398 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
II. 2. Integrace racionální lomené funkce
Racionální lomenou funkci je nutné rozložit na parciální zlomky. Tyto parciální zlomky se pak
postupně integrují, přičemž postup pro jejich integraci je následující:
•
A
x − x0
dx

t = x − x0
dt = dx

=
A
t
dt = A ln |t| + C = A ln |x − x0| + C;
•
A
(x − x0)n
dx

t = x − x0
dt = dx

=
A
tn
dt =
A · t−n+1
−n + 1
+ C =
=
A
(1 − n)(x − x0)n−1
+ C, kde n ≥ 2;
•
Ax + B
x2 + px + q
dx =
A
2
2x + p
x2 + px + q
dx

t = x2
+ px + q
dt = (2x + p) dx

+
+ B −
Ap
2
1
x2 + px + q
dx =
=
A
2
dt
t
+ B −
Ap
2
1
(x − x0)2 + a2
dx = ln |t| +
+ B −
Ap
2
1
a2
dx
x−x0
a
2
+ 1

u = x−x0
a
du = 1
a
dx

=
= ln x2
+ px + q + B −
Ap
2
1
a2
adu
u2 + 1
= ln x2
+ px + q +
+ B −
Ap
2
1
a2
· a · arctg u + C =
= ln x2
+ px + q +
2B − Ap
2a
· arctg
x − x0
a
+ C;
•
Ax + B
(x2 + px + q)n
dx =
A
2
2x + p
(x2 + px + q)n
dx

t = x2
+ px + q
dt = (2x + p) dx

+
+ B −
Ap
2
dx
(x2 + px + q)n
=
=
A
2
dt
tn
+ B −
Ap
2
dx
[(x − x0)2 + a2]n
=
=
A
2
·
1
(1 − n)(x2 + px + q)n−1
+ B −
Ap
2
Kn(x0, a), kde n ≥ 2,
přičemž Kn(x0, a): = dx
[(x−x0)2+a2]n . K dokončení výpočtu posledního integrálu je třeba využít
následující rekurentní formule
Kn+1(x0, a) =
1
a2
2n − 1
2n
Kn(x0, a) +
1
2n
x − x0
[(x − x0)2 + a2]n
,
K1(x0, a) =
1
a
arctg
x − x0
a
,
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 399
což ve speciálním případě (x0 = 0 a a = 1) dává
Kn+1(0, 1) =
2n − 1
2n
Kn(0, 1) +
1
2n
x
(x2 + 1)n
,
K1(0, 1) = arctg x.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
400 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(347) Vypočtěte
x3
+ 1
x(x − 1)3
dx.
Řešení:
x3
+ 1
x(x − 1)3
dx = −
dx
x
+ 2
dx
x − 1
+
dx
(x − 1)2
+ 2
dx
(x − 1)3
=
= − ln |x| + 2 ln |x − 1| −
1
(x − 1)2
−
1
x − 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 401
(348) Vypočtěte
x3
+ x
(x2 − 1)(x2 − 2)
dx.
Řešení:
x3
+ x
(x2 − 1)(x2 − 2)
dx = −
dx
x − 1
−
dx
x + 1
+
3
2
x −
√
2
dx +
3
2
x +
√
2
dx =
= − ln |x − 1| − ln |x + 1| +
3
2
ln x −
√
2 +
3
2
ln x +
√
2 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
402 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(349) Vypočtěte
x6
+ 2x − 1
x5 − x2
dx.
Řešení:
x6
+ 2x − 1
x5 − x2
dx = x dx − 2
dx
x
+
2
3
dx
x − 1
+
2
3
2x + 1
x2 + x + 1
+
dx
x2
=
=
x2
2
− 2 ln |x| +
2
3
ln |x − 1| +
2
3
ln x2
+ x + 1 −
1
x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 403
(350) Vypočtěte
3x + 7
x2 − 4x + 15
dx.
Řešení:
3x + 7
x2 − 4x + 15
dx =
3
2
2x − 4
x2 − 4x + 15
dx + 13
dx
x2 − 4x + 15
=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 + 13
dx
(x − 2)2 + 11
=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
11
dx
x−2√
11
2
+ 1

t = x−2√
11
dt = 1√
11
dx

=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
√
11
11
dt
t2 + 1
=
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
√
11
11
arctg t + C =
=
3
2
ln x2
− 4x + 15 +
13
√
11
arctg
x − 2
√
11
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
404 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(351) Vypočtěte
x3
+ 2x + x − 1
x2 − x + 1
dx.
Řešení:
x3
+ 2x + x − 1
x2 − x + 1
dx = (x + 3) dx +
3x − 4
x2 − x + 1
dx =
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
5
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
=
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
10
3
dx
2x−1√
3
2
+ 1

t = 2x−1√
3
dt = 2√
3
dx

=
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
5
√
3
3
dt
t2 + 1
=
=
x2
2
+ 3x +
3
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx −
5
√
3
3
arctg t + C =
=
x2
2
+ 3x +
3
2
ln x2
− x + 1 −
5
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 405
(352) Vypočtěte
x
x4 − x3 − x + 1
dx.
Řešení:
x
x4 − x3 − x + 1
dx =
1
3
dx
(x − 1)2
−
1
3
dx
x2 + x + 1

t = x − 1
dt = dx

=
=
1
3
dt
t2
−
1
3
dx
x + 1
2
2
+ 3
4
=
= −
1
3(x + 1)
−
1
3
2
√
3
arctg
x + 1
2
√
3
2
+ C =
= −
1
3(x + 1)
−
2
√
3
9
arctg
2x + 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
406 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(353) Vypočtěte
x
(x2 + 2x + 2)(x2 + 2x − 3)
dx.
Řešení:
x
(x2 + 2x + 2)(x2 + 2x − 3)
dx =
1
20
dx
x − 1
+
3
20
dx
x + 3
−
1
5
x
x2 + 2x + 2
dx =
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
5
1
2
2x + 2
x2 + 2x + 2
dx −
dx
x2 + 2x + 2
=
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
10
ln x2
+ 2x + 2 +
1
5
dx
(x + 1)2 + 1

t = x + 1
dt = dx

=
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
10
ln x2
+ 2x + 2 +
1
5
dt
t2 + 1
=
=
1
20
ln |x − 1| +
3
20
ln |x + 3| −
1
10
ln x2
+ 2x + 2 +
1
5
arctg(x + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 407
(354) Vypočtěte
dx
x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1
.
Řešení:
dx
x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1
=
1
3
dx
x − 1
−
1
6
2x + 1
x2 + x + 1
−
1
2
dx
x2 − x + 1
=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
1
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
2
3
dx
2x−1√
3
2
+ 1

t = 2x−1√
3
dt = 2√
3
dx

=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
√
3
3
dx
t2 + 1
=
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
√
3
3
arctg t =
=
1
3
ln |x − 1| −
1
6
ln x2
+ x + 1 −
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
408 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(355) Vypočtěte
x2
+ 3x + 2
x2 + x + 2
dx.
Řešení:
x2
+ 3x + 2
x2 + x + 2
dx = 1 dx +
2x
x2 + x + 2
dx =
= x +
2x + 1
x2 + x + 2
dx −
dx
x2 + x + 2
=
= x + ln x2
+ x + 2 −
dx
x + 1
2
2
+ 7
4
=
= x + ln x2
+ x + 2 −
4
7
dx
2x+1√
7
2
+ 1

t = 2x+1√
7
dt = 2√
7
dx

=
= x + ln x2
+ x + 2 −
2
√
7
7
dx
t2 + 1
=
= x + ln x2
+ x + 2 −
2
√
7
7
arctg t + C =
= x + ln x2
+ x + 2 −
2
√
7
arctg
2x + 1
√
7
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 409
(356) Vypočtěte
dx
(x2 − 6x + 8)(x2 + 2x + 2)
.
Řešení:
dx
(x2 − 6x + 8)(x2 + 2x + 2)
=
1
52
dx
x − 4
−
1
20
dx
x − 2
+
1
130
4x + 11
x2 + 2x + 2
dx =
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
1
130
2
2x + 2
x2 + 2x + 2
dx + 7
dx
x2 + 2x + 2
=
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
dx
(x + 1)2 + 1

t = x + 1
dt = dx

=
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
dt
t2 + 1
=
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
arctg t =
=
1
52
ln |x − 4| −
1
20
ln |x − 2| +
2
130
ln x2
+ 2x + 2 +
7
130
arctg(x + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
410 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(357) Vypočtěte
x8
x8 − 1
dx.
Řešení:
x8
x8 − 1
dx = 1 dx +
1
8
dx
x − 1
−
1
8
dx
x + 1
−
1
4
dx
x2 + 1
+
+
1
8
√
2x − 2
x2 −
√
2x + 1
dx −
1
8
√
2x + 2
x2 +
√
2x + 1
dx =
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
1
8
√
2
2
2x −
√
2
x2 −
√
2x + 1
dx −
dx
x2 −
√
2x + 1
−
−
1
8
√
2
2
2x +
√
2
x2 +
√
2x + 1
dx +
dx
x2 +
√
2x + 1
=
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
1
8
dx
x −
√
2
2
2
+ 1
2
−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
1
8
dx
x +
√
2
2
2
+ 1
2
=
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
1
4
dx
√
2x − 1
2
+ 1

t =
√
2x − 1
dt =
√
2 dx

−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
1
4
dx
√
2x + 1
2
+ 1

w =
√
2x + 1
dw =
√
2 dx

=
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
√
2
8
dt
t2 + 1
−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
√
2
8
dw
w2 + 1
=
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 411
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg t−
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg w + C =
= x +
1
8
ln |x − 1| −
1
8
ln |x + 1| −
1
4
arctg x+
+
√
2
16
ln x2
−
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg
√
2x − 1 −
−
√
2
16
ln x2
+
√
2x + 1 −
√
2
8
arctg
√
2x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
412 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(358) Vypočtěte
x − 4
5x2 + 6x + 3
dx.
Řešení:
x − 4
5x2 + 6x + 3
dx =
1
10
10x + 6
5x2 + 6x + 3
dx −
23
5
dx
5x2 + 6x + 3
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
25
dx
x2 + 6
5
x + 3
5
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
25
dx
x + 3
5
2
+ 6
25
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
6
dx
5x+3√
6
2
+ 1

t = 5x+3√
6
dt = 5√
6
dx

=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
√
6
30
dx
t2 + 1
=
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
√
6
30
arctg t + C =
=
1
10
ln 5x2
+ 6x + 3 −
23
√
6
30
arctg
5x + 3
√
6
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 413
(359) Vypočtěte
2x + 1
(x2 + 4x + 13)2
dx.
Řešení:
2x + 1
(x2 + 4x + 13)2
dx =
2x + 4
(x2 + 4x + 13)2
dx − 3
dx
(x2 + 4x + 13)2

t = x2
+ 4x + 13
dt = (12x + 4) dx

=
=
dt
t2
− 3
dx
(x + 2)2
+ 9
2
=
= −
1
x2 + 4x + 13
− 3
dx
92 x+2
3
2
+ 1
2

w = x+2
3
dw = 1
3
dx

=
= −
1
x2 + 4x + 13
− 3
3
81
dw
(w2 + 1)2
=
= −
1
x2 + 4x + 13
−
1
9
1
2
arctg w +
1
2
w
w2 + 1
+ C =
= −
1
x2 + 4x + 13
−
1
18
arctg
x + 2
3
−
1
18
x+2
3
x+2
3
2
+ 1
+ C =
= −
1
18
arctg
x + 2
3
−
1
6
x + 8
x2 + 4x + 13
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
414 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(360) Vypočtěte
2x4
+ 2x2
− 5x + 1
x (x2 − x + 1)2
dx.
Řešení:
2x4
+ 2x2
− 5x + 1
x (x2 − x + 1)2
dx =
dx
x
+
x + 3
x2 − x + 1
dx +
x − 6
(x2 − x + 1)2
dx =
= ln |x| +
1
2
2x − 1
x2 − x + 1
dx +
7
2
dx
x2 − x + 1
+
+
1
2
2x − 1
(x2 − x + 1)2
dx −
11
2
dx
(x2 − x + 1)2
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
+
+
1
2
2x − 1
(x2 − x + 1)2
dx

t = x2
− x + 1
dt = (2x − 1)dx

−
11
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
2
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
14
3
dx
2x−1√
3
2
+ 1

w = 2x−1√
3
dw = 2√
3
dx

+
+
1
2
dt
t2
−
22
3
1
2
dx
x − 1
2
2
+ 3
4
+
1
2
x − 1
2
x − 1
2
2
+ 3
4
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
dw
w2 + 1
+
−
1
2t
−
44
9
dx
2x−1√
3
2
+ 1
−
11
3
x − 1
2
x2 − x + 1
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg w+
−
1
2(x2 − x + 1)
−
44
9
dx
2x−1√
3
2
+ 1

u = 2x−1√
3
du = 2√
3
dx

−
11
3
x − 1
2
x2 − x + 1
=
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+
−
1
2(x2 − x + 1)
−
22
√
3
9
du
u2 + 1
−
11
3
x − 1
2
x2 − x + 1
=
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 415
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+
−
22
√
3
9
arctg u −
1
3
11x − 4
x2 − x + 1
+ C =
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx +
7
√
3
3
arctg
2x − 1
√
3
+
−
22
√
3
9
arctg
2x − 1
√
3
−
1
3
11x − 4
x2 − x + 1
+ C =
= ln |x| +
1
2
ln x2
− x + 1 dx −
√
3
9
arctg
2x − 1
√
3
−
1
3
11x − 4
x2 − x + 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
416 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(361) Vypočtěte
5x2
− 12
(x2 − 6x + 13)2
dx.
Řešení:
5x2
− 12
(x2 − 6x + 13)2
dx = 5
dx
x2 − 6x + 13
+
30x − 77
(x2 − 6x + 13)2
dx =
= 5
dx
(x − 3)2 + 4
+ 15
2x − 6
(x2 − 6x + 13)2
dx + 13
dx
(x2 − 6x + 13)2
=
=
5
4
dx
x−3
2
2
+ 1

t = x−3
2
dt = 1
2
dx

+ 15
2x − 6
(x2 − 6x + 13)2
dx

w = x2
− 6x + 13
dw = (2x − 6) dx

+
+ 13
dx
(x − 3)2
+ 4
2
=
=
5
2
dx
t2 + 1
+ 15
dw
w2
+
13
4
1
4
arctg
x − 3
2
+
1
2
x − 3
x2 − 6x + 13
=
=
5
2
arctg t −
15
w
+
13
16
arctg
x − 3
2
+
13
8
x − 3
x2 − 6x + 13
+ C =
=
5
2
arctg
x − 3
2
−
15
x2 − 6x + 13
+
13
16
arctg
x − 3
2
+
13
8
x − 3
x2 − 6x + 13
+ C =
=
53
16
arctg
x − 3
2
+
13x − 159
8(x2 − 6x + 13)
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 2. Integrace racionální lomené funkce 417
(362) Vypočtěte
5 ln x
x(ln3
x + ln2
x − 2)
dx.
Řešení:
5 ln x
x(ln3
x + ln2
x − 2)
dx =

t = ln x
dt = 1
x
dx

=
5t
t3 + t2 − 2
dt =
=
1
t − 1
+
−t + 2
t2 + 2t + 2
dt =
1
t − 1
−
1
2
·
2t + 2
t2 + 2t + 2
+
3
t2 + 2t + 2
dt =
= ln |t − 1| −
1
2
ln(t2
+ 2t + 2) + 3
1
(t + 1)2 + 1
dt

s = t + 1
ds = dt

=
= ln |t − 1| −
1
2
ln(t2
+ 2t + 2) + 3
1
s2 + 1
ds =
= ln |t − 1| −
1
2
ln(t2
+ 2t + 2) + 3 arctg(t + 1) + C =
= ln | ln x − 1| −
1
2
ln(ln2
x + 2 ln x + 2) + 3 arctg(ln x + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil