30. března 2006
Pracovní text ke cvičení PMSTII ESF MU 2005/2006. Autor S.F., D.H. Určeno pro skupiny 9, 11,
15. Je docela dobře možné, že zde jsou chyby, pozor na to - předem děkuji za upozornění na ně.
1 Integrace na trojúhelníku
Náhodné veličiny X a Y mají simultánní hustotu pravděpodobnosti
,, s í c pro 0 < x < y < 1
f(x
>y)={ 0 jinak.
Určete konstantu c a koeficient korelace R(X,Y).
Tato úloha by neměla dělat žádné problémy, snad až na určení mezí integrálů. V tomto případě
jsou 0<x<ír
Ax<y<í nebo 0 < y < l a 0 < x < y . Zkuste stejné zadání pro hustotu
definovanou na různých trojúhelnících, např. [0,0][1,0][1, --1] a [--3, 2] [--3, 7] [--5, 2]. Doporučuji
si trojúhelníky nakreslit. U posledního je třeba najít rovnici přímky. Vzhledem k tomu, že jsou
známy dva body ležící na přímce a obecná rovnice přímky y = ax + b, dostaneme soustavu dvou
rovnic o dvou neznámých, tu vyřešíme a dostaneme hodnoty a a 6.
2 Integrace na eliptické oblasti
Náhodné veličiny X a Y mají simultánní hustotu pravděpodobnosti
[ 0 jinak.
<1.
Určete konstantu c a koeficient korelace R(X,Y).
2.1 Výpočet c a E(XY)
U výpočtu c je velmi vhodné použít transformaci do polárních souřadnic. Vše je ukázáno na
výpočtu E(XY), který je komplexnější.
Množina, přes kterou integrujeme, je tvořena body [x, y], které vyhovují nerovnosti ^r + -p- < 1,
tj.
E(XY)
by/l-x2
/a2
xy--- dy
nah
-b^/l-x2
/a2
dx
Tento integrál je možné spočítat přímo, ale výhodnější bude použití tzv. transformace do zobecněných
polárních souřadnic r, <p definovaných vztahy
x = ar cos ip, y = br sin ip,
kde r > 0 udává vzdálenost bodů [-, -] a [0,0] a <p G [0, 2TT) je úhel, který svírá spojnice těchto
bodů s kladným směrem osy x. Pokud provedeme takovou transformaci, musíme přidat Jakobián
J = r <p
v'r y'v
a cos <p --arsmtp
b sin <p br cos <p
= . .. = abr.
Dále musíme transformovat meze. Proměnná <p nabývá hodnot od 0 do 2TT, protože elipsa leží ve
všech kvadrantech. Dolní mez pro r je 0 a horní mez je tvořena body na elipse. Tyto body splňují
ŽT
62 = 1.
1
Použitím výše uvedené substituce
9 9 9 7 9 9 * 9
ar cos if br sin y = 1,
r (cos y> + sin ip) = 1.
Protože cos2
y> + sin2
y> = 1 a vzhledem k nezápornosti r, bude horní mez rovna 1. (Pozn.: Elipsa
je v podstatě jednotková kružnice s proměnnými f, f ˇ )
Integrál bude nyní roven
(ar cos ip) (br sin ip) --- (abr) dr
Trab
dip
ab
cos <p sin <p r dr dtp
ab
ˇ2-K
cos <p sin <p d<p
ab
8^
2TT
sin 2^ eřy = 0.
2.2 Výpočet (X)
E(X)
2 v
/
l - x 2
/ a 2
cřx
použijeme substituci
1 - ^~
2z °2 = ť
= 'It dt
t2
a'lt
dt = 0
2.3 Výpočet E{X2
)
E(X2 2 2Vl-x2
/a2
použijeme substituci
sin2
t y l -- sin2
t cost dt
- = sin t
i a
- d,x = cos t dt
2a2
sin2
t cos2
t dt
2
.,. ,. , ,, sin x sin w = l/2(cos(x -- y) -- cos(x + y))
dale s využitím vzorcu 1 ,_; ; ; ; ;;
cos x cos y = l/2(cos(x -- y) + cos(x + y))
(uvažte případ x = y)
-- | I ldt- I cos2
2í dt
47T
2a2
. .
, , l dt -- I cos 4í aí
Ö7T
4
3 Domácí úkol
l. Náhodné veličiny X a Y mají simultánní hustotu pravděpodobnosti
c na množině dané body [--5; 2], [--5; 7], [--3; 7]
f(
-X
'yS)
i 0 jinak.
Určete konstantu c a koeficient korelace R(X,Y).
2. Náhodné veličiny X &Y mají simultánní hustotu pravděpodobnosti
( 2 2
ŕ/ i J c Pr o
IT + ^r < 1>
0 jinak.
Určete konstantu c a koeficient korelace R(X,Y).
3. Náhodné veličiny X &Y mají simultánní hustotu pravděpodobnosti
í r D r o (^-3)2
i (y+5)2
< 9
/ ( x , y ) = c P r
° 4,5 + 2 < ^
I 0 jmak.
Jak se změní jednotlivé charakteristiky (střední hodnoty, rozptyly, kovariance) oproti předcházejícímu
příkladu? Je třeba počítat vše znova, nebo lze použít některých (kterých?) jeho výsledků?
[Aby jste mohli použít ukázaný postup, je nejprve třeba docílit toho, aby na pravé straně
rovnice elipsy byla 1.]
3