Základní pravidla derivování a integrování
Každá identita uvedená v této tabulce platí pro ta x ∈ R, pro něž jsou definovány
výrazy na obou stranách rovnice (a, b, C ∈ R jsou konstanty).
[C.f(x)]′
= C.f′
(x) C.f(x) dx = C. f(x) dx (1a)
[f(x) + g(x)]′
= f′
(x) + g′
(x) [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx (1b)
C′
= 0 0 dx = C (2)
F′
(x) = [F(x) + C]′
= f(x) f(x) dx = F(x) + C (3)
F[ϕ(x)]′
= F′
(ϕ(x)).ϕ′
(x) F′
(ϕ(x)).ϕ′
(x) dx = F[ϕ(x)] (4)
[u(x) · v(x)]′
= u′
(x) · v(x) + u(x) · v′
(x)
u′
(x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x) · v′
(x) dx (5)
u(x)
v(x)
′
=
u′
(x) · v(x) − u(x) · v′
(x)
v(x)2
u′
(x)
v(x)
dx =
u(x)
v(x)
+
u(x)
v(x)
v′
(x)
v(x)
dx (6)
y = f(x) spojitá a ryze monotonní v O(x0) ⇒ x = f−1
(y) je rovněž spojitá a ryze
monotonní v O(y0), y0 := f(x0), a platí:
[f−1
(y0)]′
=
1
f′(x0)
(7)
Některé rekurentní vztahy získané metodou per-partes (5):
Kn :=
dx
(1 + x2)n
⇒ Kn+1 =
2n − 1
2n
Kn +
1
2n
·
x
(1 + x2)n
(8)
In := sinn
x dx ⇒ In = −
1
n
· cos x · sinn−1
x +
n − 1
n
· In−2 (9a)
I′
k :=
dx
sink
x
⇒ I′
k = −
1
k − 1
·
cos x
sink−1
x
+
k − 2
k − 1
I′
k−2 (9b)
Jn := cosn
x dx ⇒ Jn =
1
n
· sin x · cosn−1
x +
n − 1
n
· Jn−2 (10a)
J′
k :=
dx
cosk x
⇒ J′
k =
1
k − 1
·
sin x
cosk−1 x
+
k − 2
k − 1
J′
k−2 (10b)
Návod:
(8): u′
= 1, v = 1
(1+x2)n , (9a): u′
= sin x, v = sinn−1
x, (10a): u′
= cos x, v = cosn−1
x.
Vyjádříme-li In−2 z (9a) pomocí In, kde pak položíme −k := n−2 a I′
k := I−k, obdržíme
(9b). Podobně se odvodí (10b) z (10a).
1
(sin x)′
= cos x cos x dx = sin x (11a)
(cos x)′
= − sin x sin x dx = − cos x (11b)
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
1
√
1 − x2
dx = arcsin x (12a)
(arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
= − arccos x (12b)
(tg x)′
=
1
cos2 x
1
cos2 x
dx = tg x (13a)
(cotg x)′
= −
1
sin2
x
1
sin2
x
dx = −cotg x (13b)
(arctg x)′
=
1
1 + x2
1
1 + x2
dx = arctg x (14a)
(arccotg x)′
= −
1
1 + x2
= −arccotg x (14b)
(ex
)′
= ex
ex
dx = ex
(15a)
(ax
)′
= (ln a).ax
ax
dx =
ax
ln a
(15b)
[f(x)g(x)
]′
= f(x)g(x)
g′
(x) ln f(x) + g(x)
f′
(x)
f(x)
(15c)
(xx
)′
= xx
(ln x + 1) (15d)
(ln|x|)′
=
1
x
1
x
dx = ln|x| (16a)
(loga|x|)′
=
1
x ln a
= (ln a). loga|x| (16b)
(ln|f(x)|)′
=
f′
(x)
f(x)
f′
(x)
f(x)
dx = ln|f(x)| (16c)
(ln|x +
√
x2 ± a2|)′
=
1
√
x2 ± a2
dx
√
x2 ± a2
= ln|x +
√
x2 ± a2| (16d)
(xa
)′
= a.xa−1
xa
dx =
xa+1
a + 1
(17)
2
n-tá derivace, n ∈ N:
(u(x) · v(x))(n)
=
n
0
u(n)
(x) · v(x) +
n
1
u(n−1)
(x) · v′
(x) +
n
2
u(n−2)
(x) · v′′
(x) + · · ·
+
n
n − 1
u′
(x) · v(n−1)
(x) +
n
n
u(x) · v(n)
(x) (18a)
neboli
(u(x) · v(x))(n)
=
n
k=0
n
k
u(n−k)
(x) · v(k)
(x), kde u(0)
(x) := u(x) a v(0)
(x) := v(x)
(18b)
(xk
)(n)
= k · (k − 1) · · · (k − n + 1)xk−n
, n ≤ k ∈ N (19)
(ex
)(n)
= ex
(ax
)(n)
= ax
· (ln a)n
(ln|x|)(n)
=
(−1)n−1
(n − 1)!
xn
(20)
(sin x)(n)
= sin x + n
π
2
(cos x)(n)
= cos x + n
π
2
(21)
Některé často potřebné integrály (0 < b ∈ R):
dx
b2 + x2
=
1
b
· arctg
x
b
dx
b2 − x2
=
1
2b
· ln
b + x
b − x
(22)
√
b2 − x2 dx =
x
2
·
√
b2 − x2 +
b2
2
arcsin
x
b
(23)
dx
√
x2 ± a2
= ln|x +
√
x2 ± a2|
dx
√
b2 − x2
= arcsin
x
b
(24)
√
x2 ± a2 dx =
x
2
·
√
x2 ± a2 +
a2
2
· ln|x +
√
x2 ± a2| (25)
x dx
a2 ± x2
= ±
1
2
· ln|a2
± x2
|
x dx
√
a2 ± x2
= ±
√
a2 ± x2 (26)
dx
sin x
= ln tg
x
2
dx
cos x
= ln tg
x
2
+
π
4
(27)
Popis vlastností:
• Linearita derivace a integrace: viz (1a) a (1b)
• Derivování složené funkce: viz (4)
• Substituční metoda integrace: zavedeme novou proměnnou u := ϕ(x) — viz (4)
• Derivace součinu dvou funkcí: viz (5) a tzv. Leibnitzův vzorec (18a), resp. (18b)
• Integrace metodou per-partes: viz (5)
• Derivace podílu dvou funkcí: viz (6)
• Derivace inverzní funkce: viz (7)
• Logaritmická derivace: viz (16c)
3
4
Metodika integrování
Integrování (hledání neurčitého integrálu) zadané funkce představuje operaci inverzní
k derivování. Zatímco derivování funkcí vzniklých složením elementárních funkcí se řídí
jasnými pravidly, v případě integrování je situace složitější. Je totiž třeba tato pravidla
aplikovat pozpátku, což je mnohem obtížnější.
V dalším uvedeme přehled základních integračních metod pro nejčastěji užívané typy
integrálů. Pokud správně určíme typ zadaného integrálu a aplikujeme kroky odpovídající
integrační metody, redukuje se úloha vždy na výpočet integrálů z elementárních
funkcí uvedených v předchozí části.
V textu se vyskytují odkazy do skript autorů V. Novák: Integrální počet v R, MU
Brno, 3. vyd., 2001 a do sbírky příkladů V.P. Minorskij: Sbírka úloh z vyšší matematiky,
SNTL Praha, 1964 Odkazy jsou ve tvaru [No:č.# s.#], resp. [Min:č.# s.#].
Dále užívané označení:
• I je interval, na němž vyhodnocujeme uvažované integrály.
• P(x), resp. P(x1, . . ., xn) je polynom jedné, resp. n proměnných.
• R(x), resp. R(x1, . . . , xn) je racionální funkce jedné, resp. n proměnných.
1. Základní integrační metody [No:odst.1.2 s.5-9]
1.1. Integrál z lineární kombinace funkcí.
Ze vztahů (1a) a (1b) dostáváme:
(c1f1(x) + · · · + cnfn(x)) dx = c1 f1(x) dx + · · · + cn fn(x) dx (28a)
Přitom integrál na levé straně straně existuje na I, pokud zde existují všechny integrály
na pravé straně [No:Věta 2.1 s.5].
Příklad použití
Integrál z polynomu: Nechť P(x) = a0 + a1x + · · · + anxn
, pak užitím (17)
P(x) dx = a0x + a1
x2
2
+ · · · + an
xn+1
n + 1
(28b)
Další řešené příklady: [No:Př.2.1 s.5]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/1 s.125-127]
1.2. Metoda per-partes.
Jestliže v rovnici (5) mají funkce u(x) a v(x) derivace na I, a existuje zde integrál
u(x)v′
(x) dx, pak
u′
(x) · v(x) dx = u(x) · v(x) − u(x) · v′
(x) dx (29)
Přitom integrál na levé straně straně existuje na I, pokud na pravé straně existuje
integrál u(x) · v′
(x) dx [No:Věta 2.2 s.6].
Typické použití
(1) Odvozování rekurentních vztahů typu (8)–(10b). Ty pak užíváme tak, že integrál
spočteme pro malou hodnotu n, například integrál K1 užitím (14a), a pak pomocí rekurentních
vztahů postupně počítáme K2,. . . ,Kn. Samozřejmě je možno provést výpočet
Kn přímo opakovaným použitím metody per-partes. Podobně pro ostatní integrály.
(2) Integrovaná funkce je ve tvaru součinu s polynomem: f(x)P(x) dx, kde
5
a) f(x) umíme opakovaně integrovat, např. f(x) = eax
, f(x) = sin ax, f(x) = cos ax,
pak položíme u′
(x) := f(x), v(x) := P(x) a vícenásobným užitím per-partes postupně
dostáváme integrály téhož typu, kde se stupeň polynomu snižuje až na nulu, tj. po
posledním kroku je roven konstantně a získaný integrál je již integrálem, který umíme
spočíst.
b) f(x) neumíme opakovaně integrovat, ale pouze derivovat; pak obvykle opačná volba
u′
(x) := P(x), v(x) := f(x) vede po jednom nebo vícenásobném použití per-partes
k jinému typu integrálu, který umíme řešit. Je tomu tak například u integrálů, kde
f(x) = arctg x nebo f(x) = (ln x)n
, které vedou na integrál z racionální funkce (viz
odst. 2).
Řešené příklady: [No:Př.2.2-2.4 s.6-7]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/4 s.131-132].
1.3. Substituční metoda.
1. varianta
Položíme-li ve (4) f(t) := F′
(t) na intervalu I′
a t := ϕ(x) na I, kde ϕ(I) ⊆ I′
,
dostaneme vztah pro integraci substitucí ve tvaru
f[ϕ(x)]ϕ′
(x) dx = f(t) dt =: F(t), kde dosadíme t = ϕ(x), x ∈ I (30a)
Z výše uvedeného vyplývá, že f(t) musí mít primitivní funkci F(t) na I′
(k tomu stačí
podle [No:věta 1.2 s.2], aby f byla na I spojitá) a ϕ(x) musí mít derivaci na I
[No:věta 2.3 s.7]. Uvážíme-li, že dt
dx
= ϕ′
(x) ⇒ dt = ϕ′
(x) dx, vidíme, že integrál
vpravo dostaneme z integrálu vlevo formálním dosazením ϕ(x) =: t a ϕ′
(x) dx =: dt.
2. varianta
Nechť ϕ(I) = I′
, pak záměnou role t ↔ x a pravé a levé strany v (30a) dostáváme
f(x) dx = f[ϕ(t)]ϕ′
(t) dt, kde dosadíme t = ψ(x), x ∈ I′
(30b)
pro libovolnou funkci ψ(x) definovanou na I′
takovou, že ϕ(ψ(x)) = x pro každé x ∈ I′
(neboli ψ(x) ∈ ϕ−1
({x})). V případě, že ϕ′
(t) = 0 na I, pak ϕ je ryze monotonní1
na I
a tedy ψ(x) := ϕ−1
(x) je jediná možná volba (viz [No:věta 2.4 s.8]).
Řešené příklady: [No:Př.2.5-2.6 s.7-9]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/2 s.127-130].
1Stačí ověřit, že ϕ′
(t) > 0 nebo ϕ′
(t) < 0 všude na I. Předpokládejme opak. Kdyby existovaly body
t1, t2 ∈ I, t1 < t2 : ϕ′
(t1)ϕ′
(t2) < 0, pak existuje ξ ∈ [t1, t2], kde nabývá ϕ maxima nebo minima
dle Weierstrasseovy věty (je zde totiž spojitá, neboť zde má všude derivaci); takový bod nemůže být
vnitřním bodem I, protože funkce by zde měla lokální extrém a tudíž i nulovou derivaci, což není
možné. Je-li ϕ′
(t1) > 0 a ϕ′
(t2) < 0, tak ϕ je v pravém okolí t1 rostoucí a v levém okolí t2 klesající, tj.
ϕ(t1) = ϕ(t2) musí být minimum. Dle Rolleovy věty pak má ϕ nulovou derivaci v nějakém vnitřním
bodě, spor. Podobně se vyšetří případ ϕ′
(t1) < 0 a ϕ′
(t2) > 0.
6
2. Integrování racionálních funkcí [No:odst.1.3 s.10-12]
2.1. První speciální případ.
I :=
A
(x − α)n
dx, n ∈ N (31a)
řešíme substitucí x − α = t, dx = dt:
I = A
1
tn
dt =
A ln|t| = A ln|x − α| pro n = 1
At−n+1
−n+1
= A
1−n
1
(x−α)n−1 pro n > 1.
2.2. Druhý speciální případ.
I :=
Bx + C
[(x − a)2 + b2]n
dx, b = 0, n ∈ N (31b)
Postup řešení:
(1) Čitatel vyjádříme pomocí derivace výrazu ((x − a)2
+ b2
)′
= 2(x − a) = 2x − 2a
vystupujícím ve jmenovateli
Bx + C =
B
2
(2x − 2a) + Ba + C.
(2) Integrál I rozložíme na součet dvou integrálů:
I =
B
2
2x − 2a
[(x − a)2 + b2]n
dx
I1
+ (Ba + C)
dx
[(x − a)2 + b2]n
I2
.
(3) Integrál I1 spočteme pomocí substituce (x − a)2
+ b2
= t, (2x − 2a)dx = dt:
I1 =
B
2
dt
tn
=
B
2
ln|t| = B
2
ln((x − a)2
+ b2
) pro n = 1
B
2
t−n+1
−n+1
= B
2(1−n)
1
[(x−a)2+b2]n−1 pro n > 1.
(4) Integrál I2 spočteme pomocí substituce (x − a) = t b, dx = b dt:
I2 = (Ba + C)
b dt
(t2b2 + b2)n
=
Ba + C
b2n−1
dt
(1 + t2)n
Kn
.
Pokud je n > 1, snižujeme při výpočtu Kn jeho řád n opakovaným užitím rekurentního
vzorce (8), až dostaneme integrál K1 = dt
1+t2
(14a)
= arctg t. V obdrženém výrazu za
proměnnou t dosadíme zpět t = x−a
b
.
2.3. Obecný případ.
I = R(x) dx (31c)
Postup řešení:
(1) R(x) = P(x)
Q(x)
rozložíme dle algoritmu dělení se zbytkem: P(x) = Q(x)S(x) + T(x).
7
Odtud po vydělení polynomem Q(x) dostáváme
I = R(x) dx =
P(x)
Q(x)
dx = S(x) dx
I1
+
T(x)
Q(x)
dx
I2
,
kde S(x) je polynom a T (x)
Q(x)
je ryze lomená racionální funkce.
Poznamenejme, že S(x) ≡ 0 a T(x) = P(x), pokud stP(x) < stQ(x), tj. pokud R(x)
již byla přímo ryze lomená.
(2) Spočteme integrál I1 podle vztahu (28b).
(3) T (x)
Q(x)
rozložíme na parciální zlomky T (x)
Q(x)
= R1(x) + · · · + Rm(x).
(4) Spočteme
I2
(28a)
= R1(x) dx + · · · + Rm(x) dx,
kde každý z integrálů Rj(x) dx, j = 1, . . . , m je již některého ze speciálních typů
(31a) nebo (31b).
Řešené příklady: [No:Př.3.1 s.11-12]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/6 s.133-135].
3. Integrování jiných funkcí [No:odst.1.4 s.12-17]
3.1. Integrace některých iracionálních algebraických funkcí.
3.1.1. Typ I.
R xm
,
a xm
+ b
c xm + d
p1
q1
, . . .,
a xm
+ b
c xm + d
pn
qn
xm−1
dx; pi, qi ∈ Z, m, n ∈ N (32a)
kde R(x0, x1, . . ., xn) je racionální funkce n+1 proměnných. Tato funkce nemusí záviset
na x0, takže zahrnuje i případ racionální funkce R(x1, . . . , xn) o n proměnných.
Postup řešení:
(1) Najdeme nejmenší společný násobek s ∈ N čísel q1, . . ., qn.
(2) Provedeme substituci
a xm
+ b
c xm + d
= ts
, odkud xm
=
d ts
− b
−c ts + a
, xm−1
dx =
1
m
d ts
− b
−c ts + a
′
dt.
(3) Touto substitucí přejde (32a) v integrál z racionální funkce, který řešíme dle odst. 2.
Po jeho nalezení dosadíme zpět t = s a xm+b
c xm+d
.
Speciální případy:
(i) m = 1, a = d = 1, b = c = 0 se substitucí x = ts
, dx = sts−1
dt :
R(x, x
p1
q1 , . . ., x
pn
qn ) dx; pi, qi ∈ Z, n ∈ N (32b)
(ii) m = n = 1, a = d = 1, b = c = 0, p1 = 1, q1 = s se substitucí x = ts
, dx = sts−1
dt :
R(x, s
√
x) dx nebo R( s
√
x) dx (32c)
8
(iii) m = n = 1, p1 = 1, q1 = s se substitucí jako v kroku (2) pro (32a) při m = 1:
R x,
s a x + b
c x + d
dx nebo R
s a x + b
c x + d
dx (32d)
(iv) m = n = 1, p1 = 1, q1 = s = 1, c = 0:
a x + b
c x + d
dx (32e)
Tento integrál trikově upravíme na součet dvou integrálů:
a x + b
c x + d
dx =
a
c
(cx + d) + b − ad
c
cx + d
dx =
a
c
dx
I1
+ b −
ad
c
dx
cx + d
I2
,
kde I1 = a
c
x a druhý snadno spočteme substitucí cx + d = t, c dx = dt, což dává
I2 = bc−ad
c2 ln|cx + d|.
Řešené příklady: [No:Př.4.1-4.2 s.12-13]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/7 s.135-137].
3.1.2. Typ II.
R x,
√
ax2 + bx + c dx; a = 0 nebo R
√
ax2 + bx + c dx; a = 0 (33a)
kde R(x, y), resp. R(y) je racionální funkce dvou, resp. jedné proměnné. Poznamenejme,
že pro a = 0 je (33a) speciálním případem (32d).
Postup řešení:
Můžeme užít některou z následujících tří tzv. Eulerových substitucí (E1)-(E3):
(1) Má-li ax2
+ bx + c reálné kořeny α, β, pak ax2
+bx+c = a(x−α)(x−β) a můžeme
pro x = α užít substituci
√
ax2 + bx + c = (x − α)t (E1)
Dále postupujeme takto:
(a) Vztah (E1) umocníme na druhou a dále upravíme tak, abychom vyjádřili x − α
pomocí substituční proměnné t:
a(x − α)(x − β) = ax2
+ bx + c = (x − α)2
t2
⇒ a[(x − α) + (α − β)] = (x − α)t2
,
Odtud
x − α =
a(α − β)
t2 − a
,
√
ax2 + bx + c =
a(α − β)t
t2 − a
a
dx = a(α − β)
1
t2 − a
′
dt = a(β − α)
2t
(t2 − a)2
dt.
(b) Výše uvedenou substitucí přejde (33a) opět v integrál z racionální funkce, který
řešíme dle odst. 2. Po jeho nalezení dosadíme zpět t =
√
ax2+bx+c
x−α
.
(2) Je-li a > 0, pak můžeme užít substituci
√
ax2 + bx + c = ±
√
ax ± t , (E2)
kde znaménka ± zvolíme tak, aby v daném konkrétním případě byl výpočet co nejjednodušší.
Dále postupujeme analogicky jako v předchozím případě:
9
(a) Vztah (E2) umocníme na druhou a dále upravíme tak, abychom vyjádřili x a dx
pomocí substituční proměnné t:
ax2
+bx+c = (±
√
ax±t)2
= ax2
±2
√
axt+t2
⇒ x =
t2
− c
b ∓ 2
√
a t
, dx =
t2
− c
b ∓ 2
√
a t
′
dt,
a odtud dále dosazením x do (E2)
√
ax2 + bx + c = ±
√
a
t2
− c
b ∓ 2
√
a t
± t.
(b) Výše uvedenou substitucí přejde (33a) opět v integrál z racionální funkce, který
řešíme dle odst. 2. Po jeho nalezení dosadíme zpět t = ∓(
√
ax2 + bx + c ∓
√
ax).
(3) Je-li a < 0, pak pro x = 0 můžeme užít substituci
√
ax2 + bx + c = ±xt ±
√
c , (E3)
kde znaménka ± zvolíme opět tak, aby v daném konkrétním případě byl výpočet co
nejjednodušší. Dále postupujeme analogicky jako v předchozím případě:
(a) Vztah (E3) umocníme na druhou a dále upravíme tak, abychom vyjádřili x a dx
pomocí substituční proměnné t:
ax2
+bx+c = (±xt±
√
c)2
= x2
t2
±2
√
cxt+c ⇒ x =
b ∓ 2
√
c t
t2 − a
, dx =
b ∓ 2
√
c t
t2 − a
′
dt.
a odtud dále dosazením x do (E3)
√
ax2 + bx + c = ±
bt ∓ 2
√
c t2
t2 − a
±
√
c.
(b) Výše uvedenou substitucí přejde (33a) opět v integrál z racionální funkce, který
řešíme dle odst. 2. Po jeho nalezení dosadíme zpět t = ∓
√
ax2+bx+c∓
√
c
x
.
Uvedeme dále některé speciální případy integrálu typu (33a), které lze řešit pomocí
jiných substitucí, které zjednoduší počítání oproti užití Eulerových substitucí.
1. speciální případ
I :=
dx
√
ax2 + bx + c
(33b)
Řešíme úpravou výrazu pod odmocninou na součet čtverců. Nastanou dvě možnosti:
(1) a > 0:
I =
1
√
a
dx
x2 + b
a
x + c
a
=
1
√
a
dx
(x + b
2a
)2 + c
a
− b2
4a2
.
Označíme-li k := c
a
− b2
4a2 , pak substitucí t = x + b
2a
, dt = dx dostaneme
I =
1
√
a
dt
t2 + k
(24)
=
1
√
a
ln|t +
√
t2 + k|,
kde za k a t dosadíme zpět.
(2) a < 0:
I =
1
√
−a
dx
−x2 − b
a
x − c
a
=
1
√
−a
dx
b2
4a2 − c
a
− (x + b
2a
)2
.
10
Konstanta k2
:= b2
4a2 − c
a
musí být kladná, neboť jinak výraz pod odmocninou by byl
všude záporný a tudíž odmocnina by v reálném oboru nebyla nikde definována. Pak
substituce t = x + b
2a
, dt = dx vede na
I =
1
√
−a
dt
√
k2 − t2
(24)
=
1
√
−a
arcsin
t
k
,
kde opět za k a t dosadíme zpět.
2. speciální případ
I :=
Pn(x)
√
ax2 + bx + c
dx (33c)
kde Pn(x) je polynom stupně n > 0. Postupujeme následovně:
(1) Integrál I vyjádříme formálně ve tvaru
Pn(x)
√
ax2 + bx + c
dx = (A0xn−1
+ · · · + An−2x + An−1)
√
ax2 + bx + c +
+ An
dx
√
ax2 + bx + c
(2) Toto vyjádření zderivujeme a pak vynásobíme odmocninou
√
ax2 + bx + c.
Obdržíme:
Pn(x) = [(A0xn−1
+ · · · + An−2x + An−1)
√
ax2 + bx + c]′
√
ax2 + bx + c + An.
(3) Výpočtem snadno ověříme, že vpravo je rovněž polynom stupně n závislý na n + 1
neznámých parametrech A0, . . ., An. Tyto parametry vypočteme porovnaním koeficientů
u stejných mocnin polynomů vlevo a vpravo.
(4) A0, . . . , An dosadíme do vyjádření z kroku (1), kde integrál dx√
ax2+bx+c
je již známého
typu (33b).
3. speciální případ
dx
(Ax + B)
√
ax2 + bx + c
, A = 0 nebo
dx
x
√
ax2 + bx + c
(33d)
kde druhý z integrálů je zřejmě speciálním případem prvního při A = 1, B = 0. Budeme
se proto zabývat jen prvním integrálem. Pro x = −B
A
vede substituce
Ax + B =
1
t
⇒ x =
1
A
1
t
− B , dx = −
dt
At2
opět na integrál typu (33b), po jehož spočtení dosadíme zpět za t = 1
Ax+B
.
4. speciální případ (Goniometrické substituce)
R(x,
√
c2 − x2) nebo R(x,
√
c2 + x2) (33e)
Tyto integrály jsou speciálním případem (33a), kde c nahradíme kladnou konstantou
c2
> 0 a a = ±1. Provedení substituce x = c. sin t, dx = c. cos t dt pro první integrál,
resp. x = c.tg t, dx = c dt
cos2 t
pro druhý integrál, vede na integrál typu R(sin t, cos t) dt,
jehož řešení je popsáno v následujícím odstavci 3.2.
11
Řešené příklady: [No:Př.4.3 s.13-14]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/7 s.135-137].
3.1.3. Typ III (Binomický integrál).
I := xm
(a + bxn
)p
dx, a, b, m, n, p ∈ R, n = 0 (34)
Mohou nastat tyto případy:
(1) p ∈ N: Výraz (a + bxn
)p
rozvineme podle binomické věty, po roznásobení jeho součinu
s xm
dostaneme lineární kombinaci mocninných funkcí. Její integrál spočteme
užitím (28a) a (17).
(2) p ∈ Q − N, m, n, p ∈ Q, p := r
s
: Substituce z = xn
, x = z
1
n , dx = 1
n
z
1
n
−1
dz dává
I =
1
n
z
m
n .(a + bz)
r
s .z
1
n
−1
dz =
1
n
z
m+1
n
−1
.(
s
√
a + bz)r
dz.
a) Jestliže m+1
n
∈ Z, pak tento integrál je typu (32d) a tudíž pokračujeme v řešení
substitucí a + bz = ts
, která vede na integrál z racionální funkce. Výsledná
substituce je tedy a + bxn
= ts
.
b) Jestliže m+1
n
/∈ Z a m+1
n
+ p ∈ Z, upravíme vyjádření pro I dále takto:
I =
1
n
z
m+1
n
+p−1
.z−p
(
s
√
a + bz)r
dz =
1
n
z
m+1
n
+p−1
.
s a + bz
z
r
dz.
Dostáváme opět integrál typu (32d), takže tentokrát substituce a+bz
z
= ts
opět
vede na integrál z racionální funkce. Výsledná substituce je tedy ax−n
+ b = ts
.
(3) Ostatní případy: dá se ukázat (Čebyšev), že řešením jsou v tomto případě tzv. vyšší
transcendentní funkce: viz [No: s.17].
Řešené příklady: [No:Př.4.5 s.16-17]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/7 s.135-137].
3.2. Integrace goniometrických funkcí.
3.2.1 Integrál typu
R(sin x, cos x) dx (35a)
kde R(x1, x2) je racionální funkce dvou proměnných.
Postup řešení: Substitucí tg
x
2
= t se integrál převede na integrál z racionální funkce.
Ověřme to. Z pravoúhlého trojúhelníka o odvěsnách t = tg x
2
a 1 dostáváme dle Pythagorovy
věty:
cos
x
2
=
1
√
1 + t2
sin
x
2
=
t
√
1 + t2
a odtud užitím známých vzorců:
cos x = cos2 x
2
− sin2 x
2
=
1 − t2
1 + t2
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
=
2t
1 + t2
x = 2 arctg t
(14a)
⇒ dx =
2
1 + t2
dt.
12
Po dosazení do (35a) dostaneme integrál z racionální funkce v proměnné t, po jehož
spočtení dosadíme zpět t = tg x
2
.
Výše uvedenou obecnou substituci lze zjednodušit v těchto speciálních případech:
(1) R je lichá funkce v první proměnné: R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x).
V takovém případě vystačíme se substitucí cos x = t . Pak
sin x =
√
1 − cos2 x =
√
1 − t2, x = arccos t, dx
(12b)
= −
dt
√
1 − t2
.
(2) R je lichá funkce v druhé proměnné: R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x).
V takovém případě vystačíme se substitucí sin x = t . Pak analogicky
cos x = 1 − sin2
x =
√
1 − t2, x = arcsin t, dx
(12a)
=
dt
√
1 − t2
.
(3) R je lichá nebo sudá v obou proměnných: R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x).
V takovém případě vystačíme se substitucí tg x = t , kdy podobně jako při výše popsané
substituci tg x
2
= t dostáváme vyjádření:
cos x =
1
√
1 + t2
, sin x =
t
√
1 + t2
, x = arctg t, dx =
dt
1 + t2
.
Ve všech třech případech přitom dle potřeby užíváme známých goniometrických vzorců
cos2
x =
1 + cos 2x
2
, sin2
x =
1 − cos 2x
2
, sin x. cos x =
sin 2x
2
.
3.2.2 Integrál typu
sin mx. cos nx dx nebo cos mx. sin nx dx nebo sin mx. sinnx dx (35b)
Převedeme na lineární kombinaci integrálů z goniometrických funkcí (11a) nebo (11b)
úpravou integrované funkce pomocí známých součtových vzorců:
sin mx. cosnx =
1
2
[sin((m + n)x) + sin((m − n)x)]
cos mx. cosnx =
1
2
[cos((m + n)x) + cos((m − n)x)]
sin mx. sinnx =
1
2
[cos((m − n)x) − cos((m + n)x)].
3.2.3 Integrál typu
sinm
x. cosn
x dx (35c)
Jestliže m, n ∈ Z, pak se jedná o speciální případ (35a).
Jsou-li m, n ∈ Q, pak substituce sin x = t, cos x dx = dt, dává binomický integrál (34):
sinm
x. cosn
x dx = tm
(1 − t2
)
n−1
2 dt.
Řešené příklady: [No:Př.4.4 s.14-15]
Příklady do cvičení: [Min:VIII/5 s.132-133].
13
3.3. Integrace některých transcendentních funkcí.
Jedná se o některé integrály typu
R[ϕ(x)]ϕ′
(x) dx (36)
kde R je racionální funkce jedné proměnné.
Podle (30a) klademe substituci t = ϕ(x), dt = ϕ′
(x) dx, která vždy vede na integrál
z racionální funkce: R(t) dt. Příkladem mohou být integrály:
R(ln|x|)
x
dx,
R[arcsin(x)]
√
1 − x2
dx,
R[arctg (x)]
1 + x2
dx, R(eax
) dx.
V posledním případě stačí integrand R(eax
) upravit:
R(eax
) =
R(eax
)
aeax
aeax
dx.
Zlomek v tomto výrazu totiž opět představuje (jinou) racionální funkci.
Příklady do cvičení: [Min:VIII/8 s.137-138].
14