Statistika
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Budíková, Dr., Monika Kroupová, Jitka Šályová

Diskrétní náhodná veličina

Náhodná veličina $X$ je diskrétního typu, pokud existuje nejvýše spočetná množina $M \subset \mathbb{R}$ taková, že platí $P(X \in M) = 1.$

Počítaním dostaneme

\begin{align} P(X \in M) = P\Biggl(\bigcup_{x_i \in M} \{X=x_i\}\Biggr) = \sum_{x_i \in M} P(X=x_i) = 1. \tag{1.4} \end{align}

Distribuční funkce náhodné veličiny $X$ je pak rovna

\begin{align} F(x)=\sum_{x_i \leq x} P(X=x_i). \tag{1.5} \end{align}

Funkci $p(x)=P(X=x), \forall x \in M$, nazýváme pravděpodobnostní funkcí disktétní náhodné veličiny $X$ a množinu $M$ oborem hodnot $X$.

Mějme diskrétní náhodné veličiny $X$ a $Y$. Simultánní pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru $(X,Y)'$ je taková funkce $p$, která je pro každá $(x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ dána vztahem

\begin{align} p(x,y) = P(X=x \wedge Y=y). \tag{1.6} \end{align}

Tedy náhodný vektor $(X,Y)'$ má simultánní rozložení pravděpodobnosti (pro obě složky zároveň) a jednotlivé složky náhodného vektoru $X$ a $Y$ mají marginální rozložení pravděpodobností. V tomto případě mluvíme o marginálních pravděpodobnostních funkcích $p(x)$ a $p(y)$. Pro získání marginální pravděpodobnostní funkce ze simultánní funkce využíváme vztahy

\begin{align} p_1(x) = \sum_{y \in B} p(x,y) \tag{1.7} \end{align} \begin{align} p_2(y) = \sum_{x \in A} p(x,y), \tag{1.8} \end{align}

kde $ A = \{x \in \mathbb{R};p(x,y) > 0\} $ a $ B = \{y \in \mathbb{R};p(x,y) > 0\} $.

Náhodné veličiny $X$ a $Y$ jsou stochasticky nezávislé právě tehdy, když pro všechna $(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ platí

\begin{align} p(x,y) = p_1(x) \cdot p_2(y). \tag{1.9} \end{align}