . Proto máme definiční obor D(f) = − 3 2 , 5 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 27 (21) Určete definiční obor funkce g(x) = arcsin x + 3 2 + x + 4 x − 2 . Řešení: Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik. V první části musí platit −1 ≥ x + 3 2 ≥ 1, −2 ≥ x + 3 ≥ 2, −5 ≥ x ≥ −1, tedy x ∈ [−5, −1]. V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není přípustná nula. Nulové body jsou přitom −4 a 2. Ty rozdělují reálnou osu na tři intervali, na nichž výraz pod odmocninou nabývá vždy stejného znaménka. Dosazením zjistíme jaká (přitom číslo 2 vůbec neuvažujeme, aby ve jmenovateli nebyla nula): (−∞, −4] [−4, 2) (2, ∞) x + 4 − + + x − 2 − − + x+4 x−2 + − + Odtud dostáváme, že x ∈ (−∞, −4] ∪ (2, ∞). Celkem D(g) = [−5, −4]. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 28 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (22) Určete definiční obor funkce f : y = arccotg x − 1 √ 1 − x + log−2 1 3 (2x + 21). Řešení: Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik. V první části jsou jediná omezení odmocnina a zlomek, tedy x < 1. V druhé části musíme vzít v úvahu jak logaritmus, tak i fakt, že je tento výraz umocněn na záporný exponent, je tedy ve jmenovateli, a proto musí být různý od nuly. Logaritmus je roven nule v jedničce, tj. 2x + 21 = 1 ⇒ x = −10. Jako poslední zbývá vyřešit už zmíněný logaritmus, do nějž lze dosazovat pouze kladná čísla, tedy 2x + 21 ≥ 0 ⇒ x ≥ − 21 2 . Celkem D(f) = − 21 2 , −10 ∪ (−10, 1) . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 29 (23) Určete definiční obor funkce f(x) = ln(1 − ex ). Řešení: Musí platit 1 − ex > 0 ⇔ 1 > ex . Graf funkce ex má podobu proto je definiční obor D(f) = (−∞, 0). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (24) Určete definiční obor funkce f(x) = cos x 5x+1 − 3 · 5x − 50 . Řešení: Musí platit 5x+1 − 3 · 5x − 50 = 0. Položme y = 5x , potom 5x+1 − 3 · 5x − 50 = 0 ⇔ 5y − 3y − 50 = 0 ⇔ 2y = 50 ⇔ ⇔ y = 25 ⇔ 5x = 25 ⇔ ⇔ 5x = 52 ⇔ x = 2. Proto máme definiční obor D(f) = R \ {2}. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 31 (25) Určete definiční obor funkce f(x) = 3x+1 sin x + cos x . Řešení: Musí platit sin x + cos x = 0 ⇔ sin x + sin x + π 2 = 0 ⇔ ⇔ 2 sin x + x + π 2 2 · cos x − x − π 2 2 = 0 ⇔ ⇔ 2 sin x + π 4 · cos − π 4 = 0 ⇔ ⇔ √ 2 sin x + π 4 = 0 ⇔ ⇔ sin x + π 4 = 0 ⇔ ⇔ x + π 4 = kπ, k ∈ Z ⇔ ⇔ x = − π 4 + kπ, k ∈ Z ⇔ ⇔ x = 3π 4 + kπ, k ∈ Z. Proto máme definiční obor D(f) = R \ k∈Z 3π 4 + kπ . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 32 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (26) Určete definiční obor funkce f(x) = x − cos x 2 sin2 x + 3 cos x . Řešení: Musí platit 2 sin2 x + 3 cos x = 0 ⇔ 2 1 − cos2 x + 3 cos x = 0 ⇔ ⇔ −2 cos2 x + 3 cos x + 2 = 0 cos x=y ⇔ cos x=y ⇔ −2y2 + 3y + 2 = 0 ⇔ ⇔ y1 = 2, y2 = − 1 2 ∧ cos x = y ⇔ ⇔ cos x = 2 (vždy) , cos x = − 1 2 ⇔ ⇔ x = 2π 3 + 2kπ ∧ x = 4π 3 + 2kπ, k ∈ Z. Proto máme definiční obor D(f) = R \ k∈Z 2 3 π + 2kπ, 4 3 π + 2kπ . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 33 (27) Dokažte, že pro x > 0 platí arctg x = arccotg 1 x . Řešení: Položme u = arctg x a v = arccotg 1 x . Potom platí u ∈ 0, π 2 a v ∈ 0, π 2 . Musíme ukázat, že u = v. Proto tg u = x ∧ cotg v = 1 x ⇔ tg u = x ∧ 1 tg v = 1 x ⇔ ⇔ tg u = x ∧ tg v = x ⇔ ⇔ tg u = x = tg v ⇔ ⇔ u = v. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 34 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (28) Načrtněte graf libovolné nekonstantní funkce f a k němu grafy funkcí −f(x), f(−x), f(x) + b, f(x − a), k · f(x), f(m · x). Řešení: Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 35 Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 36 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 37 (29) Načrtněte graf funkce (i)y = x2 , (ii)y = −x2 , (iii)y = (−x)2 . Řešení: Obrázek 1. Řešení (i) a (iii). Obrázek 2. Řešení (ii). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 38 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (30) Načrtněte graf funkce (i)y = (x + 1)2 , (ii)y = x2 + 1, (iii)y = (1 − x)3 . Řešení: Obrázek 3. Řešení (i). Obrázek 4. Řešení (ii). Obrázek 5. Řešení (iii). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 39 (31) Načrtněte graf funkce (i)y = 2 − √ x, (ii)y = 1 3−x − 1. Řešení: Obrázek 6. Řešení (i). Obrázek 7. Řešení (ii). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 40 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (32) Načrtněte graf funkce (i)y = ln(x − 3), (ii)y = 2 + e1−x . Řešení: Obrázek 8. Řešení (i). Obrázek 9. Řešení (ii). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 41 (33) Načrtněte graf funkce (i)y = sin x, (ii)y = sin(3x), (iii)y = sin x 5 , (iv)y = 2 sin x. Řešení: Obrázek 10. Řešení (i). Obrázek 11. Řešení (ii). Obrázek 12. Řešení (iii). Obrázek 13. Řešení (iv). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 42 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (34) Načrtněte graf funkce (i)y = sin(x − 1), (ii)y = 3 + sin x, (iii)y = tg(3x). Řešení: Obrázek 14. Řešení (i). Obrázek 15. Řešení (ii). Obrázek 16. Řešení (iii). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 43 (35) Načrtněte graf funkce f(x) = 1 2 x2 − 4x + 5. Řešení: Nejdříve upravíme zadání do tvaru f(x) = 1 2 x2 − 4x + 5 ⇔ f(x) = 1 2 x2 − 8x + 10 ⇔ ⇔ f(x) = 1 2 (x − 4)2 − 6 ⇔ ⇔ f(x) = 1 2 (x − 4)2 − 3. Nyní můžeme využít Příklad 28 a graf funkce f(x) načrtnout díky znalosti grafu funkce x2 , proto Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 44 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (36) Načrtněte grafy funkcí f1(x) = |x| + 1 a f2(x) = 2 |x − 1| + |x| + 2. Řešení: Pomocí řešení Příkladu 28 můžeme ze znalosti grafu funkce |x| načrtnout graf funkce f1(x), tj. Nyní načrtneme graf funkce f2(x). Nejdříve určíme nulové body jednotlivých absolutních hodnot, tj. x1 = −1 a x2 = 0. Tyto body nám rozdělí reálnou osu na tři subintervaly. Proto x ∈ (−∞, 0] ⇒ f2(x) = −2(x − 1) − x + 2 = −3x + 4, x ∈ (0, 1] ⇒ f2(x) = −2(x − 1) + x + 2 = −x + 4, x ∈ (1, ∞) ⇒ f2(x) = 2(x − 1) + x + 2 = 3x. Na jednotlivých subintervalech je graf funkce tvořen přímkami, které prochází postupně body [−1, 7], [0, 4], [1, 3] a [2, 6], tj. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 45 Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 46 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (37) Načrtněte graf funkce f(x) = log 10 2 − x . Řešení: Je zřejmé, že definiční obor funkce je D(f) = (−∞, 2). Upravíme zadání funkce, tj. f(x) = log 10 2 − x ⇔ f(x) = log 10 − log(2 − x) ⇔ ⇔ f(x) = 1 − log [− (x − 2)] ⇔ ⇔ f(x) = − log [− (x − 2)] + 1. Ještě určíme průsečík s osou x, tj. 0 = − log [− (x − 2)] + 1 ⇔ 1 = log(2 − x) ⇔ 10 = 2 − x ⇔ ⇔ x = −8. Proto s pomocí Příkladu 28 můžeme načrtnou graf funkce f(x), tj. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 47 (38) Načrtněte graf funkce f(x) = 2 sin 3x − π 4 − 1. Řešení: Pro snažší náčrt nejdříve určíme průsečík s osou x, tj. 2 sin 3x − π 4 − 1 = 0 ⇔ sin 3x − π 4 = 1 2 ⇔ ⇔ 3x − π 4 = π 6 + 2kπ nebo 3x − π 4 = 7π 6 + 2kπ, k ∈ Z ⇔ ⇔ x = 5π 36 + 2kπ 3 nebo x = 17π 36 + 2kπ 3 , k ∈ Z. Osa grafu funkce se posune do y = −1, proto určíme i průsečíky s touto osou, tj. 2 sin 3x − π 4 − 1 = −1 ⇔ sin 3x − π 4 = 0 ⇔ ⇔ 3x − π 4 = kπ, k ∈ Z ⇔ ⇔ x = π 12 + kπ 3 , k ∈ Z. Tedy hledaný graf funkce f(x) má podobu Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 48 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (39) Načrtněte graf funkce y(x) = 3 2 arcsin − 1 2 x + 1 − π. Řešení: S pomocí Příkladu 28 dostaneme Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 49 (40) Rozhodněte o paritě funkcí (je daná funkce sudá či lichá?) i) f1(x) = 2; ii) f2(x) = x2 1+x2 ; iii) f3(x) = √ x; iv) f4(x) = ln 1−x 1+x ; v) f5(x) = sin x + cos x; vi) f6(x) = x cosh x. Jak se mění parita funkce vzhledem k součtu, rozdílu, součinu a podílu? Řešení: i) f1(x) = 2 ⇒ f1(−x) = 2 ⇒ sudá funkce, ii) f2(x) = x2 1+x2 ⇒ f2(−x) = (−x)2 1+(−x)2 = x2 1+x2 ⇒ sudá funkce, iii) f3(x) = √ x ⇒ f3(−x) = √ −x neexistuje ⇒ funkce není sudá ani lichá, iv) f4(x) = ln 1−x 1+x ⇒ f4(−x) = ln 1+x 1−x = ln 1−x 1+x −1 = = − ln 1−x 1+x ⇒ lichá funkce, v) f5(x) = sin x + cos x ⇒ f5(−x) = sin(−x) + cos(−x) = = − sin x + cos x ⇒ funkce není sudá ani lichá, vi) Nyní si připomene definice hyperbolických funkcí a jejich grafy, tj. sinh x = ex − e−x 2 , cosh x = ex + e−x 2 , tgh x = sinh x cosh x a Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 50 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Potom dostaneme f6(x) = x cosh x ⇒ f6(−x) = −x cosh(−x) = −x cosh x ⇒ lichá funkce. Označme „S“ sudou funkci a „L“ lichou funkci. Pak platí: S ± S, S · S, L · L, S S , L L jsou sudé funkce, L ± L, S · L, L · S, S L , L S jsou liché funkce. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 51 (41) Určete inverzní funkci f(x) = x − 2 x + 2 . Řešení: Z rovnice y = x − 2 x + 2 musíme vyjádřit x, potom přeznačením y x dostaneme hledaný předpis pro inverzní funkci. Proto y = x − 2 x + 2 ⇔ y(x + 2) = x − 2 ⇔ x(y − 1) = −2(y + 1) ⇔ ⇔ x = −2(y + 1) y − 1 ⇔ f−1 (x) = −2(x + 1) x − 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 52 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (42) Určete inverzní funkci f(x) = 1 + log(x + 2). Řešení: Z rovnice y = 1 + log(x + 2) musíme vyjádřit x, potom přeznačením y x dostaneme hledaný předpis pro inverzní funkci. Proto y = 1 + log(x + 2) ⇔ y − 1 = log(x + 2) ⇔ 10y−1 = x + 2 ⇔ ⇔ x = 10y−1 − 2 ⇔ f−1 (x) = 10x−1 − 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 53 (43) Určete inverzní funkci f(x) =    x, x < 1; x2 , x ∈ [1, 4]; 2x , x > 4. Řešení: Přímým výpočtem dostaneme výsledek f−1 (x) =    x, x < 1; √ x, x ∈ [1, 16]; log2 x, x > 16. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 54 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (44) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce F(x) = 3 sin(x3 + 3). Řešení: Složky jsou f(x) = 3 √ x, g(x) = sin x, h(x) = x3 + 3. Daná funkce je z nich složena takto: F(x) = f(g(h(x))) = (f ◦ g ◦ h)(x). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 55 (45) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce F(x) = log2 tg(2 + x). Řešení: Složky jsou f(x) = log2 x, g(x) = √ x, h(x) = tg x, l(x) = 2 + x. Daná funkce je z nich složena takto: F(x) = f(g(h(l(x)))) = (f ◦ g ◦ h ◦ l)(x). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 56 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (46) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce a)F(x) = cotg5 x, b)G(x) = cos x7 . Řešení: a) Složky jsou f(x) = cotg x, g(x) = x5 . Daná funkce je z nich složena takto: F(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x). b) Složky jsou f(x) = cos x, g(x) = x7 . Daná funkce je z nich složena takto: F(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 57 (47) Vypočtěte f(x), jestliže f 1 x = x + √ 1 + x2. Řešení: Musíme za x dosadit takovou hodnotu, aby na levé straně rovnice f(1 x ) = x + √ 1 + x2 zůstala pouze „nějaká“ proměnná, zbytek dostaneme pouze přeznačením. Zvolme x = 1 t , potom máme f 1 1 t = f(t) = 1 t + 1 + 1 t 2 = sgn(t) |t| + √ 1 + t2 |t| = sgn(t) + √ 1 + t2 |t| . Nyní položíme t x a dostaneme řešení f(x) = sgn(x) + √ 1 + x2 |x| . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 58 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (48) Vypočtěte f(x), jestliže f x x+1 = x2 . Řešení: Využijeme postup z Příkladu 47. Musíme najít vhodnou hodnotu x. Proto musíme vyřešit rovnici x x + 1 = t ⇔ x = t t − 1 . Nyní zvolíme x = t t−1 , potom f t t−1 t t−1 + 1 = f(t) = t t − 1 2 . Pro t x jsme našli funkční předpis ve tvaru f(x) = x 1 − x 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 59 (49) Vyřešte nerovnici 2x + 1 x − 3 + 1 ≤ 1. Řešení: Nejdříve nerovnost upravíme 2x + 1 x − 3 + 1 ≤ 1 ⇔ 2x + 1 + x − 3 x − 3 ≤ 1 ⇔ ⇔ 3x − 2 x − 3 ≤ 1 ⇔ |3x − 2| ≤ |x − 3| . Nulové body absolutních hodnot jsou x1 = 2 3 a x2 = 3. Tímto se nám rozdělí reálná osa na tři subintervaly, na kterých budeme muset vyřešit nerovnici zvlášť. Proto x ∈ −∞, 2 3 : −3x + 2 ≤ −x + 3 ⇔ x ≥ − 1 2 ⇒ x ∈ − 1 2 , 2 3 , x ∈ 2 3 , 3 : 3x − 2 ≤ −x + 3 ⇔ x ≤ 5 4 ⇒ x ∈ 2 3 , 5 4 , x ∈ (3, ∞) : 3x − 2 ≤ x − 3 ⇔ x ≤ − 1 2 ⇒ x ∈ {∅} . Proto řešením je interval x ∈ −1 2 , 5 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 60 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (50) Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich průměru geometrickému. Řešení: Jinými slovy máme dokázat, že platí a + b 2 ≥ √ ab, a ≥ 0, b ≥ 0. To plyne z této úvahy √ a − √ b 2 ≥ 0 ⇔ a − 2 √ ab + b ≥ 0 ⇔ ⇔ a + b ≥ 2 √ ab ⇔ a + b 2 ≥ √ ab. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 61 (51) Pomocí matematické indukce dokažte, že platí Bernoulliova nerovnost (1 + x)n ≥ 1 + nx, kde n ∈ N, n > 1, x > −1. Řešení: Nerovnost dokážeme pomocí matematické indukce, proto vezme první možnou hodnotu n, tj. n = 2, a ukážeme, že je nerovnost splněna, proto (1 + x)2 ≥ 1 + 2x ⇔ 1 + 2x + x2 ≥ 1 + 2x ⇔ x2 ≥ 0. Uděláme indukční krok, proto předpokládejme, že rovnost platí pro nějaké n ∈ N \ {1}, tj. (1 + x)n ≥ 1 + nx. Teď ukážeme, že nerovnost platí i pro n + 1. Proto (1 + x)n ≥ 1 + nx / · (1 + x) > 0 ⇒ ⇒ (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx) (1 + x) = 1 + nx + x + nx2 ⇒ nx2≥0 ⇒ (1 + x)n+1 ≥ 1 + nx + x ⇒ ⇒ (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x. Tedy i pro n + 1 je nerovnice splněna. Tím jsme dokázali Bernoulliovu nerovnost. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 62 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (52) Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n ∈ N platí 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 . Řešení: Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n = 1, tj. 1 = 1 · 2 2 . Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n ∈ N. Pak pro n + 1 dostaneme 1 + 2 + · · · + n + n + 1 = n(n + 1) 2 + n + 1 = n(n + 1) + 2n + 2 2 = = n2 + 3n + 2 2 = (n + 1) (n + 2) 2 , čímž je identita dokázána. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 63 (53) Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n ∈ N platí n i=1 i3 = n2 (n + 1)2 4 . Řešení: Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n = 1, tj. 1 i=1 i3 = 1 = 12 (1 + 1)2 4 = 1 · 4 4 = 1. Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n ∈ N. Pak pro n + 1 dostaneme n+1 i=1 i3 = n i=1 i3 + (n + 1)3 = n2 (n + 1)2 4 + 4(n + 1)3 4 = = (n + 1)2 n2 + 4n + 4 4 = (n + 1)2 (n + 2)2 4 , čímž je identita dokázána. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 64 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Rozklad na parciální zlomky • Lomená racionální funkce P1(x) Q1(x) ; • má-li polynom v čitateli stejný, nebo vyšší stupeň než polynom ve jmenovateli, provedeme dělení polynomů – tím získáme polynom a ryze lomenou racionální funkci P(x) Q(x) (tj., st P < st Q); • určíme reálné kořeny polynomu Q(x) (pomocí Hornerova schématu, vzorců, vytýkáním či jinými úpravami) a zapíšeme Q(x) jakou součin lineárních polynomů ve tvaru x − x0, kde x0 je reálný kořen, a kvadratických polynomů ve tvaru (x − a)2 + b2 , které nemají reálné kořeny; • zapíšeme P(x) Q(x) pomocí parciální zlomků s neurčitými koeficienty, přičemž jednoduchému reálnému kořenu x0, tj. členu x − x0, odpovídá parciální zlomek ve tvaru A x − x0 , jednoduchému komplexnímu kořenu a + ib, tj. členu (x − a)2 + b2 , odpovídá parciální zlomek Bx + C (x − a)2 + b2 , pro k-násobný reálný kořen x0, tj. pro člen (x − x0)k , odpovídá k parciálních zlomků A1 x − x0 + A2 (x − x0)2 + · · · + Ak (x − x0)k a pro k-násobný komplexní kořen a+ib, tj. pro člen [(x−a)2 +b2 ]k , odpovídá k parciálních zlomků ve tvaru B1x + C1 (x − a)2 + b2 + B2x + C2 [(x − a)2 + b2]2 + · · · + Bkx + Ck [(x − a)2 + b2]k ; • metodou neurčitých koeficientů (příp. s pomocí dosazení některých kořenů) určíme všechny neznámé koeficienty v čitatelích parciálních zlomků. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 65 (54) Rozložte na parciální zlomky 3x2 − 5x + 8 x3 − 2x2 + x − 2 . Řešení: Nejdříve musíme rozložit jmenovatele na součin, tj. učit kořeny. K tomu můžeme využít tzv. Hornerovo schéma (viz později) nebo některou z elementárních úprav, proto x3 − 2x2 + x − 2 = x2 (x − 2) + x − 2 = x2 + 1 (x − 2) . Proto rozklad na parciální zlomky musí vypadat takto 3x2 − 5x + 8 x3 − 2x2 + x − 2 = Ax + B x2 + 1 + C x − 2 . Pro další výpočet musíme obě strany rovnice vynásobit jmenovatelem původního zlomku, proto 3x2 − 5x + 8 = (Ax + B) (x − 2) + Cx2 + C, 3x2 − 5x + 8 = Ax2 − 2Ax + Bx − 2B + Cx2 + C. Pro určení jednotlivých koeficientů lze využít dosazení jednotlivých kořenů (zde pouze x = 2), ovšem takovým způsobem dostaneme všechny hledané koeficienty pouze v případě jednoduchých reálných kořenů. Druhou možností je tzv. metoda neurčitých koeficientů, kdy porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin x, tj. x2 : 3 = A + C, x1 : −5 = −2A + B, x0 (koeficienty bez x) : 8 = −2B + C. Tím jsme obdrželi soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou lze vyřešit přímo (metodami známých ze střední školy nebo pomocí matic). Řešením jsou hodnoty A = 1, B = −3 a C = 2. Tedy hledaný rozklad je tvaru 3x2 − 5x + 8 x3 − 2x2 + x − 2 = 2 x − 2 + x − 3 x2 + 1 . Při hledání je možné použít i kombinaci obou popsaných metod – část koeficientů získat dosazením kořenů a zbytek metodou neurčitých koeficientů, kde bude nutné již vyřešit nižší počet rovnic. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (55) Rozložte na parciální zlomky 1 x3 + 1 . Řešení: Rozložením jmenovatele (buď se znalostí vhodného vzorce nebo z faktu, že x = −1 je kořen tohoto polynomu, a dále pomoci dělení dvou polynomů) obdržíme x3 + 1 = (x + 1) x2 − x + 1 . Proto rozklad musí vypadat takto 1 x3 + 1 = A x + 1 + Bx + C x2 − x + 1 , což vede k rovnici 1 = Ax2 − Ax + A + Bx2 + Bx + Cx + C. Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu x2 : 0 = A + B, x1 : 0 = −A + B + C, x0 : 1 = A + C, jejímž řešením je trojice A = 1 3 , B = −1 3 a C = 2 3 . Proto máme 1 x3 + 1 = 1 3 x + 1 + −1 3 x + 2 3 x2 − x + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 67 (56) Rozložte na parciální zlomky 1 x3(x + 1) . Řešení: Jmenovatel je již ve tvaru požadovaného součinu, proto rozklad musí vypadat takto 1 x3(x + 1) = A x + B x2 + C x3 + D x + 1 , z čehož obdržíme rovnici 1 = Ax3 + Ax2 + Bx2 + Bx + Cx + C + Dx3 . Tedy metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu x3 : 0 = A + D, x2 : 0 = A + B, x1 : 0 = B + C, x0 : 1 = C, jejímž řešením je čtveřice A = 1, B = −1, C = 1 a D = −1. Proto hledaný rozklad je tvaru 1 x3(x + 1) = 1 x3 − 1 x2 + 1 x − 1 x + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 68 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (57) Rozložte na parciální zlomky x2 − 2 x4 − 2x3 + 2x2 . Řešení: Jmenovatel upravíme do tvaru x4 − 2x3 + 2x2 = x2 x2 − 2x + 2 , proto parciální zlomky musí být ve tvaru x2 − 2 x4 − 2x3 + 2x2 = A x + B x2 + Cx + D x2 − 2x + 2 . Úpravou dostaneme rovnici x2 − 2 = Ax3 − 2Ax2 + 2Ax + Bx2 − 2Bx + 2B + Cx3 + Dx2 , což nám metodou neurčitých koeficientů dá soustavu rovnic x3 : 0 = A + C, x2 : 1 = −2A + B + D, x1 : 0 = 2A − 2B, x0 : −2 = 2B. Řešením soustavy je čtveřice A = −1, B = −1, C = 1 a D = 0, proto hledaný rozklad je tvaru x2 − 2 x4 − 2x3 + 2x2 = − 1 x − 1 x2 + x x2 − 2x + 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 69 (58) Rozložte na parciální zlomky x3 + 3x2 + 4 x3 + x − 2 . Řešení: Poněvadž jsou stupně obou polynomů (alespoň) stejné, musíme nejdříve zadaný podíl upravit tak, abychom dostali ryzí racionální lomenou funkci, tj. x3 + 3x2 + 4 : x3 + x − 2 = 1 + 3x2 − x + 6 x3 + x − 2 . − x3 + x − 2 3x2 − x + 6 Nyní musíme rozložit jmenovatele x3 + x − 2 na součin. Má-li polynom celočíselné kořeny, musí to být dělitelé absolutního členu. Má-li polynom racionální kořen (tj. ve tvaru zlomku), je čitatel zlomku tvořen dělitelem absolutního člene polynomu a jmenovatel tohoto kořene je dělitelem koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu. Tuto skutečnost využijeme při aplikování Hornerova schématu, kde postupujeme takto: • Nejprve sepíšeme do tabulky koeficienty studovaného polynomu. (Přitom nesmíme zapomenout na možné nulové koeficienty.) x3 x2 x1 x0 1 0 1 -2 • Tabulku rozšíříme o jeden sloupec, do něhož budeme psát kandidáty na kořeny. kand. 1 0 1 -2 2 • První (vedoucí) koeficient polynomu sepíšeme do řádku s kandidátem na kořen. kand. 1 0 1 -2 2 1 • Nyní nastupuje hlavní část – doplnění zbylých polí druhého řádku tabulky. kand. 1 0 1 -2 2 1 2 · 1 + 0 = 2 • Tím dostaneme tabulku kand. 1 0 1 -2 2 1 2 2 · 2 + 1 = 5 2 · 5 - 2 = 8 • Protože poslední číslo v druhém řádku je různé od nuly, číslo 2 není kořenem studovaného polynomu x3 +x−2. (Poznamenejme, že tato pozice obsahuje funkční hodnotu studovaného polynomu v testovaném čísle.) • Druhý řádek tabulky vymažeme (v zápise na papír ho škrtáme a rozšíříme tabulku o volný řádek) a otestujeme v něm dalšího kandidáta na kořen. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 70 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné kand. 1 0 1 -2 1 1 1 2 0 • Poslední pozice druhého řádku je nulová, což znamená, že studovaný polynom nabývá v čísle 1 hodnoty 0. Číslo 1 je tedy kořenem polynomu x3 +x−2. Ostatní čísla (tj. mimo prvního a posledního) v druhém řádku tabulky navíc udávají koeficienty polynomu vzniklého vydělením studovaného polynomu kořenovým činitelem právě nalezeného kořene. kand. 1 0 1 -2 1 1 1 2 0 – x2 x1 x0 – • Shrňme si předchozí postup do jediné tabulky. – x3 x2 x1 x0 kand. 1 0 1 -2 2 1 2 · 1 + 0 = 2 5 8 1 1 1 2 0 – x2 x1 x0 – Tímto postupem jsme dostali x3 + x − 2 = (x − 1) x2 + x + 2 . Proto rozklad musí být 3x2 − x + 6 x3 + x − 2 = A x − 1 + Bx + C x2 + x + 2 , z čehož dostaneme rovnici 3x2 − x + 6 = Ax2 + Ax + 2A + Bx2 − Bx + Cx − C, neboli x2 : 3 = A + B, x1 : −1 = A − B + C, x0 : 6 = 2A − C. Řešením této soustavy je čtveřice A = 2, B = 1 a C = −2, proto hledaný rozklad je ve tvaru x3 + 3x2 + 4 x3 + x − 2 = 1 + 2 x − 1 + x − 2 x2 + x + 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 71 (59) Rozložte na parciální zlomky x + 1 x5 + 3x3 + 2x . Řešení: Nejdříve upravíme jmenovatele, tj. x5 +3x3 +2x = x x4 + 3x2 + 2 . S využitím substituce y = x2 dostaneme kvadratickou rovnici y2 + 3y + 2 s řešeními y1 = −1 a y2 = −2. Proto jmenovatele můžeme rozložit do tvaru x x2 + 1 x2 + 2 . Hledaný rozklad tedy musí být ve tvaru x + 1 x5 + 3x3 + 2x = A x + Bx + C x2 + 2 + Dx + E x2 + 1 , z čehož dostaneme rovnici x + 1 = Ax4 + 3Ax2 + 2A + Bx4 + Bx2 + Cx3 + Cx + Dx4 + 2Dx2 + Ex3 + 2Ex. Odtud metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic x4 : 0 = A + B + D, x3 : 0 = C + E, x2 : 0 = 3A + B + 2D, x1 : 1 = C + 2E, x0 : 1 = 2A a její řešení A = 1 2 , B = 1 2 , C = −1, D = −1 a E = 1. Tím jsme získali rozklad na parciální zlomky x + 1 x5 + 3x3 + 2x = 1 2x + 1 2 · x − 2 x2 + 2 + 1 − x x2 + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 72 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (60) Rozložte na parciální zlomky x − 4 x4 + 8x . Řešení: Upravíme jmenovatele do tvaru x4 + 8x = x x3 + 8 a s pomocí Hornerova schématu 1 0 0 8 -2 1 -2 4 0 zjistíme, že x = −2 je také kořenem a další rozklad je ve tvaru x4 + 8x = x x3 + 8 = x (x + 2) x2 − 2x + 4 , proto rozklad bude mít podobu x − 4 x4 + 8x = A x + B x + 2 + Cx + D x2 − 2x + 4 . Odtud dostaneme rovnici x − 4 =Ax3 − 2Ax2 + 4Ax + 2Ax2 − 4Ax + 8A + Bx3 − 2Bx2 + 4Bx+ + Cx3 + 2Cx2 + Dx2 + 2Dx. Metodou neurčitých koeficientů získáme soustavu x3 : 0 = A + B + C, x2 : 0 = −2A + 2A − 2B + 2C + D, x1 : 1 = 4A − 4A + 4B + 2D, x0 : −4 = 8A s řešeními A = −1 2 , B = 1 4 , C = 1 4 a D = 0. Proto hledaný rozklad je ve tvaru x − 4 x4 + 8x = − 1 2x + 1 4 x + 2 + 1 4 x x2 − 2x + 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 73 (61) Rozložte na parciální zlomky 2x4 − x3 + x2 + 3x + 3 x2 − 1 . Řešení: Nejdříve získáme ryzí racionální funkci, tj. 2x4 − x3 + x2 + 3x + 3 : x2 − 1 = 2x2 − x + 3 + 2x + 6 x2 − 1 . − 2x4 + 2x2 − x3 + 3x2 + 3x + 3 − −x3 + x 3x2 + 2x + 3 − 3x2 − 3 2x + 6 Poněvadž platí x2 − 1 = (x − 1) (x + 1), bude rozklad ve tvaru 2x + 6 x2 − 1 = A x + 1 + B x − 1 , což vede k rovnici 2x + 6 = Ax − A + Bx + B. S využitím metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu x1 : 2 = A + B, x0 : 6 = B − A s řešením A = −2 a B = 4. Řešením je tedy rozklad 2x4 − x3 + x2 + 3x + 3 x2 − 1 = 2x2 − x + 3 − 2 x + 1 + 4 x − 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 74 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (62) Rozložte na parciální zlomky 2x − 1 2x4 + x3 + x2 . Řešení: Úpravou jmenovatele obdržíme 2x4 + x3 + x2 = x2 2x2 + x + 1 , proto musí být rozklad ve tvaru 2x − 1 2x4 + x3 + x2 = A x + B x2 + Cx + D 2x2 + x + 1 , což vede na rovnici 2x − 1 = 2Ax3 + Ax2 + Ax + 2Bx2 + Bx + B + Cx3 + Dx2 . Pomocí metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu x3 : 0 = 2A + C, x2 : 0 = A + 2B + D, x1 : 2 = A + B, x0 : −1 = B a její řešení A = 3, B = −1, C = −6 a D = −1. Proto hledaný rozklad je ve tvaru 2x − 1 2x4 + x3 + x2 = 3 x − 1 x2 − 6x + 1 2x2 + x + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 75 (63) Rozložte na parciální zlomky −5x + 2 x4 − x3 + 2x2 . Řešení: Upravíme jmenovatele do tvaru součinu, tj. x4 − x3 + 2x2 = x2 x2 − x + 2 , proto bude rozklad mít podobu −5x + 2 x4 − x3 + 2x2 = A x + B x2 + Cx + D x2 − x + 2 . Odtud dostaneme rovnici −5x + 2 = Ax3 − Ax2 + 2Ax + Bx2 − Bx + 2B + Cx3 + Dx2 , což nás metodou neurčitých koeficientů přivede k soustavě x3 : 0 = A + C, x2 : 0 = −A + B + D, x1 : −5 = 2A − B, x0 : 2 = 2B s řešením A = −2, B = 1, C = 2 a D = −3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru −5x + 2 x4 − x3 + 2x2 = − 2 x + 1 x2 + 2x − 3 x2 − x + 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 76 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (64) Rozložte na parciální zlomky 2x2 + 4x + 9 x3 + 3x2 + 3x + 2 . Řešení: S pomocí Hornerova schématu dostaneme 1 3 3 2 -2 1 1 1 0 proto platí x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2) x2 + x + 1 . Tedy rozklad bude ve tvaru 2x2 + 4x + 9 x3 + 3x2 + 3x + 2 = A x + 2 + Bx + C x2 + x + 1 , což vede k rovnici 2x2 + 4x + 9 = Ax2 + Ax + A + Bx2 + 2Bx + Cx + 2C. Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu x2 : 2 = A + B, x1 : 4 = A + 2B + C, x0 : 9 = A + 2C s řešením A = 3, B = −1 a C = 3. Hledaný rozklad je tedy tvaru 2x2 + 4x + 9 x3 + 3x2 + 3x + 2 = 3 x + 2 + −x + 3 x2 + x + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 77 (65) Rozložte na parciální zlomky 9x3 − 4x + 1 x4 − x2 . Řešení: Upravíme jmenovatele do tvaru x4 − x2 = x2 x2 − 1 = x2 (x − 1) (x + 1), proto rozklad bude ve tvaru 9x3 − 4x + 1 x4 − x2 = A x + B x2 + C x + 1 + D x − 1 . Odtud dostaneme rovnici ve tvaru 9x3 − 4x + 1 = Ax3 − Ax + Bx2 − B + Cx3 + Dx3 + Dx2 . Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu x3 : 9 = A + C + D, x2 : 0 = B − C + D, x1 : −4 = −A, x0 : 1 = −B s řešením A = 4, B = −1, C = 2 a D = 3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru 9x3 − 4x + 1 x4 − x2 = 4 x − 1 x2 + 2 x + 1 + 3 x − 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 78 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (66) Rozložte na parciální zlomky x2 − x + 10 (x2 − 3x + 10)2 . Řešení: Jmenovatele již nelze nijak rozložit, proto rozklad musí být v tomto tvaru x2 − x + 10 (x2 − 3x + 10)2 = Ax + B x2 − 3x + 10 + Cx + D (x2 − 3x + 10)2 , což vede na rovnici x2 − x + 10 = Ax3 + 3Ax2 + 10Ax + Bx2 − 3Bx + 10B + Cx + D. Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic x3 : 0 = A, x2 : 1 = 3A + B, x1 : −1 = 10A − 3B + C, x0 : 10 = 10B + D s řešením A = 0, B = 1, C = 2 a D = 0. Proto hledaný rozklad je tvaru x2 − x + 10 (x2 − 3x + 10)2 = 1 x2 − 3x + 10 + 2x (x2 − 3x + 10)2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 79 (67) Rozložte na parciální zlomky 1 x6 + 2x4 + x2 . Řešení: Nejdříve upravíme jmenovatele do tvaru x6 + 2x4 + x2 = x2 x4 + 2x2 + 1 = x2 x2 + 1 2 . Proto bude rozklad ve tvaru 1 x6 + 2x4 + x2 = A x + B x2 + Cx + D x2 + 1 + Ex + F (x2 + 1)2 , z čehož obdržíme rovnici 1 = Ax5 + 2Ax3 + Ax + Bx4 + 2Bx2 + B + Cx5 + Cx3 + Dx4 + Dx2 + Ex3 + Fx2 . Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu x5 : 0 = A + C, x4 : 0 = B + D, x3 : 0 = 2A + C + E, x2 : 0 = 2B + D + F, x1 : 0 = A, x0 : 1 = B a řešení A = 0, B = 1, C = 0, D = −1, E = 0 a F = −1. Tedy hledaný rozklad je ve tvaru 1 x6 + 2x4 + x2 = 1 x2 − 1 x2 + 1 − 1 (x2 + 1)2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 80 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (68) Rozložte na parciální zlomky 5x7 + 12x6 + 24x5 + 19x4 + 8x3 + 4x2 + 3x + 1 x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3 . Řešení: Pomocí vytýkání upravíme jmenovatele do tvaru x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3 = x3 x5 + 3x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 1 . S využitím Hornerova schématu 1 3 5 5 3 1 -1 1 2 3 2 1 0 můžeme psát x8 +3x7 +5x6 +5x5 +3x4 +x3 = x3 x5 + 3x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 1 = x3 (x + 1) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 Proto rozklad bude ve tvaru 5x7 + 12x6 + 24x5 + 19x4 + 8x3 + 4x2 + 3x + 1 x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3 = A x + B x2 + C x3 + D x + 1 + + Ex + F x2 + x + 1 + Gx + H (x2 + x + 1)2 , což vede na rovnici 5x7 + 12x6 + 24x5 + 19x4 + 8x3 + 4x2 + 3x + 1 = = Ax7 + 3Ax6 + 5Ax5 + 5Ax4 + 3Ax3 + Ax2 + Bx6 + 3Bx5 + 5Bx4 + + 5Bx3 + 3Bx2 + Bx + Cx5 + 3Cx4 + 5Cx3 + 5Cx2 + 3Cx + C+ + Dx7 + 2Dx6 + 3Dx5 + 2Dx4 + Dx3 + Ex7 + 2Ex6 + 2Ex5 + Ex4 + + Fx6 + 2Fx5 + 2Fx4 + Fx3 + Gx5 + Gx4 + Hx4 + Hx3 . Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu x7 : 5 = A + D + E, x6 : 12 = 3A + B + 2D + 2E + F, x5 : 24 = 5A + 3B + C + 3D + 2E + 2F + G, x4 : 19 = 5A + 5B + 3C + 2D + E + 2F + G + H, x3 : 8 = 3A + 5B + 5C + D + F + H, x2 : 4 = A + 3B + 5C, x1 : 3 = B + 3C, x0 : 1 = C Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 81 s řešením A = −1, B = 0, C = 1, D = 4, E = 2, F = 3, G = 6 a H = −1. Proto hledaný rozklad je ve tvaru 5x7 + 12x6 + 24x5 + 19x4 + 8x3 + 4x2 + 3x + 1 x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3 = = − 1 x + 1 x3 + 4 x + 1 + 2x + 3 x2 + x + 1 + 6x − 1 (x2 + x + 1)2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 82 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 2. Limity posloupností a funkcí Limita posloupnosti Definice 3. Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A (píšeme limn→∞ an = A), jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − A| < ε, nebo-li ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Definice 4. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ±∞ (píšeme limn→∞ an = ±∞), jestliže ke každému A ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an > A (an < A), nebo-li ∀A > 0 (A < 0) ∃n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí an > A (an < A). Pokud limn→∞an = A a limn→∞bn = B, kde A, B ∈ R, platí následující pravidla pro počítání s limitami: limn→∞ |an| = |A| , limn→∞(an + bn) = A + B, limn→∞(an · bn) = A · B. Jestliže navíc B = 0, pak platí limn→∞ an bn = A B . Důležité vzorce: lim n→∞ 1 + 1 n n = e, lim n→∞ n √ n = 1, lim n→∞ ohraničená posloupnost posloupnost jdoucí do ± ∞ = 0. Neučité výrazy: ∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 · (±∞), ± ∞ ∞ , 0 0 , 00 , ∞0 , 1∞ . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 83 (69) Z definice limity dokažte, že platí lim n→∞ n n + 1 = 1. K číslu ε = 0,1 určete n0. Řešení: Ke každému ε musíme najít příslušné n0 tak, že platí nerovnost z definice, tzn. n n + 1 − 1 < ε. Proto řešením dostaneme n − n − 1 n + 1 < ε n∈N ⇔ 1 n + 1 < ε ⇔ ⇔ n + 1 < 1 ε ⇒ n0 := 1 ε − 1 + 1, kde · značí (dolní) celou část čísla. Pro ε = 0, 1 máme n0 = 10. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 84 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (70) Z definice limity dokažte, že lim n→∞ n = ∞. Řešení: Mějme dle definice A ∈ R. Musíme určit n0 tak, aby ∀n > n0 platilo an > A, tj. n > A, proto n0 := max {1 + A , 1}. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 85 (71) Udejte příklad posloupností an a bn takových, že limn→∞ an = 0 a limn→∞ bn = 0 a zároveň lim n→∞ an bn = 1 nebo lim n→∞ an bn = 0. Řešení: Řešením jsou např. posloupnosti an = bn = 1 n a an = 1 n2 , bn = 1 n . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 86 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (72) Vypočtěte lim n→∞ 2n − 3n 3n . Řešení: lim n→∞ 2n − 3n 3n = lim n→∞ 2 3 n − 3 3 n = lim n→∞ 2 3 n − 1 = −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 87 (73) Vypočtěte lim n→∞ 3n2 + 1 3n + n2 . Řešení: lim n→∞ 3n2 + 1 3n + n2 = lim n→∞ n2 3 + 1 n2 n2 3 n + 1 = 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 88 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (74) Vypočtěte lim n→∞ (n2 − 5n − 1). Řešení: lim n→∞ (n2 − 5n − 1) = lim n→∞ n2 1 − 5 n − 1 n2 = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 89 (75) Vypočtěte lim n→∞ −8n2 + 6n + 7 2n + 5 . Řešení: lim n→∞ −8n2 + 6n + 7 2n + 5 = lim n→∞ n −8n + 6 + 7 n n 2 + 5 n = −∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 90 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (76) Vypočtěte lim n→∞ (n + a)(n + b) − n . Řešení: lim n→∞ (n + a)(n + b) − n = lim n→∞ (n + a)(n + b) − n (n + a)(n + b) + n (n + a)(n + b) + n = = lim n→∞ (n + a)(n + b) − n2 (n + a)(n + b) + n = lim n→∞ (a + b)n + ab (n + a)(n + b) + n = = lim n→∞ n a + b + ab n n 1 + a+b n + ab n2 + 1 = a + b 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 91 (77) Vypočtěte lim n→∞ n + √ n − √ 2n + 1 . Řešení: lim n→∞ n + √ n − √ 2n + 1 = lim n→∞ n + √ n − √ 2n + 1 n + √ n + √ 2n + 1 n + √ n + √ 2n + 1 = = lim n→∞ n + √ n − (2n + 1) n + √ n + √ 2n + 1 = lim n→∞ −n − 1 + √ n n + √ n + √ 2n + 1 = = lim n→∞ √ n − √ n − 1√ n + 1 √ n 1 + 1√ n + 2 + 1√ n = −∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 92 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (78) Vypočtěte lim n→∞ 9n2 − 4 − 3n . Řešení: lim n→∞ 9n2 − 4 − 3n = lim n→∞ 9n2 − 4 − 3n √ 9n2 − 4 + 3n √ 9n2 − 4 + 3n = = lim n→∞ 9n2 − 4 − 9n2 √ 9n2 − 4 + 3n = lim n→∞ −4 √ 9n2 − 4 + 3n = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 93 (79) Vypočtěte lim n→∞ 9n2 − 4 − 2n . Řešení: lim n→∞ 9n2 − 4 − 2n = lim n→∞ 9n2 − 4 − 2n √ 9n2 − 4 + 2n √ 9n2 − 4 + 2n = = lim n→∞ 9n2 − 4 − 4n2 √ 9n2 − 4 + 2n = lim n→∞ n 5n − 4 n n 9 − 4 n2 + 2 = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 94 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (80) Vypočtěte lim n→∞ √ 2n + 3 − √ n − 1 . Řešení: lim n→∞ √ 2n + 3 − √ n − 1 = lim n→∞ √ 2n + 3 − √ n − 1 √ 2n + 3 + √ n − 1 √ 2n + 3 + √ n − 1 = = lim n→∞ 2n + 3 − (n − 1) √ 2n + 3 + √ n − 1 = lim n→∞ n + 4 √ 2n + 3 + √ n − 1 = = lim n→∞ √ n √ n + 4√ n √ n 2 + 3√ n + 1 − 1 n = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 95 (81) Vypočtěte lim n→∞ 3 √ n2 + 1 − 16n 3 √ n4 + 18n . Řešení: lim n→∞ 3 √ n2 + 1 − 16n 3 √ n4 + 18n = lim n→∞ n4/3 3 1 n2 + 1 n4 − 16n 3√ n4 n4/3 3 1 + 18n n4 = lim n→∞ 3 1 n2 + 1 n4 − 16 3 1 n 3 1 + 18 n3 = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 96 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (82) Vypočtěte lim n→∞ 3 √ 2n5 + 3n + 1 + √ 5n2 + 3n √ 2n3 + 4n + 1 − 3 √ 5n5 + 1 . Řešení: lim n→∞ 3 √ 2n5 + 3n + 1 + √ 5n2 + 3n √ 2n3 + 4n + 1 − 3 √ 5n5 + 1 = lim n→∞ n5/3 3 2 + 3 n4 + 1 n5 + 5 n4/3 + 3 n7/3 n5/3 2 3√ n + 4 n7/3 + 1 n10/3 − 3 5 + 1 n5 = − 3 2 5 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 97 (83) Vypočtěte lim n→∞ n · a + 1 n − √ a . Řešení: lim n→∞ n · a + 1 n − √ a = lim n→∞  n · a + 1 n − √ a a + 1 n + √ a a + 1 n + √ a   = = lim n→∞ n a + 1 n − a a + 1 n + √ a = lim n→∞ 1 a + 1 n + √ a = 1 2 √ a . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 98 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (84) Vypočtěte lim n→∞ cos 1 n . Řešení: lim n→∞ cos 1 n = cos lim n→∞ 1 n = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 99 (85) Vypočtěte lim n→∞ (1 + cos nπ). Řešení: lim n→∞ (1 + cos nπ) = 1 + lim n→∞ (cos nπ) = 1 + (±1) ⇒ limita neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 100 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (86) Vypočtěte lim n→∞ (1 + sin nπ). Řešení: lim n→∞ (1 + sin nπ) = 1 + lim n→∞ (sin nπ) = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 101 (87) Vypočtěte lim n→∞ 2n + sin n 3n − 1 . Řešení: lim n→∞ 2n + sin n 3n − 1 = lim n→∞ n 2 + sin n n n 3 − 1 n  limn→∞ sin n n = 0 neboť −1 ≤ sin n ≤ 1  = 2 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 102 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (88) Vypočtěte lim n→∞ n √ 5n. Řešení: lim n→∞ n √ 5n = lim n→∞ n √ 5 n √ n = 1, neboť platí limn→∞ n √ n = 1. Nechť platí n √ n = 1 + hn, kde jistě hn ≥ 0. Musíme proto ukázat, že limn→∞ hn = 0. Postupnými úpravami obdržíme n √ n = 1 + hn /n n = (1 + hn)n = 1 + hn + n(n − 1) 2 h2 n + · · · + hn n ⇓ n ≥ n(n − 1) 2 h2 n ≥ 0 0 ← 0 ≤ h2 n ≤ 2 n − 1 → 0 proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti (též „o dvou policajtech“) plyne limn→∞ hn = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 103 (89) Vypočtěte lim n→∞ 2n √ n. Řešení: lim n→∞ 2n √ n = lim n→∞ n √ n 1/2 = √ 1 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 104 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (90) Vypočtěte lim n→∞ n √ 2n + 3n. Řešení: Zadanou posloupnost můžeme omezit 3 ← n √ 3n ≤ n √ 2n + 3n ≤ n √ 3n + 3n → lim n→∞ n √ 2 · 3n = 3 lim n→∞ n √ 2 = 3, proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti plyne limn→∞ n √ 2n + 3n = 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 105 (91) Vypočtěte lim n→∞ 2n n − 1 2n . Řešení: lim n→∞ 2n n − 1 2n = lim n→∞ 22n n n − 1 2n = lim n→∞ 22n n − 1 + 1 n − 1 2n = = lim n→∞ 22n 1 + 1 n − 1 2n = lim n→∞ 4n 1 + 1 n − 1 n−1 1 + 1 n − 1 2 = ∞ · (e ·1)2 = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 106 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (92) Vypočtěte lim n→∞ 1 − 1 n n . Řešení: lim n→∞ 1 − 1 n n = lim n→∞ n − 1 n n = 1 limn→∞ n n−1 n = = 1 limn→∞ n−1+1 n−1 n = 1 limn→∞ 1 + 1 n−1 n−1 1 + 1 n−1 = 1 e . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 107 (93) Vypočtěte lim n→∞ 1 + 1 n 3n . Řešení: lim n→∞ 1 + 1 n 3n = lim n→∞ 1 + 1 n n 3 = e3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 108 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (94) Vypočtěte lim n→∞ 1 + 1 n n+5 . Řešení: lim n→∞ 1 + 1 n n+5 = lim n→∞ 1 + 1 n n 1 + 1 n 5 = e . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 109 (95) Vypočtěte lim n→∞ 1 + 1 5n n . Řešení: lim n→∞ 1 + 1 5n n = lim n→∞ 1 + 1 5n 5n 1/5 = 5 √ e. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 110 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (96) Vypočtěte lim n→∞ 1 + 1 2n + 3 7n+6 . Řešení: lim n→∞ 1 + 1 2n + 3 7n+6 = lim n→∞ 1 + 1 2n + 3 7 2 (2n+3)− 9 2 = = lim n→∞ 1 + 1 2n + 3 2n+3 7/2 1 + 1 2n + 3 −9/2 = √ e7. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 111 (97) Vypočtěte lim n→∞ 1 n cos n2 + 1 2n − 1 . Řešení: Neboť platí −1 ≤ cos n2 + 1 2n − 1 ≤ 1 ⇒ 0 ← − 1 n ≤ 1 n cos n2 + 1 2n − 1 ≤ 1 n → 0, plyne z Věty o limitě sevřené posloupnosti limn→∞ 1 n cos n2+1 2n−1 = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 112 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (98) Vypočtěte lim n→∞ 2n + (−2)n 2 · 4n . Řešení: lim n→∞ 2n + (−2)n 2 · 4n = lim n→∞ 2n (1 + (−1)n ) 2 · 2n · 2n = lim n→∞ 1 + (−1)n 2 · 2n = 1 2 lim n→∞ 1 2 n + − 1 2 n = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 113 (99) Vypočtěte lim n→∞ (n + 2)! − 3n! (n + 2)! + 1 . Řešení: lim n→∞ (n + 2)! − 3n! (n + 2)! + 1 = lim n→∞ (n + 2)(n + 1)n! − 3n! (n + 2)(n + 1)n! + 1 = = lim n→∞ (n + 2)(n + 1) − 3 (n + 2)(n + 1) + 1 n! = lim n→∞ n2 + 3n + 2 − 3 n2 + 3n + 2 + 1 n! = lim n→∞ 1 + 3 n − 1 n2 1 + 3 n + 2 n2 + 1 n2·n! = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 114 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (100) Vypočtěte lim n→∞ (n + 2)! + (n + 1)! (n + 2)! − (n + 1)! . Řešení: lim n→∞ (n + 2)! + (n + 1)! (n + 2)! − (n + 1)! = lim n→∞ (n + 2) + 1 (n + 2) − 1 = lim n→∞ n 1 + 3 n n 1 + 1 n = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 115 (101) Vypočtěte lim n→∞ 1 + 2 + · · · + n n2 . Řešení: lim n→∞ 1 + 2 + · · · + n n2  ve jmenovateli je součet aritmetické posloupnosti  = lim n→∞ n 2 (n + 1) n2 = lim n→∞ n2 1 2 + 1 2n n2 = 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 116 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (102) Vypočtěte lim n→∞ 1 1 · 2 − 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + · · · + 1 (n − 1) · n . Řešení: Rozkladem na parciální zlomky obdržíme 1 (k − 1)k = 1 k − 1 − 1 k . Proto můžeme spočítat lim n→∞ 1 1 · 2 − 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + · · · + 1 (n − 1) · n = = lim n→∞ 1 1 − 1 2 − 1 2 + 1 3 + · · · + 1 (n − 1) − 1 n = = lim n→∞ 1 − 1 n = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 117 (103) Najděte hromadné body posloupnosti cos 2nπ 3 ∞ n=1 . Řešení: Vzhledem k periodicitě funkce cos x můžeme rozlišit následující situace (k ∈ N) n = 3k ⇒ cos 2nπ 3 = cos 6kπ 3 = cos 2π = 1 ∞ k=1 , n = 3k − 1 ⇒ cos 2nπ 3 = cos 6kπ − 2π 3 = cos 2π 3 = − 1 2 ∞ k=1 , n = 3k − 2 ⇒ cos 2nπ 3 = cos 6kπ − 4π 3 = cos 4π 3 = − 1 2 ∞ k=1 . Tedy posloupnost cos 2nπ 3 ∞ n=1 má hromadné body 1 a −1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 118 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (104) Najděte hromadné body posloupnosti 1 + (−1)n 2 ∞ n=1 . Řešení: Uvažujme následující dvě varianty (k ∈ N) n = 2k ⇒ 1 + (−1)n 2 = 1 + (−1)2k 2 = 1 + 1 2 = 1 ∞ k=1 , n = 2k − 1 ⇒ 1 + (−1)n 2 = 1 + (−1)2k−1 2 = 1 − 1 2 = 0 ∞ k=1 . Tedy posloupnost 1+(−1)n 2 ∞ n=1 má dva hromadné body 1 a 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 119 (105) Určete lim sup a lim inf posloupnosti n n + 1 sin2 nπ 4 ∞ n=1 . Řešení: Vzhledem k charakteru funkce sin n stačí uvažovat následující varianty (k ∈ N) n = 4k ⇒ n n + 1 sin2 nπ 4 = 4k 4k + 1 sin2 4kπ 4 = 4k 4k + 1 sin2 (π) = 1 · 0 = 0 ∞ k=1 , n = 4k − 1 ⇒    n n + 1 sin2 nπ 4 = 4k − 1 4k sin2 kπ − π 4 = 1 · √ 2 2 2 = 1 2    ∞ k=1 , n = 4k − 2 ⇒ n n + 1 sin2 nπ 4 = 4k − 2 4k − 1 sin2 kπ − π 2 = 1 · ( 1)2 = 1 ∞ k=1 , n = 4k − 3 ⇒    n n + 1 sin2 nπ 4 = 4k − 3 4k − 2 sin2 kπ − 3π 4 = 1 · √ 2 2 2 = 1 2    ∞ k=1 . To znamená, že lim sup n→∞ n n + 1 sin2 nπ 4 = 1 a lim inf n→∞ n n + 1 sin2 nπ 4 = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 120 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Limita funkce Definice 5. Nechť x0, L ∈ R∗ = R∪{±∞}. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu rovnu číslu L, a píšeme limx→x0 f(x) = L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0) bodu x0 tak, že pro všechna x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L), neboli ∀O(L) ∃O(x0) tak, že ∀x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L). V podání ε − δ definice to znamená: • vlastní limita ve vlastním bodě (x0, L ∈ R, limx→x0 = L) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε; • nevlastní limita ve vlastním bodě (x0 ∈ R, limx→x0 = ±∞) ∀M ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > M (f(x) < M); • vlastní limita v nevlastním bodě (L ∈ R, limx→±∞ = L) ∀ε > 0 ∃K ∈ R ∀x ∈ R : x > K (x < K) ⇒ |f(x) − L| < ε; • nevlastní limita v nevlastním bodě (limx→±∞ = ±∞) ∀M ∈ R ∃K ∈ R ∀x ∈ R : x > K (x < K) ⇒ f(x) > M (f(x) < M). Pokud existují limx→x0 f(x) = L1 a limx→x0 g(x) = L2, kde x0 ∈ R∗ a L1, L2 ∈ R (obě limity jsou vlastní), platí následující pravidla pro počítání s limitami: limx→x0 |f(x)| = |L1| , limx→x0 (f(x) ± g(x)) = L1 ± L2, limx→x0 (f(x) · g(x)) = L1 · L2. Jestliže navíc L2 = 0, pak platí limx→x0 f(x) g(x) = L1 L2 . Důležité vzorce: lim x→±∞ 1 + 1 x x = e, lim x→∞ x √ x = 1, lim x→∞ sin x x = 0, lim x→0 sin x x = 1, lim x→0 ex −1 x = 1, lim x→0 ax − 1 x = ln a, lim x→∞ ohraničená funkce funkce jdoucí do ± ∞ = 0. Neučité výrazy: ∞ − ∞, 0 · (±∞), ± ∞ ∞ , 0 0 , 00 , ∞0 , 1∞ . Spojitost funkce Definice 6. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0, jestliže lim x→x0 f(x) = f(x0). Nechť nyní funkce f není spojitá v bodě x0. Potom rozlišujeme následující případy. • Existuje vlastní limita limx→x0 f(x) = a, ale a = f(x0). Potom bod x0 nazýváme bodem odstranitelné nespojitosti funkce f. (Přitom připouštíme i situaci, kdy hodnota f(x0) není definována.) Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 121 • Existují obě jednostranné limity limx→x+ 0 f(x) = a1 a limx→x− 0 f(x) = a2, ale a1 = a2. Potom bod x0 nazýváme bodem nespojitosti prvního druhu (někdy také skokem) funkce f. • Alespoň jedna z jednostranných limit funkce f v bodě x0 neexistuje nebo je nevlastní. Potom bod x0 nazýváme bodem nespojitosti druhého druhu funkce f. Definice 7. Nechť (a, b) ⊆ R. Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém bodě x0 ∈ (a, b). Poznámka 8. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá zprava, jestliže lim x→x+ 0 f(x) = f(x0). Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá zleva, jestliže lim x→x− 0 f(x) = f(x0). Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu [a, b] ⊂ R, jestliže je v bodě a spojitá zprava, v bodě b je spojitá zleva a je spojitá v každém bodě x0 ∈ (a, b). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 122 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (106) Vypočtěte limitu lim x→1 1 1 − x − 3 1 − x3 . Řešení: lim x→1 1 1 − x − 3 1 − x3 = lim x→1 1 + x + x2 − 3 1 − x3 = lim x→1 x2 + x − 2 1 − x3 0 0  = = lim x→1 (x − 1)(x + 2) (1 − x)(1 + x + x2) = lim x→1 −(x + 2) 1 + x + x2 = −1 Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 123 (107) Vypočtěte limitu lim x→3 √ x + 1 − 2 x2 − 5x + 6 . Řešení: lim x→3 √ x + 1 − 2 x2 − 5x + 6 0 0  = lim x→3 √ x + 1 − 2 x2 − 5x + 6 · √ x + 1 + 2 √ x + 1 + 2 = = lim x→3 x + 1 − 4 (x − 3)(x − 2) √ x + 1 + 2 = lim x→3 1 (x − 2) √ x + 1 + 2 = 1 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 124 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (108) Vypočtěte limitu lim x→0 tg x − sin x sin3 x . Řešení: lim x→0 tg x − sin x sin3 x 0 0  = lim x→0 sin x cos x − sin x sin3 x = lim x→0 1 cos x sin2 x − 1 sin2 x = = lim x→0 1 − cos x cos x sin2 x 0 0  = lim x→0 1 − cos x (1 − cos2 x) cos x = lim x→0 1 (1 + cos x) cos x = 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 125 (109) Vypočtěte limitu lim x→0 tg x x . Řešení: lim x→0 tg x x = lim x→0 sin x cos x x = lim x→0 sin x x · 1 cos x = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 126 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (110) Vypočtěte limitu lim x→0 1 − cos 2x + tg2 x x sin x . Řešení: lim x→0 1 − cos 2x + tg2 x x sin x = lim x→0 1 − cos2 x + sin2 x + sin2 x cos2 x x sin x = = lim x→0 2 sin2 x x sin x + sin2 x x cos2 x sin x = lim x→0 2 sin x x + sin x x 1 cos2 x = 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 127 (111) Vypočtěte limitu lim x→0 sin kx x . Řešení: lim x→0 sin kx x = lim x→0 k sin kx kx = k. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 128 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (112) Vypočtěte limitu lim x→∞ 2 3x x+2 . Řešení: lim x→∞ 2 3x x+2  díky spojitosti funkce af(x) můžeme limitu přepsat  = 2limx→∞ 3x x+2 = 23 = 8. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 129 (113) Vypočtěte limitu lim x→0 sin 2x x 1+x . Řešení: lim x→0 sin 2x x 1+x  musíme využít exponenciální funkci, neboť proměnná x je v základu i v exponetu funkce  = lim x→0 e(1+x) ln sin 2x x = = elimx→0[(1+x) ln sin 2x x ] = eln 2 = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 130 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (114) Vypočtěte limitu lim x→0 sin 4x + sin 7x sin 3x . Řešení: lim x→0 sin 4x + sin 7x sin 3x = lim x→0 sin 4x 4x 4x 3x 3x sin 3x + sin 7x 7x 7x 3x 3x sin 3x = 4 3 + 7 3 = 11 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 131 (115) Vypočtěte lim x→∞ πx + sin x 2x + cos x . Řešení: lim x→∞ πx + sin x 2x + cos x ∞ ∞ , v čitateli i jmenovateli vytkneme x  = = lim x→∞ π + sin x x 2 + cos x x = π + 0 2 + 0 = π 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 132 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (116) Vypočtěte lim x→0 ex − e−x sin 2x . Řešení: lim x→0 ex − e−x sin 2x 0 0 , rozšíříme x x  = lim x→0 ex − e−x x · x sin 2x = = lim x→0 ex −1 − e−x +1 x · 1 sin 2x x = = lim x→0 ex −1 x + e−x −1 −x · 1 2sin 2x 2x = 2 1 2 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 133 (117) Vypočtěte lim x→2 x2 + x − 6 x2 − 3x + 2 . Řešení: lim x→2 x2 + x − 6 x2 − 3x + 2 0 0 , tj. číslo 2 je kořenem obou polynomů  = = lim x→2 (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x − 1) = = lim x→2 x + 3 x − 1 = 5. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 134 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (118) Vypočtěte lim x→0 √ 1 + x − √ 1 − x x . Řešení: lim x→0 √ 1 + x − √ 1 − x x  0 0 , rozšíříme √ 1+x+ √ 1−x√ 1+x+ √ 1−x  = = lim x→0 √ 1 + x − √ 1 − x x · √ 1 + x + √ 1 − x √ 1 + x + √ 1 − x = = lim x→0 1 + x − 1 + x x( √ 1 + x + √ 1 − x) = = lim x→0 2 √ 1 + x + √ 1 − x = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 135 (119) Vypočtěte limitu lim x→2 x2 x2 − 3x + 2 . Řešení: lim x→2 x2 x2 − 3x + 2 4 0  = lim x→2 x2 (x − 2)(x − 1) , lim x→2+ x2 (x − 2)(x − 1)  4 0+  = ∞, lim x→2− x2 (x − 2)(x − 1)  4 0−  = −∞. Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 136 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (120) Vypočtěte limitu lim x→4 x − 5 x2 − 7x + 12 . Řešení: lim x→4 x − 5 x2 − 7x + 12 = lim x→4 x − 5 (x − 3)(x − 4) −1 0  = +∞ x → 4− , −∞ x → 4+ ⇒ limita neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 137 (121) Vypočtěte limitu lim x→∞ √ 1 + x − √ 1 + x2 √ 1 + x − 1 . Řešení: lim x→∞ √ 1 + x − √ 1 + x2 √ 1 + x − 1 = lim x→∞ √ x 1 x + 1 − 1 x + x √ x 1 x + 1 − 1√ x = −∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 138 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (122) Vypočtěte limitu lim x→3 √ x + 13 − 2 √ x + 1 x2 − 9 . Řešení: lim x→3 √ x + 13 − 2 √ x + 1 x2 − 9 = lim x→3 √ x + 13 − 2 √ x + 1 x2 − 9 √ x + 13 + 2 √ x + 1 √ x + 13 + 2 √ x + 1 = = lim x→3 x + 13 − 4x − 4 (x2 − 9) √ x + 13 + 2 √ x + 1 = lim x→3 −3x + 9 (x2 − 9) √ x + 13 + 2 √ x + 1 = = lim x→3 −3(x − 3) (x2 − 9) √ x + 13 + 2 √ x + 1 0 0  = lim x→3 −3(x − 3) (x − 3)(x + 3) √ x + 13 + 2 √ x + 1 = = lim x→3 −3 (x + 3) √ x + 13 + 2 √ x + 1 = − 1 16 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 139 (123) Vypočtěte limitu lim x→3 √ x2 − 2x + 6 − √ x2 + 2x − 6 x2 − 4x + 3 . Řešení: lim x→3 √ x2 − 2x + 6 − √ x2 + 2x − 6 x2 − 4x + 3 = = lim x→3 √ x2 − 2x + 6 − √ x2 + 2x − 6 x2 − 4x + 3 √ x2 − 2x + 6 + √ x2 + 2x − 6 √ x2 − 2x + 6 + √ x2 + 2x − 6 = = lim x→3 x2 − 2x + 6 − (x2 + 2x − 6) (x2 − 4x + 3) √ x2 − 2x + 6 + √ x2 + 2x − 6 0 0  = = lim x→3 −4(x − 3) (x − 1)(x − 3) √ x2 − 2x + 6 + √ x2 + 2x − 6 = − 1 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 140 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (124) Vypočtěte limitu lim x→∞ √ x2 + 1 + √ x 4 √ x3 + x − x . Řešení: lim x→∞ √ x2 + 1 + √ x 4 √ x3 + x − x = lim x→∞ x 1 + 1 x2 + 1√ x x 4 1 x + 1 x3 − 1 = −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 141 (125) Vypočtěte limitu lim x→0 2x − 3 sin x . Řešení: lim x→0 2x − 3 sin x −3 0  , lim x→0+ 2x − 3 sin x  −3 sin 0+ = −3 0+  = −∞, lim x→0− 2x − 3 sin x  −3 sin 0− = −3 0−  = ∞. Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 142 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (126) Vypočtěte limitu lim x→0 x2 − 1 cos x − 1 . Řešení: lim x→0 x2 − 1 cos x − 1 −1 0  , lim x→0+ x2 − 1 cos x − 1  −1 cos 0+−1 = −1 0−  = ∞, lim x→0− x2 − 1 cos x − 1  −1 cos 0−−1 = −1 0−  = ∞. Protože limita zprava je rovna limitě zleva, zadaná limita existuje a platí lim x→0 x2 − 1 cos x − 1 = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 143 (127) Vypočtěte limitu lim x→∞ 2x + x4 + 1 3 · 2x + x2 − 1 . Řešení: lim x→∞ 2x + x4 + 1 3 · 2x + x2 − 1 nejrychleji do ∞ jde 2x  = lim x→∞ 2x (1 + x4 2x + 1 2x ) 2x(3 + x2 2x − 1 2x ) = lim x→∞ 1 + x4 2x + 1 2x 3 + x2 2x − 1 2x 1+0+0 3+0−0  = 1 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 144 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (128) Vypočtěte limitu lim x→∞ 2 log6 x − 3x+1 + 15x6 3 log6 x + 3x − 5x6 . Řešení: lim x→∞ 2 log6 x − 3x+1 + 15x6 3 log6 x + 3x − 5x6 nejrychleji do ∞ jde 3x  = lim x→∞ 3x ( 2 log6 x 3x − 3 + 15x6 3x ) 3x( 3 log6 x 3x + 1 − 5x6 3x ) = = lim x→∞ 2 log6 x 3x − 3 + 15x6 3x 3 log6 x 3x + 1 − 5x6 3x 0−3+0 0+1−0  = −3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 145 (129) Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu. lim x→2π− ecotg x . Řešení: lim x→2π− ecotg x ecotg 2π− = e−∞ = 1 e∞ = 1 ∞  = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 146 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (130) Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu. lim x→∞ (5 1 x + 2). Řešení: lim x→∞ (5 1 x + 2) 5 1 ∞ + 2 = 50 + 2  = 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 147 (131) Vypočtěte limitu lim x→0 3 √ 1 + x − 3 √ 1 − x x . Řešení: lim x→0 3 √ 1 + x − 3 √ 1 − x x = lim x→0 3 √ 1 + x − 3 √ 1 − x x · 3 (1 + x)2 + 3 √ 1 − x2 + 3 (1 − x)2 3 (1 + x)2 + 3 √ 1 − x2 + 3 (1 − x)2 = = lim x→0 1 + x − (1 − x) x 3 (1 + x)2 + 3 √ 1 − x2 + 3 (1 − x)2 = = lim x→0 2x x 3 (1 + x)2 + 3 √ 1 − x2 + 3 (1 − x)2 = 2 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 148 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (132) Vypočtěte limitu lim x→∞ x2 + x + 1 − x2 + x . Řešení: lim x→∞ x2 + x + 1 − x2 + x = = lim x→∞ x2 + x + 1 − x2 + x √ x2 + x + 1 + √ x2 + x √ x2 + x + 1 + √ x2 + x = = lim x→∞ 1 √ x2 + x + 1 + √ x2 + x = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 149 (133) Vypočtěte limitu lim x→0+    1 x + 1 x + 1 x − 1 x − 1 x + 1 x    . Řešení: lim x→0+    1 x + 1 x + 1 x − 1 x − 1 x + 1 x    = = lim x→0+          1 x + 1 x + 1 x − 1 x − 1 x + 1 x    · 1 x + 1 x + 1 x + 1 x − 1 x + 1 x 1 x + 1 x + 1 x + 1 x − 1 x + 1 x       = = lim x→0+       1 x + 1 x + 1 x − 1 x − 1 x + 1 x 1 x + 1 x + 1 x + 1 x − 1 x + 1 x · √ x √ x       = = lim x→0+ 2 1 + √ x 1 + x + √ x3 + 1 − x + √ x3 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 150 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (134) Vypočtěte limitu lim x→∞ √ x x + x + √ x . Řešení: lim x→∞ √ x x + x + √ x = lim x→∞ √ x √ x   1 + 1 x + 1 x3   = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 151 (135) Vypočtěte limitu lim x→2 1 x − 2 − 1 x2 − 4 . Řešení: lim x→2 1 x − 2 − 1 x2 − 4 = lim x→2 x + 2 + 1 x2 − 4 = = lim x→2 x + 3 (x + 2)(x − 2) 5 0  = +∞ x → 2+ , −∞ x → 2− ⇒ limita neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 152 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (136) Vypočtěte limitu lim x→0 sin 4x √ 1 + x − 1 . Řešení: lim x→0 sin 4x √ 1 + x − 1 = lim x→0 sin 4x √ 1 + x − 1 · √ 1 + x + 1 √ 1 + x + 1 = lim x→0 sin 4x √ 1 + x + 1 1 + x − 1 = = lim x→0 4 · sin 4x 4x √ 1 + x + 1 = 8. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 153 (137) Vypočtěte limitu lim x→−2 x3 + 3x2 + 2x x2 − x − 6 . Řešení: lim x→−2 x3 + 3x2 + 2x x2 − x − 6 0 0  = lim x→−2 x(x + 2)(x + 1) (x + 2)(x − 3) 0 0  = lim x→−2 x(x + 1) x − 3 = − 2 5 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 154 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (138) Vypočtěte limitu lim x→0 ln(1 + ax) x . Řešení: lim x→0 ln(1 + ax) x = lim x→0 ln(1 + ax) 1 x  funkce ln x je spojitá  = = ln lim x→0 (1 + ax) 1 x z = 1 x  = ln lim z→±∞ 1 + a z z u = z a  = = ln lim u→±∞ 1 + 1 u ua = ln lim u→±∞ 1 + 1 u u a = ln ea = a. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 155 (139) Vypočtěte limitu lim x→∞ x arctg x + 1 x + 2 − π 4 . Řešení: lim x→∞ x arctg x + 1 x + 2 − π 4 = = lim x→∞ x arctg x + 1 x + 2 − arctg 1 arctg x − arctg y = arctg x−y 1+xy , pro xy > −1  = = lim x→∞ x arctg x+1 x+2 − 1 1 + x+1 x+2 = lim x→∞ x arctg x + 1 − x − 2 x + 2 + x + 1 = lim x→∞ x arctg −1 2x + 3 . Nyní výraz u limity upravíme arctg 1 2x + 3 = z ⇒ tg z = 1 2x + 2 ⇒ 1 tg z = 2x + 3 ⇒ x = 1 2 1 tg z − 3 . Proto lim x→∞ x arctg x + 1 x + 2 − π 4 = lim z→0 1 2 1 tg z − 3 (−z) = 1 2 lim z→0 − z tg z + 3z = = 1 2 lim z→0 − z sin z cos z + 3z = 1 2 lim z→0 − z sin z · cos z + 3z = − 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 156 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (140) Vypočtěte limitu lim x→0 1 − cos x x √ 1 + x − 1 . Řešení: lim x→0 1 − cos x x √ 1 + x − 1 = lim x→0 1 − cos x x √ 1 + x − 1 · √ 1 + x + 1 √ 1 + x + 1 = = lim x→0 (1 − cos x) √ 1 + x + 1 x(1 + x − 1) sin α 2 = ± 1−cos α 2  = = lim x→0 2 √ 1 + x + 1 sin2 x 2 x2 = lim x→0 2 4 √ 1 + x + 1 · sin x 2 x 2 2 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 157 (141) Vypočtěte limitu lim x→∞ x − 1 x + 1 x . Řešení: lim x→∞ x − 1 x + 1 x = lim x→∞ x 1 − 1 x x 1 + 1 x x = lim x→∞ 1 − 1 x x 1 + 1 x x = = lim x→∞ 1 − 1 x −x −1 1 + 1 x x = lim x→∞ e−1 e = 1 e2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 158 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (142) Vypočtěte limitu lim x→ π 2 cos x 2 − sin x 2 cos x . Řešení: lim x→ π 2 cos x 2 − sin x 2 cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x  = lim x→ π 2 cos x 2 − sin x 2 cos2 x 2 − sin2 x 2 = = lim x→ π 2 cos x 2 − sin x 2 cos x 2 − sin x 2 cos x 2 + sin x 2 = lim x→ π 2 1 cos x 2 + sin x 2 = √ 2 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 159 (143) Vypočtěte limitu lim x→ π 6 sin x − π 6 √ 3 2 − cos x . Řešení: lim x→ π 6 sin x − π 6 √ 3 2 − cos x = lim x→π 6 sin x − π 6 + sin 0 cos π 6 − cos x  sin α + sin β = 2 sin α+β 2 cos α−β 2 , cos α − cos β = −2 sin α+β 2 sin α−β 2  = = lim x→ π 6 2 sin x− π 6 2 cos x−π 6 2 −2 sin π 6 +x 2 sin π 6 −x 2 = lim x→ π 6 cos x− π 6 2 sin π 6 +x 2 = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 160 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (144) Vypočtěte limitu lim x→π 4 cos 2x − sin 2x + 1 cos x − sin x . Řešení: lim x→ π 4 cos 2x − sin 2x + 1 cos x − sin x = lim x→ π 4 cos2 x − sin2 x − 2 sin x cos x + 1 cos x − sin x = = lim x→ π 4 2 cos2 x − 2 sin x cos x cos x − sin x = lim x→ π 4 2 cos x (cos x − sin x) cos x − sin x = lim x→ π 4 (2 cos x) = √ 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 161 (145) Vypočtěte limitu lim x→0 e2x −1 x . Řešení: lim x→0 e2x −1 x z = 2x  = lim z→0 ez −1 z · 2 = 2 · lim z→0 ez −1 z = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 162 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (146) Vypočtěte limitu lim x→0 x √ cos x + x + 2. Řešení: lim x→0 x √ cos x + x + 2 = lim x→0 e 1 x ln(cos x+x+2) neboť platí lim x→0 ln (cos x + x + 2) x = +∞ x → 3− , −∞ x → 3+ , proto obdržíme lim x→0 x √ cos x + x + 2 = lim x→0 e 1 x ln(cos x+x+2) = +∞ x → 3− , 0 x → 3+ ⇒ limita neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 2. Limity posloupností a funkcí 163 (147) Určete druhy nespojitosti v bodě x0 = 0 pro funkce f1(x) = sin x x , f2(x) = cos x x , f3(x) = x , f4(x) = e 1 x +1 e 1 x −1 . Řešení: Ze základních vzorců víme, že limx→0 sin x x = 1. Funkce f1 také není v 0 definována, proto v x0 nastává odstranitelná nespojitost. Pro funkci f2 spočítáme limitu přímo, tj. lim x→0 cos x x 1 0  = +∞ x → 0+ , −∞ x → 0− , což znamená, že v x0 nastává nespojitost II. druhu. Pro funkci f3 je nutné si uvědomit, jak se počítá celá část reálného čísla – je to vlastně nejbližší menší celé číslo, proto platí lim x→0 x = 0 x → 0+ , −1 x → 0− , tedy funkce f3 má v bodě x0 nespojitost I. druhu. Limitu funkce f4 si rozdělíme na dvě možnosti lim x→0+ e 1 x +1 e 1 x −1 = lim x→0+ e 1 x +1 e 1 x −1 · e− 1 x e− 1 x = lim x→0+ 1 + e− 1 x 1 − e− 1 x = lim x→0+ 1 + 1 e 1 x 1 − 1 e 1 x = 1, lim x→0− e 1 x +1 e 1 x −1 = −1, tudíž funkce f4 má v bodě x0 nespojitost I. druhu. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 164 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (148) Určete, zda je daná funkce spojitá/spojitá zleva/spojitá zprava v bodech −π/2, 0, 1, 2, 3, 4. Jestliže je nespojitá, určete druh nespojitosti. f(x) =    cos x x < 0, 1 0 ≤ x < 1, 2 x = 1, 1 1 < x < 2, x 2 ≤ x ≤ 3, 1 (x−3)2 x > 3. Řešení: Nejprve si pro názornost ukažme graf této funkce. K vyřešení příkladu samozřejmě není nutný – stačí spočítat příslušné limity a funkční hodnoty. Řešení příkladu shrnuje následující tabulka. x0 −π 2 0 1 2 3 4 f(x0) 0 1 2 2 3 1 lim x→x− 0 0 1 1 1 3 1 lim x→x+ 0 0 1 1 2 ∞ 1 lim x→x0 0 1 1 neex. neex. 1 spojitá zleva ano ano ne ne ano ano spojitá zprava ano ano ne ano ne ano spojitá ano ano ne ne ne ano druh nespojitosti — — odstran. skok 2. druh — Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 165 I. 3. Derivace funkce Definice 9. Buď f(x) funkce a x0 ∈ D(f). Existuje-li lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h nazýváme tuto limitu derivací funkce f(x) v bodě x0 a značíme f (x0). Je-li tato limita vlastní, hovoříme o vlastní derivaci. Je-li tato limita nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci. Základní vzorce pro počítání s derivacemi (f a g jsou funkce, k ∈ R): (f ± g) = f ± g , (k · f) = k · f , (f · g) = f g + fg , f g = f g − fg g2 , (f ◦ g) (x) = [f(g(x))] = f (g(x)) · g (x). Derivace elementárních funkcí (k, α ∈ R, α = 0, a > 0, b > 0, b = 1): (k) = 0, (cos x) = − sin x, (xα ) = αxα−1 , (tg x) = 1 cos2 x , (ex ) = ex , (cotg x) = − 1 sin2 x , (ax ) = ax · ln a, (arcsin x) = 1 √ 1 − x2 , (ln x) = 1 x , (arccos x) = − 1 √ 1 − x2 , (logb x) = 1 x · ln b , (arctg x) = 1 1 + x2 , (sin x) = cos x, (arccotg x) = − 1 1 + x2 . Věta 10. Nechť funkce f : x = f(y) je spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť y0 je vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y0 derivaci f (y0). Pak inverzní funkce f−1 : y = f−1 (x) má v bodě x0 = f(y0) derivaci a platí f−1 (x0) =    1 f (y0) = 1 f (f−1(x0)) , je-li f (y0) = 0, +∞, je-li f (y0) = 0 a funkce f je na I rostoucí, −∞, je-li f (y0) = 0 a funkce f je na I klesající. Rovnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě dotyku (x0, f(x0)): t : y = f(x0) + f (x0) · (x − x0). Pokud f (x0) = ±∞ a pokud je funkce f v tomto bodě spojitá, pak je tečna v tomto bodě rovnoběžná s osou y a její rovnice tedy je t : x = x0. Rovnice normály ke grafu funkce y = f(x) v bodě dotyku (x0, f(x0)): n : y = f(x0) − 1 f (x0) (x − x0), je-li f (x0) = 0, n : x = x0, je-li f (x0) = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 166 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Pokud f (x0) = ±∞ a pokud funkce f v tomto bodě spojitá, pak je normála v tomto bodě rovnoběžná s osou x a její rovnice tedy je n : y = f(x0). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 167 (149) Z definice vypočtěte hodnotu f (0), kde f(x) = sin x. Řešení: Z definice platí f (0) = (sin x)x=0 = lim x→0 sin x − sin 0 x − 0 = lim x→0 sin x x = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 168 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (150) Z definice vypočtěte hodnotu f (0), kde f(x) = |sin x|. Řešení: lim x→0 |sin x| − |sin 0| x − 0 = lim x→0 |sin x| x = limx→0+ sin x x = 1, limx→0− − sin x x = −1, ⇒ derivace neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 169 (151) Z definice vypočtěte hodnotu f ( √ 5), kde f(x) = √ x2 − 1. Řešení: lim x→ √ 5 √ x2 − 1 − 2 x − √ 5 = lim x→ √ 5 x2 − 1 − 4 x − √ 5 √ x2 − 1 + 2 = = lim x→ √ 5 x − √ 5 x + √ 5 x − √ 5 √ x2 − 1 + 2 = lim x→ √ 5 x + √ 5 √ x2 − 1 + 2 = √ 5 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 170 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (152) Z definice určete derivaci funkce sinh x = ex − e−x 2 . Řešení: (sinh x) = lim h→0 sinh(x + h) − sinh x h = lim h→0 ex+h − e−(x+h) 2 − ex − e−x 2 h = = lim h→0 ex+h − ex − e−x−h + e−x 2h = 1 2 lim h→0 ex eh − ex h + e−x e−h − e−x −h = = 1 2 lim h→0 ex eh −1 h + e−x e−h −1 −h = 1 2 ex lim h→0 eh −1 h + e−x lim h→0 e−h −1 −h = = 1 2 (ex ·1 + e−x ·1) = ex + e−x 2 = = cosh x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 171 (153) Zderivujte f(x) ≡ 1. Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme (1) = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 172 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (154) Zderivujte f(x) = 6x. Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme (6x) = 6. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 173 (155) Zderivujte f(x) = x2 . Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme x2 = 2x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 174 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (156) Zderivujte f(x) = √ x. Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme √ x = x 1 2 = 1 2 x− 1 2 = 1 2 √ x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 175 (157) Zderivujte f(x) = 1 x . Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme 1 x = x−1 = −x−2 = − 1 x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 176 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (158) Zderivujte f(x) = 4 √ x7. Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme 4 √ x7 = x 7 4 = 7 4 x 3 4 = 7 4 4 √ x3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 177 (159) Zderivujte f(x) = x3 + 2x − sin x + 2. Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme x3 + 2x − sin x + 2 = 3x2 + 2 − cos x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 178 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (160) Zderivujte f(x) = −2 cos x + 4 ex + 1 3 x7 . Řešení: Přímo ze základních vzorců obdržíme −2 cos x + 4 ex + 1 3 x7 = 2 sin x + 4 ex + 7 3 x6 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 179 (161) Zderivujte f(x) = x ex . Řešení: Pomocí vzorce pro derivaci součinu funkcí obdržíme (x ex ) = 1 · ex +x · ex = (1 + x) ex . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 180 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (162) Zderivujte f(x) = 3x − 2 x2 + 1 . Řešení: Derivováním podílu odostaneme 3x − 2 x2 + 1 = 3 · (x2 + 1) − (3x − 2) · 2x (x2 + 1)2 = −3x2 + 4x + 3 (x2 + 1)2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 181 (163) Zderivujte f(x) = x ln x arcsin x + arctg x . Řešení: Kombinací derivování podílu a součinu získáme přímo x ln x arcsin x + arctg x = (ln x + 1)(arcsin x + arctg x) − x ln x 1√ 1−x2 + 1 1+x2 (arcsin x + arctg x)2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 182 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (164) Zderivujte f(x) = x7 + 4 3 √ x2 + arctg(3x + 1) + sin x2 + 2x + arcsin 7x + ln(1 + x2 ) + x2 e1−10x . Řešení: Aplikováním základních vzorců, derivováním složené funkce a součinu dostaneme x7 + 4 3 √ x2 + arctg(3x + 1) + sin x2 + 2x + arcsin 7x + ln(1 + x2 ) + x2 e1−10x = = 7x6 + 4 x 2 3 + 1 (3x + 1)2 + 1 · (3x + 1) + cos x2 · x2 + 2x ln 2+ + 1 1 − (7x)2 · (7x) + 1 1 + x2 · x2 + 2x · e1−10x +x2 · e1−10x · (1 − 10x) = = 7x6 + 8 3 1 3 √ x + 3 9x2 + 6x + 2 + 2x cos x2 + 2x ln 2 + 7 √ 1 − 49x2 + 2x 1 + x2 + + 2x e1−10x −10x2 e1−10x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 183 (165) Zderivujte f(x) = (3x2 − 2x + 10)10 . Řešení: (3x2 − 2x + 10)10 = 10(3x2 − 2x + 10)9 3x2 − 2x + 10 = 10(3x2 − 2x + 10)9 (6x − 2). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 184 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (166) Zderivujte f(x) = 4 − x2. Řešení: 4 − x2 = 4 − x2 1 2 = 1 2 · 4 − x2 − 1 2 · 4 − x2 = − x √ 4 − x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 185 (167) Zderivujte f(x) = ln sin x. Řešení: (ln sin x) = 1 sin x · cos x = cotg x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 186 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (168) Zderivujte f(x) = √ sin 3x. Řešení: √ sin 3x = (sin 3x) 1 2 = 1 2 (sin 3x)− 1 2 · (sin 3x) = 1 2 (sin 3x)− 1 2 · cos 3x · (3x) = = 1 2 (sin 3x)−1 2 · cos 3x · 3 = 3 cos 3x 2 √ sin 3x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 187 (169) Zderivujte f(x) = 5 √ x2 √ x − 2 5x2 + 6 5 √ x3 . Řešení: f(x) = x 2 5 x 1 2 − 2 5 x−2 + 6x 3 5 = x 9 10 − 2 5 x− 8 5 + 6x, f (x) = 9 10 x− 1 10 − 2 5 − 8 5 x− 13 5 + 6 = 9 10 10 √ x + 16 25 5 √ x13 + 6 = = 9 10 10 √ x + 16 25x2 5 √ x3 + 6 = 9 10 √ x9 10x + 16 5 √ x2 25x3 + 6. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 188 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (170) Zderivujte f(x) = x2 ex sin x. Řešení: f (x) = [x2 (ex sin x)] = 2x(ex sin x) + x2 (ex sin x) = = 2x ex sin x + x2 (ex sin x + ex cos x) = x ex (2 sin x + x sin x + x cos x). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 189 (171) Zderivujte f(x) = 1 ln x . Řešení: f (x) = (ln−1 x) = −1 ln−2 x 1 x = − 1 x ln2 x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 190 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (172) Zderivujte f(x) = arccotg 2x. Řešení: f (x) = −1 1 + (2x)2 · 2 = −2 1 + 4x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 191 (173) Zderivujte f(x) = (2x + 6)4x . Řešení: f (x) = 2 · 4x + (2x + 6)4x ln 4 = 2 · 4x 1 + (x + 3) ln 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 192 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (174) Zderivujte f(x) = 7 √ x ln x . Řešení: f (x) = 7 √ x ln x ln 7 · 1 2 √ x ln x − √ x1 x ln2 x = 7 √ x ln x ln 7 · 1 2 √ x ln x − 1√ x ln2 x = = 7 √ x ln x ln 7 · ln x − 2 2 √ x ln2 x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 193 (175) Zderivujte f(x) = x sin2 (2x). Řešení: f (x) = 1 sin2 2x + x2 sin 2x cos 2x2 = sin2 2x + 2x2 sin x cos x = sin2 2x + 2x sin 4x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 194 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (176) Zderivujte f(x) = −2 ln cos x . Řešení: f (x) = −2[(ln cos x)−1 ] = −2(−1)(ln cos x)−2 1 cos x (− sin x) = = −2 sin x cos x(ln cos x)2 = −2 tg x ln2 cos x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 195 (177) Zderivujte f(x) = 72x3+x−9 . Řešení: f (x) = 72x3+x−9 ln 7(6x2 + 1). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 196 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (178) Zderivujte f(x) = 1 − x x2 + 1 . Řešení: f (x) = 1 2 x2 + 1 1 − x · (−1)(x2 + 1) − (1 − x)2x (x2 + 1)2 = = x2 + 1 1 − x · x2 − 2x − 1 2(x2 + 1)2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 197 (179) Zderivujte f(x) = arccotg 2x x2 − 1 . Řešení: f (x) = −1 1 + 2x x2−1 2 · 2(x2 − 1) − 2x · 2x (x2 − 1)2 = −1 (x2−1)2+4x2 (x2−1)2 · −2x2 − 2 (x2 − 1)2 = = 2x2 + 2 x4 + 2x2 + 1 = 2(x2 + 1) (x2 + 1)2 = 2 x2 + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 198 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (180) Zderivujte f(x) = 1 √ 5 arctg √ 5x 1 − x2 . Řešení: f (x) = 1 √ 5 · 1 1 + √ 5x 1−x2 2 · √ 5(1 − x2 ) − √ 5x(−2x) (1 − x2)2 = = 1 √ 5 · 1 1 + 5x2 (1−x2)2 · √ 5(x2 + 1) (1 − x2)2 = 1 (1−x2)2+5x2 (1−x2)2 · x2 + 1 (1 − x2)2 = x2 + 1 x4 + 3x2 + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 199 (181) Zderivujte f(x) = x5 + 5x . Řešení: f (x) = 5x4 + 5x ln 5. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 200 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (182) Zderivujte f(x) = 5x5 5 √ 5x. Řešení: f (x) = 5 · 5x4 5 √ 5x + 5x5 1 5 (5x )−4 5 5x ln 5 = 25x4 5 √ 5x + x5 5 √ 5x ln 5 = = x4 5 √ 5x(25 + x ln 5). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 201 (183) Zderivujte f(x) = ln ln(x − 3) + arcsin x − 5 2 . Řešení: f (x) = 1 ln(x − 3) 1 x − 3 + 1 1 − x−5 2 2 1 2 = = 1 (x − 3) ln(x − 3) + 1 √ −x2 + 10x − 21 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 202 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (184) Zderivujte f(x) = arccos log2 3 x2 . Řešení: f (x) = −1 1 − log2 2 3 x2 1 x2 ln 2 3 2x = = −2 x ln 2 3 1 − log2 2 3 x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 203 (185) Zderivujte f(x) = ln2 cos3 x5 . Řešení: f (x) = 2 ln cos3 x5 · 1 cos3 x5 · 3 cos2 x5 (− sin x5 )5x4 = −30 ln cos3 x5 · cos2 x5 · sin x5 · x4 cos3 x5 = = −30x4 · ln cos3 x5 · tg x5 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 204 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (186) Zderivujte f(x) = 3 ln cos 2x + 1 4 . Řešení: f (x) = 1 3 ln cos 2x + 1 4 − 2 3 1 cos 2x+1 4 − sin 2x + 1 4 1 2 = = − 1 6 1 3 ln cos 2x+1 4 2 tg 2x + 1 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 205 (187) Zderivujte f(x) = xx . Řešení: Poněvadž se proměnná x vyskytuje v základu i v exponentu, musíme využít exponenciální funkci, tj. (xx ) = ex ln x = ex ln x (x ln x) = ex ln x 1 · ln x + x · 1 x = = ex ln x (1 + ln x) = xx (1 + ln x) . Zkuste výsledek porovnat s tím, který byste obdrželi aplikováním vzorce (xn ) = nxn−1 a/nebo (ax ) = ax ln a. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 206 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (188) Zderivujte f(x) = xx2 . Řešení: xx2 = ex2 ln x = ex2 ln x x2 ln x = ex2 ln x 2x · ln x + x2 · 1 x = = xx2 (2x · ln x + x) = xx2+1 (2 ln x + 1) Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 207 (189) Zderivujte f(x) = xsin x . Řešení: xsin x = esin x·ln x = esin x·ln x (sin x · ln x) = = esin x·ln x cos x · ln x + sin x x = xsin x cos x · ln x + sin x x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 208 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (190) Zderivujte f(x) = (sin x)ln x . Řešení: (sin x)ln x = eln x·ln sin x = eln x·ln sin x (ln x · ln sin x) = = eln x·ln sin x 1 x · ln sin x + ln x · 1 sin x · cos x = = (sin x)ln x ln sin x x + cos x · ln x sin x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 209 (191) Zderivujte f(x) = (ln x)tg x . Řešení: f (x) = etg x ln ln x = etg x ln ln x (tg x ln ln x) = (ln x)tg x 1 cos2 x ln ln x + tg x 1 ln x 1 x = = (ln x)tg x ln ln x cos2 x + tg x x ln x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 210 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (192) Zderivujte f(x) = 1 − ex 1 + ex . Řešení: 1 − ex 1 + ex = 1 2 · 1 1−ex 1+ex · − ex (1 + ex ) − (1 − ex ) ex (1 + ex)2 = = 1 2 1 + ex 1 − ex · −2 ex (1 + ex)2 = (1 + ex)2 1 − e2x · − ex (1 + ex)2 = = − ex (1 + ex) √ 1 − e2x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 211 (193) Zderivujte f(x) = (x2 + 1)arctg x . Řešení: (x2 + 1)arctg x = earctg x·ln(x2+1) = earctg x·ln(x2+1) arctg x · ln(x2 + 1) = = earctg x·ln(x2+1) 1 1 + x2 · ln(x2 + 1) + arctg x · 1 x2 + 1 · 2x = = (x2 + 1)arctg x−1 2x arctg x + ln(x2 + 1) . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 212 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (194) Zderivujte f(x) = ln ex x2 + 1 . Řešení: ln ex x2 + 1 = 1 ex x2+1 · ex x2 + 1 − ex 2x (x2 + 1)2 = x2 + 1 ex · ex (x − 1)2 (x2 + 1)2 = (x − 1)2 x2 + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 213 (195) Zderivujte f(x) = ln √ x2 + 1 x + 1 . Řešení: ln √ x2 + 1 x + 1 = x + 1 √ x2 + 1 · 2x 2 √ x2+1 · (x + 1) − √ x2 + 1 (x + 1)2 = = x(x + 1) − x2 − 1 (x2 + 1)(x + 1) = x − 1 (x + 1)(x2 + 1) . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 214 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (196) Zderivujte f(x) = ln 1 − sin x 1 + sin x . Řešení: ln 1 − sin x 1 + sin x = 1 1−sin x 1+sin x · 1 2 1−sin x 1+sin x · − cos x(1 + sin x) − (1 − sin x) cos x (1 + sin x)2 = = 1 2 · 1 + sin x 1 − sin x · −2 cos x (1 + sin x)2 = − cos x 1 − sin2 x = − 1 cos x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 215 (197) Zderivujte f(x) = ln x + 2 − 2 √ x + 1 x . Řešení: ln x + 2 − 2 √ x + 1 x = x x + 2 − 2 √ x + 1 · 1 − 2 2 √ x+1 · x − x − 2 + 2 √ x + 1 x2 = = √ x + 1 − 1 x − x √ x + 1 − 2 √ x + 1 + 2x + 2 x2 √ x + 1 + 2x √ x + 1 − 2x2 − 2x = = 2 + x − 2 √ x + 1 x x + 2 − 2 √ x + 1 √ x + 1 = 1 x √ x + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 216 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (198) Zderivujte f(x) = arccos x x + 1 2 ln 1 − √ 1 − x2 1 + √ 1 − x2 . Řešení: arccos x x + 1 2 ln 1 − √ 1 − x2 1 + √ 1 − x2 = − 1√ 1−x2 · x − arccos x x2 + + 1 2 · 1 + √ 1 − x2 1 − √ 1 − x2 · − −2x 2 √ 1−x2 · 1 + √ 1 − x2 − 1 − √ 1 − x2 −2x 2 √ 1−x2 1 + √ 1 − x2 2 = = − 1 x √ 1 − x2 − arccos x x2 + 1 2 · x√ 1−x2 + x + x√ 1−x2 − x 1 − 1 + x2 = = − 1 x √ 1 − x2 − arccos x x2 + 1 2 · 2x√ 1−x2 x2 = = − 1 x √ 1 − x2 − arccos x x2 + 1 2 · 1 x √ 1 − x2 = − arccos x x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 217 (199) Zderivujte f(x) = (x − 2) √ 1 + ex − ln √ 1 + ex − 1 √ 1 + ex + 1 . Řešení: (x − 2) √ 1 + ex − ln √ 1 + ex − 1 √ 1 + ex + 1 = √ 1 + ex + (x − 2) · ex 2 √ 1 + ex − − √ 1 + ex + 1 √ 1 + ex − 1 · ex 2 √ 1+ex √ 1 + ex + 1 − √ 1 + ex − 1 ex 2 √ 1+ex √ 1 + ex + 1 2 = = √ 1 + ex + (x − 2) ex 2 √ 1 + ex − ex + ex 2 √ 1+ex − ex + ex 2 √ 1+ex 1 + ex −1 = = √ 1 + ex + (x − 2) ex 2 √ 1 + ex − 2 ex 2 √ 1+ex ex = = √ 1 + ex + (x − 2) ex 2 √ 1 + ex − 1 √ 1 + ex = = 1 + ex +x ex 2 − ex −1 √ 1 + ex = x ex 2 √ 1 + ex . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 218 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (200) Zderivujte f(x) = arcsin 1 − x 1 + x . Řešení: arcsin 1 − x 1 + x = 1 1 − 1−x 1+x · 1 2 1−x 1+x · −1 · (1 + x) − (1 − x) · 1 (1 + x)2 = = 1 2 · 1 1+x−1+x 1+x · 1 + x 1 − x · −2 (1 + x)2 = = − 1 + x 2x · 1 + x 1 − x · 1 (1 + x)2 = = − 1 (1 + x) √ 2x − 2x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 219 (201) Určete první a druhou derivaci funkce f(x) = x2 sin √ x. Řešení: x2 sin √ x = 2x sin √ x + x2 2 √ x cos √ x, x2 sin √ x = 2x sin √ x + x2 2 √ x cos √ x = = 2 sin √ x + 2x 2 √ x cos √ x + 1 2 · 3 2 √ x cos √ x − 1 2 x 3 2 · 1 2 √ x sin √ x = = 2 sin √ x + 7 4 √ x cos √ x − 1 4 x sin √ x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 220 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (202) Určete první a druhou derivaci funkce f(x) = tg2 x. Řešení: tg2 x = sin2 x cos2 x = 2 · sin x · cos x · cos2 x − sin2 x · 2 · cos x · (− sin x) cos4 x = = 2 · sin x · cos x · cos2 x + sin2 x cos4 x = 2 · sin x cos3 x , tg2 x = 2 · sin x cos3 x = 2 · cos x · cos3 x − 2 · sin x · 3 · cos2 x · (− sin x) cos6 x = = 2 · cos4 x + 6 · sin2 x · cos2 x cos6 x = = 2 · cos2 x + 6 · sin2 x cos4 x . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 221 (203) Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x0. f(x) = 3x2 + 2x − 8, x0 = −1. Řešení: f (x) = 6x + 2, f (−1) = 6(−1) + 2 = −4. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 222 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (204) Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x0. f(x) = ln tg x, x0 = π 12 . Řešení: f (x) = 1 tg x · 1 cos2 x = 1 sin x cos x cos2 x = = 1 sin x cos x = 2 2 sin x cos x = 2 sin 2x , f ( π 12 ) = 2 sin π 6 = 2 1 2 = 4. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 223 (205) Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první a druhé derivace této funkce. f(x) = 3x4 + 1, x0 = −1. Řešení: f (x) = 1 2 (3x4 + 1)−1 2 12x3 = 6x3 √ 3x4 + 1 , f (x) = 18x2 √ 3x4 + 1 − 6x3 6x3 √ 3x4+1 3x4 + 1 , f(−1) = √ 3 + 1 = 2, f (−1) = −6 2 = −3, f (−1) = 18 · 2 − 36 2 4 = 9 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 224 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (206) Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první a druhé derivace této funkce. f(x) = x sin 2x, x0 = π 4 . Řešení: f (x) = 1 sin 2x + x cos 2x2 = sin 2x + 2x cos 2x, f (x) = 2 cos 2x + 2 cos 2x + 2x(− sin 2x)2 = 4 cos 2x − 4x sin 2x, f(π 4 ) = π 4 1 = π 4 , f (π 4 ) = 1 + 0 = 1, f (π 4 ) = 0 − 4π 4 1 = −π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 225 (207) Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce arccos x. Řešení: (arccos x) = 1 cos (arccos x) = 1 − sin(arccos x) = = −1 1 − cos2(arccos x) = −1 √ 1 − x2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 226 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (208) Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce 3 √ x. Řešení: ( 3 √ x)  3 √ x = y  = 1 (y3) = 1 3y2 = 1 3( 3 √ x)2 = 1 3( 3 √ x)2 = 1 3 x− 2 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 227 (209) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = x2 − 3x + 11 v bodě x0 = 2. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 2, tj. f (x) = 2x − 3 2 √ x2 − 3x + 11 x=2 1 6 , f(x) = x2 − 3x + 11 x=2 3. Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − 3 = 1 6 (x − 2) , n : y − 3 = −6(x − 2), y = x 6 + 8 3 , y = −6x + 15. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 228 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (210) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = arctg x2 − 1 v bodě x0 = √ 2. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = √ 2, tj. f (x) = 1 1 + x2 − 1 · 2x 2 √ x2 − 1 x= √ 2 √ 2 2 , f(x) = arctg x2 − 1 x= √ 2 π 4 . Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − π 4 = √ 2 2 x − √ 2 , n : y − π 4 = − 2 √ 2 · x − √ 2 , y = √ 2 2 x − 1 + π 4 , y = − 2 √ 2 x + 2 + π 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 229 (211) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = 4 − x2 v dotykovém bodě x0, jenž je průsečíkem grafu funkce f(x) s kladnou částí osy x. Řešení: Nejdříve určíme bod x0. Funkce f(x) má s osou x průsečíky v bodech, které jsou řešením kvadratické rovnice f(x) = 0. Tato řešení jsou ±2, proto x0 = 2. Nyní spočítáme funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 2, tj. f (x) = −2x x=2 −4, f(x) = 4 − x2 x=2 0. Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − 0 = −4 (x − 2) , n : y − 0 = 1 4 · (x − 2) , y = −4x + 8, y = 1 4 x − 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 230 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (212) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = x e−x2 2 v bodě x0 = 1. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 1, tj. f (x) = e− x2 2 +x e− x2 2 − 2x 2 x=1 0, f(x) = x e− x2 2 x=1 e−1 2 . Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − e− 1 2 = 0 (x − 1) , n : x = 1, y = e− 1 2 , x = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 231 (213) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = x2 log2(x2 − 7). v bodě x0 = −3. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −3, tj. f (x) = 2x log2(x2 − 7) + 2x3 (x2 − 7) ln 2 x=−3 −6 − 27 ln 2 , f(x) = x2 log2(x2 − 7) x=−3 9. Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − 9 = −6 − 27 ln 2 (x + 3), y = − 6 + 27 ln 2 x + 9 − 3 6 + 27 ln 2 , n : y − 9 = 1 6 + 27 ln 2 (x + 3), y = ln 2 6 ln 2 + 27 x + 9 + 3 ln 2 6 ln 2 + 27 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 232 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (214) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = 1 − x x2 − 3 . v bodě x0 = −2. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −2, tj. f (x) = x2 − 2x + 3 (x2 − 3)2 x=−2 11, f(x) = 1 − x x2 − 3 x=−2 3. Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − 3 = 11(x + 2), y = 11x + 25, n : y − 3 = − 1 11 (x + 2), y = − x 11 + 31 11 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 3. Derivace funkce 233 (215) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = 2x + sin x. v bodě x0 = π. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = π, tj. f (x) = 2 + cos x x=π 1, f(x) = 2x + sin x x=π 2π. Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − 2π = 1(x − π), y = x + π, n : y − 2π = −1(x − π), y = −x + 3π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 234 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (216) Určete rovnici tečny a normály funkce f(x) = (x2 + 1) x2 − 4x + 11. v bodě x0 = −1. Řešení: Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −1, tj. f (x) = 3x3 − 10x2 + 23x − 2 √ x2 − 4x + 11 x=−1 − 19 2 , f(x) = (x2 + 1) x2 − 4x + 11 x=−1 8. Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme t : y − 8 = − 19 2 (x + 1), y = − 19 2 x − 3 2 , n : y − 8 = 2 19 (x + 1), y = 2 19 x + 154 19 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 235 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo Věta 11 (l’Hospitalovo pravidlo). Buď x0 ∈ R∗ . Nechť je splněna jedna z podmínek • limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = 0, • limx→x0 |g(x)| = +∞. Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limx→x0 f (x) g (x) , pak existuje také limx→x0 f(x) g(x) a platí lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0 f (x) g (x) . V roce 1921 bylo dokázáno, že autorem tohoto pravidla je Johann I. Bernoulli (1667–1748), jehož byl Guillaume Francois Antoine de l’Hospital (1661–1704) žákem. Na základě poznámek z Bernoulliových přednášek vydal l’Hospital v roce 1696 první tištěnou učebnici diferenciálního počtu Analýza nekonečně malých veličin. Výpočet limit s neurčitými výrazy pomocí l’Hospitalova pravidla: • ∞ − ∞ ⇒ lim x→x0 (f(x) − g(x)) = lim x→x0      1 1 f(x) − 1 1 g(x)      = lim x→x0 1 g(x) − 1 f(x) 1 f(x)g(x) ⇒ 0 0 ; • − ∞ + ∞ ⇒ analogicky jako předchozí úprava; • 0 · ∞ ⇒ lim x→x0 f(x)g(x) = lim x→x0 f(x) 1 g(x) ⇒ 0 0 ; • 00 , ∞0 , 1∞ ⇒ lim x→x0 f(x)g(x) = lim x→x0 eg(x)·ln f(x) = elimx→x0 (g(x) ln f(x)) ⇒ předchozí případ ⇒ 0 0 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 236 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (217) Vypočtěte limitu lim x→2 x2 − 4 x2 − x − 2 . Řešení: lim x→2 x2 − 4 x2 − x − 2 0 0  l’H.p. = lim x→2 2x 2x − 1 = 4 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 237 (218) Pro a > 0 vypočtěte limitu lim x→0 ax − 1 x . Řešení: lim x→0 ax − 1 x 0 0  l’H.p. = lim x→0 ax ln a 1 = ln a. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 238 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (219) Vypočtěte limitu lim x→0 1 − cos x x sin x . Řešení: lim x→0 1 − cos x x sin x 0 0  l’H.p. = lim x→0 sin x sin x + x cos x 0 0  l’H.p. = lim x→0 cos x cos x + cos x − x sin x = 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 239 (220) Vypočtěte limitu lim x→1 cos(πx) + 1 (x − 1)2 . Řešení: lim x→1 cos(πx) + 1 (x − 1)2 0 0  l’H.p. = lim x→1 −π sin(πx) 2(x − 1) 0 0  l’H.p. = lim x→1 −π2 cos(πx) 2 = π2 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 240 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (221) Následující příklad ukazuje, že ne vždy je vhodné použít l’Hospitalovo pravidlo lim x→∞ x √ x2 + 1 . Řešení: lim x→∞ x √ x2 + 1 ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 2x 2 √ x2+1 = lim x→∞ √ x2 + 1 x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ x √ x2 + 1 , čímž jsme se dostali zpět k zadání. Řešení příkladu bez použití l’Hospitalova pravidla vede k výsledku lim x→∞ x √ x2 + 1 = lim x→∞ x x 1 + 1 x2 = lim x→∞ 1 1 + 1 x2 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 241 (222) Vypočtěte limitu lim x→ π 4 − tg 2x ln(tg x). Řešení: lim x→ π 4 − tg 2x ln(tg x) ∞ · 0  = lim x→ π 4 − ln(tg x) 1 tg 2x 0 0  = l’H.p. = lim x→ π 4 − − tg2 2x cos2 2x 2 tg x cos2 x = lim x→ π 4 − − sin2 2x 2 sin x cos2 x = = lim x→ π 4 − − sin2 2x sin 2x = − lim x→ π 4 − sin 2x = −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 242 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (223) Vypočtěte limitu lim x→0 ln(1 + sin x) sin 4x . Řešení: lim x→0 ln(1 + sin x) sin 4x 0 0  l’H.p. = lim x→0 1 1+sin x cos x 4 cos 4x = 1 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 243 (224) Vypočtěte limitu lim x→ π 2 (1 − sin x) tg x. Řešení: lim x→ π 2 (1 − sin x) tg x 0 · ∞  = lim x→ π 2 1 − sin x cotg x 0 0  = l’H.p. = lim x→ π 2 sin2 x cos x = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 244 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (225) Vypočtěte limitu lim x→0 1 x sin x − 1 x2 . Řešení: lim x→0 1 x sin x − 1 x2 ∞ − ∞  = lim x→0 x − sin x x2 sin x 0 0  l’H.p. = lim x→0 1 − cos x 2x sin x + x2 cos x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 sin x 2 sin x + 2x cos x + 2x cos x − x2 sin x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 cos x 2 cos x + 4 cos x − 4x sin x − x2x sin x − x2 cos x = 1 6 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 245 (226) Vypočtěte limitu lim x→0 1 sin x − 1 ex −1 . Řešení: lim x→0 1 sin x − 1 ex −1 ∞ − ∞  = lim x→0 ex −1 − sin x (ex −1) sin x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 ex − cos x ex sin x + (ex −1) cos x 0 0  l’H.p. = lim x→0 ex + sin x ex sin x + ex cos x + ex cos x − (ex −1) sin x = 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 246 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (227) Vypočtěte limitu lim x→0+ 1 x − 1 sin x . Řešení: lim x→0+ 1 x − 1 sin x ∞ − ∞  = lim x→0+ sin x − x x sin x 0 0  l’H.p. = = lim x→0+ cos x − 1 sin x + x cos x 0 0  l’H.p. = lim x→0+ − sin x cos x + cos x − x sin x = 0 Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 247 (228) Vypočtěte limitu lim x→0 x − 1 2x2 + 1 x(e2x −1) . Řešení: lim x→0 x − 1 2x2 + 1 x(e2x −1) −∞ + ∞  = lim x→0 (x − 1) e2x −1 + 2x 2x2 (e2x −1) 0 0  l’H.p. = = lim x→0 e2x +2x e2x −1 − 2 e2x +2 4x (e2x −1) + 4x2 e2x = lim x→0 − e2x +2x e2x +1 4x e2x −4x + 4x2 e2x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 −2 e2x +2 e2x +4x e2x 4 e2x +8x e2x −4 + 8x e2x +8x2 e2x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 4 e2x +8x e2x 8 e2x +16x e2x +32x e2x +16x e2x +16x2 e2x = 1 6 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 248 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (229) Vypočtěte limitu lim x→1 x x − 1 − 1 ln x . Řešení: lim x→1 x x − 1 − 1 ln x ∞ − ∞  = lim x→1 x ln x − x + 1 (x − 1) ln x 0 0  l’H.p. = = lim x→1 ln x + 1 − 1 ln x + x−1 x = lim x→1 ln x ln x + 1 − 1 x 0 0  l’H.p. = lim x→1 1 x 1 x + 1 x2 · x2 x2 = lim x→1 x x + 1 = 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 249 (230) Vypočtěte limitu lim x→1 1 2 ln x − 1 x2 − 1 . Řešení: lim x→1 1 2 ln x − 1 x2 − 1 ∞ − ∞  = lim x→1 x2 − 1 − 2 ln x 2(x2 − 1) ln x 0 0  l’H.p. = = lim x→1 2x − 2 x 4x ln x + 2(x2−1) x · x x = lim x→1 2x2 − 2 4x2 ln x + 2x2 − 2 0 0  l’H.p. = = lim x→1 4x 8x ln x + 4x + 4x = 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 250 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (231) Vypočtěte limitu lim x→0 1 x − 1 ln(1 + x) . Řešení: lim x→0 1 x − 1 ln(1 + x) ±∞ ∞  = lim x→0 ln(1 + x) − x x ln(1 + x) 0 0  l’H.p. = = lim x→0 1 1+x − 1 ln(1 + x) + x 1+x · 1 + x 1 + x = lim x→0 1 − 1 − x (1 + x) ln(1 + x) + x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 −1 ln(1 + x) + 1 + 1 = − 1 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 251 (232) Vypočtěte limitu lim x→0+ x ln x. Řešení: lim x→0+ x ln x 0 · (−∞)  = lim x→0+ ln x 1 x −∞ ∞  l’H.p. = lim x→0+ 1 x − 1 x2 = lim x→0+ (−x) = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 252 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (233) Vypočtěte limitu lim x→∞ (π − 2 arctg x) ln x. Řešení: lim x→∞ (π − 2 arctg x) ln x 0 · ∞  = lim x→∞ π − 2 arctg x 1 ln x 0 0  l’H.p. = = lim x→∞ − −2 1+x2 − 1 ln2 x · 1 x = lim x→∞ 2x ln2 x 1 + x2 ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 2 ln2 x + 4x ln x x 2x = = lim x→∞ 2 ln2 x + 4 ln x 2x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 4 ln x x + 4 x 2 = lim x→∞ 4 ln x + 4 2x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 4 x 2 = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 253 (234) Vypočtěte limitu lim x→∞ x e−x . Řešení: lim x→∞ x e−x ∞ · 0  = lim x→∞ x ex ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 ex = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 254 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (235) Vypočtěte limitu lim x→0+ x e 1 x . Řešení: lim x→0+ x e 1 x 0 · ∞  = lim x→0+ e 1 x x−1 ∞ ∞  l’H.p. = lim x→0+ −x−2 e 1 x −x−2 = lim x→0+ e 1 x e 1 0+  = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 255 (236) Vypočtěte limitu lim x→0− x e− 1 x . Řešení: lim x→0− x e− 1 x 0 · ∞  = lim x→0− e− 1 x x−1 ∞ ∞  l’H.p. = = lim x→0− x−2 e− 1 x −x−2 = lim x→0− − e− 1 x − e− 1 0−  = −∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 256 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (237) Vypočtěte limitu lim x→0 e−x−2 x100 . Řešení: lim x→0 e−x−2 x100 0 0  l’H.p. = lim x→0 e−x−2 (−1)(−2)x−3 100x99 = 1 50 lim x→0 e−x−2 x102 . Je vidět, že situace se zhoršila a tudy cesta nevede. Upravme tedy zadání a počítejme znovu. lim x→0 e−x−2 x100 = lim x→0 x−100 ex−2 ∞ ∞  l’H.p. = = lim x→0 −100x−101 ex−2 (−2)x−3 = 50 lim x→0 x−98 ex−2 ∞ ∞  = použijeme ještě 49 × l’Hospitalovo pravidlo  = 50! lim x→0 x0 ex−2  1 ∞  = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 257 (238) Vypočtěte limitu lim x→0 (cos 3x) 1 x2 . Řešení: lim x→0 (cos 3x) 1 x2 = elimx→0( 1 x2 ·ln cos 3x) = e−9 2 , neboť platí lim x→0 ln cos 3x x2 0 0  l’H.p. = lim x→0 −3 sin 3x cos 3x 2x = − lim x→0 3 sin 3x 2x cos 3x 0 0  l’H.p. = = − lim x→0 9 cos 3x 2 cos 3x − 6x sin 3x = − 9 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 258 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (239) Vypočtěte limitu lim x→0 tg π 4 + x cotg 2x . Řešení: lim x→0 tg π 4 + x cotg 2x = elimx→0{cotg(2x)·ln[tg(π 4 +x)]} = e, neboť platí lim x→0 cotg(2x) · ln tg π 4 + x = lim x→0 cos(2x) · ln π 4 + x sin 2x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 −2 sin(2x) · ln π 4 + x + cos(2x) · 1 tg(π 4 +x) · 1 cos2 (π 4 +x) 2 cos 2x = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 259 (240) Vypočtěte limitu lim x→1+ x 1 1−x . Řešení: lim x→1+ x 1 1−x = elimx→1+( 1 1−x ·ln x) = e−1 , neboť platí lim x→1+ 1 1 − x · ln x = lim x→1+ ln x 1 − x 0 0  l’H.p. = lim x→1+ 1 x −1 = −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 260 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (241) Vypočtěte limitu lim x→ π 4 (tg x)tg 2x . Řešení: lim x→ π 4 (tg x)tg 2x = e limx→ π 4 [tg(2x)·ln(tg x)] = e−1 , neboť platí lim x→ π 4 [tg (2x) · ln (tg x)] = lim x→ π 4 sin(2x) · ln(tg x) cos 2x 0 0  l’H.p. = = lim x→ π 4 2 cos(2x) · ln(tg x) + sin(2x) · 1 tg x · 1 cos2 x −2 sin 2x = −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 261 (242) Vypočtěte limitu lim x→0 sin x x 1 x2 . Řešení: lim x→0 sin x x 1 x2 = elimx→0( 1 x2 ·ln sin x x ) = e−1 6 , neboť platí lim x→0 1 x2 · ln sin x x = lim x→0 ln sin x x x2 0 0  l’H.p. = lim x→0 x sin x · (cos x)·x−sin x x2 2x = = lim x→0 x cos x − sin x 2x2 sin x 0 0  l’H.p. = lim x→0 cos x − x sin x − cos x 4x sin x + 2x2 cos x = = lim x→0 − sin x 4 sin x + 2x cos x 0 0  l’H.p. = lim x→0 − cos x 4 cos x + 2 cos x − 2x sin x = − 1 6 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 262 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (243) Vypočtěte limitu lim x→0 arctg x x 1 x . Řešení: lim x→0 arctg x x 1 x = elimx→0(1 x ·ln arctg x x ) = e0 = 1, neboť platí lim x→0 1 x · ln arctg x x = lim x→0 ln arctg x x x  což je limita typu 0 0 , neboť platí limx→0 arctg x x l’H.p. = limx→0 1 1+x2 1 = 1  l’H.p. = = lim x→0 x arctg x x 1+x2 −arctg x x2 1 = lim x→0 x 1+x2 − arctg x x arctg x = lim x→0 x − (1 + x2 ) arctg x (1 + x2)x arctg x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 1 − 2x arctg x − 1 (1 + 3x2) arctg x + x 0 0  l’H.p. = lim x→0 −2 arctg x − 2x 1+x2 6x arctg x + 1+3x2 1+x2 + 1 = = lim x→0 −2(1 + x2 ) arctg x − 2x 6x(1 + x2) arctg x + 1 + 3x2 + 1 + x2 = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 263 (244) Vypočtěte limitu lim x→0+ (cotg x)sin x . Řešení: lim x→0+ (cotg x)sin x = elimx→0+ (sin x·ln cotg x) = 1, neboť platí lim x→0+ (sin x · ln cotg x) 0 · ∞  = lim x→0+ ln cos x sin x 1 sin x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→0+ sin x cos x · −1 sin2 x − cos x sin2 x = = lim x→0+ sin x sin2 x · cos x · sin2 x cos x = lim x→0+ sin x cos2 x = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 264 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (245) Vypočtěte limitu lim x→0 sin x x 1 1−cos x . Řešení: lim x→0 sin x x 1 1−cos x = elimx→0( 1 1−cos x ·ln sin x x ) = e− 1 3 , neboť platí lim x→0 1 1 − cos x · ln sin x x = lim x→0 ln sin x x 1 − cos x 0 0  l’H.p. = lim x→0 x sin x · (cos x)x−sin x x2 sin x = = lim x→0 x cos x − sin x x sin2 x 0 0  l’H.p. = lim x→0 cos x − x sin x − cos x sin2 x + 2x sin x cos x = = lim x→0 −x sin x sin2 x + x sin 2x 0 0  l’H.p. = lim x→0 − sin x − x cos x 2 sin x cos x + sin 2x + 2x cos 2x = = lim x→0 − sin x − x cos x sin 2x + sin 2x + 2x cos 2x 0 0  l’H.p. = = lim x→0 − cos x − cos x + x sin x 2 cos 2x + 2 cos 2x + 2 cos 2x − 4x sin 2x = − 1 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 265 (246) Rozhodněte, zda je funkce f(x) = x·cos 2x·sin 3x x2−π2 , x = π, −1 2 , x = π spojitá. Řešení: Pomocí l’Hospitalova pravidla dostaneme lim x→π x · cos 2x · sin 3x x2 − π2 0 0  l’H.p. = = lim x→π cos 2x · sin 3x − 2x sin 2x · sin 3x + 3x cos 2x · cos 3x 2x = − 3 2 , což znamená, že funkce f(x) není spojitá. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetˇrování pr ˚ubˇehu funkce Monotonie a lokální extrémy Důsledek 12. Nechť má funkce f(x) konečnou derivaci na intervalu I. • Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f rostoucí na I. • Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f klesající na I. Definice 13. Nechť x0 ∈ D(f). Tento bod se nazývá stacionární, pokud f (x0) = 0. Poznámka 14. Lokální extrém může nastat buď ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde f (x0) neexistuje. Věta 15. Nechť je funkce f(x) spojitá v bodě x0 a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí O{x0}\x0. Jestliže pro všechna x ∈ O(x0), x < x0, je f(x0) > 0 (f(x0) < 0) a jestliže pro všechna x ∈ O{x0}, x > x0, je f(x0) < 0 (f(x0) > 0), pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum (minimum). Věta 16. Nechť f (x0) = 0. Je-li f (x0) > 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální minimum. Je-li f (x0) < 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 ostré lokální maximum. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Důsledek 17. Nechť I je otevřený interval a funkce f(x) má vlastní druhou derivaci na intervalu I. • Je-li f (x) > 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konvexní na I. • Je-li f (x) < 0 pro každé x ∈ I, pak je f ostře konkávní na I. Definice 18. Nechť x0 ∈ D(f). Tento bod se nazývá kritický, pokud f (x0) = 0. Věta 19. • Nechť x0 je inflexní bod a nechť existuje f (x0). Potom f (x0) = 0. • Nechť f (x0) = 0 a existuje okolí Oδ(x0) takové, že platí f (x0) < 0 pro každé x ∈ (x0 − δ, x0) a f (x0) > 0 pro každé x ∈ (x0, x0 + δ), nebo naopak. Pak je x0 inflexním bodem funkce f(x). • Nechť f (x0) = 0 a f (x0) = 0. Pak je x0 inflexním bodem funkce f(x). Poznámka 20. Inflexním bodem může může být buď kritický bod nebo bod, kde f (x0) neexistuje. Zde je potřeba dát pozor na definici inflexního bodu. V některých publikacích bývá inflexní bod definován jako kritický bod, v němž druhá derivace mění znaménko, což znamená, že v inflexním bodě musí existovat vlastní druhá derivace, jejíž hodnota je rovna nule. Inflexní body bývají někdy ještě rozdělovány do dvou kategorií podle chování f (x0). Pokud x0 je inflexní bod a současně f (x0) = 0, nazývá se bod x0 sedlovým bode (též stacionární inflexní bod), a pokud x0 je inflexní bod s f (x0) = 0, hovoříme o nestacionárním inflexním bodě. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 267 Asymptoty Definice 21. Buď x0 ∈ R. Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f, jestliže má f v x0 alespoň jednu limitu nevlastní, tj. lim x→x0+ f(x) = ±∞ nebo lim x→x0− f(x) = ±∞. Věta 22. Přímka y = ax+b je asymptotou se směrnicí funkce f pro x → +∞ právě tehdy, když existují konečné limity lim x→+∞ f(x) x = a, lim x→+∞ (f(x) − ax) = b. Analogické tvrzení platí pro x → −∞. Vyšetřování průběhu funkce — postup i) Definiční obor; ii) spojitost, charakterostika bodů nespojitosti; iii) lichost, sudost, periodičnost; iv) f(x) = 0, intervaly, kde je funkce kladná a záporná; v) f (x) = 0 a D(f ); vi) monotonie, extrémy; vii) f (x) = 0 a D(f ); viii) konvexnost, konkávnost, inflexní body; ix) asymptoty bez směrnice a směrnicí; x) graf funkce. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 268 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (247) Zjistěte, zda je funkce f(x) = x−3 e−x sin x sudá, nebo lichá. Řešení: Připomeňme, že funkce je sudá, jestliže je její graf symetrický dle osy y, tj. f(−x) = f(x), a lichá, jestliže je její graf symetrický dle počátku soustavy souřadnic, tj. f(−x) = −f(x). Spočtěme tedy, čemu se rovná f(−x). f(−x) = (−x)−3 e−(−x) sin(−x) = −x−3 ex(− sin x) = −x−3 e−x sin x = −f(x). Daná funkce je tedy lichá. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 269 (248) Zjistěte, zda je funkce f(x) = x(x2 + 5) cotg 1 x7 ln 3 √ x2 sudá, nebo lichá. Řešení: Spočtěme, čemu se rovná f(−x). f(−x) = (−x)[(−x)2 + 5] cotg 1 (−x)7 ln 3 (−x)2 = −x(x2 + 5) cotg − 1 x7 ln 3 √ x2 = −x(x2 + 5) − cotg 1 x7 ln 3 √ x2 = x(x2 + 5) cotg 1 x7 ln 3 √ x2 = f(x). Daná funkce je tedy sudá. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 270 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (249) Zjistěte, zda je funkce f(x) = x2 − 2x + 1 sin x sudá, nebo lichá. Řešení: Spočtěme, čemu se rovná f(−x). f(−x) = (−x)2 − 2(−x) + 1 sin(−x) = x2 + 2x + 1 − sin x = − x2 + 2x + 1 sin x = ±f(x). Daná funkce tedy není ani sudá, ani lichá. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 271 (250) Rozhodněte o kladnosti a zápornosti funkce f(x) = (x − 2) esin x arccotg x . Řešení: Funkce může změnit znaménko pouze ve svém nulovém bodě (protnutím osy x), nebo v bodech, kde není definována (přeskočením osy x). Proto nejprve určíme definiční obor dané funkce D(f) = R. Nyní najdeme nulové body této funkce f(x) = 0, (x − 2) esin x arccotg x = 0, (x − 2) esin x = 0, x − 2 = 0, x = 2. Obdrželi jsme celkem dva intervaly, na nichž musíme zjistit znaménko funkce. x (−∞, 2) (2, ∞) sgn f − + f záporná kladná Daná funkce je tedy záporná (její graf je pod osou x) v intervalu (−∞, 2) a kladná (její graf je nad osou x) v intervalu (2, ∞). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 272 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (251) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci f(x) = 12x5 − 15x4 − 40x3 + 60. Řešení: Nejdříve určíme definiční obor funkce f(x). Je zřejmé, že platí D(f) = R. Spočítáme první derivaci, tj. f (x) = 60x4 − 60x3 − 120x2 = 60x2 (x2 − x − 2). Nyní musíme určit definiční obor pro f (x), ten je očividně D(f ) = R, a stacionární body funkce f(x), tedy musíme vyřešit rovnici f (x) = 0. Proto 60x2 (x2 − x − 2) = 0 ⇒ ⇒ x1 = 0 nebo x2 − x − 2 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 2, x3 = −1. Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly (−∞, −1), (−1, 0), (0, 2) a (2, ∞), ve kterých zjistíme znaménka f (x). Podle těchto znamének určíme průběh funkce v jednotlivých intervalech a určíme případné extrémy. K tomu nám pomůže následující tabulka x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 2) (2, ∞) sgn f + − − + f Odtud je vidět, že funkce f(x) je rostoucí v intervalech (−∞, −1), a (2, ∞), klesající v (−1, 2). Funkce f(x) má dva lokální extrémy, lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum pro x = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 273 (252) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci f(x) = x e−x2 . Řešení: Stejným postupem jako v předchozím příkladě obdržíme D(f) = R, f (x) = e−x2 −2x2 e−x2 = e−x2 (1 − 2x2 ) a D(f ) = R. Nyní určíme stacionární body funkce f(x), proto e−x2 (1 − 2x2 ) = 0 ⇒ ⇒ 1 − 2x2 = 0 ⇒ x2 = 1 2 ⇒ x1 = √ 2 2 a x2 = − √ 2 2 . Nyní se nám definiční obor funkce f(x) rozpadl na tři intervaly, ve kterých určíme průběh funkce, tj. x −∞, − √ 2 2 − √ 2 2 , √ 2 2 √ 2 2 , ∞ sgn f − + − f Tedy funkce f(x) je rostoucí v intervalu − √ 2 2 , √ 2 2 a klesající v intervalech −∞, − √ 2 2 , √ 2 2 , ∞ . Také má dva lokální extrémy, konkrétně lokální minimum pro x = − √ 2 2 a lokální maximum pro x = √ 2 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 274 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (253) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci f(x) = x2 ln x . Řešení: Určíme potřebné definiční obory a derivaci f(x), tj. D(f) = (0, 1) ∪ (1, ∞), f (x) = 2x ln x − x ln2 x , D(f ) = (0, 1) ∪ (1, ∞). Určíme stacionární body, proto 2x ln x − x ln2 x ⇒ x (2 ln x − 1) = 0 ⇒ ⇒ x1 = 0 nebo ln x = 1 2 ⇒ x1 = 0 nebo x2 = e 1 2 . Ovšem bod x1 ∈ D(f), proto je stacionárním bodem pouze x2. Nyní analyzujeme monotonii funkce f(x), tj. x (0, 1) 1, e 1 2 e 1 2 , ∞ sgn f − − + f Tedy funkce f(x) je klesající v intervalech (0, 1), a (1, √ e), rostoucí v intervalu ( √ e, ∞) a s lokálním minimem pro x = √ e. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 275 (254) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci f(x) = x − 2 sin x, x ∈ (0, 2π). Řešení: Nejdříve určíme definiční obory (ty jsou určeny již zadáním příkladu) a f (x), tj. D(f) = (0, 2π), f (x) = 1 − 2 cos x, D(f ) = (0, 2π). Najdeme stacionární body 1 − 2 cos x = 0 ⇒ cos x = 1 2 ⇒ x1 = π 3 a x2 = 5π 3 . A analyzujeme monotonii funkce f(x) x 0, π 3 π 3 , 5π 3 5π 3 , 2π sgn f − + − f Funkce f(x) je tedy rostoucí na intervalu π 3 , 5π 3 a klesající na intervalech 0, π 3 , 5π 3 , 2π . Funkce má také dva lokální extrémy, lokální minimum pro x = π 3 a lokální maximum v bodě x = 5π 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 276 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (255) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci f(x) = 1 x ln 1 x . Řešení: Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj. D(f) = (0, ∞), f (x) = − 1 x2 1 + ln 1 x , D(f ) = (0, ∞). Najdeme stacionární body − 1 x2 1 + ln 1 x = 0 ⇒ ln 1 x = −1 ⇒ 1 x = e−1 ⇒ x = e . A analyzujeme monotonii funkce f(x) x (0, e) (e, ∞) sgn f − + f Funkce f(x) je tedy rostoucí na intervalu (e, ∞) a klesající na intervalu (0, e). Funkce má také lokální minimum pro x = e. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 277 (256) Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci f(x) = (x + 3)2 ex . Řešení: Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj. D(f) = R, f (x) = − x2 + 4x + 3 ex , D(f ) = R. Najdeme stacionární body − x2 + 4x + 3 ex = 0 ⇒ x2 + 4x + 3 = 0 ⇒ (x + 1)(x + 3) = 0 ⇒ x = −1 nebo x = −3. A analyzujeme monotonii funkce f(x) x (−∞, −3) (−3, −1) (−1, ∞) sgn f − + − f Funkce f(x) je tedy rostoucí pro x ∈ (−3, −1) a klesající pro x ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, ∞). Funkce má lokální minimum pro x = −3 a lokální maximum pro x = −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 278 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (257) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce f(x) = (x + 3)2 ex . Řešení: K analyzování chování tečen grafu funkce f(x) použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f (x). Tedy, nejdříve určíme definiční obory a f (x), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f (x) – tu ale již známe z příkladu 256, tedy D(f) = R, f (x) = − x2 + 4x + 3 ex , f (x) = x2 + 2x − 1 ex , D(f ) = R. Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f (x) = 0, tj. x2 + 2x − 1 ex = 0 ⇒ x2 + 2x − 1 = 0 ⇒ x1 = −1 − √ 2 a x2 = −1 + √ 2. Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f (x), tj. x (−∞, −1 − √ 2) (−1 − √ 2, −1 + √ 2) (−1 + √ 2, ∞) sgn f + − + f ∪ ∩ ∪ Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−∞, −1− √ 2) a (−1+ √ 2, ∞), konkávní v intervalu (−1 − √ 2, −1 + √ 2) a má dva inflexní body pro x = −1 − √ 2 a x = −1 + √ 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 279 (258) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce f(x) = x4 − 2x3 − 12x2 + 7x − 3. Řešení: K analyzování chování tečen grafu funkce f(x) použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce f (x). Tedy, nejdříve určíme definiční obory a f (x), k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i f (x), tj. D(f) = R, f (x) = 4x3 − 6x2 − 24x + 7, f (x) = 12x2 − 12x − 24, D(f ) = R. Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice f (x) = 0, tj. 12x2 − 12x − 24 = 0 ⇒ x1 = 2 a x2 = −1. Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f (x), tj. x (−∞, −1) (−1, 2) (2, ∞) sgn f + − + f ∪ ∩ ∪ Funkce f(x) je konvexní v intervalech (−∞, −1) a (2, ∞), konkávní v intervalu (−1, 2). Funkce má dva inflexní body pro x = −1 a x = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 280 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (259) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce f(x) = x e−x2 2 . Řešení: Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj. D(f) = R, f (x) = e−x2 2 1 − x2 , f (x) = x e−x2 2 x2 − 3 , D(f ) = R. Nyní určíme kritické body, tj. x e−x2 2 x2 − 3 = 0 ⇒ ⇒ x1 = 0 nebo x2 = 3 ⇒ x1 = 0, x2 = √ 3 a x3 = − √ 3. Teď se nám definiční obor rozpadl na čtyři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka f (x), tj. x −∞, − √ 3 − √ 3, 0 0, √ 3 √ 3, ∞ sgn f − + − + f ∩ ∪ ∩ ∪ Funkce f(x) je konvexní v intervalech (− √ 3, 0) a ( √ 3, ∞), konkávní v (−∞, − √ 3) a (0, √ 3). Funkce má tři inflexní body pro x = 0, ± √ 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 281 (260) Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce f(x) = 5 √ x3. Řešení: Nejdříve určíme definiční obory a f (x), tj. D(f) = R, f (x) = 3 5 5 √ x2 , f (x) = − 6 25 5 √ x7 , D(f ) = R \ {0}. Rovnice − 6 25 5 √ x7 = 0 nemá řešení. Ovšem druhá derivace neexistuje pro x = 0, proto nám tento bod rozdělí definiční obor funkce f(x) na dva intervaly, proto x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f + − f ∪ ∩ Funkce f(x) je konvexní na intervalu (−∞, 0) a konkávní na intervalu (0, −∞). Funkce má inflexní bod pro x = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 282 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (261) Určete asymptoty bez směrnice funkce f(x) = 1 x2 . Řešení: Určíme definiční obor funkce f(x), tj. D(f) = R \ {0}, proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je x = 0. Musíme ověřit limitní chování funkce f(x) v tomto bodě, tj. lim x→0 1 x2 = +∞. Proto existuje asymptota bez směrnice a je dána rovnicí x = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 283 (262) Určete asymptoty bez směrnice funkce f(x) = 5x + sin x x . Řešení: Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Určíme definiční obor funkce f(x), tj. D(f) = R \ {0}, proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je x = 0. Musíme ověřit limitní chování funkce f(x) v tomto bodě, tj. lim x→0 5x + sin x x = 1. Proto asymptota bez směrnice neexistuje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 284 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (263) Určete asymptoty v ±∞ funkce f(x) = 3x2 x − 1 . Řešení: K určení rovnice asymptoty se směrnicí budeme postupovat dle daných vzorců, proto a = lim x→±∞ f(x) x = lim x→±∞ 3x2 x−1 x = lim x→±∞ 3x x − 1 = lim x→±∞ 3 1 − 1 x = 3, b = lim x→±∞ (f(x) − ax) = lim x→±∞ 3x2 x − 1 − 3x = lim x→±∞ 3x2 − 3x2 + 3x x − 1 = = lim x→±∞ 3x x − 1 = 3. Při výpočtu jsme využili možnost nerozlišovat, zda limitu počítáme v +∞ nebo −∞ (toto samozřejmě v některých případech není možné a asymptoty se mohou lišit). Proto rovnice asymptoty se směrnicí je v obou směrech rovna y = 3x + 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 285 (264) Určete asymptoty funkce f(x) = 4 + x3 4 − x2 . Řešení: Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor D(f) = R \ {±2}. V „dírách“ definičního oboru vypočítáme jednostranné limity, tj. lim x→2 4 + x3 4 − x2 = lim x→2 4 + x3 (2 − x)(2 + x) = +∞, x → 2− , −∞, x → 2+ , lim x→−2 4 + x3 4 − x2 = lim x→−2 4 + x3 (2 − x)(2 + x) = +∞, x → −2− , −∞, x → −2+ . Funkce f(x) má tedy dvě asymptoty bez směrnice o rovnicí x = 2 a x = −2. Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj. a = lim x→±∞ 4+x3 4−x2 x = lim x→±∞ 4 + x3 4x − x3 = lim x→±∞ 4 x3 + 1 4 x2 − 1 = −1, b = lim x→±∞ 4 + x3 4 − x2 + x = lim x→±∞ 4 + x3 + 4x − x3 4 − x2 = lim x→±∞ 4 x2 + 4 x 4 x2 − 1 = 0. Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí o rovnici y = −x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 286 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (265) Určete asymptoty funkce f(x) = ex x + 1 . Řešení: Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor D(f) = R \ {−1}. Vypočítáme jednostranné limity v −1, tj. lim x→−1 ex x + 1 = +∞, x → −1+ , −∞, x → −1− , Funkce f(x) má tedy asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1. Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj. a = lim x→±∞ ex x+1 x = lim x→±∞ ex x2 + x = =    limx→∞ ex x2+x  ∞ ∞  l’H.p. = limx→∞ ex 2x+1  ∞ ∞  l’H.p. = limx→∞ ex 2 = ∞, limx→−∞ ex x2+x = 0. V dalším nás tedy zajímá pouze směr do −∞, proto b = lim x→−∞ ex x + 1 = 0. Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí pouze ve směru −∞ o rovnici y = 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 287 (266) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x3 x2 − 1 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2 −1 = 0. Proto máme D(f) = R \ {±1}. ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme lim x→1+ x3 x2 − 1 = lim x→1+ x3 x + 1 · 1 x − 1 = +∞, lim x→1− x3 x2 − 1 = lim x→1− x3 x + 1 · 1 x − 1 = −∞, lim x→−1+ x3 x2 − 1 = +∞, lim x→−1− x3 x2 − 1 = −∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = −x3 x2 − 1 = −f(x), je zadaná funkce lichá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x3 = 0 ⇔ x = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f − + − + f záporná kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = x2 x2 − 3 (x2 − 1)2 , D(f ) = R \ {±1}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x2 x2 − 3 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = √ 3, x3 = − √ 3, x −∞, − √ 3 − √ 3, −1 (−1, 0) (0, 1) 1, √ 3 √ 3, ∞ sgn f + − − − − + f Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má lokální maximum pro x = − √ 3 a lokální minimum pro x = √ 3. Ve význačných bodech (lok. extrémy, infl. body) je vhodné znát i jejich funkční hodnotu, proto spočítáme f − √ 3 = −3 2 √ 3 a f √ 3 = 3 2 √ 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 288 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 2x x2 + 3 (x2 − 1)3 , D(f ) = R \ {±1}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 2x x2 + 3 = 0 ⇔ x = 0, x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f − + − + f ∩ ∪ ∩ ∪ Funkce f(x) má tedy v bodě x = 0 inflexní bod. Z předchozího již víme, že f(0) = 0. V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 0, což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou x. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = 1 a x = −1. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ x3 x2−1 x = lim x→±∞ x2 x2 − 1 = lim x→±∞ 1 1 − 1 x2 = 1, b = lim x→±∞ x3 x2 − 1 − x = lim x→±∞ x3 − x3 + x x2 − 1 = lim x→±∞ 1 x 1 − 1 x2 = 0. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 17. Graf funkce f(x) z Příkladu 266. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 289 (267) Vyšetřete průběh funkce f(x) = − x2 x + 1 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x + 1 = 0. Proto máme D(f) = R \ {−1}. ii) Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme lim x→−1+ − x2 x + 1 = − lim x→−1+ x2 x + 1 = −(+∞) = −∞, lim x→−1− − x2 x + 1 = lim x→−1− − x2 x + 1 = −(−∞) = ∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = − x2 −x + 1 = ±f(x), není zadaná funkce ani lichá, ani sudá (což je vidět už z nesymetrie definičního oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞) sgn f + − − f kladná záporná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = −x2 − 2x (x + 1)2 , D(f ) = R \ {−1}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ −x(x + 2) = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = −2. x (−∞, −2) (−2, −1) (−1, 0) (0, ∞) sgn f − + + − f Z tabulky vidíme, že funkce má v x = −2 lokální minimum a v x = 0 lokální maximum. Spočtěme v těchto význačných bodech funkční hodnotu. f(−2) = 4, f(0) = 0. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = −2x − 2 (x + 1)4 = −2 (x + 1)3 , D(f ) = R \ {−1}. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 290 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ −2 = 0, což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována (tj. v „dírách“ jejího definičního oboru). x (−∞, −1) (−1, ∞) sgn f + − f ∪ ∩ ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici x = −1. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ = − x2 x2 + x = −1, b = lim x→±∞ − x2 x + 1 + x = lim x→±∞ x x + 1 = 1. Funkce f(x) má tedy v +∞ i −∞ asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = −x + 1. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 18. Graf funkce f(x) z Příkladu 267. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 291 (268) Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1 x + ln x. Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna kladná reálná čísla, tedy D(f) = (0, ∞). ii) Zjistíme limitní chování na okraji definičního oboru lim x→0+ 1 x + ln x ∞ − ∞  = lim x→0+ 1 + x ln x x  lim x→0+ x ln x = lim x→0+ ln x 1 x l’H.p. = lim x→0+ 1 x − 1 x2 = lim x→0+ −x = 0 ⇒ lim x→0+ 1+x ln x x = 1+0 0  = ∞. iii) Vzhledem k tvaru definičního oboru je zřejmé, že zadaná funkce není ani lichá, ani sudá, ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0, 1 x + ln x = 0, ln x = − 1 x , ln xx = −1, kde použité úpravy jsou vzhledem k oboru hodnot korektní. Protože ln xx > 0, daná funkce nemá žádný nulový bod a je tedy na celém svém definičním oboru buď pouze kladná, nebo pouze záporná (zdůrazněme, že definiční obor je „bez děr“). Tedy x (0, ∞) sgn f + f kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = x − 1 x2 , D(f ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x1 = 1. Připomeňme, že vše navíc probíhá na definičním oboru původní funkce, tj. x (0, 1) (1, ∞) sgn f − + f Z tabulky vidíme, že funkce má v x = 1 lokální minimum. Spočtěme v tomto význačném bodě funkční hodnotu. f(1) = 1 + 0 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 292 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = −x2 + 2x x4 = 2 − x x3 , D(f ) = R \ {0}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 2 − x = 0 ⇔ x = 2. x (0, 2) (2, ∞) sgn f + − f ∪ ∩ Čili funkce f má v x = 2 inflexní bod. Funkční hodnota v něm je f(2) = 1 2 + ln 2 . = 1, 19. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Asymptotu se směrnicí má, opět vzhledem k definičnímu oboru, smysl hledat pouze v +∞: a = lim x→∞ 1 x + ln x x = lim x→∞ 1 + x ln x x2 = ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 + ln x 2x = ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 2x = 0, b = lim x→∞ 1 x + ln x = ∞, tedy funkce f(x) asymptotu se směrnicí nemá. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 19. Graf funkce f(x) z Příkladu 268. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 293 (269) Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1 − 2x 3x2 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3x2 = 0. Proto máme D(f) = R \ {0}. ii) Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, tj. lim x→0 1 − 2x 3x2 = lim x→0 1 − 2x 3 · 1 x2 = +∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = 1 + 2x 3x2 , není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ 1 − 2x = 0 ⇔ x = 1 2 . Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, 0) 0, 1 2 1 2 , ∞ sgn f + + − f kladná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 2 (x − 1) 3x3 , D(f ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ 2(x − 1) = 0 ⇔ x = 1, x (−∞, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f + − + f Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má pro x = 1 lokální minimum s hodnotou f(1) = −1 3 . vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = − 2 (2x − 3) 3x4 , D(f ) = R \ {0}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 2 (2x − 3) = 0 ⇔ x = 3 2 , Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 294 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (−∞, 0) 0, 3 2 3 2 , ∞ sgn f + + − f ∪ ∪ ∩ Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má pro x = 3 2 inflexní bod. Platí f 3 2 = − 8 27 a směrnice tečny je rovna f 3 2 = 8 81 , což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ 1−2x 3x2 x = lim x→±∞ 1 − 2x 3x3 = lim x→±∞ 1 x3 − 2 x2 3 = 0, b = lim x→±∞ 1 − 2x 3x2 = lim x→±∞ 1 x2 − 2 x 3 = 0. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 20. Graf funkce f(x) z Příkladu 269. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 295 (270) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x2 − 1 x2 + 1 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, tj. D(f) = R. ii) Z bodu ii) plyne, že funkce je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f(−x) = x2 − 1 x2 + 1 = f(x), je zadaná funkce sudá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞) sgn f + − + f kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 4x (x2 + 1)2 , D(f ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x = 0, x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f − + f V bodě lokálního minima x = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f(0) = −1. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = − 4 3x2 − 1 (x2 + 1)3 , D(f ) = R. viii) Určíme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 3x2 − 1 = 0 ⇔ x = ± √ 3 3 , Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 296 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x −∞, − √ 3 3 − √ 3 3 , √ 3 3 √ 3 3 , ∞ sgn f − + − f ∩ ∪ ∩ Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má dva inflexní body x = ± √ 3 3 s hodnotami f ± √ 3 3 = −1 2 a f ± √ 3 3 = ±3 √ 3 4 . ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ x2−1 x2+1 x = lim x→±∞ x2 − 1 x3 + x = lim x→±∞ 1 x − 1 x3 1 + 1 x2 = 0, b = lim x→±∞ x2 − 1 x2 + 1 = lim x→±∞ 1 − 1 x2 1 + 1 x2 = 1. Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 1. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 21. Graf funkce f(x) z Příkladu 270. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 297 (271) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x2 + 1 x2 − 1 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2 −1 = 0. Proto máme D(f) = R \ {±1}. ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme lim x→1+ x2 + 1 x2 − 1 = lim x→1+ x2 + 1 x + 1 · 1 x − 1 = +∞, lim x→1− x2 + 1 x2 − 1 = lim x→1− x2 + 1 x + 1 · 1 x − 1 = −∞, lim x→−1+ x2 + 1 x2 − 1 = −∞, lim x→−1− x2 + 1 x2 − 1 = +∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = x2 + 1 x2 − 1 = −f(x), je zadaná funkce sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Je zřejmé, že průsečíky s osou x neexistují (neboť rovnice x2 + 1 = 0 nemá řešení). Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞) sgn f + − + f kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = − 4x (x2 − 1)2 , D(f ) = R \ {±1}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x = 0, x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f + + − − f V bodě lokálního maxima x = 0 určíme funkční hodnotu, tj. f(0) = −1. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 4 3x2 + 1 (x2 − 1)3 , D(f ) = R \ {±1}. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 298 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Funkce nemá kritické body (rovnice 3x2 + 1 = 0 nemá řešení). Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞) sgn f + − + f ∪ ∩ ∪ Je vidět, že funkce nemá inflexní body. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = 1 a x = −1. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ x2+1 x2−1 x = lim x→±∞ x2 + 1 x3 − x = lim x→±∞ 1 x + 1 x3 1 − 1 x2 = 0, b = lim x→±∞ x2 + 1 x2 − 1 = lim x→±∞ 1 + 1 x2 1 − 1 x2 = 1. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 1. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 22. Graf funkce f(x) z Příkladu 271. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 299 (272) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x 3 − x2 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že 3−x2 = 0. Proto máme D(f) = R \ {± √ 3}. ii) Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme lim x→ √ 3 + x 3 − x2 = lim x→ √ 3 + x √ 3 + x · 1 √ 3 − x = −∞, lim x→ √ 3 − x 3 − x2 = lim x→ √ 3 − x √ 3 + x · 1 √ 3 − x = +∞, lim x→− √ 3 + x 3 − x2 = −∞, lim x→− √ 3 − x 3 − x2 = +∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = −x 3 − x2 = −f(x), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x −∞, − √ 3 − √ 3, 0 0, √ 3 √ 3, ∞ sgn f + − + − f kladná záporná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 3 + x2 (3 − x2)2 , D(f ) = R \ {± √ 3}. vi) Je zřejmé, že funkce f(x) nemá stacionární body. Určíme intervaly monotonie, tj. x −∞, − √ 3 − √ 3, √ 3 √ 3, ∞ sgn f + + + f Funkce f(x) tedy nemá žádný lokální extrém. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 2x 9 + x2 (3 − x2)3 , D(f ) = R \ {± √ 3}. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 300 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 2x 9 + x2 = 0 ⇔ x = 0, x −∞, − √ 3 − √ 3, 0 0, √ 3 √ 3, ∞ sgn f + − + − f ∪ ∩ ∪ ∩ Z tabulky vidíme, že funkce f(x) má inflexní bod pro x = 0. Z předchozího již víme, že f(0) = 0. Určíme zde ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 1 3 . ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = √ 3 a x = − √ 3. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ x 3−x2 x = lim x→±∞ x 3x − x3 = lim x→±∞ 1 x2 3 x2 − 1 = 0, b = lim x→±∞ x 3 − x2 = lim x→±∞ 1 x 3 x − 1 = 0. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 23. Graf funkce f(x) z Příkladu 272. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 301 (273) Vyšetřete průběh funkce f(x) = 1 2 x + 1 x . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x = 0. Proto máme D(f) = R{0}. ii) Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme lim x→0+ 1 2 x + 1 x = +∞, lim x→0− 1 2 x + 1 x = −∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = 1 2 −x − 1 x = − 1 2 x + 1 x = −f(x), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x + 1 x = 0 ⇔ x = − 1 x ⇔ x2 = −1, tedy funkce nemá průsečíky s osou x. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f − + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = x2 − 1 2x2 , D(f ) = R \ {±0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1, x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f + − − + f Určíme funkčního hodnoty lokálního maxima pro x = −1 a minima pro x = 1, tj. f(−1) = −1 a f(1) = 1. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 1 x3 , D(f ) = R \ {±0}. viii) Inflexní body očividně neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 302 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f − + f ∩ ∪ Z tabulky vidíme, že funkce f(x) nemá inflexní bod. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici x = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ 1 2 x + 1 x x = lim x→±∞ x2 + 1 2x2 = lim x→±∞ 1 + 1 x2 2 = 1 2 , b = lim x→±∞ 1 2 x + 1 x − x 2 = lim x→±∞ 1 2x = 0. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = x 2 . x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 24. Graf funkce f(x) z Příkladu 273. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 303 (274) Vyšetřete průběh funkce f(x) = ln x x . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x2 −1 = 0. Proto máme D(f) = (0, ∞) . ii) Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, tj. lim x→0+ ln x x = −∞. iii) Definiční obor funkce f(x) není symetrický, proto funkce f(x) ani nemůže být lichá nebo sudá. Navíc, je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (0, 1) (1, ∞) sgn f − + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 1 − ln x x2 , D(f ) = (0, ∞) . vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ 1 − ln x = 0 ⇔ x = e, x (0, e) (e, ∞) sgn f + − f Pro x = e má funkce f(x) lokální maximum s funkční hodnotou f (e) = 1 e . vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = −3 + 2 ln x x3 , D(f ) = (0, ∞) . viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 2 ln x − 3 = 0 ⇔ x = e 3 2 , x 0, e 3 2 e 3 2 , ∞ sgn f − + f ∩ ∪ Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 304 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné V bodě x = e 3 2 má funkce f(x) inflexní bod. Platí f e 3 2 = 3 2 e− 3 2 a směrnice tečny je rovna f e 3 2 = − 1 2 e3 , což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme i asymptotu se směrnicí (pokud existuje – směr pro x → −∞ nemá smysl uvažovat), proto a = lim x→∞ ln x x x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 x 2x = 0, b = lim x→∞ ln x x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 x 1 = 0. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 25. Graf funkce f(x) z Příkladu 274. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 305 (275) Vyšetřete průběh funkce f(x) = ln x2 x . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že x = 0. Proto máme D(f) = R \ {0}. ii) Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme lim x→0+ ln x2 x = −∞, lim x→0− ln x2 x = +∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = ln x2 −x = − ln x2 x = −f(x), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ ln x2 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f − + − + f záporná kladná záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 2 − ln x2 x2 , D(f ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ ln x2 − 2 = 0 ⇔ x2 = e2 ⇔ x = ± e, x (−∞, − e) (− e, 0) (0, e) (e, ∞) sgn f − + + − f Funkce f(x) ma lokální minimum pro x = − e a lokální maximum pro x = e s funkčními hodnotami f (− e) = −2 e a f (e) = 2 e . vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 2 ln x2 − 6 x3 , D(f ) = R \ {0}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ ln x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = e3 ⇔ x = ± e 3 2 , Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 306 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x −∞, − e 3 2 − e 3 2 , 0 0, e 3 2 e 3 2 , ∞ sgn f − + − + f ∩ ∪ ∩ ∪ Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ± e 3 2 a x = 0. Vypočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, proto f − e 3 2 = −3 e−3 2 , f − e 3 2 = 5 e3 , f e 3 2 = 3 e− 3 2 , f e 3 2 = − e−3 . ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ ln x2 x x = lim x→±∞ ln x2 x2 ∞ ∞  l’H.p. = lim x→±∞ 1 x2 · 2x 2x = 0, b = lim x→±∞ ln x2 x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→±∞ 1 x2 · 2x 1 = 0. Funkce f(x) má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 26. Graf funkce f(x) z Příkladu 275. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 307 (276) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x − ln x. Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že ln x existuje. Proto máme D(f) = (0, ∞) . ii) Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, proto lim x→0+ (x − ln x) = ∞. iii) Definiční obor není symetrický, proto funkce f(x) nemůže být sudá ani lichá. Navíc, je zřejmé, že funkce není ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x = ln x. Pokud si vzpomenete na grafy elementárních funkcí, viz je zřejmé, že funkce f(x) nemá žádné průsečíky s osou x, proto x (0, ∞) sgn f + f kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 1 − 1 x , D(f ) = R \ {0}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ 1 = 1 x ⇔ x = 1, Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 308 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (0, 1) (1, ∞) sgn f − + f Určíme hodnotu lokálního minima, tj. f (1) = 1. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 1 x2 , D(f ) = R \ {0}. viii) Kritické body neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. x (0, ∞) sgn f + f ∪ Je tedy zřejmé, že funkce f(x) nemá inflexní bod. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce asymptotu bez směrnice o rovnici x = 0. Určíme i asymptotu se směrnicí (směr pro x → −∞ nemá smysl), proto a = lim x→∞ x − ln x x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→∞ 1 − 1 x 1 = 1, b = lim x→∞ (x − ln x − x) = lim x→∞ ln x = ∞. Funkce f(x) tey nemá asymptotu se směrnicí. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 27. Graf funkce f(x) z Příkladu 276. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 309 (277) Vyšetřete průběh funkce f(x) = ln 1 + sin x 1 − sin x v intervalu x ∈ [0, 2π]. Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Základní rámec definičního oboru je již dán zadáním příkladu. Dále musí platit 1 + sin x 1 − sin x > 0 a současně sin x = 1. Řešení druhé rovnice dostaneme ihned, tj. x = π 2 (stále platí x ∈ [0, 2π]). První rovnici rozdělíme do dvou možností 1 + sin x > 0 ∧ 1 − sin x > 0 nebo 1 + sin x < 0 ∧ 1 − sin x < 0, sin x > −1 ∧ sin x < 1 nebo sin x < −1 ∧ sin x > 1, x ∈ 0, 3π 2 ∪ 3π 2 , 2π ∧ x ∈ 0, π 2 ∪ π 2 , 2π nebo soustava nemá řešení. Tedy definiční obor zadané funkce je D(f) = 0, π 2 ∪ π 2 , 3π 2 ∪ 3π 2 , 2π . ii) Určíme hodnoty v krajních bodech definičního oboru, tj. f(0) = 0 a f(2π) = 0. Také zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dosta- neme lim x→ π 2 ln 1 + sin x 1 − sin x = +∞, lim x→ 3π 2 ln 1 + sin x 1 − sin x = −∞. iii) Vzhledem k definičními oboru není funkce f(x) sudá, lichá ani periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ 1 + sin x 1 − sin x = 1 ⇔ 1 + sin x = 1 − sin x ⇔ ⇔ 2 sin x = 0 ⇔ x = π. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x 0, π 2 π 2 , π π, 3π 2 3π 2 , 2π sgn f + + − − f kladná kladná záporná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 1 cos x , D(f ) = 0, π 2 ∪ π 2 , 3π 2 ∪ 3π 2 , 2π . vi) Stacionární body neexistují, nyní určíme intervaly monotonie, tj. x 0, π 2 π 2 , 3π 2 3π 2 , 2π sgn f + − + f Zadaná funkce tedy nemá žádné lokální extrémy. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 310 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = sin x cos2 x , D(f ) = 0, π 2 ∪ π 2 , 3π 2 ∪ 3π 2 , 2π . viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = π, x3 = 2π. x 0, π 2 π 2 , π π, 3π 2 3π 2 , 2π sgn f + + − − f ∪ ∪ ∩ ∩ Je zřejmé, že kritické body x1 = 0 a x3 = 2π nemohou být inflexními body. Určíme funkční hodnotu a směrnici tečny v inflexním bodě x = π, tj. f (π) = 0 a f (π) = −1. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích x = π 2 a x = 3π 2 . Poněvadž jsme na omezeném intervalu, nemá smysl uvažovat asymptoty se směrnicí. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 28. Graf funkce f(x) z Příkladu 277. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 311 (278) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x e−x2 2 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. D(f) = R. ii) Funkce f(x) je spojitá v celém definičním oboru. iii) Poněvadž platí f(−x) = −x e−x2 2 = −f(x), je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x = 0. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f − + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = e− x2 2 1 − x2 , D(f ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ 1 − x2 = 0 ⇔ x = ±1, x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞) sgn f − + − f Funkce f(x) má lokální minimum pro x = −1 a lokální maximum x = 1 s funkčními hodnotami f(−1) = − e−1 2 a f(1) = e− 1 2 . vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = x e−x2 2 x2 − 3 , D(f ) = R \ {±1}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ x x2 − 3 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = − √ 3, x3 = √ 3. x −∞, − √ 3 − √ 3, 0 0, √ 3 √ 3, ∞ sgn f − + − + f ∩ ∪ ∩ ∪ Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 312 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ± √ 3 a pro x = 0. Určíme funkční hodnoty a směrnice tečen v inflexních bodech, proto f − √ 3 = − √ 3 e− 3 2 , f − √ 3 = −2 e−3 2 , f (0) = 0, f (0) = 1, f √ 3 = √ 3 e− 3 2 a f √ 3 = −2 e− 3 2 . ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty se směrnicí. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ x e−x2 2 x = lim x→±∞ e− x2 2 = 0, b = lim x→±∞ x e− x2 2 = lim x→±∞ x e x2 2 ∞ ∞  l’H.p. = lim x→±∞ 1 x e x2 2 = 0. Funkce f(x) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = 0. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 29. Graf funkce f(x) z Příkladu 278. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 313 (279) Vyšetřete průběh funkce f(x) = x − arctg x. Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. D(f) = R. ii) Je zřejmé, že funkce f(x) je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f(−x) = −x − arctg(−x) = −(x − arctg x) = −f(x) je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určit průsečíky s osou x není snadné, zřejmě f(x) = 0 ⇔ x = 0. Existence dalších nulových bodů můžeme vyloučit, neboť v bodě vi) ukážeme, že funkce je stále rostoucí. Proto obdržíme x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f − + f záporná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 1 − 1 1 + x2 = x2 1 + x2 , D(f ) = R. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0, x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f + + f Funkce f(x) tedy nemá lokální extrémy. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 2x (1 + x2)3 , D(f ) = R. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ x = 0, x (−∞, 0) (0, ∞) sgn f − + f ∩ ∪ Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 314 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Funkce f(x) má tedy inflexní bod pro x = 0. Z předchozího již víme, že f(0) = 0. V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. f (0) = 0, což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou x. ix) Asymptoty bez směrnice neexistují, určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ x − arctg x x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→±∞ 1 − 1 1+x2 1 = 1, b = lim x→±∞ (x − arctg x − x) = − lim x→±∞ arctg x = ± π 2 . Funkce f(x) má tedy dvě asymptoty se směrnicí. Pro x → −∞ je dána rovnicí y = x + π 2 a pro x → +∞ máme y = x − π 2 . x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 30. Graf funkce f(x) z Příkladu 279. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 315 (280) Vyšetřete průběh funkce f(x) = arccos 2x 1 + x2 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Protože pro všechna x ∈ R platí −1 ≤ 2x 1+x2 ≤ 1, tj. 0 ≤ (x + 1)2 a 0 ≤ (x − 1)2 , vyhovují funkčnímu předpisu všechna reálná čísla, tj. D(f) = R. ii) Funkce f(x) je spojitá v celém definičním oboru. iii) Poněvadž platí f(−x) = arccos −2x 1 + x2 = π − arccos 2x 1 + x2 , (zde jsme využili vztah arccos(−x) = π−arccos x) není zadaná funkce lichá ani sudá (to zjistíme již z grafu elementární funkce arccos x). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ 2x 1 + x2 = 1 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, 1) (1, ∞) sgn f + + f kladná kladná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 2 x2 − 1 |x2 − 1| · (x2 + 1) , D(f ) = R \ {±1}. vi) Vzhledem k definičnímu oboru f (x) nemáme žádné stacionární body, určíme intervaly monotonie, tj. x (−∞, −1) (−1, 1) (1, ∞) sgn f + − + f Funkce f(x) má lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum x = 1 s hodnotami f (−1) = π a f (1) = 0. V těchto bodech není první derivace definována, proto zde má graf funkce f(x) hrot. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = −4x x2 − 1 |x2 − 1| · (x2 + 1)2 , D(f ) = R \ {±1}. viii) Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. f (x) = 0 ⇔ 4x x2 − 1 = 0 ⇔ x = 0, Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 316 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (−∞, −1) (−1, 0) (0, 1) (1, ∞) sgn f + − + − f ∪ ∩ ∪ ∩ Funkce f(x) má tři inflexní body pro x = ±1 a x = 0. Určíme potřebné funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f(−1) = π, limx→−1− f (x) = 1, limx→−1+ f (x) = −1, f(0) = π 2 , f (0) = −2, f(1) = 0, limx→1− f (x) = −1, limx→1+ f (x) = 1. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ arccos 2x 1+x2 x  π 2 ∞  = 0, b = lim x→±∞ arccos 2x 1 + x2 = π 2 . Funkce f(x) má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = π 2 . x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 31. Graf funkce f(x) z Příkladu 280. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 317 (281) Vyšetřete průběh funkce f(x) = 3 2x2 − x3. Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. D(f) = R. ii) Je zřejmé, že funkce f(x) je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f(−x) = 3 2x2 + x3 = − 3 −2x2 − x3 není zadaná funkce ani sudá ani lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ x2 (2 − x) = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = 2. Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞) sgn f + + − f kladná kladná záporná Ze změny znamének je vidět, že v bodě x = 0 je pouze bod dotyku osy x nikoli její průsečík. v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 4x − 3x2 3 3 (2x2 − x3)2 , D(f ) = R \ {0, 2}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ x(4 − 3x) = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = 4 3 , x (−∞, 0) 0, 4 3 4 3 , 2 (2, ∞) sgn f − + − − f Funkce f(x) má lokální minimum pro x = 0 a lokální minimum pro x = 4 3 s hodnotami f (0) = 0 a f 4 3 = 2 3 3 √ 4. Navíc, v bodě x = 0 není první derivace definována, bude mít graf funkce v tomto bodě hrot. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = − 8 9(2 − x) 3 (2x2 − x3)2 , D(f ) = R \ {0, 2}. viii) Druhá derivace nemá nulový bod, určíme tedy intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 318 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞) sgn f − − + f ∩ ∩ ∪ V bodě x = 2 má funkce f(x) inflexní body. Z předchozího již víme, že f(2) = 0. V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, ovšem f (2) neexistuje. Z výpočtu limx→2 f (x) = −∞ plyne, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou y. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ 3 √ 2x2 − x3 x = lim x→±∞ 3 2x2 − x3 x3 = lim x→±∞ 3 2 x − 1 1 = −1, b = lim x→±∞ 3 2x2 − x3 + x −∞ + ∞  = = lim x→±∞ x 3 2 x − 1 + x = = lim x→±∞   1 1 x 3 √2 x −1 + 1 1 x   = lim x→±∞ 1 + 1 1 3 √2 x −1 1 x 3 √2 x −1 0 0  l’H.p. = l’H.p. = lim x→±∞ 2 3(2 x −1) 4 3 x2 − 1 x2 (2 x −1) 1 3 + 2 3x3 (2 x −1) 4 3 = lim x→±∞ 2x −4 + 3x = 2 3 Funkce f(x) má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí y = −x + 2 3 . x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 32. Graf funkce f(x) z Příkladu 281. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 319 (282) Vyšetřete průběh funkce f(x) = 2(x + 1) − 3 3 (x + 1)2 . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj. D(f) = R. ii) Zadaná funkce je spojitá v R. iii) Poněvadž platí f(−x) = 2(−x + 1) − 3 3 (−x + 1)2 není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická. iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ 2(x + 1) − 3 3 (x + 1)2 = 0 ⇔ 8(x + 1)3 = 27(x + 1)2 ⇔ x1 = −1, x2 = 19 8 . Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x (−∞, −1) −1, 19 8 19 8 , ∞ sgn f − − + f záporná záporná kladná Je tedy vidět, že v bodě x = −1 je pouze bod dotyku grafu funkce f(x) a osy x. v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 2 − 2 3 √ x + 1 , D(f ) = R \ {−1}. vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ 2 − 2 3 √ x + 1 = 0 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0. x (−∞, −1) (−1, 0) (0, ∞) sgn f + − + f Funkce f(x) má lokální maximum pro x = −1 a lokální minimum pro x = 0 s hodnotami f(−1) = 0 a f(0) − 1. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 2 3 3 (x + 1)4 , D(f ) = R \ {−1}. viii) Je vidět, že kritické body neexistují. Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 320 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (−∞, −1) (−1, ∞) sgn f + + f ∪ ∪ Funkce f(x) tedy nemá inflexní bod. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme nyní asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto a = lim x→±∞ 2(x + 1) − 3 3 (x + 1)2 x ∞ ∞  l’H.p. = lim x→±∞ 2 − 2 3√ x+1 1 = 2, b = lim x→±∞ 2(x + 1) − 3 3 (x + 1)2 − 2x = lim x→±∞ 2 − 3 3 (x + 1)2 = −∞. Tedy funkce f(x) nemá ani asymptoty se směrnicí. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Obrázek 33. Graf funkce f(x) z Příkladu 282. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 321 (283) Vyšetřete průběh funkce f(x) = cos x cos(2x) . Řešení: Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly. i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že cos 2x = 0 ⇔ 2x = π 2 + kπ, k ∈ Z ⇔ x = π 4 + kπ 2 , k ∈ Z. Proto máme D(f) = R \ k∈Z π 4 + kπ 2 . ii) Spočítáme limitní chování v bodech nespojitosti (budeme uvažovat pouze interval [−π, π], viz bod iii)), tj. lim x→− 3π 4 − cos x cos(2x) = −∞, lim x→− 3π 4 + cos x cos(2x) = +∞, lim x→− π 4 − cos x cos(2x) = −∞, lim x→− π 4 + cos x cos(2x) = +∞, lim x→ π 4 − cos x cos(2x) = +∞, lim x→ π 4 + cos x cos(2x) = −∞, lim x→ 3π 4 − cos x cos(2x) = +∞, lim x→ 3π 4 + cos x cos(2x) = −∞. iii) Poněvadž platí f(−x) = cos(−x) cos(−2x) = cos x cos(2x) = f(x), je zadaná funkce sudá. Funkce cos x je periodická s periodou 2π a funkce cos(2x) je periodická s periodou π. Proto zadaná funkce f(x) je periodická s periodou 2π. Při vyšetřování funkce se tudíž omezíme na libovolný interval délky 2π, my zvolíme interval [−π, π] iv) Určíme průsečíky s osou x, tj. f(x) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x1 = − π 2 , x2 = π 2 . Nyní získáme intervaly, kde je funkce f(x) kladná a záporná, proto x −π, −3π 4 −3π 4 , −π 2 −π 2 , −π 4 −π 4 , π 4 π 4 , π 2 π 2 , 3π 4 3π 4 , π sgn f − + − + − + − f záporná kladná záporná kladná záporná kladná záporná v) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj. f (x) = 2 cos2 x + 1 sin x cos(2x) , D(f ) = R \ k∈Z π 4 + kπ 2 . vi) Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj. f (x) = 0 ⇔ 2 cos2 x + 1 sin x = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x1 = −π, x2 = 0, x3 = π Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 322 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné x (..., −π) −π, −3π 4 −3π 4 , −π 2 −π 2 , −π 4 −π 4 , 0 0, π 4 π 4 , π 2 π 2 , 3π 4 3π 4 , π (π, ...) sgn f − + − − − + + + − + f Funkce f(x) má tedy v intervalu [−π, π] lokální minima pro x = ±π a lokální maximum pro x = 0 s hodnotami f (−π) = −1, f (0) = 1, f (π) = −1. vii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor f (x) = 11 − 4 cos4 x − 4 cos2 x cos x cos3 2x , D(f ) = R \ k∈Z π 4 + kπ 2 . viii) Vypočítáme kritické body a f (x) = 0 ⇔ 11 − 4 cos4 x − 4 cos2 x cos x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x1 = − π 2 , x2 = π 2 . Rovnice 11 − 4 cos4 x − 4 cos2 x = 0 nemá řešení, protože při použití substituce y = cos2 x, dostaneme rovnici 11 − 4y2 − 4y = 0 s řešením y1 = −1 2 − √ 3 < 0 a y2 = −1 2 + √ 3 > 1, tedy řešení původní rovnice neexistuje (stejný výsledek dostaneme bez počítání s využitím faktu −1 ≤ cos x ≤ 1, potom totiž dostaneme 11 − 4 cos4 x − 4 cos2 x ≥ 3). Nyní určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj. x (..., −π) −π, −3π 4 −3π 4 , −π 2 −π 2 , −π 4 −π 4 , π 4 π 4 , π 2 π 2 , 3π 4 3π 4 , π (π, ...) sgn f − − + − + − + − − f ∩ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ Funkce f(x) má proto v intervalu [−π, π] dva inflexní body pro x = ±π 2 . V inflexních bodech dopočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. f −π 2 = 0, f −π 2 = −1, f π 2 = 0, f π 2 = 1. ix) Z bodu ii) plyne, že funkce má čtyři asymptoty bez směrnice o rovnicích x = −3π 4 , x = −π 4 , x = π 4 a x = 3π 4 . Vzhledem k periodičnosti funkce f(x) nemají asymptoty se směrnicí smysl. x) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 5. Průběh funkce 323 Obrázek 34. Graf funkce f(x) z Příkladu 283. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 324 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 6. Aplikace diferenciálního poˇctu ve slovních úlohách Definice 23. Buď funkce f(x) definovaná na množině M. Existuje-li největší (nejmenší) hodnota funkce f(x), nazýváme ji absolutním maximem (absolutním minimem) funkce f(x) na M. Absolutní minima a maxima souhrnně nazýváme absolutními extrémy. Jestliže tedy x0 ∈ M a platí f(x) ≤ f(x0) pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f(x) má na M absolutní maximum v bodě x0. Podobně pro absolutní minimum. Poznámka 24. Funkce nabývá absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu (případně žádného globálního extrému nenabývá). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 325 (284) Obdélník má obvod o, určete jeho strany a, b tak, aby jeho obsah byl maximální. Řešení: Ze zadání plyne, že platí o = 2(a + b) ⇒ a = o − 2b 2 . Obsah obdélníku je roven S = a · b, což můžeme pomocí předchozího vztahu vyjádřit jako funkci proměnné b, tj. S(b) = o − 2b 2 · b = o 2 · b − b2 , pro niž hledáme maximum. Proto musí platit S (b) = o 2 − 2b = 0 ⇒ b = o 4 . Ověříme, že nalezený bod je skutečně maximem, tj. b 0, o 4 o 4 , o 2 sgn S + − S Dopočítáme druhý rozměr obdélníku. Proto a = o−2b 2 = o 4 . Což znamená, že obdélník s maximálním obsahem při pevně zadaném obvodu je právě čtverec. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 326 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (285) Určete takové nenulové reálné číslo x, že jeho rozdíl s převrácenou hodnotou druhé mocniny tohoto čísla je maximální. Řešení: Ze zadání plyne, že hledáme maximum funkce f(x) = x − 1 x2 . Proto musí platit f (x) = 1 + 2 x3 = 0 ⇒ x = − 3 √ 2. Z následující tabulky plyne, že nalezený bod je skutečně maximum, tj. x −∞, − 3 √ 2 − 3 √ 2, ∞ sgn f + − f Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 327 (286) Určete rozměry otevřeného zahradního bazénu se čtvercovým dnem daného objemu 32 m3 tak, aby se na vyzdění jeho dna a stěn spotřebovalo minimum materiálu. Řešení: Mějme takovýto bazén Potom ze zadaného objemu můžeme vyjádřit výšku bazénu, tj. V = a2 · v ⇒ v = V a2 . Funkce určující obsah dna a stěn je S = a2 + 4 · v · a ⇒ S(a) = a2 + 4V a , kterou chceme minimalizovat. To znamená, že S (a) = 2a − 4V a2 = 0 ⇒ a = 3 √ 2V V=32 ⇒ a = 4, v = 2. Získali jsem skutečně hledané minimu, neboť a (0, 4) (4, ∞) sgn S − + S Rozměry optimálního bazénu tedy jsou 4 × 4 × 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 328 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (287) Muž v loďce je vzdálen 12 km od pobřeží (majícího tvar přímky). Chce se dostat co nejrychleji do místa na pobřeží, které je od něj vzdáleno 20 km. Rozhodněte, kde se má vylodit, víte-li, že dokáže veslovat rychlostí 6 km/h a po břehu se pohybovat rychlostí 10 km/h. Řešení: Situaci ze zadání lze znázornit takto Přičemž bod A jeho výchozí pozice a bod C je místo vylodění, které může být v kterémkoli bodě na pláži, tj. v rozmezí bodů D až B včetně. Platí tedy |AC|2 = 122 + x2 ⇒ |AC| = 144 + x2. Hledaný čas je součtem doby jízdy na lodi a dobou, kterou muž půjde po pláži, tj. (čas = dráha rychlost ) t = t1 + t2 = |AC| 6 + |CB| 10 ⇒ t(x) = √ 144 + x2 6 + 16 − x 10 . Standardním postupem najdeme stacionární bod(y), tj. t (x) = 2x 2 · 6 · √ 144 + x2 − 1 10 = 0 ⇒ x 6 √ 144 + x2 = 1 10 ⇒ ⇒ 10x = 6 144 + x2 ⇒ 100x2 = 36(144 + x2 ) ⇒ ⇒ 64x2 = 5184 ⇒ x = ±9 je zřejmé, že platí x ∈ [0, 16], proto máme jediný stacionární bod x = 9 (hodnota x = −9 by odpovídala zrcadlové situaci na levé straně a dostali jsme ji díky použití neekvivalentní úpravy při řešení předchozí rovnice). Ověříme, zda jsme obdrželi skutečně extrém x [0, 9) (9, 16] sgn t − + t Poněvadž hodnota x může nabývat i mezní hodnoty intervalu, našli jsme lokální(!) minimum. Musíme porovnat funkční hodnoty v lokálním minimu a v krajních bodech, tj. t(9) = 16 5 , t(0) = 18 5 , t(16) = 10 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 329 Neboť platí t(9) < t(16) < t(0), nalezli jsme globální minimum pro x = 9. Proto se muž musí vylodit ve vzdálenosti 7 km od cílového místa. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 330 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (288) Do rotačního kužele o poloměru podstavy r a výšce h vepište válec (s poloměrem R a výškou H), který má: i) největší objem; ii) největší obsah pláště. Řešení: i) Situaci znázorníme na obrázku ze kterého plyne, že tg α = h r = H r − R = h − H R ⇒ h r = H r − R = h − H R ⇒ ⇒ R h − H = r h ⇒ R = r(h − H) h . Protože objem válce je dán vztahem V = πR2 H, získáme funkci proměnné H ve tvaru V(H) = π r2 (h − H)2 h2 H. Nyní určíme stacionární body, tj. V (H) = πr2 h2 2(h − H) · (−1)H + (h − H)2 = = πr2 h2 (h − H) [−2H + h − H] = πr2 h2 (h − H) [−3H + h] = 0, což dává dva stacionární body H = h (tato hodnota ovšem dává válec s maximální možnou výškou a nulovým poloměrem, tedy není potřeba tento stacionární bod uvažovat) a H = h 3 , který je skutečně hledaným maximem, neboť platí H 0, h 3 h 3 , h sgn V + − V Našli jsme tedy válec o rozměrech H = h 3 a R = r(h− h 3 ) h = 2r 3 o maximálním objemu V = 4πr2h 27 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 331 ii) Obsah pláště válce je dán vztahem Q = 2πRH, což s využitím předchozích výpočtů znamená Q(H) = 2π r(h − H) h H. Deriovováním Q (H) = 2πr h (h − 2H) = 0 najdeme stacionární bod, kterým je hodnota H = h 2 (jedná se skutečně o maximum). Hledaný válec má rozměry H = h 2 a R = r 2 a maximálním obsahu pláště Q = πrh 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 332 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (289) („Problém líného kosa“) Na plotě, jehož výška je 1 m, sedí kos. Ve vzdálenosti 15 m od plotu roste strom, který má větev ve výšce 3 m. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustě rozsety žížaly. V jaké vzdálenosti od plotu má kos sezobnout žížalu, aby proletěl trasu plot → žížala → strom po přímkách a po nejkratší dráze? Řešení: Situaci znázorníme na obrázku (vzdálenost x je místo sezobnutí žížaly) z něhož je patrné, že vzdálenost, kterou kos musí uletět, je dána funkcí f(x) = x2 + 1 + (15 − x)2 + 9. Ve stacionárním bodě jistě platí f (x) = x √ x2 + 1 + 2x − 30 2 (15 − x)2 + 9 = 0, a proto cos α = x √ x2 + 1 = 15 − x (15 − x)2 + 9 = cos β. To ovšem znamená, že α = β. Nyní již z podobnosti trojúhelníků dostaneme x 1 = 15 − x 3 ⇒ 3x = 15 − x ⇒ x = 3, 75. Nalezený bod je skutečně minimum, neboť platí x (0; 3, 75) (3, 75; 15) sgn f − + f Proto aby kos sezobnul žížalu a přitom urazil nejkratší dráhu, musí ji sezobnout 3,75m od plotu. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 333 (290) Do rovnostranného trojúhelníku o straně a vepište rovnoramenný trojúhelník maximálního obsahu tak, aby vrchol proti jeho základně ležel ve středu strany rovnostranného trojúhelníku. Řešení: Znázorníme si oba trojúhelníky na obrázku Je známo, že v rovnostranném trojúhelníku platí v = √ 3 2 a, z čehož plyne |CF| = v − w =√ 3 2 a − w. Proto můžeme v trojúhelníku CDF spočítat tg 30 = z 2 √ 3 2 a − w ⇒ z 2 = a 2 − √ 3 3 w. Proto můžeme obsah hledaného trojúhelníku vyjádřit pomocí w ve tvaru S(w) = zw 2 = aw 2 − √ 3 3 w2 . Nyní najdeme stacionární bod S (w) = a 2 − 2 √ 3 3 w = 0 ⇒ w = 3a 4 √ 3 = √ 3a 4 . Nalezli jsme skutečně maximum, viz w 0, √ 3a 4 √ 3a 4 , v sgn S + − S Dopočítáme druhý rozměr trojúhelníku z = 2 a 2 − 3 12 a = a 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 334 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Ještě musíme ověřit, že nalezený trojúhelník je rovnoramenný, to ovšem plyne z výpočtu tg α = w z 2 = 2w z = √ 3 ⇒ α = 60◦ . Tedy, hledaný trojúhelník má výšku √ 3a 4 a délku strany a 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 335 (291) Váš přítel, pozemní inženýr, se na Vás obrátil s prosbou o pomoc. Dostal za úkol vyprojektovat uprostřed pozemku tvaru čtverce o straně 1,5 km 8 sousedících parcel určených ke stavbě luxusních vil. Parcely musí být obdélníkové, ve dvou řadách po čtyřech a výměra každé z nich musí činit 120 arů (tj. celkem 960 arů). Kolem každé parcely musí Váš přítel nechat postavit cesty. Přitom dlouhá spojovací cesta mezi řadami po čtyřech bude na obě strany vyvedena mimo pozemek a napojena na silniční síť oblasti. Tyto napojovací cesty budou financovány plně z fondu EU, takže jejich cenu není potřeba uvažovat. Jaké rozměry parcel poradíte, aby se za stavbu cest co nejvíce ušetřilo? Řešení: Problém, který musíme vyřešit je znázorněn na Obrázku 35. Obrázek 35. Parcely a cesty. Je zřejmé, že délka cesty (a tím i její cena) bude minimální, bude-li minimální délka cest po stranách jednotlivých parcel. Tím se nám problém zjednodušil na následující. Obrázek 36. Parcely bez cest. Na Obrázku 36 jsou znázorněny jednotlivé parcely a je přitom zanedbána šířka cesty. To můžeme provést, neboť plochy cesty vyznačené červeně na Obrázku 37 je nutné vybudovat vždy, ať už je poměr stran parcel jakýkoli, resp. jde o napojovací cesty financované z EU. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 336 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Obrázek 37. Neměnné části cest. Budeme tedy vycházet z Obrázku 36. Celková plocha parcel je dle zadání 960 arů, tedy S = 4a · 2b = 8ab = 960. Naším cílem je minimalizovat délku cest z Obrázku 36, tj. O = 12a + 10b → min. Ze vztahu pro obsah plochy snadno dostaneme, že b = 120 a , což dosadíme do vztahu pro délku cest („obvod“ parcel). Tím získáme funkci jedné proměnné a můžeme formulovat extremální úlohu O(a) = 12a + 1200 a → min. Mějme přitom na paměti, že pozemek, na kterém pracujeme, má tvar čtverce o straně 1, 5 km, tj. 1500 m a poznamenejme, že jednotky, které používáme jsou ary (1 ar = 100m2 ), tedy všechny výpočty délek provádíme v desítkách metrů. Odtud 2b < 150, 4a < 150, 2 120 a < 150, a < 75 2 . 150a > 240, a > 8 5 . Hledáme tedy globální minimum na intervalu 8 5 , 75 2 . Funkci O zderivujeme a najdeme její stacionární body. O (a) = 12 − 1200 x2 = 0, 12a2 = 1200, a = ±10. Protože −10 ∈ 8 5 , 75 2 , tento bod nás nezajímá. Porovnejme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu a hodnotu ve stacionárním bodě. O 8 5 = 3846 5 = 769, 2, O 75 2 = 482, O(10) = 240. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 337 Hledaným minimem je tedy náš stacionární bod. Nyní snadno dopočítáme rozměr b. b = 120 a = 120 10 = 12. Za daných podmínek jsou tedy nejlepší volbou parcely o rozměrech 100 × 120m, přičemž větší rozměr je vertikální. Poznámka 25. Cílem Příkladu 291 bylo naznačit způsob, jakým je možné reálné zadání zjednodušit za účelem zpřehlednění výpočtů. Poznamenejme, že jakékoli zjednodušování by vždy mělo být řádně zdůvodněno a samozřejmě nesmí nijak ovlivnit výsledek. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 338 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (292) V továrně na výrobu kalkulaček zjistili, že pokud vyjádří výnos a náklady jako funkci proměnné x reprezentující počet kalkulaček (v tisících) vyrobených za hodinu, obdrží funkce: r(x) = 9x pro výnos, c(x) = x3 − 6x2 + 15x pro náklady. Určete při jakém objemu výroby bude mít továrna největší zisky. Řešení: Nejprve naformulujme problém. Protože zisk = výnos − náklady, obdržíme pro zisk funkci p(x) = r(x) − c(x) = −x3 + 6x2 − 6x a hledáme její maximum. p (x) = −3x2 + 12x − 6 = 0 ⇔ x = 2 ± √ 2. Zjistěme nyní, pro která x daná funkce roste a pro která klesá. Vzhledem k tomu, že nelze vyrobit záporný počet kalkulaček, zajímá nás její chování jen na intervalu [0, ∞). (Samozřejmě není reálná ani výroba a prodej nekonečného počtu kalkulaček, ale horní omezující podmínka pro nás není dostupná. Výsledek musíme vhodně interpretovat a případně omezující podmínku najít, nebo požadovat od zadavatele problému.) x (0, 2 − √ 2) (2 − √ 2, 2 + √ 2) (2 + √ 2, ∞) sgn f − + − f Největšího zisku tedy továrna dosáhne při výrobě 2 + √ 2 tisíc kalkulaček za hodinu (tj. cca 3 414 kalkulaček za hodinu). Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 339 (293) Popište dráhu světelného paprsku z bodu A v prostředí s rychlostí šíření světla c1 do bodu B s rychlostí šíření světla c2. Hranici mezi prostředími uvažujte rovnou. Řešení: Nejprve zadaný problém důkladně graficky znázorníme. Přitom využijeme faktu, že příroda se chová vždy efektivně, takže světelný paprsek využije trasu, která je nejméně časově náročná. Dráhou tedy bude lomená čára. Na Obrázku 38 je znázorněna modře. Obrázek 38. Dráha světelného paprsku. Z Obrázku 38 je zřejmé, že popis dráhy provedeme pomocí úhlu dopadu θ1 a úhlu lomu θ2. Přitom jsme jako bod P označili bod, ve kterém světelný paprsek prochází z prvního do druhého prostředí. Přitom souřadnice důležitých bodů jsou: A = [0, a], P = [0, x], B = [−b, d]. Dokážeme-li tedy popsat vztah úhlů θ1 a θ2, budeme schopni např. ze znalosti polohy zdroje světla a úhlu dopadu dopočítat bod B, nebo ze znalosti poloh bodů A a B dopočítat vzdálenost x a tedy polohu bodu P apod. Zdůrazněme, že osa x se kryje s hranicí daných prostředí. Jedním z nejzákladnějších fyzikálních vztahů je vzorec v = s · t ⇒ t = s v , kde s značí dráhu, v rychlost a t čas. Označme čas, který potřebuje světlo pro cestu z bodu A do bodu P jako t1 a čas, který potřebuje světlo pro cestu z bodu P do bodu B jako t2. Z Obrázku 38 je zřejmé, že platí t1 = |AP| c1 = √ a2 + x2 c1 , t2 = |PB| c2 = b2 + (d − x)2 c1 . Celkový čas je samozřejmě roven součtu t1 + t2 a je závislý na pozici bodu P, tj. na velikosti x. Naformulujme extremální problém: t(x) = √ a2 + x2 c1 + b2 + (d − x)2 c1 → min, x ∈ [0, d]. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 340 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Najděme nyní vztah popisující stacionární bod funkce t a dokažme, že jde o globální minimum. Nejprve ji zderivujeme podle proměnné x. t (x) = x c1 √ a2 + x2 − d − x c2 b2 + (d − x)2 . Všimněme si, že (opět viz Obrázek 38) sin θ1 = x √ a2 + x2 , sin θ2 = d − x b2 + (d − x)2 . Celkem jsme dostali, že pro hledaný stacionární bod platí t (x) = sin θ1 c1 − sin θ2 c2 = 0. Tedy sin θ1 c1 = sin θ2 c2 . (1) Tento vztah je ve fyzice znám jako Snellův zákon (Willebrord Snellius rozený Willebrord Snel van Royen, 1580 – 1626, Leiden, Nizozemsko; prvním objevitelem tohoto zákona je Abu Sa’d al-’Ala’ ibn Sahl, cca 940 – 1000, Bagdád). Abychom byli zcela korektní, musíme ovšem ještě dokázat, že popsaný stacionární bod existuje a že jde skutečně o globální minimum. Dosadíme-li do původního vztahu pro derivaci funkce t body 0 a d, zjistíme, že t (0) = 0 c1 √ a2 + 02 − d − 0 c2 b2 + (d − 0)2 = − d c2 √ b2 + d2 < 0, t (d) = d c1 √ a2 + d2 − d − d c2 b2 + (d − d)2 = d c1 √ a2 + d2 > 0. Protože je t (x) funkce spojitá na intervalu [0, d] a ukázali jsme, že má v krajních bodech tohoto intervalu opačná znaménka, existuje (dle první Bolzanovy věty) takové x0 ∈ [0, d], že t (x0) = 0. Tedy stacionární bod existuje. Spočtěme nyní druhou derivaci funkce t a pokusme se určit, zda je na intervalu [0, d] konvexní, nebo konkávní. t (x) = a2 c1(a2 + x2) 3 2 + b2 c2 [b2 + (d − x)2] 3 2 > 0, ∀x ∈ [0, d], takže funkce t je na intervalu [0, d] konvexní. Odtud plyne, že stacionární bod popsaný Snellovým zákonem je jediným lokálním minimem funkce t. Vzhledem k tomu, že druhá t je na [0, d] kladná, je na celém [0, d] funkce t rostoucí. Navíc již víme, že t(0) < 0 a t(d) > 0. Funkce t tedy z bodu x = 0 klesá do bodu x = x0 a z něj pak roste do bodu x = d. Bod x = x0 je tedy opravdu globálním minimem funkce t a dráha světelného paprsku je popsána Snellovým zákonem správně. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 341 (294) Chceme přestěhovat žebřík chodbou širokou p metrů, která se pravoúhlou zatáčkou mění na chodbu širokou q metrů. Jaký nejdelší žebřík lze touto zatáčkou pronést ve vodorovné poloze? (Jeho šířku zanedbejte.) Řešení: Nejprve zadaný problém důkladně graficky znázorníme. Žebřík je na obrázku 39 znázorněn modře. Pronášíme ho ve vodorovné poloze, ale samozřejmě tak aby jeho stupy směřovaly dolů, tím bude šířka pronášeného objektu redukována na několik centimetrů. Ze zadání máme tuto šířku pro jednoduchost zanedbat. Poznamenejme, že je skutečně efektivní nejprve vyřešit takto zjednodušený případ obecně a úpravy provádět až se znalostí jeho výsledku buď obecně, nebo už pro konkrétní případ. Obrázek 39. Průchod žebříku. Nejprve zdůrazněme souřadnice významných bodů: A = [a, 0] bod dotyku na vnější zdi vodorovné chodby, B = [0, l2 − a2] bod dotyku na vnější zdi svislé chodby, R = [p, q] roh chodby o který se může žebřík zaseknout. Pro účely výpočtu je tedy užitečné představovat si, že žebřík neseme tak, že jeho konce drhnou po vnějších zdech zatáčky. Naším úkolem je určit takovou délku žebříku l, aby se žebřík rohu R jen dotkl, ale nezasekl se. Nejprve určíme rovnici přímky, na které leží žebřík. Její parametrický popis je (pomocí bodů A a B): x = a + at, y = 0 − l2 − a2t, t ∈ R. Vyloučením parametru t získáme obecnou rovnici x a + y √ l2 − a2 − 1 = 0, Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 342 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné přičemž dotyk nastane pro [x, y] = [p, q]. Tj. p a + q √ l2 − a2 − 1 = 0. Je zřejmé, že platí p a + q √ l2 − a2 − 1 > 0 žebřík projde bez dotyku, p a + q √ l2 − a2 − 1 < 0 žebřík se zasekne. Označme levou stranu předchozích vztahů jako funkci f proměnné a. Žebřík projde zatáčkou jestliže bude tato funkce nezáporná, přitom proměnnou a má smysl uvažovat pouze v intervalu (0, l). Tím jsme připraveni formulovat extremální úlohu: f(a) = p a + q √ l2 − a2 − 1 → min, a ∈ (0, l). Najděme stacionární body funkce f. f (a) = − p a2 + aq (l2 − a2) 3 2 = 0, a3 q − p(l2 − a2 ) 3 2 = 0, a2 q 2 3 = p 2 3 (l2 − a2 ), a = ± p 1 3 l (p 2 3 + q 2 3 ) 1 2 . Protože jde o délku, zajímá nás pouze kladný výsledek (záporná hodnota navíc nenáleží do intervalu (0, l)). Označme nalezený stacionární bod a0 = p 1 3 l (p 2 3 + q 2 3 ) 1 2 . Nyní určeme pomocí druhé derivace zakřivení funkce f na intervalu (0, l). f (a) = 2p a3 + q(l2 − a2 ) 3 2 + 3aq2 (l2 − a2 ) 1 2 (l2 − a2)3 > 0, ∀a ∈ (0, l). Funkce f je tedy konvexní na celém intervalu (0, l), a bod a0 je tedy bodem minima. Nyní zbývá jen určit maximální možnou délku žebříku. Dosaďme bod a0 do funkce f. f(a0) = (p 2 3 + q 2 3 ) 3 2 l − 1. K dotyku dojde, tedy žebřík bude nejdelší možný, jestliže f(a0) = 0. Odtud l = (p 2 3 + q 2 3 ) 3 2 . Za podmínek a hodnot ze zadání je největší možná délka žebříku, který projde zatáčkou, (p 2 3 + q 2 3 ) 3 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova vˇeta Věta 26. Funkce f má v bodě x0 diferenciál (je diferencovatelná v x0) právě tehdy, když existuje vlastní derivace f (x0). Přitom platí df(x0)(h) = f (x0) · h, píšeme též df(x) = f (x) dx. Pro dostatečně malé h platí: f(x0 + h) . = f(x0) + f (x0)h, též f(x) ≈ f(x0) + f (x0)(x − x0) pro x → x0. Věta 27 (Taylorova věta). Nechť má funkce f v okolí bodu x0 vlastní derivace až do řádu n + 1 pro nějaké n ∈ N ∪ {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec f(x) = f(x0) + f (x0) 1! (x − x0)+ f (x0) 2! (x − x0)2 + · · · + f(n) (x0) n! (x − x0)n + Rn(x), kde Rn(x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x − x0)n+1 , přičemž ξ je vhodné číslo ležící mezi x0 a x. Chyba Rn(x) se nazývá zbytek • Zbytek uvedený v Taylorově větě je v tzv. Lagrangeově tvaru, což není jediná možnost jeho vyjádření. • Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom. • Pokud v Taylorově větě položíme x0 = 0, získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv. Maclaurinův polynom. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 344 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (295) Určete df(x0)(h) pro f(x) = √ x2 + 1 a x0 = 1. Řešení: Nejdříve musíme vyčíslit derivaci funkce f(x) v bodě x0, tj. f (x) = x √ x2 + 1 x0=1 1 √ 2 , proto dle definice platí df(1)(h) = √ 2 2 h. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 345 (296) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete √ 382. Řešení: Nejdříve musíme zvolit vhodnou funkci f(x), jejímž vyčíslením obdržíme √ 382. Zvolíme f(x) = √ x (druhou možnou volbou by mohla být např. funkce g(x) = x √ 382). Nyní musíme zvolit vhodný bod x0. Tento bod musí být zvolen tak, abychom byli bez problémů schopni vyčíslit funkci f(x) v tomto bodě. Navíc, tento bod by měl být nejbližší možný k zadané hodnotě, abychom se dopustili co nejmenší chyby. Proto zvolíme x0 = 400 a h = −18 (aby platilo 382 = x0 + h). Potom vyčíslíme funkci a její derivaci v bodě x0, tj. f(x) = √ x x0=400 20, f (x) = 1 2 √ x x0=400 1 40 . Nyní pomocí diferenciálu funkce obdržíme f(382) = f(400 − 18) = √ 382 ≈ 20 − 18 40 = 19, 55. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 346 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (297) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete 5 √ 36. Řešení: Zvolíme f(x) = 5 √ x, x0 = 32 a h = 4. Potom f(x) = 5 √ x x0=32 2, f (x) = 1 5 5 √ x4 x0=32 1 80 . Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f(36) = f(32 + 4) = 5 √ 36 ≈ 2 + 4 80 = 2, 05. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 347 (298) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete arctg 1, 1. Řešení: Zvolíme f(x) = arctg x, x0 = 1 a h = 0, 1. Potom f(x) = arctg x x0=1 π 4 , f (x) = 1 1 + x2 x0=1 1 2 . Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f(1, 1) = f(1 + 0, 1) = arctg 1, 1 ≈ π 4 + 0, 1 2 = π 4 + 0, 05. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 348 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (299) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete ln 1, 3. Řešení: Zvolíme f(x) = ln x, x0 = 1 a h = 0, 3. Potom f(x) = ln x x0=1 0, f (x) = 1 x x0=1 1. Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f(1, 3) = f(1 + 0, 3) = ln 1, 3 ≈ 0 + 1 · 0, 3 = 0, 3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 349 (300) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete sin(−0, 22). Řešení: Zvolíme f(x) = sin x, x0 = 0 a h = −0, 22. Potom f(x) = sin x x0=0 0, f (x) = cos x x0=0 1. Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f(−0, 22) = f(0 − 0, 22) = sin (−0, 22) ≈ 0 + 1 · (−0, 22) = −0, 22. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 350 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (301) Napište Taylorův polynom pro n = 4, x0 = 1 a f(x) = x ln x. Řešení: Než sestavíme Taylorův polynom, musíme vyčíslit funkci a všechny potřebné (tj. až do čtvrtého řádu) derivace v bodě x0, tj. f(x) = x ln x x0=1 0, f (x) = ln x + 1 x0=1 1, f (x) = 1 x x0=1 1, f (x) = − 1 x2 x0=1 −1, f(4) (x) = 2 x3 x0=1 2. Proto nyní dle definice platí x ln x = 0 + 1 · (x − 1) + 1 2! (x − 1)2 − 1 3! (x − 1)3 + 2 4! (x − 1)4 = = x − 1 + 1 2 (x − 1)2 − 1 6 (x − 1)3 + 1 12 (x − 1)4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 351 (302) Napište Taylorův vzorec pro n = 2, x0 = 1 a f(x) = arctg x. Řešení: Nejdříve vyčíslíme funkci a první dvě derivace v bodě x0 a také spočítáme (ale nevyčíslíme) třetí derivaci, tj. f(x) = arctg x x0=1 π 4 , f (x) = 1 1 + x2 x0=1 1 2 , f (x) = −2x (1 + x2)2 x0=1 − 1 2 , f (x) = 2 3x2 − 1 (1 + x2)3 . Proto nyní platí arctg x = π 4 + 1 2 (x − 1) − 1 4 (x − 1)2 + 6ξ2 − 2 6(ξ2 + 1)3 (x − 1)3 , kde ξ leží mezi x a 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 352 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (303) Určete maximální chybu v aproximaci z Příkladu 302, kde x ∈ (0, 9; 1, 1). Řešení: Chyba je určena výrazem R2(x) = 6ξ2 − 2 6(ξ2 + 1)3 (x − 1)3 , 0, 9 < ξ < 1, 1. Musíme tedy vhodně omezit výraz |R2(x)| a tak určit maximální chybu aproximace. Nejdříve se zaměříme na čitatele, tj. 6ξ2 − 2 |a + b| ≤ |a| + |b|  ≤ 6 |ξ|2 + 2 < 6 · 1, 12 + 2 = 9, 26. Jmenovatele omezíme takto 6(ξ2 + 1)3 = 6 ξ2 + 1 3 ≥ 10, 86, neboť jistě platí ξ2 + 1 > 0, 92 + 1 = 1, 81. Proto nyní můžeme psát |R2(x)| = 6ξ2 − 2 6(ξ2 + 1)3 |(x − 1)|3 ≤ 9, 26 10, 86 |(x − 1)|3 ≤ 0, 8526 · 0, 13 = 0, 00085 . = 0, 0009. Maximální chyba aproximace Taylorovým polynomem druhého stupně je 0, 0009. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 353 (304) Vyjádřete funkci sin xπ 4 pomocí mocnin x − 2. Řešení: Takovéto vyjádření je možné pomocí Taylorova polynomu. Ze zadání plyne, že x0 = 2 a že musíme polynom sestavit v obecné podobě, neboť nebyl zadán stupeň aproximace. Proto f(x) = sin xπ 4 x0=2 1, f (x) = π 4 cos xπ 4 x0=2 0, f (x) = − π 4 2 sin xπ 4 x0=2 − π 4 2 , f (x) = − π 4 3 cos xπ 4 x0=2 0, f(4) (x) = π 4 4 sin xπ 4 x0=2 π 4 4 . Z tvaru jednotlivých derivací můžeme pro k ∈ N ∪ {0} odvodit f(2k) (x) = (−1)k π 4 2k sin xπ 4 x0=2 (−1)n π 4 2k , f(2k+1) (x) = (−1)k π 4 2k+1 cos xπ 4 x0=2 0. Proto hledaný Taylorův polynom je tvaru sin xπ 4 = 1 − π 4 2 (x − 2)2 2! + π 4 4 (x − 2)4 4! + · · · + (−1)n π 4 2n (x − 2)2n (2n)! + · · · . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 354 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (305) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = ex . Řešení: Musíme vyčíslit funkci a všechny derivace v bodě x0, tj. f(x) = ex x0=0 1, f (x) = ex x0=0 1. Navíc je zřejmé že platí f(x) = f (x) = f (x) = · · · = f(n) (x) a f(x0) = f (x0) = f (x0) = · · · = f(n) (x0) = 1. Proto můžeme sestavit Taylorův polynom ve tvaru ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + · · · + xn n! + eξ (n + 1)! xn+1 , kde ξ leží mezi 0 a x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 355 (306) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = sin x. Řešení: Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě x0, tj. f(x) = sin x x0=0 0, f (x) = cos x x0=0 1, f (x) = − sin x x0=0 0, f (x) = − cos x x0=0 −1, f(4) (x) = sin x x0=0 0. Navíc je zřejmé, že pro k ∈ N ∪ {0} platí f(2k) = (−1)k sin x x0=0 0, f(2k+1) = (−1)k cos x x0=0 1. Proto můžeme napsat sin x = x − x3 3! + x5 5! + · · · + (−1)n−1 x2n−1 (2n − 1)! + (−1)n x2n+1 (2n + 1)! cos ξ, kde ξ leží mezi 0 a x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 356 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (307) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = cos x. Řešení: Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě x0, tj. f(x) = cos x x0=0 1, f (x) = − sin x x0=0 0, f (x) = − cos x x0=0 −1, f (x) = sin x x0=0 0, f(4) (x) = cos x x0=0 1. Navíc je zřejmé, že pro k ∈ N ∪ {0} platí f(2k) = (−1)k cos x x0=0 1, f(2k+1) = (−1)k sin x x0=0 0. Proto můžeme napsat cos x = 1 − x2 2! + x4 4! + · · · + (−1)n x2n (2n)! + (−1)n x2n+2 (2n + 2)! cos ξ, kde ξ leží mezi 0 a x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 357 (308) Užitím Maclaurinova polynomu vypočtěte přibližnou hodnotu čísla e s chybou menší než 0, 001. Řešení: Z Příkladu 305 víme, že platí ex = 1 + x + x2 2! + x3 3! + · · · + xn n! + eξ (n + 1)! xn+1 , což pro x = 1 dává e = 1 + x + 1 2! + 1 3! + · · · + 1 n! + eξ (n + 1)! , kde ξ ∈ (0, 1). K tomu, abychom dosáhli chyby menší než 0, 001, musíme vyřešit nerovnici eξ (n + 1)! < 0, 0001 protože ξ ∈ (0, 1)  ⇒ 3 (n + 1)! < 0, 0001 ⇒ ⇒ 3000 < (n + 1)! ⇒ n > 5. Proto musíme použít Taylorův polynom alespoň šestého stupně, tj. e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 6! = 2, 718055556. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 358 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (309) Pro jaké hodnoty x platí přibližný vztah cos x = 1 − x2 2 s přesností 0, 0001? Řešení: Z Příkladu 307 pro n = 2 víme, že platí cos x = 1 − x2 2! + R2(x), kde R2(x) = x4 cos ξ 4! a ξ leží mezi 0 a x. Z omezenosti funkce cos x plyne, že x4 cos ξ 24 ≤ |cos ξ| x4 24 ≤ x4 24 . Musíme proto vyřešit nerovnici x4 24 ≤ 0, 0001 ⇒ x4 ≤ 0, 0001. Řešením tedy je x ∈ [− 4 √ 0, 0024, 4 √ 0, 0024] . = [−0, 222, 0, 222], tj. |x| ≤ 0, 222 = 12◦ 30 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 359 (310) Pomocí Taylorova polynomu pro n = 3 určete přibližně 3 √ 30. Řešení: Uvažujme funkci f(x) = 3 √ x a položme x0 = 27. Vypočteme funkční hodnotu a všechny potřebné derivace v bodě x0, tj. f(x) = 3 √ x x0=27 3, f (x) = 1 3 3 √ x2 x0=27 1 27 , f (x) = − 2 9 3 √ x5 x0=27 − 2 2187 , f (x) = 10 27 3 √ x8 x0=27 10 177147 . Nyní můžeme vypočítat přibližnou hodnotu 3 √ 30 = 3 + 1 27 · 3 + − 8 2187 2 · 32 + 10 177147 6 · 33 . = 3, 10725. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 360 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (311) Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu cos 1◦ (výsledek uveďte na 6 desetinných míst). Řešení: Z Příkladu 307 víme, že platí cos x = 1 − x2 2 , proto obdržíme cos 1◦ = cos π 180 = 1 − π2 1802 2 . = 0, 999847. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 361 (312) Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu sin 2◦ (výsledek uveďte na 6 desetinných míst). Řešení: Z Příkladu 306 víme, že platí sin x = x − x3 6 , proto obdržíme sin 2◦ = sin 2π 180 = π 90 − π3 903 6 . = 0, 034899. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 362 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (313) Vypočtěte číslo log 11 s přesností 10−5 . Řešení: Zvolíme f(x) = log x a x0 = 10. Nyní vyčíslíme funkci a její derivace v bodě x0, tj. f(x) = log x x0=10 1, f (x) = 1 x ln 10 x0=10 1 10 ln 10 , f (x) = − 1 x2 ln 10 x0=10 − 1 102 ln 10 , f (x) = 2 x3 ln 10 x0=10 2 103 ln 10 , f(4) (x) = − 6 x4 ln 10 x0=10 − 6 104 ln 10 . Obecně můžeme psát f(n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)! xn ln 10 x0=10 (−1)n−1 (n − 1)! 10n ln 10 . Tedy Taylorův vzorec je tavru log x = 1 + 1 10 ln 10 (x − 10) − 1 102 ln 10 2! (x − 10)2 + 2 103 ln 10 3! (x − 10)3 + + · · · + (−1)n−1 (n − 1)! n!10n ln 10 (x − 10)n + Rn(x), kde Rn(x) = (−1)n n! (n + 1)!ξn ln 10 (x − 10)n+1 a ξ leží mezi x a 10. Abychom dosáhli požadované přesnosti, musíme vyřešit nerovnici |Rn(11)| = 1 (n + 1)ξn+1 ln 10 < 10−5 ⇒ 1 n + 1 1 ξn+1 < 10−5 ln 10  1 n+1 < 1  ⇒ ⇒ 1 ξn+1 < 10−5 ln 10 ξ ∈ (10, 11)  ⇒ ⇒ 1 10n+1 < 10−5 ln 10 ⇒ ⇒ 10−n−1 < 10−5 ln 10 ⇒ ⇒ (−n − 1) ln 10 < ln 10−5 ln 10 < 5 ⇒ ⇒ −n − 1 < ln 10−5 ln 10 ln 10 < −5 ⇒ ⇒ −n < −4 ⇒ n > 4, musíme tedy použít Taylorův polynom alespoň pátého stupně, tj. log 11 = 1 + 1 10 ln 10 − 1 2 · 102 ln 10 + 2! 3! · 103 ln 10 − − 3! 4! · 104 ln 10 + 4! 5! · 105 ln 10 = 1, 041392752. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. Integrální poˇcet funkcí jedné promˇenné II. 1. Základní integraˇcní metody Definice 28. Nechť funkce f je definována na intervalu I. Funkce F se nazývá primitivní k funkci f na I, jestliže platí F (x) = f(x) pro každé x ∈ I. Množina všech primitivních funkcí k funkci f na I se nazývá neurčitý integrál z funkce f a značí se f(x) dx, tj. f(x) dx := {F : F je primitivní funkce k f na I} . Základní vzorce pro integrování (k ∈ R): (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx, k · f(x) dx = k · f(x) dx. Integrování elementárních funkcí (a, b, k, C, α, β ∈ R, a > 0, b = 0 jsou dané konstanty a C je integrační konstanta): k dx = kx + C, xn dx = xn+1 n + 1 + C, 1 x dx = ln |x| + C, ex dx = ex +C, ax dx = ax ln a + C, sin x dx = − cos x + C, cos x dx = sin x + C, 1 x2 + 1 dx = arctg x + C, 1 √ 1 − x2 dx = arcsin x + C, 1 cos2 x dx = tg x + C, 1 sin2 x dx = − cotg x + C, f (x) f(x) dx = ln |f(x)| + C. f(x) dx = F(x) + C ⇒ f(αx + β) dx = 1 α F(αx + β) + C. Věta 29 (Integrování per-partes). Nechť funkce u a v mají derivaci na intervalu I. Pak platí u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − u (x) · v(x) dx, pokud alespoň jeden z uvedených integrálů existuje. 363 364 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné u(x) v (x) P(x) · ekx P(x) ekx P(x) · akx P(x) akx P(x) · sin(kx) P(x) sin(kx) P(x) · cos(kx) P(x) cos(kx) u(x) v (x) P(x) · lnn x lnn x P(x) P(x) · logn b x logn b x P(x) P(x) · arcsin(kx) arcsin(kx) P(x) P(x) · arccos(kx) arccos(kx) P(x) P(x) · arctg(kx) arctg(kx) P(x) P(x) · arccotg(kx) arccotg(kx) P(x) Tabulka 1. Jak volit funkce při integrování per-partes (P(x) je polynom, k ∈ R). Věta 30 (Substituční metoda). Nechť funkce f má na otevřeném intervalu J primitivní funkci F, funkce ϕ(x) má derivaci na otevřeném intervalu I a pro libovolné x ∈ I je ϕ(x) ∈ J. Pak má složená funkce f(ϕ) ϕ na intervalu I primitivní funkci a platí f[ϕ(x)] ϕ (x) dx ϕ(x) = u ϕ (x) dx = du = f(u) du = F(u) + C = F[ϕ(x)] + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 365 (314) Vypočtěte x dx. Řešení: S využitím základních vzorců obdržíme přímo x dx = x2 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 366 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (315) Vypočtěte 1 x2 dx. Řešení: S využitím základních vzorců obdržíme přímo 1 x2 dx = x−2 dx = x−1 −1 + C = − 1 x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 367 (316) Vypočtěte √ x dx. Řešení: S využitím základních vzorců obdržíme přímo √ x dx = x1/2 dx = x3/2 3/2 + C = 2 3 √ x3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 368 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (317) Vypočtěte 1 3 √ x dx. Řešení: S využitím základních vzorců obdržíme přímo 1 3 √ x dx = x−1/3 dx = x2/3 2/3 + C = 3 2 3 √ x2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 369 (318) Vypočtěte e−x dx. Řešení: S využitím základních vzorců obdržíme přímo e−x dx = − e−x +C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 370 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (319) Vypočtěte 1 x2 + 3 dx. Řešení: S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců, tj. 1 x2 + 3 dx = 1 3 1 x2 3 + 1 dx = 1 3 1 x√ 3 2 + 1 dx = 1 √ 3 arctg x √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 371 (320) Vypočtěte 1 √ 4 − x2 dx. Řešení: S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců, tj. 1 √ 4 − x2 dx = 1 2 1 − x2 4 dx = 1 2 1 1 − x 2 2 dx = arcsin x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 372 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (321) Vypočtěte 3x2 + 1 x3 + x + 2 dx. Řešení: S využitím základních vzorců obdržíme přímo 3x2 + 1 x3 + x + 2 dx = ln x3 + x + 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 373 (322) Vypočtěte 2 cos2 x − 3 sin 5x + 2 cos x 2 + 3x − 7 2x + 4 3 − x − 2 3x + 2 + 2 e 2x 3 dx. Řešení: Aplikací základních vzorců získáme 2 cos2 x − 3 sin 5x + 2 cos x 2 + 3x − 7 2x + 4 3 − x − 2 3x + 2 + 2 e 2x 3 dx = = 2 tg x + 3 5 cos 5x + 4 sin x 2 + 3x ln 3 + 7 2x ln 2 − 4 ln |3 − x| − 2 3 ln |3x + 2| + 3 e 2x 3 +C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 374 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (323) Vypočtěte tg2 (au) du, a = 0. Řešení: Postupným upravováním obdržíme tg2 (au) du = sin2 (au) cos2 (au) du = 1 − cos2 (au) cos2 (au) du = 1 cos2 (au) du − 1 du = = 1 a tg (au) − u + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 375 (324) Vypočtěte tg (bs) ds, b = 0. Řešení: Ze základních vzorců získáme tg (bs) ds = sin (bs) cos (bs) ds = − 1 b ln |cos (bs)| + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 376 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (325) Vypočtěte x cos2 x dx. Řešení: S využitím metody per-partes dostaneme x cos2 x dx  u = x u = 1 v = tg x v = 1 cos2 x  = x tg x − tg x dx = = x tg x − sin x cos x dx = x tg x + ln |cos x| + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 377 (326) Vypočtěte x ln x dx. Řešení: Metodou per-partes získáme x ln x dx  u = ln x u = 1 x v = x2 2 v = x  = x2 2 ln x − x 2 dx = x2 2 ln x − x2 4 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 378 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (327) Vypočtěte (2x − 1) ln x dx. Řešení: Metodou per-partes získáme (2x − 1) ln x dx  u = ln x u = 1 x v = x2 − x v = 2x − 1  = = (x2 − x) ln x − 1 x (x2 − x) dx = (x2 − x) ln x − (x − 1) dx = = (x2 − x) ln x − x2 2 + x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 379 (328) Vypočtěte (x2 + 1) e−x dx. Řešení: S opakovaným využitím metody per-partes dostaneme (x2 + 1) e−x dx  u = x2 + 1 u = 2x v = − e−x v = e−x  = = −(x2 + 1) e−x + 2x e−x dx  u = 2x u = x v = − e−x v = e−x  = = −(x2 + 1) e−x −2x e−x + 2 e−x dx = = −(x2 + 1) e−x −2x e−x + − 2 e−x +C = − e−x (x2 + 2x + 3) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 380 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (329) Vypočtěte x2 e−3x dx. Řešení: Metodou per-partes získáme x2 e−3x dx  u = x2 u = 2x v = −1 3 e−3x v = e−3x  = = − 1 3 x2 e−3x + 2 3 x e−3x dx  u = x u = 1 v = −1 3 e−3x v = e−3x  = = − 1 3 x2 e−3x − 2 9 x e−3x + 2 9 e−3x dx = − 1 3 e−3x x2 + 2 3 x + 2 9 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 381 (330) Vypočtěte ex sin x dx. Řešení: Po dvojnásobném použití metody per-partes dostaneme ex sin x dx  u = ex u = ex v = − cos x v = sin x  = = − ex cos x + ex cos x dx  u = ex u = ex v = sin x v = cos x  = = − ex cos x + ex sin x − ex sin x dx, což znamená, že jsme ve výsledku obdrželi stejný integrál jako v zadání pouze s opačným znaménkem, tj. ex sin x dx = 1 2 ex (sin x − cos x) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 382 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (331) Vypočtěte cos2 x dx. Řešení: S využitím metody per-partes obdržíme cos2 x dx  u = cos x u = − sin x v = sin x v = cos x  = = cos x · sin x + sin2 x dx = cos x · sin x + 1 − cos2 x dx = = cos x · sin x + 1 − cos2 x dx = cos x · sin x + x − cos2 x dx. Odtud plyne cos2 x dx = 1 2 (sin x · cos x + x) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 383 (332) Vypočtěte arctg x dx. Řešení: Metodou per-partes obdržíme arctg x dx  u = arctg x u = 1 1+x2 v = x v = 1  = = x arctg x − x 1 + x2 dx = x arctg x + 1 2 ln x2 + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 384 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (333) Vypočtěte ln x dx. Řešení: Metodou per-partes obdržíme ln x dx  u = ln x u = 1 x v = x v = 1  = x ln x − 1 dx = x ln x − x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 385 (334) Vypočtěte ln x x dx. Řešení: Tento příklad je možné řešit jak substitucí, tak i per-partes. Per-partes: I = ln x x dx  u = 1 x u = ln x v = ln x v = 1 x  = = ln2 x − ln x x dx = ln2 x − I ⇒ I = ln2 x − I ⇒ 2I = ln2 x ⇒ I = ln2 x 2 + C. Substitucí: ln x x dx  t = ln x dt = 1 x dx  = tdt = t2 2 + C = ln2 x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 386 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (335) Vypočtěte (4 − 7x)10 dx. Řešení: Substituční metodou obdržíme (4 − 7x)10 dx  t = 4 − 7x dt = −7 dx  = − 1 7 t10 dt = − 1 7 t11 11 + C = − 1 77 (4 − 7x)11 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 387 (336) Vypočtěte √ 2x − 5 dx. Řešení: Použitím substituční metody získáme √ 2x − 5 dx  t = 2x − 5 dt = 2 dx  = 1 2 √ t dt = 1 2 t3/2 3 2 + C = 1 3 (2x − 5)3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 388 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (337) Vypočtěte cos x (2 + sin x)2 dx. Řešení: Substituční metodou obdržíme cos x (2 + sin x)2 dx  t = 2 + sin x dt = cos x dx  = dt t2 = − 1 t + C = − 1 2 + sin x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 389 (338) Vypočtěte (1 + ln x)4 x dx. Řešení: Substituční metodou dostaneme (1 + ln x)4 x dx  t = ln x dt = 1 x dx  = (1 + t)4 dt = (1 + t)5 5 + C = (1 + ln x)5 5 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 390 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (339) Vypočtěte sin x · cos5 x dx. Řešení: Substituční metodou obdržíme sin x · cos5 x dx  u = cos x du = − sin x dx  = − u5 du = − u6 6 + C = − cos6 x 6 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 391 (340) Vypočtěte x e−x2 dx. Řešení: Substituční metodou získáme x e−x2 dx  t = −x2 dt = −2x dx  = − 1 2 et dt = − 1 2 et +C = − 1 2 e−x2 +C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 392 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (341) Vypočtěte cos x 1 + sin2 x dx. Řešení: S pomocí substituční metody získáme cos x 1 + sin2 x dx  t = sin x dt = cos dx  = dt √ 1 + t2  u = t + √ 1 + t2 du = 1 + 2t 2 √ 1+t2 dt = √ 1+t2+t√ 1+t2 dt du t+ √ 1+t2 = dt√ 1+t2  = = du u = ln |u| + C = ln t + 1 + t2 + C = ln sin x + 1 + sin2 x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 393 (342) Vypočtěte x3 e−x2 dx. Řešení: Kombinace substituce a metody per-partes dává x3 e−x2 dx  t = −x2 dt = −2x dx  = − 1 2 (−t) et dt = = 1 2 t et dt  u = t u = 1 v = et v = et  = 1 2 t et − 1 2 et dt = = 1 2 t et − 1 2 et +C = − 1 2 e−x2 (x2 + 1) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 394 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (343) Vypočtěte e √ x dx. Řešení: Kombinace substituce a metody per-partes dává e √ x dx  t = √ x t2 = x 2t dt = dx  = 2 t et dt  u = t u = 1 v = et v = et  = = 2t et −2 et dt = 2t et −2 et +C = 2 e √ x ( √ x − 1) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 395 (344) Vypočtěte x arcsin x2 dx. Řešení: Kombinace substituce a metody per-partes dává x arcsin x2 dx  t = x2 dt = 2x dx  = 1 2 arcsin t dt  u = arcsin t u = 1√ 1−t2 v = t v = 1  = = 1 2 t arcsin t − 1 2 t √ 1 − t2 dt  w = 1 − t2 dw = −2t dt  = 1 2 t arcsin t + 1 4 dw √ w = = 1 2 t arcsin t + 1 4 w1/2 1 2 + C = 1 2 x2 arcsin x2 + 1 2 1 − x4 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 396 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (345) Vypočtěte pomocí per-partes i substituční metodou 1 − x2 dx. Řešení: Tento příklad lze řešit dvěma způsoby. Metodou per-partes obdržíme 1 − x2 dx  u = √ 1 − x2 u = −2x 2 √ 1−x2 v = x v = 1  = = x 1 − x2 + x2 √ 1 − x2 dx = x 1 − x2 − 1 − x2 + 1 √ 1 − x2 dx = = x 1 − x2 − 1 − x2 √ 1 − x2 − 1 √ 1 − x2 dx = = x 1 − x2 − 1 − x2 dx + 1 √ 1 − x2 dx = = x 1 − x2 + arcsin x − 1 − x2 dx, tj. 1 − x2 dx = 1 2 x 1 − x2 + arcsin x + C. Vhodnou substitucí dostaneme tentýž výsledek, tj. 1 − x2 dx  x = sin t dx = cos t dt  = 1 − sin2 t cos t dt = = cos2 dt Př. (331) = 1 2 sin t cos t + t 2 + C = 1 2 sin t 1 − sin2 t + arcsin x 2 + C = = 1 2 x 1 − x2 + 1 2 arcsin x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 1. Základní integrační metody 397 (346) Vypočtěte max{1, x2 } dx. Řešení: Pro |x| ≤ 1 platí max{1, x2 } dx = 1 dx = x + C. Je-li |x| > 1, platí max{1, x2 } dx = x2 dx = x3 3 + C. Protože výsledná funkce musí být spojitá, platí max{1, x2 } dx =    x3 3 − 2 3 + C pro x < −1, x + C pro |x| ≤ 1, x3 3 + 2 3 + C pro x > 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 398 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II. 2. Integrace racionální lomené funkce Racionální lomenou funkci je nutné rozložit na parciální zlomky. Tyto parciální zlomky se pak postupně integrují, přičemž postup pro jejich integraci je následující: • A x − x0 dx  t = x − x0 dt = dx  = A t dt = A ln |t| + C = A ln |x − x0| + C; • A (x − x0)n dx  t = x − x0 dt = dx  = A tn dt = A · t−n+1 −n + 1 + C = = A (1 − n)(x − x0)n−1 + C, kde n ≥ 2; • Ax + B x2 + px + q dx = A 2 2x + p x2 + px + q dx  t = x2 + px + q dt = (2x + p) dx  + + B − Ap 2 1 x2 + px + q dx = = A 2 dt t + B − Ap 2 1 (x − x0)2 + a2 dx = ln |t| + + B − Ap 2 1 a2 dx x−x0 a 2 + 1  u = x−x0 a du = 1 a dx  = = ln x2 + px + q + B − Ap 2 1 a2 adu u2 + 1 = ln x2 + px + q + + B − Ap 2 1 a2 · a · arctg u + C = = ln x2 + px + q + 2B − Ap 2a · arctg x − x0 a + C; • Ax + B (x2 + px + q)n dx = A 2 2x + p (x2 + px + q)n dx  t = x2 + px + q dt = (2x + p) dx  + + B − Ap 2 dx (x2 + px + q)n = = A 2 dt tn + B − Ap 2 dx [(x − x0)2 + a2]n = = A 2 · 1 (1 − n)(x2 + px + q)n−1 + B − Ap 2 Kn(x0, a), kde n ≥ 2, přičemž Kn(x0, a): = dx [(x−x0)2+a2]n . K dokončení výpočtu posledního integrálu je třeba využít následující rekurentní formule Kn+1(x0, a) = 1 a2 2n − 1 2n Kn(x0, a) + 1 2n x − x0 [(x − x0)2 + a2]n , K1(x0, a) = 1 a arctg x − x0 a , Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 399 což ve speciálním případě (x0 = 0 a a = 1) dává Kn+1(0, 1) = 2n − 1 2n Kn(0, 1) + 1 2n x (x2 + 1)n , K1(0, 1) = arctg x. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 400 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (347) Vypočtěte x3 + 1 x(x − 1)3 dx. Řešení: x3 + 1 x(x − 1)3 dx = − dx x + 2 dx x − 1 + dx (x − 1)2 + 2 dx (x − 1)3 = = − ln |x| + 2 ln |x − 1| − 1 (x − 1)2 − 1 x − 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 401 (348) Vypočtěte x3 + x (x2 − 1)(x2 − 2) dx. Řešení: x3 + x (x2 − 1)(x2 − 2) dx = − dx x − 1 − dx x + 1 + 3 2 x − √ 2 dx + 3 2 x + √ 2 dx = = − ln |x − 1| − ln |x + 1| + 3 2 ln x − √ 2 + 3 2 ln x + √ 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 402 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (349) Vypočtěte x6 + 2x − 1 x5 − x2 dx. Řešení: x6 + 2x − 1 x5 − x2 dx = x dx − 2 dx x + 2 3 dx x − 1 + 2 3 2x + 1 x2 + x + 1 + dx x2 = = x2 2 − 2 ln |x| + 2 3 ln |x − 1| + 2 3 ln x2 + x + 1 − 1 x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 403 (350) Vypočtěte 3x + 7 x2 − 4x + 15 dx. Řešení: 3x + 7 x2 − 4x + 15 dx = 3 2 2x − 4 x2 − 4x + 15 dx + 13 dx x2 − 4x + 15 = = 3 2 ln x2 − 4x + 15 + 13 dx (x − 2)2 + 11 = = 3 2 ln x2 − 4x + 15 + 13 11 dx x−2√ 11 2 + 1  t = x−2√ 11 dt = 1√ 11 dx  = = 3 2 ln x2 − 4x + 15 + 13 √ 11 11 dt t2 + 1 = = 3 2 ln x2 − 4x + 15 + 13 √ 11 11 arctg t + C = = 3 2 ln x2 − 4x + 15 + 13 √ 11 arctg x − 2 √ 11 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 404 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (351) Vypočtěte x3 + 2x + x − 1 x2 − x + 1 dx. Řešení: x3 + 2x + x − 1 x2 − x + 1 dx = (x + 3) dx + 3x − 4 x2 − x + 1 dx = = x2 2 + 3x + 3 2 2x − 1 x2 − x + 1 dx − 5 2 dx x − 1 2 2 + 3 4 = = x2 2 + 3x + 3 2 2x − 1 x2 − x + 1 dx − 10 3 dx 2x−1√ 3 2 + 1  t = 2x−1√ 3 dt = 2√ 3 dx  = = x2 2 + 3x + 3 2 2x − 1 x2 − x + 1 dx − 5 √ 3 3 dt t2 + 1 = = x2 2 + 3x + 3 2 2x − 1 x2 − x + 1 dx − 5 √ 3 3 arctg t + C = = x2 2 + 3x + 3 2 ln x2 − x + 1 − 5 √ 3 3 arctg 2x − 1 √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 405 (352) Vypočtěte x x4 − x3 − x + 1 dx. Řešení: x x4 − x3 − x + 1 dx = 1 3 dx (x − 1)2 − 1 3 dx x2 + x + 1  t = x − 1 dt = dx  = = 1 3 dt t2 − 1 3 dx x + 1 2 2 + 3 4 = = − 1 3(x + 1) − 1 3 2 √ 3 arctg x + 1 2 √ 3 2 + C = = − 1 3(x + 1) − 2 √ 3 9 arctg 2x + 1 √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 406 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (353) Vypočtěte x (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x − 3) dx. Řešení: x (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x − 3) dx = 1 20 dx x − 1 + 3 20 dx x + 3 − 1 5 x x2 + 2x + 2 dx = = 1 20 ln |x − 1| + 3 20 ln |x + 3| − 1 5 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 2 dx − dx x2 + 2x + 2 = = 1 20 ln |x − 1| + 3 20 ln |x + 3| − 1 10 ln x2 + 2x + 2 + 1 5 dx (x + 1)2 + 1  t = x + 1 dt = dx  = = 1 20 ln |x − 1| + 3 20 ln |x + 3| − 1 10 ln x2 + 2x + 2 + 1 5 dt t2 + 1 = = 1 20 ln |x − 1| + 3 20 ln |x + 3| − 1 10 ln x2 + 2x + 2 + 1 5 arctg(x + 1) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 407 (354) Vypočtěte dx x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 . Řešení: dx x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = 1 3 dx x − 1 − 1 6 2x + 1 x2 + x + 1 − 1 2 dx x2 − x + 1 = = 1 3 ln |x − 1| − 1 6 ln x2 + x + 1 − 1 2 dx x − 1 2 2 + 3 4 = = 1 3 ln |x − 1| − 1 6 ln x2 + x + 1 − 2 3 dx 2x−1√ 3 2 + 1  t = 2x−1√ 3 dt = 2√ 3 dx  = = 1 3 ln |x − 1| − 1 6 ln x2 + x + 1 − √ 3 3 dx t2 + 1 = = 1 3 ln |x − 1| − 1 6 ln x2 + x + 1 − √ 3 3 arctg t = = 1 3 ln |x − 1| − 1 6 ln x2 + x + 1 − √ 3 3 arctg 2x − 1 √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 408 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (355) Vypočtěte x2 + 3x + 2 x2 + x + 2 dx. Řešení: x2 + 3x + 2 x2 + x + 2 dx = 1 dx + 2x x2 + x + 2 dx = = x + 2x + 1 x2 + x + 2 dx − dx x2 + x + 2 = = x + ln x2 + x + 2 − dx x + 1 2 2 + 7 4 = = x + ln x2 + x + 2 − 4 7 dx 2x+1√ 7 2 + 1  t = 2x+1√ 7 dt = 2√ 7 dx  = = x + ln x2 + x + 2 − 2 √ 7 7 dx t2 + 1 = = x + ln x2 + x + 2 − 2 √ 7 7 arctg t + C = = x + ln x2 + x + 2 − 2 √ 7 arctg 2x + 1 √ 7 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 409 (356) Vypočtěte dx (x2 − 6x + 8)(x2 + 2x + 2) . Řešení: dx (x2 − 6x + 8)(x2 + 2x + 2) = 1 52 dx x − 4 − 1 20 dx x − 2 + 1 130 4x + 11 x2 + 2x + 2 dx = = 1 52 ln |x − 4| − 1 20 ln |x − 2| + 1 130 2 2x + 2 x2 + 2x + 2 dx + 7 dx x2 + 2x + 2 = = 1 52 ln |x − 4| − 1 20 ln |x − 2| + 2 130 ln x2 + 2x + 2 + 7 130 dx (x + 1)2 + 1  t = x + 1 dt = dx  = = 1 52 ln |x − 4| − 1 20 ln |x − 2| + 2 130 ln x2 + 2x + 2 + 7 130 dt t2 + 1 = = 1 52 ln |x − 4| − 1 20 ln |x − 2| + 2 130 ln x2 + 2x + 2 + 7 130 arctg t = = 1 52 ln |x − 4| − 1 20 ln |x − 2| + 2 130 ln x2 + 2x + 2 + 7 130 arctg(x + 1) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 410 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (357) Vypočtěte x8 x8 − 1 dx. Řešení: x8 x8 − 1 dx = 1 dx + 1 8 dx x − 1 − 1 8 dx x + 1 − 1 4 dx x2 + 1 + + 1 8 √ 2x − 2 x2 − √ 2x + 1 dx − 1 8 √ 2x + 2 x2 + √ 2x + 1 dx = = x + 1 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| − 1 4 arctg x+ + 1 8 √ 2 2 2x − √ 2 x2 − √ 2x + 1 dx − dx x2 − √ 2x + 1 − − 1 8 √ 2 2 2x + √ 2 x2 + √ 2x + 1 dx + dx x2 + √ 2x + 1 = = x + 1 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| − 1 4 arctg x+ + √ 2 16 ln x2 − √ 2x + 1 − 1 8 dx x − √ 2 2 2 + 1 2 − − √ 2 16 ln x2 + √ 2x + 1 − 1 8 dx x + √ 2 2 2 + 1 2 = = x + 1 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| − 1 4 arctg x+ + √ 2 16 ln x2 − √ 2x + 1 − 1 4 dx √ 2x − 1 2 + 1  t = √ 2x − 1 dt = √ 2 dx  − − √ 2 16 ln x2 + √ 2x + 1 − 1 4 dx √ 2x + 1 2 + 1  w = √ 2x + 1 dw = √ 2 dx  = = x + 1 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| − 1 4 arctg x+ + √ 2 16 ln x2 − √ 2x + 1 − √ 2 8 dt t2 + 1 − − √ 2 16 ln x2 + √ 2x + 1 − √ 2 8 dw w2 + 1 = Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 411 = x + 1 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| − 1 4 arctg x+ + √ 2 16 ln x2 − √ 2x + 1 − √ 2 8 arctg t− − √ 2 16 ln x2 + √ 2x + 1 − √ 2 8 arctg w + C = = x + 1 8 ln |x − 1| − 1 8 ln |x + 1| − 1 4 arctg x+ + √ 2 16 ln x2 − √ 2x + 1 − √ 2 8 arctg √ 2x − 1 − − √ 2 16 ln x2 + √ 2x + 1 − √ 2 8 arctg √ 2x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 412 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (358) Vypočtěte x − 4 5x2 + 6x + 3 dx. Řešení: x − 4 5x2 + 6x + 3 dx = 1 10 10x + 6 5x2 + 6x + 3 dx − 23 5 dx 5x2 + 6x + 3 = = 1 10 ln 5x2 + 6x + 3 − 23 25 dx x2 + 6 5 x + 3 5 = = 1 10 ln 5x2 + 6x + 3 − 23 25 dx x + 3 5 2 + 6 25 = = 1 10 ln 5x2 + 6x + 3 − 23 6 dx 5x+3√ 6 2 + 1  t = 5x+3√ 6 dt = 5√ 6 dx  = = 1 10 ln 5x2 + 6x + 3 − 23 √ 6 30 dx t2 + 1 = = 1 10 ln 5x2 + 6x + 3 − 23 √ 6 30 arctg t + C = = 1 10 ln 5x2 + 6x + 3 − 23 √ 6 30 arctg 5x + 3 √ 6 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 413 (359) Vypočtěte 2x + 1 (x2 + 4x + 13)2 dx. Řešení: 2x + 1 (x2 + 4x + 13)2 dx = 2x + 4 (x2 + 4x + 13)2 dx − 3 dx (x2 + 4x + 13)2  t = x2 + 4x + 13 dt = (12x + 4) dx  = = dt t2 − 3 dx (x + 2)2 + 9 2 = = − 1 x2 + 4x + 13 − 3 dx 92 x+2 3 2 + 1 2  w = x+2 3 dw = 1 3 dx  = = − 1 x2 + 4x + 13 − 3 3 81 dw (w2 + 1)2 = = − 1 x2 + 4x + 13 − 1 9 1 2 arctg w + 1 2 w w2 + 1 + C = = − 1 x2 + 4x + 13 − 1 18 arctg x + 2 3 − 1 18 x+2 3 x+2 3 2 + 1 + C = = − 1 18 arctg x + 2 3 − 1 6 x + 8 x2 + 4x + 13 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 414 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (360) Vypočtěte 2x4 + 2x2 − 5x + 1 x (x2 − x + 1)2 dx. Řešení: 2x4 + 2x2 − 5x + 1 x (x2 − x + 1)2 dx = dx x + x + 3 x2 − x + 1 dx + x − 6 (x2 − x + 1)2 dx = = ln |x| + 1 2 2x − 1 x2 − x + 1 dx + 7 2 dx x2 − x + 1 + + 1 2 2x − 1 (x2 − x + 1)2 dx − 11 2 dx (x2 − x + 1)2 = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 7 2 dx x − 1 2 2 + 3 4 + + 1 2 2x − 1 (x2 − x + 1)2 dx  t = x2 − x + 1 dt = (2x − 1)dx  − 11 2 dx x − 1 2 2 + 3 4 2 = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 14 3 dx 2x−1√ 3 2 + 1  w = 2x−1√ 3 dw = 2√ 3 dx  + + 1 2 dt t2 − 22 3 1 2 dx x − 1 2 2 + 3 4 + 1 2 x − 1 2 x − 1 2 2 + 3 4 = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 7 √ 3 3 dw w2 + 1 + − 1 2t − 44 9 dx 2x−1√ 3 2 + 1 − 11 3 x − 1 2 x2 − x + 1 = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 7 √ 3 3 arctg w+ − 1 2(x2 − x + 1) − 44 9 dx 2x−1√ 3 2 + 1  u = 2x−1√ 3 du = 2√ 3 dx  − 11 3 x − 1 2 x2 − x + 1 = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 7 √ 3 3 arctg 2x − 1 √ 3 + − 1 2(x2 − x + 1) − 22 √ 3 9 du u2 + 1 − 11 3 x − 1 2 x2 − x + 1 = Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 415 = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 7 √ 3 3 arctg 2x − 1 √ 3 + − 22 √ 3 9 arctg u − 1 3 11x − 4 x2 − x + 1 + C = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx + 7 √ 3 3 arctg 2x − 1 √ 3 + − 22 √ 3 9 arctg 2x − 1 √ 3 − 1 3 11x − 4 x2 − x + 1 + C = = ln |x| + 1 2 ln x2 − x + 1 dx − √ 3 9 arctg 2x − 1 √ 3 − 1 3 11x − 4 x2 − x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 416 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (361) Vypočtěte 5x2 − 12 (x2 − 6x + 13)2 dx. Řešení: 5x2 − 12 (x2 − 6x + 13)2 dx = 5 dx x2 − 6x + 13 + 30x − 77 (x2 − 6x + 13)2 dx = = 5 dx (x − 3)2 + 4 + 15 2x − 6 (x2 − 6x + 13)2 dx + 13 dx (x2 − 6x + 13)2 = = 5 4 dx x−3 2 2 + 1  t = x−3 2 dt = 1 2 dx  + 15 2x − 6 (x2 − 6x + 13)2 dx  w = x2 − 6x + 13 dw = (2x − 6) dx  + + 13 dx (x − 3)2 + 4 2 = = 5 2 dx t2 + 1 + 15 dw w2 + 13 4 1 4 arctg x − 3 2 + 1 2 x − 3 x2 − 6x + 13 = = 5 2 arctg t − 15 w + 13 16 arctg x − 3 2 + 13 8 x − 3 x2 − 6x + 13 + C = = 5 2 arctg x − 3 2 − 15 x2 − 6x + 13 + 13 16 arctg x − 3 2 + 13 8 x − 3 x2 − 6x + 13 + C = = 53 16 arctg x − 3 2 + 13x − 159 8(x2 − 6x + 13) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 2. Integrace racionální lomené funkce 417 (362) Vypočtěte 5 ln x x(ln3 x + ln2 x − 2) dx. Řešení: 5 ln x x(ln3 x + ln2 x − 2) dx =  t = ln x dt = 1 x dx  = 5t t3 + t2 − 2 dt = = 1 t − 1 + −t + 2 t2 + 2t + 2 dt = 1 t − 1 − 1 2 · 2t + 2 t2 + 2t + 2 + 3 t2 + 2t + 2 dt = = ln |t − 1| − 1 2 ln(t2 + 2t + 2) + 3 1 (t + 1)2 + 1 dt  s = t + 1 ds = dt  = = ln |t − 1| − 1 2 ln(t2 + 2t + 2) + 3 1 s2 + 1 ds = = ln |t − 1| − 1 2 ln(t2 + 2t + 2) + 3 arctg(t + 1) + C = = ln | ln x − 1| − 1 2 ln(ln2 x + 2 ln x + 2) + 3 arctg(ln x + 1) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 418 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II. 3. Speciální integraˇcní metody • Integrály typu f x, r1 √ x, r2 √ x, . . . , rk √ x dx, tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k ∈ N a r1 ≥ 2, . . . , rk ≥ 2 jsou přirozená čísla, řešíme substitucí tn = x, kde n je nejmenší společný násobek čísel r1, . . . , rk. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. • Integrály typu f x, r √ ax + b dx, r ∈ N, r ≥ 2, a, b ∈ R, řešíme substitucí tr = ax + b. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. • Integrály typu f x, r ax + b cx + d dx, kde r ∈ N, r ≥ 2, a, b, c, d ∈ R a ad − bc = 0, řešíme substitucí tr = ax+b cx+d . Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce. • Integrály typu f x, ax2 + bx + c dx, kde b2 −4ac = 0, tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný kořen, řešíme pomocí tzv. Eulerovy substituce. Existuje několik variant těchto substitucí, zde uvedeme některé z nich: i) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2, obdržíme ax2 + bx + c = √ a · (x − x1)2 x − x2 x − x1 = √ a · |x − x1| x − x2 x − x1 , což s použitím substituce t2 = x−x2 x−x1 převedeme na integrál z racionální lomené funkce; ii) jestliže a < 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2, obdržíme ax2 + bx + c = √ −a · (x − x1)2 x2 − x x − x1 = √ −a · (x − x1) x2 − x x − x1 , což s použitím substituce t2 = x2−x x−x1 převedeme na integrál z racionální lomené funkce; iii) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2 nebo jestliže kvadratický polynom nemá reálné kořeny, můžeme použít substituci ax2 + bx + c = ± √ a · x ± t, přičemž volba konkrétních znamének je zcela libovolná, čímž obdržíme integrál z racionální lomené funkce; iv) jestliže c ≥ 0, můžeme zavést substituci ax2 + bx + c = ±x · t ± √ c, s jejíž pomocí převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce. • Integrály typu xm (a + bxn )p dx, m, n, p ∈ Q, tedy tzv. binomický integrál, řešíme jednou z následujících substitucí i) jestliže p ∈ Z, volíme substituci x = ts , kde s je společný jmenovatel m a n; ii) jestliže m+1 n ∈ Z, volíme substituci a + bxn = ts , kde s je jmenovatel p; Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 419 iii) jestliže m+1 n + p ∈ Z, volíme substituci ax−n + b = ts , kde s je jmenovatel p. • Integrály typu sinn x · cosm x dx, kde m, n ∈ Z řešíme pomocí substituce i) t = sin x, jestliže m je liché a n sudé nebo nula; ii) t = cos x, jestliže n je liché a m sudé nebo nula; iii) t = cos x nebo t = sin x, jestliže m a n jsou lichá čísla; iv) jestliže m i n jsou sudá čísla, případně některé z nich nula, upravíme výraz pomocí vzorců sin2 x = 1−cos 2x 2 a cos2 x = 1+cos 2x 2 . Dále pokračujeme dle získaného výsledku krokem i)–iv). • Integrály typu R (sin x, cos x) dx, řešíme pomocí substituce i) jestliže R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), volíme substituci t = sin x; ii) jestliže R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), volíme substituci t = cos x; iii) jestliže R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), volíme substituci t = tg x; iv) jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv. univerzální substituci: t = tg x 2 ⇒ x = 2 arctg x a dx = 2 1 + t2 dt. Potom z obrázku t 1 x 2 √ 1 + t2 získáme identity sin x 2 = t √ 1 + t2 a cos x 2 = 1 √ 1 + t2 ⇒ sin x = 2t 1 + t2 a cos x = 1 − t2 1 + t2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 420 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (363) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x2 + √ x + 1 x + √ x dx. Řešení: x2 + √ x + 1 x + √ x dx  t2 = x 2t dt = dx  = t4 + t + 1 t2 + t 2t dt = 2 t4 + t + 1 t + 1 dt = = 2 t3 − t2 + t + 1 t + 1 dt = 2 t4 4 − t3 3 + t2 2 + ln |t + 1| + C = = x2 2 − 2 √ x3 3 + x + 2 ln √ x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 421 (364) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 + √ x − 3 √ x x + 6 √ x5 dx. Řešení: 1 + √ x − 3 √ x x + 6 √ x5 dx  t6 = x 6t5 dt = dx  = 1 + t3 − t2 t6 + t5 6t5 dt = 6 1 − t2 + t3 t + 1 dt = = 6 t2 − 2t + 2 − 1 t + 1 dt = 6 t3 3 − t2 + 2t − ln |t + 1| + C = = 2 √ x − 6 3 √ x + 12 6 √ x − 6 ln 6 √ x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 422 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (365) Pomocí vhodné substituce vypočtěte √ x + 1 + 1 √ x + 1 − 1 dx. Řešení: √ x + 1 + 1 √ x + 1 − 1 dx  t2 = x + 1 2t dt = dx  = t + 1 t − 1 2t dt = 2 t(t + 1) t − 1 dt = = 2 t + 2 + 2 t − 1 dt = 2 t2 2 + 2t + 2 ln |t − 1| + C = = x + 1 + 4 √ x + 1 + 4 ln √ x + 1 − 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 423 (366) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 x x + 1 x − 1 dx. Řešení: 1 x x + 1 x − 1 dx  t2 = x+1 x−1 x = 1+t2 t2−1 dx = − 4t (t2−1)2 dt  = t2 − 1 t2 + 1 t −4t (t2 − 1)2 dt = = −4t2 (t2 + 1)(t2 − 1) dt = − 1 t − 1 + 1 t + 1 − 2 t2 + 1 dt = = − ln |t − 1| + ln |t + 1| − 2 arctg t + C = = − ln x + 1 x − 1 − 1 + ln x + 1 x − 1 + 1 − 2 arctg x + 1 x − 1 + C = = 2 ln |x + 1| − |x − 1| − 2 arctg x + 1 x − 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 424 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (367) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx x( √ x + 5 √ x2) . Řešení: dx x( √ x + 5 √ x2)  t10 = x 10t9 dt = dx  = 10t9 t10(t5 + t4) dt = 10 dt t6 + t5 = = 10 1 t − 1 t2 + 1 t3 − 1 t4 + 1 t5 − 1 t + 1 dt = = 10 ln |t| + 1 t − 1 2t2 + 1 3t3 − 1 4t4 − ln |t + 1| + C = = ln x ( 10 √ x + 1)10 + 10 10 √ x − 5 5 √ x + 10 3 10 √ x3 − 5 2 5 √ x2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 425 (368) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x + 1 3 √ 3x + 1 dx. Řešení: x + 1 3 √ 3x + 1 dx  t3 = 3x + 1 x = t3−1 3 3 dx = 3t2 dt  = t3−1 3 + 1 t t2 dt = t3 − 1 + 3 3 t dt = = 1 3 t4 + 2t dt = 1 3 t5 5 + t2 + C = t2 3 t3 5 + 1 + C = = 3 (x + 1)2 3 3x + 1 5 + 1 + C = 3 (3x + 1)2 · x + 2 5 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 426 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (369) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 − √ x + 1 1 + 3 √ x + 1 dx. Řešení: 1 − √ x + 1 1 + 3 √ x + 1 dx  t6 = x + 1 6t5 dt = dx  = 1 − t3 1 + t2 6t5 dt = = 6 −t6 + t4 + t3 − t2 − t + 1 + t − 1 1 + t2 dt = = − 6t7 7 + 6t5 5 + 6t4 4 − 6t3 3 − 6t2 2 + 6t + 6 1 2 2t 1 + t2 − 1 1 + t2 dt = = − 6t7 7 + 6t5 5 + 3t4 2 − 2t3 − 3t2 + 6t + 3 ln 1 + t2 − 6 arctg t + C = = − 6 7 6 (x + 1)7 + 6 5 6 (x + 1)5 + 3 2 3 (x + 1)2 − 2 √ x + 1 − 3 3 √ x + 1+ + 6 6 √ x + 1 + 3 ln 1 + 3 √ x + 1 − 6 arctg 6 √ x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 427 (370) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 x2 1 + x x dx. Řešení: 1 x2 1 + x x dx  t2 = 1+x x x = 1 t2−1 dx = − 2t (t2−1)2 dt  = (t2 − 1)2 t −2t (t2 − 1)2 dt = = − 2t2 dt = − 2t3 3 + C = − 2 3 1 + x x 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 428 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (371) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx 3 (x + 2)2 − 3 3 √ x + 2 − 4 . Řešení: dx 3 (x + 2)2 − 3 3 √ x + 2 − 4  t3 = x + 2 3t2 dt = dx  = 3t2 t2 − 3t − 4 dt = = 3 − 3 5(t + 1) + 48 5(t − 4) dt = 3t − 3 5 ln |t + 1| + 48 5 ln |t − 4| + C = = 3 3 √ x + 2 − 3 5 ln 3 √ x + 2 + 1 + 48 5 ln 3 √ x + 2 − 4 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 429 (372) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 − √ x 1 + √ x dx. Řešení: 1 − √ x 1 + √ x dx = 1 − √ x 1 + √ x · 1 + √ x 1 + √ x dx = √ 1 − x 1 + √ x dx  t2 = x 2t dt = dx  = = √ 1 − t2 1 + t 2t dt = 2 (1 + t) √ 1 − t2 − √ 1 − t2 1 + t dt = = 2 1 − t2 − √ 1 − t2 1 + t dt Př. (345) = = t 1 − t2 + arcsin t − 2 √ 1 − t2 1 + t dt  t = sin u arcsin t = u 1√ 1−t2 dt = du  = = t 1 − t2 + arcsin t − 2 1 − sin2 u 1 + sin u du = = t 1 − t2 + arcsin t − 2 (1 − sin u) du = = t 1 − t2 + arcsin t − 2u − 2 cos u + C = = t 1 − t2 + arcsin t − 2u − 2 1 − sin2 u + C = = √ x √ 1 − x + arcsin √ x − 2 arcsin √ x − 2 √ 1 − x + C = = √ x − 2 √ 1 − x − arcsin √ x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 430 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (373) Pomocí vhodné substituce vypočtěte √ x + 1 − √ x − 1 √ x + 1 + √ x − 1 dx. Řešení: √ x + 1 − √ x − 1 √ x + 1 + √ x − 1 dx  t2 = x + 1 t2 − 2 = x − 1 2t dt = dx  = 2 t − √ t2 − 2 t + √ t2 − 2 t dt = = 2 t − √ t2 − 2 t + √ t2 − 2 t √ t2 − 2 t − √ t2 − 2 t − √ t2 − 2 √ t2 − 2 dt = = 2 t − √ t2 − 2 t √ t2 − 2 2 t − √ t2 − 2 √ t2 − 2 dt  u = √ t2 − 2 − t −u2+2 2u = t du = t− √ t2−2√ t2−2  = = −u − u2 + 2 2u u − u2 + 2 2u du = = u2 + 2 2 u2 − 2 2u du = 1 4 u3 − 1 u du = = 1 4 u4 4 − ln |u| + C = 1 16 t2 − 2 − t 4 − ln t2 − 2 − t + C = = 1 16 √ x − 1 − √ x + 1 4 − ln √ x − 1 − √ x + 1 + C = = 1 16 (x − 1)2 − 4 (x − 1)3/2 (x + 1)1/2 + 6 (x − 1) (x + 1) − − 4 (x − 1)1/2 (x + 1)3/2 + (x + 1)2 − ln √ x − 1 − √ x + 1 + C = = 1 16 x2 − 2x + 1 − 4 (x − 1)3/2 (x + 1)1/2 + 6 x2 − 1 − − 4 (x − 1)1/2 (x + 1)3/2 + x2 + 2x + 1 − ln √ x − 1 − √ x + 1 + C = = 1 2 x2 − 1 2 x x2 − 1 − ln √ x − 1 − √ x + 1 − 1 4 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 431 (374) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx 1 + √ −x2 + x + 2 . Řešení: dx 1 + √ −x2 + x + 2 polynom −x2 + x + 2 má reálné kořeny 2, −1  = = dx 1 + (x + 1) 2−x x+1  t2 = 2−x x+1 x = 2−t2 t2+1 x + 1 = 3 t2+1 dx = −6t (t2+1)2 dt  = −6t (t2+1)2 1 + 3 t2+1 t dt = = −6t (t2 + 1)2 t2 + 1 t2 + 3t + 1 dt = −6 t (t2 + 1)(t2 + 3t + 1) dt = = − 4 5 √ 5 2t + 3 + √ 5 − 2 t2 + 1 − 4 5 √ 5 −2t − 3 + √ 5 dt = = − 4 √ 5 5 1 2 ln 2t + 3 + √ 5 − 2 arctg t − 4 √ 5 5 − 1 2 ln −2t − 3 + √ 5 + C = = − 2 √ 5 5 ln 2 2 − x x + 1 + 3 + √ 5 + 2 √ 5 5 ln −2 2 − x x + 1 − 3 + √ 5 − 2 arctg 2 − x x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 432 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (375) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx (x − 1) √ x2 + x + 1 . Řešení: dx (x − 1) √ x2 + x + 1  polynom x2 + x + 1 nemá reálné kořeny √ x2 + x + 1 = x + t x = 1−t2 2t−1 x − 1 = −t2+2t−2 2t−1 x + t = t2−t+1 2t−1 dx = −2(t2−t+1) (2t−1)2 dt  = = −2(t2−t+1) (2t−1)2 −t2+2t−2 2t−1 t2−t+1 2t−1 dt = 2 t2 + 2t − 2 dt = − 1 3 √ 3 t + 1 + √ 3 − 1 3 √ 3 −t − 1 + √ 3 dt = = − √ 3 3 ln t + 1 + √ 3 + √ 3 3 ln −t − 1 + √ 3 = = − √ 3 3 ln √ x2 + x + 1 − x + 1 + √ 3 x − √ x2 + x + 1 − 1 + √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 433 (376) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx x + √ x2 − x + 1 . Řešení: dx x + √ x2 − x + 1  polynom x2 − x + 1 nemá reálné kořeny √ x2 − x + 1 = t − x x = t2−1 2t−1 dx = 2(t2−t+1) (2t−1)2 dt  = = 2(t2−t+1) (2t−1)2 t2−1 2t−1 + t − t2−1 2t−1 dt = 2 t2 − t + 1 t(2t − 1)2 dt = = 2 t − 3 2t − 1 + 3 (2t − 1)2 dt  u = 2t − 1 du = 2dt  = 2 ln |t| + − 3 2u + 3 2u2 du = = 2 ln |t| − 3 2 ln |u| − 3 2u = 2 ln |t| − 3 2 ln |2t − 1| − 3 2(2t − 1) + C = = 2 ln x + x2 − x + 1 − 3 2 ln 2x + 2 x2 − x + 1 − 1 − 1 4x + 2 √ x2 − x + 1 − 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 434 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (377) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx (x + 4) √ x2 + 3x − 4 . Řešení: dx (x + 4) √ x2 + 3x − 4 polynom x2 + 3x − 4 má reálné kořeny 1, −4  = = dx (x + 4) |x + 4| x−1 x+4  t2 = x−1 x+4 x = 4t2+1 1−t2 x + 4 = 5 1−t2 dx = 10t (1−t2)2 dt  = 10t (1−t2)2 5 1−t2 5 1−t2 t dt = 2 5 1 − t2 1 − t2 dt = = 2 5 sgn 1 − t2 1 dt = 2 5 sgn 1 − t2 t + C = 2 5 sgn (x + 4) x − 1 x + 4 + C = 2 5 x − 1 √ x2 + 3x − 4 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 435 (378) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x dx √ x2 + 3x + 2 . Řešení: x dx √ x2 + 3x + 2 polynom x2 + 3x + 2 má reálné kořeny −1, −2  = = x dx |x + 2| x+1 x+2  t2 = x+1 x+2 x = 2t2−1 1−t2 x + 2 = 1 1−t2 dx = 2t (1−t2)2 dt  = 2t2−1 1−t2 2t (1−t2)2 1 1−t2 t dt = = 2t(2t2 − 1) (1 − t2)3 1 − t2 t dt = sgn 1 − t2 4t2 − 2 (1 − t2)2 dt = = sgn 1 − t2 1 2(t − 1)2 + 1 2(t + 1)2 − 3 2(t + 1) + 3 2(t − 1) dt = = sgn 1 − t2 − 1 2(t − 1) − 1 2(t + 1) − 3 2 ln |t + 1| + 3 2 ln |t − 1| + C = = sgn 1 − t2 − 1 2 2t t2 − 1 − 3 2 ln t + 1 t − 1 + C = = − sgn 1 − t2 t t2 − 1 − 3 sgn 1 − t2 ln |t + 1| |t − 1| + C = = sgn (x + 2) x + 1 x + 2 1 x + 2 − 3 sgn 1 − t2 ln (t + 1)2 |t2 − 1| + C = = sgn (x + 2) x + 1 x + 2 1 x + 2 − 3 sgn 1 − t2 ln |t + 1| |t2 − 1| + C = = x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln x+1 x+2 + 1 − 1 x+2 + C = = x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln |x + 1| + |x + 2| |x + 2| |x + 2| + C = = x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln |x + 1| + |x + 2| + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 436 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (379) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx x + √ x2 + x − 1 . Řešení: dx x + √ x2 + x − 1  polynom x2 + x − 1 má reálné kořeny −1 2 ± √ 5 2√ x2 + x − 1 = x + t x = t2+1 1−2t x + t = −(t2−t−1) 1−2t dx = −2(t2−t−1) (1−2t)2 dt  = = (t2 − t − 1) (t2 + 1 − t2 + t + 1)(1 − 2t) dt = 1 − 2 t + 2 − 1 2 t − 1 2 dt = = t − 2 ln |t + 2| − 1 2 ln t − 1 2 + C = = x2 + x − 1 − x − 2 ln x2 + x − 1 − x + 2 − 1 2 ln x2 + x − 1 − x − 1 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 437 (380) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx √ −4x2 + 16x − 15 . Řešení: dx √ −4x2 + 16x − 15 = dx 2 −x2 + 4x − 15 4 polynom x2 + x − 1 má reálné kořeny 5 2 a 3 2  = = dx 2 5 2 − x x − 3 2 = dx 2 x − 3 2 5 2 −x x− 3 2  t2 = 5 2 −x x− 3 2 x = 5+3t2 2t2+2 x − 3 2 = 1 t2+1 dx = −2t (t2+1)2 dt  = −2t (t2+1)2 2 1 t2+1 t dt = = − 1 t2 + 1 dt = − arctg t + C = − arctg 5 − 2x 2x − 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 438 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (381) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 3 √ x(7 + 5x4 )2 dx. Řešení: Jde o binomický integrál. 3 √ x(7 + 5x4 )2 dx p = 2 ∈ Z ⇒ x = t3 , dx = 3t2 dt  = = t(7 + 5t12 )2 3t2 dt = 3 t3 (49 + 70t12 + 25t24 ) dt = = 3 49t3 + 70t15 + 25t27 dt = 3t4 56 (686 + 245t12 + 50t24 ) + C = = 3 56 x 3 √ x(686 + 245x4 + 50x8 ) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 439 (382) Pomocí vhodné substituce vypočtěte (2 + 5x)3 4 √ x3 dx. Řešení: Jde o binomický integrál. (2 + 5x)3 4 √ x3 dx = x−3 4 (2 + 5x)3 dx p = 3 ∈ Z ⇒ x = t4 , dx = 4t3 dt  = = t−3 (2 + 5t4 )3 4t3 dt = 4 (2 + 5t4 )3 dt = = 4 8 + 60t4 + 150t8 + 125t12 dt = 4 8t + 12t5 + 50 3 t9 + 125 13 t13 + C = = 4 39 4 √ x(312 + 468x + 650x2 + 375x3 ) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 440 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (383) Pomocí vhodné substituce vypočtěte x 2 − 3 √ x dx. Řešení: Jde o binomický integrál. x 2 − 3 √ xdx  p = 1 2 ∈ Z, m+1 n = 4 ∈ Z ⇒ 2 − 3 √ x = t2 , √ x = 2−t2 3 , −3 1 2 √ x dx = 2t dt, x− 1 2 dx = −4 3 t dt  = = 2 − t2 3 3 2 − 3 2 − t2 3 − 4 3 t dt = − 4 34 (2 − t2 )3 t2 dt = = − 4 34 8t2 − 12t4 + 6t6 − t8 dt = − 4 34 t3 8 3 − 12 5 t2 + 6 7 t4 − 1 9 t6 + C = = − 4 81 (2 − 3 √ x) 3 2 8 3 − 12 5 (2 − 3 √ x) + 6 7 (2 − 3 √ x)2 − 1 9 (2 − 3 √ x)3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 441 (384) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 3 1 + 4 √ x √ x dx. Řešení: Jde o binomický integrál. 3 1 + 4 √ x √ x dx = x− 1 2 (1 + x 1 4 ) 1 2 dx  p = 1 3 ∈ Z, m+1 n = 2 ∈ Z ⇒ 1 + x 1 4 = t3 , x = (t3 − 1)4 , dx = 4(t3 − 1)3 3t2 dt  = = (t3 − 1)−2 t12t2 (t3 − 1)3 dt = 12 t3 (t3 − 1) dt = 12 t6 − t3 dt = = 12 t7 7 − t4 4 + C = 12(1 + x 1 4 ) 4 3 1 + x 1 4 7 − 1 4 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 442 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (385) Pomocí vhodné substituce vypočtěte √ x 7 √ x3 27 − 3 2 dx. Řešení: Jde o binomický integrál. √ x 7 √ x3 27 − 3 2 dx = x 1 2 −3 + 1 27 x 3 2 2 7 dx  p = 2 7 ∈ Z, m+1 n = 1 ∈ Z ⇒ −3 + 1 27 x 3 2 = t7 , x = 9(t7 + 3) 2 3 , dx = 42(t7 + 3)− 1 3 t6 dt  = = 3(t7 + 3) 1 3 t2 42(t7 + 3)− 1 3 t6 dt = = 126 t8 dt = 14t9 + C = 14 1 27 x 3 2 − 3 9 7 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 443 (386) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 4 √ 1 + x4 dx. Řešení: Jde o binomický integrál. 1 4 √ 1 + x4 dx = (1 + x4 )− 1 4 dx  p = −1 4 ∈ Z, m+1 n = 1 4 ∈ Z, m+1 n + p = 1 4 − 1 4 = 0 ∈ Z ⇒ 1x−4 + 1 = t4 , x = (t4 − 1)− 1 4 , 1 + x4 = t4 x4 = t4 (t4 − 1)−1 , dx = −1 4 (t4 − 1) 5 4 4t3 dt  = = t−1 (t4 − 1) 1 4 − 1 4 (t4 − 1)− 5 4 4t3 dt = − t2 t4 − 1 dt = = − t2 (t − 1)(t + 1)(t2 + 1) dt = − 1 4 t − 1 − 1 4 t + 1 + 1 2 t2 + 1 dt = = − 1 4 (ln |t − 1| − ln |t + 1| + 2 arctg t) + C = = − 1 4 ln( 4 x−4 + 1 − 1) − ln( 4 x−4 + 1 + 1) + 2 arctg( 4 x−4 + 1) + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 444 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (387) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce. 2x2 + x dx. Řešení: 2x2 + x dx = x(1 + 2x) dx  p = 1 2 ∈ Z, m+1 n = 3 2 ∈ Z, m+1 n + p = 2 ∈ Z ⇒ 1x−1 + 2 = t2 , x = (t2 − 2)−1 , 1 + 2x = t2 x = t2 (t2 − 2)−1 , dx = −2t(t2 − 2)−2 dt  = = (t2 − 2) 1 2 t(t2 − 2) 1 2 (−2t)(t2 − 2)−2 dt = −2 t2 (t2 − 2)3 dt. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 445 (388) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce. x 3 8 − 7x3 dx. Řešení: x 3 8 − 7x3 dx  p = 1 3 ∈ Z, m+1 n = 2 3 ∈ Z, m+1 n + p = 1 ∈ Z ⇒ 8x−3 − 7 = t3 , x = 2(t3 + 7)−1 3 , 8 − 7x3 = t3 x3 = t3 8(t3 + 7)−1 , dx = −2t2 (t3 + 7)− 4 3 dt  = = 2(t3 + 7)− 1 3 t2(t3 + 7)− 1 3 (−2)t2 (t3 + 7)− 4 3 dt = −8 t3 (t3 + 7)2 dt. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 446 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (389) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos5 x · sin2 x dx. Řešení: cos5 x · sin2 x dx = 1 − sin2 x 2 cos x · sin2 x dx  t = sin x dt = cos x dx  = = 1 − t2 2 t2 dt = t2 − 2t4 + t6 dt = t3 3 − 2 t5 5 + t7 7 + C = = sin3 x 3 − 2 sin5 x 5 + sin7 x 7 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 447 (390) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos5 x · sin4 x dx. Řešení: cos5 x · sin4 x dx = 1 − sin2 x 2 cos x · sin4 x dx  t = sin x dt = cos x dx  = = 1 − t2 2 t4 dt = t4 − 2t6 + t8 dt = t5 5 − 2 t7 7 + t9 9 + C = = sin5 x 5 − 2 sin7 x 7 + sin9 x 9 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 448 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (391) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx sin x . Řešení: dx sin x = sin x sin2 x dx  t = cos x dt = − sin xdx  = − dt 1 − t2 = dt t2 − 1 = = 1 2 t − 1 − 1 2 t + 1 dt = 1 2 ln |t − 1| − 1 2 ln |t + 1| + C = = 1 2 ln |cos x − 1| − 1 2 ln |cos x + 1| + C == 1 2 ln cos x − 1 cos x + 1 + C = = 1 2 ln 2 sin2 x 2 2 cos2 x 2 + C = 1 2 ln tg2 x 2 + C = ln tg x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 449 (392) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin3 x 1 + 4 cos2 x + 3 sin2 x dx. Řešení: sin3 x 1 + 4 cos2 x + 3 sin2 x dx  t = cos x dt = − sin xdx  = t2 − 1 1 + 4t2 + 3 − 3t2 dt = = t2 + 4 − 5 t2 + 4 dt = 1 − 5 1 t2 + 4 dt = t − 5 2 arctg t 2 + C = = cos x − 5 2 arctg cos x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 450 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (393) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx 1 + sin2 x . Řešení: dx 1 + sin2 x  t = tg x sin x = t√ 1+t2 dx = 1 1+t2 dt  = 1 1+t2 1 + t2 1+t2 dt = 1 1 + 2t2 dt = 1 2 1 t2 + 1 2 dt = = 1 2 √ 2 arctg t 1√ 2 + C = √ 2 2 arctg √ 2 tg x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 451 (394) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin4 x cos4 x dx. Řešení: sin4 x cos4 x dx  t = tg x dx = 1 1+t2 dt  = t4 (1+t2)2 1 (1+t2)2 1 1 + t2 dt = t4 1 + t2 dt = = t2 − 1 + 1 t2 + 1 dt = t3 3 − t + arctg t + C = = tg3 x 3 − tg x + arctg (tg x) + C = tg3 x 3 − tg x + x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 452 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (395) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 5 4 + sin x dx. Řešení: 5 4 + sin x dx  t = tg x sin x = 2t 1+t2 dx = 2 1+t2 dt  = 5 4 + 2t 1+t2 2 1 + t2 dt = 10 4 + 4t2 + 2t dt = = 5 2 dt t2 + t 2 + 1 = 5 2 dt t + 1 4 2 + 15 16 = 5 2 4 √ 15 arctg t + 1 4 √ 15 4 + C = = 10 √ 15 arctg 4t + 1 √ 15 + C = 2 √ 15 3 arctg 4 tg x 2 + 1 √ 15 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 453 (396) Pomocí vhodné substituce vypočtěte dx 2 − cos x . Řešení: dx 2 − cos x  t = tg x 2 dx = 2 1+t2 dt  = 2 1+t2 2 − 1−t2 1+t2 dt = 2 3t2 + 1 dt = 2 3 dt t2 + 1 3 = = 2 3 1 1√ 3 arctg t 1√ 3 + C = 2 √ 3 3 arctg √ 3 tg x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 454 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (397) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x 1 + cos x dx. Řešení: sin x 1 + cos x dx  t = cos x dt = − sin xdx  = − dt 1 + t = − ln |1 + t| + C = − ln |1 + cos x| + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 455 (398) Pomocí vhodné substituce vypočtěte cos3 x 2 − sin x dx. Řešení: cos3 x 2 − sin x dx  t = sin x dt = cos x dx  = 1 − t2 2 − t dt = 2 + t + 3 t − 2 dt = = 2t + t2 2 + 3 ln |t − 2| + C = 2 sin x + sin2 x 2 + 3 ln |sin x − 2| + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 456 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (399) Pomocí vhodné substituce vypočtěte sin x sin x − cos x dx. Řešení: sin x sin x − cos x dx = tg x tg x − 1 dx  t = tg x dx = 1 1+t2 dt  = t t − 1 1 1 + t2 dt = = t (t − 1)(t2 + 1) dt = 1 2 t − 1 + 1 2 1 − t t2 + 1 dt = = 1 2 ln |t − 1| + 1 2 − 1 2 2t t2 + 1 dt + dt t2 + 1 = = 1 2 ln |t − 1| − 1 4 ln t2 + 1 + 1 2 arctg t + C = = 1 2 ln |tg x − 1| − 1 4 ln tg2 x + 1 + x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 457 (400) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 2 − sin x 2 + cos x dx. Řešení: 2 − sin x 2 + cos x dx  t = tg x 2 dx = 2 1+t2 dt  = 2 − 2t 1+t2 2 + 1−t2 1+t2 2 1 + t2 dt = = 2 + 2t2 − 2t 2 + 2t2 + 1 − t2 2 1 + t2 dt = = 4 t2 − t + 1 (1 + t2)(t2 + 3) dt = 2 2 + t t2 + 3 dt − 2 t 1 + t2 dt = = 2t t2 + 3 dt + 4 dt t2 + 3 − 2 t 1 + t2 dt = = 2t t2 + 3 dt + 4 3 dt t√ 3 2 + 1 − 2 t 1 + t2 dt = = ln t2 + 3 + 4 √ 3 arctg t √ 3 − ln 1 + t2 + C = = ln tg2 x 2 + 3 − ln tg2 x 2 + 1 + 4 √ 3 arctg tg x 2 √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 458 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (401) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 sin x dx. Řešení: Tento příklad je jedním z mála příkladů, které lze řešit jiným způsobem než univerzální substitucí t = tg x 2 , ale právě využití této substituce je nejvýhodnější. (Porovnejte s Příkladem 391.) 1 sin x dx  t = tg x 2 dx = 2 1+t2 dt  = = 1 + t2 2t 2 1 + t2 dt = 1 t dt = ln |t| + C = ln tg x 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 459 (402) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 1 + sin 2x dx. Řešení: Tento příklad je možné řešit substitucí t = 2x a následně substitucí z = tg t 2 . Výhodnější je ale následující způsob. 1 1 + sin 2x dx = 1 1 + 2 sin x cos x dx  t = tg x dx = 1 1+t2 dt  = = 1 1 + 2 t√ 1+t2 1√ 1+t2 1 1 + t2 dt = 1 (1 + t)2 dt = − 1 t + 1 + C = − 1 tg x + 1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 460 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (403) Pomocí vhodné substituce vypočtěte 1 2 + sin x dx. Řešení: 1 2 + sin x dx  t = tg x 2 dx = 2 1+t2 dt  = = 1 2 + 2t 1+t2 2 1 + t2 dt = 1 t2 + t + 1 dt = 1 (t + 1 2 )2 + 3 4 dt = =  t + 1 2 = √ 3 2 y dt = √ 3 2 dy  = 1 3 4 (y2 + 1) √ 3 2 dy = 2 √ 3 2 arctg y + C = = 2 √ 3 2 arctg 2t + 1 √ 3 + C = 2 √ 3 2 arctg 2 tg x 2 + 1 √ 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 3. Speciální integrační metody 461 (404) Pomocí vhodné substituce převeďte daný integrál na integrál racionální lomené funkce. sin2 x sin x + 2 cos x dx. Řešení: sin2 x sin x + 2 cos x dx = sin x 1 + 2 cotg x dx  t = tg x 2 dx = 2 1+t2 dt  = = 2t 1+t2 1 + 21−t2 2t 2 1 + t2 dt = 4t2 (1 + t2)2(1 + t − t2) dt = = 4t2 (1 + t2)2(t − 1+ √ 5 2 )(t − 1− √ 5 2 ) dt. Poznámka 31. Po rozkladu na parciální zlomky, integraci racionálních lomených funkcí a vrácení substituce vyjde · · · = 8 √ 5 25 arctgh √ 5 5 (2 tg x 2 − 1) − 2 5 · 2 tg x 2 − 1 tg2 x 2 + 1 + C = = − 1 5 cos x − 2 5 sin x − 8 √ 5 25 arctgh √ 5 (sin x + 2 · cos x − 2) 5 sin x + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 462 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II. 4. Urˇcitý a nevlastní integrál Určitý integrál Věta 32 (Newtonova–Leibnizova formule). Nechť f je integrovatelná funkce na intervalu a, b a nechť F je její primitivní funkce. Pak platí, že b a f(x) dx = [F(x)]b a = F(b) − F(a). Základní vzorce pro integrování (k ∈ R): b a (f(x) ± g(x)) dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx, b a k · f(x) dx = k · b a f(x) dx, b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx. Věta 33 (Metoda per-partes pro určitý integrál). Nechť funkce u a v mají na intervalu a, b derivace u a v , které jsou na tomto intervalu integrovatelné. Pak platí b a u(x) v (x) dx = [u(x) v(x)]b a − b a u (x) v(x) dx. Věta 34 (Substituční metoda pro určitý integrál). Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b . Nechť funkce ϕ má derivaci ϕ na intervalu α, β , která je na tomto intervalu integrovatelná. Dále nechť platí a ≤ ϕ ≤ b pro x ∈ α, β (tzn., že funkce ϕ(x) zobrazuje interval α, β do intervalu a, b ). Potom platí (přesněji „z existence integrálu nalevo plyne existence integrálu napravo a jejich rovnost“) β α f [ϕ(x)] ϕ (x) dx = ϕ(β) ϕ(α) f(t) dt. Nevlastní integrál Definice 35. Určitý integrál b a f(x) dx se nazývá nevlastní pokud alespoň jedno z čísel a, b je rovno ±∞, nebo je funkce f neomezená na uzavřeném intervalu a, b (tedy alespoň v jednom bodě intervalu a, b má funkce f singulární bod – nemusí jít nutně o krajní bod a nebo b, ale singulární bod může ležet i uvnitř intervalu a, b ). Definice 36. Nechť existuje limc→+∞ F(c) = I, I ∈ R. Pak řekneme, že nevlastní integrál +∞ a f(x) dx konverguje a jeho hodnota je I. Tedy +∞ a f(x) dx = lim c→+∞ c a f(x) dx = lim c→+∞ F(c), kde F(c) := c a f(x) dx. V opačném případě, tj. když limc→+∞ F(c) je nevlastní nebo neexistuje, řekneme, že nevlastní integrál +∞ a f(x) dx diverguje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 463 (405) Vypočtěte 2 1 x2 dx. Řešení: 2 1 x2 dx = x3 3 2 1 = 8 3 − 1 3 = 7 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 464 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (406) Vypočtěte 1 0 x (x2 − 1)3 dx. Řešení: 1 0 x (x2 − 1)3 dx  t = x2 − 1 dt = 2x dx 0 −1 1 0  = 1 2 0 −1 t3 dt = 1 2 t4 4 0 −1 = 1 2 0 − 1 4 = − 1 8 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 465 (407) Vypočtěte π 3 π 6 tg2 x dx. Řešení: π 3 π 6 tg2 x dx = π 3 π 6 sin2 x cos2 x dx  t = tg x dt = 1 cos2 x dx sin x = t√ 1+t2 π 3 √ 3 π 6 √ 3 3  = = √ 3 √ 3 3 t2 1+t2 dt = √ 3 √ 3 3 1 dt − √ 3 √ 3 3 1 1+t2 dt = = [t − arctg t] √ 3√ 3 3 = 2 3 √ 3 − π 6 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 466 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (408) Vypočtěte 1 0 ex e2x +3 + 1 cos2 x dx. Řešení: Využijeme aditivity integrálu a pro přehlednost zadaný integrál rozdělíme na dvě části. I1 = 1 0 ex e2x +3 dx  t = ex dt = ex dx 1 e 0 1  = = e 1 1 t2 + 3 dt = 1 3 e 1 1 t√ 3 2 + 1 dt  s = t√ 3 ds = 1√ 3 dt e e√ 3 1 1√ 3  = = √ 3 3 e√ 3 1√ 3 1 s2 + 1 ds = √ 3 3 [arctg s] e√ 3 1√ 3 = = √ 3 3 arctg e √ 3 3 − π 6 , I2 = 1 0 1 cos2 x dx = [tg x]1 0 = tg 1. Celkem tedy 1 0 ex e2x +3 + 1 cos2 x dx = I1 + I2 = √ 3 3 arctg e √ 3 3 − π 6 + tg 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 467 (409) Vypočtěte b a sgn x dx, a, b ∈ R, a < 0, b > 0. Řešení: b a sgn x dx = 0 a (−1) dx + b 0 1 dx = [−x]0 a + [x]b 0 = a + b. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 468 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (410) Vypočtěte ∞ 0 1 (x − 3)5 dx. Řešení: ∞ 0 1 (x − 3)5 dx  t = x − 3 dt = dx ∞ ∞ 0 −3  = = ∞ −3 1 t5 dt = − 1 4 [t−4 ]∞ −3 = = − 1 4 lim a→∞ a−4 − (−3)−4 = − 1 4 0 − 1 34 = 1 324 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 469 (411) Vypočtěte ∞ 0 1 √ x + 2 dx. Řešení: ∞ 0 1 √ x + 2 dx  t = x + 2 dt = dx ∞ ∞ 0 2  = = ∞ 2 1 √ t dt = 2[ √ t]∞ 2 = = 2 lim a→∞ √ a − √ 2 = 2(∞ − √ 2) = ∞. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 470 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (412) Vypočtěte ∞ 1 e− √ x √ x dx. Řešení: ∞ 1 e− √ x √ x dx  t = √ x dt = 1 2 √ x dx ∞ ∞ 1 1  = = 2 ∞ 1 e−t dt = 2[− e−t ]∞ 1 = = −2 lim t→∞ e−t −e−1 = 2 e . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 471 (413) Vypočtěte ∞ 0 dx x2 + 1 . Řešení: ∞ 0 dx x2 + 1 = [arctg x]∞ 0 = lim x→∞ arctg x − arctg 0 = π 2 − 0 = π 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 472 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (414) Vypočtěte ∞ 1 dx x . Řešení: ∞ 1 dx x = [ln x]∞ 1 = lim x→∞ ln x − ln 1 = ∞ ⇒ integrál diverguje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 473 (415) Vypočtěte ∞ 0 sin x dx. Řešení: ∞ 0 sin x dx = [− cos x]∞ 0 = − lim x→∞ cos x + cos 0 limita neexistuje ⇒ integrál diverguje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 474 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (416) Vypočtěte 0 −∞ ex dx. Řešení: 0 −∞ ex dx = [ex ]0 −∞ = 1 − lim x→−∞ ex = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 475 (417) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R ∞ 1 xα dx. Řešení: Buď α = −1, potom ∞ 1 1 x dx = [ln x]∞ 1 = ∞. Nyní uvažujme α = −1, potom ∞ 1 xα dx = xα+1 α + 1 ∞ 1 = 1 α + 1 lim x→∞ xα+1 − 1 . Pro α > −1, tj. α + 1 > 0, platí limx→∞ xα+1 = ∞. Dále pro α < −1, tj. α + 1 < 0, platí limx→∞ xα+1 = 0. To znamená, že ∞ 1 xα dx = diverguje, α ≥ −1, − 1 α+1 , α < −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 476 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (418) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R ∞ 0 eαx dx. Řešení: Buď α = 0, potom ∞ 1 1 dx = [x]∞ 0 = ∞. Nyní uvažujme α = 0, potom ∞ 0 eαx dx = 1 α eαx ∞ 0 = 1 α lim x→∞ eαx −1 . Pro α > 0 platí limx→∞ eαx = ∞. Dále pro α < 0 platí limx→∞ eαx = 0. To znamená, že ∞ 0 eαx dx = diverguje, α ≥ 0, − 1 α , α < 0. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 477 (419) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R ∞ e (ln x)α x dx. Řešení: ∞ e (ln x)α x dx  t = ln x dt = 1 x dx ∞ ∞ e 1  = ∞ 1 tα Př. (417) = diverguje, α ≥ −1, − 1 1+α , α < 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 478 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (420) Vypočtěte ∞ 1 dx x4 + x2 . Řešení: ∞ 1 dx x4 + x2 = ∞ 1 dx x2 (x2 + 1) = ∞ 1 1 x2 − 1 1 + x2 dx = = − 1 x ∞ 1 − [arctg x]∞ 1 = 0 + 1 − π 2 − π 4 = 1 − π 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 479 (421) Vypočtěte ∞ 0 x2 e−x dx. Řešení: ∞ 0 x2 e−x dx  u = x2 u = 2x v = − e−x v = e−x  = = −x2 e−x ∞ 0 + 2 ∞ 0 x e−x dx  u = x u = 1 v = − e−x v = e−x  = = − lim x→∞ x2 ex − 2 [x e−x ] ∞ 0 + 2 ∞ 0 e−x dx = = 0 − 2 lim x→∞ x ex − 2 [e−x ] ∞ 0 = 2 lim x→∞ e−x −1 = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 480 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (422) Vypočtěte ∞ 1 arctg x x2 + 1 dx. Řešení: ∞ 1 arctg x x2 + 1 dx  arctg x = t 1 1+x2 dx = dt ∞ π 2 1 π 4  = π 2 π 4 t dt = t2 2 π 2 π 4 = π2 8 − π2 32 = 3π2 32 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 481 (423) Vypočtěte ∞ −∞ dx ex + e−x . Řešení: ∞ −∞ dx ex + e−x = ∞ −∞ ex e2x +1 dx  t = ex dt = ex dx ∞ ∞ −∞ 0  = ∞ 0 dt t2 + 1 = [arctg t]∞ 0 = π 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 482 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (424) Vypočtěte ∞ −∞ x2 x6 + 1 dx. Řešení: ∞ −∞ x2 x6 + 1 dx  t = x3 dt = 3x2 dx ∞ ∞ −∞ −∞  = 1 3 ∞ −∞ dt t2 + 1 dt = 1 3 [arctg t]∞ −∞ = 1 3 π 2 − − π 2 = π 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 483 (425) Vypočtěte 2 0 dx x . Řešení: 2 0 dx x = [ln x]2 0 = ln 2 − lim x→0 ln x = ∞ ⇒ integrál diverguje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 484 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (426) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R 1 0 xα dx. Řešení: Rozdělme problém na tři případy. (i) α ≥ 0 V tomto případě není integrál nevlastní a můžeme snadno spočítat, že 1 0 xα dx = 1 α + 1 . (ii) α = −1 Počítejme 1 0 x−1 dx = [ln x]1 0 = ln 1 − lim x→0+ ln x = 0 − (−∞) = ∞. (iii) α < 0, α = −1 Počítejme 1 0 xα dx = xα+1 α + 1 1 0 = = 1 α + 1 − 1 α + 1 lim x→0+ xα+1 = 1 α+1 , α > −1, ∞, α < −1. Celkem tedy 1 0 xα dx = 1 α+1 , α > −1, ∞, α ≤ −1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 485 (427) Vypočtěte 1 −1 ln |x| dx. Řešení: 1 −1 ln |x| dx = 0 −1 ln(−x) dx + 1 0 ln x dx = 2 1 0 ln x dx  u = 1 u = x v = ln x v = 1 x  = 2 [x ln x]1 0 − 1 0 1dx = 2 [x ln x]1 0 − [x]1 0 = = 2 1 ln 1 − lim a→0 (a ln a) − 1 + 0 = −2 − lim a→0 (a ln a) 0 · ∞  = = −2 − lim a→0 ln a 1 a ∞ ∞  l’H.p. = −2 − lim a→0 (−a) = −2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 486 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (428) Vypočtěte 1 0 x √ 1 − x2 dx. Řešení: 1 0 x √ 1 − x2 dx  1 − x2 = t −2x dx = dt 1 0 0 1  = 0 1 −1 2 √ t dt = − 1 2 0 1 t−1/2 dt = − 1 2 t1/2 1 2 0 1 = − √ t 0 1 = 1. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 487 (429) Vypočtěte 1 −1 dx √ 1 − x2 . Řešení: 1 −1 dx √ 1 − x2 = [arcsin x]1 −1 = π 2 − − π 2 = π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 488 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (430) Vypočtěte 2 0 x2 − x + 1 x − 1 dx. Řešení: 2 0 x2 − x + 1 x − 1 dx = 2 0 x + 1 x − 1 dx = 1 0 x + 1 x − 1 dx + 2 1 x + 1 x − 1 dx = = x2 2 + ln |x − 1| 1 0 + x2 2 + ln |x − 1| 2 1 = = lim x→1− x2 2 + ln |x − 1| + 0 + 4 2 + 0 − lim x→1+ x2 2 + ln |x − 1| = = 1 2 + (−∞) + 2 − 1 2 − (−∞) ⇒ integrál diverguje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 489 (431) Vypočtěte 1 −1 dx x2 . Řešení: 1 −1 dx x2 = 0 −1 dx x2 + 1 0 dx x2 = − 1 x 0 −1 + − 1 x 1 0 = = − lim x→0− 1 x − 1 − 1 + lim x→0+ 1 x = ∞ + ∞ − 2 ⇒ integrál diverguje. Rozdělení na dva integrály je nutné, neboť jinak 1 −1 dx x2 = − 1 x 1 −1 = −1 − 1 = −2, tedy záporný výsledek pro integrál z kladné funkce, což je spor. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 490 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (432) Vypočtěte 2 1 dx x ln x . Řešení: 2 1 dx x ln x  t = ln x dt = 1 x dx 1 0 2 ln 2  = ln 2 0 dt t = [ln t]ln 2 0 = = ln (ln 2) − lim t→0 ln t = ln (ln 2) + ∞ ⇒ integrál diverguje. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 491 (433) Vypočtěte 0 −1 e 1 x x3 dx. Řešení: 0 −1 e 1 x x3 dx  t = 1 x dt = − 1 x2 dt 0 −∞ −1 −1  = − −∞ −1 t et dt  u = t u = 1 v = et v = et  = − t et −∞ −1 + −∞ −1 et dt = = − t et −∞ −1 + et −∞ −1 = − lim t→−∞ t e−t − 1 e + lim t→−∞ et − 1 e = − 2 e . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 492 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (434) Vypočtěte b a dx √ x2 − a2 . Řešení: b a dx √ x2 − a2  t = x + √ x2 − a2 dt = 1 + √ x2−a2+x√ x2−a2 dx a a b b + √ b2 − a2  = b+ √ b2−a2 a 1 t dt = = ln |t| b+ √ b2−a2 a = ln b + b2 − a2 − ln a = ln b + √ b2 − a2 a . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 4. Určitý a nevlastní integrál 493 (435) Vypočtěte ∞ 0 x2n+1 e−x2 dx, n ∈ N. Řešení: ∞ 0 x2n+1 e−x2 dx  t = x2 dt = 2x dx 0 0 ∞ ∞  = 1 2 ∞ 0 tn e−t dt  u = tn u = ntn−1 v = − e−t v = et  = = 1 2 −tn e−t ∞ 0 + n ∞ 0 tn−1 e−t dt = = n 2 ∞ 0 tn−1 e−t dt  u = tn−1 u = (n − 1)tn−2 v = − e−t v = et  = = n 2 −tn−1 e−t ∞ 0 + (n − 1) ∞ 0 tn−2 e−t dt = · · · = = n(n − 1) · · · 2 2 ∞ 0 t e−t dt  u = t u = 1 v = − e−t v = et  = = n! 2 −t e−t ∞ 0 + ∞ 0 e−t dt = n! 2 − e−t ∞ 0 = n! 2 (−0 + 1) = n! 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 494 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II. 5. Aplikace integrálního poˇctu Geometrické aplikace • Určitý integrál S = b a |f(x)| dx lze geometricky interpretovat jako obsah plochy vymezené grafem funkce f v intervalu [a, b]. • Obsah obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou o parametrických souřadnicích x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β]: S = − β α ψ(t) ϕ (t) dt = β α ϕ(t) ψ (t) dt = 1 2 β α [ϕ(t) ψ (t) − ψ(t) ϕ (t)] dt. Křivka je orientována kladně, tzn., že plocha leží nalevo od křivky. • Obsah plochy vymezené grafy funkcí f a g v intervalu [a, b] vypočteme pomocí určitého integrálu S = b a |f(x) − g(x)| dx. • Délka grafu funkce f pro x ∈ [a, b]: l = b a 1 + [f (x)]2 dx. • Délka křivky zadané parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β]: l = β α [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt. • Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu spojité nezáporné funkce f, x ∈ [a, b] kolem osy x: Vx = π b a f2 (x) dx. • Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu spojité nezáporné funkce f, x ∈ [a, b], a > 0, kolem osy y Vy = 2π b a xf(x) dx. • Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], ϕ(t) ≥ 0, kolem osy x: Vx = π β α ψ2 (t) · |ϕ (t)| dt. • Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], ϕ(t) ≥ 0, kolem osy y: Vy = 2π β α ψ(t) ϕ(t) |ϕ (t)| dt. • Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu spojitě diferencovatelné nezáporné funkce f, x ∈ [a, b] kolem osy x: Qx = 2π b a f(x) 1 + [f (x)]2 dx. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 495 • Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], ϕ(t) ≥ 0, kolem osy x: Qx = 2π β α ψ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt. Fyzikální aplikace Funkce s(t) udává délkovou hustotu v bodě [ϕ(t), ψ(t)] pro křivku zadanou parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ [α, β]. Potom M vyjadřuje hmotnost křivky a Sy M , Sx M jsou souřadnice jejího těžiště, kde Sx a Sy jsou tzv. statické momenty křivky vzhledem k ose x, resp. y. Přičemž platí M = β α s(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt, Sx = β α s(t)ψ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt, Sy = β α s(t)ϕ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt. Nechť nyní funkce s(x) udává délkovou hustotu v bodě [x, f(x)] pro křivku grafem funkce f(x), x ∈ [a, b]. Potom platí M = b a s(x) 1 + [f (x)]2 dx, Sx = b a s(x)f(x) 1 + [f (x)]2 dx, Sy = b a xs(x) 1 + [f (x)]2 dx. Funkce S(t) udává hustotu obrazce vymezeného křivkou zadanou parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ [α, β]. Potom M vyjadřuje jeho hmotnost a Sy M , Sx M jsou souřadnice jeho těžiště. Přičemž platí M = β α S(t)ψ(t)ϕ (t) dt, Sx = 1 2 β α S(t)ψ2 (t)ϕ (t) dt, Sy = β α S(t)ψ(t)ϕ(t)ϕ (t) dt. Nechť nyní funkce S(t) udává hustotu obrazce vymezeného křivkou určenou grafem funkce f(x), x ∈ [a, b], a osou x. Potom M vyjadřuje jeho hmotnost a Sy M , Sx M Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 496 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné jsou souřadnice jeho těžiště. Přičemž platí M = b a S(x)f(x) dx, Sx = 1 2 b a S(x)f2 (x) dx, Sy = b a xS(x)f(x) dx. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 497 (436) Určete obsah plochy vymezené grafy funkcí f(x) = x2 + x − 3 a g(x) = −x2 − 2x + 2. Řešení: Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj. vyřešit rovnici f(x) = g(x), tzn. že 2x2 + 3x − 5 = 0 ⇒ x1 = − 5 2 a x2 = 1. . Navíc, v intervalu [−5 2 , 1] platí g(x) > f(x), proto hledaný obsah vypočteme s pomocí následujícího integrálu S = 1 − 5 2 (−x2 − 2x + 2) − (x2 + x − 3) dx = 1 − 5 2 −2x2 − 3x + 5 dx = = − 2x3 3 − 3x2 2 + 5x 1 − 5 2 = − 2 3 − 3 2 + 5 − 250 54 − 75 8 − 25 2 = 343 24 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 498 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (437) Určete obsah plochy ohraničené křivkami x2 + y2 = 2 a y = x2 . Řešení: Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj. y + y2 = 2 ⇒ y1 = −2 a y2 = 1. . Vzhledem k podmínce y = x2 je pro nás zajímavá pouze hodnota y2. Potom x1 = −1 a x2 = 1. Navíc, na intervalu [−1, 1] platí √ 2 − x2 > x2 , proto hledaný obsah dostaneme pomocí integrálu S = 0 1 2 − x2 − x2 dx = 2 x 2 2 − x2 + arcsin x √ 2 − x3 3 1 0 = = 2 1 2 + arcsin 1 √ 2 − 1 3 − 0 = 1 3 + π 4 . Při výpočtu jsme využili následující integrál 2 − x2 dx  x√ 2 = sin t dx√ 2 = cos t dt  = 2 − 2 sin2 t √ 2 cos t dt = = √ 2 1 − sin2 t √ 2 cos t dt = 2 cos2 t dt cos 2t = 2 cos2 t − 1  = = 2 1 2 cos 2t + 1 2 dt = (cos 2t + 1) dt = 1 2 sin 2t + t + C = = sin t cos t + arcsin x √ 2 + C = x √ 2 1 − x2 2 + arcsin x √ 2 + C = = x 2 2 − x2 + arcsin x √ 2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 499 (438) Určete obsah oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π]. Řešení: . Dosazením do vzorce pro obsah plochy mezi parametricky zadanými křivkami obdržíme S = 2π 0 (1 − cos t) (1 − cos t) dt = 2π 0 1 − 2 cos t + cos2 t dt cos2 t = 1 2 + 1 2 cos 2t  = = 2π 0 3 2 − 2 cos t + 1 2 cos 2t dt = 3 2 t − 2 sin t + 1 4 sin 2t 2π 0 = 3π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 500 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (439) Určete, v jakém poměru dělí křivka P : y2 = 2x plochu kruhu K : x2 + y2 = 8. Řešení: Zadání je znázorněno na následujícím obrázku. . Z obrázku je zřejmé, že ve stejném poměru, jako dělí parabola kuh, dělí horní větev paraboly y = √ 2x horní půlkruh y = √ 8 − x2. Pro výpočet budeme potřebovat souřadnice průsečíku horní větve paraboly a horního půlkruhu. Poznamenejme, že nás zajímá pouze průsečík v I. kvadrantu, což nám umožní volnější úpravy. y = y, √ 2x = 8 − x2, 2x = 8 − x2 , x2 + 2x − 8 = 0, x = 2. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 501 Průsečík má tedy souřadnice [2, 2]. Nyní spočítáme obsah červeně vyznačené plochy. S = 2 0 √ 2x dx + √ 8 2 8 − x2 dx = 2 √ 2 3 x 3 2 2 0 + √ 8 2 8 − x2 dx = = 8 3 + √ 8 2 8 − x2 dx  x = √ 8 sin t dx = √ 8 cos t dt√ 8 π 2 = 2 π 4  = 8 3 + π 2 π 4 8 − 8 sin2 t √ 8 cos t dt = = 8 3 + π 2 π 4 8 cos2 t dt = 8 3 + 8 π 2 π 4 1 + cos 2t 2 dt = = 8 3 + 4 π 2 π 4 1 + cos 2t dt = 8 3 + 4 t + sin 2t 2 π 2 π 4 = = 8 3 + 4 π 2 + 0 − π 4 − 1 2 = 2 3 + π. Z rovnice kruhu vidíme, že jde o kruh o poloměru √ 8. Protože červená plocha má obsah 2 3 + π, zbytek horního půlkruhu má obsah 4π − 2 3 + π = 3π − 2 3 . Hledaný poměr je tedy 3π − 2 3 : π + 2 3 , neboli (9π − 2) : (3π + 2). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 502 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (440) Odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a a b. Řešení: Obecná rovnice zadané elipsy je tvaru E : x2 a2 + y2 b2 = 1. Tato rovnice zadává implicitně funkci horní a dolní půlelipsy. Příklad vyřešíme tak, že si z rovnice elipsy explicitně vyjádříme funkci horní půlelipsy a pomocí ní pak spočítáme obsah čtvrtiny elipsy, která se nachází v I. kvadrantu. . Horní půlelipsa je dána funkcí f : y = b 1 − x2 a2 . Interval, na kterém tato funkce zadává čtvrtelipsu v I. kvadrantu je x ∈ [0, a]. Můžeme tedy počítat S 4 = a 0 b 1 − x2 a2 dx = b a 0 1 − x2 a2 dx  x a = sin t dx = a cos t dt a π 2 0 0  = = ab π 2 0 1 − sin2 t cos t dt = ab π 2 0 cos2 t dt = ab 2 π 2 0 1 + cos 2t dt = = ab 2 t + sin 2t 2 π 2 0 = abπ 4 . Vzorec pro obsah elipsy s poloosami a a b je tedy S = πab. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 503 (441) Určete délku grafu funkce f(x) = ln x pro x ∈ [ √ 3, √ 15]. Řešení: Dosazením do vzorce dostaneme l = √ 15 √ 3 1 + 1 x2 dx = √ 15 √ 3 1 + x2 x2 dx = √ 15 √ 3 √ 1 + x2 x dx  t2 = x2 + 1 2t dt = 2x dx√ 3 2√ 15 4  = = 4 2 √ t2 t2 − 1 t dt = 4 2 t2 t2 − 1 dt = 4 2 t2 − 1 + 1 t2 − 1 dt = 4 2 1 + 1 t2 − 1 dt = = 4 2 1 + 1 2 t − 1 − 1 2 t + 1 dt = t + 1 2 ln |t − 1| − 1 2 ln |t + 1| 4 2 = = 4 + 1 2 ln 3 − 1 2 ln 5 − 2 − 1 2 ln 1 + 1 2 ln 3 = 2 + ln 3 − 1 2 ln 5. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 504 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (442) Určete délku oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π]. Řešení: Aplikací odpovídajícího vzorce obdržíme l = 2π 0 (sin t)2 + (1 − cos t)2 dt = 2π 0 √ 2 − 2 cos t dt 1 − cos t = 2 sin2 t 2  = = 2 2π 0 sin t 2 dt = −4 cos t 2 2π 0 = 8. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 505 (443) Určete délku oblouku řetězovky f(x) = a cosh x a , I = [−1, 1]. Řešení: Připomeňme, že platí sinh x = ex − e−x 2 , cosh2 x − sinh2 x = 1. l = 1 −1 1 + sinh2 x a dx = 1 −1 cosh2 x a dx cosh je všude kladný  = = 1 −1 cosh x a dx = a sinh x a 1 −1 = a sinh 1 a − sinh −1 a = = a(e 1 a − e− 1 a ). Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 506 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (444) Vypočtěte délku oblouku křivky f(x) = ln ex +1 ex −1 pro x ∈ [1, 2]. Řešení: Nejdříve vypočteme a upravíme výrazy potřebné pro výpočet integrálu, tj. f (x) = −2 ex (ex +1) (ex −1) ⇒ 1 + [f (x)]2 = e4x +2 e2x +1 (ex +1)2 (ex −1)2 = 1 + e2x e2x −1 . Proto můžeme spočítat l = 1 2 1 + e2x e2x −1 dt = 1 2 1 e2x −1 + e2x e2x −1 dx = −x + 1 2 ln e2x −1 + 1 2 ln e2x −1 2 1 = = −2 + ln e4 −1 + 1 − ln e2 −1 = −1 + ln e2 −1 e2 +1 e2 −1 = ln e2 +1 − 1 = ln e2 +1 e , přičemž jsem využili následující dva integrály dx e2x −1  t = 2x dt = 2 dx  = 1 2 dt et −1 = 1 2 et e2t − et dt  et = u et dt = du  = = 1 2 du u2 − u = 1 2 − 1 u + 1 1 + u du = − 1 2 ln |u| + 1 2 ln |u − 1| + C = = − 1 2 t + 1 2 ln et −1 + C = −x + 1 2 ln e2x −1 + C; e2x e2x −1 dx  t = e2x dt = 2 e2x dx  = 1 2 dt t − 1 = 1 2 ln |t − 1| + C = 1 2 ln e2x −1 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 507 (445) Určete objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 1 + 1 2 sin 3x, x ∈ [π 3 , 13π 6 ]e, kolem osy x. Řešení: Vx = π 13π 6 π 3 1 + 1 2 sin 3x 2 dx = = π 13π 6 π 3 1 + sin 3x + 1 4 sin2 3x dx sin2 3x = 1 2 (1 − cos 6x)  = = π 13π 6 π 3 1 + sin 3x + 1 8 (1 − cos 6x) dx = = π x − 1 3 cos 3x + 1 8 x − 1 48 sin 6x 13π 6 π 3 = 33π2 16 − π 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 508 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (446) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 1 1+x2 , x ∈ [−1, 1], kolem osy x. Řešení: . Poněvadž funkce f je sudá, můžeme spočítat poloviční objem na intervalu [0, 1]. Proto Vx = 2π 1 0 1 1 + x2 2 dx = 2π 1 2 arctg x + 1 2 x 1 + x2 1 0 = 2π π 8 + 1 4 = π 4 (π + 2), neboť 1 1 + x2 2 dx = K2(0, 1) = 1 2 K1(0, 1) + 1 2 x 1 + x2 = 1 2 arctg x + 1 2 x 1 + x2 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 509 (447) Určete objem tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π], kolem osy x. Řešení: V = π 2π 0 (1 − cos t)2 (1 − cos t) dt = π 2π 0 (1 − cos t)3 dt = = π 2π 0 1 − 3 cos t + 3 cos2 t − cos3 t 3 dt = = π t − 3 sin t + 3 2 t + 3 4 sin 2t − sin t + sin3 t 3 2π 0 = π (2π + 3π) = 5π2 , neboť platí cos2 t dt = 1 + cos 2t 2 dt = t 2 + sin 2t 4 + C; cos3 t dt = 1 − sin2 t cos t dt  u = sin t du = cos t dt  = 1 − u2 du = = u − u3 3 + C = sin t − sin3 t 3 + C. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 510 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (448) Najděte vzorec pro výpočet objemu komolého kužele s poloměrem podstav r1, r2 a výškou v. Jaký je objem „nekomolého“ kužele? Řešení: Komolý kužel lze vytvořit tak, že necháme rotovat lichoběžník s vrcholy [0, 0], [v, 0], [v, r2], [0, r1] kolem osy x. . K výpočtu ovšem potřebujeme funkční předpis přímky dané body [0, r1] a [v, r2]. Ten najdeme ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Dosazením bodu [0, r1] do rovnice přímky ihned dostaneme, že q = r1. Pomocí této znalosti a dosazením bodu [v, r2] do rovnice přímky dostaneme směrnici k = r2−r1 v . Úsečka, jejíž rotací vznikne plášť studovaného komolého kužele je tedy dána předpisem y = r2 − r1 v x + r1, x ∈ [0, v]. Nyní použijeme známý vzorec Vx = π v 0 r2 − r1 v x + r1 2 dt. Umocním závorky a jednoduchou integrací polynomu obdržíme výsledek V = 1 3 πv(r2 1 + r1r2 + r2 2). Obyčejný kužel je speciální případ kužele komolého s nulovým poloměrem jedné podstavy. Tedy položíme-li např. r1 = 0, r2 = r, získáme vzorec pro objem „obyčejného“ kužele ve tvaru VK = 1 3 πr2 v. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 511 (449) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 2 |sin x|, x ∈ [0, 2π], kolem osy x. Řešení: . Oba oblouky cykloidy jsou stejné, můžeme se omezit pouze na interval [0, π], proto Qx = 2 · 2π 2π 0 2 sin x 1 + 4 cos2 x dx  2 cos x = t −2 sin x dx = dt 0 2 π −2  = = −4π 2−2 1 + t2 dt = 8 2 0 1 + t2 dt = 8π 1 2 ln t + 1 + t2 + t 2 1 + t2 2 0 = = 8 1 2 ln 2 + √ 5 + √ 5 = 4π ln(2 + √ 5) + 8π √ 5. Při výpočtu jsme využili následující výpočet primitivní funkce 1 + t2 dt  t = sinh u dt = cosh u du  = cosh2 u du cosh 2u = 2 cosh2 u − 1  = = 1 2 cosh 2u + 1 2 du = 1 2 sinh 2u 2 + u + C = = sinh u cosh u 2 + u 2 + C cosh2 u − sinh2 = 1 ⇒ cosh u = sinh2 u + 1  = = t √ t2 + 1 2 + arcsinh u 2 + C. Navíc přímým výpočtem ověříme, že arcsinh u = 1 2 ln t + t2 + 1 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 512 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné Položme sinh x = ex − e−x 2 = y, potom ln y + y2 + 1 = ln ex − e−x 2 + e2x −2 + e−2x 4 + 1 = = ln ex − e−x 2 + e2x + e−2x +2 4 = = ln ex − e−x 2 + (ex + e−x)2 4 = = ln ex − e−x 2 + ex + e−x 2 = ln |ex | = x = arcsinh y. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 513 (450) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 4+x, x ∈ [−4, 2], kolem osy x. Řešení: Qx = 2π 2 −4 (4 + x) √ 1 + 1 dx = 2 √ 2π 2 −4 (4 + x) dx = = 2 √ 2π 4x + x2 2 2 −4 = 2 √ 2π 8 + 4 2 16 − 16 2 = 36 √ 2π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 514 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (451) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací kardioidy (srdcovky) x = 2 cos t−cos 2t, y = 2 sin t − sin 2t, t ∈ [0, π], kolem osy x. Řešení: Q = 2π π 0 (2 sin t − sin 2t) (−2 sin t + 2 sin 2t)2 + (2 cos t − 2 cos 2t)2 dt = = 2π π 0 (2 sin t − sin 2t) √ 8 √ − sin t sin 2t − cos t cos 2t dt  sin 2t = 2 sin t cos t cos 2t = cos2 t − sin2 t  = = 2π π 0 (2 sin t − sin 2t) √ 8 √ 1 − cos t dt = 2 √ 8π π 0 2 sin t (1 − cos t)3/2 dt = = 4 √ 8π π 0 sin t (1 − cos t)3/2 dt  u = 1 − cos t du = sin t dt 0 0 π 2  = 4 √ 8π 2 0 2u3/2 du = = 4 √ 8π u5/2 5 2 2 0 = 4 √ 8π 25/2 5 2 = 4 √ 8π 2 5 4 √ 2 = 128 5 π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 515 (452) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykoidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π], kolem osy x. Řešení: Qx = 2π 2π 0 (1 − cos t) (1 − cos t)2 + sin2 t dt = = 2π 2π 0 (1 − cos t) √ 2 √ 1 − cos t dt = 2 √ 2π 2π 0 (1 − cos t)3/2 dt 1 − cos t = sin2 t 2  = = 2 √ 2π 2π 0 2 √ 2 sin3 t 2 dt = 8π 2π 0 1 − cos2 t 2 sin t 2 dt  cos t 2 = u 1 2 sin t 2 dt = du 0 1 2π −1  = = −8π2 −1 1 1 − u2 du = 16π u − u3 3 1 −1 = 16π 1 − 1 3 + 1 − 1 3 = 64 3 π. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 516 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (453) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní půlkružnice x2 + y2 = r2 , y ≥ 0. Řešení: Podle příslušných vzorců obdržíme M = σ π 0 (−r sin t)2 + (r cos t)2 dt = σr π 0 dt = πσr, Sx = σ π 0 r sin t (−r sin t)2 + (r cos t)2 dt = σr2 π 0 sin t dt = σr2 [− cos t]π 0 = 2σr2 , Sy = σ π 0 r cos t (−r sin t)2 + (r cos t)2 dt = σr2 π 0 cos t dt = σr2 [sin t]π 0 = 0. Proto souřadnice těžiště jsou T = 0 πσr , 2σr2 πσr = 0, 2r π . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 517 (454) Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště křivky x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0, x, y ≥ 0, kde délková hustota v bodě s(x) v bodě [x(t), y(t)] je přímo úměrná x-ové souřadnici bodu. Řešení: Podle příslušných vzorců obdržíme M = π 2 0 ka cos3 t 3a cos2 t (− sin t)2 + 3a sin2 t cos t 2 dt = = π 2 0 ka cos3 t 9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 t dt = = π 2 0 ka cos3 t cos2 t sin2 t cos2 t + sin2 t dt = = 3ka2 π 2 0 cos4 t sin t dt  cos t = u − sin t dt = du π 2 0 0 1  = −3ka2 0 1 u4 du = = −3ka2 u5 5 0 1 = −3ka2 0 − 1 5 = 3ka2 5 , Sx = π 2 0 3ka3 cos4 t sin4 t dt = 3ka3 − 1 128 sin 4t + 3 128 t + 1 1024 sin 8t π 2 0 = = 3ka3 3 128 π 2 = 3ka3 3π 256 , kde jsme využili následující primitivní funkce cos2 t dt = t 2 + sin 2t 4 + C, cos2 2t dt  2t = u 3 dt = du  1 2 cos2 u du = 1 2 u 2 + sin 2u 4 + C = t 2 + sin 4t 8 + C, sin4 t cos4 t dt cos 2t = 2 cos2 t − 1  = 1 16 (1 − cos 2t)2 (1 cos 2t)2 dt = = 1 16 1 − 2 cos2 2t + cos4 2t dt  2t = u 3 dt = du  = 1 16 t − t − sin 4t 4 + 1 2 cos4 u du = = − 1 64 sin 4t + 1 32 1 4 (1 + cos 2u)2 du = − 1 64 sin 4t + 1 128 1 + 2 cos 2u + cos2 2u du = = − 1 64 sin 4t + 1 128 u + 1 64 1 2 sin 2u + 1 128 u 2 + sin 4u 8 + C = = 3 128 t − 1 128 sin 4t + 1 1028 sin 8t + C. Dále platí Sy = π 2 0 3ka3 cos7 t sin t dt  u = cos t du = − sin t dt 0 1 π 2 0  = −3ka3 0 1 u7 du = −3ka3 u8 8 0 1 = 3ka3 8 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 518 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné Proto těžiště má souřadnice T = 3ka3 8 5 3ka2 , 3ka3 3π 256 5 3ka2 = 5a 8 , 15πa 256 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 519 (455) Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy O = [0, 0], A = [0, 1] a B = [2, 0]. Řešení: . M = σ 2 0 1 − x 2 dx = σ x − x2 4 = σ (2 − 1) = σ, Sx = 1 2 σ 2 0 1 − x 2 2 dx = 1 2 σ 2 0 1 − x + x2 4 dx = = 1 2 σ x − x2 2 + x3 12 2 0 = 1 2 σ 2 − 2 + 8 12 = σ 3 , Sy = σ 2 0 x 1 − x 2 dx = σ 2 0 x − x2 2 dx = σ x2 2 − x3 6 2 0 = σ 2 − 8 6 = 2 3 σ. Souřadnice těžiště tedy jsou T = 2 3 , 1 3 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 520 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (456) Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště rovinné homogenní plochy omezené křivkou y = 2 sin 3x, x = 0, x = π 3 a osou x. Řešení: M = σ π 3 0 2 sin 3x dx = 2 3 σ [− cos 3x] π 3 0 = 4 3 σ, Sx = 1 2 σ π 3 0 4 sin2 3x dx = 2σ x 2 − sin 6x 12 = σπ 3 , Sy = σ π 3 0 x2 sin 3x dx = 2 9 σ [sin 3x − 3x cos 3x] π 3 0 = 2σπ 9 , kde jsem využili sin2 3x dx  t = 3x dt = 3 dx  = 1 3 sin2 t dt = 1 3 1 2 − 1 2 cos 2t dt = = t 6 − sin 2t 12 + C = x 2 − sin 6x 12 + C, x sin 3x dx  u = x u = 1 v = −1 3 cos 3x v = sin 3x  = − 1 3 x cos 3x + 1 3 cos 3x dx = = − 1 3 x cos 3x + 1 9 sin 3x + C = 1 9 (sin 3x − 3x cos 3x) + C. Proto těžiště souřadnice jsou dány T = 2σπ 9 3 4σ , σπ 3 3 4σ = π 6 , π 4 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 521 (457) Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného křivkou danou předpisem y = 6x − x2 a osou x. Řešení: M = σ 6 0 6x − x2 dx = σ 3x2 − x3 3 6 0 = σ (108 − 2 · 36) = 36σ, Sx = 1 2 σ 6 0 6x − x2 2 dx = 1 2 σ 6 0 36x2 − 12x3 + x4 dx = 1 2 σ 36x3 3 − 12x4 4 + x5 5 6 0 = 648 5 σ, Sy = σ 6 0 x 6x − x2 dx = σ 6 0 6x2 − x3 dx = σ 6x3 3 − x4 4 6 0 = 108σ. Těžiště má tedy souřadnice T = 3, 18 5 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil 522 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné (458) Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného cykloidou x = 3(t − sin t), y = 3(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π a osou x. Řešení: M = σ 2π 0 3 (1 − cos t) 3 (1 − cos t) dt = 9σ 2π 0 (1 − cos t)2 dt Př. (438) = 9σ4π = 27σπ, Sx = 1 2 σ 2π 0 9 (1 − cos t)2 3 (1 − cos t) dt = 27 2 σ 2π 0 (1 − cos t)3 dt = = 27 2 σ 2π 0 1 − 3 cos t + 3 cos2 t − cos3 t dt Př. (447) = Př. (447) = 27 2 σ t − 3 sin t + 3 2 (cos t · sin t + t) − sin t − sin3 t 3 2π 0 = 27 2 σ (5π) = 135 2 πσ, Sy = σ 2π 0 3(t − sin t)3 (1 − cos t) 3 (1 − cos t) dt = = 27σ 2π 0 1 − 2 cos t + cos2 t (t − sin t) dt = = 27σ 2π 0 t − sin t − 2t cos t + 2 cos t sin t + t cos2 t − cos2 t sin t dt = = 27σ t2 2 + cos t − 2t sin t − 2 cos t − cos2 t + t 2 (cos t · sin t + t) − − t 2 − cos2 t 2 + t2 2 − cos3 t 3 2π 0 = 27σ 2π2 + 2π2 + 1 4 − π2 − 1 4 = 27σ3π2 , k čemuž jsme v posledním integrálu využili t cos2 t dt  u = t u = 1 v Př. (447) = 1 2 (cos t · sin t + t) v = cos2 t  = = 1 2 (cos t · sin t + t) − 1 2 (cos t · sin t + t) dt = = 1 2 (cos t · sin t + t) − 1 2 − cos2 t 2 − t2 2 + C, t cos t dt  u = t u = 1 v = sin t v = cos t  = t sin t − sin t dt = t sin t + cos t + C, cos t sin t dt  u = cos t du = − sin t dt  = − u du = − u2 2 + C = − cos2 t 2 + C, cos2 t sin t dt  u = cos t du = − sin tdt  = − u2 du = − u3 3 + C = − cos3 t 3 . Proto souřadnice těžiště jsou dány T = T = 27σ3π2 27σπ , 135πσ 2 · 27σπ = 3π, 5 2 . Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2 II. 5. Aplikace integrálního počtu 523 Seznam použité literatury [1] B. P. Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. ISBN 80- 7200-587-1. [2] Z. Došlá, J. Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Masarykova univerzita, Brno, 2004. ISBN 80-210-3121-2. [3] O. Došlý, P. Zemánek, Integrální počet v R, Masarykova univerzita, Brno, 2011. ISBN 978- 80-210-5635-0. [4] Š. Hošková, J. Kuben, P. Račková, Integrální počet funkcí jedné proměnné, Vysoká škola báňská — Technická univerzita Ostrava, Ostrava, 2006. ISBN 80-248-1191-X. [5] Z. Hrnčiřík, Aplikace diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné ve slovních úlohách, Diplomová práce, Masarykova univerzita, Brno, 2008. [6] V. Jarník, Diferenciální počet I, 7. vydání, Academia, Praha, 1984. [7] V. Jarník, Integrální počet I, 6. vydání, Academia, Praha, 1984. [8] V. Novák, Integrální počet v R, 3. vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2001. ISBN 80-210- 2720-7. [9] J. Kuben, P. Šarmanová, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Vysoká škola báňská — Technická univerzita Ostrava, Ostrava, 2006. ISBN 80-248-1192-8. [10] D. C. Arangno, M. R. Spiegel, Schaum’s Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus, McGraw Hill, New York, 2000. [11] I. Černý, Úvod od inteligentního kalkulu: 1000 příkladů z elementární analýzy, Academia, Praha, 2002. ISBN 80-200-1017-3. Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil