418 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
II. 3. Speciální integraˇcní metody
• Integrály typu
f x,
r1
√
x,
r2
√
x, . . . ,
rk
√
x dx,
tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k ∈ N a r1 ≥ 2, . . . , rk ≥ 2
jsou přirozená čísla, řešíme substitucí tn
= x, kde n je nejmenší společný násobek čísel
r1, . . . , rk. Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální
lomené funkce.
• Integrály typu
f x,
r
√
ax + b dx,
r ∈ N, r ≥ 2, a, b ∈ R, řešíme substitucí tr
= ax + b. Pomocí této substituce převedeme
původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
• Integrály typu
f x, r ax + b
cx + d
dx,
kde r ∈ N, r ≥ 2, a, b, c, d ∈ R a ad − bc = 0, řešíme substitucí tr
= ax+b
cx+d
. Pomocí této
substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
• Integrály typu
f x, ax2 + bx + c dx,
kde b2
−4ac = 0, tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný kořen, řešíme pomocí
tzv. Eulerovy substituce. Existuje několik variant těchto substitucí, zde uvedeme některé
z nich:
i) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2, obdržíme
ax2 + bx + c =
√
a · (x − x1)2
x − x2
x − x1
=
√
a · |x − x1|
x − x2
x − x1
,
což s použitím substituce t2
= x−x2
x−x1
převedeme na integrál z racionální lomené funkce;
ii) jestliže a < 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2, obdržíme
ax2 + bx + c =
√
−a · (x − x1)2
x2 − x
x − x1
=
√
−a · (x − x1)
x2 − x
x − x1
,
což s použitím substituce t2
= x2−x
x−x1
převedeme na integrál z racionální lomené funkce;
iii) jestliže a > 0 a kvadratický polynom má dva reálné kořeny x1 < x2 nebo jestliže
kvadratický polynom nemá reálné kořeny, můžeme použít substituci
ax2 + bx + c = ±
√
a · x ± t,
přičemž volba konkrétních znamének je zcela libovolná, čímž obdržíme integrál z racionální
lomené funkce;
iv) jestliže c ≥ 0, můžeme zavést substituci
ax2 + bx + c = ±x · t ±
√
c,
s jejíž pomocí převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce.
• Integrály typu
xm
(a + bxn
)p
dx, m, n, p ∈ Q,
tedy tzv. binomický integrál, řešíme jednou z následujících substitucí
i) jestliže p ∈ Z, volíme substituci x = ts
, kde s je společný jmenovatel m a n;
ii) jestliže m+1
n
∈ Z, volíme substituci a + bxn
= ts
, kde s je jmenovatel p;
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 419
iii) jestliže m+1
n
+ p ∈ Z, volíme substituci ax−n
+ b = ts
, kde s je jmenovatel p.
• Integrály typu
sinn
x · cosm
x dx,
kde m, n ∈ Z řešíme pomocí substituce
i) t = sin x, jestliže m je liché a n sudé nebo nula;
ii) t = cos x, jestliže n je liché a m sudé nebo nula;
iii) t = cos x nebo t = sin x, jestliže m a n jsou lichá čísla;
iv) jestliže m i n jsou sudá čísla, případně některé z nich nula, upravíme výraz pomocí
vzorců sin2
x = 1−cos 2x
2
a cos2
x = 1+cos 2x
2
. Dále pokračujeme dle získaného výsledku
krokem i)–iv).
• Integrály typu
R (sin x, cos x) dx,
řešíme pomocí substituce
i) jestliže R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), volíme substituci t = sin x;
ii) jestliže R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), volíme substituci t = cos x;
iii) jestliže R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), volíme substituci t = tg x;
iv) jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv. univerzální
substituci:
t = tg
x
2
⇒ x = 2 arctg x a dx =
2
1 + t2
dt.
Potom z obrázku
t
1 x
2 √
1 + t2
získáme identity
sin
x
2
=
t
√
1 + t2
a cos
x
2
=
1
√
1 + t2
⇒ sin x =
2t
1 + t2
a cos x =
1 − t2
1 + t2
.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
420 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(363) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x2
+
√
x + 1
x +
√
x
dx.
Řešení:
x2
+
√
x + 1
x +
√
x
dx

t2
= x
2t dt = dx

=
t4
+ t + 1
t2 + t
2t dt = 2
t4
+ t + 1
t + 1
dt =
= 2 t3
− t2
+ t +
1
t + 1
dt = 2
t4
4
−
t3
3
+
t2
2
+ ln |t + 1| + C =
=
x2
2
−
2
√
x3
3
+ x + 2 ln
√
x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 421
(364) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1 +
√
x − 3
√
x
x +
6
√
x5
dx.
Řešení:
1 +
√
x − 3
√
x
x +
6
√
x5
dx

t6
= x
6t5
dt = dx

=
1 + t3
− t2
t6 + t5
6t5
dt = 6
1 − t2
+ t3
t + 1
dt =
= 6 t2
− 2t + 2 −
1
t + 1
dt = 6
t3
3
− t2
+ 2t − ln |t + 1| + C =
= 2
√
x − 6 3
√
x + 12 6
√
x − 6 ln 6
√
x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
422 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(365) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
√
x + 1 + 1
√
x + 1 − 1
dx.
Řešení:
√
x + 1 + 1
√
x + 1 − 1
dx

t2
= x + 1
2t dt = dx

=
t + 1
t − 1
2t dt = 2
t(t + 1)
t − 1
dt =
= 2 t + 2 +
2
t − 1
dt = 2
t2
2
+ 2t + 2 ln |t − 1| + C =
= x + 1 + 4
√
x + 1 + 4 ln
√
x + 1 − 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 423
(366) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
x
x + 1
x − 1
dx.
Řešení:
1
x
x + 1
x − 1
dx

t2
= x+1
x−1
x = 1+t2
t2−1
dx = − 4t
(t2−1)2 dt

=
t2
− 1
t2 + 1
t
−4t
(t2 − 1)2
dt =
=
−4t2
(t2 + 1)(t2 − 1)
dt = −
1
t − 1
+
1
t + 1
−
2
t2 + 1
dt =
= − ln |t − 1| + ln |t + 1| − 2 arctg t + C =
= − ln
x + 1
x − 1
− 1 + ln
x + 1
x − 1
+ 1 − 2 arctg
x + 1
x − 1
+ C =
= 2 ln |x + 1| − |x − 1| − 2 arctg
x + 1
x − 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
424 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(367) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
x(
√
x +
5
√
x2)
.
Řešení:
dx
x(
√
x +
5
√
x2)

t10
= x
10t9
dt = dx

=
10t9
t10(t5 + t4)
dt = 10
dt
t6 + t5
=
= 10
1
t
−
1
t2
+
1
t3
−
1
t4
+
1
t5
−
1
t + 1
dt =
= 10 ln |t| +
1
t
−
1
2t2
+
1
3t3
−
1
4t4
− ln |t + 1| + C =
= ln
x
( 10
√
x + 1)10
+
10
10
√
x
−
5
5
√
x
+
10
3
10
√
x3
−
5
2
5
√
x2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 425
(368) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x + 1
3
√
3x + 1
dx.
Řešení:
x + 1
3
√
3x + 1
dx

t3
= 3x + 1
x = t3−1
3
3 dx = 3t2
dt

=
t3−1
3
+ 1
t
t2
dt =
t3
− 1 + 3
3
t dt =
=
1
3
t4
+ 2t dt =
1
3
t5
5
+ t2
+ C =
t2
3
t3
5
+ 1 + C =
=
3
(x + 1)2
3
3x + 1
5
+ 1 + C = 3
(3x + 1)2 ·
x + 2
5
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
426 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(369) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1 −
√
x + 1
1 + 3
√
x + 1
dx.
Řešení:
1 −
√
x + 1
1 + 3
√
x + 1
dx

t6
= x + 1
6t5
dt = dx

=
1 − t3
1 + t2
6t5
dt =
= 6 −t6
+ t4
+ t3
− t2
− t + 1 +
t − 1
1 + t2
dt =
= −
6t7
7
+
6t5
5
+
6t4
4
−
6t3
3
−
6t2
2
+ 6t + 6
1
2
2t
1 + t2
−
1
1 + t2
dt =
= −
6t7
7
+
6t5
5
+
3t4
2
− 2t3
− 3t2
+ 6t + 3 ln 1 + t2
− 6 arctg t + C =
= −
6
7
6
(x + 1)7 +
6
5
6
(x + 1)5 +
3
2
3
(x + 1)2 − 2
√
x + 1 − 3
3
√
x + 1+
+ 6
6
√
x + 1 + 3 ln 1 +
3
√
x + 1 − 6 arctg
6
√
x + 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 427
(370) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
x2
1 + x
x
dx.
Řešení:
1
x2
1 + x
x
dx

t2
= 1+x
x
x = 1
t2−1
dx = − 2t
(t2−1)2 dt

= (t2
− 1)2
t
−2t
(t2 − 1)2
dt =
= − 2t2
dt = −
2t3
3
+ C = −
2
3
1 + x
x
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
428 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(371) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
3
(x + 2)2 − 3 3
√
x + 2 − 4
.
Řešení:
dx
3
(x + 2)2 − 3 3
√
x + 2 − 4

t3
= x + 2
3t2
dt = dx

=
3t2
t2 − 3t − 4
dt =
= 3 −
3
5(t + 1)
+
48
5(t − 4)
dt = 3t −
3
5
ln |t + 1| +
48
5
ln |t − 4| + C =
= 3
3
√
x + 2 −
3
5
ln
3
√
x + 2 + 1 +
48
5
ln
3
√
x + 2 − 4 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 429
(372) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1 −
√
x
1 +
√
x
dx.
Řešení:
1 −
√
x
1 +
√
x
dx =
1 −
√
x
1 +
√
x
·
1 +
√
x
1 +
√
x
dx =
√
1 − x
1 +
√
x
dx

t2
= x
2t dt = dx

=
=
√
1 − t2
1 + t
2t dt = 2
(1 + t)
√
1 − t2 −
√
1 − t2
1 + t
dt =
= 2 1 − t2 −
√
1 − t2
1 + t
dt
Př. (345)
=
= t 1 − t2 + arcsin t − 2
√
1 − t2
1 + t
dt

t = sin u
arcsin t = u
1√
1−t2
dt = du

=
= t 1 − t2 + arcsin t − 2
1 − sin2
u
1 + sin u
du =
= t 1 − t2 + arcsin t − 2 (1 − sin u) du =
= t 1 − t2 + arcsin t − 2u − 2 cos u + C =
= t 1 − t2 + arcsin t − 2u − 2 1 − sin2
u + C =
=
√
x
√
1 − x + arcsin
√
x − 2 arcsin
√
x − 2
√
1 − x + C =
=
√
x − 2
√
1 − x − arcsin
√
x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
430 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(373) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
√
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx.
Řešení:
√
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx

t2
= x + 1
t2
− 2 = x − 1
2t dt = dx

= 2
t −
√
t2 − 2
t +
√
t2 − 2
t dt =
= 2
t −
√
t2 − 2
t +
√
t2 − 2
t
√
t2 − 2
t −
√
t2 − 2
t −
√
t2 − 2
√
t2 − 2
dt =
= 2
t −
√
t2 − 2 t
√
t2 − 2
2
t −
√
t2 − 2
√
t2 − 2
dt

u =
√
t2 − 2 − t
−u2+2
2u
= t
du = t−
√
t2−2√
t2−2

=
= −u −
u2
+ 2
2u
u −
u2
+ 2
2u
du =
=
u2
+ 2
2
u2
− 2
2u
du =
1
4
u3
−
1
u
du =
=
1
4
u4
4
− ln |u| + C =
1
16
t2 − 2 − t
4
− ln t2 − 2 − t + C =
=
1
16
√
x − 1 −
√
x + 1
4
− ln
√
x − 1 −
√
x + 1 + C =
=
1
16
(x − 1)2
− 4 (x − 1)3/2
(x + 1)1/2
+ 6 (x − 1) (x + 1) −
− 4 (x − 1)1/2
(x + 1)3/2
+ (x + 1)2
− ln
√
x − 1 −
√
x + 1 + C =
=
1
16
x2
− 2x + 1 − 4 (x − 1)3/2
(x + 1)1/2
+ 6 x2
− 1 −
− 4 (x − 1)1/2
(x + 1)3/2
+ x2
+ 2x + 1 − ln
√
x − 1 −
√
x + 1 + C =
=
1
2
x2
−
1
2
x x2 − 1 − ln
√
x − 1 −
√
x + 1 −
1
4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 431
(374) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
1 +
√
−x2 + x + 2
.
Řešení:
dx
1 +
√
−x2 + x + 2
polynom −x2
+ x + 2 má reálné kořeny 2, −1
 =
=
dx
1 + (x + 1) 2−x
x+1

t2
= 2−x
x+1
x = 2−t2
t2+1
x + 1 = 3
t2+1
dx = −6t
(t2+1)2 dt

=
−6t
(t2+1)2
1 + 3
t2+1
t
dt =
=
−6t
(t2 + 1)2
t2
+ 1
t2 + 3t + 1
dt = −6
t
(t2 + 1)(t2 + 3t + 1)
dt =
= −
4
5
√
5
2t + 3 +
√
5
−
2
t2 + 1
−
4
5
√
5
−2t − 3 +
√
5
dt =
= −
4
√
5
5
1
2
ln 2t + 3 +
√
5 − 2 arctg t −
4
√
5
5
−
1
2
ln −2t − 3 +
√
5 + C =
= −
2
√
5
5
ln 2
2 − x
x + 1
+ 3 +
√
5 +
2
√
5
5
ln −2
2 − x
x + 1
− 3 +
√
5 − 2 arctg
2 − x
x + 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
432 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(375) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
(x − 1)
√
x2 + x + 1
.
Řešení:
dx
(x − 1)
√
x2 + x + 1

polynom x2
+ x + 1 nemá reálné kořeny
√
x2 + x + 1 = x + t
x = 1−t2
2t−1
x − 1 = −t2+2t−2
2t−1
x + t = t2−t+1
2t−1
dx = −2(t2−t+1)
(2t−1)2 dt

=
=
−2(t2−t+1)
(2t−1)2
−t2+2t−2
2t−1
t2−t+1
2t−1
dt =
2
t2 + 2t − 2
dt = −
1
3
√
3
t + 1 +
√
3
−
1
3
√
3
−t − 1 +
√
3
dt =
= −
√
3
3
ln t + 1 +
√
3 +
√
3
3
ln −t − 1 +
√
3 =
= −
√
3
3
ln
√
x2 + x + 1 − x + 1 +
√
3
x −
√
x2 + x + 1 − 1 +
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 433
(376) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
x +
√
x2 − x + 1
.
Řešení:
dx
x +
√
x2 − x + 1

polynom x2
− x + 1 nemá reálné kořeny
√
x2 − x + 1 = t − x
x = t2−1
2t−1
dx = 2(t2−t+1)
(2t−1)2 dt

=
=
2(t2−t+1)
(2t−1)2
t2−1
2t−1
+ t − t2−1
2t−1
dt = 2
t2
− t + 1
t(2t − 1)2
dt =
=
2
t
−
3
2t − 1
+
3
(2t − 1)2
dt

u = 2t − 1
du = 2dt

= 2 ln |t| + −
3
2u
+
3
2u2
du =
= 2 ln |t| −
3
2
ln |u| −
3
2u
= 2 ln |t| −
3
2
ln |2t − 1| −
3
2(2t − 1)
+ C =
= 2 ln x + x2 − x + 1 −
3
2
ln 2x + 2 x2 − x + 1 − 1 −
1
4x + 2
√
x2 − x + 1 − 2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
434 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(377) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
(x + 4)
√
x2 + 3x − 4
.
Řešení:
dx
(x + 4)
√
x2 + 3x − 4
polynom x2
+ 3x − 4 má reálné kořeny 1, −4
 =
=
dx
(x + 4) |x + 4| x−1
x+4

t2
= x−1
x+4
x = 4t2+1
1−t2
x + 4 = 5
1−t2
dx = 10t
(1−t2)2 dt

=
10t
(1−t2)2
5
1−t2
5
1−t2 t
dt =
2
5
1 − t2
1 − t2
dt =
=
2
5
sgn 1 − t2
1 dt =
2
5
sgn 1 − t2
t + C =
2
5
sgn (x + 4)
x − 1
x + 4
+ C =
2
5
x − 1
√
x2 + 3x − 4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 435
(378) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x dx
√
x2 + 3x + 2
.
Řešení:
x dx
√
x2 + 3x + 2
polynom x2
+ 3x + 2 má reálné kořeny −1, −2
 =
=
x dx
|x + 2| x+1
x+2

t2
= x+1
x+2
x = 2t2−1
1−t2
x + 2 = 1
1−t2
dx = 2t
(1−t2)2 dt

=
2t2−1
1−t2
2t
(1−t2)2
1
1−t2 t
dt =
=
2t(2t2
− 1)
(1 − t2)3
1 − t2
t
dt = sgn 1 − t2 4t2
− 2
(1 − t2)2
dt =
= sgn 1 − t2 1
2(t − 1)2
+
1
2(t + 1)2
−
3
2(t + 1)
+
3
2(t − 1)
dt =
= sgn 1 − t2
−
1
2(t − 1)
−
1
2(t + 1)
−
3
2
ln |t + 1| +
3
2
ln |t − 1| + C =
= sgn 1 − t2
−
1
2
2t
t2 − 1
−
3
2
ln
t + 1
t − 1
+ C =
= − sgn 1 − t2 t
t2 − 1
− 3 sgn 1 − t2
ln
|t + 1|
|t − 1|
+ C =
= sgn (x + 2)
x + 1
x + 2
1
x + 2
− 3 sgn 1 − t2
ln
(t + 1)2
|t2 − 1|
+ C =
= sgn (x + 2)
x + 1
x + 2
1
x + 2
− 3 sgn 1 − t2
ln
|t + 1|
|t2 − 1|
+ C =
= x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln
x+1
x+2
+ 1
− 1
x+2
+ C =
= x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln
|x + 1| + |x + 2|
|x + 2|
|x + 2| + C =
= x2 + 3x + 2 − 3 sgn (x + 2) ln |x + 1| + |x + 2| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
436 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(379) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
x +
√
x2 + x − 1
.
Řešení:
dx
x +
√
x2 + x − 1

polynom x2
+ x − 1 má reálné kořeny −1
2
±
√
5
2√
x2 + x − 1 = x + t
x = t2+1
1−2t
x + t = −(t2−t−1)
1−2t
dx = −2(t2−t−1)
(1−2t)2 dt

=
=
(t2
− t − 1)
(t2 + 1 − t2 + t + 1)(1 − 2t)
dt = 1 −
2
t + 2
−
1
2 t − 1
2
dt =
= t − 2 ln |t + 2| −
1
2
ln t −
1
2
+ C =
= x2 + x − 1 − x − 2 ln x2 + x − 1 − x + 2 −
1
2
ln x2 + x − 1 − x −
1
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 437
(380) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
√
−4x2 + 16x − 15
.
Řešení:
dx
√
−4x2 + 16x − 15
=
dx
2 −x2 + 4x − 15
4
polynom x2
+ x − 1 má reálné kořeny 5
2
a 3
2
 =
=
dx
2 5
2
− x x − 3
2
=
dx
2 x − 3
2
5
2
−x
x− 3
2

t2
=
5
2
−x
x− 3
2
x = 5+3t2
2t2+2
x − 3
2
= 1
t2+1
dx = −2t
(t2+1)2 dt

=
−2t
(t2+1)2
2 1
t2+1
t
dt =
= −
1
t2 + 1
dt = − arctg t + C = − arctg
5 − 2x
2x − 3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
438 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(381) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
3
√
x(7 + 5x4
)2
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
3
√
x(7 + 5x4
)2
dx
p = 2 ∈ Z ⇒ x = t3
, dx = 3t2
dt
 =
= t(7 + 5t12
)2
3t2
dt = 3 t3
(49 + 70t12
+ 25t24
) dt =
= 3 49t3
+ 70t15
+ 25t27
dt =
3t4
56
(686 + 245t12
+ 50t24
) + C =
=
3
56
x 3
√
x(686 + 245x4
+ 50x8
) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 439
(382) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
(2 + 5x)3
4
√
x3
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
(2 + 5x)3
4
√
x3
dx = x−3
4 (2 + 5x)3
dx
p = 3 ∈ Z ⇒ x = t4
, dx = 4t3
dt
 =
= t−3
(2 + 5t4
)3
4t3
dt = 4 (2 + 5t4
)3
dt =
= 4 8 + 60t4
+ 150t8
+ 125t12
dt = 4 8t + 12t5
+
50
3
t9
+
125
13
t13
+ C =
=
4
39
4
√
x(312 + 468x + 650x2
+ 375x3
) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
440 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(383) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
x 2 − 3
√
x dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
x 2 − 3
√
xdx

p = 1
2
∈ Z, m+1
n
= 4 ∈ Z
⇒ 2 − 3
√
x = t2
,
√
x = 2−t2
3
,
−3 1
2
√
x
dx = 2t dt, x− 1
2 dx = −4
3
t dt

=
=
2 − t2
3
3
2 − 3
2 − t2
3
−
4
3
t dt = −
4
34
(2 − t2
)3
t2
dt =
= −
4
34
8t2
− 12t4
+ 6t6
− t8
dt = −
4
34
t3 8
3
−
12
5
t2
+
6
7
t4
−
1
9
t6
+ C =
= −
4
81
(2 − 3
√
x)
3
2
8
3
−
12
5
(2 − 3
√
x) +
6
7
(2 − 3
√
x)2
−
1
9
(2 − 3
√
x)3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 441
(384) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
3
1 + 4
√
x
√
x
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
3
1 + 4
√
x
√
x
dx = x− 1
2 (1 + x
1
4 )
1
2 dx

p = 1
3
∈ Z, m+1
n
= 2 ∈ Z
⇒ 1 + x
1
4 = t3
, x = (t3
− 1)4
,
dx = 4(t3
− 1)3
3t2
dt

=
= (t3
− 1)−2
t12t2
(t3
− 1)3
dt = 12 t3
(t3
− 1) dt = 12 t6
− t3
dt =
= 12
t7
7
−
t4
4
+ C = 12(1 + x
1
4 )
4
3
1 + x
1
4
7
−
1
4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
442 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(385) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
√
x
7
√
x3
27
− 3
2
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
√
x
7
√
x3
27
− 3
2
dx = x
1
2 −3 + 1
27
x
3
2
2
7
dx

p = 2
7
∈ Z, m+1
n
= 1 ∈ Z
⇒ −3 + 1
27
x
3
2 = t7
, x = 9(t7
+ 3)
2
3 ,
dx = 42(t7
+ 3)− 1
3 t6
dt

=
= 3(t7
+ 3)
1
3 t2
42(t7
+ 3)− 1
3 t6
dt =
= 126 t8
dt = 14t9
+ C = 14 1
27
x
3
2 − 3
9
7
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 443
(386) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
4
√
1 + x4
dx.
Řešení:
Jde o binomický integrál.
1
4
√
1 + x4
dx = (1 + x4
)− 1
4 dx

p = −1
4
∈ Z, m+1
n
= 1
4
∈ Z, m+1
n
+ p = 1
4
− 1
4
= 0 ∈ Z
⇒ 1x−4
+ 1 = t4
, x = (t4
− 1)− 1
4 ,
1 + x4
= t4
x4
= t4
(t4
− 1)−1
,
dx = −1
4
(t4
− 1)
5
4 4t3
dt

=
= t−1
(t4
− 1)
1
4 −
1
4
(t4
− 1)− 5
4 4t3
dt = −
t2
t4 − 1
dt =
= −
t2
(t − 1)(t + 1)(t2 + 1)
dt = −
1
4
t − 1
−
1
4
t + 1
+
1
2
t2 + 1
dt =
= −
1
4
(ln |t − 1| − ln |t + 1| + 2 arctg t) + C =
= −
1
4
ln(
4
x−4 + 1 − 1) − ln(
4
x−4 + 1 + 1) + 2 arctg(
4
x−4 + 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
444 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(387) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené
funkce.
2x2 + x dx.
Řešení:
2x2 + x dx = x(1 + 2x) dx

p = 1
2
∈ Z, m+1
n
= 3
2
∈ Z, m+1
n
+ p = 2 ∈ Z
⇒ 1x−1
+ 2 = t2
, x = (t2
− 2)−1
,
1 + 2x = t2
x = t2
(t2
− 2)−1
,
dx = −2t(t2
− 2)−2
dt

=
= (t2
− 2)
1
2 t(t2
− 2)
1
2 (−2t)(t2
− 2)−2
dt = −2
t2
(t2 − 2)3
dt.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 445
(388) Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené
funkce.
x
3
8 − 7x3 dx.
Řešení:
x
3
8 − 7x3 dx

p = 1
3
∈ Z, m+1
n
= 2
3
∈ Z, m+1
n
+ p = 1 ∈ Z
⇒ 8x−3
− 7 = t3
, x = 2(t3
+ 7)−1
3 ,
8 − 7x3
= t3
x3
= t3
8(t3
+ 7)−1
,
dx = −2t2
(t3
+ 7)− 4
3 dt

=
= 2(t3
+ 7)− 1
3 t2(t3
+ 7)− 1
3 (−2)t2
(t3
+ 7)− 4
3 dt = −8
t3
(t3 + 7)2
dt.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
446 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(389) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
cos5
x · sin2
x dx.
Řešení:
cos5
x · sin2
x dx = 1 − sin2
x
2
cos x · sin2
x dx

t = sin x
dt = cos x dx

=
= 1 − t2 2
t2
dt = t2
− 2t4
+ t6
dt =
t3
3
− 2
t5
5
+
t7
7
+ C =
=
sin3
x
3
−
2 sin5
x
5
+
sin7
x
7
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 447
(390) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
cos5
x · sin4
x dx.
Řešení:
cos5
x · sin4
x dx = 1 − sin2
x
2
cos x · sin4
x dx

t = sin x
dt = cos x dx

=
= 1 − t2 2
t4
dt = t4
− 2t6
+ t8
dt =
t5
5
− 2
t7
7
+
t9
9
+ C =
=
sin5
x
5
−
2 sin7
x
7
+
sin9
x
9
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
448 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(391) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
sin x
.
Řešení:
dx
sin x
=
sin x
sin2
x
dx

t = cos x
dt = − sin xdx

= −
dt
1 − t2
=
dt
t2 − 1
=
=
1
2
t − 1
−
1
2
t + 1
dt =
1
2
ln |t − 1| −
1
2
ln |t + 1| + C =
=
1
2
ln |cos x − 1| −
1
2
ln |cos x + 1| + C ==
1
2
ln
cos x − 1
cos x + 1
+ C =
=
1
2
ln
2 sin2 x
2
2 cos2 x
2
+ C =
1
2
ln tg2 x
2
+ C = ln tg x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 449
(392) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin3
x
1 + 4 cos2 x + 3 sin2
x
dx.
Řešení:
sin3
x
1 + 4 cos2 x + 3 sin2
x
dx

t = cos x
dt = − sin xdx

=
t2
− 1
1 + 4t2 + 3 − 3t2
dt =
=
t2
+ 4 − 5
t2 + 4
dt = 1 − 5
1
t2 + 4
dt = t −
5
2
arctg
t
2
+ C =
= cos x −
5
2
arctg
cos x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
450 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(393) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
1 + sin2
x
.
Řešení:
dx
1 + sin2
x

t = tg x
sin x = t√
1+t2
dx = 1
1+t2 dt

=
1
1+t2
1 + t2
1+t2
dt =
1
1 + 2t2
dt =
1
2
1
t2 + 1
2
dt =
=
1
2
√
2 arctg
t
1√
2
+ C =
√
2
2
arctg
√
2 tg x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 451
(394) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin4
x
cos4 x
dx.
Řešení:
sin4
x
cos4 x
dx

t = tg x
dx = 1
1+t2 dt

=
t4
(1+t2)2
1
(1+t2)2
1
1 + t2
dt =
t4
1 + t2
dt =
= t2
− 1 +
1
t2 + 1
dt =
t3
3
− t + arctg t + C =
=
tg3
x
3
− tg x + arctg (tg x) + C =
tg3
x
3
− tg x + x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
452 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(395) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
5
4 + sin x
dx.
Řešení:
5
4 + sin x
dx

t = tg x
sin x = 2t
1+t2
dx = 2
1+t2 dt

=
5
4 + 2t
1+t2
2
1 + t2
dt =
10
4 + 4t2 + 2t
dt =
=
5
2
dt
t2 + t
2
+ 1
=
5
2
dt
t + 1
4
2
+ 15
16
=
5
2
4
√
15
arctg
t + 1
4
√
15
4
+ C =
=
10
√
15
arctg
4t + 1
√
15
+ C =
2
√
15
3
arctg
4 tg x
2
+ 1
√
15
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 453
(396) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
dx
2 − cos x
.
Řešení:
dx
2 − cos x

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
2
1+t2
2 − 1−t2
1+t2
dt =
2
3t2 + 1
dt =
2
3
dt
t2 + 1
3
=
=
2
3
1
1√
3
arctg
t
1√
3
+ C =
2
√
3
3
arctg
√
3 tg
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
454 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(397) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin x
1 + cos x
dx.
Řešení:
sin x
1 + cos x
dx

t = cos x
dt = − sin xdx

= −
dt
1 + t
= − ln |1 + t| + C = − ln |1 + cos x| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 455
(398) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
cos3
x
2 − sin x
dx.
Řešení:
cos3
x
2 − sin x
dx

t = sin x
dt = cos x dx

=
1 − t2
2 − t
dt = 2 + t +
3
t − 2
dt =
= 2t +
t2
2
+ 3 ln |t − 2| + C = 2 sin x +
sin2
x
2
+ 3 ln |sin x − 2| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
456 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(399) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
sin x
sin x − cos x
dx.
Řešení:
sin x
sin x − cos x
dx =
tg x
tg x − 1
dx

t = tg x
dx = 1
1+t2 dt

=
t
t − 1
1
1 + t2
dt =
=
t
(t − 1)(t2 + 1)
dt =
1
2
t − 1
+
1
2
1 − t
t2 + 1
dt =
=
1
2
ln |t − 1| +
1
2
−
1
2
2t
t2 + 1
dt +
dt
t2 + 1
=
=
1
2
ln |t − 1| −
1
4
ln t2
+ 1 +
1
2
arctg t + C =
=
1
2
ln |tg x − 1| −
1
4
ln tg2
x + 1 +
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 457
(400) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
2 − sin x
2 + cos x
dx.
Řešení:
2 − sin x
2 + cos x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
2 − 2t
1+t2
2 + 1−t2
1+t2
2
1 + t2
dt =
=
2 + 2t2
− 2t
2 + 2t2 + 1 − t2
2
1 + t2
dt =
= 4
t2
− t + 1
(1 + t2)(t2 + 3)
dt = 2
2 + t
t2 + 3
dt − 2
t
1 + t2
dt =
=
2t
t2 + 3
dt + 4
dt
t2 + 3
− 2
t
1 + t2
dt =
=
2t
t2 + 3
dt +
4
3
dt
t√
3
2
+ 1
− 2
t
1 + t2
dt =
= ln t2
+ 3 +
4
√
3
arctg
t
√
3
− ln 1 + t2
+ C =
= ln tg2 x
2
+ 3 − ln tg2 x
2
+ 1 +
4
√
3
arctg
tg x
2
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
458 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(401) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
sin x
dx.
Řešení:
Tento příklad je jedním z mála příkladů, které lze řešit jiným způsobem než univerzální
substitucí t = tg x
2
, ale právě využití této substituce je nejvýhodnější. (Porovnejte s Příkladem
391.)
1
sin x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
=
1 + t2
2t
2
1 + t2
dt =
1
t
dt = ln |t| + C = ln tg x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 459
(402) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
1 + sin 2x
dx.
Řešení:
Tento příklad je možné řešit substitucí t = 2x a následně substitucí z = tg t
2
. Výhodnější
je ale následující způsob.
1
1 + sin 2x
dx =
1
1 + 2 sin x cos x
dx

t = tg x
dx = 1
1+t2 dt

=
=
1
1 + 2 t√
1+t2
1√
1+t2
1
1 + t2
dt =
1
(1 + t)2
dt = −
1
t + 1
+ C = −
1
tg x + 1
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
460 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(403) Pomocí vhodné substituce vypočtěte
1
2 + sin x
dx.
Řešení:
1
2 + sin x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
=
1
2 + 2t
1+t2
2
1 + t2
dt =
1
t2 + t + 1
dt =
1
(t + 1
2
)2 + 3
4
dt =
=

t + 1
2
=
√
3
2
y
dt =
√
3
2
dy

=
1
3
4
(y2 + 1)
√
3
2
dy =
2
√
3
2
arctg y + C =
=
2
√
3
2
arctg
2t + 1
√
3
+ C =
2
√
3
2
arctg
2 tg x
2
+ 1
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 3. Speciální integrační metody 461
(404) Pomocí vhodné substituce převeďte daný integrál na integrál racionální lomené funkce.
sin2
x
sin x + 2 cos x
dx.
Řešení:
sin2
x
sin x + 2 cos x
dx =
sin x
1 + 2 cotg x
dx

t = tg x
2
dx = 2
1+t2 dt

=
=
2t
1+t2
1 + 21−t2
2t
2
1 + t2
dt =
4t2
(1 + t2)2(1 + t − t2)
dt =
=
4t2
(1 + t2)2(t − 1+
√
5
2
)(t − 1−
√
5
2
)
dt.
Poznámka 31. Po rozkladu na parciální zlomky, integraci racionálních lomených funkcí
a vrácení substituce vyjde
· · · =
8
√
5
25
arctgh
√
5
5
(2 tg x
2
− 1) −
2
5
·
2 tg x
2
− 1
tg2 x
2
+ 1
+ C =
= −
1
5
cos x −
2
5
sin x −
8
√
5
25
arctgh
√
5 (sin x + 2 · cos x − 2)
5 sin x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil