324 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
I. 6. Aplikace diferenciálního poˇctu ve slovních
úlohách
Definice 23. Buď funkce f(x) definovaná na množině M. Existuje-li největší (nejmenší) hodnota
funkce f(x), nazýváme ji absolutním maximem (absolutním minimem) funkce f(x) na M. Absolutní
minima a maxima souhrnně nazýváme absolutními extrémy.
Jestliže tedy x0 ∈ M a platí f(x) ≤ f(x0) pro všechna x ∈ M, říkáme, že funkce f(x) má na
M absolutní maximum v bodě x0. Podobně pro absolutní minimum.
Poznámka 24. Funkce nabývá absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů nebo v
krajních bodech intervalu (případně žádného globálního extrému nenabývá).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 325
(284) Obdélník má obvod o, určete jeho strany a, b tak, aby jeho obsah byl maximální.
Řešení:
Ze zadání plyne, že platí
o = 2(a + b) ⇒ a =
o − 2b
2
.
Obsah obdélníku je roven S = a · b, což můžeme pomocí předchozího vztahu vyjádřit jako
funkci proměnné b, tj.
S(b) =
o − 2b
2
· b =
o
2
· b − b2
,
pro niž hledáme maximum. Proto musí platit
S (b) =
o
2
− 2b = 0 ⇒ b =
o
4
.
Ověříme, že nalezený bod je skutečně maximem, tj.
b 0, o
4
o
4
, o
2
sgn S + −
S
Dopočítáme druhý rozměr obdélníku. Proto a = o−2b
2
= o
4
. Což znamená, že obdélník
s maximálním obsahem při pevně zadaném obvodu je právě čtverec.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
326 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(285) Určete takové nenulové reálné číslo x, že jeho rozdíl s převrácenou hodnotou druhé
mocniny tohoto čísla je maximální.
Řešení:
Ze zadání plyne, že hledáme maximum funkce
f(x) = x −
1
x2
.
Proto musí platit
f (x) = 1 +
2
x3
= 0 ⇒ x = −
3
√
2.
Z následující tabulky plyne, že nalezený bod je skutečně maximum, tj.
x −∞, − 3
√
2 − 3
√
2, ∞
sgn f + −
f
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 327
(286) Určete rozměry otevřeného zahradního bazénu se čtvercovým dnem daného objemu 32 m3
tak, aby se na vyzdění jeho dna a stěn spotřebovalo minimum materiálu.
Řešení:
Mějme takovýto bazén
Potom ze zadaného objemu můžeme vyjádřit výšku bazénu, tj.
V = a2
· v ⇒ v =
V
a2
.
Funkce určující obsah dna a stěn je
S = a2
+ 4 · v · a ⇒ S(a) = a2
+
4V
a
,
kterou chceme minimalizovat. To znamená, že
S (a) = 2a −
4V
a2
= 0 ⇒ a =
3
√
2V
V=32
⇒ a = 4, v = 2.
Získali jsem skutečně hledané minimu, neboť
a (0, 4) (4, ∞)
sgn S − +
S
Rozměry optimálního bazénu tedy jsou 4 × 4 × 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
328 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(287) Muž v loďce je vzdálen 12 km od pobřeží (majícího tvar přímky). Chce se dostat co
nejrychleji do místa na pobřeží, které je od něj vzdáleno 20 km. Rozhodněte, kde se má
vylodit, víte-li, že dokáže veslovat rychlostí 6 km/h a po břehu se pohybovat rychlostí
10 km/h.
Řešení:
Situaci ze zadání lze znázornit takto
Přičemž bod A jeho výchozí pozice a bod C je místo vylodění, které může být v kterémkoli
bodě na pláži, tj. v rozmezí bodů D až B včetně. Platí tedy
|AC|2
= 122
+ x2
⇒ |AC| = 144 + x2.
Hledaný čas je součtem doby jízdy na lodi a dobou, kterou muž půjde po pláži, tj. (čas =
dráha
rychlost
)
t = t1 + t2 =
|AC|
6
+
|CB|
10
⇒ t(x) =
√
144 + x2
6
+
16 − x
10
.
Standardním postupem najdeme stacionární bod(y), tj.
t (x) =
2x
2 · 6 ·
√
144 + x2
−
1
10
= 0 ⇒
x
6
√
144 + x2
=
1
10
⇒
⇒ 10x = 6 144 + x2 ⇒ 100x2
= 36(144 + x2
) ⇒
⇒ 64x2
= 5184 ⇒ x = ±9
je zřejmé, že platí x ∈ [0, 16], proto máme jediný stacionární bod x = 9 (hodnota x = −9
by odpovídala zrcadlové situaci na levé straně a dostali jsme ji díky použití neekvivalentní
úpravy při řešení předchozí rovnice). Ověříme, zda jsme obdrželi skutečně extrém
x [0, 9) (9, 16]
sgn t − +
t
Poněvadž hodnota x může nabývat i mezní hodnoty intervalu, našli jsme lokální(!) minimum.
Musíme porovnat funkční hodnoty v lokálním minimu a v krajních bodech, tj.
t(9) =
16
5
, t(0) =
18
5
, t(16) =
10
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 329
Neboť platí t(9) < t(16) < t(0), nalezli jsme globální minimum pro x = 9. Proto se muž
musí vylodit ve vzdálenosti 7 km od cílového místa.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
330 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(288) Do rotačního kužele o poloměru podstavy r a výšce h vepište válec (s poloměrem R
a výškou H), který má:
i) největší objem;
ii) největší obsah pláště.
Řešení:
i) Situaci znázorníme na obrázku
ze kterého plyne, že
tg α =
h
r
=
H
r − R
=
h − H
R
⇒
h
r
=
H
r − R
=
h − H
R
⇒
⇒
R
h − H
=
r
h
⇒ R =
r(h − H)
h
.
Protože objem válce je dán vztahem V = πR2
H, získáme funkci proměnné H ve tvaru
V(H) = π
r2
(h − H)2
h2
H.
Nyní určíme stacionární body, tj.
V (H) =
πr2
h2
2(h − H) · (−1)H + (h − H)2
=
=
πr2
h2
(h − H) [−2H + h − H] =
πr2
h2
(h − H) [−3H + h] = 0,
což dává dva stacionární body H = h (tato hodnota ovšem dává válec s maximální
možnou výškou a nulovým poloměrem, tedy není potřeba tento stacionární bod uvažovat)
a H = h
3
, který je skutečně hledaným maximem, neboť platí
H 0, h
3
h
3
, h
sgn V + −
V
Našli jsme tedy válec o rozměrech H = h
3
a R =
r(h− h
3 )
h
= 2r
3
o maximálním objemu
V = 4πr2h
27
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 331
ii) Obsah pláště válce je dán vztahem Q = 2πRH, což s využitím předchozích výpočtů
znamená
Q(H) = 2π
r(h − H)
h
H.
Deriovováním
Q (H) =
2πr
h
(h − 2H) = 0
najdeme stacionární bod, kterým je hodnota H = h
2
(jedná se skutečně o maximum).
Hledaný válec má rozměry H = h
2
a R = r
2
a maximálním obsahu pláště Q = πrh
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
332 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(289) („Problém líného kosa“) Na plotě, jehož výška je 1 m, sedí kos. Ve vzdálenosti 15 m od
plotu roste strom, který má větev ve výšce 3 m. Na zemi mezi plotem a stromem jsou hustě
rozsety žížaly. V jaké vzdálenosti od plotu má kos sezobnout žížalu, aby proletěl trasu
plot → žížala → strom po přímkách a po nejkratší dráze?
Řešení:
Situaci znázorníme na obrázku (vzdálenost x je místo sezobnutí žížaly)
z něhož je patrné, že vzdálenost, kterou kos musí uletět, je dána funkcí
f(x) = x2 + 1 + (15 − x)2 + 9.
Ve stacionárním bodě jistě platí
f (x) =
x
√
x2 + 1
+
2x − 30
2 (15 − x)2 + 9
= 0,
a proto
cos α =
x
√
x2 + 1
=
15 − x
(15 − x)2 + 9
= cos β.
To ovšem znamená, že α = β. Nyní již z podobnosti trojúhelníků dostaneme
x
1
=
15 − x
3
⇒ 3x = 15 − x ⇒ x = 3, 75.
Nalezený bod je skutečně minimum, neboť platí
x (0; 3, 75) (3, 75; 15)
sgn f − +
f
Proto aby kos sezobnul žížalu a přitom urazil nejkratší dráhu, musí ji sezobnout 3,75m
od plotu.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 333
(290) Do rovnostranného trojúhelníku o straně a vepište rovnoramenný trojúhelník maximálního
obsahu tak, aby vrchol proti jeho základně ležel ve středu strany rovnostranného
trojúhelníku.
Řešení:
Znázorníme si oba trojúhelníky na obrázku
Je známo, že v rovnostranném trojúhelníku platí v =
√
3
2
a, z čehož plyne |CF| = v − w =√
3
2
a − w. Proto můžeme v trojúhelníku CDF spočítat
tg 30 =
z
2
√
3
2
a − w
⇒
z
2
=
a
2
−
√
3
3
w.
Proto můžeme obsah hledaného trojúhelníku vyjádřit pomocí w ve tvaru
S(w) =
zw
2
=
aw
2
−
√
3
3
w2
.
Nyní najdeme stacionární bod
S (w) =
a
2
−
2
√
3
3
w = 0 ⇒ w =
3a
4
√
3
=
√
3a
4
.
Nalezli jsme skutečně maximum, viz
w 0,
√
3a
4
√
3a
4
, v
sgn S + −
S
Dopočítáme druhý rozměr trojúhelníku
z = 2
a
2
−
3
12
a =
a
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
334 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Ještě musíme ověřit, že nalezený trojúhelník je rovnoramenný, to ovšem plyne z výpočtu
tg α =
w
z
2
=
2w
z
=
√
3 ⇒ α = 60◦
.
Tedy, hledaný trojúhelník má výšku
√
3a
4
a délku strany a
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 335
(291) Váš přítel, pozemní inženýr, se na Vás obrátil s prosbou o pomoc. Dostal za úkol vyprojektovat
uprostřed pozemku tvaru čtverce o straně 1,5 km 8 sousedících parcel určených
ke stavbě luxusních vil. Parcely musí být obdélníkové, ve dvou řadách po čtyřech a výměra
každé z nich musí činit 120 arů (tj. celkem 960 arů). Kolem každé parcely musí Váš
přítel nechat postavit cesty. Přitom dlouhá spojovací cesta mezi řadami po čtyřech bude
na obě strany vyvedena mimo pozemek a napojena na silniční síť oblasti. Tyto napojovací
cesty budou financovány plně z fondu EU, takže jejich cenu není potřeba uvažovat. Jaké
rozměry parcel poradíte, aby se za stavbu cest co nejvíce ušetřilo?
Řešení:
Problém, který musíme vyřešit je znázorněn na Obrázku 35.
Obrázek 35. Parcely a cesty.
Je zřejmé, že délka cesty (a tím i její cena) bude minimální, bude-li minimální délka cest
po stranách jednotlivých parcel. Tím se nám problém zjednodušil na následující.
Obrázek 36. Parcely bez cest.
Na Obrázku 36 jsou znázorněny jednotlivé parcely a je přitom zanedbána šířka cesty. To
můžeme provést, neboť plochy cesty vyznačené červeně na Obrázku 37 je nutné vybudovat
vždy, ať už je poměr stran parcel jakýkoli, resp. jde o napojovací cesty financované z EU.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
336 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Obrázek 37. Neměnné části cest.
Budeme tedy vycházet z Obrázku 36. Celková plocha parcel je dle zadání 960 arů, tedy
S = 4a · 2b = 8ab = 960.
Naším cílem je minimalizovat délku cest z Obrázku 36, tj.
O = 12a + 10b → min.
Ze vztahu pro obsah plochy snadno dostaneme, že
b =
120
a
,
což dosadíme do vztahu pro délku cest („obvod“ parcel). Tím získáme funkci jedné proměnné
a můžeme formulovat extremální úlohu
O(a) = 12a +
1200
a
→ min.
Mějme přitom na paměti, že pozemek, na kterém pracujeme, má tvar čtverce o straně
1, 5 km, tj. 1500 m a poznamenejme, že jednotky, které používáme jsou ary (1 ar = 100m2
),
tedy všechny výpočty délek provádíme v desítkách metrů. Odtud
2b < 150, 4a < 150,
2
120
a
< 150, a <
75
2
.
150a > 240,
a >
8
5
.
Hledáme tedy globální minimum na intervalu 8
5
, 75
2
. Funkci O zderivujeme a najdeme
její stacionární body.
O (a) = 12 −
1200
x2
= 0,
12a2
= 1200,
a = ±10.
Protože −10 ∈ 8
5
, 75
2
, tento bod nás nezajímá. Porovnejme funkční hodnoty v krajních
bodech intervalu a hodnotu ve stacionárním bodě.
O 8
5
= 3846
5
= 769, 2,
O 75
2
= 482,
O(10) = 240.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 337
Hledaným minimem je tedy náš stacionární bod. Nyní snadno dopočítáme rozměr b.
b =
120
a
=
120
10
= 12.
Za daných podmínek jsou tedy nejlepší volbou parcely o rozměrech 100 × 120m, přičemž
větší rozměr je vertikální.
Poznámka 25. Cílem Příkladu 291 bylo naznačit způsob, jakým je možné reálné zadání
zjednodušit za účelem zpřehlednění výpočtů. Poznamenejme, že jakékoli zjednodušování
by vždy mělo být řádně zdůvodněno a samozřejmě nesmí nijak ovlivnit výsledek.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
338 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(292) V továrně na výrobu kalkulaček zjistili, že pokud vyjádří výnos a náklady jako funkci
proměnné x reprezentující počet kalkulaček (v tisících) vyrobených za hodinu, obdrží
funkce:
r(x) = 9x pro výnos,
c(x) = x3
− 6x2
+ 15x pro náklady.
Určete při jakém objemu výroby bude mít továrna největší zisky.
Řešení:
Nejprve naformulujme problém. Protože
zisk = výnos − náklady,
obdržíme pro zisk funkci
p(x) = r(x) − c(x) = −x3
+ 6x2
− 6x
a hledáme její maximum.
p (x) = −3x2
+ 12x − 6 = 0 ⇔ x = 2 ±
√
2.
Zjistěme nyní, pro která x daná funkce roste a pro která klesá. Vzhledem k tomu, že
nelze vyrobit záporný počet kalkulaček, zajímá nás její chování jen na intervalu [0, ∞).
(Samozřejmě není reálná ani výroba a prodej nekonečného počtu kalkulaček, ale horní
omezující podmínka pro nás není dostupná. Výsledek musíme vhodně interpretovat a případně
omezující podmínku najít, nebo požadovat od zadavatele problému.)
x (0, 2 −
√
2) (2 −
√
2, 2 +
√
2) (2 +
√
2, ∞)
sgn f − + −
f
Největšího zisku tedy továrna dosáhne při výrobě 2 +
√
2 tisíc kalkulaček za hodinu (tj.
cca 3 414 kalkulaček za hodinu).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 339
(293) Popište dráhu světelného paprsku z bodu A v prostředí s rychlostí šíření světla c1 do
bodu B s rychlostí šíření světla c2. Hranici mezi prostředími uvažujte rovnou.
Řešení:
Nejprve zadaný problém důkladně graficky znázorníme. Přitom využijeme faktu, že příroda
se chová vždy efektivně, takže světelný paprsek využije trasu, která je nejméně časově
náročná. Dráhou tedy bude lomená čára. Na Obrázku 38 je znázorněna modře.
Obrázek 38. Dráha světelného paprsku.
Z Obrázku 38 je zřejmé, že popis dráhy provedeme pomocí úhlu dopadu θ1 a úhlu lomu
θ2. Přitom jsme jako bod P označili bod, ve kterém světelný paprsek prochází z prvního
do druhého prostředí. Přitom souřadnice důležitých bodů jsou:
A = [0, a], P = [0, x], B = [−b, d].
Dokážeme-li tedy popsat vztah úhlů θ1 a θ2, budeme schopni např. ze znalosti polohy
zdroje světla a úhlu dopadu dopočítat bod B, nebo ze znalosti poloh bodů A a B dopočítat
vzdálenost x a tedy polohu bodu P apod. Zdůrazněme, že osa x se kryje s hranicí daných
prostředí. Jedním z nejzákladnějších fyzikálních vztahů je vzorec
v = s · t ⇒ t =
s
v
,
kde s značí dráhu, v rychlost a t čas. Označme čas, který potřebuje světlo pro cestu
z bodu A do bodu P jako t1 a čas, který potřebuje světlo pro cestu z bodu P do bodu B
jako t2. Z Obrázku 38 je zřejmé, že platí
t1 =
|AP|
c1
=
√
a2 + x2
c1
,
t2 =
|PB|
c2
=
b2 + (d − x)2
c1
.
Celkový čas je samozřejmě roven součtu t1 + t2 a je závislý na pozici bodu P, tj. na
velikosti x. Naformulujme extremální problém:
t(x) =
√
a2 + x2
c1
+
b2 + (d − x)2
c1
→ min, x ∈ [0, d].
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
340 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Najděme nyní vztah popisující stacionární bod funkce t a dokažme, že jde o globální
minimum. Nejprve ji zderivujeme podle proměnné x.
t (x) =
x
c1
√
a2 + x2
−
d − x
c2 b2 + (d − x)2
.
Všimněme si, že (opět viz Obrázek 38)
sin θ1 =
x
√
a2 + x2
, sin θ2 =
d − x
b2 + (d − x)2
.
Celkem jsme dostali, že pro hledaný stacionární bod platí
t (x) =
sin θ1
c1
−
sin θ2
c2
= 0.
Tedy
sin θ1
c1
=
sin θ2
c2
. (1)
Tento vztah je ve fyzice znám jako Snellův zákon (Willebrord Snellius rozený Willebrord
Snel van Royen, 1580 – 1626, Leiden, Nizozemsko; prvním objevitelem tohoto zákona je
Abu Sa’d al-’Ala’ ibn Sahl, cca 940 – 1000, Bagdád).
Abychom byli zcela korektní, musíme ovšem ještě dokázat, že popsaný stacionární bod
existuje a že jde skutečně o globální minimum. Dosadíme-li do původního vztahu pro
derivaci funkce t body 0 a d, zjistíme, že
t (0) =
0
c1
√
a2 + 02
−
d − 0
c2 b2 + (d − 0)2
= −
d
c2
√
b2 + d2
< 0,
t (d) =
d
c1
√
a2 + d2
−
d − d
c2 b2 + (d − d)2
=
d
c1
√
a2 + d2
> 0.
Protože je t (x) funkce spojitá na intervalu [0, d] a ukázali jsme, že má v krajních bodech
tohoto intervalu opačná znaménka, existuje (dle první Bolzanovy věty) takové x0 ∈ [0, d],
že t (x0) = 0. Tedy stacionární bod existuje. Spočtěme nyní druhou derivaci funkce t
a pokusme se určit, zda je na intervalu [0, d] konvexní, nebo konkávní.
t (x) =
a2
c1(a2 + x2)
3
2
+
b2
c2 [b2 + (d − x)2]
3
2
> 0, ∀x ∈ [0, d],
takže funkce t je na intervalu [0, d] konvexní. Odtud plyne, že stacionární bod popsaný
Snellovým zákonem je jediným lokálním minimem funkce t. Vzhledem k tomu, že druhá
t je na [0, d] kladná, je na celém [0, d] funkce t rostoucí. Navíc již víme, že t(0) < 0
a t(d) > 0. Funkce t tedy z bodu x = 0 klesá do bodu x = x0 a z něj pak roste do
bodu x = d. Bod x = x0 je tedy opravdu globálním minimem funkce t a dráha světelného
paprsku je popsána Snellovým zákonem správně.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 6. Aplikace diferenciálního počtu ve slovních úlohách 341
(294) Chceme přestěhovat žebřík chodbou širokou p metrů, která se pravoúhlou zatáčkou mění
na chodbu širokou q metrů. Jaký nejdelší žebřík lze touto zatáčkou pronést ve vodorovné
poloze? (Jeho šířku zanedbejte.)
Řešení:
Nejprve zadaný problém důkladně graficky znázorníme. Žebřík je na obrázku 39 znázorněn
modře. Pronášíme ho ve vodorovné poloze, ale samozřejmě tak aby jeho stupy
směřovaly dolů, tím bude šířka pronášeného objektu redukována na několik centimetrů.
Ze zadání máme tuto šířku pro jednoduchost zanedbat. Poznamenejme, že je skutečně
efektivní nejprve vyřešit takto zjednodušený případ obecně a úpravy provádět až se znalostí
jeho výsledku buď obecně, nebo už pro konkrétní případ.
Obrázek 39. Průchod žebříku.
Nejprve zdůrazněme souřadnice významných bodů:
A = [a, 0] bod dotyku na vnější zdi vodorovné chodby,
B = [0, l2 − a2] bod dotyku na vnější zdi svislé chodby,
R = [p, q] roh chodby o který se může žebřík zaseknout.
Pro účely výpočtu je tedy užitečné představovat si, že žebřík neseme tak, že jeho konce
drhnou po vnějších zdech zatáčky. Naším úkolem je určit takovou délku žebříku l, aby se
žebřík rohu R jen dotkl, ale nezasekl se.
Nejprve určíme rovnici přímky, na které leží žebřík. Její parametrický popis je (pomocí
bodů A a B):
x = a + at,
y = 0 − l2 − a2t, t ∈ R.
Vyloučením parametru t získáme obecnou rovnici
x
a
+
y
√
l2 − a2
− 1 = 0,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
342 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
přičemž dotyk nastane pro [x, y] = [p, q]. Tj.
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 = 0.
Je zřejmé, že platí
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 > 0 žebřík projde bez dotyku,
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 < 0 žebřík se zasekne.
Označme levou stranu předchozích vztahů jako funkci f proměnné a. Žebřík projde zatáčkou
jestliže bude tato funkce nezáporná, přitom proměnnou a má smysl uvažovat pouze
v intervalu (0, l). Tím jsme připraveni formulovat extremální úlohu:
f(a) =
p
a
+
q
√
l2 − a2
− 1 → min, a ∈ (0, l).
Najděme stacionární body funkce f.
f (a) = −
p
a2
+
aq
(l2 − a2)
3
2
= 0,
a3
q − p(l2
− a2
)
3
2 = 0,
a2
q
2
3 = p
2
3 (l2
− a2
),
a = ±
p
1
3
l
(p
2
3 + q
2
3 )
1
2
.
Protože jde o délku, zajímá nás pouze kladný výsledek (záporná hodnota navíc nenáleží
do intervalu (0, l)). Označme nalezený stacionární bod
a0 =
p
1
3
l
(p
2
3 + q
2
3 )
1
2
.
Nyní určeme pomocí druhé derivace zakřivení funkce f na intervalu (0, l).
f (a) =
2p
a3
+
q(l2
− a2
)
3
2 + 3aq2
(l2
− a2
)
1
2
(l2 − a2)3
> 0, ∀a ∈ (0, l).
Funkce f je tedy konvexní na celém intervalu (0, l), a bod a0 je tedy bodem minima.
Nyní zbývá jen určit maximální možnou délku žebříku. Dosaďme bod a0 do funkce f.
f(a0) =
(p
2
3 + q
2
3 )
3
2
l
− 1.
K dotyku dojde, tedy žebřík bude nejdelší možný, jestliže f(a0) = 0. Odtud
l = (p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
Za podmínek a hodnot ze zadání je největší možná délka žebříku, který projde zatáčkou,
(p
2
3 + q
2
3 )
3
2 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2