Cvičení 3: Riziko a nejistota vo financích Příklad Je zadaná tabulka s portfolii CP A a B na třech trzích. Trh CP mi si rA,B I A 0.22 0.30 0.86206897 B 0.31 0.32 0.15 II A 0.26 0.29 B 0.34 0.33 -0.06 III A 0.18 0.20 B 0.41 0.38 0.09 Úlohy : 1. Pro každý trh určete portfolio s minimálním rizikem (tedy vypočítat xi=podíly CP v portf.) 2. Vypočítejte pro tato portfolia očekávaný výnos mp. 3. Určete, na kterém trhu máme nejvýhodněji investovat. Úloha 1.Jestliže riziko má být minimální => položíme rovnici rizika dvojsložkového portfolia rovnou 0 a vypočítáme první derivaci. Aby v tomto bodě bylo lokální minimum, musí být druhá derivace v tomto bodu větší než 0 Z derivované rovnice rizika dvojsložkového portfolia vyjádříme neznámou xA, neboť druhou neznámou vypočítáme: xB = (1 - xA). xA = (s2B - sA,B )/( s2A - 2sA,B + s2sA,B = sA * sB * rA,B Trh CP si rA,B xi I A 0.30 53.79% B 0.32 0.15 46.21% II A 0.29 56.06% B 0.33 -0.06 43.94% III A 0.20 80.58% B 0.38 0.09 19.42% Úloha 2.Vypočítáme výnosnost a riziko a rozhodneme se pro nás nejvýhodnější trh. Trh CP mi xi mP I A 0.22 53.79% B 0.31 46.21% 26.16% II A 0.26 56.06% B 0.34 43.94% 29.51% III A 0.18 80.58% B 0.41 19.42% 22.47% Úloha 3.Nejvýhodnější je investovat na tom trhu, kde je při minimálním riziku největší výnos. Tedy předpokládáme, že to bude na trhu II, protože rizika nejsou stejná, ale minimální. Příklad Je zadaná tabulka investičních možností Firma 1 (Firma 2(Firma 3 (C) Kovariance m 0.8 0.3 0.6 s1,2 -0.1 s 1.2 0.8 1.1 s1,3 -0.5 s2,3 0.3 Úlohy : 1. Sformulujte a řešte zadanou úlohu s prodejem CP nakrátko Lagrangeovou metodou 2. Řešte uvedený model (úloha 1) s předem určenou výnosností 25% (v naší ukázce je to 90%) Podmínky portfolia při prodeji naS x i = 1 neplatí xi ł 0 Řešení :Funkce rizika pro trojsložkové portfolio je: s2P = x2A s2A + x2B s2B + x2C s2C + 2 [ xA xB sAB + xA xC sAC + xB xC sBC ] Budeme řešit model i s úlohou 2. Podmínková rovnice pro úlohu 1 je: xA + xB + xC = 1 z toho Lagrangeova rovnice 1 bud xA + xB + xC - 1=0 Podmínková rovnice pro úlohu 2 je: mA xA + mB xB + mC xC = 0,9 z toho Lagrangeova rovnice 2 bude: mA xA + mB xB + mC xC - 0,9 = 0 Lagrangeova rovnice je: L = s2P +(první pínka)+ l2 (dru(první pínka) Spočítáme první parciální derivace fce L podle podílů xi L' (xA) = 2 xA s2A + 2 xB sAB + 2 xC sAC + l1 + l2 mA L' (xB) = 2 xB s2B + 2 xA sAB + 2 xC sBC + l1 + l2 mB L' (xC) = 2 xC s2C + 2 xA sAC + 2 xB sBC + l1 + l2 mC Abychom mohli řešit soustavu pěti rovnic o pěti neznámých přidáváme rovnice omezení: xA + xB + xC - 1 = 0 mA xA + mB xB + mC xC - 0,9 = 0 Soustavu rovnic řešíme maticovým způsobom, kde řádky a sloupce budou prvky při neznámé : druhá strana xA xB xC l1 l2 rovnice xA 2 s2A 2 sAB 2 sAC 1 mA 0 xB 2 sAB 2 s2B 2 sBC 1 mB 0 xC 2 sAC 2 sBC 2 s2C 1 mC 0 l1 1 1 1 0 0 1 l2 mA mB mC 0 0 0.9 Dále pokračujeme s konkrétními vypočítanými hodnotami: MATICE A xA xB xC l1 l2 Matica B xA 2.88 -0.2 -1 1 0.8 0 xB -0.2 1.28 0.6 1 0.3 0 xC -1 0.6 2.42 1 0.6 0 l1 1 1 1 0 0 1 l 0.8 0.3 0.6 0 0 0.9 Inverzní matice k původní bude : Matice A-1 0.08400220.056001 -0.14-0.330971.200299 1 0 0 0 0 0.05600150.037334-0.093341.779354-2.53313 0 1 0-2.22045E-16-4.44089E-16 -0.140003-0.09334 0.23334-0.448391.332836 0-2.22045E-16 1 1.33227E-15-1.77636E-15 -0.3309681.779354-0.44839-3.835985.870823 8.3267E-17 4.16334E-16-1.94289E-16 1 4.44089E-16 1.2002987-2.533131.3328365.870823-10.6268 1.1102E-16-4.16334E-17 2.77556E-17 2.77556E-16 1 Součin matic A-1 * B a zároveň i výsledek řešení rovnic je: xA 0.7493 xB -0.5004667 xC 0.7511667 Tím jsou dané jednotlivé podíly CP v portfoliu s určenou l1 1.4477581 výnosností 90 % podle úlohy dva.Jak vidíme CP firmy B (2) l2 -3.6933358 máme koupený nakrátko, neboť jeho podíl má zaporné znaménko. ##### Sheet 2 ##### Úloha 1: Řešte jako předcházející ukázkovou úlohu. Trh CP si rA,B I A 0.263 0.21 B 0.128 0.215 0.18 II A 0.294 0.26 B 0.196 -0.706 0.14 III A 0.200 0.19 B 0.380 0.109 0.23 Úloha 2: Řešte jako předcházející ukázkovou úlohu. CP 1 CP2 CP3 Kovariance ri 0.268 0.193 0.326 s1,2 0.143 s 0.298 0.325 1.156 s1,3 -0.265 s2,3 0.314 Výnosnost portfolia volte 15% Úloha 3: Emise CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7 ri % CP1 80.5 82.7 85.3 85.1 123.9 22 3.5 1.9 CP2 184.7 131.5 69.4 49.5 58 -9.9 9.1 CP3 374.2 384.5 366.5 103.8 343.5 2.9 CP4 684.8 599.1 51.6 502.7 14 CP5 871.4 -21.2 520.4 10.7 CP6 89.7 74.4 3.4 CP7 574.6 5.9 1. Vypočítejte podíly cenných papírů v portfoliu, je-li povolen sell short, při minimalizaci rizika 2. Očekávaná výnosnost portfolia nechť je 9% Úloha 4 Cenný papír Oček. výnos Riziko C1 0.15 0.28 C2 0.21 0.42 1.      úloha: Sestavte portfolio a určete podíly CP tak, aby výnos portfolia byl 0,19 (19%). 2.      úloha: Pro takto stanovené portfolio vypočítejte riziko, jestliže koeficient korelace mezi cennými papíry bude 0,4. ##### Sheet 3 #####