Řešené příklady

Náhodná veličina $X$ udává počet slunečných dní v daném roce.

Pro výpočet aplikujeme Markovovu nerovnost (2.7), kde $\varepsilon= 240$ a $E(X)=90$:

\begin{align*} P(X>240)\leq \frac{90}{240}. \end{align*}

Ale v zadání máme odhadnout opačnou pravděpodobnost:

\begin{align*} 1-P(X \leq 240) &\leq \frac{90}{240} \\ P(X \leq 240) &\geq 1-\frac{90}{240} \\ P(X \leq 240) &\geq 0,625. \end{align*}

Pravděpodobnost, že v roce 2 025 bude nejvíce 240 slunečných dnů, je alespoň 0,625.

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =90/240.

Náhodná veličina $X$ udává počet špatných výrobků v zásilce a řídí se binomickým rozdělením: $X \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=3\,000$ a $\vartheta=0,04$.

Na výpočet aplikujeme Čebyševovu nerovnost (2.9), kde $\varepsilon=0,01$ a rozptyl je neznámy.

1. Náhodná veličina $Y=\frac{X}{n}$ udává absolutní odchylku podílu špatných výrobků v zásilce.

   Potřebujeme si vyjádřit neznámý rozptyl $D(Y)$, při kterém využijeme známý rozptyl náhodné veličiny $X$ (2.20):

   \begin{align*} D(Y)&=D \left(\frac{X}{n} \right)=\frac{1}{n^2} \cdot D(X)=\frac{1}{n^2} \cdot n\vartheta(1-\vartheta)= \\ &=\frac{\vartheta(1-\vartheta)}{n}=\frac{0,04\cdot 0,96}{3\,\,000} =0,000\,\,012\,\,8. \end{align*}

   Počítáme odhadovanou pravděpodobnost:

   \begin{align*} P(|Y-E(Y)| > 0,01) &\leq \frac{0,000\,\,012\,\,8}{0,01^2}. \end{align*}

   Ale v zadání máme odhadnout opačnou pravděpodobnost:

   \begin{align*} 1-P(|Y-E(Y)| \leq 0,01) &\leq \frac{0,000\,\,012\,\,8}{0,01^2} \\ P(|Y-E(Y)| \leq 0,01) &\geq 1-\frac{0,000\,\,012\,\,8}{0,01^2}\\ P(|Y-E(Y)| \leq 0,01) &\geq 0,872. \end{align*}

2. Při výpočtu rozptylu postupujeme analogicky se změněnými hodnotami:

   \begin{align*} D(Y)=\frac{\vartheta(1-\vartheta)}{n}=\frac{0,004\cdot 0,996}{30000} =0,000\,\,000\,\,132\,\,8. \end{align*}

   Počítáme odhadovanou pravděpodobnost:

   \begin{align*} P(|Y-E(Y)| > 0,01) &\leq \frac{0,000\,\,000\,\,132\,\,8}{0,01^2}. \end{align*}

   Zase si upravíme pravděpodobnost na opačnou:

   \begin{align*} 1-P(|Y-E(Y)| \leq 0,01) &\leq \frac{0,000\,\,000\,\,132\,\,8}{0,01^2}\\ P(|Y-E(Y)| \leq 0,01) &\geq 1- \frac{0,000\,\,000\,\,132\,\,8}{0,01^2}\\ P(|Y-E(Y)| \leq 0,01) &\geq 0,998\,67. \end{align*}

Vidíme, že se zvýšeným počtem $n$ je pravděpodobnost výskytu menších odchylek větší než v prvním případě.

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =1-0,0000128/0,01^2.

To jisté i pro možnost b: Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =1-0,0000001328/0,01^2.

Náhodná veličina $X$ udává počet padnutí šestky v 1 200 hodech a řídí se binomickým rozdělením: $X \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=1\,200$ a $\vartheta=\frac{1}{6}$.

Počítáme pravděpodobnost

\begin{align*} P(175\leq X \leq 225)=\,? \end{align*}

což vede na Čebyševovu nerovnost (2.9) s $\varepsilon=25$ a rozptylem $D(X)$, který si vyjádříme pomocí vztahu (2.20):

\begin{align*} D(X)=1\,\,200\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{500}{3}. \end{align*}

Počítáme odhadovanou pravděpodobnost:

\begin{align*} P(|X-E(X)| > 25) \leq \frac{500/3}{25^2}. \end{align*}

Ale my chceme odhadnout opačnou pravděpodobnost:

\begin{align*} 1-P(|X-E(X)| \leq 25) &\leq \frac{500/3}{25^2} \\ P(|X-E(X)| \leq 25) &\geq 1-\frac{500/3}{25^2} \\ P(|X-E(X)| \leq 25) &\geq 0,733\,33. \end{align*}

Pravděpodobnost, že na kostce padne číslo 6 v intervalu $\langle 175,225 \rangle$, je alespoň 0,733 33.

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =1-(500/3)/25^2.

Náhodná veličina $X$ udává počet dobrých výrobků mezi 2 000 výrobky a řídí se binomickým rozdělením: $X \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=2\,000$ a $\vartheta=0,75$.

Počítáme pravděpodobnost

\begin{align*} P(1\,\,450 \leq X \leq 1\,\,550)=\,? \end{align*}

což vede na Čebyševovu nerovnost (2.9) s $\varepsilon=25$ a rozptylem $D(X)$, který si vyjádříme pomocí vztahu (2.20):

\begin{align*} D(X)=2\,\,000\cdot 0,75\cdot 0,25=375. \end{align*}

Počítáme odhadovanou pravděpodobnost:

\begin{align*} P(|X-E(X)| > 50) \leq \frac{375}{50^2}. \end{align*}

Ale my chceme odhadnout opačnou pravděpodobnost:

\begin{align*} 1-P(|X-E(X)| \leq 50) &\leq \frac{375}{50^2} \\ P(|X-E(X)| \leq 50) &\geq 1-\frac{375}{50^2} \\ P(|X-E(X)| \leq 50) &\geq 0,85. \end{align*}

Pravděpodobnost, že počet výrobků bude v intervalu $\langle 1\,450,1\,550 \rangle$, je alespoň 0,85.

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =1-375/50^2.

Náhodná veličina $X_i$, kde $i=1,2,\dots, 1\,\,000$ reprezentuje výsledky jednotlivých měření a náhodná veličina $\overline{X}=\displaystyle\frac{1}{1\,000}\sum_{i=1}^{1\,000} X_i $ reprezentuje aritmetický průměr.

Počítáme pravděpodobnost:

\begin{align*} P(|\overline{X}-\mu| \leq 0,01)=? \end{align*}

Pro výpočet aplikujeme Čebyševovu nerovnost (2.9):

\begin{align*} P(|\overline{X}-\mu| > 0,01) \leq \frac{0,2}{1\,\,000\cdot 0,01}. \end{align*}

Ale v zadání máme odhadnout opačnou pravděpodobnost:

\begin{align*} 1-P(|\overline{X}-\mu| \leq 0,01) &\leq \frac{0,2}{1\,\,000\cdot 0,01} \\ P(|\overline{X}-\mu| \leq 0,01) &\geq 1-\frac{0,2}{1\,\,000\cdot 0,01}\\ P(|\overline{X}-\mu| \leq 0,01) &\geq 0,98. \end{align*}

Pravděpodobnost, že aritmetický průměr udává skutečnou hodnotu měřené veličiny, je alespoň 0,98.

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =1-0,2/(1000*0,01).

Náhodná veličina $X_i$ udává počet chyb na jedné straně textu, kde

\begin{align*} E(X_i)&=8 \\ D(X_i)&=4. \end{align*}

Náhodná veličina $X=\displaystyle\sum_{i=1}^{100} X_i$ udává počet chyb na 100 stranách, kde

\begin{align*} E(X)&=100\cdot 8=800 \\ D(X)&=100\cdot 4=400 \end{align*}

podle vztahů (2.25), (2.26).

Na výpočet aplikujeme Lindebergovu-Lévyovu CLV(2.23):

\begin{align*} P(X\lt 750)&=P \left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \lt \frac{750-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \right)=P \left(U_X \lt \frac{750-800}{\sqrt{400}} \right) = \\ \\ &= P\left(U_X \lt \frac{-50}{\sqrt{400}} \right)= P(U_X\lt -2,5) = \phi(-2,5) \end{align*}

Argument distribuční funkce vyšel záporný, proto si ho přepíšeme pomocí vztahu (2.18):

\begin{align*} P(X\lt 750)=1-\phi(2,5)=1-0,993\,79=0,006\,21. \\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =INormal(-2,5;0;1).

Náhodná veličina $X_i$ udává dobu čekání na příjezd vlaku a řídí se rovnoměrně spojitým rozdělením: $X_i\sim Rs(a,b)$, kde $a=0$, $b=3$. Pro střední hodnotu a rozptyl rovnoměrně spojitého rozdělení platí

\begin{align*} E(X)&=\frac{a+b}{2}=\frac{3}{2}=1,5 \\ D(X)&=\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{9}{12}=0,75. \end{align*}

Náhodná veličina $X=\displaystyle\sum_{i=1}^{46} X_i$ udává celkovou dobu čekání během 23 dní, kde

\begin{align*} E(X)&=46\cdot 1,5=69 \\ D(X)&=46\cdot 0,75=34,5 \end{align*}

podle vztahů (2.25), (2.26).

Na výpočet aplikujeme Lindebergovu-Lévyovu CLV (2.23):

\begin{align*} P(X\lt 80)&=P \left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \lt \frac{80-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \right)=P \left(U_X \lt \frac{80-69}{\sqrt{34,5}} \right) = \\ \\ &= P\left(U_X\lt \frac{11}{\sqrt{34,5}}\right)= P(U_X\lt 1,872\,76) = \\ \\ &= \phi(1,872\,76) = 0,969\,45.\\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =INormal(11/Sqrt(34,5);0;1).

Náhodná veličina $X_i$ udává dobu na objevení a odstranění jedné chyby, kde

\begin{align*} E(X_i)&=40 \\ D(X_i)&=900. \end{align*}

Náhodná veličina $X=\displaystyle\sum_{i=1}^{100} X_i$ udává dobu na objevení a odstranění 100 chyb, kde

\begin{align*} E(X)&=100\cdot 40=4\,000 \\ D(X)&=100\cdot 900=90\,000 \end{align*}

podle vztahů (2.25), (2.26).

Na výpočet aplikujeme Lindebergovu-Lévyovu CLV (2.23):

\begin{align*} P(X\lt t)&=0,95 \\ \\ P \left(\frac{X-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \lt \frac{t-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \right) &=0,95 \\ \\ P \left(U_X \lt \frac{t-4\,000}{\sqrt{90\,000}} \right) &=0,95 \\ \\ \phi \left(\frac{t-4\,000}{300} \right) &=0,95 \end{align*}

V tabulkách hledáme, pro jaké $u$ je hodnota distribuční funkce rovná $0,95$, tedy $\phi(u)=0,95$.

\begin{align*} \frac{t-4\,000}{300}&=1,644\,85 \\ t&=4\,493,455\\ t&=74\,\text{hodin} \,\,\, \text{a} \,\,\, 54\,\text{minut}. \\ \end{align*}

Nejdříve si vypočítáme pro jakou hodnotu je distribuční funkce rovna 0,95 – Statistiky – Pravděpodobnostní kalkulátor – Rozdělení… – označíme: Z(normální) a do hodnoty p napíšeme 0,95 – Výpočet. Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =1,644854*300+4000.

Náhodná veličina $Y_n$ udává počet nutných oprav při 400 prodaných kusech a řídí se binomickým rozdělením: $Y_n \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=400$ a $\vartheta=0,2$. Pro střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení platí

\begin{align*} E(Y_n)&=400 \cdot 0,2=80\\ D(Y_n)&=400 \cdot 0,2 \cdot 0,8=64 \end{align*}

podle vztahů (2.19), (2.20).

Na výpočet aplikujeme Integrální Moivre-Laplaceovu větu (2.30):

\begin{align*} P(Y_n>96)&=1-P(Y_n \leq 96)=1-P \left(\frac{Y_n-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \leq \frac{96-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \right)= \\ \\ &=1-\left(U_{Y_n} \leq \frac{96-80}{\sqrt{64}}\right)=1-P(U_{Y_n} \leq 2)=1-\phi(2)=\\ \\ &=1-0,977\,25=0,022\,75. \end{align*}

Přesný výpočet:

\begin{align*} P(Y_n>96)&=1-P(Y_n \leq 96)=1-\phi(96) \end{align*}

V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

\begin{align*} =1-IBinom(96;0,2;400)=0,021\,39. \\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =1-INormal(2;0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =1-IBinom(96;0,2;400).

Náhodná veličina $Y_n$ udává počet úspěchů v 100 pokusech a řídí se binomickým rozdělením: $Y_n \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=100$ a $\vartheta=0,3$. Pro střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení platí

\begin{align*} E(Y_n)&=100 \cdot 0,3=30\\ D(Y_n)&=100 \cdot 0,3 \cdot 0,7=21 \end{align*}

podle vztahů (2.19), (2.20).

Na výpočet aplikujeme Integrální Moivre-Laplaceovu větu (2.30):

\begin{align*} P(20 \leq Y_n \leq 40)&= P \left(\frac{19-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \lt \frac{Y_n-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \leq \frac{40-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \right)=\\ \\ &=P \left(\frac{19-30}{\sqrt{21}} \lt U_{Y_n} \leq \frac{40-30}{\sqrt{21}} \right)=P \left(\frac{-11}{\sqrt{21}} \lt U_{Y_n} \leq \frac{10}{\sqrt{21}} \right)= \\ \\ &=P \left(U_{Y_n} \leq \frac{10}{\sqrt{21}} \right) – P \left(U_{Y_n} \lt \frac{-11}{\sqrt{21}} \right)= \\ \\ &=P(U_{Y_n} \leq 2,182\,18) – P(U_{Y_n} \lt -2,400\,4)=\\ \\ &=\phi(2,182\,18)-\phi(-2,400\,4) \end{align*}

Argument distribuční funkce vyšel záporný, proto si ho přepíšeme pomocí vztahu (2.18):

\begin{align*} P(20 \leq Y_n \leq 40)&=\phi(2,182\,18) -1+ \phi(2,400\,4)= \\ &=0,985\,45-1+0,991\,81=0,977\,26. \end{align*}

Přesný výpočet:

\begin{align*} P(20 \leq Y_n \leq 40)&= P(19 \lt Y_n \leq 40)=P(Y_n \leq 40)-P(Y_n \lt 19)=\\ &=\phi(40)-\phi(19) \end{align*}

V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

\begin{align*} =IBinom(40;0,3;100)-IBinom(19;0,3;100)=0,978\,61. \\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =INormal(10/Sqrt(21);0;1)-INormal(-11/Sqrt(21);0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =IBinom(40;0,3;100)-IBinom(19;0,3;100).

Náhodná veličina $Y_n$ udává počet chlapců mezi 10 000 novorozenci a řídí se binomickým rozdělením: $Y_n \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=10\,000$ a $\vartheta=0,515$. Pro střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení platí

\begin{align*} E(Y_n)&=10\,000 \cdot 0,515=5\,150 \\ D(Y_n)&=10\,000 \cdot 0,515 \cdot 0,485=2\,497,75 \end{align*}

podle vztahů (2.19), (2.20).

Na výpočet aplikujeme Integrální Moivre-Laplaceovu větu (2.30):

1. \begin{align*} P(Y_n \leq 5\,000)&=P \left(\frac{Y_n-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \leq \frac{5\,000-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \right)=\\&=P \left(U_{Y_n} \leq \frac{5\,000-5\,150}{\sqrt{2\,497,75}} \right)= \\ \\ &= P \left(U_{Y_n} \leq \frac{-150}{\sqrt{2\,497,75}} \right) =\\&= P(U_{Y_n} \leq -3,001\,35)=\phi(-3,001\,35) \end{align*}

   Argument distribuční funkce vyšel záporný, proto si ho přepíšeme pomocí vztahu (2.18):

   \begin{align*} P(Y_n \leq 5\,000)&=1-\phi(3,001\,35)=1-0,998\,66=0,001\,34. \end{align*}

   Přesný výpočet:

   \begin{align*} P(Y_n \leq 5\,000)&= \phi(5\,000) \end{align*}

   V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

   \begin{align*} =IBinom(5\,000;0,515;10\,000)=0,001\,39. \end{align*}
2. \begin{align*} P(5\,000 \leq Y_n \leq 5\,300)&=P \left(\frac{4\,999-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \lt \frac{Y_n-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \leq \frac{5\,300-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \right)=\\ \\ &=P \left(\frac{4\,999-5\,150}{\sqrt{2\,497,75}} \lt U_{Y_n} \leq \frac{5\,300-5\,150}{\sqrt{2\,497,75}} \right)=\\ \\ &=P \left(\frac{-151}{\sqrt{2\,497,75}} \lt U_{Y_n} \leq \frac{150}{\sqrt{2\,497,75}} \right)=\\ \\ &=P \left(U_{Y_n} \leq \frac{150}{\sqrt{2\,497,75}} \right)-P\left(U_{Y_n} \lt \frac{-151}{\sqrt{2\,497,75}} \right)= \\ \\ &=P(U_{Y_n} \leq 3,001\,35) – P(U_{Y_n} \lt -3,021\,36)=\\ \\ &=\phi(3,001\,35)-\phi(-3,021\,36) \end{align*}

   Argument distribuční funkce vyšel záporný, proto si ho přepíšeme pomocí vztahu (2.18):

   \begin{align*} P(5\,000 \leq Y_n \leq 5\,300)&=\phi(3,001\,35) -1+ \phi(3,021\ 36)=\\ &=0,998\,66-1+0,998\,74=0,997\,40. \end{align*}

   Přesný výpočet:

   \begin{align*} P(5\,000 \leq Y_n \leq 5\,300)&= P(4\,999 \lt Y_n \leq 5\,300)=\\&=P(Y_n \leq 5\,300)-P(Y_n \lt 4\,999)=\\&=\phi(5\,300)-\phi(4\,999) \end{align*}

   V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

   \begin{align*} =IBinom(5\,300;0,515;10\,000)-IBinom(4\,999;0,515;10\,000)=0,997\,40. \\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =INormal(-150/Sqrt(2497,75);0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =IBinom(5000;0,515;10000).

To jisté i pro možnost b: Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =INormal(150/Sqrt(2497,75);0;1)-INormal(-151/Sqrt(2497,75);0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =IBinom(5300;0,515;10000)-IBinom(4999;0,515;10000).

Náhodná veličina $Y_n$ udává počet správných odpovědí v testu a řídí se binomickým rozdělením: $Y_n \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=50$ a $\vartheta$ je pro každou kamarádku různé.

Hanina pravděpodobnost zaškrtnutí správné odpovědi je $\vartheta =0,75$. Pro její střední hodnotu a rozptyl počtu správných odpovědí platí

\begin{align*} E(Y_n)&=50 \cdot 0,75=37,5 \\ D(Y_n)&=50 \cdot 0,75 \cdot 0,25=9,375 \end{align*}

podle vztahů (2.19), (2.20).

Na výpočet aplikujeme Integrální Moivre-Laplaceovu větu (2.30):

\begin{align*} P(Y_n \geq 30)&=1-P(Y_n \leq 29)=1-P \left(\frac{Y_n-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \leq \frac{29-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}} \right)=\\ \\ &=1-P \left(U_{Y_n} \leq \frac{29-37,5}{\sqrt{9,375}} \right)=1-P \left(U_{Y_n} \leq \frac{-8,5}{\sqrt{9,375}} \right)= \\ \\ &=1-P(U_{Y_n} \leq -2,776\,09)=1-\phi(-2,776\,09) \end{align*}

Argument distribuční funkce vyšel záporný, proto si ho přepíšeme pomocí vztahu (2.18):

\begin{align*} P(Y_n \geq 30)&=1-1+\phi(2,776\,09)=0,997\,25. \end{align*}

Přesný výpočet:

\begin{align*} P(Y_n \geq 30)&=1-P(Y_n \leq 29)=1-\phi(29) \end{align*}

V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

\begin{align*} =1-IBinom(29;0,75;50)=0,993\,74. \end{align*}

Klářin pravděpodobnost zaškrtnutí správné odpovědi je $\vartheta =0,5$. Pro její střední hodnotu a rozptyl počtu správných odpovědí platí

\begin{align*} E(Y_n)&=50 \cdot 0,5=25 \\ D(Y_n)&=50 \cdot 0,5 \cdot 0,5=12,5 \end{align*}

podle vztahů (2.19), (2.20).

Výpočet je analogický za pomoci té stejné CLV:

\begin{align*} P(Y_n \geq 30)&=1-P \left(U_{Y_n} \leq \frac{29-25}{\sqrt{12,5}}\right)=1-P \left(U_{Y_n} \leq \frac{4}{\sqrt{12,5}}\right)=\\ \\ &=1-P(U_{Y_n} \leq 1,131\,37)=1-\phi(1,131\,37)= \\ \\ &=1-0,871\,05=0,128\,95. \end{align*}

Přesný výpočet:

\begin{align*} P(Y_n \geq 30)&=1-P(Y_n \leq 29)=1-\phi(29) \end{align*}

V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

\begin{align*} =1-IBinom(29;0,5;50)=0,101\,32. \\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =1-INormal(-8,5/Sqrt(9,375);0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =1-IBinom(29;0,75;50).

To jisté i pro Kláru: Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =1-INormal(4/Sqrt(12,5);0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =1-IBinom(29;0,5;50).

Náhodná veličina $Y$ udává počet zemřelých klientů a řídí se binomickým rozdělením: $Y \sim Bi(n,\vartheta)$, kde $n=10\,000$ a $\vartheta=0,008$. Pro střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení platí

\begin{align*} E(Y_n)&=10\,000 \cdot 0,008=80 \\ D(Y_n)&=10\,000 \cdot 0,008 \cdot 0,992=79,36 \end{align*}

podle vztahů (2.19), (2.20).

Pro zisk společnosti platí:

\begin{align*} \text{ZISK}&=\text{PRÍJMY – VÝDAJE} \\ Z&=10\,000 \cdot 12\,000 – 500\,000 \cdot Y \\ Z&=120\,000\,000-500\,000Y. \end{align*}

Na výpočet aplikujeme Integrální Moivre-Laplaceovu větu (2.30):

\begin{align*} P(&7\cdot 10^7\lt Z\lt 9\cdot 10^7)= \\ \\ &=P(Z \lt 9\cdot 10^7)-P(Z \lt 7\cdot 10^7)= \\ \\ &=P(12\cdot 10^7-5\cdot 10^5Y\lt 9\cdot 10^7)-P(12\cdot 10^7-5\cdot 10^5Y\lt 7\cdot 10^7)= \end{align*} \begin{align*} &=P(-Y\lt -60)-P(-Y\lt -100)=P(Y \geq 60)-P(Y \geq 100)=\\ \\ \qquad \quad&=1-P(Y \lt 60)-1+P(Y \lt 100)= \\ \\ &=P\left(\frac{Y-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}}\lt \frac{100-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}}\right) – P\left(\frac{Y-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}}\lt \frac{60-n\vartheta}{\sqrt{n\vartheta(1-\vartheta)}}\right)= \\ \\ &=P\left(U_Y\lt \frac{100-80}{\sqrt{79,36}}\right) – P\left(U_Y\lt \frac{60-80}{\sqrt{79,36}}\right)= \\ \\ &=P\left(U_Y\lt \frac{20}{\sqrt{79,36}}\right) – P\left(U_Y\lt \frac{-20}{\sqrt{79,36}}\right)= \\ \\ &=P(U_Y\lt 2,245\,07) – P(U_Y\lt -2,245\,07)=\\ \\ &=\phi(2,245\,07)-\phi(-2,245\,07) \end{align*}

Argument distribuční funkce vyšel záporný, proto si ho přepíšeme pomocí vztahu (2.18):

\begin{align*} P(7\cdot 10^7\lt Z\lt 9\cdot 10^7)&=\phi(2,245\,07)-1+\phi(2,245\,07)=\\ &=2\cdot 0,987\,62-1=0,975\,24. \end{align*}

Přesný výpočet:

\begin{align*} P(7\cdot 10^7\lt Z\lt 9\cdot 10^7)&=P(Y\lt 100)-P(Y\lt 60)=\phi(100)-\phi(60) \end{align*}

V systému STATISTICA do dlouhého jména napíšeme:

\begin{align*} =IBinom(100;0,008;10000)-IBinom(60;0,008;10000)=0,975\,49.\\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =INormal(20/Sqrt(79,36);0;1)-INormal(-20/Sqrt(79,36);0;1) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =IBinom(100;0,008;10000)-IBinom(60;0,008;10000).

Náhodná veličina $X=\displaystyle\sum_{i=1}^{50} X_i$ udává celkový počet poruch přístroje. Její střední hodnotu a rozptyl počítáme jako součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti

\begin{align*} \frac{n}{2}\cdot (a_1+a_n) \end{align*}

kde $n=50$, $a_1=1$ a $a_n=50$. Pak se střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny $X$ rovná

\begin{align*} E(X)&=E\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{50} X_i \right)=\frac{50}{2}\cdot (1+50) \cdot 0,05=63,75 \end{align*} \begin{align*} D(X)&=D\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{50} X_i \right)=\frac{50}{2}\cdot (1+50) \cdot 0,02=25,5. \end{align*}

Na výpočet aplikujeme Ljapunovovu CLV (2.32) a předpokládáme splnění Ljapunovovy podmínky (2.34), která bývá splněna skoro vždy při praktických aplikacích.

\begin{align*} P(X\lt 74)&=P \left(\frac{X- \displaystyle\sum_{i=1}^{50} E(X_i)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{50} D(X_i)}} \lt \frac{74- \displaystyle\sum_{i=1}^{50} E(X_i)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{50} D(X_i)}} \right)=P \left(U_X \lt \frac{74-63,75}{\sqrt{25,5}} \right)= \\ \\ &=P \left(U_X \lt \frac{10,25}{\sqrt{25,5}} \right) =P(U_X \lt 2,029\,80)=\phi(2,029\,80)=0,978\,81. \\ \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor s 1 proměnnou a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 1, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné 1 napíšeme: =INormal(10,25/Sqrt(25,5);0;1).

Náhodná veličina $Y_n$ udává počet poruch plnících zařízení a řídí se binomickým rozdělením: $Y_n\sim Bi(n,\vartheta_n)$, kde $n=800$ a $\vartheta_n=0,005$.

Náhodná veličina $Y$ reprezentuje fakt, že se plnící zařízení pokazí během časového intervalu $t$ a řídí se Poissonovým rozdělením: $Y\sim Po(\lambda)$. Parametr $\lambda$ si umíme vypočítat podle věty (2.3.4):

\begin{align*} \lambda=800\cdot0,005=4. \end{align*}

Chceme najít nejpravděpodobnější počet poruch, tedy hledáme modus $\hat{x}$. Pro modus $\hat{x}$ ale musí současně platit vztahy:

\begin{align*} \frac{\pi(\hat{x}-1)}{\pi(\hat{x})} \leq 1 \qquad \wedge \qquad \frac{\pi(\hat{x}+1)}{\pi(\hat{x})} \leq 1. \end{align*}

Po jednoduchých úpravách dostaneme:

\begin{align*} \lambda-1 \leq \hat{x} \leq \lambda. \end{align*}

Pokud je $\lambda$ přirozené číslo, dostáváme dvě modální hodnoty: $\hat{x}=\lambda$ a $\hat{x}=\lambda-1$. Ale pokud $\lambda$ není přirozené číslo, je rozdělení jednovrcholové. V našem případě ale dostáváme dvě modální hodnoty:

\begin{align*} 3 \leq \hat{x} \leq 4. \end{align*}

Pomocí vztahu (2.36) dostáváme:

\begin{align*} P(Y_n=3)=\frac{4^3}{3!}\cdot e^{-4}=0,195\,37 \\ \\ P(Y_n=4)=\frac{4^4}{4!}\cdot e^{-4}=0,195\,37. \end{align*}

Vytvoříme nový datový soubor se 2 proměnnými a 1 případem – Soubor – Nový – Tabulka dat – Počet proměnných: 2, Počet případů: 1 – OK. Do dlouhého jména proměnné1 napíšeme: =Poisson(3;4) a do dlouhého jména proměnné2 napíšeme: =Poisson(4;4).