Časové řady
Vítězslav Veselý
Katedra aplikované matematiky, PřF MU
Stochastický proces: definice, příklady typických procesů, konzistentní systém distribučních funkcí, Kolmogorova věta, gaussovský proces, momentové charakteristiky (střední hodnota, autokova-rianční a autokorelační funkce), striktní a slabá stacionarita, bílý šum, ergodicita, speciální případy stacionárních procesů, vlastnosti autokovarianční, resp. autokorelační funkce, odhadnutá autokovarianční, resp. autokorelační funkce a její algebraická a statistická interpretace
Analýza časových řad: volba modelu a jeho identifikace, Box-Coxova transformace, běžné metody pro odhad deterministické komponenty a to jak parametrické (polynomiální regrese, růstové křivky, aj. ) tak neparametrické (číslicový filtr, exponenciální vyrovnávání, vyhlazování pomocí splajnů, jádrových funkcí, waveletů aj. ), testy náhodnosti.
Identifikace periodických komponent: metoda malého trendu, metoda klouzavého průměru, současný odhad trendové a sezónní složky v lineárním regresním modelu, diskrétní Fourierova transformace, periodogram, testy periodicity.
Lineární systémy: definice, lineární a cyklická konvoluce, kauzalita a stabilita, impulzní odezva, spektrální popis (přenosová funkce), filtry s konečnou a nekonečnou impulzní odezvou.
Nejlepší lineární predikce v časových řadách: prostor L2(Í2, A, V), nejlepší lineární predikce jako ortogonální projekce, Durbin-Levinsonův algoritmus, parciální autokorelační funkce.
Box-Jenkinsova metodologie (BJM): řady tvaru Yt — '^2JL_00 if>jXt-j obecná věta o konvergenci a její aplikace na stacionární proces včetně výpočtu střední hodnoty a autokovarianční funkce, obecné principy modelování neznámého systému.
ARMA procesy jako speciální případ BJM: kauzalita a invertibilita, metody výpočtu koeficientů kauzální, resp. invertované reprezentace a autokovarianční funkce ARMA(p, q) procesu.
AR a MA procesy jako speciální případy ARMA procesů: příklady výpočtu charakteristik pro procesy nižších řádů, předběžná identifikace a odhad parametrů.
Literatura
[1] Jiří Anděl. Statistická analýza časových řad. SNTL, Praha, 1976. [2] Jiří Anděl. Matematická statistika. SNTL, Praha, 1985.
[3] Tomáš Cipra. Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii. SNTL, Praha, 1986.
[4] Milan Meloun a Jiří Militký. Statistické zpracování experimentálních dat. Edice PLUS, Praha, 1994.
[5] Peter J. Brockwell and Richard A. Davis.  Time Series: Theory and Methods. Springer-Verlag, New York, 2-nd edition, 1991 (corrected 2-nd printing 1993).
[6] Lennart Ljung. SYSTEM IDENTIFICATION: Theory forthe User. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1987.
[7] Lennart  Ljung.     System Identification   Toolbox for use with MATLAB -  User's Guide. The MathWorks, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, Mass. 01760, July 1992.
[8] The MathWorks, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, Mass. 01760. NAG Foundation Toolbox For Use with MATLAB, April 1995.
[9] M. B. Priestley. Spectral Analysis and Time Series, volume I—II. Academie Press, London, 1989. Poznámka:
Cvičení probíhají s využitím systému MATLAB. Návaznost:
Statistika I a II, Fourierova analýza I a II, Analýza v komplexním oboru I, Lineární funkcionální analýza I, Matematický seminář (resp. znalost systému MATLAB).