I. Diferenciální poˇcet
funkcí jedné promˇenné
I. 1. Opakování a úvod do matematické analýzy
Základní vzorce
Poznámka 1. Nejde o úplný přehled. Je uvedeno pouze znění základních vzorců bez ohledu na
to, kde (ne)jsou definovány. Některé vzorce lze snadno odvodit z ostatních zde uvedených.
• Mnohočleny
(a ± b)2
= a2
± 2ab + b2
,
a2
− b2
= (a − b)(a + b),
(a ± b)3
= a3
± 3a2
b + 3ab2
± b3
,
a3
± b3
= (a ± b)(a2
ab + b2
),
(a + b)n
=
n
i=0
n
i
an−i
· bi
.
• Mocninná funkce
a0
= 1,
a−r
= 1
ar ,
a
1
r = r
√
a,
ar
as
= ar+s
,
(ar
)s
= ars
.
• Logaritmus a exponenciála
loga x = y ⇔ x = ay
,
log 1 = 0,
loga a = 1,
log ab
= b log a,
log(ab) = log a + log b,
log a
b
= log a − log b,
loga ax
= x = aloga x
,
ln x = lg x = loge x, e = 2, 71828 . . . ,
loga b =
logc b
logc a
= ln b
ln a
.
• Goniometrické funkce
tg x = sin x
cos x
,
cotg x = cos x
sin x
,
sin2
x + cos2
x = 1,
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2
x − sin2
x,
sin2 x
2
= 1−cos x
2
,
cos2 x
2
= 1+cos x
2
.
x 0 π
6
π
4
π
3
π
2
sin x 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos x 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
x 0 π
6
π
4
π
3
π
2
tg x 0
√
3
3
1
√
3 –
cotg x –
√
3 1
√
3
3
0
1
2 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
• Zlomky
a
b
± c
d
= ad±cb
bd
,
a
b
c
d
= ac
bd
,
a
b
c
d
= a
b
d
c
= ad
bc
,
(a
b
)−1
= b
a
,
(a
b
)r
= ar
br ,
ca
cb
= a
b
,
c
cb
= 1
b
,
a
a
= 1.
• Ostatní
Komplexní čísla (C)
i2
= −1,
a + ib = a − ib,
a2
+ b2
= (a − ib)(a + ib).
Kvadratický polynom P(x) = ax2
+ bx + c
D = b2
− 4ac,
x1,2 = −b±
√
D
2a
,
P(x) = a(x − x1)(x − x2).
Doplnění na čtverec
ax2
+ bx + c = a(x2
+ b
a
x + c
a
),
x2
+ px + q = (x + p
2
)2
− p2
4
+ q.
Reálná čísla
Definice 2. Buď A = ∅ uspořádaná množina, B ⊆ A, B = ∅, libovolná. Řekneme, že prvek a ∈ A
je supremum množiny B (píšeme supB = a), jestliže
1) x ≤ a pro každé x ∈ B;
2) je-li y ∈ A takové, že x ≤ y pro každé x ∈ B, pak je a ≤ y.
Analogicky se definuje infimum množiny B (inf B).
Je-li a = max A, pak je a největším prvkem množiny A, tj. pro každý prvek x ∈ A platí x ≤ a.
Analogické tvrzení platí pro min A.
Kvadratické rovnice
Rovnice tvaru ax2
+ bx + c = 0, kde x ∈ R, nebo x ∈ C. Řešíme pomocí vzorců
D = b2
− 4ac, x1,2 =
−b ±
√
D
2a
.
• D > 0 ⇒ 2 různé reálné kořeny,
• D = 0 ⇒ 1 dvojnásobný reálný kořen,
• D < 0 ⇒ 2 komplexně sdružené komplexní kořeny.
Posouvání grafu
Nechť je dána funkce y = f(x) a nenulová reálná čísla a, b.
(i) Uvažujme funkci ˜y = f(x + a). Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď
doleva (je-li a > 0) nebo doprava (je-li a < 0), a to o velikost čísla a.
(ii) Uvažujme funkci ^y = f(x) + b. Tato funkce má vůči původní funkci graf posunutý buď
nahoru (je-li b > 0) nebo dolů (je-li b < 0), a to o velikost čísla b.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 3
(1) Určete (jestliže existují) sup M, inf M, max M a min M, kde
i)
M = {0, −1, 2, 5, 6, 8} ;
ii)
M =
1
n
: n ∈ N ;
iii)
M = n2
− 2n + 1 : n ∈ Z ;
iv)
M = [0, 1).
Řešení:
i) max M = sup M = 8 a min M = inf M = −1;
ii) max M = sup M = 1, inf M = 0 a min M neexistuje;
iii) max M a sup M neexistuje, min M = inf M = 0;
iv) max M neexistuje, sup M = 1 a min M = inf M = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
4 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(2) Dokažte následující tvrzení: "Buď M = ∅, M ⊆ R a nechť a ∈ R. Pak
a = sup M ⇔ 1) x ≤ a ∀x ∈ M,
2) ∀ε > 0 ∃x1 ∈ M : x1 > a − ε."
Řešení:
„⇒“ Buď a = sup M, pak z definice x ≤ a pro ∀x ∈ M, tj. platí 1). Předpokládejme, že
2) neplatí. Pak existuje ε0 > 0 tak, že ∀x ∈ M je x ≤ a − ε0. Tedy a − ε0 je horní závora
množiny M a zároveň a = sup M ⇒ a ≤ a − ε0, což je spor. Tedy 2) platí.
„⇐“ Nechť platí 1) i 2). Podle definice určitě platí sup M ≤ a. Předpokládejme, že
sup M < a.
Potom položme ε = a − sup M > 0. Z 2) plyne, že
∃x1 ∈ M : x1 > a − ε = sup M,
což je spor. Proto nutně sup M = a.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 5
(3) Za předpokladu existence daných výrazů dokažte:
i)
sup
x∈A
[−f(x)] = − inf
x∈A
[f(x)];
ii)
inf
x∈A
[−f(x)] = − sup
x∈A
[f(x)];
iii)
sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
[f(x)] + sup
x∈A
[g(x)];
iv)
inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
[f(x)] + inf
x∈A
[g(x)];
v) v částech iii) a iv) nelze nerovnosti nahradit rovnostmi.
Řešení:
i)
sup
x∈A
[−f(x)] = c ⇒
⇒ [−f(x) ≤ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≤ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≤ b] ⇒
⇒ [f(x) ≥ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≥ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≥ −b] ⇒
⇒ inf
x∈A
[f(x)] = −c ⇒ sup
x∈A
[−f(x)] = c = − inf [f(x)] .
ii)
inf
x∈A
[−f(x)] = c ⇒
⇒ [−f(x) ≥ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≥ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≥ b] ⇒
⇒ [f(x) ≤ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≤ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≤ −b] ⇒
⇒ sup
x∈A
[f(x)] = −c ⇒ inf
x∈A
[−f(x)] = c = − sup [f(x)] .
iii)
f(x) ≤ sup
x∈A
f(x), g(x) ≤ sup
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ f(x) + g(x) ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x)
⇒ sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x).
iv)
f(x) ≥ inf
x∈A
f(x), g(x) ≥ inf
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ f(x) + g(x) ≥ inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x) ∀x ∈ A ⇒
⇒ inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x)
⇒ inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
6 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
v) Tvrzení dokážeme nalezením vhodného protipříkladu. Uvažujme např. funkce f(x) =
sin x a g(x) = cos x na množině A = 0, π
2
. Pak v iii) obdržíme
sup
x∈A
[sin x + cos x] =
√
2,
přičemž supx∈A sin x = 1 a supx∈A cos x = 1. V části iv) dostaneme
inf
x∈A
[sin x + cos x] = 1,
přičemž infx∈A sin x = 0 a infx∈A cos x = 0.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 7
(4) Dokažte pro libovolné podmnožiny A a B množiny R a libovolná reálná čísla a, b, c:
i)
a = max M ⇒ a = sup M;
ii)
A ⊆ B ⇒ sup A ≤ sup B;
iii)
A ⊆ B ⇒ inf A ≥ inf B;
iv)
sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B};
v)
inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B};
vi)
sup(A ∩ B) ≤ min {sup A, sup B};
vii)
inf(A ∩ B) ≥ max {inf A, inf B};
viii)
min {a, b} =
1
2
(a + b − |a − b|);
ix)
max {a, b} =
1
2
(a + b + |a − b|);
x)
|a| = max {a, −a} = − min {a, −a};
xi)
min {a, max {b, c}} = max {min {a, b}, min {a, c}};
xii)
max {a, min {b, c}} = min {max {a, b}, max {a, c}}.
Řešení:
i)
a = max M ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ a ∈ M ⇒
⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ [(b ∈ R, x ≤ b ∀x ∈ M) ⇒ a ≤ b] ⇒
⇒ a = sup M.
ii) Označme a = sup A a b = sup B. Pak platí
b = sup B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ A ⇒ a ≤ b,
neboť a = sup A.
iii) Označme a = inf A a b = inf B. Pak platí
b = inf B ⇒ x ≥ b ∀x ∈ B ⇒ x ≥ b ∀x ∈ A ⇒ a ≥ b,
neboť a = inf A.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
8 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
iv) Označme a = sup A, b = sup B, c = sup (A ∪ B) a d = max {sup A, sup B}. Pak platí
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≤ a ≤ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ≤ d ∀x ∈ B] ⇒
⇒ x ≤ d ∀x ∈ A ∪ B ⇒ c ≤ d.
Také platí
d = max {a, b} ⇒ (d = a) ∨ (d = b)
podle ii)
⇒ d ≤ c ∨ d ≤ c ⇒ d ≤ c.
To znamená, že
c = d.
v) Označme a = inf A, b = inf B, c = inf (A ∪ B) a d = min {inf A, inf B}. Pak platí
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≥ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≥ a ≥ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≥ b ≥ d ∀x ∈ B] ⇒
⇒ x ≥ d ∀x ∈ A ∪ B ⇒ c ≥ d.
Také platí
d = min {a, b} ⇒ (d = a) ∨ (d = b)
podle iii)
⇒ d ≥ c ∨ d ≥ c ⇒ d ≤ c.
To znamená, že
c = d.
vi) Označme a = sup A, b = sup B, c = sup (A ∩ B) a d = min {sup A, sup B}. Pak platí
x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≤ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ≤ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒
⇒ x ≤ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒ c ≤ d.
vii) Označme a = inf A, b = inf B, c = inf (A ∩ B) a d = max {inf A, inf B}. Pak platí
x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≥ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≥ b ∀x ∈ B] ⇒
⇒ [x ≥ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ≥ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒
⇒ x ≥ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒ c ≥ d.
viii) Pro a ≥ b platí
1
2
(a + b − |a − b|) =
1
2
(a + b − a + b) = b = min {a, b} .
Pro a < b platí
1
2
(a + b − |a − b|) =
1
2
(a + b + a − b) = a = min {a, b} .
ix) Pro a ≥ b platí
1
2
(a + b + |a − b|) =
1
2
(a + b + a − b) = a = max {a, b} .
Pro a < b platí
1
2
(a + b + |a − b|) =
1
2
(a + b − a + b) = b = max {a, b} .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 9
x) Z části viii) a ix) plyne
max {a, −a} =
1
2
(a − a + |a − (−a)|) =
1
2
|2a| = |a| ,
− min {a, −a} = −
1
2
(a − a − |a − (−a)|) =
1
2
|2a| = |a| .
xi) Zvážíme všechny možné varianty. Pro a ≥ b a a ≥ c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {b, c} = min {a, max {b, c}} .
Pro a < b a a < c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {a, a} = a = min {a, max {b, c}} .
Pro a ≥ b a a < c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {b, a} = a = min {a, max {b, c}} .
Pro a < b a a ≥ c platí
max {min {a, b} , min {a, c}} = max {a, c} = a = min {a, max {b, c}} .
xii) Zvážíme všechny možné varianty. Pro a ≥ b a a ≥ c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {a, a} = a = max {a, min {b, c}} .
Pro a < b a a < c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {b, c} = max {a, min {b, c}} .
Pro a ≥ b a a < c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {a, c} = a = max {a, min {b, c}} .
Pro a < b a a ≥ c platí
min {max {a, b} , max {a, c}} = min {b, a} = a = max {a, min {b, c}} .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
10 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(5) Dokažte:
i)
max x : x =
n
n + 1
, n = −1, n ∈ Z = 2;
ii)
sup x : x =
n
n + 1
, n ∈ N = 1;
iii)
inf x : x =
1
n2 + 1
, n ∈ Z = 0;
iv)
max x : x =
1
n2 + 1
, n ∈ Z = 1;
v)
sup (A ∪ B ∪ C) = 1, kde
A = x : x =
n2
n2 + 1
, n ∈ Z ,
B = x : x =
1
n
, n ∈ N ,
C = x : x =
n − 3
2n + 1
, n ≥ 0 .
Řešení:
i) Pro n = −2 je x = −2
−1
= 2. Dále platí n
n+1
= 1 − 1
n+1
≤ 1+ 1
n+1
≤ 2 pro všechna
n ∈ Z \ {−1}.
ii) Platí n
n+1
≤ n+1
n+1
≤ 1 pro n ∈ N. Buď nyní ε > 0 libovolné. Zvolíme-li n ∈ N, n > 1
ε
,
pak
n
n + 1
=
1
1 + 1
n
>
1
1 + ε
= 1 −
ε
1 + ε
> 1 − ε.
iii) Platí 1
n2+1
≥ 0 pro n ∈ Z. Buď dále ε > 0 libovolné. Zvolíme-li n ∈ N, n > 1√
ε
, pak
1
n2 + 1
≤
1
1
ε
+ 1
=
ε
1 + ε
< ε.
iv) Platí 1
n2+1
≤ 1 pro n ∈ Z. Pro n = 0 platí x = 1
0+1
= 1.
v) Platí sup A = 1, sup B = 1 a sup C = 1
2
. Z Příkladu 4 části iv) plyne
sup (A ∪ B ∪ C) = sup [(A ∪ B) ∪ C] =
= max {sup (A ∪ B) , sup C} =
= max {max {sup A, sup B} , sup C} =
= max {sup A, sup B, sup C} = 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 11
(6) Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí tzv. distributivní zákony
i)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
ii)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Řešení:
i)
⊆: x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ,
⊇: x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∨ x ∈ (B ∩ C) ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C.
ii)
⊆: x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒
⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ,
⊇: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇒
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
12 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(7) Určete množiny dané těmito výrazy:
i)
(1, ∞) ∩ (−1, 2];
ii)
(0, ∞) \ (−1, 2);
iii)
((−∞, −2) ∪ [−2, 0)) ∪ [0, ∞);
iv)
[−1, 5] ∩ [5, 100];
v)
[−1, 10] ∩ [15, 20];
vi)
[−1, 4) = [−1, 4) = [−1, 4)C
;
vii)
[1, 5) \ (0, 5].
Řešení:
i)
(1, ∞) ∩ (−1, 2] = (1, 2] ;
ii)
(0, ∞) \ (−1, 2) = [2, ∞) ;
iii)
((−∞, −2) ∪ [−2, 0)) ∪ [0, ∞) = (−∞, ∞) ;
iv)
[−1, 5] ∩ [5, 100] = {5} ;
v)
[−1, 10] ∩ [15, 20] = {∅} ;
vi)
[−1, 4) = (−∞, −1) ∪ [4, ∞) ;
vii)
[1, 5) \ (0, 5] = {∅} .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 13
(8) Vyřešte kvadratickou rovnici 2x2
− x − 3 = 0 a) v R, b) v C.
Řešení:
Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice
D = (−1)2
− 4 · 2 · (−3) = 25.
Protože D > 0, rovnice má dva reálné kořeny. Ty snadno dopočítáme.
x1,2 =
−(−1) ±
√
D
2 · 2
=
1 ± 5
4
=
3
2
,
−1.
Rovnice má tedy v R dva kořeny a to 3
2
a −1, stejně jako v C, neboť komplexní čísla jsou
nadmnožinou čísel reálných.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
14 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(9) Vyřešte kvadratickou rovnici x2
+ 4x + 4 = 0 a) v R, b) v C.
Řešení:
Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice
D = 42
− 4 · 1 · 4 = 0.
Protože D = 0, rovnice má jeden dvojnásobný reálný kořen. Ten snadno dopočítáme.
x1,2 =
−4 ±
√
D
2 · 1
= −2.
Rovnice má tedy v R jeden dvojnásobný kořen a to −2, stejně jako v C, neboť komplexní
čísla jsou nadmnožinou čísel reálných.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 15
(10) Vyřešte kvadratickou rovnici x2
− 4x + 29 = 0 a) v R, b) v C.
Řešení:
Nejprve spočteme diskriminant dané rovnice
D = (−4)2
− 4 · 1 · 29 = −100.
Protože D < 0, rovnice nemá žádný reálný kořen – má dvojici komplexních kořenů. Ty
dopočítáme.
x1,2 =
−(−4) ±
√
D
2 · 1
=
4 ±
√
−100
2
=
4 ±
√
100i2
2
=
4 ± 10i
2
=
2 + 5i,
2 − 5i.
Rovnice tedy v R nemá žádný kořen. V C jsou jejími kořeny komplexně sdružená čísla
2 + 5i a 2 − 5i.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
16 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(11) Určete, pro která x ∈ R je výraz −2x2
+ x + 3 a) nezáporný, b) kladný.
Řešení:
Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf –
parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny
polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.
Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient
(−2) záporný, je parabola otevřena dolů.
Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:
D = 25 ⇒ x1,2 =
3
2
,
−1.
Graf tedy vypadá takto:
Daný výraz je tedy nezáporný pro x ∈ −1, 3
2
a kladný pro x ∈ −1, 3
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 17
(12) Určete, pro která x ∈ R je výraz x2
+ 4x + 4 a) kladný, b) nezáporný.
Řešení:
Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf –
parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny
polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.
Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient
(1) kladný, je parabola otevřena nahoru.
Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:
D = 0 ⇒ x1,2 = −2.
Graf tedy vypadá takto:
Daný výraz je tedy kladný pro x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, ∞) a nezáporný pro x ∈ R.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
18 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(13) Určete, pro která x ∈ R je výraz x2
− 4x + 29 a) kladný, b) záporný.
Řešení:
Protože jde o kvadratický polynom, je nejjednodušším způsobem načrtnout si jeho graf –
parabolu. Jediné informace, které přitom musí být přesné, jsou průsečíky s osou x (kořeny
polynomu) a samozřejmě zda je parabola otevřena nahoru, nebo dolů.
Druhou informaci získáme okamžitě ze zadaného výrazu. Protože je vedoucí koeficient
(1) kladný, je parabola otevřena nahoru.
Kořeny dopočítáme pomocí diskriminantu jako by šlo o kvadratickou rovnici:
D = −100.
Protože je diskriminant záporný, rovnice nemá žádný reálný kořen a parabola osu x nikde
neprotíná. Graf tedy vypadá takto:
Daný výraz je tedy kladný pro x ∈ R a nikdy není záporný, tj. můžeme říct, že je záporný
pro x ∈ ∅.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 19
(14) Určete definiční obor funkce
f(x) =
1
x3 − x2 + x − 1
.
Řešení:
Musí platit
x3
− x2
+ x − 1 = 0 ⇔ (x − 1) x2
+ 1 = 0 ⇔ x = 1.
Proto
D(f) = R \ {1}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
20 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(15) Určete definiční obor funkce
f(x) =
2x2
x + |x|
.
Řešení:
Musí platit
x + |x| = 0.
Nejdříve uvažme x ≥ 0, potom
x + x = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0.
Pro x < 0 dostaneme
x − x = 0 ⇔ 0 = 0,
proto definiční obor je
D(f) = (0, ∞) .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 21
(16) Určete definiční obor funkce
f(x) = x2 − 5x + 6.
Řešení:
Musí platit
x2
− 5x + 6 ≥ 0.
Kořeny tohoto kvadratického polynomu jsou x1 = 2 a x2 = 3. Poněvadž koeficient u druhé
mocniny je kladný, má graf této kvadratické funkce podobu
Proto definiční obor funkce je
D(f) = (−∞, 2] ∪ [3, ∞).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
22 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(17) Určete definiční obor funkce
f(x) = ln x
2x2+3x−2
.
Řešení:
Z logaritmu dostáváme, že x > 0. Dále ve jmenovateli nesmí být nula, tedy v definičním
oboru dané funkce nejsou kořeny polynomu 2x2
+ 3x − 2. Snadno určíme, že kořeny jsou
x1 = −2, x2 = 1
2
. Tedy
D(f) = 0,
1
2
∪
1
2
, ∞ .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 23
(18) Určete definiční obor funkce
f(x) = 3x
2x−8
+
√
10 − x − ln(x + 2).
Řešení:
Zde určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části, lomeném výrazu, nesmí být ve jmenovateli nula. Tedy nutně x = 4. V druhé
části musí být pod odmocninou nezáporné číslo, odtud x ≤ 10. A konečně, z logaritmu
dostáváme, že x > −2. Celkem
D(f) = (−2, 4) ∪ (4, 10].
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
24 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(19) Určete definiční obor funkce
f(x) = ln(x2
+ 4x − 5) +
2x2
√
2x + 6
.
Řešení:
Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části musí platit
x2
+ 4x − 5 > 0.
Jde o kvadratický polynom jehož grafem je parabola otevřená nahoru (vedoucí koeficient
je kladný) a snadno dopočítáme, že jeho kořeny jsou −5 a 1. Graf tedy vypadá takto:
Tedy x ∈ (−∞, −5) ∪ (1, ∞).
V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není
přípustná nula, tj.
2x + 6 > 0 ⇒ x > −3.
Celkem
D(f) = (1, ∞).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 25
(20) Určete definiční obor funkce
f(x) = arccos
1 − 2x
4
.
Řešení:
Nejdříve připomeňme grafy a základní vlastnosti cyklometrických funkcí
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
26 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Proto musí platit
−1 ≤
1 − 2x
4
≤ 1 ⇔ −4 ≤ 1 − 2x ∧ 1 − 2x ≤ 4 ⇔
⇔ −5 ≤ −2x ∧ −2x ≤ 3 ⇔ x ≤
5
2
∧ x ≥ −
3
2
.
Proto máme definiční obor
D(f) = −
3
2
,
5
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 27
(21) Určete definiční obor funkce
g(x) = arcsin
x + 3
2
+
x + 4
x − 2
.
Řešení:
Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části musí platit
−1 ≥
x + 3
2
≥ 1,
−2 ≥ x + 3 ≥ 2,
−5 ≥ x ≥ −1,
tedy x ∈ [−5, −1].
V druhé části nesmí být po odmocninou záporné číslo a zároveň ve jmenovateli není
přípustná nula. Nulové body jsou přitom −4 a 2. Ty rozdělují reálnou osu na tři intervali,
na nichž výraz pod odmocninou nabývá vždy stejného znaménka. Dosazením zjistíme jaká
(přitom číslo 2 vůbec neuvažujeme, aby ve jmenovateli nebyla nula):
(−∞, −4] [−4, 2) (2, ∞)
x + 4 − + +
x − 2 − − +
x+4
x−2
+ − +
Odtud dostáváme, že x ∈ (−∞, −4] ∪ (2, ∞).
Celkem
D(g) = [−5, −4].
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
28 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(22) Určete definiční obor funkce
f : y = arccotg
x − 1
√
1 − x
+ log−2
1
3
(2x + 21).
Řešení:
Určíme nejprve definiční obor každé části dané funkce a poté uděláme jejich průnik.
V první části jsou jediná omezení odmocnina a zlomek, tedy x < 1.
V druhé části musíme vzít v úvahu jak logaritmus, tak i fakt, že je tento výraz umocněn
na záporný exponent, je tedy ve jmenovateli, a proto musí být různý od nuly. Logaritmus
je roven nule v jedničce, tj.
2x + 21 = 1 ⇒ x = −10.
Jako poslední zbývá vyřešit už zmíněný logaritmus, do nějž lze dosazovat pouze kladná
čísla, tedy
2x + 21 ≥ 0 ⇒ x ≥ −
21
2
.
Celkem
D(f) = −
21
2
, −10 ∪ (−10, 1) .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 29
(23) Určete definiční obor funkce
f(x) = ln(1 − ex
).
Řešení:
Musí platit
1 − ex
> 0 ⇔ 1 > ex
.
Graf funkce ex
má podobu
proto je definiční obor
D(f) = (−∞, 0).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
30 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(24) Určete definiční obor funkce
f(x) =
cos x
5x+1 − 3 · 5x − 50
.
Řešení:
Musí platit
5x+1
− 3 · 5x
− 50 = 0.
Položme y = 5x
, potom
5x+1
− 3 · 5x
− 50 = 0 ⇔ 5y − 3y − 50 = 0 ⇔ 2y = 50 ⇔
⇔ y = 25 ⇔ 5x
= 25 ⇔
⇔ 5x
= 52
⇔ x = 2.
Proto máme definiční obor
D(f) = R \ {2}.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 31
(25) Určete definiční obor funkce
f(x) =
3x+1
sin x + cos x
.
Řešení:
Musí platit
sin x + cos x = 0 ⇔ sin x + sin x +
π
2
= 0 ⇔
⇔ 2 sin
x + x + π
2
2
· cos
x − x − π
2
2
= 0 ⇔
⇔ 2 sin x +
π
4
· cos −
π
4
= 0 ⇔
⇔
√
2 sin x +
π
4
= 0 ⇔
⇔ sin x +
π
4
= 0 ⇔
⇔ x +
π
4
= kπ, k ∈ Z ⇔
⇔ x = −
π
4
+ kπ, k ∈ Z ⇔
⇔ x =
3π
4
+ kπ, k ∈ Z.
Proto máme definiční obor
D(f) = R \
k∈Z
3π
4
+ kπ .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
32 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(26) Určete definiční obor funkce
f(x) =
x − cos x
2 sin2
x + 3 cos x
.
Řešení:
Musí platit
2 sin2
x + 3 cos x = 0 ⇔ 2 1 − cos2
x + 3 cos x = 0 ⇔
⇔ −2 cos2
x + 3 cos x + 2 = 0
cos x=y
⇔
cos x=y
⇔ −2y2
+ 3y + 2 = 0 ⇔
⇔ y1 = 2, y2 = −
1
2
∧ cos x = y ⇔
⇔ cos x = 2 (vždy) , cos x = −
1
2
⇔
⇔ x =
2π
3
+ 2kπ ∧ x =
4π
3
+ 2kπ, k ∈ Z.
Proto máme definiční obor
D(f) = R \
k∈Z
2
3
π + 2kπ,
4
3
π + 2kπ .
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 33
(27) Dokažte, že pro x > 0 platí
arctg x = arccotg
1
x
.
Řešení:
Položme u = arctg x a v = arccotg 1
x
. Potom platí u ∈ 0, π
2
a v ∈ 0, π
2
. Musíme
ukázat, že u = v. Proto
tg u = x ∧ cotg v =
1
x
⇔ tg u = x ∧
1
tg v
=
1
x
⇔
⇔ tg u = x ∧ tg v = x ⇔
⇔ tg u = x = tg v ⇔
⇔ u = v.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
34 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(28) Načrtněte graf libovolné nekonstantní funkce f a k němu grafy funkcí
−f(x), f(−x), f(x) + b, f(x − a), k · f(x), f(m · x).
Řešení:
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 35
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
36 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 37
(29) Načrtněte graf funkce
(i)y = x2
, (ii)y = −x2
, (iii)y = (−x)2
.
Řešení:
Obrázek 1. Řešení (i) a (iii). Obrázek 2. Řešení (ii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
38 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(30) Načrtněte graf funkce
(i)y = (x + 1)2
, (ii)y = x2
+ 1, (iii)y = (1 − x)3
.
Řešení:
Obrázek 3. Řešení (i).
Obrázek 4. Řešení (ii).
Obrázek 5. Řešení (iii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 39
(31) Načrtněte graf funkce
(i)y = 2 −
√
x, (ii)y = 1
3−x
− 1.
Řešení:
Obrázek 6. Řešení (i).
Obrázek 7. Řešení (ii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
40 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(32) Načrtněte graf funkce
(i)y = ln(x − 3), (ii)y = 2 + e1−x
.
Řešení:
Obrázek 8. Řešení (i).
Obrázek 9. Řešení (ii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 41
(33) Načrtněte graf funkce
(i)y = sin x, (ii)y = sin(3x), (iii)y = sin x
5
, (iv)y = 2 sin x.
Řešení:
Obrázek 10. Řešení (i). Obrázek 11. Řešení (ii).
Obrázek 12. Řešení (iii).
Obrázek 13. Řešení (iv).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
42 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(34) Načrtněte graf funkce
(i)y = sin(x − 1), (ii)y = 3 + sin x, (iii)y = tg(3x).
Řešení:
Obrázek 14. Řešení (i). Obrázek 15. Řešení (ii).
Obrázek 16. Řešení (iii).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 43
(35) Načrtněte graf funkce
f(x) =
1
2
x2
− 4x + 5.
Řešení:
Nejdříve upravíme zadání do tvaru
f(x) =
1
2
x2
− 4x + 5 ⇔ f(x) =
1
2
x2
− 8x + 10 ⇔
⇔ f(x) =
1
2
(x − 4)2
− 6 ⇔
⇔ f(x) =
1
2
(x − 4)2
− 3.
Nyní můžeme využít Příklad 28 a graf funkce f(x) načrtnout díky znalosti grafu funkce
x2
, proto
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
44 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(36) Načrtněte grafy funkcí
f1(x) = |x| + 1 a f2(x) = 2 |x − 1| + |x| + 2.
Řešení:
Pomocí řešení Příkladu 28 můžeme ze znalosti grafu funkce |x| načrtnout graf funkce
f1(x), tj.
Nyní načrtneme graf funkce f2(x). Nejdříve určíme nulové body jednotlivých absolutních
hodnot, tj. x1 = −1 a x2 = 0. Tyto body nám rozdělí reálnou osu na tři subintervaly.
Proto
x ∈ (−∞, 0] ⇒ f2(x) = −2(x − 1) − x + 2 = −3x + 4,
x ∈ (0, 1] ⇒ f2(x) = −2(x − 1) + x + 2 = −x + 4,
x ∈ (1, ∞) ⇒ f2(x) = 2(x − 1) + x + 2 = 3x.
Na jednotlivých subintervalech je graf funkce tvořen přímkami, které prochází postupně
body [−1, 7], [0, 4], [1, 3] a [2, 6], tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 45
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
46 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(37) Načrtněte graf funkce
f(x) = log
10
2 − x
.
Řešení:
Je zřejmé, že definiční obor funkce je D(f) = (−∞, 2). Upravíme zadání funkce, tj.
f(x) = log
10
2 − x
⇔ f(x) = log 10 − log(2 − x) ⇔
⇔ f(x) = 1 − log [− (x − 2)] ⇔
⇔ f(x) = − log [− (x − 2)] + 1.
Ještě určíme průsečík s osou x, tj.
0 = − log [− (x − 2)] + 1 ⇔ 1 = log(2 − x) ⇔ 10 = 2 − x ⇔
⇔ x = −8.
Proto s pomocí Příkladu 28 můžeme načrtnou graf funkce f(x), tj.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 47
(38) Načrtněte graf funkce
f(x) = 2 sin 3x −
π
4
− 1.
Řešení:
Pro snažší náčrt nejdříve určíme průsečík s osou x, tj.
2 sin 3x −
π
4
− 1 = 0 ⇔ sin 3x −
π
4
=
1
2
⇔
⇔ 3x −
π
4
=
π
6
+ 2kπ nebo
3x −
π
4
=
7π
6
+ 2kπ, k ∈ Z ⇔
⇔ x =
5π
36
+
2kπ
3
nebo x =
17π
36
+
2kπ
3
, k ∈ Z.
Osa grafu funkce se posune do y = −1, proto určíme i průsečíky s touto osou, tj.
2 sin 3x −
π
4
− 1 = −1 ⇔ sin 3x −
π
4
= 0 ⇔
⇔ 3x −
π
4
= kπ, k ∈ Z ⇔
⇔ x =
π
12
+
kπ
3
, k ∈ Z.
Tedy hledaný graf funkce f(x) má podobu
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
48 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(39) Načrtněte graf funkce
y(x) =
3
2
arcsin −
1
2
x + 1 − π.
Řešení:
S pomocí Příkladu 28 dostaneme
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 49
(40) Rozhodněte o paritě funkcí (je daná funkce sudá či lichá?)
i) f1(x) = 2;
ii) f2(x) = x2
1+x2 ;
iii) f3(x) =
√
x;
iv) f4(x) = ln 1−x
1+x
;
v) f5(x) = sin x + cos x;
vi) f6(x) = x cosh x.
Jak se mění parita funkce vzhledem k součtu, rozdílu, součinu a podílu?
Řešení:
i) f1(x) = 2 ⇒ f1(−x) = 2 ⇒ sudá funkce,
ii) f2(x) = x2
1+x2 ⇒ f2(−x) = (−x)2
1+(−x)2 = x2
1+x2 ⇒ sudá funkce,
iii) f3(x) =
√
x ⇒ f3(−x) =
√
−x neexistuje ⇒ funkce není sudá ani lichá,
iv) f4(x) = ln 1−x
1+x
⇒ f4(−x) = ln 1+x
1−x
= ln 1−x
1+x
−1
=
= − ln 1−x
1+x
⇒ lichá funkce,
v) f5(x) = sin x + cos x ⇒ f5(−x) = sin(−x) + cos(−x) =
= − sin x + cos x ⇒ funkce není sudá ani lichá,
vi) Nyní si připomene definice hyperbolických funkcí a jejich grafy, tj. sinh x = ex − e−x
2
,
cosh x = ex + e−x
2
, tgh x = sinh x
cosh x
a
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
50 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Potom dostaneme
f6(x) = x cosh x ⇒ f6(−x) = −x cosh(−x) = −x cosh x ⇒ lichá funkce.
Označme „S“ sudou funkci a „L“ lichou funkci. Pak platí:
S ± S, S · S, L · L,
S
S
,
L
L
jsou sudé funkce,
L ± L, S · L, L · S,
S
L
,
L
S
jsou liché funkce.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 51
(41) Určete inverzní funkci
f(x) =
x − 2
x + 2
.
Řešení:
Z rovnice
y =
x − 2
x + 2
musíme vyjádřit x, potom přeznačením y x dostaneme hledaný předpis pro inverzní
funkci. Proto
y =
x − 2
x + 2
⇔ y(x + 2) = x − 2 ⇔ x(y − 1) = −2(y + 1) ⇔
⇔ x =
−2(y + 1)
y − 1
⇔ f−1
(x) =
−2(x + 1)
x − 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
52 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(42) Určete inverzní funkci
f(x) = 1 + log(x + 2).
Řešení:
Z rovnice
y = 1 + log(x + 2)
musíme vyjádřit x, potom přeznačením y x dostaneme hledaný předpis pro inverzní
funkci. Proto
y = 1 + log(x + 2) ⇔ y − 1 = log(x + 2) ⇔ 10y−1
= x + 2 ⇔
⇔ x = 10y−1
− 2 ⇔ f−1
(x) = 10x−1
− 2.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 53
(43) Určete inverzní funkci
f(x) =



x, x < 1;
x2
, x ∈ [1, 4];
2x
, x > 4.
Řešení:
Přímým výpočtem dostaneme výsledek
f−1
(x) =



x, x < 1;
√
x, x ∈ [1, 16];
log2 x, x > 16.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
54 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(44) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce
F(x) = 3
sin(x3 + 3).
Řešení:
Složky jsou
f(x) = 3
√
x, g(x) = sin x, h(x) = x3
+ 3.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = f(g(h(x))) = (f ◦ g ◦ h)(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 55
(45) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce
F(x) = log2 tg(2 + x).
Řešení:
Složky jsou
f(x) = log2 x, g(x) =
√
x, h(x) = tg x, l(x) = 2 + x.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = f(g(h(l(x)))) = (f ◦ g ◦ h ◦ l)(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
56 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(46) Určete jednotlivé elementární funkce, z nichž se skládá funkce
a)F(x) = cotg5
x, b)G(x) = cos x7
.
Řešení:
a) Složky jsou
f(x) = cotg x, g(x) = x5
.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x).
b) Složky jsou
f(x) = cos x, g(x) = x7
.
Daná funkce je z nich složena takto:
F(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x).
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 57
(47) Vypočtěte f(x), jestliže f 1
x
= x +
√
1 + x2.
Řešení:
Musíme za x dosadit takovou hodnotu, aby na levé straně rovnice f(1
x
) = x +
√
1 + x2
zůstala pouze „nějaká“ proměnná, zbytek dostaneme pouze přeznačením. Zvolme x = 1
t
,
potom máme
f
1
1
t
= f(t) =
1
t
+ 1 +
1
t
2
=
sgn(t)
|t|
+
√
1 + t2
|t|
=
sgn(t) +
√
1 + t2
|t|
.
Nyní položíme t x a dostaneme řešení
f(x) =
sgn(x) +
√
1 + x2
|x|
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
58 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(48) Vypočtěte f(x), jestliže f x
x+1
= x2
.
Řešení:
Využijeme postup z Příkladu 47. Musíme najít vhodnou hodnotu x. Proto musíme vyřešit
rovnici
x
x + 1
= t ⇔ x =
t
t − 1
.
Nyní zvolíme x = t
t−1
, potom
f
t
t−1
t
t−1
+ 1
= f(t) =
t
t − 1
2
.
Pro t x jsme našli funkční předpis ve tvaru
f(x) =
x
1 − x
2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 59
(49) Vyřešte nerovnici
2x + 1
x − 3
+ 1 ≤ 1.
Řešení:
Nejdříve nerovnost upravíme
2x + 1
x − 3
+ 1 ≤ 1 ⇔
2x + 1 + x − 3
x − 3
≤ 1 ⇔
⇔
3x − 2
x − 3
≤ 1 ⇔ |3x − 2| ≤ |x − 3| .
Nulové body absolutních hodnot jsou x1 = 2
3
a x2 = 3. Tímto se nám rozdělí reálná osa
na tři subintervaly, na kterých budeme muset vyřešit nerovnici zvlášť. Proto
x ∈ −∞,
2
3
: −3x + 2 ≤ −x + 3 ⇔ x ≥ −
1
2
⇒ x ∈ −
1
2
,
2
3
,
x ∈
2
3
, 3 : 3x − 2 ≤ −x + 3 ⇔ x ≤
5
4
⇒ x ∈
2
3
,
5
4
,
x ∈ (3, ∞) : 3x − 2 ≤ x − 3 ⇔ x ≤ −
1
2
⇒ x ∈ {∅} .
Proto řešením je interval x ∈ −1
2
, 5
4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
60 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(50) Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných čísel je větší nebo roven jejich průměru
geometrickému.
Řešení:
Jinými slovy máme dokázat, že platí
a + b
2
≥
√
ab, a ≥ 0, b ≥ 0.
To plyne z této úvahy
√
a −
√
b
2
≥ 0 ⇔ a − 2
√
ab + b ≥ 0 ⇔
⇔ a + b ≥ 2
√
ab ⇔
a + b
2
≥
√
ab.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 61
(51) Pomocí matematické indukce dokažte, že platí Bernoulliova nerovnost
(1 + x)n
≥ 1 + nx, kde n ∈ N, n > 1, x > −1.
Řešení:
Nerovnost dokážeme pomocí matematické indukce, proto vezme první možnou hodnotu n,
tj. n = 2, a ukážeme, že je nerovnost splněna, proto
(1 + x)2
≥ 1 + 2x ⇔ 1 + 2x + x2
≥ 1 + 2x ⇔ x2
≥ 0.
Uděláme indukční krok, proto předpokládejme, že rovnost platí pro nějaké n ∈ N \ {1}, tj.
(1 + x)n
≥ 1 + nx. Teď ukážeme, že nerovnost platí i pro n + 1. Proto
(1 + x)n
≥ 1 + nx / · (1 + x) > 0 ⇒
⇒ (1 + x)n+1
≥ (1 + nx) (1 + x) = 1 + nx + x + nx2
⇒
nx2≥0
⇒ (1 + x)n+1
≥ 1 + nx + x ⇒
⇒ (1 + x)n+1
≥ 1 + (n + 1)x.
Tedy i pro n + 1 je nerovnice splněna. Tím jsme dokázali Bernoulliovu nerovnost.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
62 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(52) Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n ∈ N platí
1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
.
Řešení:
Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n = 1, tj.
1 =
1 · 2
2
.
Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n ∈ N. Pak pro n + 1 dostaneme
1 + 2 + · · · + n + n + 1 =
n(n + 1)
2
+ n + 1 =
n(n + 1) + 2n + 2
2
=
=
n2
+ 3n + 2
2
=
(n + 1) (n + 2)
2
,
čímž je identita dokázána.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 63
(53) Pomocí matematické indukce dokažte, že pro n ∈ N platí
n
i=1
i3
=
n2
(n + 1)2
4
.
Řešení:
Nejdříve ověříme, že rovnost platí pro n = 1, tj.
1
i=1
i3
= 1 =
12
(1 + 1)2
4
=
1 · 4
4
= 1.
Nechť nyní rovnost platí pro libovolné n ∈ N. Pak pro n + 1 dostaneme
n+1
i=1
i3
=
n
i=1
i3
+ (n + 1)3
=
n2
(n + 1)2
4
+
4(n + 1)3
4
=
=
(n + 1)2
n2
+ 4n + 4
4
=
(n + 1)2
(n + 2)2
4
,
čímž je identita dokázána.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
64 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Rozklad na parciální zlomky
• Lomená racionální funkce P1(x)
Q1(x)
;
• má-li polynom v čitateli stejný, nebo vyšší stupeň než polynom ve jmenovateli, provedeme
dělení polynomů – tím získáme polynom a ryze lomenou racionální funkci P(x)
Q(x)
(tj., st P <
st Q);
• určíme reálné kořeny polynomu Q(x) (pomocí Hornerova schématu, vzorců, vytýkáním či
jinými úpravami) a zapíšeme Q(x) jakou součin lineárních polynomů ve tvaru x − x0, kde
x0 je reálný kořen, a kvadratických polynomů ve tvaru (x − a)2
+ b2
, které nemají reálné
kořeny;
• zapíšeme P(x)
Q(x)
pomocí parciální zlomků s neurčitými koeficienty, přičemž jednoduchému
reálnému kořenu x0, tj. členu x − x0, odpovídá parciální zlomek ve tvaru
A
x − x0
,
jednoduchému komplexnímu kořenu a + ib, tj. členu (x − a)2
+ b2
, odpovídá parciální
zlomek
Bx + C
(x − a)2 + b2
,
pro k-násobný reálný kořen x0, tj. pro člen (x − x0)k
, odpovídá k parciálních zlomků
A1
x − x0
+
A2
(x − x0)2
+ · · · +
Ak
(x − x0)k
a pro k-násobný komplexní kořen a+ib, tj. pro člen [(x−a)2
+b2
]k
, odpovídá k parciálních
zlomků ve tvaru
B1x + C1
(x − a)2 + b2
+
B2x + C2
[(x − a)2 + b2]2
+ · · · +
Bkx + Ck
[(x − a)2 + b2]k
;
• metodou neurčitých koeficientů (příp. s pomocí dosazení některých kořenů) určíme všechny
neznámé koeficienty v čitatelích parciálních zlomků.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 65
(54) Rozložte na parciální zlomky
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
.
Řešení:
Nejdříve musíme rozložit jmenovatele na součin, tj. učit kořeny. K tomu můžeme využít
tzv. Hornerovo schéma (viz později) nebo některou z elementárních úprav, proto
x3
− 2x2
+ x − 2 = x2
(x − 2) + x − 2 = x2
+ 1 (x − 2) .
Proto rozklad na parciální zlomky musí vypadat takto
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
=
Ax + B
x2 + 1
+
C
x − 2
.
Pro další výpočet musíme obě strany rovnice vynásobit jmenovatelem původního zlomku,
proto
3x2
− 5x + 8 = (Ax + B) (x − 2) + Cx2
+ C,
3x2
− 5x + 8 = Ax2
− 2Ax + Bx − 2B + Cx2
+ C.
Pro určení jednotlivých koeficientů lze využít dosazení jednotlivých kořenů (zde pouze
x = 2), ovšem takovým způsobem dostaneme všechny hledané koeficienty pouze v případě
jednoduchých reálných kořenů. Druhou možností je tzv. metoda neurčitých koeficientů, kdy
porovnáváme koeficienty u jednotlivých mocnin x, tj.
x2
: 3 = A + C,
x1
: −5 = −2A + B,
x0
(koeficienty bez x) : 8 = −2B + C.
Tím jsme obdrželi soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou lze vyřešit přímo (metodami
známých ze střední školy nebo pomocí matic). Řešením jsou hodnoty A = 1, B = −3
a C = 2. Tedy hledaný rozklad je tvaru
3x2
− 5x + 8
x3 − 2x2 + x − 2
=
2
x − 2
+
x − 3
x2 + 1
.
Při hledání je možné použít i kombinaci obou popsaných metod – část koeficientů získat
dosazením kořenů a zbytek metodou neurčitých koeficientů, kde bude nutné již vyřešit
nižší počet rovnic.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(55) Rozložte na parciální zlomky
1
x3 + 1
.
Řešení:
Rozložením jmenovatele (buď se znalostí vhodného vzorce nebo z faktu, že x = −1 je
kořen tohoto polynomu, a dále pomoci dělení dvou polynomů) obdržíme x3
+ 1 = (x +
1) x2
− x + 1 . Proto rozklad musí vypadat takto
1
x3 + 1
=
A
x + 1
+
Bx + C
x2 − x + 1
,
což vede k rovnici
1 = Ax2
− Ax + A + Bx2
+ Bx + Cx + C.
Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x2
: 0 = A + B,
x1
: 0 = −A + B + C,
x0
: 1 = A + C,
jejímž řešením je trojice A = 1
3
, B = −1
3
a C = 2
3
. Proto máme
1
x3 + 1
=
1
3
x + 1
+
−1
3
x + 2
3
x2 − x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 67
(56) Rozložte na parciální zlomky
1
x3(x + 1)
.
Řešení:
Jmenovatel je již ve tvaru požadovaného součinu, proto rozklad musí vypadat takto
1
x3(x + 1)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
,
z čehož obdržíme rovnici
1 = Ax3
+ Ax2
+ Bx2
+ Bx + Cx + C + Dx3
.
Tedy metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x3
: 0 = A + D,
x2
: 0 = A + B,
x1
: 0 = B + C,
x0
: 1 = C,
jejímž řešením je čtveřice A = 1, B = −1, C = 1 a D = −1. Proto hledaný rozklad je
tvaru
1
x3(x + 1)
=
1
x3
−
1
x2
+
1
x
−
1
x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
68 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(57) Rozložte na parciální zlomky
x2
− 2
x4 − 2x3 + 2x2
.
Řešení:
Jmenovatel upravíme do tvaru
x4
− 2x3
+ 2x2
= x2
x2
− 2x + 2 ,
proto parciální zlomky musí být ve tvaru
x2
− 2
x4 − 2x3 + 2x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 − 2x + 2
.
Úpravou dostaneme rovnici
x2
− 2 = Ax3
− 2Ax2
+ 2Ax + Bx2
− 2Bx + 2B + Cx3
+ Dx2
,
což nám metodou neurčitých koeficientů dá soustavu rovnic
x3
: 0 = A + C,
x2
: 1 = −2A + B + D,
x1
: 0 = 2A − 2B,
x0
: −2 = 2B.
Řešením soustavy je čtveřice A = −1, B = −1, C = 1 a D = 0, proto hledaný rozklad je
tvaru
x2
− 2
x4 − 2x3 + 2x2
= −
1
x
−
1
x2
+
x
x2 − 2x + 2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 69
(58) Rozložte na parciální zlomky
x3
+ 3x2
+ 4
x3 + x − 2
.
Řešení:
Poněvadž jsou stupně obou polynomů (alespoň) stejné, musíme nejdříve zadaný podíl
upravit tak, abychom dostali ryzí racionální lomenou funkci, tj.
x3
+ 3x2
+ 4 : x3
+ x − 2 = 1 +
3x2
− x + 6
x3 + x − 2
.
− x3
+ x − 2
3x2
− x + 6
Nyní musíme rozložit jmenovatele x3
+ x − 2 na součin. Má-li polynom celočíselné kořeny,
musí to být dělitelé absolutního členu. Má-li polynom racionální kořen (tj. ve tvaru
zlomku), je čitatel zlomku tvořen dělitelem absolutního člene polynomu a jmenovatel
tohoto kořene je dělitelem koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu. Tuto skutečnost
využijeme při aplikování Hornerova schématu, kde postupujeme takto:
• Nejprve sepíšeme do tabulky koeficienty studovaného polynomu. (Přitom nesmíme
zapomenout na možné nulové koeficienty.)
x3
x2
x1
x0
1 0 1 -2
• Tabulku rozšíříme o jeden sloupec, do něhož budeme psát kandidáty na kořeny.
kand. 1 0 1 -2
2
• První (vedoucí) koeficient polynomu sepíšeme do řádku s kandidátem na kořen.
kand. 1 0 1 -2
2 1
• Nyní nastupuje hlavní část – doplnění zbylých polí druhého řádku tabulky.
kand. 1 0 1 -2
2 1 2 · 1 + 0 = 2
• Tím dostaneme tabulku
kand. 1 0 1 -2
2 1 2 2 · 2 + 1 = 5 2 · 5 - 2 = 8
• Protože poslední číslo v druhém řádku je různé od nuly, číslo 2 není kořenem studovaného
polynomu x3
+x−2. (Poznamenejme, že tato pozice obsahuje funkční hodnotu
studovaného polynomu v testovaném čísle.)
• Druhý řádek tabulky vymažeme (v zápise na papír ho škrtáme a rozšíříme tabulku
o volný řádek) a otestujeme v něm dalšího kandidáta na kořen.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
70 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
kand. 1 0 1 -2
1 1 1 2 0
• Poslední pozice druhého řádku je nulová, což znamená, že studovaný polynom nabývá
v čísle 1 hodnoty 0. Číslo 1 je tedy kořenem polynomu x3
+x−2. Ostatní čísla (tj. mimo
prvního a posledního) v druhém řádku tabulky navíc udávají koeficienty polynomu
vzniklého vydělením studovaného polynomu kořenovým činitelem právě nalezeného
kořene.
kand. 1 0 1 -2
1 1 1 2 0
– x2
x1
x0
–
• Shrňme si předchozí postup do jediné tabulky.
– x3
x2
x1
x0
kand. 1 0 1 -2
2 1 2 · 1 + 0 = 2 5 8
1 1 1 2 0
– x2
x1
x0
–
Tímto postupem jsme dostali x3
+ x − 2 = (x − 1) x2
+ x + 2 . Proto rozklad musí být
3x2
− x + 6
x3 + x − 2
=
A
x − 1
+
Bx + C
x2 + x + 2
,
z čehož dostaneme rovnici
3x2
− x + 6 = Ax2
+ Ax + 2A + Bx2
− Bx + Cx − C,
neboli
x2
: 3 = A + B,
x1
: −1 = A − B + C,
x0
: 6 = 2A − C.
Řešením této soustavy je čtveřice A = 2, B = 1 a C = −2, proto hledaný rozklad je ve
tvaru
x3
+ 3x2
+ 4
x3 + x − 2
= 1 +
2
x − 1
+
x − 2
x2 + x + 2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 71
(59) Rozložte na parciální zlomky
x + 1
x5 + 3x3 + 2x
.
Řešení:
Nejdříve upravíme jmenovatele, tj. x5
+3x3
+2x = x x4
+ 3x2
+ 2 . S využitím substituce
y = x2
dostaneme kvadratickou rovnici y2
+ 3y + 2 s řešeními y1 = −1 a y2 = −2. Proto
jmenovatele můžeme rozložit do tvaru x x2
+ 1 x2
+ 2 . Hledaný rozklad tedy musí být
ve tvaru
x + 1
x5 + 3x3 + 2x
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 2
+
Dx + E
x2 + 1
,
z čehož dostaneme rovnici
x + 1 = Ax4
+ 3Ax2
+ 2A + Bx4
+ Bx2
+ Cx3
+ Cx + Dx4
+ 2Dx2
+ Ex3
+ 2Ex.
Odtud metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic
x4
: 0 = A + B + D,
x3
: 0 = C + E,
x2
: 0 = 3A + B + 2D,
x1
: 1 = C + 2E,
x0
: 1 = 2A
a její řešení A = 1
2
, B = 1
2
, C = −1, D = −1 a E = 1. Tím jsme získali rozklad na
parciální zlomky
x + 1
x5 + 3x3 + 2x
=
1
2x
+
1
2
·
x − 2
x2 + 2
+
1 − x
x2 + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
72 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(60) Rozložte na parciální zlomky
x − 4
x4 + 8x
.
Řešení:
Upravíme jmenovatele do tvaru x4
+ 8x = x x3
+ 8 a s pomocí Hornerova schématu
1 0 0 8
-2 1 -2 4 0
zjistíme, že x = −2 je také kořenem a další rozklad je ve tvaru x4
+ 8x = x x3
+ 8 =
x (x + 2) x2
− 2x + 4 , proto rozklad bude mít podobu
x − 4
x4 + 8x
=
A
x
+
B
x + 2
+
Cx + D
x2 − 2x + 4
.
Odtud dostaneme rovnici
x − 4 =Ax3
− 2Ax2
+ 4Ax + 2Ax2
− 4Ax + 8A + Bx3
− 2Bx2
+ 4Bx+
+ Cx3
+ 2Cx2
+ Dx2
+ 2Dx.
Metodou neurčitých koeficientů získáme soustavu
x3
: 0 = A + B + C,
x2
: 0 = −2A + 2A − 2B + 2C + D,
x1
: 1 = 4A − 4A + 4B + 2D,
x0
: −4 = 8A
s řešeními A = −1
2
, B = 1
4
, C = 1
4
a D = 0. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
x − 4
x4 + 8x
= −
1
2x
+
1
4
x + 2
+
1
4
x
x2 − 2x + 4
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 73
(61) Rozložte na parciální zlomky
2x4
− x3
+ x2
+ 3x + 3
x2 − 1
.
Řešení:
Nejdříve získáme ryzí racionální funkci, tj.
2x4
− x3
+ x2
+ 3x + 3 : x2
− 1 = 2x2
− x + 3 +
2x + 6
x2 − 1
.
− 2x4
+ 2x2
− x3
+ 3x2
+ 3x + 3
− −x3
+ x
3x2
+ 2x + 3
− 3x2
− 3
2x + 6
Poněvadž platí x2
− 1 = (x − 1) (x + 1), bude rozklad ve tvaru
2x + 6
x2 − 1
=
A
x + 1
+
B
x − 1
,
což vede k rovnici
2x + 6 = Ax − A + Bx + B.
S využitím metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu
x1
: 2 = A + B,
x0
: 6 = B − A
s řešením A = −2 a B = 4. Řešením je tedy rozklad
2x4
− x3
+ x2
+ 3x + 3
x2 − 1
= 2x2
− x + 3 −
2
x + 1
+
4
x − 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
74 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(62) Rozložte na parciální zlomky
2x − 1
2x4 + x3 + x2
.
Řešení:
Úpravou jmenovatele obdržíme 2x4
+ x3
+ x2
= x2
2x2
+ x + 1 , proto musí být rozklad
ve tvaru
2x − 1
2x4 + x3 + x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
2x2 + x + 1
,
což vede na rovnici
2x − 1 = 2Ax3
+ Ax2
+ Ax + 2Bx2
+ Bx + B + Cx3
+ Dx2
.
Pomocí metody neurčitých koeficientů obdržíme soustavu
x3
: 0 = 2A + C,
x2
: 0 = A + 2B + D,
x1
: 2 = A + B,
x0
: −1 = B
a její řešení A = 3, B = −1, C = −6 a D = −1. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
2x − 1
2x4 + x3 + x2
=
3
x
−
1
x2
−
6x + 1
2x2 + x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 75
(63) Rozložte na parciální zlomky
−5x + 2
x4 − x3 + 2x2
.
Řešení:
Upravíme jmenovatele do tvaru součinu, tj. x4
− x3
+ 2x2
= x2
x2
− x + 2 , proto bude
rozklad mít podobu
−5x + 2
x4 − x3 + 2x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 − x + 2
.
Odtud dostaneme rovnici
−5x + 2 = Ax3
− Ax2
+ 2Ax + Bx2
− Bx + 2B + Cx3
+ Dx2
,
což nás metodou neurčitých koeficientů přivede k soustavě
x3
: 0 = A + C,
x2
: 0 = −A + B + D,
x1
: −5 = 2A − B,
x0
: 2 = 2B
s řešením A = −2, B = 1, C = 2 a D = −3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
−5x + 2
x4 − x3 + 2x2
= −
2
x
+
1
x2
+
2x − 3
x2 − x + 2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
76 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(64) Rozložte na parciální zlomky
2x2
+ 4x + 9
x3 + 3x2 + 3x + 2
.
Řešení:
S pomocí Hornerova schématu dostaneme
1 3 3 2
-2 1 1 1 0
proto platí x3
+ 3x2
+ 3x + 2 = (x + 2) x2
+ x + 1 . Tedy rozklad bude ve tvaru
2x2
+ 4x + 9
x3 + 3x2 + 3x + 2
=
A
x + 2
+
Bx + C
x2 + x + 1
,
což vede k rovnici
2x2
+ 4x + 9 = Ax2
+ Ax + A + Bx2
+ 2Bx + Cx + 2C.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x2
: 2 = A + B, x1
: 4 = A + 2B + C, x0
: 9 = A + 2C
s řešením A = 3, B = −1 a C = 3. Hledaný rozklad je tedy tvaru
2x2
+ 4x + 9
x3 + 3x2 + 3x + 2
=
3
x + 2
+
−x + 3
x2 + x + 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 77
(65) Rozložte na parciální zlomky
9x3
− 4x + 1
x4 − x2
.
Řešení:
Upravíme jmenovatele do tvaru x4
− x2
= x2
x2
− 1 = x2
(x − 1) (x + 1), proto rozklad
bude ve tvaru
9x3
− 4x + 1
x4 − x2
=
A
x
+
B
x2
+
C
x + 1
+
D
x − 1
.
Odtud dostaneme rovnici ve tvaru
9x3
− 4x + 1 = Ax3
− Ax + Bx2
− B + Cx3
+ Dx3
+ Dx2
.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x3
: 9 = A + C + D,
x2
: 0 = B − C + D,
x1
: −4 = −A,
x0
: 1 = −B
s řešením A = 4, B = −1, C = 2 a D = 3. Proto hledaný rozklad je ve tvaru
9x3
− 4x + 1
x4 − x2
=
4
x
−
1
x2
+
2
x + 1
+
3
x − 1
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
78 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(66) Rozložte na parciální zlomky
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
.
Řešení:
Jmenovatele již nelze nijak rozložit, proto rozklad musí být v tomto tvaru
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
=
Ax + B
x2 − 3x + 10
+
Cx + D
(x2 − 3x + 10)2
,
což vede na rovnici
x2
− x + 10 = Ax3
+ 3Ax2
+ 10Ax + Bx2
− 3Bx + 10B + Cx + D.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu rovnic
x3
: 0 = A,
x2
: 1 = 3A + B,
x1
: −1 = 10A − 3B + C,
x0
: 10 = 10B + D
s řešením A = 0, B = 1, C = 2 a D = 0. Proto hledaný rozklad je tvaru
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
=
1
x2 − 3x + 10
+
2x
(x2 − 3x + 10)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 79
(67) Rozložte na parciální zlomky
1
x6 + 2x4 + x2
.
Řešení:
Nejdříve upravíme jmenovatele do tvaru
x6
+ 2x4
+ x2
= x2
x4
+ 2x2
+ 1 = x2
x2
+ 1
2
. Proto bude rozklad ve tvaru
1
x6 + 2x4 + x2
=
A
x
+
B
x2
+
Cx + D
x2 + 1
+
Ex + F
(x2 + 1)2
,
z čehož obdržíme rovnici
1 = Ax5
+ 2Ax3
+ Ax + Bx4
+ 2Bx2
+ B + Cx5
+ Cx3
+ Dx4
+ Dx2
+ Ex3
+ Fx2
.
Metodou neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x5
: 0 = A + C,
x4
: 0 = B + D,
x3
: 0 = 2A + C + E,
x2
: 0 = 2B + D + F,
x1
: 0 = A,
x0
: 1 = B
a řešení A = 0, B = 1, C = 0, D = −1, E = 0 a F = −1. Tedy hledaný rozklad je ve
tvaru
1
x6 + 2x4 + x2
=
1
x2
−
1
x2 + 1
−
1
(x2 + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
80 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
(68) Rozložte na parciální zlomky
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1
x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3
.
Řešení:
Pomocí vytýkání upravíme jmenovatele do tvaru
x8
+ 3x7
+ 5x6
+ 5x5
+ 3x4
+ x3
= x3
x5
+ 3x4
+ 5x3
+ 5x2
+ 3x + 1 .
S využitím Hornerova schématu
1 3 5 5 3 1
-1 1 2 3 2 1 0
můžeme psát
x8
+3x7
+5x6
+5x5
+3x4
+x3
= x3
x5
+ 3x4
+ 5x3
+ 5x2
+ 3x + 1 = x3
(x + 1) x4
+ 2x3
+ 3x2
+ 2x + 1
Proto rozklad bude ve tvaru
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1
x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
+
+
Ex + F
x2 + x + 1
+
Gx + H
(x2 + x + 1)2
,
což vede na rovnici
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1 =
= Ax7
+ 3Ax6
+ 5Ax5
+ 5Ax4
+ 3Ax3
+ Ax2
+ Bx6
+ 3Bx5
+ 5Bx4
+
+ 5Bx3
+ 3Bx2
+ Bx + Cx5
+ 3Cx4
+ 5Cx3
+ 5Cx2
+ 3Cx + C+
+ Dx7
+ 2Dx6
+ 3Dx5
+ 2Dx4
+ Dx3
+ Ex7
+ 2Ex6
+ 2Ex5
+ Ex4
+
+ Fx6
+ 2Fx5
+ 2Fx4
+ Fx3
+ Gx5
+ Gx4
+ Hx4
+ Hx3
.
Pomocí metody neurčitých koeficientů dostaneme soustavu
x7
: 5 = A + D + E,
x6
: 12 = 3A + B + 2D + 2E + F,
x5
: 24 = 5A + 3B + C + 3D + 2E + 2F + G,
x4
: 19 = 5A + 5B + 3C + 2D + E + 2F + G + H,
x3
: 8 = 3A + 5B + 5C + D + F + H,
x2
: 4 = A + 3B + 5C,
x1
: 3 = B + 3C,
x0
: 1 = C
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
I. 1. Opakování a úvod do mat. analýzy 81
s řešením A = −1, B = 0, C = 1, D = 4, E = 2, F = 3, G = 6 a H = −1. Proto hledaný
rozklad je ve tvaru
5x7
+ 12x6
+ 24x5
+ 19x4
+ 8x3
+ 4x2
+ 3x + 1
x8 + 3x7 + 5x6 + 5x5 + 3x4 + x3
=
= −
1
x
+
1
x3
+
4
x + 1
+
2x + 3
x2 + x + 1
+
6x − 1
(x2 + x + 1)2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil