Statistika
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
RNDr. Marie Budíková, Dr., Monika Kroupová, Jitka Šályová

Konvergence náhodných veličin

Mějme posloupnost náhodných veličin $X_1, X_2, \dots$ s následujícími distribučními funkcemi $F_1(x_1), F_2(x_2),\dots$ a náhodnou veličinu $X$ s distribuční funkcí $F(x)$.Nechť jsou všechny tyto veličiny definované na stejném pravděpodobnostním prostoru ($\Omega, \mathcal{A}, P$). Posloupnost náhodných veličin $\{X_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje k náhodné veličině $X$

• jistě, právě když pro $\forall \omega \in \Omega$ platí

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega)=X(\omega) \tag{2.1} \end{align}

• podle pravděpodobnosti, právě když pro $\forall \varepsilon > 0$ platí

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} P(|X_n-X| \leq \varepsilon)=1 \tag{2.2} \end{align}

• podle rozdělení, právě když pro $\forall x \in \mathbb{R}$ platí

\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} F_n(x)=F(x) \tag{2.3} \end{align}

v každém bodě spojitosti funkce $F(x)$.

Mezi uvedenými typy konvergence platí

• z konvergence jistě vyplývá konvergence podle pravděpodobnosti
• z konvergence podle pravděpodobnosti vyplývá konvergence podle rozdělení.

V následující části se budeme blíže zabývat skutečností, že za určitých podmínek se ~ empirické charakteristiky přibližují k teoretickým charakteristikám. Musíme si však uvědomit, že přibližování empirických hodnot k teoretickým nemá charakter matematické konvergence, ale konvergence podle pravděpodobnosti.

Ověříme konvergenci podle pravděpodobnosti ke konstantě: Pokud posloupnost náhodných veličin $X_1, X_2, \dots$ splňuje předpoklady $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} E(X_n)=c$ a  $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} D(X_n)=0$, pak posloupnost $X_1, X_2, \dots$ konverguje podle pravděpodobnosti k číslu $c$. Značíme

\begin{align} X_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{P} c. \tag{2.4} \end{align}