Intenzita závislosti a regresní funkce
Statistická významnost parametr ů regresního
modelu
Posouzení regresního modelu jako celku
Kvalita regresní funkce
2
2. Kvalita regresní funkce
Cíl kapitoly:
Poté co je vytvořena regresní funkce je nutno zhodnotit její kvalitu. Tato
kapitola Vám nabídne několik statistických metod, které jsou k těmto účelům
používány. Kritéria se pohybují od jednoduchých popisných veličin až po
poměrně sofistikované metody jako jsou například statistické testy. Z těchto
důvodů je teoretický popis doplněn podrobným příkladem jejich výpočtu na
konkrétním příkladu.
Časová zátěž
6 hodin (1. týden v březnu)
Uvod
Nezbytnou součástí procesu vytváření regresní funkce je posouzení jeho kva-
lity. K vlastnímu posouzení je možno použít několik kritérií. Jedná se pře-
devším o zhodnocení statistické významnosti vytvořeného modelu i jednot-
livých vypočítaných parametrů regresní funkce.
Východiskem k posouzení kvality regresní funkce je zhodnocení těsnosti (resp.
volnosti) posuzované závislosti. K tomuto účelu slouží několik popisných sta-
tistických veličin. Jedná se především o index determinace, korelační koefici-
ent a korelační poměr.
2.1 Intenzita závislosti a regresní funkce
Posuzovaný vztah popisovaný regresní funkcí je tím kvalitnější (silnější), čím
více jsou empirické veličiny více soustředěné kolem vytvořené regresní funkce.
Východiskem odvození charakteristik kvality regresní funkce je následující
obrázek:
}






yi - y
^yi - yi
^yi
^yi - y
y
x xi
yi
Obrázek 2.1: Rozdíly a rozptyly v regresní funkci
30
Pro každou z empirických (naměřených, původních) hodnot yi (v grafu na-
značeny plný mi body) nalezneme právě jednu teoretickou (vyrovnanou,
vypočítanou) hodnotu ^yi (nalezneme je jako kolmý průmět empirické hodnoty
na regresní přímku). Obě tyto hodnoty lze srovnat s aritmetickým průměrem
všech empirických hodnot y, jak je naznačeno v obrázku 2.1. Tyto rozdíly
pak konstruujeme pro všechny dvojice empirických a teoretických hodnot
a dostáváme tak dva druhy rozptylů ­ rozptyl empirických a teoretických
hodnot. Tyto rozptyly jsou dále doplňovány tzv. reziduálním rozptylem.
2.1.1 Rozptyl empirických hodnot
Rozptyl empirických hodnot měří průměrnou odchylku naměřených hodnot
(yi), jež jsou východiskem k odhadu regresní funkce, od jejich aritmetického
průměru (y). Jedná se tedy o klasickou popisnou statistickou veličinu, která
naznačuje rozvrstvení původních hodnot vysvětlující proměnné vzhledem
k jejich aritmetickému průměru.
s2
y =
n
i=1
(yi - y)2
n
2.1.2 Rozptyl teoretických (vyrovnaných) hodnot
Rozptyl teoretických hodnot měří průměrnou odchylku hodnot, jež jsou vy-
počítány pomocí regresní funkce (^yi), od aritmetického průměru empirických
hodnot (y). Jedná se tedy opět o popisnou statistickou veličinu.
s2
^y =
n
i=1
(^yi - y)2
n
2.1.3 Reziduální rozptyl
Tato popisná statistická veličina je měřítkem průměrné odchylky empirických
(yi) a vypočítaných hodnot (^yi). Reziduální rozptyl je tedy rozptylem empi-
rických hodnot kolem regresní funkce.
s2
(y-^y) =
n
i=1
(yi - ^yi)2
n
Lze dokázat, že mezi uvedenými rozptyly platí vztah s2
y = s2
^y +s2
(y-^y). Rozptyl
empirických hodnot tedy lze rozložit na součet zbývajících dvou rozptylů.
Kdyby mezi závisle proměnnou y a nezávisle proměnnou x byla dokonalá
funkční závislost (y byla závislá na x), ležely by naměřené hodnoty
na regresní přímce. Vyrovnané a naměřené hodnoty by z těchto důvodu
v ideálním případě splynuly, což by značilo, že reziduální rozptyl by byl
nulový.
31
2. Kvalita regresní funkce
Naopak pokud by mezi x a y nebyla funkční závislost (uvedené proměnné by
byly naprosto nezávislé), byly by vyrovnané hodnoty všechny stejné. Jejich
rozptyl (označujeme jej jako rozptyl teoretických hodnot) se v tomto případě
bude rovnat nule. Při naprosté nezávislosti mezi posuzovanými veličinami se
tedy sobě rovnají reziduální rozptyl s rozptylem empirických hodnot.
Index
determinace
Uvedené případy ­ naprostá závislost a naprostá nezávislost skutečnosti jsou
hraniční a regresní modely se pohybují v těchto mantinelech. K posouzení,
ke kterému z obou hraničních stavů má posuzovaná regresní přímka blíže, se
používá zejména veličina nazývaná index determinace. Je definován jako
R2
=
s2
^y
s2
y
.
Závislost proměnné x a proměnné y bud tím silnější, čím více se rozptyl teo-
retických hodnot bude svou hodnotou blížit k rozptylu empirických hodnot.
V tomto případě se tedy index determinace bude blížit k jedné. Naopak, čím
více se rozptyl vyrovnaných hodnot bude blížit k nule (všechny vyrovnané
hodnoty jsou stejné), tím slabší bude tato vzájemná závislost. V případě
naprosté nezávislosti bude index determinace roven nule.
Index determinace tedy udává tu část rozptylu závisle proměnné,
kterou je možno vysvětlit pomocí regresní funkce.
Při hodnocení intenzity závislosti pomocí indexu determinace je nutno mít
na zřeteli, že tato statistická veličina je svázána se zvolenou regresní funkcí.
Nízké hodnoty indexu ještě nemusí znamenat, že mezi posuzovanými veli-
činami není vzájemný vztah. Nízká hodnota indexu determinace může být
způsobena špatně zvoleným typem regresní funkce (závislost mezi veličinami
není lineární ale např. exponenciální).
Korelační
koeficient
V praxi je často místo indexu determinace používána jeho druhá odmocnina
nazývaná jako index korelace. Pro přímkovou (lineární) regresi je index
korelace označován jako korelační koeficient.
Pro výpočet korelačního koeficientu lze využít zjednodušeného vztahu, který
lze odvodit dosazením regresní funkce do vztahu pro koeficient korelace. Toto
odvození, stejně jako interpretaci zjednodušeného (výpočtového) tvaru ko-
relačního koeficientu naleznete v učebnici Seger, Hindls Statistické metody
v tržním hospodářství na stranách 275­276.
2.2 Statistická významnost parametrů regresního
modelu
Druhou možností jak ověřit kvalitu regresní funkce je použití intervalů spo-
lehlivosti, respektive principu statistického testování pro regresní parametry.
Jedná se o složitější statistické postupy než je výpočet výše uvedených po-
pisných veličin. Z těchto důvodů k těmto metodám obvykle přistupujeme
až tehdy, když známe hodnoty indexu determinace, resp. korelačního koefi-
cientu. V případě, že hodnoty těchto veličin jsou blízké jedné (hovořící o
32
dobrém vystižení zkoumaného vztahu), je vhodné otestovat regresní model
na jeho statistickou významnost. Teprve na základě výsledku obou těchto
analýz lze formulovat skutečný závěr o kvalitě regresního modelu.
2.2.1 Interval spolehlivosti pro jednotlivé regresní parametry (b0, b1)
Interval spolehlivosti je interval, ve kterém se nachází hodnota závisle pro-
měnné s danou pravděpodobností (hladinou spolehlivosti). Konstrukce inter-
valu vychází předpokladu, že regresní parametry mají při splnění základních
podmínek modelu Studentovo t-rozdělení s n - p stupni volnosti (n=počet
pozorování; p= počet parametrů regresní funkce (u lineární=2)).
Pro jednotlivé regresní parametry lze interval spočítat podle vztahu:
ISb0 = b0 - sb0 t1- 
2
; b0 + sb0 t1- 
2
,
ISb1 = b1 - sb1 t1- 
2
; b1 + sb1 t1- 
2
,
kde b0, b1 jsou vypočítané regresní parametry a sb0 , sb1 jsou příslušné směro-
datné odchylky těchto parametrů. Věličiny t1-/2 nalezneme jako příslušný
kvantil studentova rozdělení s daným počtem stupňů volnosti.
Mimo intervalu spolehlivosti pro jednotlivé regresní parametry je možno kon-
struovat podobné intervaly i pro výše uvedené popisné veličiny ­ např. koefici-
ent korelace. Jejich princip, stejně jako odvození (včetně vztahu pro interval
spolehlivosti regresních parametrů) je naznačeno v učebnici Seger, Hindls
Statistické metody v tržním hospodářství na stranách 300­313.
Cílem vytváření intervalu spolehlivosti pro regresní parametry je provést test
na nulovost (nenulovost) regresního parametru. Pokud není možno vyloučit
skutečnost, že parametr je roven nule, nelze takový parametr ponechat v re-
gresním modelu.
(Uvědomte si, že nula násobená libovolným číslem je vždy rovna nule.)
Sestrojíme-li interval spolehlivosti pro daný regresní koeficient, mohou nastat
dva případy:
Interval obsahuje 0
V tomto případě nelze zamítnout hypotézu, že je koeficient roven nule.
Neprokázali jsme tedy, že je tento koeficient nutno zahrnout do modelu
(koeficient není statisticky významný).
Interval neobsahuje 0
Není-li v IS obsažena nula (tedy interval tvoří bud' jenom kladné nebo
jenom záporné hodnoty), zamítáme hypotézu, že regresní koeficient je
roven 0. V tomto případě je regresní koeficient nutno zahrnout do mo-
delu (koeficient je statisticky významný).
2.2.2 Statistický test na nenulovost regresních parametrů b0 a b1
Stejný výsledek jako posouzení pomocí intervalu spolehlivosti dává i sta-
tistický test. Provedeme-li statistický test s nulovou hypotézou, že regresní
33
2. Kvalita regresní funkce
koeficient je roven nule (bi = 0), lze do regresního modelu zahrnout pouze ty
koeficienty, pro které výsledek testu hovoří ve prospěch zamítnutí hypotézy
H0.
Jelikož je opět možno využít vlastností t-rozdělení, k testování použijeme
t-test. Testové kritérium má tvar:
T =
|bi|
sbi
> t
2
.
t
2
­ kvantil t-rozdělení pro hladinu významnosti  a počet stupňů volnosti=p,
bi ­ testovaný koeficient
sbi ­ směrodatná odchylka tohoto koeficientu.
Je-li hodnota testového kritéria T vyšší než příslušný kvantil t-rozdělení,
padá výsledek testu do kritického oboru. V tomto případě zamítáme hy-
potézu H0 o nulovosti koeficientu a konstatujeme, že daný parametr je sta-
tisticky významný na hladině spolehlivosti (obvykle je volena 5% - tzn. s 95%
pravděpodobností).
Postup testování statistických hypotéz je součástí prvního dílu tohoto textu
(Aplikovaná statistika I). Stejně tak jej lze nalézt ve většině statistických
učebnic ­ viz např. Seger, Hindls: Statistické metody v tržním hospodářství
na stranách 159­224. V této učebnici také můžete nalézt odvození uvedeného
testového kritéria pro jednotlivé parametry regresní funkce (na stranách 300­
313).
2.3 Posouzení regresního modelu jako celku
V případě, že je za regresní funkci zvolena přímka (lineární regrese), je vhodné
otestovat vhodnost volby tohoto tvaru. Zajímá nás tedy, zda je přímka vhod-
nou funkcí pro odhad dané závislosti, či zda by bylo vhodnější zvolit jiný tvar
regresní funkce (např. exponenciální funkci). V tomto případě provádíme sta-
tistický test na celkovou statistickou významnost regresního modelu. Zajímá
nás, zda jsou koeficienty zvolené regresní přímky statisticky významné jako
sada.
Nejsou-li regresní koeficienty statisticky významné jako celek, nemá význam
testovat jejich statistickou významnost odděleně. V případě neúspěšného
testu na celkovou statistickou významnost modelu jsou t-testy pro jednotlivé
koeficienty bezpředmětné.
Pro testování statistické významnosti celého regresního modelu vycházíme
z nulové hypotézy o nulovosti všech regresních koeficientů. Tedy:
H0: všechna bi = 0
H1: alespoň jedno bi je různé od nuly
Testové kritérium má mít F-rozdělení o p - 1 a n - p stupních volnosti
(n=počet pozorování; p=počet parametrů regresní funkce ­ u lineární=2).
H0 zamítáme v případě, že F > F1-, kde F1- je kvantil F-rozdělení. Jeho
34
tvar je:
F =
s2
t
p-1
s2
r
n-p
> F
2
F
2
­ kvantil F-rozdělení pro hl. význ.  a počet stupňů volnosti p-1 a n-p
s2
t ­ rozptyl teoretických hodnot
s2
r ­ reziduální rozptyl
V praktických úlohách většinou vystačíme s následujícím pomocným kritéri-
em: Koeficienty regresní funkce jsou jako celek statisticky významné v přípa-
dě, že dostáváme extrémně vysoké hodnoty statistiky F (testového kritéria).
Je-li výsledek F-testu statisticky významný, je vhodné provádět t-testy, v o-
pačném případě ani úspěšné t-testy nehovoří nic o dobré kvalitě regresního
modelu. Pokud je F-test statisticky významný a t-testy nejsou, pak lze
říci, že je model špatně určen (je nutno vypočítat jiné regresní koeficienty).
V případě, že je F-test neúspěšný, není model vůbec možno použít (např. to
znamená, že nelze použít regrese lineární ale např. polynomickou).
Příklad 2.1
(Pokračování z kapitoly 1)
Prozkoumejte vztah mezi výdaji veřejných rozpočtů (VV) a HDP v ČR v le-
tech 1993­2001 pomocí regresního modelu.
V kapitole 1 jsme vztah mezi veřejnými výdaji a hrubým domácím produktem
v ČR popsali pomocí regresní funkce ve tvaru: VV = 23,11 + 0,37 HDP. Na
základě výše uvedených možností posoudíme kvalitu a použitelnost uvedené
funkce.
Jelikož by výpočty jednotlivých charakteristik byly poměrně technické a
zdlouhavé, určíme je přímo v prostředí programu EXCEL. V případě, kdy
neuvádíme postup, jsou hodnoty uvedeny ve výstupu funkce LINREGRESE,
tak jak je ukázáno v příloze první kapitoly.
Posouzení kvality:
1) Popisné veličiny ­ index determinace R2
= 0,987
Hodnota indexu determinace je blízká jedné, proto lze říci, že mezi
oběma proměnnými je velmi těsná závislost. Tato skutečnost může však
být ovlivněna některými skutečnostmi:
ˇ Jednak jsou to vlivy matematicko-statistické (špatný model, který
vede k nadějným výsledkům, jež nejsou v souladu se skutečností).
Je proto nutné prověřit daný model dalšími statistickými kritérii
(viz body b) až d)).
ˇ Dalším důvodem může být i skutečnost, že obě proměnné jsou
ovlivněny jinou proměnnou (v tomto případě lze mít podezření
na vliv růstu cenové hladiny ­ inflaci). Proměnné se vlivem to-
hoto skrytého faktoru vyvíjejí velmi podobně a model dosahuje
poměrně dobrých výsledků. Jeho použitelnost je však oslabena.
Abychom pomocí modelu mohli dělat predikce (odhady vývoje do
35
2. Kvalita regresní funkce
budoucna), museli bychom vycházet ze znalosti, či predikce vývoje
této skryté proměnné (inflace).
2) Statistická významnost jednotlivých parametrů
a) intervaly spolehlivosti
Základní předpis pro interval spolehlivosti (IS) koeficientů je
b0 - t1- 
2
sb0 < b1 < b0 + t1- 
2
sb0
b1 - t1- 
2
sb1 < b1 < b1 + t1- 
2
sb1
Kritickou hodnotu t-rozdělení t1- 
2
v EXCELu vypočítáme po-
mocí funkce TINV.
Obrázek 2.2: Kvantil t-rozdělení pomocí funkce TINV
Jako první se zadá hladina spolehlivosti (Prst), proměnná volnost
označuje počet stupňů volnosti (n - p, kde n=počet pozorování
(zde 8); p=počet parametrů regresní funkce ­ u lineární=2).
Směrodatná odchylka sb0 je ve výstupu fce LINREGRESE. (v na-
šem případě má hodnotu 27,97). Interval spolehlivosti má tedy
tvar:
b0  -45,3; 91,5
Po dosazení do vztahu pro IS pro b1 dostáváme (směrodatná od-
chylka sb1 má hodnotu 0,0175):
b1  0,331; 0,416
Z výsledků můžeme vyvodit následující závěry:
Pro b0:
Interval obsahuje 0 ­ nelze zamítnout hypotézu, že je koefi-
cient roven nule ­ neprokázali jsme, že je tento koeficient nutno
zahrnout do modelu (koeficient není statisticky významný)
Pro b1: Interval neobsahuje 0 ­ zamítáme hypotézu, že regresní
koeficient je roven 0 a tento koeficient je nutno zahrnout do re-
gresního modelu (koeficient je statisticky významný).
36
b) statistický test pro jednotlivé koeficienty Testují se hypotézy
o nulové hodnotě jednotlivých regresních koeficientů ­ tedy zda by
je bylo možné z regresní funkce vyloučit (jestliže jsou rovny 0).
H0: b0 = 0 (resp. b1 = 0)
H1: b0 = 0 (resp. b1 = 0)
kritérium
|bi|
sbi
> t
2
Po dosazení dostáváme
pro b0
|23,08|
27,97
= 0,83 < t
2
= 2,45
 tedy pro b0 nelze zamítnout hypotézu, že b0 = 0 a koeficient
proto není statisticky významný.
pro b1
|0,37|
0,018
= 21,31 > t
2
= 2,45
 tedy pro b1 zamítáme hypotézu, že b1 = 0 a koeficient proto
je statisticky významný.
Hodnoty koeficientů a jejich směrodatných odchylek lze nalézt
přímo ve výstupu funkce LINREGRESE.
Kritickou hodnotu t-rozdělení t1- 
2
v EXCELu vypočítáme opět
pomocí funkce TINV.
3) Kvalita modelu jako celku (F-test celého modelu)
Test:
H0: všechna bi = 0
H1: alespoň jedno bi je různé od nuly
Testové kritérium má mít F-rozdělení o p - 1 a n - 1 stupních vol-
nosti (n=počet pozorování; p=počet parametrů regresní funkce ­ u
lineární=2).
H0 zamítáme v případě, že F > F1-, kde F1- je kvantil F-rozdělení.
Výpočet v EXCELu:
Hodnota testového kritéria F je přímo ve výstupu funkce LINRE-
GRESE (viz příloha předchozí kapitoly). Kritickou hodnotu vypočí-
táme pomocí funkce FINV.
Prst -- hladina významnosti  (0,05)
Volnost 1 -- počet stupňů volnosti p - 1
Volnost 2 -- n - p stupních volnosti (n=počet pozorování; p=počet
parametrů regresní funkce ­ u lineární=2).
Výsledek testu:
F > F1- = 454,17 > 5,99
Zamítáme hypotézu o nulovosti všech (obou) koeficientů = alespoň
jeden z nich je nenulový. Kolik jich je a které to jsou udávají t-testy
(V tomto případě je nenulový pouze b1).
37
2. Kvalita regresní funkce
Obrázek 2.3: Kvantil F-rozdělení pomocí funkce FINV
Použití analytického nástroje Regrese v EXCELu
Druhou možností jak k uvedeným výsledkům dojít je využít zabudované pro-
cedury EXCELu Regrese. Je ji možno nalézt v nabídce Analytické nástroje/
Analýza dat/Regrese.
Vstupní okno má následující tvar:
Obrázek 2.4: Analytický nástroj Regrese v Excelu
Vstupní oblast Y ­ označíme buňky, kde jsou hodnoty y (VV), ze kterých
chceme vytvořit model
Vstupní oblast X ­ označíme buňky, kde jsou hodnoty x (HDP), ze kterých
chceme vytvořit model
38
Hladina spolehlivosti ­ obvykle 95% nebo 99%
Možnosti výstupu ­ pro přehlednost je vhodné umístit výstup na nový list
Výstup analytického nástroje Regrese pro uvedený příklad je v tabulce 2.1.
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,993459
Hodnota spolehlivosti R 0,986961
Nastavená hodnota
spolehlivosti R
0,984788
Chyba stř. hodnoty 15,86321
Pozorování 8
ANOVA
Rozdíl SS MS F
Významnost
F
Regrese 1 114287,7637 114287,8 454,1692 6,96E-07
Rezidua 6 1509,848228 251,6414
Celkem 7 115797,6119
Koeficienty
Chyba stř.
hodnoty
t stat
Hodnota
P
Dolní 95% Horní 95%
Hranice 23,08331 27,9685001 0,825331 0,440757 -45,3533 91,51996
Soubor X 1 0,373505 0,017526199 21,31125 6,96E-07 0,33062 0,41639
Tabulka 2.1: Výstup analytického nástroje Regrese pro příklad 2.1
Významné buňky:
a) Regresní statistika ­ charakteristika intenzity závislosti
Hodnota spolehlivosti R (0,986961) ­ hodnota indexu determinace R2
Pozorování ­ n (využití pro výpočet stupňů volnosti)
b) ANOVA ­ test významnosti celého modelu
Sloupec rozdíl obsahuje v prvních dvou řádcích p - 1 a n - p
F ­ je hodnota testového kritéria Významnost F ­ tzv. p-hodnota sta-
tistického testu. Pokud je p-hodnota nižší než hladina významnosti
(obvykle 0,05) pak zamítáme hypotézu o nulovosti všech koeficientů a
model je statisticky významný.
c) (bez názvu) ­ test významnosti jednotlivých koeficientů
Koeficienty ­ hodnota jednotlivých koeficientů ­ první řádek (Hranice)
se týká koef. b0, druhý řádek (Soubor X1) se týká koef. b1.
Chyba střední hodnoty ­ směrodatné odchylky jednotlivých koeficientů
t-stat ­ hodnoty testových kritérií t-testu významnosti jednotlivých ko-
eficientů
Hodnota p ­ p-hodnoty pro t-testy (opět platí, že jsou-li nižší než hla-
dina významnosti, koef. je statisticky významný) Dolní 95% a Horní
95% ­ hranice intervalu spolehlivosti jednotlivých koeficientů (obsa-
hují-li nulu, příslušný koeficient není statisticky významný).
39
2. Kvalita regresní funkce
Shrnutí výsledků příkladu:
A. Regresní model:
VV = 23,08 + 0,37 HDP
tedy b0 = 23,08, sb0 = 27,97
b1 = 0,37, sb1 = 0,018
B. Index determinace
R2
= 0,987
C. Významnost modelu
a) jako celku
Model jako celek je statisticky významný na hladině spolehlivosti
95%.
b) jednotlivých koeficientů
Regresní koeficient b1 je statisticky významný na hladině spoleh-
livosti 95%. Koeficient b0 není statisticky významný na hladině
spolehlivosti 95% a proto jeho zahrnutí do modelu není vhodné.
Celkově lze konstatovat, že výše veřejných výdajů (VV) velmi těsně
závisí na objemu HDP. Tuto závislost je možno charakterizovat
číslem 0,37. Tedy veřejné výdaje v ČR tvoří přibližně 0,37 (37%)
hrubého domácího produktu.
Pro výše uvedené výsledky však platí velmi výrazné omezení. Oba
ukazatele jsme do modelu zahrnuli v běžných cenách. Je proto vy-
soká pravděpodobnost, že je v modelu zahrnut významný vliv in-
flace. Pro vyloučení tohoto vlivu by bylo nutno použít ukazatele ve
stálých cenách.
Shrnutí kapitoly
Je-li vytvořena regresní funkce, je vhodné zhodnotit její kvalitu a tedy i
vypovídající hodnotu. Základní veličinou, která dává rychlou a poměrně
významnou informaci je index determinace. Dostáváme-li pro posuzovanou
závislost hodnoty indexu determinace blízké jedné, lze (s jistou mírou zjed-
nodušení) hovořit o poměrně silné závislosti mezi uvedenými jevy. Hodnoty
indexu blízké nule hovoří spíše o nezávislosti mezi uvedenými veličinami.
Údaj o indexu determinace je obvykle doplňován statistickými testy význam-
nosti jednotlivých regresních parametrů i celého regresního modelu. K těmto
účelům se používají standardní statistické testy ­ t-test pro jednotlivé koefi-
cienty a F-test pro model jako celek.
Teprve souhrn těchto výsledků dává informaci o kvalitě závislosti, kterou
jsme popisovali pomocí regresní funkce. Kapitola také prezentuje jednoduché
metody, jak uvedená kritéria prakticky spočítat pomocí výpočetní techniky.
40
Otázky k zamyšlení
1 Odvod'te a zdůvodněte vztah pro index determinace. O čem hovoří jeho
hodnota blízká jedné?
2 Vysvětlete jaký je rozdíl mezi výsledky, které o kvalitě regresní funkce
podává t-test a F-test.
3 Co je kvantil F-rozdělení a jak jej určíte?
41
2. Kvalita regresní funkce
POT1
Součástí studia předmetu je i vypracování a odevzdání dvou krátkých sa-
mostatných prací, které jsou označovány jako POT. Obě samostatné práce
mají formu příkladu, který by Vám měl dát možnost otestovat vědomosti
nabyté v předchozí části studijní opory. Výsledky obou POTů odevzdáte ve
stanovených termínech tutorovi v elektronické podobě (soubor v MS EXCEL
+ případný doprovodný text).
Termíny odevzdání jednotlivých úkolů jsou následující:
POT 1 2. týden v březnu
POT 2 2. týden v dubnu
Odevzdání POTů a jejich správné řešení je podmínkou připuštění ke zkoušce
z předmětu.
Zadání POT 1
1. Na základě hodnot ukazatelů, jež jsou uvedeny v následující tabulce,
vytvořte regresní funkci (přímku) pro závislost průměrné hrubé mzdy
v ČR na hrubém domácím produktu v letech 1993­2000.
HDP b.c průměrná hrubá mzda
1993 1 020 278 5 817
1994 1 182 784 6 894
1995 1 381 049 8 172
1996 1 566 968 9 676
1997 1 679 921 10 691
1998 1 837 060 11 693
1999 1 887 325 12 666
2000 1 959 585 13 490
2. Znáte-li hodnotu HDP v roce 2001, jež je rovna 2146103 mil. Kč, od-
hadněte hodnotu průměrné hrubé mzdy v tomto roce.
3. Pro vypočítanou regresní funkci popisující závislost průměrné hrubé
mzdy v ČR na hrubém domácím produktu v letech 1993­2000 vypočí-
tejte kritéria její kvality a výsledek zhodnot'te.
42