Cviceni k predmetu PMMAT2
Cviceni 5 - Neurcity integral
Neurcity integral vlastne vyjadruje hledani funkce F(x) (tzv. primitivni funkce) k funkci f(x)
takove, ze plati F(x) = f(x). Tuto rovnici vsak zapisujeme prostrednictvim intergralu, tedy
f(x)dx = F(x). Integraly elementarnich funkci jsou zapsany v souboru Integral.pdf.
Zakladni vztahy
Plati: c  f(x)dx = c f(x)dx, (f(x)  g(x))dx = f(x)dx  g(x)dx. Bohuzel pro inte-
graly neplati podobne vztahy jako pro derivace soucinu a podilu funkci, tedy neplati (f(x) 
g(x))dx = f(x)dx  g(x)dx, tam je nutne jiz uzit nekterou z integracnich metod.
Metody integrovani jsou dvojiho druhu tzv. metoda per partes a substitucni metoda. Substi-
tucni metoda spociva v nahrazeni slozitejsi funkce nejakou jednodussi tak, abychom prislusny
integral zjednodusili az na integral elementarni funkce. Mejme tento jednoduchy priklad:
ecxdx, kde c je nejaka konstanta. Nahradime funkci cx funkci t, tedy cx = t. Dale je treba
vzdy prepocitat diferencial zderivovanim obou stran podle danych promennych, tedy cdx = dt.
Pote dostavame ecxdx = |cx = t, cdx = dt| = et dt
c = 1
c et = 1
c et = 1
c ecx.
Metoda per partes se da shrnout do nasledujici formulky: u(t)v(t)dt = u(t)v(t)- u(t)v(t).
Tuto metodu uzijeme, pokud je mozne nekterou funkci u(t) nebo v(t) derivovat tak dlouho,
az je nulova.
Priklad: Vypoctete x2e4xdx.
Pocitame primo podle vzorce, tedy x2e4xdx = |u = x2, v = e4x, u = 2x, v = 1
4e4x| =
x2 1
4 e4x - 1
2 xe4xdx = |u = x, v = e4x, u = 1, v = 1
4e4x| = x2 1
4e4x - 1
2(x1
4 e4x - 11
4 e4xdx) =
x2 1
4 e4x - 1
2(x1
4 e4x - 1
16 e4x) = 1
4e4x(x2 - x
2 + 1
8 ).
Priklady 4.1.1.
(1- 1
3

x
)2dx[jen roznasobit], e2x sin 3xdx[p.p dvakrat], log 2x
x2 dx[p.p obracene nebo log 2x =
u]
Priklady 4.1.2.
1 + 2xdx[subst. 1 + 2x = t], 3x
(x2+1)2 dx[subst. 1 + x2 = t], 7
(1+2x)3 dx[subst. 1 + 2x =
t], xex2
dx[subst. x2 = t], ex
ex+1dx[vzorec nebo subst. ex = t],
sin 1
x
x2 dx[subst. 1
x = t],
x2
ex3 dx[subst. x3 = t], ecos x sin xdx[subst. cos x = t].
Cviceni 6 - Integrovani racionalnich lomennych funkci a funkci goniometrickych
Priklady 4.2.1.
nutny rozklad na parcialni zlomky, pote integrovani podle vzorcu, viz. oskenovana ucebnice
1
(x-1)2(x2+1)2 = A
(x-1)2 + B
x-1 + Cx+D
(x2+1)2 + Ex+F
x2+1
, 2x2+x-21
x3-4x2-x+4
= A
x-4 + B
x-1 + C
x+1, x
(x-1)(x2+x+1)
=
A
x-1 + Bx+C
x2+x+1
, x2+5x+4
x4+5x2+4
= Ax+B
x2+4
+ Cx+D
x2+1
Obecne tedy potrebujeme vypocitat dva druhy integralu:
A
(ax+b)n dx =
A
a(1-n)  1
(ax+b)n-1 pro n = 1
A
a  ln|ax + b| pro n = 1
a Ax+B
(ax2+bx+c)n dx =
Ax+B
(ax2+bx+c)
dx log a arctan
Ax+B
(ax2+bx+c)n dx subst a p.p.
1
Napr: x-1
(x2+4x+5)2 dx = 1
2
2x-2
(x2+4x+5)2 dx = 1
2
(2x+4)-6
(x2+4x+5)2 dx = 1
2
(2x+4)
(x2+4x+5)2 dx-3 1
(x2+4x+5)2 dx.
Prvni integral se resi substituci t = x2 + 4x + 5, druhy per partes. Pohodlnejsi je vsak si za-
pamatovat vzorec:
1
((x-m)2+p2)n dx = 1
2(n-1)p2 ((2n-3) 1
((x-m)2+p2)n-1 dx+ x-m
((x-m)2+p2)n-1 ), kde se vyuzije fakt,
ze 1
(x-m)2+p2 dx = 1
|p| arctan x-m
|p| .
Priklady 4.2.1.a
Nejprve se musi overit, ze nejvyssi exponent v citaleli je nizsi nez nejvyssi exponent ve jmen-
ovateli. Pokud ne museli bychom polynomy vydelit. Dale vidime, ze prvni clen soucinu ve
jmenovateli ma realne koreny, druhy komplexni, proto obecne bude rozklad vypadat jako
1
(x-1)2(x2+1)2 = A
(x-1)2 + B
x-1 + Cx+D
(x2+1)2 + Ex+F
x2+1 . Roznasobenim dostaneme
1 = A(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2(x - 1) + (Cx + D)(x - 1)2 + (Ex + F)(x2 + 1)(x - 1)2 az nakonec
1 = Ax4 +2Ax2 +A+Bx5 -Bx4 +2Bx3 -2Bx2 +Bx-B +Cx3 -2Cx2 +Cx+Dx2 -2Dx+
D + Ex5 - 2Ex4 + 2Ex3 - 2Ex2 + Ex + Fx4 - 2Fx3 + 2Fx2 - 2Fx + F, coz se porovnanim
koeficientu u jednotlivych mocnin da zapsat maticove








x5
x4
x3
x2
x1
x0








. . .








0 1 0 0 1 0
1 -1 0 0 -2 1
0 2 1 0 2 -2
2 -2 -2 1 -2 2
0 1 1 -2 1 -2
1 -1 0 1 0 1
















A
B
C
D
E
F








=








0
0
0
0
0
1








Vyresenim tohoto systemu dostavame A = 1
4, B = -1
2, C = 1
2 , D = 0, E = 1
2 , F = 1
4.
Integraly 1
4
1
(x-1)2 ,-1
2
1
x-1 vyresime podle vzorcu. Zbyva resit
1
2
x+ 1
4
x2+1
dx = 1
4
2x+1
x2+1
dx =
1
4
2x
x2+1
dx+1
4
1
x2+1
dx = 1
4 ln|x2+1|+1
4arctan(x) a jeste integral
1
2
x
(x2+1)2 dx = 1
4
2x
(x2+1)2 dx =
|subst. t = x2 + 1, dt = 2xdx| = 1
4
2x
t2
dt
2x = -1
4
1
t = -1
4
1
x2+1
.
Cviceni 7 - Integrovani funkci goniometrickych
Pri integrovani goniometrickych funkci se ridime nasledujicimi pravidly:
1. pokud mame cosm x sinn
xdx, kde m, n jsou cela cisla, pricemz aspon jedno je liche,
pak dame do substituci tu funkci, ktera je v mocnine suda
2. pokud je integral racionalni lomenna funkce funkci sin x a cos x takova, ze R(cos x,sin x)
= R(- cos x,- sin x), uzivame substituci tan x = t, kde dale plati, ze sin x = t
1+t2
a cos x =
1
1+t2
.
3. v ostatnich pripadech uzivame substituci tan x
2 = t. Dale si uvedomme, ze plati sin x
2 =
t
1+t2
, cos x
2 = 1
1+t2
, sin x = 2 t
1+t2 ,cos x = 1-t2
1+t2 . Vetsinou tyto substituce vedou na integraly
racionalnich lomennych funkci, proto, pokud muzeme, volime vzdy nejjednodussi moznost.
Priklady 4.2.2.
sin5
x cos5 xdx[subst. sin x = t nebo cos x = t], 1
cos3 x
dx[subst. sin x = t], tan5 xdx
2
[subst. tan x = t], sin x
1+sin2 x
dx[subst. cos x = t], sin x-cos x
sin x+2 cos x dx[delit kazdy clen cos x subst. tan x =
t], 1
2 sin x-cos x+5dx[ subst. tan x
2 = t], 1-sin x
1+cos xdx[ subst. tan x
2 = t], tan3 x
sin x dx[ subst. sin x =
t], tan2 xdx[ jen vzorec sin2
x = 1-cos2], 2cos3 x
sin2 x
dx[ subst. sin x = t], 3sin5 x
cos4 x
dx[ subst. cos x =
t]
Cviceni 8 - Urcity integral, nevlastni integraly a opakovani
Reseni urcitych integralu spociva v dosazeni mezi, jen se nesmi zapomenout u substituce tyto
meze prepocitat. U metody per partes se meze na druhem integralu zachovavaji. Integrovani v
nevlastnich bodech se provadi postupne, nejdriv obycejne zintegrujeme (pokud nevlastni bod
lezi uprostred intervalu, je treba integrovat dvakrat), a pote pocitame limity. Viz. cviceni.
1
2
0
1
x ln2
x
dx = |subst. t = ln x, dt = 1
xdx, th = ln 1
2, td = ln 0 = -| =
ln 1
2
-
1
t2x
xdt =
[-1
t ]- ln 2
- = ( 1
ln 2) - limr-
1
t = 1
ln 2.
1
0 ln xdx = | p.p ln x = u, 1
x = u, 1 = v, x = v| = [x ln x]1
0 -
1
0 x1
x dx = 0 - limx0 x ln x -
[x]1
0 = -1.

1
1
x2+xdx = | rozklad na parc. zlomky | =

1 (- 1
x+1+1
x)dx = [ln( x
x+1)]
1 = limx ln( x
x+1)-
ln(1
2) = - ln(1
2 ) = ln(2).
Kazdy sam si spocitejte nasledujici priklady (nejdrive nepouzivejte pomucky a snazte se na
reseni prijit sami).
Priklady 5.1.
ex - 1dx[subst. ex-1 = t2], (x log x)2dx[p.p. obracene], x sin xdx[p.p.], x2 cos xdx[p.p.]
Priklady z ucebnice
sin2
xdx[vzorec sin2
x = 1-cos 2x
2 ], cos2 xdx[vzorec cos2 x = 1+cos 2x
2 ], tan xdx[vzorec tan x =
sin x
cos x ], cotgxdx[vzorec cotgx = cos x
sin x ],

x
1-

x
dx[subst. x = t2],

a2 - x2xdx[subst. x =
a sin t], 1
x ln2
x
dx[subst. t = ln x],

ex - 1dx[subst. t = ex - 1], sin x
cos3 x dx[subst. t = sin x],
sin2
x cos3 xdx[subst. t = sin x], ln xdx[p.p.], ln x
x dx[subst. t = ln x], eax cos bxdx[p.p]
3