Link: OLE-Object-Data 3 Racionální chování spotřebitele : maximalizace užitku, minimalizace výdajů Spotřebitel si při nákupu komodit počíná tak, že svůj peněžní příjem o velikosti rozdělí beze zbytku na nákup s komodit , a to tak, aby dosáhl svého maximálního užitku. Jinými slovy : komodity kupuje v takových množstvích (ne však nutně všechny dostupné), aby požadované hladiny užitku dosáhl co nejlevněji. Bude tedy preferovat - při variantní možnosti dosáhnout hladiny užitku různými kombinacemi komodit - takovou kombinaci, při níž celkový výdaj na pořízení všech užitek mu přinášejících statků (závisející zřejmě na množstvích statků a na jejich jednotkových cenách) bude nejmenší možný. Je tedy mj. zřejmé, že při jinak stejném příspěvku několika komodit k užitku (při shodných mezních užitcích těchto komodit) bude preferovat nákup komodity nejlevnější. 3.1 Formulace maximalizačního problému Pokud tuto situaci zformalizujeme, dostáváme optimalizační problém řešící nalezení maxima (3.1A) za podmínky (3.1B) a podmínek nezápornosti (3.1C) pro všechna . Z matematického pohledu jde tedy o úlohu nalezení vázaného extrému (maxima) obecně nelineární funkce na množině rozpočtového omezení . Jak je známo, vzhledem k tomu, že omezující podmínka spolu s podmínkami nezápornosti proměnných (3.1C) představuje kompaktní (tj. omezenou a uzavřenou) množinu, nabývá jakákoliv spojitá a ve všech proměnných rostoucí nelineární funkce svého maxima na hranicích takovéto množiny. Lze tedy rozpočtové omezení stejně dobře psát ve tvaru . Úloha uvedeného typu se standardně řeší s použitím Lagrangeova multiplikátoru. Při této reformulaci nabývá kriteriální funkce tvar (3.2) , kde je právě zmíněný Lagrangeův multiplikátor. S touto (hodnotou neznámou) veličinou se zachází obdobně jako s jinými proměnnými : v dalším ji budeme považovat za funkci implicitně závislou na "parametrech úlohy" tzn. na cenách obsažených v cenovém vektoru a na příjmu jednotlivce. Stejně jako v jiných extremálních úlohách postupujeme dále tak, že jednotlivé parciální derivace extremalizované funkce ve vztahu (6) podle proměnných a položíme rovny nule. Po přeskupení členů dostaneme (3.3A) pro[ ] (derivace podle [ ]) (3.3B) (derivace podle [ ]). Rovnice (3.3A) a (3.3B) jsou nutnými podmínkami k tomu, aby pro řešený optimalizační problém existovalo řešení, tedy maximum. Povšimněme si, že těchto podmínek je právě stejný počet (tj. ) jako je neznámých veličin modelu (velikostí poptávky po jednotlivých komoditách a ). V lineární situaci by se dalo očekávat, že řešení bude dáno jednoznačně. Zde však vztahů (7A) nemusí být lineárními funkcemi, přičemž jejich tvar je závislý na specifikaci užitkové funkce , v níž jako argumenty vystupují neznámé . Poznámka 1 Od typické úlohy matematického programování se řešený problém liší ve dvou směrech: a) Tvar omezení (3.1B) je představován jedinou nadrovinou -rozměrného prostoru (omezující množství komodit jen "shora") b) Užitková funkce bude mít zpravidla komplikovanější tvar, než je obvykle lineární funkce konvenčního problému lineárního programování a problém nalezení optima bude představovat zpravidla podstatně komplikovanější analytickou úlohu než tu, která může být řešena technikami matematického programování (např. simplexovou metodou). Poznámka 2 Jak patrno, v předchozím nerozlišujeme mezi důchodem spotřebitele a jeho výdajem vynaloženým na nákup užitek mu přinášejících komodit. V realitě se spotřebitel bude rozhodovat nejen podle příjmu aktuálního období, ale rovněž podle stavu svých úspor, možných půjček, jiných nutných výdajů v rozhodovacím období apod. V tomto smyslu je zřejmé, že příjem může být hodně vzdálen bezprostřední hotovosti v peněžence a bude silně záviset na tom, zda spotřebitel řeší "optimalizační problém" nákupu potravin pro denní potřebu nebo nákladnějšího pořízení statku dlouhodobé spotřeby (např. campingového automobilu). Z podmínek (3A) tedy bezprostředně plyne, že v rovnovážné situaci (kdy se poptávka spotřebitele po jednotlivých komoditách při maximálním užitku přizpůsobí cenovým relacím) bude platit vztah (3.4) Vztahy (3.4) představují soustavu podmínek nutných pro dosažení rovnovážného stavu. Vyjadřují požadavek, aby podíl mezního užitku kterékoliv komodity a její jednotkové ceny byl konstantní pro všechny uvažované komodity. Sekundárně je odtud vidět, že také veličina (uplatňující se jako Lagrangeův multiplikátor) je rovna právě těmto podílovým hodnotám. O rovnováze lze oprávněně mluvit tehdy, jestliže je dosaženo maximálního užitku při daném příjmu a dané množině relativních cen. Jakékoliv vychýlení z rovnováhy vede vždy ke snížení hodnoty užitku spotřebitelem pociťovaného. Jestliže tedy každé představuje mezní užitek (úměrný v rovnovážné situaci ceně -té komodity) , můžeme veličině přisoudit interpretaci jako "mezní užitek peněz" (který je ovšem také funkcí cen , a důchodu). Za těchto okolností pak platí pro podíl mezních užitků (tedy mezní míru substituce mezi -tou a -tou komoditou) vztah (3.5A) a podobně (3.5B) [ ]Na základě tohoto zjištění můžeme říci, že mezní míra substituce mezi -tou a-tou komoditou je v rovnovážné situaci rovna podílu jednotkových cen obou těchto komodit. Cenu [ ]lze pak interpretovat jako mezní míru substituce mezi -tou komoditou a penězi. Maximalizační problém, tak jak byl představen vztahy (3.1), může být ovšem formulován i duálním způsobem. Maximalizace účelové funkce (3.1A) za podmínek (3.1B-C) má svou duální formulaci následujícím tvaru (3.6A ) za podmínky (3.6B ) opět při pro libovolné. (3.6C) pro všechna. Maximalizuje-li spotřebitel svůj užitek z komoditní kombinace při rozpočtovém omezení (3.1B), řeší v podstatě tentýž problém, jako je minimalizace jím vynaložených výdajů spojených pořízením komodit v množstvích, která zaručují dosažení užitku na požadované hladině ^ . V tomto smyslu lze s plnou oprávněností mluvit o dvojici duálních úloh. Dále, protože maximalizace užitku a minimalizace s tím souvisejících nákladů vedou k téže (optimální) volbě komoditních množství [ ](parametry úlohy jsou a ), výdaj při prvé z úloh se musí rovnat minimálním nákladům v duálním problému. V původním problému představuje řešení soustava Marshallových poptávkových funkcí, zatímco v duálním problému jsou determinujícími veličinami - argumenty poptávkových funkcí - úroveň užitku a cenový vektor . Tyto poptávkové funkce minimalizující výdaje označíme a jsou známy jako Hicksovy (také kompenzované) poptávkové funkce. Z interpretačního hlediska jsou charakteristické tím, že informují o tom, jak jsou poptávky ovlivněny/kompenzovány cenami (při pevném ) . Obě řešení dvou výše uvedených problémů musí být, přirozeně, táž. Proto lze psát (3.7) pro . Každé z těchto řešení přitom můžeme zpět dosadit do výchozího příslušného problému. V prvém případě obdržíme nejvyšší dosažitelný užitek, ve druhém případě nejmenší dosažitelné náklady. Lze tedy psát (3.8 ) (3.9 ) Funkce v (3.8) vyjadřuje maximální dosažitelný užitek (při pevně daném příjmu a cenovém vektoru ). Nazývá se nepřímá užitková funkce a může být definována vztahem (3.10 ) Funkce v (3.9) vyjadřuje minimální dosažitelný výdaj (při požadované úrovni užitku a vektoru cen ). Nazývá se výdajová funkce a lze ji definovat vztahem (3.11 ) Nepřímá užitková a výdajová funkce jsou vzájemně velmi úzce propojeny. Protože platí, můžeme invertovat argument , abychom dostali u jako funkci a , což nám dá . Úplně obdobně inverze vztahu povede přímo k relaci. Obě funkce tedy obsahují v podstatě tutéž informaci (zapsanou jen pomocí jiných argumentů, byť zůstává v obou ). Jsme tedy plně oprávněni rovnocenně užít v dalším těchto zápisů (3.12A) pro . (3.12B) pro . Přejděme nyní k otázce, jak v reálné úloze, kdy máme specifikován tvar přímé užitkové funkce a dány parametry rozpočtového omezení (ceny a příjem. ) nalezneme rovnovážný bod. Základním vodítkem k jeho nalezení jsou nutné podmínky rovnováhy (3.4). Předem uveďme, že řešení rovnic (3.3A), (3.3B) nemusí být nijak jednoduché, a to nejen vzhledem k jejich obecně velkému počtu; v části [2.5], kde nalezneme několik příkladů, je většina z nich omezena jen na nejjednodušší dvoukomoditní situaci, ale i vzhledem k často značné "technické" obtížnosti výpočtu řešení (poptávek a) (obecně nelineárních) rovnic. Pro úplnost dodejme, že nalezení poptávkových rovnic v explicitním tvaru (tj. kdy jsme schopni zapsat vždy přímo není obecně (aniž připojíme nějaká dodatečná a třeba málo realistická omezení) ničím zajištěno. Přesto však zmiňme dva postupy, které se při hledání tvarů poptávek někdy účinně uplatní: Postup A Postupuje se takovým způsobem, že ze vztahu (3.4) určíme , čímž eliminujeme a následně využijeme tyto podmínky spolu s rozpočtovým omezením. Takto lze vyvodit poptávky např. u obecné komoditní Cobb-Douglasovy funkce, viz [ ]. Postup B Základní vztah vynásobíme a poté těchto vztahů sečteme přes všechna Tím dostaneme, protože : neboli a následně Na levé straně nyní máme jen funkce (již bez , pouze s parametry užitkové funkce ), které můžeme, přinejmenším v principu, řešit jako funkce podílů (). Vraťme se ještě k zápisu Sluckého rovnice: Vedle zápisu (6.18A) se uplatňuje ještě ekvivalentní zápis (6.18B) Poznámka 11 Všimněme si, že důchodový člen je vyjádřen důsledně v Marshallovském zápisu (jinak to ostatně ani nemůže být, protože obsahuje derivaci poptávky podle příjmu ). Substituční člen je naopak reprezentován Hicksovským zápisem. Sluckého rovnice tedy vyjadřuje -- ať u v podobách (6.18A) nebo (6.18B) - propojení obou těchto zápisů. Poznámka 12 Ve dvou možných zápisech výrazu (obecně nezávislého na kompenzaci změny ceny změnou příjmu) a (platného při kompenzované změně poptávky) je jeden možná málo postřehnutelný rozdíl: V prvním případě se v něm prolínají prvky Marshallovského i Hicksovského pojetí: protože podíl determinantů je funkcí pouze Hicksovského , výchozí vztah pro je naopak psán v Marshallovských argumentech. Kompenzace poptávky však vede k toliko Hicksovskému pojetí, takže má oprávnění jen zápis , neobsahující . Člen zde představuje změnu poptávky při změně ceny . Zajímavé je, že vyjdeme-li z výsledků uvedených v části [4], můžeme dospět ke Sluckého rovnici (a to jednodušeji, než při vyvozování z přímé užitkové funkce ) dvěma dalšími cestami. Užijeme přitom poznatků, které máme o výdajové a nepřímé užitkové funkci. První z postupů je vychází z rozpisu (3.12A), podle něhož platí . Pokud nyní tento vztah derivujeme podle , dostaneme (3.13) a dále, aplikujeme-li na něj Shephardovo lemma ( 4.12), na základě kterého platí , máme (3.14) a následně po přeskupení dostáváme přesnou korespondenci s (6.18): pro libovolná . . Ve druhém případě vyjdeme z analogického zápisu (3.12B), (3.15) . uplatníme však přitom poznatky o nepřímé užitkové funkci. Derivací podle dostaneme (3.16) Z prvního členu zůstane opět jen výraz , protože pro všechna , zatímco u druhého podle Royovy identity (4.20) máme a tudíž (3.17) , přičemž ale , protože všechna Protože platí (3.12A,B), musí pro derivace (podle argumentů ) též platit I zde v tomto případě tedy máme pro libovolná . .