Link: OLE-Object-Data 4 Kategorizace výrobních faktorů v produkční funkci V tomto oddíle uvedeme stručný přehled několika důležitých vlastností, kterými může být charakterizována uvažovaná výrobní technologie daná produkční funkcí nebo jednotlivé výrobní faktory obsažené v této produkční funkci. Některé z těchto vlastností lze vyslovit, aniž použijeme předpokladu o diferencovatelnosti (případně i spojitosti) produkční, nákladové nebo jiné ekonomické funkce. Výhodou hladkých (neomezeně diferencovatelných) funkcí ovšem je možnost některé tyto vlastností ověřit snadněji než analýzou definičního vztahu. Definice 9 Podstatnost výrobního faktoru Výrobní faktor jako argument v ekonomickém vztahu je podstatný [angl. essential ] tehdy, jestliže jeho přítomnost je nezbytně nutná k tomu, aby hodnota produkce, kterou výrobní proces poskytuje, byl kladný. Formálně lze podstatnost skupiny s faktorů zapsat jednoduše (pro přehlednost značení předpokládáme, že podstatných je právě prvních s faktorů) vztahem : (4.1) Symboly označují libovolná dosazení z oboru přípustných hodnot ostatních (nepodstatných, non-essential) faktorů. . Je zřejmé, že je-li kombinace faktorů podstatná, je podstatná i kterákoliv kombinace pro . Tento důsledek je očividný, neboť ubráním dalšího faktoru s kladným množstvím z okruhu stávajících podstatných, jež vystupují v nulových množstvích, nemůžeme dosáhnout kladné hodnoty produkce. Podstatný faktor je z geometrického hlediska charakteristický tím, že izokvanta na kterékoliv hladině produkce nemůže přilnout k ose (osám) dané (daným) nepodstatným (i) faktorem (faktory) v jeho (jejich) konečně velké hodnotě (velkých hodnotách). Podstatné jsou např. všechny argumenty Cobb-Douglasovy funkce a všechny výrobní faktory v ACMS-funkci s kladnou hodnotou parametru r. Naopak, při záporném r jsou výrobní faktory u ACMS-funkce nepodstatné, stejně jako výrobní faktory v produkční funkci typu ADDILOG, kde jsou argumenty vázány aditivně. Definice 10 Substitučnost ( nahraditelnost ) dvou faktorů Vlastnost se vztahuje k možnosti nahrazení dvou dosazovaných množství výrobních faktorů jinými dvěma množstvími vedoucími k téže hodnotě produkce. Jestliže v určitém bodě - faktorové kombinaci - existují kladné mezní produktivity dvou faktorů - pak lze říci, že tyto faktory jsou v substitučním vztahu (snížení jednoho musí být kompenzováno zvýšením druhého, má-li být úroveň produkce neměnná). Pojem však lze zavést i u produkčních funkcí, které nejsou diferencovatelné a dokonce ani nejsou spojité. F.Pokropp v [1] definuje dva plně substituční faktory (neklesající produkční funkce), např. -tý a -tý) rovností oborů funkčních hodnot (4.2) Při ,, kde resp. označují obor přípustných hodnot, zpravidla interval, kterých může nabývat -tý resp. -tý faktor. Nejsou-li uvažována omezení v rozsahu přípustných hodnot faktorů, pak . Pojem lokální substitučnosti se zasazuje do prostředí mezních užitků (substitučních) faktorů v neklesající produkční funkci. Nechť máme , dva mezní produkty v bodě . Pak jsou -tý a -tý faktory tomto bodě ( tedy lokálně ) substituční) platí-li: Definice 11 Limitovatelnost produkční funkce resp. faktoru Pojem limitující produkční funkce je jistým protějškem substituční vlastnosti a souvisí s již zavedenou vlastností podstatnosti faktorů. Je spojován se situacemi, kdy nezvyšování množství jednoho nebo skupiny faktorů znemožňuje růst celkového výnosu, i když (třeba bez omezení) zvyšujeme množství faktorů ostatních ( nelimitujících ). Lze přitom rozlišit slabou a silnou limitovatelnost, kdy slabá limitovatelnost představuje pouze nutnou zatímco silná limitovatelnost současně nutnou i postačující podmínku k tomu, aby zvýšení množství limitujícího faktoru (skupiny faktorů) implikovalo zvýšení celkové produkce[1]. Slabá limitovatelnost byla R.W.Shephardem v [ 2 ] definována jako podmínka: Existuje-li taková kombinace výrobních faktorů (při nelimitujících faktorech ), že pro jakýkoliv vektor , kde , platí pro nějakou (dostatečně velkou) konstantu , (tj. je shora omezená), pak řekneme, že kombinace je limitující. . Souvislost s podstatností faktoru je dána větou (viz [ 2 ] ) . VĚTA 1 Nechť produkční funkce splňuje axiom (P7*), tj. účinné podmnožiny jsou ohraničené pro libovolnou hodnotu produkce . Pak platí, že faktor (resp. faktorová kombinace) je slabě limitující právě tehdy, když je podstatný(á). Důkaz : převezmeme z publikace [ 2 ]: . Zesílením předchozí vlastnosti je silná limitovatelnost, která je dána podmínkou : Platí-li pro jakoukoliv kombinaci výrobních faktorů (při nelimitujících ) a jakýkoliv vektor takový, že platí. že je shora omezená, pak je daná faktorová kombinace. limitující. . Z definice, která má globální povahu, je ihned zřejmé, že silně limitující faktor je i slabě limitující (a je tedy také podstatný, pokud je ovšem splněn axiom (P7*)). Protikladem substituční vlastnosti je taková situace, kdy výroba může racionálně probíhat pouze tehdy, jestliže část nebo všechny výrobní faktory se účastní výrobního procesu v pevně určeném poměru. (Tento poměr může, ale také nemusí záviset na velikosti úhrnné produkce). Definice 12 Krajním případem komplementární produkční funkce, která výše uvedený typ technologie popisuje vztahem: (4.3) ve kterém např. hodnota --- v nějakém bodě (a při předem daných technologických koeficientech ,) určuje limitující minimální hodnotu produkce). V účinných bodech izokvant je minima dosaženo současně ve všech argumentech funkce (2.1), přičemž poměr nezávisí na objemu produkce. V "obecných" komplementárních funkcích je pojem "fixních proporcí" zahrnutých faktorů chápán poněkud volněji. Jestliže definujeme produkční funkci ve tvaru , kde jednotlivé vyjadřují maximálně dosažitelnou hodnotu produkce, jestliže -tý faktor je ve výrobním procesu uplatněn v množství , pak množina účinných bodů na jednotlivých izokvantách nemusí být přímka procházející počátkem. Pokud jsou všechny funkce rostoucí, pak vždy existuje jen jediná kombinace, v níž jsou všechny faktory slabě limitující. Pak: přičemž (poloha bodu závisí na dosaženém objemu produkce ). (4.4) Separabilita Smysl této vlastnosti se váže k určité relativní nezávislosti postavení příslušného faktoru v ekonomickém vztahu. Tato "nezávislost" má zpravidla podstatný vliv na možnost racionální agregace faktorů téže povahy do makroagregátu v makroprodukční funkci. Separabilita se buď definuje ve vztahu k monotónnosti funkce (nazvěme ji relační separabilita) nebo ve vztahu k mezní míře substituce faktorů, které mají být agregovány (tzv. funkcionální separabilita). Definice 13 Separabilita produkční funkce Relační separabilita Tento přístup uplatňuje např. Pokropp v [1]; vlastnost je pak představována implikací (v zápisu pro -tý faktor): z nerovnosti (4.5) vyplývá vztah pro jakákoliv dosazení hodnot ostatních faktorů . Zvýšení, resp. snížení produkce způsobené pouze parciálním působením -tého (separabilního) faktoru, je nezávislé na jakýchkoliv dosazených hodnotách ostatních zahrnutých faktorů. Funkcionální separabilita je definována ve vztahu k mezní míře substituce. Proveďme za tímto účelem rozdělení všech výrobních faktorů do několika, řekněme disjunktních skupin , a to tak, aby do stejné skupiny patřily faktory, které jsou v nějakém smyslu "příbuzné". Tím dostaneme rozdělení všech faktorů do skupin při četnostech skupin , kde . Funkcionální separabilita je charakterizována nezávislostí mezní míry substituce (mezi dvěma uvažovanými faktory) na změnách kterékoliv jiného výrobního faktoru (mimo oba uvažované). Formálně zapsáno : (4.6) nebo také Je zřejmé, že anulovaný výraz obsahující toliko parciální derivace produkční funkce získáme z předešlého známým pravidlem pro derivaci zlomku podle [ ]( nehledě na vynásobení ). Definice 14 A Řekneme, že produkční funkce je silně separabilní s ohledem na přijaté dělení výrobních faktorů do skupin, jestliže vztah (*) platí pro všechny faktory z -té skupiny a všechny faktory z -té skupiny (-tá a -tá skupina jsou disjunktní) Definice 14 B Řekneme, že produkční funkce je slabě separabilní s ohledem na přijaté dělení výrobních faktorů do skupin, jestliže vztah (*) platí pro všechny faktory a z -té skupiny. Jak slabá, tak silná separabilita mohou platit v bodě (konkrétním množství faktorů) i globálně. Vyjádříme-li pojmy slabé a silné separability poněkud jinými slovy, lze říci toto : Množina faktorů patřící do -té skupiny (při dekompozici všech faktorů disjunktně a vyčerpávajícím způsobem do skupin) je slabě separabilní vůči všem ostatním faktorům, jestliže mezní míra substituce mezi kterýmikoliv dvěma z -té skupiny je nezávislá na změně kteréhokoliv jiného faktoru nepatřícího do této skupiny. Produkční funkce je slabě separabilní, jestliže tato vlastnost platí pro všechny skupiny z přijatého členění všech faktorů do skupin, . Silná (také aditivní) separabilita produkční funkce předpokládá, že slabá separabilita platí pro faktory z libovolné dvojice tříd (-té, -té) vůči všem ostatním faktorům (při přijatém členění všech faktorů do tříd). Poznámka: V definici aditivní separability se připouští, že (jde tedy o dvojici téže skupiny), takže ze silné separability vyplývá slabá. Velmi zajímavým zjištěním je dále skutečnost, že funkcionální separabilita (slabá i silná) má bezprostřední vliv také na strukturní tvar produkční funkce, jestliže tato funkce je separabilní. Blíže o tom vypovídá následující věta : VĚTA 2 (Goldman a Uzawa 1964) a) Produkční funkce je globálně slabě separabilní s ohledem na přijaté dělení do disjunktních tříd, právě tehdy, když lze tuto funkci vyjádřit zápisem (4.7) , kde je rostoucí funkce a jsou nějaké funkce, z nichž každá má za argumenty pouze faktory náležející do -té třídy . a) Produkční funkce je globálně silně separabilní s ohledem na přijaté dělení do disjunktních tříd, právě tehdy, když lze tuto funkci vyjádřit zápisem (4.8) , kde je rostoucí funkce a jsou funkce, které mají za argumenty pouze faktory náležející do -té třídy . Pokud je produkční funkce separabilní, je takto umožněna jistá decentralizace v rozhodování, neboť lze optimalizovat po krocích (krok ve výběru optima v dané skupině není nijak podmíněn situací v jiné skupině). Zajímavé je, že i z historického pohledu vymezuje určité funkční tvary. Lze totiž ukázat, že Cobb-Douglasova funkce a ACMS-funkce jsou (explicitně) silně separabilní , jakož i to, že Hanochovy CRESH a CDE- funkce jsou (implicitně) silně separabilní. Častým předmětem zkoumání je vliv proporcionálního zvyšování množství faktorů na hodnotu produkce. K tomuto účelu je nejčastěji uplatňován pojem homogenity funkce představován definicí. Definice 14 - Homogenita produkční funkce Jestliže pro produkční funkci platí vztah (4.9) , kde je nějaké kladné číslo určující míru proporcionální změny vstupů a je pevná konstanta (může být i záporná, zpravidla se přijímá omezení ) udávající míru zvýšení (snížení) funkční hodnoty v uvažovaném vztahu (stupeň homogenity), řekneme je produkční funkce je homogenní stupně . Jestliže , řekneme, že funkce je lineárně homogenní. Podle velikosti této konstanty se mluví o rostoucích , klesajících či konstantních výnosech z rozsahu výroby . Poznámka Charakteristickou geometrickou vlastností izokvant generovaných lineárně homogenní produkční funkcí je rovnoběžnost tečen k těmto izokvantám v bodech, které jsou průsečíky izokvant s paprsky (polopřímkami) vycházejícími z počátku souřadnic. Je tomu tak proto, že mezní míra substituce mezi kterýmikoliv dvěma faktory zůstává při proporční změně všech faktorů konstantní (jde o homogenní funkci stupně ). Lemma: Nechť je produkční funkce homogenní funkce stupně 1. Potom je mezní míra substituce mezi faktory u této produkční funkce homogenní funkce stupně 0. ověření: Nechť platí (4.9), pak pro , která je definována vztahem Definice 15 - Homoteticita produkční funkce Homotetickou (produkční) funkci lze vyjádřit ve tvaru: (4.10) , kde je nějaká homogenní funkce stupně vstupních výrobních faktorů a je nezáporná, spojitá a rostoucí funkce jedné proměnné s vlastnostmi . Lze snadno ukázat, že z (nezáporné) homogenity kteréhokoliv stupně vyplývá homoteticita, nikoliv však obráceně. Podobně jako u lineární homogenity vyznačuje se struktura izokvant specifickou vlastností. K určení celé množiny izokvant postačuje znalost "jednotkové izokvanty", tj. izokvanty odpovídající produkci . Všechny ostatní izokvanty můžeme získat radiální expanzí z počátku souřadnic tak, že libovolnou kombinaci faktorů na této izokvantě vynásobíme poměrem . Tvar izokvant je tedy nezávislý na objemu produkce . Ve vztahu k pružnosti substituce libovolných dvou faktorů lze u homotetické produkční funkce ukázat, že se tato může měnit při pohybu po zvolené izokvantě, avšak zůstává konstantní podél paprsku vycházejícího z počátku (tj. nemění-li se proporce faktorů). Definice16 - Linearita v parametrech (po eventuální transformaci) (4.11) Výhodnost nelineárních tvarů, jež jsou lineární v parametrech, je snadnost, se kterou se zpravidla provede odhad parametrů těchto funkčních tvarů (produkční, nákladové aj.) Typickým příkladem je mnohočlen v n proměnných. (4.12) . Snad vůbec nejznámější příklad funkce lineární v parametrech po transformaci je CD-funkce. Transformace je zde zřejmě logaritmická. Definice 17- Kvazilinearita a zobecněná kvazilinearita Pojem lineární aditivity zobecnil Wolfgang Eichhorn v [3] tak, že na jednotlivé prvky vztahu ( ) uplatňuje spojitou monotónní transformaci, k níž, jak známo, existuje inverzní. Ekonomický vztah (produkční, nákladová, poptávková funkce) může být za těchto okolností zapsán jako: (4.13) , kde je spojitá monotónní funkce a dále , jsou vhodné konstanty (nenulové). ACMS -- funkce je kvazilineární (obecná mocnina řádu ) Zobecněním kvazilinearity je případ, kdy inverzní funkce ve vztahu (4.13) není totožná s jednofaktorovými funkcemi uvnitř závorky pravé strany. Zobecněnou kvazilineární funkci lze tedy zapsat ve tvaru: (4.14) , kde jsou vesměs spojité a ryze monotónní funkce. Oproti (4.13) se nevyžaduje symetrie vnitřních funkcí , vůči jednotlivým argumentům. Předchozí výčet vlastnosti -- ač ne vyčerpávající -- umožňuje provést jistou typologii v rámci produkčních nebo nákladových funkcí. Přirozeně, některé z těchto vlastností (např. substitučnost vs. komplementarita) se vzájemně vylučují. Daný výrobní vztah je proto třeba vyšetřovat obezřetně a mít na paměti, že ne ve všech oblastech faktorového prostoru musí funkce, resp. vztah některých jejich výrobních faktorů vykazovat stejné chování. ------------------------------- [1] Georgescu-Roegen v této souvislosti mluví o limitující (analogicky ke slabé limitovatelnosti) resp. limitativní (obdobě silné limitovatelnosti) faktorové kombinaci. U první vlastnosti jsou určující technické důvody, zatímco druhá má zpravidla též sociální a ekonomické pozadí.