494 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
II. 5. Aplikace integrálního poˇctu
Geometrické aplikace
• Určitý integrál
S =
b
a
|f(x)| dx
lze geometricky interpretovat jako obsah plochy vymezené grafem funkce f v intervalu
[a, b].
• Obsah obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou o parametrických souřadnicích x = ϕ(t)
a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β]:
S = −
β
α
ψ(t) ϕ (t) dt =
β
α
ϕ(t) ψ (t) dt =
1
2
β
α
[ϕ(t) ψ (t) − ψ(t) ϕ (t)] dt.
Křivka je orientována kladně, tzn., že plocha leží nalevo od křivky.
• Obsah plochy vymezené grafy funkcí f a g v intervalu [a, b] vypočteme pomocí určitého
integrálu
S =
b
a
|f(x) − g(x)| dx.
• Délka grafu funkce f pro x ∈ [a, b]:
l =
b
a
1 + [f (x)]2 dx.
• Délka křivky zadané parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β]:
l =
β
α
[ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu spojité nezáporné funkce f, x ∈
[a, b] kolem osy x:
Vx = π
b
a
f2
(x) dx.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu spojité nezáporné funkce f, x ∈
[a, b], a > 0, kolem osy y
Vy = 2π
b
a
xf(x) dx.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky
x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], ϕ(t) ≥ 0, kolem osy x:
Vx = π
β
α
ψ2
(t) · |ϕ (t)| dt.
• Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou parametricky
x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], ϕ(t) ≥ 0, kolem osy y:
Vy = 2π
β
α
ψ(t) ϕ(t) |ϕ (t)| dt.
• Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu spojitě diferencovatelné
nezáporné funkce f, x ∈ [a, b] kolem osy x:
Qx = 2π
b
a
f(x) 1 + [f (x)]2 dx.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 495
• Obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací plochy vymezené křivkou zadanou
parametricky x = ϕ(t) a y = ψ(t) pro t ∈ [α, β], ϕ(t) ≥ 0, kolem osy x:
Qx = 2π
β
α
ψ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt.
Fyzikální aplikace
Funkce s(t) udává délkovou hustotu v bodě [ϕ(t), ψ(t)] pro křivku zadanou parametricky
x = ϕ(t) a y = ψ(t), t ∈ [α, β]. Potom M vyjadřuje hmotnost křivky a
Sy
M
,
Sx
M
jsou souřadnice jejího těžiště, kde Sx a Sy jsou tzv. statické momenty křivky vzhledem k ose x,
resp. y. Přičemž platí
M =
β
α
s(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt,
Sx =
β
α
s(t)ψ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt,
Sy =
β
α
s(t)ϕ(t) [ϕ (t)]2 + [ψ (t)]2 dt.
Nechť nyní funkce s(x) udává délkovou hustotu v bodě [x, f(x)] pro křivku grafem funkce f(x),
x ∈ [a, b]. Potom platí
M =
b
a
s(x) 1 + [f (x)]2 dx,
Sx =
b
a
s(x)f(x) 1 + [f (x)]2 dx,
Sy =
b
a
xs(x) 1 + [f (x)]2 dx.
Funkce S(t) udává hustotu obrazce vymezeného křivkou zadanou parametricky x = ϕ(t)
a y = ψ(t), t ∈ [α, β]. Potom M vyjadřuje jeho hmotnost a
Sy
M
,
Sx
M
jsou souřadnice jeho těžiště. Přičemž platí
M =
β
α
S(t)ψ(t)ϕ (t) dt,
Sx =
1
2
β
α
S(t)ψ2
(t)ϕ (t) dt,
Sy =
β
α
S(t)ψ(t)ϕ(t)ϕ (t) dt.
Nechť nyní funkce S(t) udává hustotu obrazce vymezeného křivkou určenou grafem funkce
f(x), x ∈ [a, b], a osou x. Potom M vyjadřuje jeho hmotnost a
Sy
M
,
Sx
M
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
496 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
jsou souřadnice jeho těžiště. Přičemž platí
M =
b
a
S(x)f(x) dx,
Sx =
1
2
b
a
S(x)f2
(x) dx,
Sy =
b
a
xS(x)f(x) dx.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 497
(436) Určete obsah plochy vymezené grafy funkcí f(x) = x2
+ x − 3 a g(x) = −x2
− 2x + 2.
Řešení:
Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj. vyřešit rovnici f(x) = g(x), tzn. že
2x2
+ 3x − 5 = 0 ⇒ x1 = −
5
2
a x2 = 1.
.
Navíc, v intervalu [−5
2
, 1] platí g(x) > f(x), proto hledaný obsah vypočteme s pomocí
následujícího integrálu
S =
1
− 5
2
(−x2
− 2x + 2) − (x2
+ x − 3) dx =
1
− 5
2
−2x2
− 3x + 5 dx =
= −
2x3
3
−
3x2
2
+ 5x
1
− 5
2
= −
2
3
−
3
2
+ 5 −
250
54
−
75
8
−
25
2
=
343
24
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
498 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(437) Určete obsah plochy ohraničené křivkami x2
+ y2
= 2 a y = x2
.
Řešení:
Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj.
y + y2
= 2 ⇒ y1 = −2 a y2 = 1.
.
Vzhledem k podmínce y = x2
je pro nás zajímavá pouze hodnota y2. Potom x1 = −1
a x2 = 1. Navíc, na intervalu [−1, 1] platí
√
2 − x2 > x2
, proto hledaný obsah dostaneme
pomocí integrálu
S =
0
1 2 − x2 − x2
dx = 2
x
2
2 − x2 + arcsin
x
√
2
−
x3
3
1
0
=
= 2
1
2
+ arcsin
1
√
2
−
1
3
− 0 =
1
3
+
π
4
.
Při výpočtu jsme využili následující integrál
2 − x2 dx

x√
2
= sin t
dx√
2
= cos t dt

= 2 − 2 sin2
t
√
2 cos t dt =
=
√
2 1 − sin2
t
√
2 cos t dt = 2 cos2
t dt
cos 2t = 2 cos2
t − 1
 =
= 2
1
2
cos 2t +
1
2
dt = (cos 2t + 1) dt =
1
2
sin 2t + t + C =
= sin t cos t + arcsin
x
√
2
+ C =
x
√
2
1 −
x2
2
+ arcsin
x
√
2
+ C =
=
x
2
2 − x2 + arcsin
x
√
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 499
(438) Určete obsah oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π].
Řešení:
.
Dosazením do vzorce pro obsah plochy mezi parametricky zadanými křivkami obdržíme
S =
2π
0
(1 − cos t) (1 − cos t) dt =
2π
0
1 − 2 cos t + cos2
t dt
cos2
t = 1
2
+ 1
2
cos 2t
 =
=
2π
0
3
2
− 2 cos t +
1
2
cos 2t dt =
3
2
t − 2 sin t +
1
4
sin 2t
2π
0
= 3π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
500 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(439) Určete, v jakém poměru dělí křivka P : y2
= 2x plochu kruhu K : x2
+ y2
= 8.
Řešení:
Zadání je znázorněno na následujícím obrázku.
.
Z obrázku je zřejmé, že ve stejném poměru, jako dělí parabola kuh, dělí horní větev paraboly
y =
√
2x horní půlkruh y =
√
8 − x2. Pro výpočet budeme potřebovat souřadnice
průsečíku horní větve paraboly a horního půlkruhu. Poznamenejme, že nás zajímá pouze
průsečík v I. kvadrantu, což nám umožní volnější úpravy.
y = y,
√
2x = 8 − x2,
2x = 8 − x2
,
x2
+ 2x − 8 = 0,
x = 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 501
Průsečík má tedy souřadnice [2, 2]. Nyní spočítáme obsah červeně vyznačené plochy.
S =
2
0
√
2x dx +
√
8
2
8 − x2 dx =
2
√
2
3
x
3
2
2
0
+
√
8
2
8 − x2 dx =
=
8
3
+
√
8
2
8 − x2 dx

x =
√
8 sin t
dx =
√
8 cos t dt√
8 π
2
=
2 π
4

=
8
3
+
π
2
π
4
8 − 8 sin2
t
√
8 cos t dt =
=
8
3
+
π
2
π
4
8 cos2
t dt =
8
3
+ 8
π
2
π
4
1 + cos 2t
2
dt =
=
8
3
+ 4
π
2
π
4
1 + cos 2t dt =
8
3
+ 4 t +
sin 2t
2
π
2
π
4
=
=
8
3
+ 4
π
2
+ 0 −
π
4
−
1
2
=
2
3
+ π.
Z rovnice kruhu vidíme, že jde o kruh o poloměru
√
8. Protože červená plocha má obsah
2
3
+ π, zbytek horního půlkruhu má obsah 4π − 2
3
+ π = 3π − 2
3
. Hledaný poměr je tedy
3π −
2
3
: π +
2
3
,
neboli
(9π − 2) : (3π + 2).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
502 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(440) Odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosami a a b.
Řešení:
Obecná rovnice zadané elipsy je tvaru
E :
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
Tato rovnice zadává implicitně funkci horní a dolní půlelipsy. Příklad vyřešíme tak, že si
z rovnice elipsy explicitně vyjádříme funkci horní půlelipsy a pomocí ní pak spočítáme
obsah čtvrtiny elipsy, která se nachází v I. kvadrantu.
.
Horní půlelipsa je dána funkcí
f : y = b 1 −
x2
a2
.
Interval, na kterém tato funkce zadává čtvrtelipsu v I. kvadrantu je x ∈ [0, a]. Můžeme
tedy počítat
S
4
=
a
0
b 1 −
x2
a2
dx = b
a
0
1 −
x2
a2
dx

x
a
= sin t
dx = a cos t dt
a π
2
0 0

=
= ab
π
2
0
1 − sin2
t cos t dt = ab
π
2
0
cos2
t dt =
ab
2
π
2
0
1 + cos 2t dt =
=
ab
2
t +
sin 2t
2
π
2
0
=
abπ
4
.
Vzorec pro obsah elipsy s poloosami a a b je tedy
S = πab.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 503
(441) Určete délku grafu funkce f(x) = ln x pro x ∈ [
√
3,
√
15].
Řešení:
Dosazením do vzorce dostaneme
l =
√
15
√
3
1 +
1
x2
dx =
√
15
√
3
1 + x2
x2
dx =
√
15
√
3
√
1 + x2
x
dx

t2
= x2
+ 1
2t dt = 2x dx√
3 2√
15 4

=
=
4
2
√
t2
t2 − 1
t dt =
4
2
t2
t2 − 1
dt =
4
2
t2
− 1 + 1
t2 − 1
dt =
4
2
1 +
1
t2 − 1
dt =
=
4
2
1 +
1
2
t − 1
−
1
2
t + 1
dt = t +
1
2
ln |t − 1| −
1
2
ln |t + 1|
4
2
=
= 4 +
1
2
ln 3 −
1
2
ln 5 − 2 −
1
2
ln 1 +
1
2
ln 3 = 2 + ln 3 −
1
2
ln 5.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
504 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(442) Určete délku oblouku cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π].
Řešení:
Aplikací odpovídajícího vzorce obdržíme
l =
2π
0
(sin t)2
+ (1 − cos t)2
dt =
2π
0
√
2 − 2 cos t dt
1 − cos t = 2 sin2 t
2
 =
= 2
2π
0
sin
t
2
dt = −4 cos
t
2
2π
0
= 8.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 505
(443) Určete délku oblouku řetězovky f(x) = a cosh x
a
, I = [−1, 1].
Řešení:
Připomeňme, že platí
sinh x =
ex
− e−x
2
, cosh2
x − sinh2
x = 1.
l =
1
−1
1 + sinh2 x
a
dx =
1
−1
cosh2 x
a
dx
cosh je všude kladný
 =
=
1
−1
cosh x
a
dx = a sinh x
a
1
−1
= a sinh 1
a
− sinh −1
a
=
= a(e
1
a − e− 1
a ).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
506 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(444) Vypočtěte délku oblouku křivky f(x) = ln ex +1
ex −1
pro x ∈ [1, 2].
Řešení:
Nejdříve vypočteme a upravíme výrazy potřebné pro výpočet integrálu, tj.
f (x) =
−2 ex
(ex +1) (ex −1)
⇒ 1 + [f (x)]2
=
e4x +2 e2x +1
(ex +1)2
(ex −1)2
=
1 + e2x
e2x −1
.
Proto můžeme spočítat
l =
1
2
1 + e2x
e2x −1
dt =
1
2
1
e2x −1
+
e2x
e2x −1
dx = −x +
1
2
ln e2x
−1 +
1
2
ln e2x
−1
2
1
=
= −2 + ln e4
−1 + 1 − ln e2
−1 = −1 + ln
e2
−1 e2
+1
e2 −1
= ln e2
+1 − 1 = ln
e2
+1
e
,
přičemž jsem využili následující dva integrály
dx
e2x −1

t = 2x
dt = 2 dx

=
1
2
dt
et −1
=
1
2
et
e2t − et
dt

et
= u
et
dt = du

=
=
1
2
du
u2 − u
=
1
2
−
1
u
+
1
1 + u
du = −
1
2
ln |u| +
1
2
ln |u − 1| + C =
= −
1
2
t +
1
2
ln et
−1 + C = −x +
1
2
ln e2x
−1 + C;
e2x
e2x −1
dx

t = e2x
dt = 2 e2x
dx

=
1
2
dt
t − 1
=
1
2
ln |t − 1| + C =
1
2
ln e2x
−1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 507
(445) Určete objem rotačního tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 1 + 1
2
sin 3x,
x ∈ [π
3
, 13π
6
]e, kolem osy x.
Řešení:
Vx = π
13π
6
π
3
1 +
1
2
sin 3x
2
dx =
= π
13π
6
π
3
1 + sin 3x +
1
4
sin2
3x dx
sin2
3x = 1
2
(1 − cos 6x)
 =
= π
13π
6
π
3
1 + sin 3x +
1
8
(1 − cos 6x) dx =
= π x −
1
3
cos 3x +
1
8
x −
1
48
sin 6x
13π
6
π
3
=
33π2
16
−
π
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
508 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(446) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 1
1+x2 , x ∈ [−1, 1],
kolem osy x.
Řešení:
.
Poněvadž funkce f je sudá, můžeme spočítat poloviční objem na intervalu [0, 1]. Proto
Vx = 2π
1
0
1
1 + x2
2
dx = 2π
1
2
arctg x +
1
2
x
1 + x2
1
0
= 2π
π
8
+
1
4
=
π
4
(π + 2),
neboť
1
1 + x2
2
dx = K2(0, 1) =
1
2
K1(0, 1) +
1
2
x
1 + x2
=
1
2
arctg x +
1
2
x
1 + x2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 509
(447) Určete objem tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykloidy x = t − sin t, y =
1 − cos t, t ∈ [0, 2π], kolem osy x.
Řešení:
V = π
2π
0
(1 − cos t)2
(1 − cos t) dt = π
2π
0
(1 − cos t)3
dt =
= π
2π
0
1 − 3 cos t + 3 cos2
t − cos3
t
3
dt =
= π t − 3 sin t +
3
2
t +
3
4
sin 2t − sin t +
sin3
t
3
2π
0
= π (2π + 3π) = 5π2
,
neboť platí
cos2
t dt =
1 + cos 2t
2
dt =
t
2
+
sin 2t
4
+ C;
cos3
t dt = 1 − sin2
t cos t dt

u = sin t
du = cos t dt

= 1 − u2
du =
= u −
u3
3
+ C = sin t −
sin3
t
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
510 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(448) Najděte vzorec pro výpočet objemu komolého kužele s poloměrem podstav r1, r2 a výškou
v. Jaký je objem „nekomolého“ kužele?
Řešení:
Komolý kužel lze vytvořit tak, že necháme rotovat lichoběžník s vrcholy
[0, 0], [v, 0], [v, r2], [0, r1]
kolem osy x.
.
K výpočtu ovšem potřebujeme funkční předpis přímky dané body [0, r1] a [v, r2]. Ten
najdeme ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Dosazením bodu [0, r1] do rovnice přímky
ihned dostaneme, že q = r1. Pomocí této znalosti a dosazením bodu [v, r2] do rovnice
přímky dostaneme směrnici k = r2−r1
v
. Úsečka, jejíž rotací vznikne plášť studovaného
komolého kužele je tedy dána předpisem
y =
r2 − r1
v
x + r1, x ∈ [0, v].
Nyní použijeme známý vzorec
Vx = π
v
0
r2 − r1
v
x + r1
2
dt.
Umocním závorky a jednoduchou integrací polynomu obdržíme výsledek
V =
1
3
πv(r2
1 + r1r2 + r2
2).
Obyčejný kužel je speciální případ kužele komolého s nulovým poloměrem jedné podstavy.
Tedy položíme-li např. r1 = 0, r2 = r, získáme vzorec pro objem „obyčejného“ kužele ve
tvaru
VK =
1
3
πr2
v.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 511
(449) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 2 |sin x|, x ∈
[0, 2π], kolem osy x.
Řešení:
.
Oba oblouky cykloidy jsou stejné, můžeme se omezit pouze na interval [0, π], proto
Qx = 2 · 2π
2π
0
2 sin x 1 + 4 cos2 x dx

2 cos x = t
−2 sin x dx = dt
0 2
π −2

=
= −4π 2−2
1 + t2 dt = 8
2
0
1 + t2 dt = 8π
1
2
ln t + 1 + t2 +
t
2
1 + t2
2
0
=
= 8
1
2
ln 2 +
√
5 +
√
5 = 4π ln(2 +
√
5) + 8π
√
5.
Při výpočtu jsme využili následující výpočet primitivní funkce
1 + t2 dt

t = sinh u
dt = cosh u du

= cosh2
u du
cosh 2u = 2 cosh2
u − 1
 =
=
1
2
cosh 2u + 1
2
du =
1
2
sinh 2u
2
+ u + C =
=
sinh u cosh u
2
+
u
2
+ C
cosh2
u − sinh2
= 1 ⇒ cosh u = sinh2
u + 1
 =
=
t
√
t2 + 1
2
+
arcsinh u
2
+ C.
Navíc přímým výpočtem ověříme, že
arcsinh u =
1
2
ln t + t2 + 1 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
512 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
Položme sinh x = ex − e−x
2
= y, potom
ln y + y2 + 1 = ln
ex
− e−x
2
+
e2x −2 + e−2x
4
+ 1 =
= ln
ex
− e−x
2
+
e2x + e−2x +2
4
=
= ln
ex
− e−x
2
+
(ex + e−x)2
4
=
= ln
ex
− e−x
2
+
ex
+ e−x
2
= ln |ex
| = x = arcsinh y.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 513
(450) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací podgrafu funkce f(x) = 4+x, x ∈ [−4, 2],
kolem osy x.
Řešení:
Qx = 2π
2
−4
(4 + x)
√
1 + 1 dx = 2
√
2π
2
−4
(4 + x) dx =
= 2
√
2π 4x +
x2
2
2
−4
= 2
√
2π 8 +
4
2
16 −
16
2
= 36
√
2π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
514 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(451) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací kardioidy (srdcovky) x = 2 cos t−cos 2t,
y = 2 sin t − sin 2t, t ∈ [0, π], kolem osy x.
Řešení:
Q = 2π
π
0
(2 sin t − sin 2t) (−2 sin t + 2 sin 2t)2
+ (2 cos t − 2 cos 2t)2
dt =
= 2π
π
0
(2 sin t − sin 2t)
√
8
√
− sin t sin 2t − cos t cos 2t dt

sin 2t = 2 sin t cos t
cos 2t = cos2
t − sin2
t

=
= 2π
π
0
(2 sin t − sin 2t)
√
8
√
1 − cos t dt = 2
√
8π
π
0
2 sin t (1 − cos t)3/2
dt =
= 4
√
8π
π
0
sin t (1 − cos t)3/2
dt

u = 1 − cos t
du = sin t dt
0 0
π 2

= 4
√
8π
2
0
2u3/2
du =
= 4
√
8π
u5/2
5
2
2
0
= 4
√
8π
25/2
5
2
= 4
√
8π
2
5
4
√
2 =
128
5
π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 515
(452) Určete obsah pláště tělesa, které vznikne rotací prvního oblouku cykoidy x = t − sin t,
y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π], kolem osy x.
Řešení:
Qx = 2π
2π
0
(1 − cos t) (1 − cos t)2 + sin2
t dt =
= 2π
2π
0
(1 − cos t)
√
2
√
1 − cos t dt = 2
√
2π
2π
0
(1 − cos t)3/2
dt
1 − cos t = sin2 t
2
 =
= 2
√
2π
2π
0
2
√
2 sin3 t
2
dt = 8π
2π
0
1 − cos2 t
2
sin
t
2
dt

cos t
2
= u
1
2
sin t
2
dt = du
0 1
2π −1

=
= −8π2
−1
1
1 − u2
du = 16π u −
u3
3
1
−1
= 16π 1 −
1
3
+ 1 −
1
3
=
64
3
π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
516 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(453) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní půlkružnice x2
+ y2
= r2
, y ≥ 0.
Řešení:
Podle příslušných vzorců obdržíme
M = σ
π
0
(−r sin t)2
+ (r cos t)2
dt = σr
π
0
dt = πσr,
Sx = σ
π
0
r sin t (−r sin t)2
+ (r cos t)2
dt = σr2
π
0
sin t dt = σr2
[− cos t]π
0 = 2σr2
,
Sy = σ
π
0
r cos t (−r sin t)2
+ (r cos t)2
dt = σr2
π
0
cos t dt = σr2
[sin t]π
0 = 0.
Proto souřadnice těžiště jsou
T =
0
πσr
,
2σr2
πσr
= 0,
2r
π
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 517
(454) Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště křivky x = a cos3
t, y = a sin3
t, a > 0, x, y ≥ 0,
kde délková hustota v bodě s(x) v bodě [x(t), y(t)] je přímo úměrná x-ové souřadnici bodu.
Řešení:
Podle příslušných vzorců obdržíme
M =
π
2
0
ka cos3
t 3a cos2 t (− sin t)2
+ 3a sin2
t cos t
2
dt =
=
π
2
0
ka cos3
t 9a2 cos4 t sin2
t + 9a2 sin4
t cos2 t dt =
=
π
2
0
ka cos3
t cos2 t sin2
t cos2 t + sin2
t dt =
= 3ka2
π
2
0
cos4
t sin t dt

cos t = u
− sin t dt = du
π
2
0
0 1

= −3ka2
0
1
u4
du =
= −3ka2 u5
5
0
1
= −3ka2
0 −
1
5
=
3ka2
5
,
Sx =
π
2
0
3ka3
cos4
t sin4
t dt = 3ka3
−
1
128
sin 4t +
3
128
t +
1
1024
sin 8t
π
2
0
=
= 3ka3 3
128
π
2
= 3ka3 3π
256
,
kde jsme využili následující primitivní funkce
cos2
t dt =
t
2
+
sin 2t
4
+ C,
cos2
2t dt

2t = u
3 dt = du

1
2
cos2
u du =
1
2
u
2
+
sin 2u
4
+ C =
t
2
+
sin 4t
8
+ C,
sin4
t cos4
t dt
cos 2t = 2 cos2
t − 1
 =
1
16
(1 − cos 2t)2
(1 cos 2t)2
dt =
=
1
16
1 − 2 cos2
2t + cos4
2t dt

2t = u
3 dt = du

=
1
16
t − t −
sin 4t
4
+
1
2
cos4
u du =
= −
1
64
sin 4t +
1
32
1
4
(1 + cos 2u)2
du = −
1
64
sin 4t +
1
128
1 + 2 cos 2u + cos2
2u du =
= −
1
64
sin 4t +
1
128
u +
1
64
1
2
sin 2u +
1
128
u
2
+
sin 4u
8
+ C =
=
3
128
t −
1
128
sin 4t +
1
1028
sin 8t + C.
Dále platí
Sy =
π
2
0
3ka3
cos7
t sin t dt

u = cos t
du = − sin t dt
0 1
π
2
0

= −3ka3
0
1
u7
du = −3ka3 u8
8
0
1
=
3ka3
8
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
518 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
Proto těžiště má souřadnice
T =
3ka3
8
5
3ka2
, 3ka3 3π
256
5
3ka2
=
5a
8
,
15πa
256
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 519
(455) Vypočtěte souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy O = [0, 0], A = [0, 1] a B = [2, 0].
Řešení:
.
M = σ
2
0
1 −
x
2
dx = σ x −
x2
4
= σ (2 − 1) = σ,
Sx =
1
2
σ
2
0
1 −
x
2
2
dx =
1
2
σ
2
0
1 − x +
x2
4
dx =
=
1
2
σ x −
x2
2
+
x3
12
2
0
=
1
2
σ 2 − 2 +
8
12
=
σ
3
,
Sy = σ
2
0
x 1 −
x
2
dx = σ
2
0
x −
x2
2
dx = σ
x2
2
−
x3
6
2
0
= σ 2 −
8
6
=
2
3
σ.
Souřadnice těžiště tedy jsou
T =
2
3
,
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
520 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(456) Vypočtěte hmotnost a souřadnice těžiště rovinné homogenní plochy omezené křivkou
y = 2 sin 3x, x = 0, x = π
3
a osou x.
Řešení:
M = σ
π
3
0
2 sin 3x dx =
2
3
σ [− cos 3x]
π
3
0 =
4
3
σ,
Sx =
1
2
σ
π
3
0
4 sin2
3x dx = 2σ
x
2
−
sin 6x
12
=
σπ
3
,
Sy = σ
π
3
0
x2 sin 3x dx =
2
9
σ [sin 3x − 3x cos 3x]
π
3
0 =
2σπ
9
,
kde jsem využili
sin2
3x dx

t = 3x
dt = 3 dx

=
1
3
sin2
t dt =
1
3
1
2
−
1
2
cos 2t dt =
=
t
6
−
sin 2t
12
+ C =
x
2
−
sin 6x
12
+ C,
x sin 3x dx

u = x u = 1
v = −1
3
cos 3x v = sin 3x

= −
1
3
x cos 3x +
1
3
cos 3x dx =
= −
1
3
x cos 3x +
1
9
sin 3x + C =
1
9
(sin 3x − 3x cos 3x) + C.
Proto těžiště souřadnice jsou dány
T =
2σπ
9
3
4σ
,
σπ
3
3
4σ
=
π
6
,
π
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 5. Aplikace integrálního počtu 521
(457) Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného křivkou danou předpisem
y = 6x − x2
a osou x.
Řešení:
M = σ
6
0
6x − x2
dx = σ 3x2
−
x3
3
6
0
= σ (108 − 2 · 36) = 36σ,
Sx =
1
2
σ
6
0
6x − x2 2
dx =
1
2
σ
6
0
36x2
− 12x3
+ x4
dx =
1
2
σ
36x3
3
−
12x4
4
+
x5
5
6
0
=
648
5
σ,
Sy = σ
6
0
x 6x − x2
dx = σ
6
0
6x2
− x3
dx = σ
6x3
3
−
x4
4
6
0
= 108σ.
Těžiště má tedy souřadnice
T = 3,
18
5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
522 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(458) Vypočtěte souřadnice těžiště rovinného obrazce ohraničeného cykloidou x = 3(t − sin t),
y = 3(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π a osou x.
Řešení:
M = σ
2π
0
3 (1 − cos t) 3 (1 − cos t) dt = 9σ
2π
0
(1 − cos t)2
dt
Př. (438)
= 9σ4π = 27σπ,
Sx =
1
2
σ
2π
0
9 (1 − cos t)2
3 (1 − cos t) dt =
27
2
σ
2π
0
(1 − cos t)3
dt =
=
27
2
σ
2π
0
1 − 3 cos t + 3 cos2
t − cos3
t dt
Př. (447)
=
Př. (447)
=
27
2
σ t − 3 sin t +
3
2
(cos t · sin t + t) − sin t −
sin3
t
3
2π
0
=
27
2
σ (5π) =
135
2
πσ,
Sy = σ
2π
0
3(t − sin t)3 (1 − cos t) 3 (1 − cos t) dt =
= 27σ
2π
0
1 − 2 cos t + cos2
t (t − sin t) dt =
= 27σ
2π
0
t − sin t − 2t cos t + 2 cos t sin t + t cos2
t − cos2
t sin t dt =
= 27σ
t2
2
+ cos t − 2t sin t − 2 cos t − cos2
t +
t
2
(cos t · sin t + t) −
−
t
2
−
cos2
t
2
+
t2
2
−
cos3
t
3
2π
0
= 27σ 2π2
+ 2π2
+
1
4
− π2
−
1
4
= 27σ3π2
,
k čemuž jsme v posledním integrálu využili
t cos2
t dt

u = t u = 1
v
Př. (447)
= 1
2
(cos t · sin t + t) v = cos2
t

=
=
1
2
(cos t · sin t + t) −
1
2
(cos t · sin t + t) dt =
=
1
2
(cos t · sin t + t) −
1
2
−
cos2
t
2
−
t2
2
+ C,
t cos t dt

u = t u = 1
v = sin t v = cos t

= t sin t − sin t dt = t sin t + cos t + C,
cos t sin t dt

u = cos t
du = − sin t dt

= − u du = −
u2
2
+ C = −
cos2
t
2
+ C,
cos2
t sin t dt

u = cos t
du = − sin tdt

= − u2
du = −
u3
3
+ C = −
cos3
t
3
.
Proto souřadnice těžiště jsou dány
T = T =
27σ3π2
27σπ
,
135πσ
2 · 27σπ
= 3π,
5
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2