462 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
II. 4. Urˇcitý a nevlastní integrál
Určitý integrál
Věta 32 (Newtonova–Leibnizova formule). Nechť f je integrovatelná funkce na intervalu a, b
a nechť F je její primitivní funkce. Pak platí, že
b
a
f(x) dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a).
Základní vzorce pro integrování (k ∈ R):
b
a
(f(x) ± g(x)) dx =
b
a
f(x) dx ±
b
a
g(x) dx,
b
a
k · f(x) dx = k ·
b
a
f(x) dx,
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx.
Věta 33 (Metoda per-partes pro určitý integrál). Nechť funkce u a v mají na intervalu a, b
derivace u a v , které jsou na tomto intervalu integrovatelné. Pak platí
b
a
u(x) v (x) dx = [u(x) v(x)]b
a −
b
a
u (x) v(x) dx.
Věta 34 (Substituční metoda pro určitý integrál). Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b .
Nechť funkce ϕ má derivaci ϕ na intervalu α, β , která je na tomto intervalu integrovatelná.
Dále nechť platí a ≤ ϕ ≤ b pro x ∈ α, β (tzn., že funkce ϕ(x) zobrazuje interval α, β do
intervalu a, b ). Potom platí (přesněji „z existence integrálu nalevo plyne existence integrálu
napravo a jejich rovnost“)
β
α
f [ϕ(x)] ϕ (x) dx =
ϕ(β)
ϕ(α)
f(t) dt.
Nevlastní integrál
Definice 35. Určitý integrál
b
a
f(x) dx se nazývá nevlastní pokud alespoň jedno z čísel a, b je
rovno ±∞, nebo je funkce f neomezená na uzavřeném intervalu a, b (tedy alespoň v jednom
bodě intervalu a, b má funkce f singulární bod – nemusí jít nutně o krajní bod a nebo b, ale
singulární bod může ležet i uvnitř intervalu a, b ).
Definice 36. Nechť existuje limc→+∞ F(c) = I, I ∈ R. Pak řekneme, že nevlastní integrál
+∞
a
f(x) dx konverguje a jeho hodnota je I. Tedy
+∞
a
f(x) dx = lim
c→+∞
c
a
f(x) dx = lim
c→+∞
F(c),
kde F(c) :=
c
a
f(x) dx. V opačném případě, tj. když limc→+∞ F(c) je nevlastní nebo neexistuje,
řekneme, že nevlastní integrál
+∞
a
f(x) dx diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 463
(405) Vypočtěte
2
1
x2
dx.
Řešení:
2
1
x2
dx =
x3
3
2
1
=
8
3
−
1
3
=
7
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
464 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(406) Vypočtěte
1
0
x (x2
− 1)3
dx.
Řešení:
1
0
x (x2
− 1)3
dx

t = x2
− 1
dt = 2x dx
0 −1
1 0

=
1
2
0
−1
t3
dt =
1
2
t4
4
0
−1
=
1
2
0 −
1
4
= −
1
8
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 465
(407) Vypočtěte
π
3
π
6
tg2
x dx.
Řešení:
π
3
π
6
tg2
x dx =
π
3
π
6
sin2
x
cos2 x
dx

t = tg x
dt = 1
cos2 x
dx
sin x = t√
1+t2
π
3
√
3
π
6
√
3
3

=
=
√
3
√
3
3
t2
1+t2 dt =
√
3
√
3
3
1 dt −
√
3
√
3
3
1
1+t2 dt =
= [t − arctg t]
√
3√
3
3
=
2
3
√
3 −
π
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
466 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(408) Vypočtěte
1
0
ex
e2x +3
+
1
cos2 x
dx.
Řešení:
Využijeme aditivity integrálu a pro přehlednost zadaný integrál rozdělíme na dvě části.
I1 =
1
0
ex
e2x +3
dx

t = ex
dt = ex
dx
1 e
0 1

=
=
e
1
1
t2 + 3
dt =
1
3
e
1
1
t√
3
2
+ 1
dt

s = t√
3
ds = 1√
3
dt
e e√
3
1 1√
3

=
=
√
3
3
e√
3
1√
3
1
s2 + 1
ds =
√
3
3
[arctg s]
e√
3
1√
3
=
=
√
3
3
arctg
e
√
3
3
−
π
6
,
I2 =
1
0
1
cos2 x
dx = [tg x]1
0 = tg 1.
Celkem tedy
1
0
ex
e2x +3
+
1
cos2 x
dx = I1 + I2 =
√
3
3
arctg
e
√
3
3
−
π
6
+ tg 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 467
(409) Vypočtěte
b
a
sgn x dx, a, b ∈ R, a < 0, b > 0.
Řešení:
b
a
sgn x dx =
0
a
(−1) dx +
b
0
1 dx = [−x]0
a + [x]b
0 = a + b.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
468 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(410) Vypočtěte
∞
0
1
(x − 3)5
dx.
Řešení:
∞
0
1
(x − 3)5
dx

t = x − 3
dt = dx
∞ ∞
0 −3

=
=
∞
−3
1
t5
dt = −
1
4
[t−4
]∞
−3 =
= −
1
4
lim
a→∞
a−4
− (−3)−4
= −
1
4
0 −
1
34
=
1
324
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 469
(411) Vypočtěte
∞
0
1
√
x + 2
dx.
Řešení:
∞
0
1
√
x + 2
dx

t = x + 2
dt = dx
∞ ∞
0 2

=
=
∞
2
1
√
t
dt = 2[
√
t]∞
2 =
= 2 lim
a→∞
√
a −
√
2 = 2(∞ −
√
2) = ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
470 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(412) Vypočtěte
∞
1
e−
√
x
√
x
dx.
Řešení:
∞
1
e−
√
x
√
x
dx

t =
√
x
dt = 1
2
√
x
dx
∞ ∞
1 1

=
= 2
∞
1
e−t
dt = 2[− e−t
]∞
1 =
= −2 lim
t→∞
e−t
−e−1
=
2
e
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 471
(413) Vypočtěte
∞
0
dx
x2 + 1
.
Řešení:
∞
0
dx
x2 + 1
= [arctg x]∞
0 = lim
x→∞
arctg x − arctg 0 =
π
2
− 0 =
π
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
472 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(414) Vypočtěte
∞
1
dx
x
.
Řešení:
∞
1
dx
x
= [ln x]∞
1 = lim
x→∞
ln x − ln 1 = ∞ ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 473
(415) Vypočtěte
∞
0
sin x dx.
Řešení:
∞
0
sin x dx = [− cos x]∞
0 = − lim
x→∞
cos x + cos 0 limita neexistuje ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
474 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(416) Vypočtěte
0
−∞
ex
dx.
Řešení:
0
−∞
ex
dx = [ex
]0
−∞ = 1 − lim
x→−∞
ex
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 475
(417) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
∞
1
xα
dx.
Řešení:
Buď α = −1, potom
∞
1
1
x
dx = [ln x]∞
1 = ∞.
Nyní uvažujme α = −1, potom
∞
1
xα
dx =
xα+1
α + 1
∞
1
=
1
α + 1
lim
x→∞
xα+1
− 1 .
Pro α > −1, tj. α + 1 > 0, platí limx→∞ xα+1
= ∞. Dále pro α < −1, tj. α + 1 < 0, platí
limx→∞ xα+1
= 0. To znamená, že
∞
1
xα
dx =
diverguje, α ≥ −1,
− 1
α+1
, α < −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
476 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(418) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
∞
0
eαx
dx.
Řešení:
Buď α = 0, potom
∞
1
1 dx = [x]∞
0 = ∞.
Nyní uvažujme α = 0, potom
∞
0
eαx
dx =
1
α
eαx
∞
0
=
1
α
lim
x→∞
eαx
−1 .
Pro α > 0 platí limx→∞ eαx
= ∞. Dále pro α < 0 platí limx→∞ eαx
= 0. To znamená, že
∞
0
eαx
dx =
diverguje, α ≥ 0,
− 1
α
, α < 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 477
(419) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
∞
e
(ln x)α
x
dx.
Řešení:
∞
e
(ln x)α
x
dx

t = ln x
dt = 1
x
dx
∞ ∞
e 1

=
∞
1
tα Př. (417)
=
diverguje, α ≥ −1,
− 1
1+α
, α < 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
478 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(420) Vypočtěte
∞
1
dx
x4 + x2
.
Řešení:
∞
1
dx
x4 + x2
=
∞
1
dx
x2 (x2 + 1)
=
∞
1
1
x2
−
1
1 + x2
dx =
= −
1
x
∞
1
− [arctg x]∞
1 = 0 + 1 −
π
2
−
π
4
= 1 −
π
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 479
(421) Vypočtěte
∞
0
x2
e−x
dx.
Řešení:
∞
0
x2
e−x
dx

u = x2
u = 2x
v = − e−x
v = e−x

=
= −x2
e−x ∞
0
+ 2
∞
0
x e−x
dx

u = x u = 1
v = − e−x
v = e−x

=
= − lim
x→∞
x2
ex
− 2 [x e−x
]
∞
0 + 2
∞
0
e−x
dx =
= 0 − 2 lim
x→∞
x
ex
− 2 [e−x
]
∞
0 = 2 lim
x→∞
e−x
−1 = 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
480 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(422) Vypočtěte
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx.
Řešení:
∞
1
arctg x
x2 + 1
dx

arctg x = t
1
1+x2 dx = dt
∞ π
2
1 π
4

=
π
2
π
4
t dt =
t2
2
π
2
π
4
=
π2
8
−
π2
32
=
3π2
32
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 481
(423) Vypočtěte
∞
−∞
dx
ex + e−x
.
Řešení:
∞
−∞
dx
ex + e−x
=
∞
−∞
ex
e2x +1
dx

t = ex
dt = ex
dx
∞ ∞
−∞ 0

=
∞
0
dt
t2 + 1
= [arctg t]∞
0 =
π
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
482 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(424) Vypočtěte
∞
−∞
x2
x6 + 1
dx.
Řešení:
∞
−∞
x2
x6 + 1
dx

t = x3
dt = 3x2
dx
∞ ∞
−∞ −∞

=
1
3
∞
−∞
dt
t2 + 1
dt =
1
3
[arctg t]∞
−∞ =
1
3
π
2
− −
π
2
=
π
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 483
(425) Vypočtěte
2
0
dx
x
.
Řešení:
2
0
dx
x
= [ln x]2
0 = ln 2 − lim
x→0
ln x = ∞ ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
484 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(426) Rozhodněte o konvergenci následujícího integrálu vzhledem k číslu α ∈ R
1
0
xα
dx.
Řešení:
Rozdělme problém na tři případy.
(i) α ≥ 0
V tomto případě není integrál nevlastní a můžeme snadno spočítat, že
1
0
xα
dx =
1
α + 1
.
(ii) α = −1
Počítejme
1
0
x−1
dx = [ln x]1
0 = ln 1 − lim
x→0+
ln x = 0 − (−∞) = ∞.
(iii) α < 0, α = −1
Počítejme
1
0
xα
dx =
xα+1
α + 1
1
0
=
=
1
α + 1
−
1
α + 1
lim
x→0+
xα+1
=
1
α+1
, α > −1,
∞, α < −1.
Celkem tedy
1
0
xα
dx =
1
α+1
, α > −1,
∞, α ≤ −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 485
(427) Vypočtěte
1
−1
ln |x| dx.
Řešení:
1
−1
ln |x| dx =
0
−1
ln(−x) dx +
1
0
ln x dx = 2
1
0
ln x dx

u = 1 u = x
v = ln x v = 1
x

= 2 [x ln x]1
0 −
1
0
1dx = 2 [x ln x]1
0 − [x]1
0 =
= 2 1 ln 1 − lim
a→0
(a ln a) − 1 + 0 = −2 − lim
a→0
(a ln a)
0 · ∞
 =
= −2 − lim
a→0
ln a
1
a
∞
∞

l’H.p.
= −2 − lim
a→0
(−a) = −2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
486 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(428) Vypočtěte
1
0
x
√
1 − x2
dx.
Řešení:
1
0
x
√
1 − x2
dx

1 − x2
= t
−2x dx = dt
1 0
0 1

=
0
1
−1
2
√
t
dt = −
1
2
0
1
t−1/2
dt = −
1
2
t1/2
1
2
0
1
= −
√
t
0
1
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 487
(429) Vypočtěte
1
−1
dx
√
1 − x2
.
Řešení:
1
−1
dx
√
1 − x2
= [arcsin x]1
−1 =
π
2
− −
π
2
= π.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
488 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(430) Vypočtěte
2
0
x2
− x + 1
x − 1
dx.
Řešení:
2
0
x2
− x + 1
x − 1
dx =
2
0
x +
1
x − 1
dx =
1
0
x +
1
x − 1
dx +
2
1
x +
1
x − 1
dx =
=
x2
2
+ ln |x − 1|
1
0
+
x2
2
+ ln |x − 1|
2
1
=
= lim
x→1−
x2
2
+ ln |x − 1| + 0 +
4
2
+ 0 − lim
x→1+
x2
2
+ ln |x − 1| =
=
1
2
+ (−∞) + 2 −
1
2
− (−∞) ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 489
(431) Vypočtěte
1
−1
dx
x2
.
Řešení:
1
−1
dx
x2
=
0
−1
dx
x2
+
1
0
dx
x2
= −
1
x
0
−1
+ −
1
x
1
0
=
= − lim
x→0−
1
x
− 1 − 1 + lim
x→0+
1
x
= ∞ + ∞ − 2 ⇒ integrál diverguje.
Rozdělení na dva integrály je nutné, neboť jinak
1
−1
dx
x2
= −
1
x
1
−1
= −1 − 1 = −2,
tedy záporný výsledek pro integrál z kladné funkce, což je spor.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
490 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(432) Vypočtěte
2
1
dx
x ln x
.
Řešení:
2
1
dx
x ln x

t = ln x
dt = 1
x
dx
1 0
2 ln 2

=
ln 2
0
dt
t
= [ln t]ln 2
0 =
= ln (ln 2) − lim
t→0
ln t = ln (ln 2) + ∞ ⇒ integrál diverguje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 491
(433) Vypočtěte
0
−1
e
1
x
x3
dx.
Řešení:
0
−1
e
1
x
x3
dx

t = 1
x
dt = − 1
x2 dt
0 −∞
−1 −1

= −
−∞
−1
t et
dt

u = t u = 1
v = et
v = et

= − t et −∞
−1
+
−∞
−1
et
dt =
= − t et −∞
−1
+ et −∞
−1
= − lim
t→−∞
t
e−t
−
1
e
+ lim
t→−∞
et
−
1
e
= −
2
e
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
492 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(434) Vypočtěte
b
a
dx
√
x2 − a2
.
Řešení:
b
a
dx
√
x2 − a2

t = x +
√
x2 − a2
dt = 1 +
√
x2−a2+x√
x2−a2
dx
a a
b b +
√
b2 − a2

=
b+
√
b2−a2
a
1
t
dt =
= ln |t|
b+
√
b2−a2
a
= ln b + b2 − a2 − ln a = ln
b +
√
b2 − a2
a
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 4. Určitý a nevlastní integrál 493
(435) Vypočtěte
∞
0
x2n+1
e−x2
dx, n ∈ N.
Řešení:
∞
0
x2n+1
e−x2
dx

t = x2
dt = 2x dx
0 0
∞ ∞

=
1
2
∞
0
tn
e−t
dt

u = tn
u = ntn−1
v = − e−t
v = et

=
=
1
2
−tn
e−t ∞
0
+ n
∞
0
tn−1
e−t
dt =
=
n
2
∞
0
tn−1
e−t
dt

u = tn−1
u = (n − 1)tn−2
v = − e−t
v = et

=
=
n
2
−tn−1
e−t ∞
0
+ (n − 1)
∞
0
tn−2
e−t
dt = · · · =
=
n(n − 1) · · · 2
2
∞
0
t e−t
dt

u = t u = 1
v = − e−t
v = et

=
=
n!
2
−t e−t ∞
0
+
∞
0
e−t
dt =
n!
2
− e−t ∞
0
=
n!
2
(−0 + 1) =
n!
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil