10
VÍTĚZSLAV VESELÝ
Definice 2.4.3.1 (Diskrétní Fourierova transformace (DFT)) DFT± :       -> CN je lineární operátor X =       x určený maticí N x N:
W^- = [l7I/ivn]0<fe n<ar_1) kde Wn = e±í2& = cos ^ ± i sin ^ je N-tá primitivní odmocnina z 1, tj.
W$ = í,aleW^ípTok=í,...,N-í. Tedy
N-l
2nkn
X = (X0,X1,...,XN_1)T,    kde Xk = J2 e^^Xn pro k = 0, 1, ...,N- 1
n = 0
Zřejmě W^- je symetrická matice a (W^)* = W^-.
Věta 2.4.3.2 (Věta o inverzi).
Platí W^W^ = W^(W^)* = NIN a tedy (W^)"1 = ^W^ a ^=W^ je unitární matice. Důkaz. Označme A := [ars] = W^-W^-, pak
N-l N-l N-l
ar,s = J2 WrNnW^ns = J2 Wn/~s) = J2 1", 9 = WrN~s.
n=0 n=0 n=0
Odtud
I  N pro   r = s
q-1
a   — 1
--       — 0   pro   r ^ s
neboť qN = W^(r s) = 1 a q ^ 1 pro r ^ s v důsledku 0 < |r - s\ < N - 1. □
Poznámka 2.4.3.3. V systému MATLAB jsou operátory DFT^ realizovány pomocí algoritmu tzv. rychlé Fourierovy transformace implementovaných v procedurách f f t a if f t takto:
x_ = w^x = i>i rN■ 1 = fft.,1-.
x = (W^)"1* = ±W+X = ^DFT+ (X) = ifft(X)
Důsledek 2.4.3.4. Podle (2.4.8), věty 2.4.3.2 a poznámky 2.4.3.3 platí
x = W^Č = DFT+(Č) = #ifft(g),
(W+)"1* = ^W^x = ^BFT^(x) = ^fft(x)
2.4.4. Periodogram.
Periodogram = odhad energetické spektrální hustoty (2.4.6) reálné T-periodické funkce x(t), kde za Ck, k = 1, . . ., m, m := [iv~1 ], dosadíme odhad z (2.4.7) spočtený pomocí DFT^ dle 2.4.3.4 po ekvidistantní diskretizaci jedné periody x(t):
T = NAt, xn = x(nAt), n = 0,í,...,N.
Periodogram je tedy posloupnost hodnot {ifc}™=1, kde
h =/(wfc) = 2T\ck\2 = 2NAt
a
N-l N
\   ^ ; 2wkt \   ^ .- 2wkt
Xk =       xte     N   = 2^xte     « .
t=o t=i
Druhá rovnost je zde důsledkem TV-periodicity xq = x^.
—Xk
N
—At\Xk\
(2.4.9)
ČASOVÉ ŘADY
11
Z hlediska kvalitativních závěrů nezáleží na multiplikativní konstantě, proto bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat Ať = 1 a dostáváme tak výsledný vztah pro hodnoty Ik periodogramu
ve tvaru
Ik = I(wk) = -\Xk\2 = -l\^2xtcoS—\   +(E^sm^v-j   \,k = l,...,m. (2.4.10)
Velká hodnota Ik indikuje velkou energii k-té harmonické komponenty, tj. silné zastoupení složky Xk{t) = Ckelu>kt + C-k£~lu>kt = A-k cos(cjfeí — ipk) v rozvoji x(t) do Fourierovy řady.
Věta 2.4.4.1.
Ik=2        l(h)e-ilJ^ pro k = 1,2,...
\h\<N
kde j(h) je odhad autokovarianční funkce vektoru x = (a?i, . . ., xn)t spočtený dle 1.46. Důkaz.
Protože dle důkazu věty 2.4.3.2 platí
N jv
E.2nsk ^-. 2 7T t h
e~%~Ň~ = 2_^e%~Fr' = 0 Pro ^ O(modjV),
lze psát
t=i
„   jv íf
s=lt=l
^  N — h
|ft|<JV       t = l
7(ä)
□
2.4.5. Fisherův test periodicity.
Položme m = [jv^"1 ] a definujme statistiku
IV =   max   Yfe,     kde    Yfe Ik
fc = l,...,m 1^,3 = 1 h
Protože /j > 0 pro j = 1, 2, . . ., m, je 0 < W < 1.
Nechť Xt = Pt + Et, Et ~ WW(0, <r2) gaussovský. Platí-li nulová hypotéza Ho '■ Xt = Et, pak testová statistika W má na intervalu [0, 1] rozdělení, pro nějž platí
m / "v
p(^>^)= ]r (-ir^7j(i-„r-,o<,<i,
l-jx>0
přičemž _P(VF > a;)    m(l — «)m_1 je dobrá aproximace pro m < 50.
Nechť £ff(l — a) značí (1 — a)-kvantil rozdělení statistiky W (tabelováno), tj. P(W < <7f(1 — «)) = 1 — a. Pak iřo zamítáme s rizikem a, pokud W > <7f(1 — a). Je-li v takovém případě lfc0 = maxfe=i)   m Ik, pak fco-tou harmonickou komponentu považujeme za významnou. Další významnou harmonickou komponentu zjistíme z periodogramu délky m—l, kde vynecháme Iko, a tak pokračujeme dále, dokud není hypotéza Hq přijata.
12 VÍTĚZSLAV VESELÝ
2.4.6. Siegelův test periodicity.
Tento test je vhodnější než Fisherův v případě většího množství harmonických komponent. Siegelova statistika je tvaru
m
gF(í - a))+, 0 < A < 1 (doporučená hodnota je A = 0, 6).
k = l
Ho zamítáme s rizikem a, jestliže Ta > t\(í — a), kde t\(í — a) je (1 — a)-kvantil rozdělení Ta (tabelováno).