I. 3. Derivace funkce 165
I. 3. Derivace funkce
Definice 9. Buď f(x) funkce a x0 ∈ D(f). Existuje-li
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
= lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
nazýváme tuto limitu derivací funkce f(x) v bodě x0 a značíme f (x0). Je-li tato limita vlastní,
hovoříme o vlastní derivaci. Je-li tato limita nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci.
Základní vzorce pro počítání s derivacemi (f a g jsou funkce, k ∈ R):
(f ± g) = f ± g , (k · f) = k · f , (f · g) = f g + fg ,
f
g
=
f g − fg
g2
,
(f ◦ g) (x) = [f(g(x))] = f (g(x)) · g (x).
Derivace elementárních funkcí (k, α ∈ R, α = 0, a > 0, b > 0, b = 1):
(k) = 0, (cos x) = − sin x,
(xα
) = αxα−1
, (tg x) =
1
cos2 x
,
(ex
) = ex
, (cotg x) = −
1
sin2
x
,
(ax
) = ax
· ln a, (arcsin x) =
1
√
1 − x2
,
(ln x) =
1
x
, (arccos x) = −
1
√
1 − x2
,
(logb x) =
1
x · ln b
, (arctg x) =
1
1 + x2
,
(sin x) = cos x, (arccotg x) = −
1
1 + x2
.
Věta 10. Nechť funkce f : x = f(y) je spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť y0 je
vnitřní bod intervalu I a nechť má f v y0 derivaci f (y0). Pak inverzní funkce f−1
: y = f−1
(x)
má v bodě x0 = f(y0) derivaci a platí
f−1
(x0) =



1
f (y0)
= 1
f (f−1(x0))
, je-li f (y0) = 0,
+∞, je-li f (y0) = 0 a funkce f je na I rostoucí,
−∞, je-li f (y0) = 0 a funkce f je na I klesající.
Rovnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě dotyku (x0, f(x0)):
t : y = f(x0) + f (x0) · (x − x0).
Pokud f (x0) = ±∞ a pokud je funkce f v tomto bodě spojitá, pak je tečna v tomto bodě
rovnoběžná s osou y a její rovnice tedy je
t : x = x0.
Rovnice normály ke grafu funkce y = f(x) v bodě dotyku (x0, f(x0)):
n : y = f(x0) −
1
f (x0)
(x − x0), je-li f (x0) = 0,
n : x = x0, je-li f (x0) = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
166 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Pokud f (x0) = ±∞ a pokud funkce f v tomto bodě spojitá, pak je normála v tomto bodě
rovnoběžná s osou x a její rovnice tedy je
n : y = f(x0).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 167
(149) Z definice vypočtěte hodnotu f (0), kde f(x) = sin x.
Řešení:
Z definice platí
f (0) = (sin x)x=0 = lim
x→0
sin x − sin 0
x − 0
= lim
x→0
sin x
x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
168 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(150) Z definice vypočtěte hodnotu f (0), kde f(x) = |sin x|.
Řešení:
lim
x→0
|sin x| − |sin 0|
x − 0
= lim
x→0
|sin x|
x
=
limx→0+
sin x
x
= 1,
limx→0−
− sin x
x
= −1,
⇒ derivace neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 169
(151) Z definice vypočtěte hodnotu f (
√
5), kde f(x) =
√
x2 − 1.
Řešení:
lim
x→
√
5
√
x2 − 1 − 2
x −
√
5
= lim
x→
√
5
x2
− 1 − 4
x −
√
5
√
x2 − 1 + 2
=
= lim
x→
√
5
x −
√
5 x +
√
5
x −
√
5
√
x2 − 1 + 2
= lim
x→
√
5
x +
√
5
√
x2 − 1 + 2
=
√
5
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
170 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(152) Z definice určete derivaci funkce sinh x = ex − e−x
2
.
Řešení:
(sinh x) = lim
h→0
sinh(x + h) − sinh x
h
= lim
h→0
ex+h − e−(x+h)
2
− ex − e−x
2
h
=
= lim
h→0
ex+h
− ex
− e−x−h
+ e−x
2h
=
1
2
lim
h→0
ex
eh
− ex
h
+
e−x
e−h
− e−x
−h
=
=
1
2
lim
h→0
ex eh
−1
h
+ e−x e−h
−1
−h
=
1
2
ex
lim
h→0
eh
−1
h
+ e−x
lim
h→0
e−h
−1
−h
=
=
1
2
(ex
·1 + e−x
·1) =
ex
+ e−x
2
=
= cosh x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 171
(153) Zderivujte
f(x) ≡ 1.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
(1) = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
172 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(154) Zderivujte
f(x) = 6x.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
(6x) = 6.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 173
(155) Zderivujte
f(x) = x2
.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
x2
= 2x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
174 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(156) Zderivujte
f(x) =
√
x.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
√
x = x
1
2 =
1
2
x− 1
2 =
1
2
√
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 175
(157) Zderivujte
f(x) =
1
x
.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
1
x
= x−1
= −x−2
= −
1
x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
176 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(158) Zderivujte
f(x) =
4
√
x7.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
4
√
x7 = x
7
4 =
7
4
x
3
4 =
7
4
4
√
x3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 177
(159) Zderivujte
f(x) = x3
+ 2x − sin x + 2.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
x3
+ 2x − sin x + 2 = 3x2
+ 2 − cos x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
178 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(160) Zderivujte
f(x) = −2 cos x + 4 ex
+
1
3
x7
.
Řešení:
Přímo ze základních vzorců obdržíme
−2 cos x + 4 ex
+
1
3
x7
= 2 sin x + 4 ex
+
7
3
x6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 179
(161) Zderivujte
f(x) = x ex
.
Řešení:
Pomocí vzorce pro derivaci součinu funkcí obdržíme
(x ex
) = 1 · ex
+x · ex
= (1 + x) ex
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
180 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(162) Zderivujte
f(x) =
3x − 2
x2 + 1
.
Řešení:
Derivováním podílu odostaneme
3x − 2
x2 + 1
=
3 · (x2
+ 1) − (3x − 2) · 2x
(x2 + 1)2
=
−3x2
+ 4x + 3
(x2 + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 181
(163) Zderivujte
f(x) =
x ln x
arcsin x + arctg x
.
Řešení:
Kombinací derivování podílu a součinu získáme přímo
x ln x
arcsin x + arctg x
=
(ln x + 1)(arcsin x + arctg x) − x ln x 1√
1−x2
+ 1
1+x2
(arcsin x + arctg x)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
182 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(164) Zderivujte
f(x) = x7
+ 4
3
√
x2 + arctg(3x + 1) + sin x2
+ 2x
+ arcsin 7x + ln(1 + x2
) + x2
e1−10x
.
Řešení:
Aplikováním základních vzorců, derivováním složené funkce a součinu dostaneme
x7
+ 4
3
√
x2 + arctg(3x + 1) + sin x2
+ 2x
+ arcsin 7x + ln(1 + x2
) + x2
e1−10x
=
= 7x6
+ 4 x
2
3 +
1
(3x + 1)2 + 1
· (3x + 1) + cos x2
· x2
+ 2x
ln 2+
+
1
1 − (7x)2
· (7x) +
1
1 + x2
· x2
+ 2x · e1−10x
+x2
· e1−10x
· (1 − 10x) =
= 7x6
+
8
3
1
3
√
x
+
3
9x2 + 6x + 2
+ 2x cos x2
+ 2x
ln 2 +
7
√
1 − 49x2
+
2x
1 + x2
+
+ 2x e1−10x
−10x2
e1−10x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 183
(165) Zderivujte
f(x) = (3x2
− 2x + 10)10
.
Řešení:
(3x2
− 2x + 10)10
= 10(3x2
− 2x + 10)9
3x2
− 2x + 10 = 10(3x2
− 2x + 10)9
(6x − 2).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
184 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(166) Zderivujte
f(x) = 4 − x2.
Řešení:
4 − x2 = 4 − x2
1
2
=
1
2
· 4 − x2 − 1
2
· 4 − x2
= −
x
√
4 − x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 185
(167) Zderivujte
f(x) = ln sin x.
Řešení:
(ln sin x) =
1
sin x
· cos x = cotg x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
186 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(168) Zderivujte
f(x) =
√
sin 3x.
Řešení:
√
sin 3x = (sin 3x)
1
2 =
1
2
(sin 3x)− 1
2 · (sin 3x) =
1
2
(sin 3x)− 1
2 · cos 3x · (3x) =
=
1
2
(sin 3x)−1
2 · cos 3x · 3 =
3 cos 3x
2
√
sin 3x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 187
(169) Zderivujte
f(x) =
5
√
x2
√
x −
2
5x2
+ 6
5
√
x3 .
Řešení:
f(x) = x
2
5 x
1
2 −
2
5
x−2
+ 6x
3
5 = x
9
10 −
2
5
x− 8
5 + 6x,
f (x) =
9
10
x− 1
10 −
2
5
−
8
5
x− 13
5 + 6 =
9
10 10
√
x
+
16
25
5
√
x13
+ 6 =
=
9
10 10
√
x
+
16
25x2 5
√
x3
+ 6 =
9
10
√
x9
10x
+
16
5
√
x2
25x3
+ 6.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
188 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(170) Zderivujte
f(x) = x2
ex
sin x.
Řešení:
f (x) = [x2
(ex
sin x)] = 2x(ex
sin x) + x2
(ex
sin x) =
= 2x ex
sin x + x2
(ex
sin x + ex
cos x) = x ex
(2 sin x + x sin x + x cos x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 189
(171) Zderivujte
f(x) =
1
ln x
.
Řešení:
f (x) = (ln−1
x) = −1 ln−2
x
1
x
= −
1
x ln2
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
190 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(172) Zderivujte
f(x) = arccotg 2x.
Řešení:
f (x) =
−1
1 + (2x)2
· 2 =
−2
1 + 4x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 191
(173) Zderivujte
f(x) = (2x + 6)4x
.
Řešení:
f (x) = 2 · 4x
+ (2x + 6)4x
ln 4 = 2 · 4x
1 + (x + 3) ln 4 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
192 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(174) Zderivujte
f(x) = 7
√
x
ln x .
Řešení:
f (x) = 7
√
x
ln x ln 7 ·
1
2
√
x
ln x −
√
x1
x
ln2
x
= 7
√
x
ln x ln 7 ·
1
2
√
x
ln x − 1√
x
ln2
x
=
= 7
√
x
ln x ln 7 ·
ln x − 2
2
√
x ln2
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 193
(175) Zderivujte
f(x) = x sin2
(2x).
Řešení:
f (x) = 1 sin2
2x + x2 sin 2x cos 2x2 = sin2
2x + 2x2 sin x cos x = sin2
2x + 2x sin 4x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
194 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(176) Zderivujte
f(x) =
−2
ln cos x
.
Řešení:
f (x) = −2[(ln cos x)−1
] = −2(−1)(ln cos x)−2 1
cos x
(− sin x) =
= −2
sin x
cos x(ln cos x)2
=
−2 tg x
ln2
cos x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 195
(177) Zderivujte
f(x) = 72x3+x−9
.
Řešení:
f (x) = 72x3+x−9
ln 7(6x2
+ 1).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
196 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(178) Zderivujte
f(x) =
1 − x
x2 + 1
.
Řešení:
f (x) =
1
2
x2 + 1
1 − x
·
(−1)(x2
+ 1) − (1 − x)2x
(x2 + 1)2
=
=
x2 + 1
1 − x
·
x2
− 2x − 1
2(x2 + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 197
(179) Zderivujte
f(x) = arccotg
2x
x2 − 1
.
Řešení:
f (x) =
−1
1 + 2x
x2−1
2
·
2(x2
− 1) − 2x · 2x
(x2 − 1)2
=
−1
(x2−1)2+4x2
(x2−1)2
·
−2x2
− 2
(x2 − 1)2
=
=
2x2
+ 2
x4 + 2x2 + 1
=
2(x2
+ 1)
(x2 + 1)2
=
2
x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
198 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(180) Zderivujte
f(x) =
1
√
5
arctg
√
5x
1 − x2
.
Řešení:
f (x) =
1
√
5
·
1
1 +
√
5x
1−x2
2
·
√
5(1 − x2
) −
√
5x(−2x)
(1 − x2)2
=
=
1
√
5
·
1
1 + 5x2
(1−x2)2
·
√
5(x2
+ 1)
(1 − x2)2
=
1
(1−x2)2+5x2
(1−x2)2
·
x2
+ 1
(1 − x2)2
=
x2
+ 1
x4 + 3x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 199
(181) Zderivujte
f(x) = x5
+ 5x
.
Řešení:
f (x) = 5x4
+ 5x
ln 5.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
200 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(182) Zderivujte
f(x) = 5x5 5
√
5x.
Řešení:
f (x) = 5 · 5x4 5
√
5x + 5x5 1
5
(5x
)−4
5 5x
ln 5 = 25x4 5
√
5x + x5 5
√
5x ln 5 =
= x4 5
√
5x(25 + x ln 5).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 201
(183) Zderivujte
f(x) = ln ln(x − 3) + arcsin
x − 5
2
.
Řešení:
f (x) =
1
ln(x − 3)
1
x − 3
+
1
1 − x−5
2
2
1
2
=
=
1
(x − 3) ln(x − 3)
+
1
√
−x2 + 10x − 21
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
202 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(184) Zderivujte
f(x) = arccos log2
3
x2
.
Řešení:
f (x) =
−1
1 − log2
2
3
x2
1
x2 ln 2
3
2x =
=
−2
x ln 2
3
1 − log2
2
3
x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 203
(185) Zderivujte
f(x) = ln2
cos3
x5
.
Řešení:
f (x) = 2 ln cos3
x5
·
1
cos3 x5
· 3 cos2
x5
(− sin x5
)5x4
= −30
ln cos3
x5
· cos2
x5
· sin x5
· x4
cos3 x5
=
= −30x4
· ln cos3
x5
· tg x5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
204 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(186) Zderivujte
f(x) =
3
ln cos
2x + 1
4
.
Řešení:
f (x) =
1
3
ln cos
2x + 1
4
− 2
3 1
cos 2x+1
4
− sin
2x + 1
4
1
2
=
= −
1
6
1
3
ln cos 2x+1
4
2
tg
2x + 1
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 205
(187) Zderivujte
f(x) = xx
.
Řešení:
Poněvadž se proměnná x vyskytuje v základu i v exponentu, musíme využít exponenciální
funkci, tj.
(xx
) = ex ln x
= ex ln x
(x ln x) = ex ln x
1 · ln x + x ·
1
x
=
= ex ln x
(1 + ln x) = xx
(1 + ln x) .
Zkuste výsledek porovnat s tím, který byste obdrželi aplikováním vzorce (xn
) = nxn−1
a/nebo (ax
) = ax
ln a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
206 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(188) Zderivujte
f(x) = xx2
.
Řešení:
xx2
= ex2 ln x
= ex2 ln x
x2
ln x = ex2 ln x
2x · ln x + x2
·
1
x
=
= xx2
(2x · ln x + x) = xx2+1
(2 ln x + 1)
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 207
(189) Zderivujte
f(x) = xsin x
.
Řešení:
xsin x
= esin x·ln x
= esin x·ln x
(sin x · ln x) =
= esin x·ln x
cos x · ln x +
sin x
x
= xsin x
cos x · ln x +
sin x
x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
208 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(190) Zderivujte
f(x) = (sin x)ln x
.
Řešení:
(sin x)ln x
= eln x·ln sin x
= eln x·ln sin x
(ln x · ln sin x) =
= eln x·ln sin x 1
x
· ln sin x + ln x ·
1
sin x
· cos x =
= (sin x)ln x ln sin x
x
+
cos x · ln x
sin x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 209
(191) Zderivujte
f(x) = (ln x)tg x
.
Řešení:
f (x) = etg x ln ln x
= etg x ln ln x
(tg x ln ln x) = (ln x)tg x 1
cos2 x
ln ln x + tg x
1
ln x
1
x
=
= (ln x)tg x ln ln x
cos2 x
+
tg x
x ln x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
210 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(192) Zderivujte
f(x) =
1 − ex
1 + ex
.
Řešení:
1 − ex
1 + ex
=
1
2
·
1
1−ex
1+ex
·
− ex
(1 + ex
) − (1 − ex
) ex
(1 + ex)2
=
=
1
2
1 + ex
1 − ex
·
−2 ex
(1 + ex)2
=
(1 + ex)2
1 − e2x
·
− ex
(1 + ex)2
=
=
− ex
(1 + ex)
√
1 − e2x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 211
(193) Zderivujte
f(x) = (x2
+ 1)arctg x
.
Řešení:
(x2
+ 1)arctg x
= earctg x·ln(x2+1)
= earctg x·ln(x2+1)
arctg x · ln(x2
+ 1) =
= earctg x·ln(x2+1) 1
1 + x2
· ln(x2
+ 1) + arctg x ·
1
x2 + 1
· 2x =
= (x2
+ 1)arctg x−1
2x arctg x + ln(x2
+ 1) .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
212 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(194) Zderivujte
f(x) = ln
ex
x2 + 1
.
Řešení:
ln
ex
x2 + 1
=
1
ex
x2+1
·
ex
x2
+ 1 − ex
2x
(x2 + 1)2
=
x2
+ 1
ex
·
ex
(x − 1)2
(x2 + 1)2
=
(x − 1)2
x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 213
(195) Zderivujte
f(x) = ln
√
x2 + 1
x + 1
.
Řešení:
ln
√
x2 + 1
x + 1
=
x + 1
√
x2 + 1
·
2x
2
√
x2+1
· (x + 1) −
√
x2 + 1
(x + 1)2
=
=
x(x + 1) − x2
− 1
(x2 + 1)(x + 1)
=
x − 1
(x + 1)(x2 + 1)
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
214 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(196) Zderivujte
f(x) = ln
1 − sin x
1 + sin x
.
Řešení:
ln
1 − sin x
1 + sin x
=
1
1−sin x
1+sin x
·
1
2 1−sin x
1+sin x
·
− cos x(1 + sin x) − (1 − sin x) cos x
(1 + sin x)2
=
=
1
2
·
1 + sin x
1 − sin x
·
−2 cos x
(1 + sin x)2
=
− cos x
1 − sin2
x
= −
1
cos x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 215
(197) Zderivujte
f(x) = ln
x + 2 − 2
√
x + 1
x
.
Řešení:
ln
x + 2 − 2
√
x + 1
x
=
x
x + 2 − 2
√
x + 1
·
1 − 2
2
√
x+1
· x − x − 2 + 2
√
x + 1
x2
=
=
√
x + 1 − 1 x − x
√
x + 1 − 2
√
x + 1 + 2x + 2
x2
√
x + 1 + 2x
√
x + 1 − 2x2 − 2x
=
=
2 + x − 2
√
x + 1
x x + 2 − 2
√
x + 1
√
x + 1
=
1
x
√
x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
216 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(198) Zderivujte
f(x) =
arccos x
x
+
1
2
ln
1 −
√
1 − x2
1 +
√
1 − x2
.
Řešení:
arccos x
x
+
1
2
ln
1 −
√
1 − x2
1 +
√
1 − x2
=
− 1√
1−x2
· x − arccos x
x2
+
+
1
2
·
1 +
√
1 − x2
1 −
√
1 − x2
·
− −2x
2
√
1−x2
· 1 +
√
1 − x2 − 1 −
√
1 − x2 −2x
2
√
1−x2
1 +
√
1 − x2
2
=
= −
1
x
√
1 − x2
−
arccos x
x2
+
1
2
·
x√
1−x2
+ x + x√
1−x2
− x
1 − 1 + x2
=
= −
1
x
√
1 − x2
−
arccos x
x2
+
1
2
·
2x√
1−x2
x2
=
= −
1
x
√
1 − x2
−
arccos x
x2
+
1
2
·
1
x
√
1 − x2
= −
arccos x
x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 217
(199) Zderivujte
f(x) = (x − 2)
√
1 + ex − ln
√
1 + ex − 1
√
1 + ex + 1
.
Řešení:
(x − 2)
√
1 + ex − ln
√
1 + ex − 1
√
1 + ex + 1
=
√
1 + ex + (x − 2) ·
ex
2
√
1 + ex
−
−
√
1 + ex + 1
√
1 + ex − 1
·
ex
2
√
1+ex
√
1 + ex + 1 −
√
1 + ex − 1 ex
2
√
1+ex
√
1 + ex + 1
2
=
=
√
1 + ex +
(x − 2) ex
2
√
1 + ex
−
ex
+ ex
2
√
1+ex − ex
+ ex
2
√
1+ex
1 + ex −1
=
=
√
1 + ex +
(x − 2) ex
2
√
1 + ex
−
2 ex
2
√
1+ex
ex
=
=
√
1 + ex +
(x − 2) ex
2
√
1 + ex
−
1
√
1 + ex
=
=
1 + ex
+x ex
2
− ex
−1
√
1 + ex
=
x ex
2
√
1 + ex
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
218 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(200) Zderivujte
f(x) = arcsin
1 − x
1 + x
.
Řešení:
arcsin
1 − x
1 + x
=
1
1 − 1−x
1+x
·
1
2 1−x
1+x
·
−1 · (1 + x) − (1 − x) · 1
(1 + x)2
=
=
1
2
·
1
1+x−1+x
1+x
·
1 + x
1 − x
·
−2
(1 + x)2
=
= −
1 + x
2x
·
1 + x
1 − x
·
1
(1 + x)2
=
= −
1
(1 + x)
√
2x − 2x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 219
(201) Určete první a druhou derivaci funkce
f(x) = x2
sin
√
x.
Řešení:
x2
sin
√
x = 2x sin
√
x +
x2
2
√
x
cos
√
x,
x2
sin
√
x = 2x sin
√
x +
x2
2
√
x
cos
√
x =
= 2 sin
√
x +
2x
2
√
x
cos
√
x +
1
2
·
3
2
√
x cos
√
x −
1
2
x
3
2 ·
1
2
√
x
sin
√
x =
= 2 sin
√
x +
7
4
√
x cos
√
x −
1
4
x sin
√
x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
220 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(202) Určete první a druhou derivaci funkce
f(x) = tg2
x.
Řešení:
tg2
x =
sin2
x
cos2 x
=
2 · sin x · cos x · cos2
x − sin2
x · 2 · cos x · (− sin x)
cos4 x
=
=
2 · sin x · cos x · cos2
x + sin2
x
cos4 x
=
2 · sin x
cos3 x
,
tg2
x =
2 · sin x
cos3 x
=
2 · cos x · cos3
x − 2 · sin x · 3 · cos2
x · (− sin x)
cos6 x
=
=
2 · cos4
x + 6 · sin2
x · cos2
x
cos6 x
=
=
2 · cos2
x + 6 · sin2
x
cos4 x
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 221
(203) Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x0.
f(x) = 3x2
+ 2x − 8, x0 = −1.
Řešení:
f (x) = 6x + 2,
f (−1) = 6(−1) + 2 = −4.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
222 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(204) Určete hodnotu derivace dané funkce v bodě x0.
f(x) = ln tg x, x0 =
π
12
.
Řešení:
f (x) =
1
tg x
·
1
cos2 x
=
1
sin x
cos x
cos2 x
=
=
1
sin x cos x
=
2
2 sin x cos x
=
2
sin 2x
,
f ( π
12
) =
2
sin π
6
=
2
1
2
= 4.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 223
(205) Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první
a druhé derivace této funkce.
f(x) = 3x4 + 1, x0 = −1.
Řešení:
f (x) =
1
2
(3x4
+ 1)−1
2 12x3
=
6x3
√
3x4 + 1
,
f (x) =
18x2
√
3x4 + 1 − 6x3 6x3
√
3x4+1
3x4 + 1
,
f(−1) =
√
3 + 1 = 2,
f (−1) =
−6
2
= −3,
f (−1) =
18 · 2 − 36
2
4
=
9
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
224 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(206) Určete funkční hodnotu dané funkce v bodě x0 a dále v tomto bodě určete hodnotu první
a druhé derivace této funkce.
f(x) = x sin 2x, x0 =
π
4
.
Řešení:
f (x) = 1 sin 2x + x cos 2x2 = sin 2x + 2x cos 2x,
f (x) = 2 cos 2x + 2 cos 2x + 2x(− sin 2x)2 = 4 cos 2x − 4x sin 2x,
f(π
4
) = π
4
1 = π
4
,
f (π
4
) = 1 + 0 = 1,
f (π
4
) = 0 − 4π
4
1 = −π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 225
(207) Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce arccos x.
Řešení:
(arccos x) =
1
cos (arccos x)
=
1
− sin(arccos x)
=
=
−1
1 − cos2(arccos x)
=
−1
√
1 − x2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
226 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(208) Pomocí inverzní funkce určete derivaci funkce 3
√
x.
Řešení:
( 3
√
x)
 3
√
x = y
 =
1
(y3)
=
1
3y2
=
1
3( 3
√
x)2
=
1
3( 3
√
x)2
=
1
3
x− 2
3 .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 227
(209) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = x2 − 3x + 11
v bodě x0 = 2.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 2, tj.
f (x) =
2x − 3
2
√
x2 − 3x + 11
x=2 1
6
, f(x) = x2 − 3x + 11
x=2
3.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 3 =
1
6
(x − 2) , n : y − 3 = −6(x − 2),
y =
x
6
+
8
3
, y = −6x + 15.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
228 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(210) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = arctg x2 − 1
v bodě x0 =
√
2.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 =
√
2, tj.
f (x) =
1
1 + x2 − 1
·
2x
2
√
x2 − 1
x=
√
2
√
2
2
, f(x) = arctg x2 − 1
x=
√
2 π
4
.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y −
π
4
=
√
2
2
x −
√
2 , n : y −
π
4
= −
2
√
2
· x −
√
2 ,
y =
√
2
2
x − 1 +
π
4
, y = −
2
√
2
x + 2 +
π
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 229
(211) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = 4 − x2
v dotykovém bodě x0, jenž je průsečíkem grafu funkce f(x) s kladnou částí osy x.
Řešení:
Nejdříve určíme bod x0. Funkce f(x) má s osou x průsečíky v bodech, které jsou řešením
kvadratické rovnice f(x) = 0. Tato řešení jsou ±2, proto x0 = 2. Nyní spočítáme funkční
hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 2, tj.
f (x) = −2x
x=2
−4, f(x) = 4 − x2 x=2
0.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 0 = −4 (x − 2) , n : y − 0 =
1
4
· (x − 2) ,
y = −4x + 8, y =
1
4
x −
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
230 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(212) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = x e−x2
2
v bodě x0 = 1.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = 1, tj.
f (x) = e− x2
2 +x e− x2
2 −
2x
2
x=1
0, f(x) = x e− x2
2
x=1
e−1
2 .
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − e− 1
2 = 0 (x − 1) , n : x = 1,
y = e− 1
2 , x = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 231
(213) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = x2
log2(x2
− 7).
v bodě x0 = −3.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −3, tj.
f (x) = 2x log2(x2
− 7) +
2x3
(x2 − 7) ln 2
x=−3
−6 −
27
ln 2
,
f(x) = x2
log2(x2
− 7)
x=−3
9.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 9 = −6 −
27
ln 2
(x + 3),
y = − 6 +
27
ln 2
x + 9 − 3 6 +
27
ln 2
,
n : y − 9 =
1
6 + 27
ln 2
(x + 3),
y =
ln 2
6 ln 2 + 27
x + 9 + 3
ln 2
6 ln 2 + 27
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
232 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(214) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) =
1 − x
x2 − 3
.
v bodě x0 = −2.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −2, tj.
f (x) =
x2
− 2x + 3
(x2 − 3)2
x=−2
11,
f(x) =
1 − x
x2 − 3
x=−2
3.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 3 = 11(x + 2),
y = 11x + 25,
n : y − 3 = −
1
11
(x + 2),
y = −
x
11
+
31
11
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 3. Derivace funkce 233
(215) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = 2x + sin x.
v bodě x0 = π.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = π, tj.
f (x) = 2 + cos x
x=π
1,
f(x) = 2x + sin x
x=π
2π.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 2π = 1(x − π),
y = x + π,
n : y − 2π = −1(x − π),
y = −x + 3π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
234 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(216) Určete rovnici tečny a normály funkce
f(x) = (x2
+ 1) x2 − 4x + 11.
v bodě x0 = −1.
Řešení:
Nejdříve musíme spočítat funkční hodnotu a hodnotu derivace v bodě x0 = −1, tj.
f (x) =
3x3
− 10x2
+ 23x − 2
√
x2 − 4x + 11
x=−1
−
19
2
,
f(x) = (x2
+ 1) x2 − 4x + 11
x=−1
8.
Proto dle vzorců pro rovnici tečny a normály dostaneme
t : y − 8 = −
19
2
(x + 1),
y = −
19
2
x −
3
2
,
n : y − 8 =
2
19
(x + 1),
y =
2
19
x +
154
19
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2