POT č. 1. - Rozšířené zadání
Matematika 2, jaro 2007
Příklad 1. Určete definiční obor funkce a graficky jej znázorněte
,,\ 7 / = lQ9(x-l) ns _ / x+y
a
> y logx-2 U
) Z
-- V x2
-5x+&
Příklad 2. Graficky znázorněte několik vrstevnic funkce
a) z = x2
-- y2
b) z = x2
+ y2
c) z = \Jx2
+ y2
Příklad 3. Vypočítejte první a druhou derivaci funkce a
určete její definiční obor
a) y = log2jz^ b) y = x\J\ - x2
Příklad 4. Určete průběh funkce
a) y = Hnx b) y = ^
Příklad 5. Určete absolutní extrémy funkce
a) y = x2
-- 5x + 6 na intervalu < --1,10 >
b) y = \l--x2
+ 5x -- 6 na jejím definičním oboru
Příklad 6.
a) Napište Taylorův polynom pro funkci y = arcsinx pro
n = 5 v bodě x = 0 a chybu aproximace funkce arcsinx
tímto polynomem. Výsledek použijte k výpočtu přibližné
hodnoty arcsinO, 5.
b) Vysvětlete pojem diferenciálu funkce y = f (x) v bodě a
a vypočítejte diferenciál funkce
x + 1
v obecném bodě
1
Př
a
b
c
d
Př
a
b
c
Př
a
b
Př
a
b
Př
a
b
klad 7. Vypočtěte integrály metodou per partes
J x sin xdx
J x2
ex
dx, (návod: použijte per partes dvakrát)
ľ-^ídx
Jliixdx, (návod: napište si integrál jako / l.liixdx.)
klad 8. Určete integrály pomoci vhodných substitucí
Í(sin3x -- 2cos3x)(ix d) f } 2 dx
J
\ ' ' J
x.lnz
x
je2x
~l
dx e) J(2x + l)15
dx
ˇ/" x2
+x+3^X
) J V^+S+S
klad 9. Spočtěte určité integrály
So x2
cos xdx c) SoJ^šdx
So sin x cos x2
dx d) So ex
+e-* ^x
klad 10. Spočtěte nevlastní integrály
rTľ/2, i \ rO COS l/x j
So' tgxdx c) J-1/n--^-dx
So°° xe~x
dx d) /ôx.arctgxdx
klad 11. Určete parciální derivace 1. a 2. řádu.
f(x,y) = By c
) f(x,y) = x.in(x2
f(x,
y) = e~x
(xy - y2
) d) f(x, y, z) = z.ex/y