II. Integrální poˇcet funkcí
jedné promˇenné
II. 1. Základní integraˇcní metody
Definice 28. Nechť funkce f je definována na intervalu I. Funkce F se nazývá primitivní k funkci
f na I, jestliže platí F (x) = f(x) pro každé x ∈ I.
Množina všech primitivních funkcí k funkci f na I se nazývá neurčitý integrál z funkce f a značí
se f(x) dx, tj.
f(x) dx := {F : F je primitivní funkce k f na I} .
Základní vzorce pro integrování (k ∈ R):
(f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx,
k · f(x) dx = k · f(x) dx.
Integrování elementárních funkcí (a, b, k, C, α, β ∈ R, a > 0, b = 0 jsou dané konstanty a C je
integrační konstanta):
k dx = kx + C, xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C,
1
x
dx = ln |x| + C, ex
dx = ex
+C,
ax
dx =
ax
ln a
+ C, sin x dx = − cos x + C,
cos x dx = sin x + C,
1
x2 + 1
dx = arctg x + C,
1
√
1 − x2
dx = arcsin x + C,
1
cos2 x
dx = tg x + C,
1
sin2
x
dx = − cotg x + C,
f (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C.
f(x) dx = F(x) + C ⇒ f(αx + β) dx =
1
α
F(αx + β) + C.
Věta 29 (Integrování per-partes). Nechť funkce u a v mají derivaci na intervalu I. Pak platí
u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) − u (x) · v(x) dx,
pokud alespoň jeden z uvedených integrálů existuje.
363
364 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
u(x) v (x)
P(x) · ekx
P(x) ekx
P(x) · akx
P(x) akx
P(x) · sin(kx) P(x) sin(kx)
P(x) · cos(kx) P(x) cos(kx)
u(x) v (x)
P(x) · lnn
x lnn
x P(x)
P(x) · logn
b x logn
b x P(x)
P(x) · arcsin(kx) arcsin(kx) P(x)
P(x) · arccos(kx) arccos(kx) P(x)
P(x) · arctg(kx) arctg(kx) P(x)
P(x) · arccotg(kx) arccotg(kx) P(x)
Tabulka 1. Jak volit funkce při integrování per-partes (P(x) je polynom, k ∈ R).
Věta 30 (Substituční metoda). Nechť funkce f má na otevřeném intervalu J primitivní funkci F,
funkce ϕ(x) má derivaci na otevřeném intervalu I a pro libovolné x ∈ I je ϕ(x) ∈ J. Pak má
složená funkce f(ϕ) ϕ na intervalu I primitivní funkci a platí
f[ϕ(x)] ϕ (x) dx
ϕ(x) = u
ϕ (x) dx = du
= f(u) du = F(u) + C = F[ϕ(x)] + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 365
(314) Vypočtěte
x dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
x dx =
x2
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
366 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(315) Vypočtěte
1
x2
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
1
x2
dx = x−2
dx =
x−1
−1
+ C = −
1
x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 367
(316) Vypočtěte
√
x dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
√
x dx = x1/2
dx =
x3/2
3/2
+ C =
2
3
√
x3 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
368 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(317) Vypočtěte
1
3
√
x
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
1
3
√
x
dx = x−1/3
dx =
x2/3
2/3
+ C =
3
2
3
√
x2 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 369
(318) Vypočtěte
e−x
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
e−x
dx = − e−x
+C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
370 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(319) Vypočtěte
1
x2 + 3
dx.
Řešení:
S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců, tj.
1
x2 + 3
dx =
1
3
1
x2
3
+ 1
dx =
1
3
1
x√
3
2
+ 1
dx =
1
√
3
arctg
x
√
3
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 371
(320) Vypočtěte
1
√
4 − x2
dx.
Řešení:
S pomocí úpravy můžeme využít jeden ze základních vzorců, tj.
1
√
4 − x2
dx =
1
2 1 − x2
4
dx =
1
2
1
1 − x
2
2
dx = arcsin
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
372 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(321) Vypočtěte
3x2
+ 1
x3 + x + 2
dx.
Řešení:
S využitím základních vzorců obdržíme přímo
3x2
+ 1
x3 + x + 2
dx = ln x3
+ x + 2 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 373
(322) Vypočtěte
2
cos2 x
− 3 sin 5x + 2 cos
x
2
+ 3x
−
7
2x
+
4
3 − x
−
2
3x + 2
+ 2 e
2x
3 dx.
Řešení:
Aplikací základních vzorců získáme
2
cos2 x
− 3 sin 5x + 2 cos
x
2
+ 3x
−
7
2x
+
4
3 − x
−
2
3x + 2
+ 2 e
2x
3 dx =
= 2 tg x +
3
5
cos 5x + 4 sin
x
2
+
3x
ln 3
+
7
2x ln 2
− 4 ln |3 − x| −
2
3
ln |3x + 2| + 3 e
2x
3 +C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
374 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(323) Vypočtěte
tg2
(au) du, a = 0.
Řešení:
Postupným upravováním obdržíme
tg2
(au) du =
sin2
(au)
cos2 (au)
du =
1 − cos2
(au)
cos2 (au)
du =
1
cos2 (au)
du − 1 du =
=
1
a
tg (au) − u + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 375
(324) Vypočtěte
tg (bs) ds, b = 0.
Řešení:
Ze základních vzorců získáme
tg (bs) ds =
sin (bs)
cos (bs)
ds = −
1
b
ln |cos (bs)| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
376 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(325) Vypočtěte
x
cos2 x
dx.
Řešení:
S využitím metody per-partes dostaneme
x
cos2 x
dx

u = x u = 1
v = tg x v = 1
cos2 x

= x tg x − tg x dx =
= x tg x −
sin x
cos x
dx = x tg x + ln |cos x| + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 377
(326) Vypočtěte
x ln x dx.
Řešení:
Metodou per-partes získáme
x ln x dx

u = ln x u = 1
x
v = x2
2
v = x

=
x2
2
ln x −
x
2
dx =
x2
2
ln x −
x2
4
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
378 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(327) Vypočtěte
(2x − 1) ln x dx.
Řešení:
Metodou per-partes získáme
(2x − 1) ln x dx

u = ln x u = 1
x
v = x2
− x v = 2x − 1

=
= (x2
− x) ln x −
1
x
(x2
− x) dx = (x2
− x) ln x − (x − 1) dx =
= (x2
− x) ln x −
x2
2
+ x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 379
(328) Vypočtěte
(x2
+ 1) e−x
dx.
Řešení:
S opakovaným využitím metody per-partes dostaneme
(x2
+ 1) e−x
dx

u = x2
+ 1 u = 2x
v = − e−x
v = e−x

=
= −(x2
+ 1) e−x
+ 2x e−x
dx

u = 2x u = x
v = − e−x
v = e−x

=
= −(x2
+ 1) e−x
−2x e−x
+ 2 e−x
dx =
= −(x2
+ 1) e−x
−2x e−x
+ − 2 e−x
+C = − e−x
(x2
+ 2x + 3) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
380 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(329) Vypočtěte
x2
e−3x
dx.
Řešení:
Metodou per-partes získáme
x2
e−3x
dx

u = x2
u = 2x
v = −1
3
e−3x
v = e−3x

=
= −
1
3
x2
e−3x
+
2
3
x e−3x
dx

u = x u = 1
v = −1
3
e−3x
v = e−3x

=
= −
1
3
x2
e−3x
−
2
9
x e−3x
+
2
9
e−3x
dx = −
1
3
e−3x
x2
+
2
3
x +
2
9
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 381
(330) Vypočtěte
ex
sin x dx.
Řešení:
Po dvojnásobném použití metody per-partes dostaneme
ex
sin x dx

u = ex
u = ex
v = − cos x v = sin x

=
= − ex
cos x + ex
cos x dx

u = ex
u = ex
v = sin x v = cos x

=
= − ex
cos x + ex
sin x − ex
sin x dx,
což znamená, že jsme ve výsledku obdrželi stejný integrál jako v zadání pouze s opačným
znaménkem, tj.
ex
sin x dx =
1
2
ex
(sin x − cos x) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
382 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(331) Vypočtěte
cos2
x dx.
Řešení:
S využitím metody per-partes obdržíme
cos2
x dx

u = cos x u = − sin x
v = sin x v = cos x

=
= cos x · sin x + sin2
x dx = cos x · sin x + 1 − cos2
x dx =
= cos x · sin x + 1 − cos2
x dx = cos x · sin x + x − cos2
x dx.
Odtud plyne
cos2
x dx =
1
2
(sin x · cos x + x) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 383
(332) Vypočtěte
arctg x dx.
Řešení:
Metodou per-partes obdržíme
arctg x dx

u = arctg x u = 1
1+x2
v = x v = 1

=
= x arctg x −
x
1 + x2
dx = x arctg x +
1
2
ln x2
+ 1 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
384 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(333) Vypočtěte
ln x dx.
Řešení:
Metodou per-partes obdržíme
ln x dx

u = ln x u = 1
x
v = x v = 1

= x ln x − 1 dx = x ln x − x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 385
(334) Vypočtěte
ln x
x
dx.
Řešení:
Tento příklad je možné řešit jak substitucí, tak i per-partes.
Per-partes:
I =
ln x
x
dx

u = 1
x
u = ln x
v = ln x v = 1
x

=
= ln2
x −
ln x
x
dx = ln2
x − I
⇒ I = ln2
x − I ⇒ 2I = ln2
x ⇒ I =
ln2
x
2
+ C.
Substitucí:
ln x
x
dx

t = ln x
dt = 1
x
dx

= tdt =
t2
2
+ C =
ln2
x
2
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
386 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(335) Vypočtěte
(4 − 7x)10
dx.
Řešení:
Substituční metodou obdržíme
(4 − 7x)10
dx

t = 4 − 7x
dt = −7 dx

= −
1
7
t10
dt = −
1
7
t11
11
+ C = −
1
77
(4 − 7x)11
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 387
(336) Vypočtěte
√
2x − 5 dx.
Řešení:
Použitím substituční metody získáme
√
2x − 5 dx

t = 2x − 5
dt = 2 dx

=
1
2
√
t dt =
1
2
t3/2
3
2
+ C =
1
3
(2x − 5)3 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
388 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(337) Vypočtěte
cos x
(2 + sin x)2
dx.
Řešení:
Substituční metodou obdržíme
cos x
(2 + sin x)2
dx

t = 2 + sin x
dt = cos x dx

=
dt
t2
= −
1
t
+ C = −
1
2 + sin x
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 389
(338) Vypočtěte
(1 + ln x)4
x
dx.
Řešení:
Substituční metodou dostaneme
(1 + ln x)4
x
dx

t = ln x
dt = 1
x
dx

= (1 + t)4
dt =
(1 + t)5
5
+ C =
(1 + ln x)5
5
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
390 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(339) Vypočtěte
sin x · cos5
x dx.
Řešení:
Substituční metodou obdržíme
sin x · cos5
x dx

u = cos x
du = − sin x dx

= − u5
du = −
u6
6
+ C = −
cos6
x
6
+ C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 391
(340) Vypočtěte
x e−x2
dx.
Řešení:
Substituční metodou získáme
x e−x2
dx

t = −x2
dt = −2x dx

= −
1
2
et
dt = −
1
2
et
+C = −
1
2
e−x2
+C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
392 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(341) Vypočtěte
cos x
1 + sin2
x
dx.
Řešení:
S pomocí substituční metody získáme
cos x
1 + sin2
x
dx

t = sin x
dt = cos dx

=
dt
√
1 + t2

u = t +
√
1 + t2
du = 1 + 2t
2
√
1+t2
dt =
√
1+t2+t√
1+t2
dt
du
t+
√
1+t2
= dt√
1+t2

=
=
du
u
= ln |u| + C = ln t + 1 + t2 + C = ln sin x + 1 + sin2
x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 393
(342) Vypočtěte
x3
e−x2
dx.
Řešení:
Kombinace substituce a metody per-partes dává
x3
e−x2
dx

t = −x2
dt = −2x dx

= −
1
2
(−t) et
dt =
=
1
2
t et
dt

u = t u = 1
v = et
v = et

=
1
2
t et
−
1
2
et
dt =
=
1
2
t et
−
1
2
et
+C = −
1
2
e−x2
(x2
+ 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
394 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(343) Vypočtěte
e
√
x
dx.
Řešení:
Kombinace substituce a metody per-partes dává
e
√
x
dx

t =
√
x
t2
= x
2t dt = dx

= 2 t et
dt

u = t u = 1
v = et
v = et

=
= 2t et
−2 et
dt = 2t et
−2 et
+C = 2 e
√
x
(
√
x − 1) + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 395
(344) Vypočtěte
x arcsin x2
dx.
Řešení:
Kombinace substituce a metody per-partes dává
x arcsin x2
dx

t = x2
dt = 2x dx

=
1
2
arcsin t dt

u = arcsin t u = 1√
1−t2
v = t v = 1

=
=
1
2
t arcsin t −
1
2
t
√
1 − t2
dt

w = 1 − t2
dw = −2t dt

=
1
2
t arcsin t +
1
4
dw
√
w
=
=
1
2
t arcsin t +
1
4
w1/2
1
2
+ C =
1
2
x2
arcsin x2
+
1
2
1 − x4 + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil
396 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné
(345) Vypočtěte pomocí per-partes i substituční metodou
1 − x2 dx.
Řešení:
Tento příklad lze řešit dvěma způsoby. Metodou per-partes obdržíme
1 − x2 dx

u =
√
1 − x2 u = −2x
2
√
1−x2
v = x v = 1

=
= x 1 − x2 +
x2
√
1 − x2
dx = x 1 − x2 −
1 − x2
+ 1
√
1 − x2
dx =
= x 1 − x2 −
1 − x2
√
1 − x2
−
1
√
1 − x2
dx =
= x 1 − x2 − 1 − x2 dx +
1
√
1 − x2
dx =
= x 1 − x2 + arcsin x − 1 − x2 dx,
tj.
1 − x2 dx =
1
2
x 1 − x2 + arcsin x + C.
Vhodnou substitucí dostaneme tentýž výsledek, tj.
1 − x2 dx

x = sin t
dx = cos t dt

= 1 − sin2
t cos t dt =
= cos2
dt
Př. (331)
=
1
2
sin t cos t +
t
2
+ C =
1
2
sin t 1 − sin2
t +
arcsin x
2
+ C =
=
1
2
x 1 − x2 +
1
2
arcsin x + C.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://www.math.muni.cz/~xzemane2
II. 1. Základní integrační metody 397
(346) Vypočtěte
max{1, x2
} dx.
Řešení:
Pro |x| ≤ 1 platí
max{1, x2
} dx = 1 dx = x + C.
Je-li |x| > 1, platí
max{1, x2
} dx = x2
dx =
x3
3
+ C.
Protože výsledná funkce musí být spojitá, platí
max{1, x2
} dx =



x3
3
− 2
3
+ C pro x < −1,
x + C pro |x| ≤ 1,
x3
3
+ 2
3
+ C pro x > 1.
c Petr Zemánek & Petr Hasil http://user.mendelu.cz/hasil