I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 235
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo
Věta 11 (l’Hospitalovo pravidlo). Buď x0 ∈ R∗
. Nechť je splněna jedna z podmínek
• limx→x0
f(x) = limx→x0
g(x) = 0,
• limx→x0
|g(x)| = +∞.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limx→x0
f (x)
g (x)
, pak existuje také limx→x0
f(x)
g(x)
a platí
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= lim
x→x0
f (x)
g (x)
.
V roce 1921 bylo dokázáno, že autorem tohoto pravidla je Johann I. Bernoulli (1667–1748),
jehož byl Guillaume Francois Antoine de l’Hospital (1661–1704) žákem. Na základě poznámek
z Bernoulliových přednášek vydal l’Hospital v roce 1696 první tištěnou učebnici diferenciálního
počtu Analýza nekonečně malých veličin.
Výpočet limit s neurčitými výrazy pomocí L’Hospitalova pravidla:
• ∞ − ∞ ⇒ lim
x→x0
(f(x) − g(x)) = lim
x→x0





1
1
f(x)
−
1
1
g(x)





= lim
x→x0
1
g(x)
−
1
f(x)
1
f(x)g(x)
⇒
0
0
;
• − ∞ + ∞ ⇒ analogicky jako předchozí úprava;
• 0 · ∞ ⇒ lim
x→x0
f(x)g(x) = lim
x→x0
f(x)
1
g(x)
⇒
0
0
;
• 00
, ∞0
, 1∞
⇒ lim
x→x0
f(x)g(x)
= lim
x→x0
eg(x)·ln f(x)
= elimx→x0
(g(x) ln f(x))
⇒ předchozí případ ⇒
0
0
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
236 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(217) Vypočtěte limitu
lim
x→2
x2
− 4
x2 − x − 2
.
Řešení:
lim
x→2
x2
− 4
x2 − x − 2
0
0

l’H.p.
= lim
x→2
2x
2x − 1
=
4
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 237
(218) Pro a > 0 vypočtěte limitu
lim
x→0
ax
− 1
x
.
Řešení:
lim
x→0
ax
− 1
x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
ax
ln a
1
= ln a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
238 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(219) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1 − cos x
x sin x
.
Řešení:
lim
x→0
1 − cos x
x sin x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
sin x
sin x + x cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
cos x
cos x + cos x − x sin x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 239
(220) Vypočtěte limitu
lim
x→1
cos(πx) + 1
(x − 1)2
.
Řešení:
lim
x→1
cos(πx) + 1
(x − 1)2
0
0

l’H.p.
= lim
x→1
−π sin(πx)
2(x − 1)
0
0

l’H.p.
= lim
x→1
−π2
cos(πx)
2
=
π2
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
240 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(221) Následující příklad ukazuje, že ne vždy je vhodné použít l’Hospitalovo pravidlo
lim
x→∞
x
√
x2 + 1
.
Řešení:
lim
x→∞
x
√
x2 + 1
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
2x
2
√
x2+1
= lim
x→∞
√
x2 + 1
x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
x
√
x2 + 1
,
čímž jsme se dostali zpět k zadání. Řešení příkladu bez použití l’Hospitalova pravidla
vede k výsledku
lim
x→∞
x
√
x2 + 1
= lim
x→∞
x
x 1 + 1
x2
= lim
x→∞
1
1 + 1
x2
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 241
(222) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
4
−
tg 2x ln(tg x).
Řešení:
lim
x→ π
4
−
tg 2x ln(tg x)
∞ · 0
 = lim
x→ π
4
−
ln(tg x)
1
tg 2x
0
0
 =
l’H.p.
= lim
x→ π
4
−
−
tg2
2x cos2
2x
2 tg x cos2 x
= lim
x→ π
4
−
−
sin2
2x
2 sin x cos2 x
=
= lim
x→ π
4
−
−
sin2
2x
sin 2x
= − lim
x→ π
4
−
sin 2x = −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
242 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(223) Vypočtěte limitu
lim
x→0
ln(1 + sin x)
sin 4x
.
Řešení:
lim
x→0
ln(1 + sin x)
sin 4x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
1
1+sin x
cos x
4 cos 4x
=
1
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 243
(224) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
2
(1 − sin x) tg x.
Řešení:
lim
x→ π
2
(1 − sin x) tg x
0 · ∞
 = lim
x→ π
2
1 − sin x
cotg x
0
0
 =
l’H.p.
= lim
x→ π
2
sin2
x cos x = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
244 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(225) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1
x sin x
−
1
x2
.
Řešení:
lim
x→0
1
x sin x
−
1
x2
∞ − ∞
 = lim
x→0
x − sin x
x2 sin x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
1 − cos x
2x sin x + x2 cos x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
sin x
2 sin x + 2x cos x + 2x cos x − x2 sin x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
cos x
2 cos x + 4 cos x − 4x sin x − x2x sin x − x2 cos x
=
1
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 245
(226) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1
sin x
−
1
ex −1
.
Řešení:
lim
x→0
1
sin x
−
1
ex −1
∞ − ∞
 = lim
x→0
ex
−1 − sin x
(ex −1) sin x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
ex
− cos x
ex sin x + (ex −1) cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
ex
+ sin x
ex sin x + ex cos x + ex cos x − (ex −1) sin x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
246 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(227) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
1
x
−
1
sin x
.
Řešení:
lim
x→0+
1
x
−
1
sin x
∞ − ∞
 = lim
x→0+
sin x − x
x sin x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0+
cos x − 1
sin x + x cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0+
− sin x
cos x + cos x − x sin x
= 0
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 247
(228) Vypočtěte limitu
lim
x→0
x − 1
2x2
+
1
x(e2x −1)
.
Řešení:
lim
x→0
x − 1
2x2
+
1
x(e2x −1)
−∞ + ∞
 = lim
x→0
(x − 1) e2x
−1 + 2x
2x2 (e2x −1)
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
e2x
+2x e2x
−1 − 2 e2x
+2
4x (e2x −1) + 4x2 e2x
= lim
x→0
− e2x
+2x e2x
+1
4x e2x −4x + 4x2 e2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
−2 e2x
+2 e2x
+4x e2x
4 e2x +8x e2x −4 + 8x e2x +8x2 e2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
4 e2x
+8x e2x
8 e2x +16x e2x +32x e2x +16x e2x +16x2 e2x
=
1
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
248 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(229) Vypočtěte limitu
lim
x→1
x
x − 1
−
1
ln x
.
Řešení:
lim
x→1
x
x − 1
−
1
ln x
∞ − ∞
 = lim
x→1
x ln x − x + 1
(x − 1) ln x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→1
ln x + 1 − 1
ln x + x−1
x
= lim
x→1
ln x
ln x + 1 − 1
x
0
0

l’H.p.
= lim
x→1
1
x
1
x
+ 1
x2
·
x2
x2
= lim
x→1
x
x + 1
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 249
(230) Vypočtěte limitu
lim
x→1
1
2 ln x
−
1
x2 − 1
.
Řešení:
lim
x→1
1
2 ln x
−
1
x2 − 1
∞ − ∞
 = lim
x→1
x2
− 1 − 2 ln x
2(x2 − 1) ln x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→1
2x − 2
x
4x ln x + 2(x2−1)
x
·
x
x
= lim
x→1
2x2
− 2
4x2 ln x + 2x2 − 2
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→1
4x
8x ln x + 4x + 4x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
250 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(231) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1
x
−
1
ln(1 + x)
.
Řešení:
lim
x→0
1
x
−
1
ln(1 + x)
±∞ ∞
 = lim
x→0
ln(1 + x) − x
x ln(1 + x)
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
1
1+x
− 1
ln(1 + x) + x
1+x
·
1 + x
1 + x
= lim
x→0
1 − 1 − x
(1 + x) ln(1 + x) + x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
−1
ln(1 + x) + 1 + 1
= −
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 251
(232) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
x ln x.
Řešení:
lim
x→0+
x ln x
0 · (−∞)
 = lim
x→0+
ln x
1
x
−∞
∞

l’H.p.
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
(−x) = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
252 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(233) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
(π − 2 arctg x) ln x.
Řešení:
lim
x→∞
(π − 2 arctg x) ln x
0 · ∞
 = lim
x→∞
π − 2 arctg x
1
ln x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→∞
− −2
1+x2
− 1
ln2
x
· 1
x
= lim
x→∞
2x ln2
x
1 + x2
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
2 ln2
x + 4x ln x
x
2x
=
= lim
x→∞
2 ln2
x + 4 ln x
2x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
4 ln x
x
+ 4
x
2
= lim
x→∞
4 ln x + 4
2x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
4
x
2
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 253
(234) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x e−x
.
Řešení:
lim
x→∞
x e−x
∞ · 0
 = lim
x→∞
x
ex
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→∞
1
ex
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
254 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(235) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
x e
1
x .
Řešení:
lim
x→0+
x e
1
x
0 · ∞
 = lim
x→0+
e
1
x
x−1
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→0+
−x−2
e
1
x
−x−2
= lim
x→0+
e
1
x
e
1
0+
 = ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 255
(236) Vypočtěte limitu
lim
x→0−
x e− 1
x .
Řešení:
lim
x→0−
x e− 1
x
0 · ∞
 = lim
x→0−
e− 1
x
x−1
∞
∞

l’H.p.
=
= lim
x→0−
x−2
e− 1
x
−x−2
= lim
x→0−
− e− 1
x
− e− 1
0−
 = −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
256 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(237) Vypočtěte limitu
lim
x→0
e−x−2
x100
.
Řešení:
lim
x→0
e−x−2
x100
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
e−x−2
(−1)(−2)x−3
100x99
=
1
50
lim
x→0
e−x−2
x102
.
Je vidět, že situace se zhoršila a tudy cesta nevede. Upravme tedy zadání a počítejme
znovu.
lim
x→0
e−x−2
x100
= lim
x→0
x−100
ex−2
∞
∞

l’H.p.
=
= lim
x→0
−100x−101
ex−2
(−2)x−3
= 50 lim
x→0
x−98
ex−2
∞
∞
 =
použijeme ještě 49 × l’Hospitalovo pravidlo

= 50! lim
x→0
x0
ex−2
 1
∞
 = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 257
(238) Vypočtěte limitu
lim
x→0
(cos 3x)
1
x2
.
Řešení:
lim
x→0
(cos 3x)
1
x2
= elimx→0( 1
x2 ·ln cos 3x) = e−9
2 ,
neboť platí
lim
x→0
ln cos 3x
x2
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
−3 sin 3x
cos 3x
2x
= − lim
x→0
3 sin 3x
2x cos 3x
0
0

l’H.p.
=
= − lim
x→0
9 cos 3x
2 cos 3x − 6x sin 3x
= −
9
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
258 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(239) Vypočtěte limitu
lim
x→0
tg
π
4
+ x
cotg 2x
.
Řešení:
lim
x→0
tg
π
4
+ x
cotg 2x
= elimx→0{cotg(2x)·ln[tg(π
4
+x)]} = e,
neboť platí
lim
x→0
cotg(2x) · ln tg
π
4
+ x = lim
x→0
cos(2x) · ln π
4
+ x
sin 2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
−2 sin(2x) · ln π
4
+ x + cos(2x) · 1
tg(π
4
+x)
· 1
cos2
(π
4
+x)
2 cos 2x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 259
(240) Vypočtěte limitu
lim
x→1+
x
1
1−x .
Řešení:
lim
x→1+
x
1
1−x = elimx→1+( 1
1−x
·ln x) = e−1
,
neboť platí
lim
x→1+
1
1 − x
· ln x = lim
x→1+
ln x
1 − x
0
0

l’H.p.
= lim
x→1+
1
x
−1
= −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
260 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(241) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
4
(tg x)tg 2x
.
Řešení:
lim
x→ π
4
(tg x)tg 2x
= e
limx→ π
4
[tg(2x)·ln(tg x)]
= e−1
,
neboť platí
lim
x→ π
4
[tg (2x) · ln (tg x)] = lim
x→ π
4
sin(2x) · ln(tg x)
cos 2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→ π
4
2 cos(2x) · ln(tg x) + sin(2x) · 1
tg x
· 1
cos2 x
−2 sin 2x
= −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 261
(242) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin x
x
1
x2
.
Řešení:
lim
x→0
sin x
x
1
x2
= elimx→0( 1
x2 ·ln sin x
x ) = e−1
6 ,
neboť platí
lim
x→0
1
x2
· ln
sin x
x
= lim
x→0
ln sin x
x
x2
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
x
sin x
· (cos x)·x−sin x
x2
2x
=
= lim
x→0
x cos x − sin x
2x2 sin x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
cos x − x sin x − cos x
4x sin x + 2x2 cos x
=
= lim
x→0
− sin x
4 sin x + 2x cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
− cos x
4 cos x + 2 cos x − 2x sin x
= −
1
6
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
262 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(243) Vypočtěte limitu
lim
x→0
arctg x
x
1
x
.
Řešení:
lim
x→0
arctg x
x
1
x
= elimx→0(1
x
·ln arctg x
x ) = e0
= 1,
neboť platí
lim
x→0
1
x
· ln
arctg x
x
= lim
x→0
ln arctg x
x
x

což je limita typu 0
0
, neboť platí
limx→0
arctg x
x
l’H.p.
= limx→0
1
1+x2
1
= 1

l’H.p.
=
= lim
x→0
x
arctg x
x
1+x2 −arctg x
x2
1
= lim
x→0
x
1+x2 − arctg x
x arctg x
= lim
x→0
x − (1 + x2
) arctg x
(1 + x2)x arctg x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
1 − 2x arctg x − 1
(1 + 3x2) arctg x + x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
−2 arctg x − 2x
1+x2
6x arctg x + 1+3x2
1+x2 + 1
=
= lim
x→0
−2(1 + x2
) arctg x − 2x
6x(1 + x2) arctg x + 1 + 3x2 + 1 + x2
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 263
(244) Vypočtěte limitu
lim
x→0+
(cotg x)sin x
.
Řešení:
lim
x→0+
(cotg x)sin x
= elimx→0+ (sin x·ln cotg x)
= 1,
neboť platí
lim
x→0+
(sin x · ln cotg x)
0 · ∞
 = lim
x→0+
ln cos x
sin x
1
sin x
∞
∞

l’H.p.
= lim
x→0+
sin x
cos x
· −1
sin2
x
− cos x
sin2
x
=
= lim
x→0+
sin x
sin2
x · cos x
·
sin2
x
cos x
= lim
x→0+
sin x
cos2 x
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
264 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(245) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin x
x
1
1−cos x
.
Řešení:
lim
x→0
sin x
x
1
1−cos x
= elimx→0( 1
1−cos x
·ln sin x
x ) = e− 1
3 ,
neboť platí
lim
x→0
1
1 − cos x
· ln
sin x
x
= lim
x→0
ln sin x
x
1 − cos x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
x
sin x
· (cos x)x−sin x
x2
sin x
=
= lim
x→0
x cos x − sin x
x sin2
x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
cos x − x sin x − cos x
sin2
x + 2x sin x cos x
=
= lim
x→0
−x sin x
sin2
x + x sin 2x
0
0

l’H.p.
= lim
x→0
− sin x − x cos x
2 sin x cos x + sin 2x + 2x cos 2x
=
= lim
x→0
− sin x − x cos x
sin 2x + sin 2x + 2x cos 2x
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→0
− cos x − cos x + x sin x
2 cos 2x + 2 cos 2x + 2 cos 2x − 4x sin 2x
= −
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 4. l’Hospitalovo pravidlo 265
(246) Rozhodněte, zda je funkce
f(x) =
x·cos 2x·sin 3x
x2−π2 , x = π,
−1
2
, x = π
spojitá.
Řešení:
Pomocí l’Hospitalova pravidla dostaneme
lim
x→π
x · cos 2x · sin 3x
x2 − π2
0
0

l’H.p.
=
= lim
x→π
cos 2x · sin 3x − 2x sin 2x · sin 3x + 3x cos 2x · cos 3x
2x
= −
3
2
,
což znamená, že funkce f(x) není spojitá.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil