KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné__________- 1 — Řešené příklady z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné. Vypracoval: RND.Štěpán Mikoláš Tento materiál je určen jako pomocný učební text pro posluchače kombinovaného studia na ESF v Brně. Limita. Pojem limity je stěžejním pojmem matematické analýzy. Proto mu i v této stručné sbírce příkladů budeme věnovat více pozornosti. Obecná definice limity funkce - založená na pojmu okolí bodu na rozšířené reálné ose -zahrnuje všechny případy limit. Je uvedena na str. 75-76 DSO Matematika B. Pro lepší pochopení uvedeme definici limity pro některé zvláštní případy. Definice (vlastní limity ve vlastním bodě) Nechť x0,Le R. Řekneme, že lim f(x)= L, jestliže pro každé e > 0 existuje ô > 0 takové, že x^x0 pro každé xe R:0<|x-x0|<8 platí |f(x)-L|<£. Definice (vlastní limity v nevlastním bodě) Nechť Le R. Řekneme, že lim f(x) = L, jestliže pro každé e > 0 existuje A > 0 takové, že pro každé x e R: x > A platí If (x) - Li < e . Definice (nevlastní limity ve vlastním bodě) Nechť x0 e R. Řekneme, že lim f(x) = oo 5 jestliže ke každému M > 0 existuje ô > 0 takové, x^x0 že pro každé xe R : 0< |x - x01 < ô platí f(x) > M. Definice (nevlastní limity nevlastním bodě) Řekneme , že lim f(x) = o« , jestliže ke každému M > 0 existuje A > 0 takové, že pro každé x e R: x > A platí f(x) > M. Poznámky 1.: čísla ô, e v předchozích definicích jsou velmi malá kladná čísla, čísla A,M jsou velká kladná čísla. 2. Podobně lze vyslovit definice ostatních případů limit. 3. Smysl předchozích definic je patrný z obrázků na straně 2. Uvedeme ještě některá tvrzení o limitách: Věta. Funkce f má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.. Věta. Nechť existuji obě limity lim f(x) = A , lim g(x) = B, kde A,Be R Pak platí: x—>x0 x—>x0 1. lim (f(x) ± g(x)) = A+ B 2. lim (f(x) • g(x)) =AB, 3. Je-li B * 0, pak lim -^ = — x^x0 x^x0 x^x0 g(x) B KMMATB- řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné -2- L + e\- y = fix) 0\ xo - S xo XQ + 8 a) vlastní limita ve vlastním bodě y = fix) b) vlastní limita v nevlastním bodě aí h---------y—\—i—1\— xo - S xo xo + S c) nevlastní limita ve vlastním bodě d) nevlastní limita v nevlastním bodě Věta (o limitě složené funkce) Nechť lim (p (x) = a a nechť funkce f je spojitá v bodě a. Pak platí, že X—>oo lim f( (p (x)) = f( lim (p(x)) = f( a) . Věta. Nechť x0,LgR,L^0. Nechť lim f(x)= L, lim g(x)= 0. Nechť existuje ô > 0 takové, f(x) f(x) že pro každé xe R : 0< x - x0 < ô platí —— > 0 g(x) g(x) <0 f(x) Potom lim x^xo g(x) [—]• Poznámka. Všechna výše uvedená tvrzení lze vyslovit též pro limitu zprava a limitu zleva. KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné -3- Věta. Nechť existuje ô > O takové, že pro všechna xeR: 0<|x-x0|<8 platí rovnost f(x) = g(x). Pak lim f(x)= A t$ lim g(x)= A, kde Ae R* . X^-Xq x^xo Poznámka. Z této věty vyplývá, že při výpočtu limity můžeme zlomek krátit nebo rozšiřovat výrazem, jehož limita v daném bodě je rovna nule. Věta. Platí: lim f(x) = lim f ŕ~] W lim f(x) = lim f ŕ~] W Poznámka. Při výpočtu limity lim f(x) vždy nejprve dosazením x0 do funkce f(x) x^x0 zjistíme, o jaký typ výrazu se jedná. Příklady. Ve všech následujících příkladech spočítejte limitu: 1. lim x2-4x-5 ,. (x-5)(x + l) ,. x + 1 6 = lim = lim ^5x2-7x + 10 x^(x-5)(x-2) x^5x-2 3 ■ = - = 2 2. lim —j=— = lim -t—j= x^ Vx -1 x^ (y x ^-1^+1tl.m^-"^ + ') = l.mx(^ + 1) = /x-lJ(Vx+lj x^ X-l *->l -> ,• x-2 ,. (x-2Wx + 2+2) ,. (x-2)k/x + 2 + 2] ,. / /------ \ A 3. lim . -----= lim / ,v A y . ; x = lim^------^-------------'- = limU/x + 2 + 2 = 4 x^2Vx + 2-2 x^2 (Vx + 2 -2j(Vx + 2 + 2) x^2 x-2 *^v 4. lim 1 x^\x-3 x -x-6, = lim lim x^3 ^ ,. x + 2-5 lim lim x-3 x-3 (x-3)(x + 2)J x^3(x-3)(x + 2) x^(x-3)(x + 2) x^3 x + 2 5 3 _2 3-2y + 5y2 _ ,. 3x2-2x + 5 ,. y7 y ,. y2 5. lim —------------= lim —-----------= lim ,. 3-2y + 5y2 3 lim - x^~4x2+3x-7 ^0+A + l_7 ^0+4 + 3y-7y2 y^o+4 + 3y-7y2 4 y y 6. lim x + 1 1 + 1 1 + y 1 + y 1 + y lim lim lim lim Vl + 2x2 ^0~ j1 + _2_ ^°~ Jy2+2 ^°~ Vy2+2 y^ -yjy2+2 : lim - , 1 + y y2+2 v y 1 _ a/2 V2 ~~^~ KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné__________- 4 n v 2x-l 7. lim--------- . x^ (x-l) Po dosazení čísla x = 1 dostaneme v čitateli 1, ve jmenovateli 0. Příklad budeme řešit podle poslední věty ze strany 2. (1-5,1) (1,1 + 5) 2x-l + + (x-lľ - + ,. 2x-l ,. 2x-l lim t------n = -oo hm t------n = oo x^r(x-l3) *^+(x-l3) ,. 2x-l . . lim-------— neexi stui e x^(x-l)3 x2+x-6 ,. (x-2)(x + 3) ,. x + 3 8. lim-----;-----------= lim -——^——— = lim------ x^2-x2+4x-4 x^2 -(x-2) x^2x-2 (2-5,2) (2,2 + 5) x+3 + + 2-x - + ,. x + 3 ,. x + 3 lim------= -»o hm------= »o *->2- 2-x ^2+ 2-x lim x +X-6 x^2-x +4x-4 x^22-x ,. x + 3 . . lim------ neexi stůj e Derivace. Dalším důležitým pojmem je pojem derivace. Definice. Nechť funkce je definována v bodě x0 .Existuje-li f(x)-f(x0) lim x — xr nazýváme tuto limitu derivací funkce f(x) v bodě x0a značíme f'(x0) Poznámky. 1. Obdobně nazýváme lim x-«o X - X f' (x0) a lim f(x)-f(x0) x-x0 f(x)-f(x0) derivací funkce f(x) bodě x 0 zleva, značíme x^xo X-Xr derivací funkce f(x) bodě x 0 zprava, značíme f/+(x0). 2. Geometrický význam derivace je patrný z následujícího obrázku. KMMATB- řešené příklady - diferenciální počet funkci jedné proměnné >/<*)-/(xo) y = /(*) Definice. Buď f(x) funkce, x 0 bod. Přímku t, která prochází bodem T= [x 0, f (x 0)] a má směrnici f (x0) nazýváme tečnou ke grafu funkce y=f(x) v bodě T. Její rovnice je y-f(x0) = f/(xo)(x" xo)-Přímku n, procházející bodem T kolmo k tečně t nazýváme normálou ke grafu funkce y=f(x) v bodě T. Je-li f' (x0) ^ 0, má normála rovnici y-f(x0)= - —— (x-x0). f (x0) Je-li f'(x0) = 0, má normála rovnici x = x0. Věta. (pravidla pro počítání s derivacemi) Nechť funkce f g mají na množině M derivaci. Pak pro všechny body x e M platí. [cf (x)]' = cf'(x) [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x) + f(x)g'(x) f(x) g(x) f/(x)g(x)-f(x)g/(x) g2(x) pro g(x) ^ 0 Věta (o derivaci složené funkce) Nechť funkce u = g(x)má derivaci v bodě x0 a nechť funkce f (u) má derivaci v bodě u0 = g(x0). Pak složená funkceh(x) = f[g(x)] má derivaci v bodě x0 a platí h/(x0) = f/(u0)g/(x0) • Poznámka. Tedy v obecném bodě lze psát {f ^(x)]}7 = f'(g(x)]- g'(x) KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné -6- Věta (přehled vzorců pro derivování) Pro derivace elementárních funkcí platí: (sinx) =cosx (tgx) = 2 COS X ( ■ < l (cosx) =-sinx t \ 1 ^coigx; sin x Ifirr.r.n<íx 1 —---------------- Vl-x2 í \ 1 (arctgxj = 1 + x / l~x \ „X ve / = e (lnx)'=-X c' = 0 Vl-x2 1 + x (ax) =ax -lna (!ogax) = xlna (xs) =sxs"1 ,seR Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušně funkce definovány. Poznámka. Na další vztahy se dívejte jako na návod k počítání, nejsou to vzorce k zapamatování. Jedná se o derivaci tzv. „funkce na funkci". (f(x)g(x))' = (e^-M) = (e^W-W^(x)lnf (x)+g(x)^j = (f(x)g(x^g'(x)lnf(x) + g(x)^ Poznámka. Na příkladu funkce arcsin x uveďme jednoduchý výpočet derivace inverzní funkce. Platí sin (arcsin x) = x celý vztah derivuj eme: cos(arcsinx)-(arcsin x) =1 a odtud vypočteme í • \ 1 1 1 (arcsin x j =------;----------r= . = = —==----- cos(arcsin x) ^/í - sin2 (arcsin x) Vl-x2 Příklady. V následujících příkladech vypočítejte první derivaci funkce y = f(x). i. y x — 2x +2 ,_ 2x(x3 -2x2 +2)-x2(3x2 -4x)_ -x4 +4x (x3-2x2+2)2 (x3-2x2+3)2 2. y = (x2+3x-2JCOSX y' = (2x + 3)cosx -(x2 +3 cosx -2)sinx 3. y = xVl + x2 y' = l-A/l + x2 +x--(l + x2)"2-2x = Vl + x2 +- x2 l + 2x2 Vl + x2 Vl + x2 *xx2 4. y = ex(x2-2x + 2) y' = ex(x2 -2x + 2)+ex(2x -2) = ex 5. y = sin2(x3-x + 2j y' = 2sin(x3 -x + 2)cos(x3 -x + 2)(3x2 -l)= (3x2 -l)- sin(2(x3 -x + 2)) KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné__________- 7- 1-sinx ^ , . , , [1-sinx p 1 1-sinx , , . . 6. y = In J---------- . Funkci upravíme y = In ---------- = —In---------- a pak derivujeme V 1 + sinx ^l + sinxy' 2 1 + sinx ,_1 1 + sinx -cosx-(l + sinx)-(1-sinx)• cosx _ 1 1 + sinx -2cosx _ 2 1-sinx (l + sinx)2 2 1-sinx (l + sinx)2 -cosx -cosx 1 1-sin x cos x cosx 7. y = xx . Funkci upravíme na tvar y = (elnx j = exlnx a pak derivujeme: y/ = ex,lnxílnx + x--] = xx-(l + lnx) 1, 1 + x 1 8. y = —ln-----------arctgx 4 1-x 2 '-I \Z^ l-x-(l + x)-(-l) 1 1 _ 1 1 1 1 _ 1 1 + x2 ~(l-x2)_ x2 4 1 + x (l-x)2 2 1 + x2 2 1-x2 2 1 + x2 2 1-x4 1-x 9. Vypočtěte čtvrtou derivaci funkce y = x3 ln x . y' = 3x2 In x + x3 • — = 3x2 ln x + x2 x y" = 6xlnx + 3x2-----h2x = 6xlnx + 5x x yw = 61nx + 6x- + 5 = 61nx + ll x X V následujících příkladech určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce y=f(x) vboděT=[x0,f(x0)]. 10. f(x) = xe2x , T = [-l,?] Nejprve spočteme druhou souřadnici bodu T: f(-l) = -e~2 , T = [— 1,—e-2 J Dále spočteme derivaci funkce f(x): f'(x) = e2x +2xe2x a její hodnotu v bodě -1: f'(-l) = e-2-2e-2=-e-2 Rovnice tečny je t: y + e~2 = -e~2 (x +1) , Rovnice normály je n: y + e~2 = e2 (x +1) KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné__________- 8- 11. f(x) = (x + l)-0-x , T = [2,?] f(2) = 3-^3-2=3 ,T = [2,3] f'(x) = V3^ + (x + l) ~l n2 3-V(3-x)2 f'(2) = l-l = 0 tečna t má rovnici: y = 3 , normála n má rovnici: x = 2 Extrémy a monotónnost funkcí. Definice. Říkáme, že funkce f(x) má v bodě x0 lokální maximum [respektive lokální minimum ], jestliže existuje takové ô > 0 , že funkce f(x) je definována na intervalu (x0 -S,x0 +ô)a platí f(x) f (x0) ] pro všechna x e M. Věta. (Monotónnost funkce na intervalu) Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu I a nechť I o je množina všech vnitřních bodů intervalu I. Nechť funkce f(x) má na intervalu I o derivaci. Jestliže f '(x) > 0 [respektive f'(x) > OJ pro xe I o , potom f (x) je rostoucí [respektive neklesající ] na intervalu I. Jestliže f '(x) < 0 [respektive f'(x) < OJ pro xe I o , potom f (x) je klesající [respektive nerostoucí ] na intervalu I. Věta. Nechť funkce f(x) má v bodě x 0 lokální extrém a nechť existuje derivace f (x0). Pak je f (x0) = 0. Poznámka. Funkce může mít lokální extrém jen v bodech, ve kterých je její první derivace rovna nule, nebo v nichž první derivace neexistuje. Věta. Nechť f '(x0) = 0. Je-li f *(x0) > 0 [respektive je-li f *(x0) < Oy, má funkce f(x) v bodě x0 lokální minimum [respektive lokální maximum]. Věta. Nechť f' '(x 0) = 0 a nechť existuje ô > 0 tak, že pro x e (x 0 —8,x0)je f '(x) definována a platí f'(x) < 0 [respektive f'(x) > 0] a pro x e (x0, x0 + ô) je f'(x) definována a platí f'(x) > 0 [respektive f'(x < O) J. Potom má funkce f(x) v bodě x0 lokálni minimum [respektive lokální maximum]. Věta. Buď f (x) funkce definovaná na intervalu J a nechť má v bodě x0 e J absolutní extrém. Pak x0 je koncový bod intervalu nebo má funkce f(x) v bodě x 0 lokální extrém. KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné Příklady. V následujících příkladech určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce f(x). 1. f(x) = 3x-x3 f'(x) = 3-3x2 =3(l-x)(l + x) , f'(x) = 0 <=> x = -l v x = l interval (-~,-l) (-U) (l,oo) f - + - f klesá roste klesá f(-l) =-2 je lokální minimum , f(l) = 2 je lokální maximum 2x 2. f(x) 1 + x' f'(x) = 2(l + x2)-2x-2x _ 2-2x2 _2(l-x)(l + x) fcťj ~^f~ (l + x2)2 interval (-~,-l) (-U) (1,00) f - + - f klesá roste klesá f(-l) = -1 je lokální minimum , f(l) = 1 je lokální maximum 3. Určete absolutní extrémy funkce f(x) =x3-2x2+x-l na intervalu <0,4>. Nejprve určíme lokální extrémy: f'(x) = 3x2-4x + l =0 interval H) m (1,00) ť + - + f roste klesá roste I 1 1 23 f — =------je lokální maximum , f(l) = -1 je lokální minimum [3J 27 Nyní spočteme funkční hodnoty v koncových bodech intervalu <0,4>. f(0) = -1 , f(4) = 35 a porovnáme je s lokálními extrémy. Absolutní maximum je f(4) = 35, absolutní minima jsou f(0) = f(l) : KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné_________- 10 - Konvexita a konkávnost funkce. Inflexní body. Přesná definice konvexity a konkávnosti a průběhu funkce nad tečnou a pod tečnou viz DSO str. 144-149. Definice. Řekneme, že funkce f(x) probíhá v bodě x0 nad tečnou [respektivepod tečnou], když existuje takové ô > 0, že na intervalu (x0-8,x0+8) je definována funkce O(x) = f(x)-f(x0)-f'(x0)(x-x0) aO(x)>0 [respektive O(x)< 0] pro xe (x0-8,x0)u(x0,x0+8). Řekneme, že bod x0 je inflexním bodem funkce f(x), jestliže 0(x)> 0 pro xe (x0-8,x0) a 0(x)< 0 pro xe (x0,x +8) nebo 0(x)< 0 pro xe (x0-8,x0) a 0(x)> 0 pro xe (x0,x +8) Poznámky. 1. Názorně lze říct, že funkce probíhá v daném bodě nad tečnou, jestliže v jistém okolí tohoto bodu leží všechny body grafu funkce nad grafem tečny. Funkce má v daném bodě inflexní bod, jestliže v něm její graf přechází „ z pod tečny nad tečnu" nebo „z nad tečny pod tečnu". 2. Pro naše účely můžeme pojem konvexní ztotožnit s pojmem leží nad tečnou, pojem konkávni ztotožnit s pojmem leží pod tečnou. Věta. Nechť I je otevřený interval a funkce f(x) mám druhou derivaci na I. Je-li f "(x) > Opro každé x e I, pakjef(x) na I konvexní. Je-li f "(x) < Opro každé x e I, pak je f (x) na I konkávni. Věta. Nechť x0 je je inflexní bod funkce f (x). Existuje-li f *(x0), pak je f *(x0) =0. Poznámka. Funkce může mít inflexi pouze v bodech, v nichž je druhá derivace rovna nule nebo v nichž druhá derivace neexistuje. Věta. Nechť f*(x0) = 0 a nechť existuje 8>0 tak, že pro x e (x0 -8,x0) je f*(x) definována a platí f"(x)<0 [respektive f"(x)>0] a pro x e (x0,x0 +8) je f*(x) definována a platí f "(x) > 0 [respektive f "(x < 0)].Potom má funkce f(x) v bodě x0 inflexi. Věta. Nechť f *(x0) = 0. Je-li f *(x0) ^ 0, má funkce f(x) v bodě x0inflexi. Příklady. V následujících příkladech určete intervaly konvexity a konkávnosti a inflexní body f(x). 1. f(x) = x4-12x3+48x2-50 f'(x) = 4x3 -36x2+96x f *(x) = 12x2 - 72x + 96 = 12(x2 - 6x + 8) = 12(x - 2)(x - 4)=0 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 11- interval (—,2) (2,4) (4;-) ť + - + f konvexní konkávni konvexní f(2) = 62 a f(4) = 206 jsou inflexní body 2. f(x) = earctgx f'(x) = arctg x 1 i 2 1 + X arctg x f'(x) = 1 + X •(l + x')- arctg x 2x arctg x (i+*>r (,+x»r (l-2x) ^ arctg x výraz (,+x=F > 0 pro všechna x e R , takže znaménko f "(x) závisí pouze na (l-2x) interval H) (H ť + - f konvexní konkávni lib = 1,589 je inflexní bod l'Hospitalovo pravidlo Věta. Nechť j e splněna jedna z podmínek: 1. limf(x)= lim g(x) = 0 , 2. lim I g(x)| = +00. f'(x) . f(x) Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) lim —^-{ , pak existuje také lim . ' a platí: x^x0 g (x) x^xo g(x) lim£M = lim£ÍO mu , . mu , . . x^x0 g[xj x^x0 g [x j Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné limity a limity v nevlastních bodech. Poznámka. L'Hospitalovo pravidlo se používá pro výpočet limit typu 0 C °° oo — , — , — ale lze je použít i pro limity typu 0-°° ,°°-°° ,Y° , 0 , » 0 oo oo KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné_________-12 — Příklady. Vypočítejte limity: „ ,. 3x2-2x + 5 ,. 6x-2 ,.6 3 1. lim —------------= lim--------= lim — = — x^-4x2+3x-7 x^~8x + 3 *-*»8 4 „ ,. 5(l+ x)4-5 ,. 20(l+ x)3 20 _ 2. lim v A '------= lim —^—'— = — = 10 x^° 5x4+2x x^° 20x3+2 2 1 -1 Í^M(-sinx) 3. lim tgX"X =limcos2x ^linA008^ ^--------- = lim 2 x^°x-sinx x^° 1-cosx x^° sinx x^° cos x ., - ^ . .. ^-ifí .. {3 ,. 2 i-1 ,.2-1 2 4. lim—f=-----1= = lim--------- = lim — x2 3 =lim —x ö = ^4x~-4i x^7f0 J2 x^73 x^73 3^ -2 , ,. 7T-2arctgx ,. i+x2 ,. 2x2(x + l) ,. 2x2+2x ,. 4x + 2 A 5. lim-----7------r— = lim--------7—r- = lim —7——-f = lim---------— = lim--------= lim — = 2 X^oo / ^ X^oo^^ r_f\ X^oo X(l + X2) 1 + X2 X^oo 2X X^-2 n +x ^+T x7 fi ľ • f3l ,. KS ,. [^]C0(x] ,. , ^ , 6. lim x • sin — = lim-----—- = lim-------------—- = lim 3 cos — = 3 x x7 „ .. ( \\ .. f cosx \\ .. x-cosx-sinx ,. cosx-x-sinx-cosx 7. lim cotgx----= lim------------= lim------------------= lim--------------------------- x^\ x) x^\sinx x J x^° x-sin x x^° sin x+ x-cosx -xsinx ,. - sin x-x-cosx = lim------------------= lim---------------------------= 0 x^° sinx + x cosx x^° cosx + cosx -x- sinx 8. lim------------= lim —7-------r- = lim---------------= lim-----------------= — *-*\x ex -lj x^°x(ex-l) x^°ex-l + xex x^°ex+ex+xex 2 = e 9. lim(l + ex )x = lim(eln(1+eX))x = lim e^'" T ,. ln(l + ex) ,. i + ex ,. ex ,. ex L = lim —-------- = lim----^— = lim-------= lim — X^oo X x^oo l X^ooJ+eX X^oogX 1 lim(l + ex)x =e: =e KMMATB— řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 13- 10. lim ln L = lim 'A — arctg x n) '(A — arctgx lim e arctg x n 1 x ,. 2arctgx tí 1 + x2 ,. = lim-----------------------= lim -1 x7 -----lim----- x^°° arctgx x->~l + x' Tí 2 ,. 2x -2 — • lim — = — -*"2x n lim '2^1 — arctgx n) Asymptoty. Definice. Přímku x = x0 nazýváme asymptotou bez směrnice funkce f(x), jestliže funkce f má v bodě x0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj. limf(x) = ±°o nebo lim f (x) = ±°o . x—>x0 x—>x0 Přímku y = Ax + B nazýváme asymptotou se směrnicí funkce f(x), jestliže platí lim (f (x) - (Ax + B)) = 0 nebo lim(f(x)-(Ax + B)) = 0. Věta. Přímka y = Ax + B je asymptotou funkce f(x) pro x —» °° právě tehdy když lim A a lim(f(x)-Ax) = B . Přímka y = Ax + B je asymptotou funkce f(x) pro x —» -°° právě tehdy když lim ^ = A a lim(f(x)-Ax) = B Příklady. V následujících příkladech určete asymptoty funkce f(x). 1. f(x) = 1-x Nejprve určíme asymptoty bez směrnice. Funkce f(x) není definována v bodě x0 = 1 (1-5,1) (1,1 + 5) 2 X + + 1 -X + - 2 2 X X lim------= c» , lim------= —oo x->l 1-x x^l+ 1 - X Asymptota bez směrnice je přímka x = 1. Dále spočítáme asymptoty se směrnicí: 1 A= lim x lim x , . - ,u„ - lim -J— = -1 x(l-XJ x^°°l-X x^oo_1 B= lim W 1-x -(-x) A lim 2 , 2 X +X-X 1-x lim Výpočet obou limit pro X —> — °° dává stejné výsledky. X 1-x -1 Asymptota se směrnicí pro x-)<» i pro x —» -oo je přímka y = -x - 1 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 2. f(x) = x-2-arctgx Funkce je definována pro všechna x e R , asymptoty bez směrnice neexistují. Vypočteme asymptotu se směrnicí: A = lim X"2arCtgX= lim—1+^ = 1 . X^oo X x^oo 1 Výpočet koeficientu A pro x —» -°o je stejný. TT Bj = lim (x - 2 • arctgx - x) = lim (- 2 • arctgx) = -2 • — = -% X^oo X^oo 2 B2 = lim (x - 2 • arctgx - x) = lim (- 2 • arctgx) = -2 • — Asymptota se směrnicí pro x^oo je y=x-7i, asymptota se směrnicí pro x —» -°o je y = x + k . 14- ■K 3. f(x) = _(x-l)3 (x + l)2 Funkce není definována v bodě x0 = -1 (-1-8-1) (-1-1 + 8) (x-If - - (x + l)2 + + lim x->-l (x-l)3 _ (x + 1)2 " Asymptota bez směrnice je přímka x = -1. Určíme asymptoty se směrnicí: (x-l)3 ,. x3-3x2+3x-l ,. 3x2-6x + 3 = lim A = lim-^------'— = lim _„ x^°°x(x + l) "" x +2x +x x^~3x +4x + l x^~6x + 4 = lim--------= lim — = 1 ->~6 f B = lim (x-lľ (x + l)2 = lim ■3x2+3x-l-x(x2+2x + l) -5x2+2x-l_ (x + l)2 = lim x2+2x + l = lim -10x + 2 2x + l = lim-----= -5 x-»~ 2 Protože předchozí výpočty zřejmě platí i pro x —» -°o , je přímka y = x - 5 asymptotou pro x —» c» i pro x —» -°°. KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné_________- 15 — Průběh funkce. Při vyšetřování průběhu funkce postupujeme takto: 1. Stanovíme definiční obor, zda je funkce sudá, lichá, periodická. Najdeme průsečíky s osami souřadnými a určíme, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vypočítáme 1. derivaci a podle jejího znaménka určíme, kde je funkce rostoucí a kde je klesající. 3. Určíme lokální extrémy. 4. Vypočítáme 2. derivaci a podle jejího znaménka určíme, kde je gunkce konvexní a kde je konkávni. 5. Určíme inflexní body, 6. Určíme asymptoty bez směrnice a asymptoty se směrnicí. 7. Nakreslíme graf funkce. Příklady. V následujících příkladech vyšetřete průběh funkce f(x). 1. f(x)= 2 1 x -1 1. Definiční obor: R-{-l,l} f(-x) = (-x)3 -f(x) (-x)2-l x2-l Funkce je lichá , její graf bude středově souměrný vzhledem k počátku souřadnic. f(x) = 0 $3- x = 0 , tedy počátek souřadnice je jediný průsečík grafu funkce se souřadnými osami. Dále určíme znaménko f(x). Čitatel má trojnásobný kořen x = 0, kořeny jmenovatele x = -l a x=l jsou jednoduché. Tedy interval (-~,-l) (-1,0) (o,i) (1,~) funkce - + - + 2. Vypočteme první derivaci: ,/ x_3x2(x2-l)-x3-2x _x4-3x2 _x2(x-V3")(x + V3) ixj= ř^iř =v^r= (x-i)2(^i)2 určíme její znaménko a intervaly, kde funkce roste nebo clesá interval (--,-Vš) M.-1) (-1,0) (o,i) M) (a/3>) f + - - - - + f roste klesá klesá klesá klesá roste 3. Určíme lokální extrémy f(-# (-V37-. : -2,56 je lokální maximum , f (y 3 j =-----= 2,56 je lokální minimum KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 4.Vypočteme druhou derivaci: (4x3 -6x)(x2 -l)2 ~(x4 -3x2)-2(x2 -l)-2x _ -16- f'(x) = ^4-3x2^ (x2-l)2 (x2-l)4 _ (x2 -lj(4x3 -6x\x2 -l)-4x(x4 -3x2)]_ 4x5 -6x3 -4x3 +6x-4x5 +12x3 _2x3+6x_ 2x(x2+3) = "^f=(x^IŤ(xTIf určíme její znaménko a intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávni interval (—,-1) (-1,0) (o,i) (1,~) ť - + - + f konkávni konvexní konkávni konvexní 5. Určíme inflexní body: druhá derivace mění znaménko v bodech -1,0,1, ale protože v bodech -1 a 1 není funkce definována, infiexe v nich nenastane. Inflexní bod je bod x = 0 a funkce v něm nabývá hodnoty f(0) = 0 . 6. Určíme asymptoty bez směrnice. Vyšetříme funkci v okolí bodů nespojitosti x = -1 ax = 1. interval (-1-5,-1) (-1,-1 + 5) (1-5,1) (1,1 + 5) 3 X - - + + 2 i x -1 + - - + lim lim lim ■rť-1 *^-i+x -1 x-n-x -1 Asymptoty bez směrnice jsou přímky x = -1 a x = 1 . Dále určíme asymptoty se směrnicí: 3 A = lim B = lim x 2 1 x -1 C x3 X = lin3 = l = lim x2-l ■ —X = lim J x3 -x3 +x x2-l 1- x 1- 1 = lim —----lim — = 0 "" x -1 x^°° 2x lim —:----- x^l+X2-l Výpočty pro x —> -°o jsou zřejmě zcela stejné, Přímka y = x je asymptou fukce f(x) pro x —» oo i pro x —> -oo KMMA TB - řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 7. Nakreslíme graf funkce. -77- -V3 / ■><- / r / UV3" Wš / y / / o 1 J3 2. f (x) = x - 2arctg x 1. Definiční obor: R f (- x) = -x - 2arctg(- x) = -x + 2arctg x = -f (x) Funkce je lichá, její graf bude středově souměrný vzhleden k počátku souřadnic. Rovnici x - 2arctgx = 0 neumíme řešit, víme pouze, že má jeden kořen x = 0. 2. Vypočteme první derivaci: 2 _x2-l_(x-l)(x + l) f'(x) = l- 1 + x2 1 + x2 1 + x- a určíme její znaménko a intervaly, kde funkce roste a kde klesá interval (-00-1) (-u) (1,~) ť + - + f roste klesá roste 3. Určíme lokální extrémy: 71 f (l) = 1 - 2arctg(l) =1----= 0,423 je lokální maximum TT f (-1) = -1 - 2arctg - (l) = -1H— = -0,423 je lokální minimum KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 18- 4.Vypočteme druhou derivaci: f'(x) = í^ xz-l 1 + x2 _2x(l + x2)-(x2-l)-2x _ 4x (l+x^ (i+x'-r- určíme její znaménko a intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávni interval (--,0) (0,-) ť - + f konkávni konvexní 5. Inflexní bod je bod x = 0 a funkce v něm nabývá hodnotu f (o) = 0 . 6. Funkce je spojitá na celém R, nemá proto žádné asymptoty bez směrnice. Dále určíme asymptoty se směrnicí: 1 . ,. x-2arctgx A = lim-----------------= lim 1 — l + x/ 1 X^oo X x^oo 1 Výpočet koeficientu A pro x —» -°o je stejný. TT Bj = lim (x - 2 • arctgx - x) = lim 2 • arctgx = -2 • — = —tí B2 = lim (x - 2 • arctgx - x) = lim 2 • arctgx = -2 • - Asymptota se směrnicí pro x^oo je y = x - tu . asymptota se směrnicí pro x —» -°o je y = x + je . ■71 K 7. Nakreslíme graf funkce. Z vypočtených hodnot je zřejmé, že graf funkce protíná osu x ve dvou bodech, které označíme -a, a . Neumíme je spočítat (to by bylo třeba udělat numerickými metodami) - viz bod 1, nyní však víme, že existují, ě t y / / d / n / / / / / y = x — 2 arctg x y / / / / * i s / l~l y / / / ^-r~+s. i y / / y^ '■ X 1 y / /' y-a -Í O \. ^ya / x / X ^-i— / // l-f / / / / / / s / / / / / — 7t / / ■ / KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné_________- 19 — 3.f(x) = ^l 1. Definiční obor: R-{o} f(-x) = ln(-x)2 lnx: -f(x) X X Funkce je lichá, její graf bude středově souměrný vzhleden k počátku souřadnic. lnx2 Řešením rovnice = 0 dostáváme x = 1 a odtud x = ±1 Průsečíky grafu funkce s osou x jsou body [-1,0] a [l,0]. Určíme ještě znaménko funkce: interval (-~,-l) (-1,0) (o,i) (1,~) f - + - + 2. Určíme první derivaci: 2x f'(x) = ^•X-lnx2 2-lnx2 a položíme ji rovnu 0. Dostaneme lnx2=2 ^> x = ±e a zjistíme znaménko první derivace v jednotlivých intervalech interval (-oo-e) (-e,0) (0,e) (e,oo) f - + + - f klesá roste roste klesá 2 2 3. f (- e) = — - -0,74 je lokální minimum, f (e) = — - 0,74 je lokální maximum e e 4. Druhá derivace je ^2-lnx2^ f'(x) = 2x x7 ■x2-t2-lnx2)-2x_2(lnx2-3) Vypočteme, kde je druhá derivace rovna nule: f'(x) = 0 <=> lnx2 =3 <=> x2=e3 <=> x=±VeT = ±4,46 a určíme její znaménko interval (- °°,-v e3 J (-V7,o) (o, 77) (Ve3,ooJ ť - + - + f konkávni konvexní konkávni konvexní 5. Inflexníbodyjsou f(-VeT)=—^= = -0,67 a f(VeT)=^= = 0,67 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 20- 6. Určíme asymptoty bez směrnice. . Vyšetříme funkci v okolí bodu x = 0 , který je jediným bodem její nespojitosti. interval (-ô,o) (o,ô) lnx2 - - X - + ,. lnx2 lim------ x->(T x ,. lnx: lim----- x^0+ x Asymptota bez směrnice je přímka x = 0 Najdeme ještě asymptoty se směrnicí: lnx2 i- x i- lnx2 i-A = lim —-— = lim —— = lim X^oo X x^oo x x^oo 2x 2 X 2x lim 2x ^ ,. lnx2 ,. Už" 2 n B = hm------= hm ^- = lim — = 0 X^oo X x^oo 1 x^oo X Výpočty pro x —» -°o jsou stejné. Přímka y = x je asymptotou funkce pro x —> °o i pro x —» -°o 7. Nakreslíme graf funkce.