82 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
I. 2. Limity posloupností a funkcí
Limita posloupnosti
Definice 3. Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má
limitu A (píšeme limn→∞ an = A), jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro
každé n ≥ n0 platí, že |an − A| < ε, nebo-li
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε.
Definice 4. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu ±∞ (píšeme limn→∞ an = ±∞), jestliže
ke každému A ∈ R existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí an > A (an < A), nebo-li
∀A > 0 (A < 0) ∃n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí an > A (an < A).
Pokud limn→∞an = A a limn→∞bn = B, kde A, B ∈ R, platí následující pravidla pro počítání
s limitami:
limn→∞ |an| = |A| ,
limn→∞(an + bn) = A + B,
limn→∞(an · bn) = A · B.
Jestliže navíc B = 0, pak platí
limn→∞
an
bn
=
A
B
.
Důležité vzorce:
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e,
lim
n→∞
n
√
n = 1,
lim
n→∞
ohraničená posloupnost
posloupnost jdoucí do ± ∞
= 0.
Neučité výrazy:
∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 · (±∞), ±
∞
∞
,
0
0
, 00
, ∞0
, 1∞
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 83
(69) Z definice limity dokažte, že platí
lim
n→∞
n
n + 1
= 1.
K číslu ε = 0,1 určete n0.
Řešení:
Ke každému ε musíme najít příslušné n0 tak, že platí nerovnost z definice, tzn.
n
n + 1
− 1 < ε.
Proto řešením dostaneme
n − n − 1
n + 1
< ε
n∈N
⇔
1
n + 1
< ε ⇔
⇔ n + 1 <
1
ε
⇒ n0 :=
1
ε
− 1 + 1,
kde · značí (dolní) celou část čísla. Pro ε = 0, 1 máme n0 = 10.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
84 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(70) Z definice limity dokažte, že
lim
n→∞
n = ∞.
Řešení:
Mějme dle definice A ∈ R. Musíme určit n0 tak, aby
∀n > n0 platilo an > A, tj. n > A,
proto n0 := max {1 + A , 1}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 85
(71) Udejte příklad posloupností an a bn takových, že limn→∞ an = 0 a limn→∞ bn = 0
a zároveň
lim
n→∞
an
bn
= 1 nebo lim
n→∞
an
bn
= 0.
Řešení:
Řešením jsou např. posloupnosti an = bn = 1
n
a an = 1
n2 , bn = 1
n
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
86 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(72) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
− 3n
3n
.
Řešení:
lim
n→∞
2n
− 3n
3n
= lim
n→∞
2
3
n
−
3
3
n
= lim
n→∞
2
3
n
− 1 = −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 87
(73) Vypočtěte
lim
n→∞
3n2
+ 1
3n + n2
.
Řešení:
lim
n→∞
3n2
+ 1
3n + n2
= lim
n→∞
n2
3 + 1
n2
n2 3
n
+ 1
= 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
88 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(74) Vypočtěte
lim
n→∞
(n2
− 5n − 1).
Řešení:
lim
n→∞
(n2
− 5n − 1) = lim
n→∞
n2
1 −
5
n
−
1
n2
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 89
(75) Vypočtěte
lim
n→∞
−8n2
+ 6n + 7
2n + 5
.
Řešení:
lim
n→∞
−8n2
+ 6n + 7
2n + 5
= lim
n→∞
n −8n + 6 + 7
n
n 2 + 5
n
= −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
90 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(76) Vypočtěte
lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n .
Řešení:
lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n = lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n
(n + a)(n + b) + n
(n + a)(n + b) + n
=
= lim
n→∞
(n + a)(n + b) − n2
(n + a)(n + b) + n
= lim
n→∞
(a + b)n + ab
(n + a)(n + b) + n
=
= lim
n→∞
n a + b + ab
n
n 1 + a+b
n
+ ab
n2 + 1
=
a + b
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 91
(77) Vypočtěte
lim
n→∞
n +
√
n −
√
2n + 1 .
Řešení:
lim
n→∞
n +
√
n −
√
2n + 1 = lim
n→∞
n +
√
n −
√
2n + 1
n +
√
n +
√
2n + 1
n +
√
n +
√
2n + 1
=
= lim
n→∞
n +
√
n − (2n + 1)
n +
√
n +
√
2n + 1
= lim
n→∞
−n − 1 +
√
n
n +
√
n +
√
2n + 1
=
= lim
n→∞
√
n −
√
n − 1√
n
+ 1
√
n 1 + 1√
n
+ 2 + 1√
n
= −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
92 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(78) Vypočtěte
lim
n→∞
9n2 − 4 − 3n .
Řešení:
lim
n→∞
9n2 − 4 − 3n = lim
n→∞
9n2 − 4 − 3n
√
9n2 − 4 + 3n
√
9n2 − 4 + 3n
=
= lim
n→∞
9n2
− 4 − 9n2
√
9n2 − 4 + 3n
= lim
n→∞
−4
√
9n2 − 4 + 3n
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 93
(79) Vypočtěte
lim
n→∞
9n2 − 4 − 2n .
Řešení:
lim
n→∞
9n2 − 4 − 2n = lim
n→∞
9n2 − 4 − 2n
√
9n2 − 4 + 2n
√
9n2 − 4 + 2n
=
= lim
n→∞
9n2
− 4 − 4n2
√
9n2 − 4 + 2n
= lim
n→∞
n 5n − 4
n
n 9 − 4
n2 + 2
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
94 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(80) Vypočtěte
lim
n→∞
√
2n + 3 −
√
n − 1 .
Řešení:
lim
n→∞
√
2n + 3 −
√
n − 1 = lim
n→∞
√
2n + 3 −
√
n − 1
√
2n + 3 +
√
n − 1
√
2n + 3 +
√
n − 1
=
= lim
n→∞
2n + 3 − (n − 1)
√
2n + 3 +
√
n − 1
= lim
n→∞
n + 4
√
2n + 3 +
√
n − 1
=
= lim
n→∞
√
n
√
n + 4√
n
√
n 2 + 3√
n
+ 1 − 1
n
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 95
(81) Vypočtěte
lim
n→∞
3
√
n2 + 1 − 16n
3
√
n4 + 18n
.
Řešení:
lim
n→∞
3
√
n2 + 1 − 16n
3
√
n4 + 18n
= lim
n→∞
n4/3 3 1
n2 + 1
n4 − 16n
3√
n4
n4/3 3
1 + 18n
n4
= lim
n→∞
3 1
n2 + 1
n4 − 16 3 1
n
3
1 + 18
n3
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
96 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(82) Vypočtěte
lim
n→∞
3
√
2n5 + 3n + 1 +
√
5n2 + 3n
√
2n3 + 4n + 1 − 3
√
5n5 + 1
.
Řešení:
lim
n→∞
3
√
2n5 + 3n + 1 +
√
5n2 + 3n
√
2n3 + 4n + 1 − 3
√
5n5 + 1
= lim
n→∞
n5/3 3
2 + 3
n4 + 1
n5 + 5
n4/3 + 3
n7/3
n5/3 2
3√
n
+ 4
n7/3 + 1
n10/3 − 3
5 + 1
n5
= −
3 2
5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 97
(83) Vypočtěte
lim
n→∞
n · a +
1
n
−
√
a .
Řešení:
lim
n→∞
n · a +
1
n
−
√
a = lim
n→∞

n · a +
1
n
−
√
a
a + 1
n
+
√
a
a + 1
n
+
√
a

 =
= lim
n→∞
n
a + 1
n
− a
a + 1
n
+
√
a
= lim
n→∞
1
a + 1
n
+
√
a
=
1
2
√
a
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
98 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(84) Vypočtěte
lim
n→∞
cos
1
n
.
Řešení:
lim
n→∞
cos
1
n
= cos lim
n→∞
1
n
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 99
(85) Vypočtěte
lim
n→∞
(1 + cos nπ).
Řešení:
lim
n→∞
(1 + cos nπ) = 1 + lim
n→∞
(cos nπ) = 1 + (±1) ⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
100 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(86) Vypočtěte
lim
n→∞
(1 + sin nπ).
Řešení:
lim
n→∞
(1 + sin nπ) = 1 + lim
n→∞
(sin nπ) = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 101
(87) Vypočtěte
lim
n→∞
2n + sin n
3n − 1
.
Řešení:
lim
n→∞
2n + sin n
3n − 1
= lim
n→∞
n 2 + sin n
n
n 3 − 1
n

limn→∞
sin n
n
= 0
neboť −1 ≤ sin n ≤ 1

=
2
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
102 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(88) Vypočtěte
lim
n→∞
n
√
5n.
Řešení:
lim
n→∞
n
√
5n = lim
n→∞
n
√
5 n
√
n = 1,
neboť platí limn→∞
n
√
n = 1. Nechť platí
n
√
n = 1 + hn,
kde jistě hn ≥ 0. Musíme proto ukázat, že limn→∞ hn = 0. Postupnými úpravami obdržíme
n
√
n = 1 + hn /n
n = (1 + hn)n
= 1 + hn +
n(n − 1)
2
h2
n + · · · + hn
n
⇓
n ≥
n(n − 1)
2
h2
n ≥ 0
0 ← 0 ≤ h2
n ≤
2
n − 1
→ 0
proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti (též „o dvou policajtech“) plyne limn→∞ hn = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 103
(89) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
√
n.
Řešení:
lim
n→∞
2n
√
n = lim
n→∞
n
√
n
1/2
=
√
1 = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
104 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(90) Vypočtěte
lim
n→∞
n
√
2n + 3n.
Řešení:
Zadanou posloupnost můžeme omezit
3 ←
n
√
3n ≤
n
√
2n + 3n ≤
n
√
3n + 3n → lim
n→∞
n
√
2 · 3n = 3 lim
n→∞
n
√
2 = 3,
proto z Věty o limitě sevřené posloupnosti plyne limn→∞
n
√
2n + 3n = 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 105
(91) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
n − 1
2n
.
Řešení:
lim
n→∞
2n
n − 1
2n
= lim
n→∞
22n n
n − 1
2n
= lim
n→∞
22n n − 1 + 1
n − 1
2n
=
= lim
n→∞
22n
1 +
1
n − 1
2n
= lim
n→∞
4n
1 +
1
n − 1
n−1
1 +
1
n − 1
2
= ∞ · (e ·1)2
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
106 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(92) Vypočtěte
lim
n→∞
1 −
1
n
n
.
Řešení:
lim
n→∞
1 −
1
n
n
= lim
n→∞
n − 1
n
n
=
1
limn→∞
n
n−1
n =
=
1
limn→∞
n−1+1
n−1
n =
1
limn→∞ 1 + 1
n−1
n−1
1 + 1
n−1
=
1
e
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 107
(93) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
n
3n
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
n
3n
= lim
n→∞
1 +
1
n
n 3
= e3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
108 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(94) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
n
n+5
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
n
n+5
= lim
n→∞
1 +
1
n
n
1 +
1
n
5
= e .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 109
(95) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
5n
n
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
5n
n
= lim
n→∞
1 +
1
5n
5n 1/5
= 5
√
e.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
110 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(96) Vypočtěte
lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
7n+6
.
Řešení:
lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
7n+6
= lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
7
2
(2n+3)− 9
2
=
= lim
n→∞
1 +
1
2n + 3
2n+3 7/2
1 +
1
2n + 3
−9/2
=
√
e7.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 111
(97) Vypočtěte
lim
n→∞
1
n
cos
n2
+ 1
2n − 1
.
Řešení:
Neboť platí
−1 ≤ cos
n2
+ 1
2n − 1
≤ 1 ⇒ 0 ← −
1
n
≤
1
n
cos
n2
+ 1
2n − 1
≤
1
n
→ 0,
plyne z Věty o limitě sevřené posloupnosti limn→∞
1
n
cos n2+1
2n−1
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
112 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(98) Vypočtěte
lim
n→∞
2n
+ (−2)n
2 · 4n
.
Řešení:
lim
n→∞
2n
+ (−2)n
2 · 4n
= lim
n→∞
2n
(1 + (−1)n
)
2 · 2n · 2n
= lim
n→∞
1 + (−1)n
2 · 2n
=
1
2
lim
n→∞
1
2
n
+ −
1
2
n
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 113
(99) Vypočtěte
lim
n→∞
(n + 2)! − 3n!
(n + 2)! + 1
.
Řešení:
lim
n→∞
(n + 2)! − 3n!
(n + 2)! + 1
= lim
n→∞
(n + 2)(n + 1)n! − 3n!
(n + 2)(n + 1)n! + 1
=
= lim
n→∞
(n + 2)(n + 1) − 3
(n + 2)(n + 1) + 1
n!
= lim
n→∞
n2
+ 3n + 2 − 3
n2 + 3n + 2 + 1
n!
= lim
n→∞
1 + 3
n
− 1
n2
1 + 3
n
+ 2
n2 + 1
n2·n!
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
114 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(100) Vypočtěte
lim
n→∞
(n + 2)! + (n + 1)!
(n + 2)! − (n + 1)!
.
Řešení:
lim
n→∞
(n + 2)! + (n + 1)!
(n + 2)! − (n + 1)!
= lim
n→∞
(n + 2) + 1
(n + 2) − 1
= lim
n→∞
n 1 + 3
n
n 1 + 1
n
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 115
(101) Vypočtěte
lim
n→∞
1 + 2 + · · · + n
n2
.
Řešení:
lim
n→∞
1 + 2 + · · · + n
n2

ve jmenovateli je součet
aritmetické posloupnosti

= lim
n→∞
n
2
(n + 1)
n2
= lim
n→∞
n2 1
2
+ 1
2n
n2
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
116 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(102) Vypočtěte
lim
n→∞
1
1 · 2
−
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · +
1
(n − 1) · n
.
Řešení:
Rozkladem na parciální zlomky obdržíme
1
(k − 1)k
=
1
k − 1
−
1
k
.
Proto můžeme spočítat
lim
n→∞
1
1 · 2
−
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · +
1
(n − 1) · n
=
= lim
n→∞
1
1
−
1
2
−
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
(n − 1)
−
1
n
=
= lim
n→∞
1 −
1
n
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 117
(103) Najděte hromadné body posloupnosti
cos
2nπ
3
∞
n=1
.
Řešení:
Vzhledem k periodicitě funkce cos x můžeme rozlišit následující situace (k ∈ N)
n = 3k ⇒ cos
2nπ
3
= cos
6kπ
3
= cos 2π = 1
∞
k=1
,
n = 3k − 1 ⇒ cos
2nπ
3
= cos
6kπ − 2π
3
= cos
2π
3
= −
1
2
∞
k=1
,
n = 3k − 2 ⇒ cos
2nπ
3
= cos
6kπ − 4π
3
= cos
4π
3
= −
1
2
∞
k=1
.
Tedy posloupnost cos 2nπ
3
∞
n=1
má hromadné body 1 a −1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
118 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(104) Najděte hromadné body posloupnosti
1 + (−1)n
2
∞
n=1
.
Řešení:
Uvažujme následující dvě varianty (k ∈ N)
n = 2k ⇒
1 + (−1)n
2
=
1 + (−1)2k
2
=
1 + 1
2
= 1
∞
k=1
,
n = 2k − 1 ⇒
1 + (−1)n
2
=
1 + (−1)2k−1
2
=
1 − 1
2
= 0
∞
k=1
.
Tedy posloupnost 1+(−1)n
2
∞
n=1
má dva hromadné body 1 a 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 119
(105) Určete lim sup a lim inf posloupnosti
n
n + 1
sin2 nπ
4
∞
n=1
.
Řešení:
Vzhledem k charakteru funkce sin n stačí uvažovat následující varianty (k ∈ N)
n = 4k ⇒
n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k
4k + 1
sin2 4kπ
4
=
4k
4k + 1
sin2
(π) = 1 · 0 = 0
∞
k=1
,
n = 4k − 1 ⇒



n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k − 1
4k
sin2
kπ −
π
4
= 1 ·
√
2
2
2
=
1
2



∞
k=1
,
n = 4k − 2 ⇒
n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k − 2
4k − 1
sin2
kπ −
π
2
= 1 · ( 1)2
= 1
∞
k=1
,
n = 4k − 3 ⇒



n
n + 1
sin2 nπ
4
=
4k − 3
4k − 2
sin2
kπ −
3π
4
= 1 ·
√
2
2
2
=
1
2



∞
k=1
.
To znamená, že
lim sup
n→∞
n
n + 1
sin2 nπ
4
= 1 a lim inf
n→∞
n
n + 1
sin2 nπ
4
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
120 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Limita funkce
Definice 5. Nechť x0, L ∈ R∗
= R∪{±∞}. Řekneme, že funkce f má v bodě x0 limitu rovnu číslu
L, a píšeme limx→x0
f(x) = L, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x0) bodu
x0 tak, že pro všechna x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L), neboli
∀O(L) ∃O(x0) tak, že ∀x ∈ O(x0) \ {x0} platí f(x) ∈ O(L).
V podání ε − δ definice to znamená:
• vlastní limita ve vlastním bodě (x0, L ∈ R, limx→x0
= L)
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε;
• nevlastní limita ve vlastním bodě (x0 ∈ R, limx→x0
= ±∞)
∀M ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ R : 0 < |x − x0| < δ ⇒ f(x) > M (f(x) < M);
• vlastní limita v nevlastním bodě (L ∈ R, limx→±∞ = L)
∀ε > 0 ∃K ∈ R ∀x ∈ R : x > K (x < K) ⇒ |f(x) − L| < ε;
• nevlastní limita v nevlastním bodě (limx→±∞ = ±∞)
∀M ∈ R ∃K ∈ R ∀x ∈ R : x > K (x < K) ⇒ f(x) > M (f(x) < M).
Pokud existují limx→x0
f(x) = L1 a limx→x0
g(x) = L2, kde x0 ∈ R∗
a L1, L2 ∈ R (obě limity
jsou vlastní), platí následující pravidla pro počítání s limitami:
limx→x0
|f(x)| = |L1| ,
limx→x0
(f(x) ± g(x)) = L1 ± L2,
limx→x0
(f(x) · g(x)) = L1 · L2.
Jestliže navíc L2 = 0, pak platí
limx→x0
f(x)
g(x)
=
L1
L2
.
Důležité vzorce:
lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e, lim
x→∞
x
√
x = 1, lim
x→∞
sin x
x
= 0,
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
ex
−1
x
= 1, lim
x→0
ax
− 1
x
= ln a,
lim
x→∞
ohraničená funkce
funkce jdoucí do ± ∞
= 0.
Neučité výrazy:
∞ − ∞, 0 · (±∞), ±
∞
∞
,
0
0
, 00
, ∞0
, 1∞
.
Spojitost funkce
Definice 6. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x0, jestliže
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Nechť nyní funkce f není spojitá v bodě x0. Potom rozlišujeme následující případy.
• Existuje vlastní limita limx→x0
f(x) = a, ale a = f(x0). Potom bod x0 nazýváme bodem
odstranitelné nespojitosti funkce f. (Přitom připouštíme i situaci, kdy hodnota f(x0) není
definována.)
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 121
• Existují obě jednostranné limity limx→x+
0
f(x) = a1 a limx→x−
0
f(x) = a2, ale a1 = a2.
Potom bod x0 nazýváme bodem nespojitosti prvního druhu (někdy také skokem) funkce f.
• Alespoň jedna z jednostranných limit funkce f v bodě x0 neexistuje nebo je nevlastní.
Potom bod x0 nazýváme bodem nespojitosti druhého druhu funkce f.
Definice 7. Nechť (a, b) ⊆ R. Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu (a, b), jestliže je
spojitá v každém bodě x0 ∈ (a, b).
Poznámka 8. Nechť x0 ∈ R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá zprava, jestliže
lim
x→x+
0
f(x) = f(x0).
Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá zleva, jestliže
lim
x→x−
0
f(x) = f(x0).
Řekneme, že funkce f je spojitá na intervalu [a, b] ⊂ R, jestliže je v bodě a spojitá zprava, v
bodě b je spojitá zleva a je spojitá v každém bodě x0 ∈ (a, b).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
122 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(106) Vypočtěte limitu
lim
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
.
Řešení:
lim
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
= lim
x→1
1 + x + x2
− 3
1 − x3
= lim
x→1
x2
+ x − 2
1 − x3
0
0
 =
= lim
x→1
(x − 1)(x + 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lim
x→1
−(x + 2)
1 + x + x2
= −1
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 123
(107) Vypočtěte limitu
lim
x→3
√
x + 1 − 2
x2 − 5x + 6
.
Řešení:
lim
x→3
√
x + 1 − 2
x2 − 5x + 6
0
0
 = lim
x→3
√
x + 1 − 2
x2 − 5x + 6
·
√
x + 1 + 2
√
x + 1 + 2
=
= lim
x→3
x + 1 − 4
(x − 3)(x − 2)
√
x + 1 + 2
= lim
x→3
1
(x − 2)
√
x + 1 + 2
=
1
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
124 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(108) Vypočtěte limitu
lim
x→0
tg x − sin x
sin3
x
.
Řešení:
lim
x→0
tg x − sin x
sin3
x
0
0
 = lim
x→0
sin x
cos x
− sin x
sin3
x
= lim
x→0
1
cos x sin2
x
−
1
sin2
x
=
= lim
x→0
1 − cos x
cos x sin2
x
0
0
 = lim
x→0
1 − cos x
(1 − cos2 x) cos x
= lim
x→0
1
(1 + cos x) cos x
=
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 125
(109) Vypočtěte limitu
lim
x→0
tg x
x
.
Řešení:
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
sin x
cos x
x
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
126 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(110) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1 − cos 2x + tg2
x
x sin x
.
Řešení:
lim
x→0
1 − cos 2x + tg2
x
x sin x
= lim
x→0
1 − cos2
x + sin2
x + sin2
x
cos2 x
x sin x
=
= lim
x→0
2 sin2
x
x sin x
+
sin2
x
x cos2 x sin x
= lim
x→0
2
sin x
x
+
sin x
x
1
cos2 x
= 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 127
(111) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin kx
x
.
Řešení:
lim
x→0
sin kx
x
= lim
x→0
k
sin kx
kx
= k.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
128 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(112) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
2
3x
x+2 .
Řešení:
lim
x→∞
2
3x
x+2

díky spojitosti funkce af(x)
můžeme limitu přepsat

= 2limx→∞
3x
x+2 = 23
= 8.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 129
(113) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin 2x
x
1+x
.
Řešení:
lim
x→0
sin 2x
x
1+x

musíme využít exponenciální
funkci, neboť proměnná x
je v základu i v exponetu funkce

= lim
x→0
e(1+x) ln sin 2x
x =
= elimx→0[(1+x) ln sin 2x
x ] = eln 2
= 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
130 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(114) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin 4x + sin 7x
sin 3x
.
Řešení:
lim
x→0
sin 4x + sin 7x
sin 3x
= lim
x→0
sin 4x
4x
4x
3x
3x
sin 3x
+
sin 7x
7x
7x
3x
3x
sin 3x
=
4
3
+
7
3
=
11
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 131
(115) Vypočtěte
lim
x→∞
πx + sin x
2x + cos x
.
Řešení:
lim
x→∞
πx + sin x
2x + cos x
∞
∞
, v čitateli i jmenovateli vytkneme x
 =
= lim
x→∞
π + sin x
x
2 + cos x
x
=
π + 0
2 + 0
=
π
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
132 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(116) Vypočtěte
lim
x→0
ex
− e−x
sin 2x
.
Řešení:
lim
x→0
ex
− e−x
sin 2x
0
0
, rozšíříme x
x
 = lim
x→0
ex
− e−x
x
·
x
sin 2x
=
= lim
x→0
ex
−1 − e−x
+1
x
·
1
sin 2x
x
=
= lim
x→0
ex
−1
x
+
e−x
−1
−x
·
1
2sin 2x
2x
= 2
1
2
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 133
(117) Vypočtěte
lim
x→2
x2
+ x − 6
x2 − 3x + 2
.
Řešení:
lim
x→2
x2
+ x − 6
x2 − 3x + 2
0
0
, tj. číslo 2 je kořenem obou polynomů
 =
= lim
x→2
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x − 1)
=
= lim
x→2
x + 3
x − 1
= 5.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
134 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(118) Vypočtěte
lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
.
Řešení:
lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x

0
0
, rozšíříme
√
1+x+
√
1−x√
1+x+
√
1−x
 =
= lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
·
√
1 + x +
√
1 − x
√
1 + x +
√
1 − x
=
= lim
x→0
1 + x − 1 + x
x(
√
1 + x +
√
1 − x)
=
= lim
x→0
2
√
1 + x +
√
1 − x
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 135
(119) Vypočtěte limitu
lim
x→2
x2
x2 − 3x + 2
.
Řešení:
lim
x→2
x2
x2 − 3x + 2
4
0
 = lim
x→2
x2
(x − 2)(x − 1)
,
lim
x→2+
x2
(x − 2)(x − 1)
 4
0+
 = ∞,
lim
x→2−
x2
(x − 2)(x − 1)
 4
0−
 = −∞.
Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
136 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(120) Vypočtěte limitu
lim
x→4
x − 5
x2 − 7x + 12
.
Řešení:
lim
x→4
x − 5
x2 − 7x + 12
= lim
x→4
x − 5
(x − 3)(x − 4)
−1
0
 =
+∞ x → 4−
,
−∞ x → 4+
⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 137
(121) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
√
1 + x −
√
1 + x2
√
1 + x − 1
.
Řešení:
lim
x→∞
√
1 + x −
√
1 + x2
√
1 + x − 1
= lim
x→∞
√
x 1
x
+ 1 − 1
x
+ x
√
x 1
x
+ 1 − 1√
x
= −∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
138 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(122) Vypočtěte limitu
lim
x→3
√
x + 13 − 2
√
x + 1
x2 − 9
.
Řešení:
lim
x→3
√
x + 13 − 2
√
x + 1
x2 − 9
= lim
x→3
√
x + 13 − 2
√
x + 1
x2 − 9
√
x + 13 + 2
√
x + 1
√
x + 13 + 2
√
x + 1
=
= lim
x→3
x + 13 − 4x − 4
(x2 − 9)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
= lim
x→3
−3x + 9
(x2 − 9)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
=
= lim
x→3
−3(x − 3)
(x2 − 9)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
0
0
 = lim
x→3
−3(x − 3)
(x − 3)(x + 3)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
=
= lim
x→3
−3
(x + 3)
√
x + 13 + 2
√
x + 1
= −
1
16
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 139
(123) Vypočtěte limitu
lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
.
Řešení:
lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
=
= lim
x→3
√
x2 − 2x + 6 −
√
x2 + 2x − 6
x2 − 4x + 3
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
=
= lim
x→3
x2
− 2x + 6 − (x2
+ 2x − 6)
(x2 − 4x + 3)
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
0
0
 =
= lim
x→3
−4(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
√
x2 − 2x + 6 +
√
x2 + 2x − 6
= −
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
140 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(124) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
√
x2 + 1 +
√
x
4
√
x3 + x − x
.
Řešení:
lim
x→∞
√
x2 + 1 +
√
x
4
√
x3 + x − x
= lim
x→∞
x 1 + 1
x2 + 1√
x
x 4 1
x
+ 1
x3 − 1
= −1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 141
(125) Vypočtěte limitu
lim
x→0
2x − 3
sin x
.
Řešení:
lim
x→0
2x − 3
sin x
−3
0
 ,
lim
x→0+
2x − 3
sin x
 −3
sin 0+ = −3
0+
 = −∞,
lim
x→0−
2x − 3
sin x
 −3
sin 0− = −3
0−
 = ∞.
Protože limita zprava je různá od limity zleva, zadaná limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
142 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(126) Vypočtěte limitu
lim
x→0
x2
− 1
cos x − 1
.
Řešení:
lim
x→0
x2
− 1
cos x − 1
−1
0
 ,
lim
x→0+
x2
− 1
cos x − 1
 −1
cos 0+−1
= −1
0−
 = ∞,
lim
x→0−
x2
− 1
cos x − 1
 −1
cos 0−−1
= −1
0−
 = ∞.
Protože limita zprava je rovna limitě zleva, zadaná limita existuje a platí
lim
x→0
x2
− 1
cos x − 1
= ∞.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 143
(127) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
2x
+ x4
+ 1
3 · 2x + x2 − 1
.
Řešení:
lim
x→∞
2x
+ x4
+ 1
3 · 2x + x2 − 1
nejrychleji do ∞ jde 2x
 = lim
x→∞
2x
(1 + x4
2x + 1
2x )
2x(3 + x2
2x − 1
2x )
=
lim
x→∞
1 + x4
2x + 1
2x
3 + x2
2x − 1
2x
1+0+0
3+0−0
 =
1
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
144 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(128) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
2 log6 x − 3x+1
+ 15x6
3 log6 x + 3x − 5x6
.
Řešení:
lim
x→∞
2 log6 x − 3x+1
+ 15x6
3 log6 x + 3x − 5x6
nejrychleji do ∞ jde 3x
 = lim
x→∞
3x
(
2 log6 x
3x − 3 + 15x6
3x )
3x(
3 log6 x
3x + 1 − 5x6
3x )
=
= lim
x→∞
2 log6 x
3x − 3 + 15x6
3x
3 log6 x
3x + 1 − 5x6
3x
0−3+0
0+1−0
 = −3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 145
(129) Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu.
lim
x→2π−
ecotg x
.
Řešení:
lim
x→2π−
ecotg x
ecotg 2π−
= e−∞
= 1
e∞ = 1
∞
 = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
146 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(130) Ze znalostí grafů základních funkcí určete limitu.
lim
x→∞
(5
1
x + 2).
Řešení:
lim
x→∞
(5
1
x + 2)
5
1
∞ + 2 = 50
+ 2
 = 3.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 147
(131) Vypočtěte limitu
lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
x
.
Řešení:
lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
x
= lim
x→0
3
√
1 + x − 3
√
1 − x
x
·
3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
=
= lim
x→0
1 + x − (1 − x)
x 3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
=
= lim
x→0
2x
x 3
(1 + x)2 + 3
√
1 − x2 + 3
(1 − x)2
=
2
3
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
148 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(132) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x2 + x + 1 − x2 + x .
Řešení:
lim
x→∞
x2 + x + 1 − x2 + x =
= lim
x→∞
x2 + x + 1 − x2 + x
√
x2 + x + 1 +
√
x2 + x
√
x2 + x + 1 +
√
x2 + x
=
= lim
x→∞
1
√
x2 + x + 1 +
√
x2 + x
= 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 149
(133) Vypočtěte limitu
lim
x→0+



1
x
+
1
x
+
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x


 .
Řešení:
lim
x→0+



1
x
+
1
x
+
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x


 =
= lim
x→0+









1
x
+
1
x
+
1
x
−
1
x
−
1
x
+
1
x


 ·
1
x
+ 1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
+ 1
x
1
x
+ 1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
+ 1
x






=
= lim
x→0+






1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
− 1
x
+ 1
x
1
x
+ 1
x
+ 1
x
+ 1
x
− 1
x
+ 1
x
·
√
x
√
x






=
= lim
x→0+
2 1 +
√
x
1 + x +
√
x3 + 1 − x +
√
x3
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
150 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(134) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
√
x
x + x +
√
x
.
Řešení:
lim
x→∞
√
x
x + x +
√
x
= lim
x→∞
√
x
√
x

 1 + 1
x
+ 1
x3


= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 151
(135) Vypočtěte limitu
lim
x→2
1
x − 2
−
1
x2 − 4
.
Řešení:
lim
x→2
1
x − 2
−
1
x2 − 4
= lim
x→2
x + 2 + 1
x2 − 4
=
= lim
x→2
x + 3
(x + 2)(x − 2)
5
0
 =
+∞ x → 2+
,
−∞ x → 2−
⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
152 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(136) Vypočtěte limitu
lim
x→0
sin 4x
√
1 + x − 1
.
Řešení:
lim
x→0
sin 4x
√
1 + x − 1
= lim
x→0
sin 4x
√
1 + x − 1
·
√
1 + x + 1
√
1 + x + 1
= lim
x→0
sin 4x
√
1 + x + 1
1 + x − 1
=
= lim
x→0
4 ·
sin 4x
4x
√
1 + x + 1 = 8.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 153
(137) Vypočtěte limitu
lim
x→−2
x3
+ 3x2
+ 2x
x2 − x − 6
.
Řešení:
lim
x→−2
x3
+ 3x2
+ 2x
x2 − x − 6
0
0
 = lim
x→−2
x(x + 2)(x + 1)
(x + 2)(x − 3)
0
0
 = lim
x→−2
x(x + 1)
x − 3
= −
2
5
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
154 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(138) Vypočtěte limitu
lim
x→0
ln(1 + ax)
x
.
Řešení:
lim
x→0
ln(1 + ax)
x
= lim
x→0
ln(1 + ax)
1
x

funkce ln x
je spojitá

=
= ln lim
x→0
(1 + ax)
1
x
z = 1
x
 = ln lim
z→±∞
1 +
a
z
z u = z
a
 =
= ln lim
u→±∞
1 +
1
u
ua
= ln lim
u→±∞
1 +
1
u
u a
= ln ea
= a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 155
(139) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
−
π
4
.
Řešení:
lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
−
π
4
=
= lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
− arctg 1
arctg x − arctg y = arctg x−y
1+xy
, pro xy > −1
 =
= lim
x→∞
x arctg
x+1
x+2
− 1
1 + x+1
x+2
= lim
x→∞
x arctg
x + 1 − x − 2
x + 2 + x + 1
= lim
x→∞
x arctg
−1
2x + 3
.
Nyní výraz u limity upravíme
arctg
1
2x + 3
= z ⇒ tg z =
1
2x + 2
⇒
1
tg z
= 2x + 3 ⇒ x =
1
2
1
tg z
− 3 .
Proto
lim
x→∞
x arctg
x + 1
x + 2
−
π
4
= lim
z→0
1
2
1
tg z
− 3 (−z) =
1
2
lim
z→0
−
z
tg z
+ 3z =
=
1
2
lim
z→0
−
z
sin z
cos z
+ 3z =
1
2
lim
z→0
−
z
sin z
· cos z + 3z = −
1
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
156 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(140) Vypočtěte limitu
lim
x→0
1 − cos x
x
√
1 + x − 1
.
Řešení:
lim
x→0
1 − cos x
x
√
1 + x − 1
= lim
x→0
1 − cos x
x
√
1 + x − 1
·
√
1 + x + 1
√
1 + x + 1
=
= lim
x→0
(1 − cos x)
√
1 + x + 1
x(1 + x − 1)
sin α
2
= ± 1−cos α
2
 =
= lim
x→0
2
√
1 + x + 1 sin2 x
2
x2
= lim
x→0
2
4
√
1 + x + 1 ·
sin x
2
x
2
2
= 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 157
(141) Vypočtěte limitu
lim
x→∞
x − 1
x + 1
x
.
Řešení:
lim
x→∞
x − 1
x + 1
x
= lim
x→∞
x 1 − 1
x
x 1 + 1
x
x
= lim
x→∞
1 − 1
x
x
1 + 1
x
x =
= lim
x→∞
1 − 1
x
−x −1
1 + 1
x
x = lim
x→∞
e−1
e
=
1
e2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
158 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(142) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
.
Řešení:
lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
cos 2x = cos2
x − sin2
x
 = lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos2 x
2
− sin2 x
2
=
= lim
x→ π
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
2
− sin x
2
cos x
2
+ sin x
2
= lim
x→ π
2
1
cos x
2
+ sin x
2
=
√
2
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 159
(143) Vypočtěte limitu
lim
x→ π
6
sin x − π
6
√
3
2
− cos x
.
Řešení:
lim
x→ π
6
sin x − π
6
√
3
2
− cos x
= lim
x→π
6
sin x − π
6
+ sin 0
cos π
6
− cos x

sin α + sin β = 2 sin α+β
2
cos α−β
2
,
cos α − cos β = −2 sin α+β
2
sin α−β
2

=
= lim
x→ π
6
2 sin
x− π
6
2
cos
x−π
6
2
−2 sin
π
6
+x
2
sin
π
6
−x
2
= lim
x→ π
6
cos
x− π
6
2
sin
π
6
+x
2
= 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
160 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(144) Vypočtěte limitu
lim
x→π
4
cos 2x − sin 2x + 1
cos x − sin x
.
Řešení:
lim
x→ π
4
cos 2x − sin 2x + 1
cos x − sin x
= lim
x→ π
4
cos2
x − sin2
x − 2 sin x cos x + 1
cos x − sin x
=
= lim
x→ π
4
2 cos2
x − 2 sin x cos x
cos x − sin x
= lim
x→ π
4
2 cos x (cos x − sin x)
cos x − sin x
= lim
x→ π
4
(2 cos x) =
√
2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 161
(145) Vypočtěte limitu
lim
x→0
e2x
−1
x
.
Řešení:
lim
x→0
e2x
−1
x
z = 2x
 = lim
z→0
ez
−1
z
· 2 = 2 · lim
z→0
ez
−1
z
= 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
162 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(146) Vypočtěte limitu
lim
x→0
x
√
cos x + x + 2.
Řešení:
lim
x→0
x
√
cos x + x + 2 = lim
x→0
e
1
x
ln(cos x+x+2)
neboť platí
lim
x→0
ln (cos x + x + 2)
x
=
+∞ x → 3−
,
−∞ x → 3+
,
proto obdržíme
lim
x→0
x
√
cos x + x + 2 = lim
x→0
e
1
x
ln(cos x+x+2)
=
+∞ x → 3−
,
0 x → 3+
⇒ limita neexistuje.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 2. Limity posloupností a funkcí 163
(147) Určete druhy nespojitosti v bodě x0 = 0 pro funkce
f1(x) =
sin x
x
, f2(x) =
cos x
x
, f3(x) = x , f4(x) =
e
1
x +1
e
1
x −1
.
Řešení:
Ze základních vzorců víme, že limx→0
sin x
x
= 1. Funkce f1 také není v 0 definována, proto
v x0 nastává odstranitelná nespojitost.
Pro funkci f2 spočítáme limitu přímo, tj.
lim
x→0
cos x
x
1
0
 =
+∞ x → 0+
,
−∞ x → 0−
,
což znamená, že v x0 nastává nespojitost II. druhu.
Pro funkci f3 je nutné si uvědomit, jak se počítá celá část reálného čísla – je to vlastně
nejbližší menší celé číslo, proto platí
lim
x→0
x =
0 x → 0+
,
−1 x → 0−
,
tedy funkce f3 má v bodě x0 nespojitost I. druhu.
Limitu funkce f4 si rozdělíme na dvě možnosti
lim
x→0+
e
1
x +1
e
1
x −1
= lim
x→0+
e
1
x +1
e
1
x −1
·
e− 1
x
e− 1
x
= lim
x→0+
1 + e− 1
x
1 − e− 1
x
= lim
x→0+
1 + 1
e
1
x
1 − 1
e
1
x
= 1,
lim
x→0−
e
1
x +1
e
1
x −1
= −1,
tudíž funkce f4 má v bodě x0 nespojitost I. druhu.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
164 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(148) Určete, zda je daná funkce spojitá/spojitá zleva/spojitá zprava v bodech −π/2, 0, 1, 2, 3, 4.
Jestliže je nespojitá, určete druh nespojitosti.
f(x) =



cos x x < 0,
1 0 ≤ x < 1,
2 x = 1,
1 1 < x < 2,
x 2 ≤ x ≤ 3,
1
(x−3)2 x > 3.
Řešení:
Nejprve si pro názornost ukažme graf této funkce. K vyřešení příkladu samozřejmě není
nutný – stačí spočítat příslušné limity a funkční hodnoty.
Řešení příkladu shrnuje následující tabulka.
x0 −π
2
0 1 2 3 4
f(x0) 0 1 2 2 3 1
lim
x→x−
0
0 1 1 1 3 1
lim
x→x+
0
0 1 1 2 ∞ 1
lim
x→x0
0 1 1 neex. neex. 1
spojitá zleva ano ano ne ne ano ano
spojitá zprava ano ano ne ano ne ano
spojitá ano ano ne ne ne ano
druh nespojitosti — — odstran. skok 2. druh —
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2