Statistika
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Budíková, Dr., Monika Kroupová, Jitka Šályová

Centrální limitní věta

Podstatou centrální limitní věty (zkráceně CLV) je tvrzení, že náhodná veličina $X$, která vznikla jako součet velkého počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin $X_1, X_2, \dots, X_n$, má za velmi obecných podmínek přibližně normální rozdělení. Říkáme, že náhodná veličina $X$, jejíž limitním zákonem rozdělení je rozdělení normální, má tzv. asymptoticky normální rozdělení. Existuje několik limitních vět, ale všechny hovoří v podstatě o tomtéž. Rozdíl je jen v počátečních podmínkách, jejichž splnění je žádané. Uvedeme si jen nejdůležitější formulace centrální limitní věty.

Normální rozdělení

Nejdůležitějším rozdělením v teorii pravděpodobnosti je normální rozdělení $N(\mu, \sigma^2)$, také nazývané Gaussovo. Jeho význam spočívá v tom, že za určitých podmínek dobře aproximuje mnoho jiných (nejen spojitých, ale i diskrétních) pravděpodobnostních rozdělení.

Normální rozdělení s parametry $\mu=0$ a $\sigma^2=1$ nazýváme standardizované (normované) normální rozdělení, které má tvar

\begin{align} U=\frac{X-\mu}{\sigma} \tag{2.17} \end{align}

a značíme $U \sim N(0,1)$. Distribuční funkci značíme jako $\Phi(u)$ a její hodnoty jsou tabelované. Tabulky hodnot jsou omezeny pouze na $u \geq 0$, pro $u \lt 0$ platí vztah

\begin{align} \Phi(-u)=1-\Phi(u). \tag{2.18} \end{align}

Binomické rozdělení

Náhodná veličina $X \sim Bi(n,\vartheta)$ udává celkový počet úspěchů v posloupnosti $n$ nezávisle opakovaných pokusů, přičemž v každém z těchto pokusů nastává „úspěch“ s pravděpodobností $\vartheta$, kde $\vartheta \in (0,1)$ a $n$ je přirozené číslo.

Pro střední hodnotu a rozptyl binominálního rozdělení platí vztahy

\begin{align} E(X)&=n\vartheta \tag{2.19} \\ D(X)&=n\vartheta(1-\vartheta). \tag{2.20} \end{align}

Poissonovo rozdělení

Náhodná veličina $X \sim Po(\lambda)$ udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu. K událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr $\lambda > 0$ udává průměrný počet výskytu událostí za časovou jednotku.

Pro střední hodnotu a rozptyl Poissonova rozdělení platí vztahy

\begin{align} E(X)&=\lambda \tag{2.21} \\ D(X)&=\lambda. \tag{2.22} \end{align}

Pomocí Poissonova rozdělení se dá dobře aproximovat binomické rozdělení, zapisujeme $Bi(n,\vartheta) \approx Po(\lambda=n\vartheta)$ za podmínek, že počet pokusů $n \rightarrow \infty$, pravděpodobnost výskytu $\vartheta \rightarrow 0$ a $n\vartheta$ je konečné číslo. V tomto případě je parametr $\lambda=n\vartheta$ (to je střední hodnota binomického rozdělení). Tato aproximace se považuje za výhodnou pro $n \geq 30$ a $\vartheta \leq 0,1$.

Lindebergova-Lévyova centrální limitní věta

Nechť $X_1, X_2, \dots$ je nekonečná posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin. Předpokládejme, že náhodné veličiny pocházejí ze stejného rozdělení a mají stejnou konečnou střední hodnotu $E(X_i)=\mu$ a stejný konečný rozptyl $D(X_i)=\sigma^2$, kde $i=1, 2, \dots, n$. Nechť $X=X_1+X_2+ \dots +X_n$ je součet prvních $n$ náhodných veličin z uvažované posloupnosti. Pak pro novou náhodnou veličinu

\begin{align} U_X=\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \tag{2.23} \end{align}

platí limitní vztah

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} P(U_X \leq u) = \Phi(u) \qquad \text{pre} \, \, \, \forall u \in \mathbb{R} \tag{2.24} \end{align}

kde $\Phi (u)$ je distribuční funkce náhodné veličiny s rozdělením $N(0,1)$. Zkráceně píšeme $U_X \approx N(0,1)$ a říkáme, že náhodná veličina $U_X$ má asymptoticky normální standardizované rozdělení.

Náhodná veličina $U_X$ je standardizovaný součet náhodných veličin $X_1,X_2, \dots, X_n$ a získali jsme ji po dosazení do vzorce (\ref{2.17}), kde je střední hodnota

\begin{align} E(X)=E \left(\sum_{i=1}^n X_i \right)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=\sum_{i=1}^n \mu=n\mu \tag{2.25} \end{align}

a rozptyl

\begin{align} D(X)=D \left(\sum_{i=1}^n X_i \right)=\sum_{i=1}^n D(X_i)=\sum_{i=1}^n \sigma^2=n\sigma^2. \tag{2.26} \end{align}

Nechť $\overline{X}=\frac{1}{n}X$ je průměr prvních $n$ náhodných veličin z uvažované posloupnosti. Pak se náhodná veličina $U_X$ dá vyjádřit i jako

\begin{align} U_{\overline{X}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \tag{2.27} \end{align}

a chápeme ji jako standardizovaný průměr náhodných veličin $X_1,X_2, \dots, X_n$, kde je střední hodnota

\begin{align} E(X)=E \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu=\frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu \tag{2.28} \end{align}

a rozptyl

\begin{align} D(X)=D \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n D(X_i)=\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2=\frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}. \tag{2.29} \end{align}

Speciálním případem Lindebergové-Lévyové centrální limitní věty je následující věta. Jde o nejjednodušší, ale zato o nejméně obecnou variantu centrální limitní věty.

Integrální Moivre-Laplaceova věta

Nechť $Y_1, Y_2, \dots$ je nekonečná posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, kde náhodné veličiny pocházejí z alternativního rozdělení $A(\vartheta)$. Náhodná veličina $Y_n$ je součet prvních $n$ náhodných veličin z uvažované posloupnosti, která má binomické rozdělení, tedy $Y_n \sim Bi(n,\vartheta)$, se střední hodnotou $E(Y)=n\vartheta$ a rozptylem $D(Y)=n\vartheta(1-\vartheta)$. Pak pro náhodnou veličinu

\begin{align} U_{Y_n}=\frac{Y_n -n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \tag{2.30} \end{align}

platí limitní vztah

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} P(U_{Y_n} \leq u) = \Phi(u) \qquad \text{pre} \, \, \, \forall u \in \mathbb{R} \tag{2.31} \end{align}

kde $\Phi (u)$ je distribuční funkce náhodné veličiny s rozdělením $N(0,1)$.

Náhodná veličina $U_{Y_n}$ má asymptoticky normální standardizované rozdělení.

Následující věta je univerzální z toho pohledu, že neklade žádné podmínky na jednotnost rozdělení náhodných veličin.

Ljapunovova centrální limitní věta

Nechť $X_1, X_2, \dots$ je nekonečná posloupnost nezávislých náhodných veličin. Předpokládejme, že náhodné veličiny mají konečnou střední hodnotu $E(X_i)$ a konečný rozptyl $D(X_i)$, kde $i=1, 2, \dots, n$. Nechť $X=X_1+X_2+ \dots +X_n$ je součet prvních $n$ náhodných veličin z uvažované posloupnosti. Pak pro náhodnou veličinu

\begin{align} U_X=\frac{X- \displaystyle \sum_{i=1}^n E(X_i)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n D(X_i)}} \tag{2.32} \end{align}

platí limitní vztah

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} P(U_X \leq u) = \Phi(u) \qquad \text{pre} \, \, \, \forall u \in \mathbb{R} \tag{2.33} \end{align}

pokud je splněna tzv. Ljapunovova podmínka

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\displaystyle \sqrt[3]{\sum_{i=1}^n E \bigl(|X_i-E(X_i)|^3 \bigr)}}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n D(X_i)}}=0. \tag{2.34} \end{align}

Poissonova věta

Nechť $Y_1, Y_2, \dots$ je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných veličin, pro které platí $Y_n \sim Bi(n,\vartheta_n)$, kde $n=1, 2, \dots$ a nechť platí $\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n\vartheta_n=\lambda$. Pak posloupnost $Y_1, Y_2, \dots$ konverguje v distribuci k náhodné veličině $Y \sim Po(\lambda)$, tj. pro všechny $y=0, 1, 2, \dots$ platí

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} P(Y_n = y)= \frac{\lambda^t}{t!} \cdot e^{-\lambda}. \tag{2.35} \end{align}

Podle Poissonovy věty se používá přibližný vzorec, který nahrazuje složitý výpočet pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení jednodušším výpočtem pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení

\begin{align} P(Y_n=y)=\binom{n}{y}\vartheta^y(1-\vartheta)^{n-y} \approx \frac{(n\vartheta)^y}{y!}\cdot e^{-n\vartheta}. \tag{2.36} \end{align}

Aproximace se považuje za vyhovující pro $n \geq 30$ a $\vartheta \leq 0,1$.