10
VÍTĚZSLAV VESELÝ
Definice 2.4.3.1 (Diskrétní Fourierova transformace (DFT)) [^ : C^ -> CN je lineární operátor X = W^
DFT± : C^ -> CN je lineární operátor X = W^ x určený maticí N x N:
W^- = [l7I/ivn]0<fe n<Ar_1) kde VFjv = e±8TÍ = cos ^ ± i sin ^ je #-tá primitivní odmocnina z 1, tj.
W^ = 1, ale Wfr + 1 pro k = 1, . . ., # - 1. Tedy
N-l
2nkn
X = (X0,X1,...,XN_1)T,     kdeXfe = J2e±Í^xn piok = 0,l,...,N-l
n = 0 N je  ojiiicmivaa iiiamuc  a   ^ v v N )      —   vv N .
Zřejmě WÍ- je symetrická matice a (WÍ-)* = W^
Věta 2.4.3.2 (Věta o inverzi).
Platí W^W^ = W^(W^)* = #/jv a tedy (W^)"1 = ^W^ a -^W^ je unitární matice.
Důkaz.  Označme A := [ars] = WNW^j-, pak
N-l                                N-l                           N-l
ar,s = J2 WrNnW^ns = J2 Wn/-S) =J2<ln,<l = WrN-s.
n=0                             n=0                        n=0
Odtud
I   N                 pro    r = s
q-1
n      — 1
------- — 0    pro    r ^ s
neboť qN = W^(r   s) = 1 a q ^ 1 pro r ^ s v důsledku 0 < |r - s| < N - 1.                                         D
Poznámka 2.4.3.3. V systému MATLAB jsou operátory DFT^y realizovány pomocí algoritmu tzv. rychlé Fourierovy transformace implementovaných v procedurách f f t a if f t takto:
X_ = W^a; = DFT^(a;) = íít(x)
x = (W-^-'X = ±W+X = ^DFT+ (X) = ifft(X)
Důsledek 2.4.3.4. Podle (24.8), věty 24.3.2 a poznámky 24.3.3 platí
x = W^8=DFT+(8) = JVifft(g),
(W+)"1* = ^W^x = -^DFT^a) = ^±±t(x)
2.4.4. Periodogram.
Periodogram = odhad energetické spektrální hustoty (2.4.6) reálné T-periodické funkce x(t), kde za ck, k = 1, . . . ,m, m := [ľ"1], dosadíme odhad ck z (2.4.7) spočtený pomocí DFT^ dle 2.4.3.4 po ekvidistantní diskretizaci jedné periody x(t):
T = N At, xn = x (n At), n = 0,í,...,N.
Periodogram je tedy posloupnost hodnot {ifc}™=1, kde
h = I(ujk) = 2T\ck\z = 2NAt
----X h
N
^At\Xk\2, k=í,...,m                   (2.4.9)
N-l                               N
^—\                  .- 2jrkt            ^—\                .- 2jrkt
Xk = }_^ xte      N    = 2^xte      n   . t=o                        t=i
Druhá rovnost je zde důsledkem TV-periodicity xq = x^.
ČASOVÉ ŘADY
11
Z hlediska kvalitativních závěrů nezáleží na multiplikativní konstantě, proto bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat Ať = 1 a dostáváme tak výsledný vztah pro hodnoty Ik periodogramu
ve tvaru
Ik = I(üJk) = -\Xk\2 = -lr£xtcoS—\   +(]>>sm— )    \,k = l,...,m.    (2.4.10)
Velká hodnota Ik indikuje velkou energii k-té harmonické komponenty, tj. silné zastoupení složky xk(t) = ckelu>kt + c_ke~lulkt = Ak cos(ujkt — ipk) v rozvoji x(t) do Fourierovy řady.
Věta 2.4.4.1.
Ik=2  J2  l(h)e-ilJ^ pro k = 1,2,...
\h\<N
kde j(h) je odhad autokovarianční funkce vektoru x = (x\, . . ., xn)t spočtený dle I.46.
Důkaz.
9            9             <)   ŕ N             \   ( N           \
Z    ,         ,0           Z          -----             Z      /   V--->               ■ 2nsk    \      I   \--->          „• 2ntk    \
h = j^\Xkf = -XkXk = - í X^.e-^j  (j>e ^ ) • Protože dle důkazu věty 2.4.3.2 platí
N                            N
E" 2 7T s h            X—"^       ■ 27rť&
e~í_""~ = ^e8-«- = 0 pro k   ^ 0(mod#),
lze psát
t=i
„NN
s=lt=l
1   AT-ft \h\<N         t = l
7(Ä)
D
2.4.5. Fisheruv test periodicity.
Položme m = [r1] a definujme statistiku
W =    max   Yk,      kde      Yfe             fe
k = l,...,m                                            1^3 = 1 *3
Protože Ij > 0 pro j = 1, 2, . . ., m, je 0 < VF < 1.
Nechť Xt = Pt + Et, Et ~ WW(0, <r2) gaussovský. Platí-li nulová hypotéza Ho '■   Xt = Et, pak testová statistika W má na intervalu [0, 1] rozdělení, pro nějž platí
m                                      ,     n
p(^>^)= ]r (-í^^ja-^r-1, o<*<i,
l-ja;>0
přičemž _P(VF > a;) Pd m(l — «)m_1 je dobrá aproximace pro m < 50.
Nechť g p (í — a) značí (1 — a)-kvantil rozdělení statistiky W (tabelováno), tj. P(W < <7f(1 — a)) = 1 — a. Pak Ho zamítáme s rizikem a, pokud W > <7f(1 — a). Je-li v takovém případě Iko = maxfe=i)    m !&, pak fco-tou harmonickou komponentu považujeme za významnou. Další významnou harmonickou komponentu zjistíme z periodogramu délky m—l, kde vynecháme Iko, a tak pokračujeme dále, dokud není hypotéza Ho přijata.
12                                                                                         VÍTĚZSLAV VESELÝ
2.4.6. Siegelův test periodicity.
Tento test je vhodnější než Fisheruv v případě většího množství harmonických komponent. Siegelova statistika je tvaru
m
gF(í - a))+, 0 < A < 1 (doporučená hodnota je A = 0,6).
k = l
Ho zamítáme s rizikem a, jestliže Ta  > tx(í — a), kde tx(í — a) je (1 — a)-kvantil rozdělení Ta (tabelováno).