9. FOURIEROVY ŘADY
9.1. Fourierova řada (FŘ).
Komplexní harmonické kmity:
E = {ek(t)}kZ, ek(t) =
1

T
ei 2kt
T =
1

T
eikt
=
1

T
(cos kt + i sin kt),
kde pro k = 0 značí
fk = |k|
T . . . frekvenci |k|-ho harmonického kmitu s periodou T
|k| ,
k = 2fk . . . jeho úhlovou rychlost.
E je ortonormální systém v L2([0, T]):
ej, ek =
T
0
ej(t)ek(t) dt =
1
T
T
0
ei
2(j-k)t
T dt = j,k =
1 pro j = k
0 pro j = k
E je dokonce úplný (báze) v L2([0, T])(bez důkazu):
x(t)  L2([0, T]) libovolná a T-periodická  x(t) =

k=-
xkek(t),
kde řada konverguje (bez ohledu na pořadí) dle normy 2 v prostoru L2([0, T]) a souřadnice xk jsou
jednoznačně určeny vztahem
x, ek =

j=xjej,
ek =

j=xj
ej, ek
j,k
= xk.
Komplexní tvar rozvoje do Fourierovy řady:
x(t) =

k=x,
ek
1

T
ck(x)
eikt
=

k=-
ck(x)eikt
,
kde (9.1)
ck := ck(x) =
1

T
x, ek =
1

T
T
0
x(t)
1

T
e-ikt
dt =
1
T
T
0
x(t)e-ikt
dt.
ck . . . k-tý komplexní Fourierův koeficient funkce x,
c0 . . . střední hodnota (stejnosměrná složka) funkce x,
{ck}kZ . . . komplexní fourierovské spektrum funkce x,
xk(t) := ckeikt
+ c-ke-ikt
, k  1
. . . k-tá harmonická komponenta funkce x o frekvenci fk.
Tvrzení 9.1 (Dirichletova věta). Jestliže T-periodická funkce x(t) má konečnou variaci na [0, T], pak
její FŘ konverguje bodově k x(t) v každém bodě t, kde je x(t) spojitá a k 1
2 (limt0+ x(t)+limt0- x(t))
v každém bodě nespojitosti (u funkce s konečnou variací je to vždy pouze konečný skok).
Důsledek 9.2 (viz [DoNo,Věta 8.4]).
Je-li T-periodická funkce x(t) po částech spojitá a po částech monotonní na [0, T], pak má konečnou
variaci a její FŘ konverguje bodově k x(t) v každém bodě t, kde je x(t) spojitá a k 1
2 (limt0+ x(t) +
limt0- x(t)) v každém bodě nespojitosti (u funkce po částech spojité je to vždy pouze konečný skok).
Je-li x(t) reálná funkce, lze (9.1) upravit na další dva ekvivalentní tvary:
Zřejmě c-k = ck. Označíme-li
ck =
1
2
(ak - ibk); ak, bk  R,
pak c0 = a0
2  R, b0 = 0 a dostáváme
1
2
Goniometrický tvar Fourierovy řady:
x(t) = c0 +

k=1
(ckeikt
+ c-ke-ikt
ckeikt
) =
a0
2
+

k=1
2Re(ckeikt
) =
=
a0
2
+

k=1
(ak cos kt + bk sin kt),
kde (9.2)
ak = 2Re(ck) = 2
T
T
0
x(t) cos kt dt,
bk = -2Im(ck) = 2
T
T
0
x(t) sin kt dt.
Položíme-li ak = Ak cos k a bk = Ak sin k, dostaneme
Amplitudově-fázový tvar Fourierovy řady:
x(t) =
a0
2
+

k=1
Ak(cos k cos kt + sin k sin kt) =
a0
2
+

k=1
Ak cos(kt - k)
xk(t)
.
kde (9.3)
Ak = 2|ck| = a2
k + b2
k,
k = arctan
bk
ak
.
Ak . . . amplituda k-té harmonické složky funkce x,
k . . . fázový posuv k-té harmonické složky funkce x (- < k  ),
c0 = a0
2 . . . střední hodnota (stejnosměrná složka) funkce x,
{Ak}kN . . . amplitudové spektrum funkce x,
{k}kN . . . fázové spektrum funkce x.
9.2. Parsevalova identita (PI).
Nechť x  L2([0, T]) (tj. s konečnou energií na intervalu [0, T]) je T-periodická, potom
x 2
2 =
T
0
|x(t)|2
dt = x, x =

j=-
cj

T
eij t

T
ej (t)
,

k=-
ck

T
eikt

T
ek(t)
= T

j,k=cjck
ej, ek
j,k
= T

k=-
|ck|2
.
Odtud pak dostáváme:
Komplexní tvar Parsevalovy identity:

k=-
|ck|2
=
1
T
T
0
|x(t)|2
dt
střední výkon na [0,T ]
<   {ck}kZ  2. (9.4)
Speciálně:
|c0|2
. . . střední výkon stejnosměrné složky,
1
T
T
0
|xk(t)|2
dt = |c-k|2
+ |ck|2
. . . střední výkon k-té harmonické složky.
3
Amplitudový tvar Parsevalovy identity (x reálná):

k=-
|ck|2
= |c0|2
+

k=1
(|c-k|2
+ |ck|2
)
2|ck|2=A2
k/2
=
a2
0
4
+
1
2

k=1
A2
k =
1
T
T
0
|x(t)|2
dt. (9.5)
Speciálně:
a2
0
4
. . . střední výkon stejnosměrné složky,
A2
k
2
. . . střední výkon k-té harmonické složky,
{2|ck|2
}kN = {
A2
k
2
}
k=1
. . . výkonová spektrální hustota,
{2T|ck|2
}kN = {
TA2
k
2
}
k=1
. . . energetická spektrální hustota.
(9.6)
9.3. Diskretizace Fourierovy řady.
Vypočteme hodnoty rozvoje x(t) do její komplexní FŘ (9.1) pouze na rovnoměrné diskrétní síti N
subintervalů: T = Nt, xn = x(nt), n  Z.
Obdržíme
xn
(9.1)
=

k=ckei
2k
Nt nt
=
[N
2 ]
k=-[N-1
2 ]
bck

m=ck+mN
ei
2(k+mN)n
N =
[N
2 ]
k=-[N-1
2 ]
ckei 2kn
N . (9.7)
kde [] značí celou část hodnoty.
Platí
ck  ck, neboť |ck|  0 pro k  ,
ck = ck, pokud ck = 0 pro |k|  N
2 (FŘ je konečná: fmax  N
2
1
T udává konečný
frekvenční obsah x(t)),
{ck}kZ je N-periodická posloupnost (ck = ck+mN , m  Z).
Po úpravě:
xn =
-1
k=-[N-1
2 ]
ckei 2kn
N +
[N
2 ]
k=0
ckei 2kn
N =
N-1
k=0
ckei 2kn
N , (9.8)
kde první ze sum jsme upravili záměnou sčítacího indexu r = k + N na tvar:
-1
k=-[N-1
2 ]
ckei 2kn
N =
N-1
r=-[N-1
2 ]+N
cr-N ei
2(r-N)n
N =
N-1
r=[N
2 ]+1
crei 2rn
N
s využitím vztahů
- N-1
2 + N = N
2 + 1 a cr = cr-N pro r = N
2 + 1, . . . , N - 1 (N-periodicita).
Označíme-li x = (x0, x1, . . . , xN-1)T
vzorky x(t) na její jedné periodě a
c = (c0, c1, . . . , cN-1)T
odhady Fourierových koeficientů, pak (9.8) určuje tzv. operátor diskrétní
Fourierovy transformace (x = DFT+
N (c)) dle následující definice.
4
Definice 9.1 (Diskrétní Fourierova transformace (DFT)).
DFT
N : CN
 CN
je lineární operátor X = W
N x určený maticí N × N:
W
N = Wkn
N 0k,nN-1
, kde WN = ei 2
N = cos 2
N  i sin 2
N je N-tá primitivní odmocnina z 1, tj.
WN
N = 1, ale Wk
N = 1 pro k = 1, . . . , N - 1. Tedy
X = (X0, X1, . . . , XN-1)T
, kde Xk =
N-1
n=0
ei 2kn
N xn pro k = 0, 1, . . . , N - 1.
Zřejmě W
N je symetrická matice a (W
N )
= WN .
Věta 9.2 (Věta o inverzi).
Platí W
N WN = W
N (W
N )
= NIN a tedy (W
N )-1
= 1
N WN a 1
N
W
N je unitární matice.
Důkaz. Označme A := [ar,s] = W
N WN , pak
ar,s =
N-1
n=0
Wrn
N W-ns
N =
N-1
n=0
W
n(r-s)
N =
N-1
n=0
qn
, q = Wr-s
N .
Odtud
ar,s =
N pro r = s
qN
-1
q-1 = 0 pro r = s
,
neboť qN
= W
N(r-s)
N = 1 a q = 1 pro r = s v důsledku 0 < |r - s|  N - 1.
Poznámka 9.3. V systému MATLAB jsou operátory DFT
N realizovány pomocí algoritmu tzv. rychlé
Fourierovy transformace implementovaných v procedurách fft a ifft takto:
X = WN
x = DFTN
(x) = fft(x)
a
x = (WN
)-1
X =
1
N
W+
N X =
1
N
DFT+
N (X) = ifft(X).
Důsledek 9.4. Podle (9.8), věty 9.2 a poznámky 9.3 platí
x = W+
N c = DFT+
N (c) = Nifft(c),
c = (W+
N )-1
x =
1
N
WN
x =
1
N
DFTN
(x) =
1
N
fft(x).