0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 7 Rostouci exponencialni trend 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 Klesajici exponencialni trend a) Rostoucí: = 1, = 1, 02 b) Klesající: = 5, = 0, 95 Obrázek 3.6.1. Exponenciální trend 3.6.8. Metody pro odhad trendu. x = (x1, . . . , xn)T . . . ekvidistantní pozorování náhodného procesu X = {Xt|t Z} e = (e1, . . . , en)T . . . pozorované chyby t {1, 2, . . . , n} Následují metody pro odhad růstového trendu v ekonomických časových řadách [1, str. 34­41]. 3.6.8.1. Exponenciální trend Model: Trt = t , , R, > 0, t = 1, 2, . . . , n. Tento model je vhodný pro popis trendu s konstantním koeficientem růstu Trt+2 - Trt+1 Trt+1 - Trt = t+2 - t+1 t+1 - t = , kde při > 0 dostáváme pro > 1 růst a pro 0 < < 1 pokles (obr. 3.6.1). V případě < 0 je tomu naopak. Algoritmus: Zlogaritmováním provedeme transformaci na aditivní model s lineárním trendem: ln Trt = ln + t ln , = (ln , ln )T . Odhad spočteme metodou lineární regrese dle odst. 2.5.1.1. Odlogaritmováním hodnot získaných podle vztahů (2.5.1)-(2.5.3) pak dostaneme výsledky pro původní model. Kontrolní kritérium adekvátnosti tohoto modelu: xt+1 xt , resp. ln xt = ln xt+1 - ln xt ln . Kontrolujeme tedy, zda tato veličina osciluje náhodně kolem konstantní úrovně. 3.6.8.2. Modifikovaný exponenciální trend Model: Trt = + t , , , R, > 0, t = 1, 2, . . . , n. Jedná se o tříparametrické zobecnění předchozího modelu. Používá se především v případě, kdy trend má konstantní koeficient růstu, resp. poklesu a přitom je shora, resp. zdola asymptoticky omezen. Tehdy volíme 0 < < 1, přičemž pak odpovídá asymptotické úrovni, ke které trend roste ( < 0), resp. klesá ( > 0). Viz obr. 3.6.2. 1 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 Rostouci modifikovany exponencialni trend 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 Klesajici modifikovany exponencialni trend a) Rostoucí: = -4, = 0, 95, = 5 b) Klesající: = 4, = 0, 95, = 1 Obrázek 3.6.2. Modifikovaný exponenciální trend Algoritmus: * Soubor pozorování x rozdělíme na stejně velké třetiny délky m (pokud n = 3m, vynecháme ze začátku řady n mod 3 pozorovaných hodnot). * Pozorování v jednotlivých třetinách sečteme. Užitím vzorce pro součet m členů geometrické řady S := m t=1 t = (m - 1)/( - 1) pak obdržíme tři rovnice o třech neznámých , , : 1 := m t=1 xt m t=1 Trt = m + S 2 := 2m t=m+1 xt 2m t=m+1 Trt = m + m S 3 := 3m t=2m+1 xt 3m t=2m+1 Trt = m + 2m S. * Systém rovnic vyřešíme postupnou eliminací jednotlivých neznámých: 3 - 2 = m S(m - 1) 2 - 1 = S(m - 1) m = 3 - 2 2 - 1 . Pak 2 - 1 = S(m - 1) = 2 - 1 S(m - 1) a 1 = m + S = 1 - S m . * Obdrželi jsme tak přibližné vztahy pro výpočet neznámých parametrů , , : = 3 - 2 2 - 1 1 m S = m - 1 - 1 = 2 - 1 S(m - 1) = 1 - S m . Kontrolní kritérium adekvátnosti tohoto modelu: Trt+1 Trt = + t+2 - ( + t+1 ) + t+1 - ( + t) = t+1 ( - 1) t( - 1) = . Kontrolujeme tedy, zda veličina xt+1/xt = (xt+2 - xt+1)/(xt+1 - xt) osciluje náhodně kolem konstantní úrovně. 3.6.8.3. Logistický trend Model: Trt = 1 + t , , , R, > 0, > 0, t = 1, 2, . . . , n. 3 Tento model dále rozšiřuje možnosti modifikovaného exponenciálního trendu, neboť má inflexní bod v t = - ln / ln , který zachycuje změnu akcelerace růstu (obr. 3.6.3). Toto tvrzení nyní ověříme: Trt = (ln )t (1 + t)2 = -(ln )Trt t 1 + t = ln Trt( - Trt), kde jsme použili - Trt = - 1+t = t 1+t . Oba členy Trt a - Trt působí proti sobě a příslušný lokální extrém odpovídající inflexnímu bodu nalezneme řešením rovnice Trt = 0: 0 = Trt = -ln [Trt( - Trt) - TrtTrt] = -ln Trt( - 2Trt) = 2Trt = 2 1+t 1 + t = 2 t = 1 ln + t ln = 0 t = -ln ln . Algoritmus: * Transformace časové řady: zt = xt xt , kde xt = xt+1 - xt. Označíme-li yt := Trt, pak yt Trt = -ln yt( - yt) a tedy yt yt - ln + ln yt. Protože xt = yt + et 1 xt = 1 yt + e (1) t a xt = yt + et, dostáváme zt = xt xt = yt yt + yte (1) t + et 1 yt + ete (1) t e (2) t = - ln + ln (xt - et) + e (2) t = - ln + ln xt + e (3) t , kde e (3) t = e (2) t - ln et. * Odhad parametrů a : Parametry odhadneme v lineárním modelu zt = -1 x1 ... ... -1 xn 1 2 + e (3) t , kde 1 := ln , 2 = ln = 1 . Pak = e b1 a = b1 b2 . * Odhad parametru : Odhad nalezneme z xt /(1 + t ), odkud t xt - 1 ln + t ln ln xt - 1 . Chybu této aproximace potlačíme zprůměrováním pro t = 1, 2, . . . , n: 1 n n t=1 (ln + t ln ) = ln + 1 n (ln ) n(n + 1) 2 . = 1 n n t=1 ln( xt - 1). Odtud po dosazení odhadů 1 = ln a = b1 b2 dostáváme výsledný odhad pro ln : ln = (n + 1)1 2 + 1 n n t=1 ln 1 2xt - 1 . . . tzv. Rhodesův vztah. Tedy pak = eln b . Kontrolní kritérium adekvátnosti tohoto modelu: Křivka 1. diferencí xt+1 - xt Trt osciluje kolem křivky podobné normální hustotě (obr. 3.6.3b)). Navíc 1/Trt se zřejmě chová jako modifikovaný exponenciální trend, takže kontrolujeme, zda 1 xt+2 - 1 xt+1 / 1 xt+1 - 1 xt osciluje kolem konstantní hodnoty. 3.6.8.4. Gompertzova křivka Model: Trt = e+t , , , R, > 0, t = 1, 2, . . . , n. 4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 Logisticky trend 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Derivace logistickeho trendu a) Logistická křivka b) Derivace logistické křivky Obrázek 3.6.3. Logistický trend: = 4, = 0, 95, = 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Gompertzova krivka 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Derivace Gompertzovy krivky a) Gompertzova křivka b) Derivace Gompertzovy křivky Obrázek 3.6.4. Logistický trend: = - ln 160, = 0, 95, = ln 160 Má podobné vlastnosti jako logistický trend, tj. opět je možno modelovat inflexi -- tentokrát pro < -1 v bodě t = - ln(-)/ ln . V tomto případě však 1. derivace Trt není symetrická kolem bodu inflexe, ale je zešikmena doleva (obr. 3.6.4). Algoritmus: Zlogaritmováním převedeme úlohu na modifikovaný exponenciální trend. Kontrolní kritérium adekvátnosti tohoto modelu: ln Trt se chová jako modifikovaný exponenciální trend, takže stačí kontrolovat, zda (ln xt+2 - ln xt+1)/(ln xt+1 - ln xt) osciluje kolem konstantní hodnoty. Literatura 1. Tomáš Cipra, Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, SNTL, Praha, 1986. 3.6.8