Cviceni k predmetu PMMAT2
Cviceni 9 - Posloupnosti a rady
Zakladni pojmy:
Posloupnost, limita posloupnosti, konvergence a divergence posloupnosti, nekonecne rady,
castecne soucty, konvergence a divergence rady, rady s nezapornymi cleny, kriteria (srov-
navaci, odmocninove, podilove), absolutni konvergence, alternujici rady, posloupnosti a rady
funkci
Posloupnosti chapeme jako nam zname funkce ovsem definovane na mnozine prirozenych cisel.
Tim se velmi prirozene zavadi pojem konvergence a divergence posloupnosti. Napr. je pro
zjistovani limity posloupnosti mozno pouzit nastroju pro zjistovani limit prislusnych funkci
viz. nasledujici cviceni z ucebnice.
Cviceni 3.1.2. Urcete limity posloupnosti:
c){ n
2n }. Namisto n si klidne muzeme predstavit x a uzit L'hospitalovo pravidlo. Tedy
limn
n
2n = limx
x
2x = |L'h prav.| = limx
1
2x ln(2) = 0.
Nekonecne rady jsou vlastne nekonecne soucty jednotlivych prvku posloupnosti, rikame, ze
rada konverguje, jestlize konverguje posloupnost jejich castecnych souctu.
Drive nez pristoupime ke kriteriim konvergence je treba vyslovit tzv. nutnou podminku kon-
vergence, tedy:
Jestlize rada 
n=1 an konverguje, pak musi platit, ze limn an = 0.
Pro urcovani konvergence rad s nezapornymi cleny, uzivame tzv. kriteria konvergence (srov-
navaci, odmocninove, podilove atd.). Srovnavaci kriterium lze vyslovit nasledovne. Necht

n=1 an, 
n=1 bn jsou rady s nezapornymi cleny. Necht plati an  bn pro vsechna n. Potom
plati: Je - li 
n=1 bn konvergentni, je i rada 
n=1 an konvergentni. Je - li 
n=1 an diver-
gentni, je i rada 
n=1 bn. Toto kriterium je velice prakticke, zvlaste pokud si uvedomime, ze
rada 
n=1
1
n diverguje zatimco rady 
n=1
1
n(n+1), 
n=1
1
n2 konverguji. Viz. cviceni.
Cviceni 3.2.1. Zjistete, zda konverguji rady:
b) 
n=1
1
n
5
2
, staci si uvedomit, ze plati: 1
n
5
2
 1
n2 pro vsechna n, takze rada konverguje.
c) 
n=1
1
(2n+1)2 , staci si uvedomit, ze plati: 1
(2n+1)2  1
n2 pro vsechna n, takze rada konverguje.
e) 
n=1(5
2)n, staci si uvedomit, ze plati: 1
n  (5
2 )n pro vsechna n, takze rada diverguje.
g) 
n=1
1
n(n+1)(n+2) , staci si uvedomit, ze plati: 1
n(n+1)(n+2)  1
n(n+1) pro vsechna n, takze
rada konverguje.
Podilove kriterium: Necht 
n=1 an je rada s nezapornymi cleny. Je-li limn
an+1
an
< 1
je rada 
n=1 an konvergentni, je - li limn
an+1
an
> 1,je rada 
n=1 an divergentni.
Cviceni 3.2.1. Zjistete, zda konverguji rady:
h) 
n=1
xn
n! , staci si uvedomit, ze plati: limn
xn+1
(n+1)!
xn
(n)!
= limn
x
n+1 = 0 pro vsechna x  R,
1
takze rada konverguje.
j) 
n=1
(n!)2
(2n)!2n , staci si uvedomit, ze plati: limn
((n+1)!)2
(2(n+1))!2n+1
(n!)2
(2n)!2n
= limn
(n+1)2((n)!)2
(2n+2)(2n+1)(2n)!2n+1
(n!)2
(2n)!2n
=
limn
(n+1)2
(2n+2)(2n+1)2 = 1
8 < 1, takze rada konverguje.
Odmocninove kriterium: Necht 
n=1 an je rada s nezapornymi cleny. Je-li limn
n

an < 1
je rada 
n=1 an konvergentni, je - li limn
n

an > 1,je rada 
n=1 an divergentni.
Integralni kriterium: Necht f je funkce definovana na interavalu 1, ), ktera je na tomto
intervalu nezaporna a nerostouci. Necht f(n) = an pro n  N. Pak rada 
n=1 an konverguje
prave tehdy, kdyz konverguje nevlastni integral

1 f(x)dx.
Priklad: 
n=1
1
n+c , kde c je realna konstanta, diverguje podle integralniho kriteria, protoze

1
1
x+c dx = ln( + c) - ln(c + 1) = .
Priklad: 
n=1( n
2n-1)n = | staci vzit n tou odmocninu a spocitat limitu , tedy | =
= limn(( n
2n-1 )n)
1
n = 1
2 , takze podle odmocninoveho kriteria rada konverguje.
Pro alternujici rady plati jednoduche pravidlo. Alternujici rada 
n=1(-1)nan nerostouci
posloupnosti nezapornych cisel konverguje prave tehdy, kdyz limn an = 0. Overujeme
tudiz jen tuto jednoduchou podminku viz. nasledujici cviceni.
Cviceni 3.2.1. Zjistete, zda konverguji rady:
a) 
n=1
(-1)n+1
n+ 1
2
. Staci overit, ze limn
1
n+ 1
2
= 0, coz skutecne plati.
Podobne d) dale pak take cviceni 3.2.2. a)-d) pri urcovani konvergence. Pri urcovani absolutni
konvergence postupujeme jinak. Viz dale.
Absolutni konvergence se posuzuje u tech rad, jejichz cleny nesplnuji podminku nezapornosti,
tedy tyto cleny mohou byt i zaporne. Plati nasledujici veta. Konverguje - li rada 
n=1 |an|,
pak konverguje i rada 
n=1 an. Pokud tedy rada 
n=1 |an| konverguje, rekneme, ze rada

n=1 an je absolutne konvergentni. Konverguje - li rada 
n=1 an a rada 
n=1 |an| diverguje,
rekneme, ze rada 
n=1 an konverguje neabsolutne.
Cviceni 3.2.2. Rozhodnete o konvergenci, resp. absolutni konvergenci rad:
a) 
n=1(-1)n+1 1
n- 1
2
, protoze se jedna o alternujici radu, staci overit, jestli limn
1
n- 1
2
= 0,
coz skutecne plati. Zbyva overit, jestli je rada i absolutne konvergenti tedy, jestli konverguje
i 
n=1
1
n- 1
2
, to ale neplati, protoze 1
n  1
n- 1
2
pro vsechna n, takze rada konverguje ale neab-
solutne.
b) 
n=1(-1)n+1 1
2n , kde protoze plati 1
2n  1
n2 pro vsechna n  4, tak rada konverguje abso-
lutne.
c) 
n=1(-1)n n+1
2n , kde protoze se jedna o alternujici radu a plati limn
n+1
2n = 1
2, tak rada
diverguje, tudiz nemuze ani konvergovat absolutne.
d) 
n=1(-1)n n+1
n2 , kde protoze se jedna o alternujici radu a plati limn
n+1
n2 = 0, tak
rada konverguje. Zbyva overit, jestli je rada i absolutne konvergenti tedy, jestli konverguje i
2

n=1
n+1
n2 , to ale neplati, protoze 1
n = n
n2 < n+1
n2 pro vsechna n, takze rada konverguje ale
neabsolutne.
e) 
n=1(-1)n n
n2+1
, kde protoze se jedna o alternujici radu a plati limn
n
n2+1
= 0, tak
rada konverguje. Zbyva overit, jestli je rada i absolutne konvergenti tedy, jestli konverguje i

n=1
n
n2+1
, to ale neplati, protoze 1
n+1 = n
n(n+1) = n
n2+n
< n+1
n2 pro vsechna n, takze rada
konverguje ale neabsolutne.
f) 
n=1
(-5)n
(3n)! , nejefektivnejsi u techto typu prikladu je nejdrive overit, jestli je rada absolutne
konvergenti tedy, jestli konverguje 
n=1
(5)n
(3n)! . Podle podiloveho kriteria snadno zjistite, ze
rada je konvergentni, tedy rada 
n=1
(-5)n
(3n)! je absolutne konvergentni a tudiz musi konvergo-
vat i 'obycejne' podle vyse zminene vety.
g) 
n=1
(n+1)!
(-2)nn! podobne jako f)
h) 
n=1(-1)n 1
(n+2)(n+3) podobne jako f). Pro zjisteni absolutni konvergence pouzijte srov-
navaci kriterium, tedy 1
n2 = 1
nn > 1
(n+2)(n+3) pro vsechna n, tudiz absolutni konvergence je
dokazana, a tim i obycejna.
i) 
n=1
sin(n)
n2 podobne jako f). Pro zjisteni absolutni konvergence pouzijte srovnavaci kri-
terium, tedy 1
n2 > sin(n)
n2 pro vsechna n diky vlastnostem funkce sinus, tudiz absolutni kon-
vergence je dokazana, a tim i obycejna.
j) 
n=1(-1)n n2+n
n2+1
, vsimnete si, ze neni splnena nutna podminka konvergence, tedy ze
limn(-1)n n2+n
n2+1 = 0. Podle vety o nutne podmince konvergence, tudiz rada nemuze kon-
vergovat. Uvedomte si, ze z vyrokove logiky plyne (A  B)  (B  A). Jedna se o tzv.
neprimy dukaz.
Priklad:
a)Overte nutnou podminku konvergence rady 
n=1
2n
n! .
b)Rozhodnete o konvergenci rady.
Protoze dukaz limity limn
2n
n! je pomerne narocny, je lepsi zacit casti b) a podle podiloveho
kriteria dokazat konvergenci rady. Z vety o nutne podmince konvergence potom primo plyne,
ze limn
2n
n! = 0.
Priklad:
V zavislosti na x vysetrete konvergenci rady 
n=1
nx2
4(n-x) .
Je dobre si nejdrive dosadit za x 'zajimave' body jako je 0 a 1. Pro x = 0 dostavame

n=1
n0
4n = 
n=1 0 = 0, takze rada konverguje.Pro x = 1 dostavame 
n=1
n
4(n-1) , kde ale
neni splnena nutna podminka konvergence, protoze limn
n
4(n-1) = 1
4 , takze rada diverguje.
Podobne pro vsechna x = 0.
Poznamka: Opet je mozne vyuzivat MAPLE pro konktrolu vysledku napr. zadame 'evalf(Sum(1/(n*(n-
1)),n=2..infinity));' a zjistime primo, ze soucet je 1.
3