Cviceni k predmetu PMMAT2
Cviceni 1 - pojem diferencialu a Tayloruv vzorec
Zapamtujte si nasledujici tvrzeni: Na intervalu J, kde funkce f(x) ma derivace az do radu
n + 1, muzeme funkci hodnotu funkce f v bode x  J aproximovat Taylorovym polynomem v
bode x0  J az do radu n.
f(x) =
f(x0) +
f(x0)
1!
(x - x0) +
f(x0)
2!
(x - x0)2
+    +
f(n)(x0)
n!
(x - x0)n
+ (1)
f(n+1)()
(n + 1)!
(x - x0)n+1
, kde   (x0, x). (2)
Cast (1) se nazyva Tayloruv polynom stupne n k funkci f (oznacime Tn(f)), cast (2) se nazyva
zbytek po Taylorove polynomu radu n k funkci f (oznacime Rn(f) ).
Priklad 1.
Aproximujte (priblizne vyjadrete) cislo e1.2. Staci jen dosadit do Taylorova vzorce za f(x) =
e1.2, f(x0) = e1, f(x0) = e, f(x0) = e, (x - x0) = 0.2. Odtud dostavame:
e1.2 .
= e1 + e
10.2 = 3.261938194 (aproximace T1(f))
e1.2 .
= e1 + e
10.2 + e
20.22 = 3.316303831 (aproximace T2(f))
e1.2 .
= e1 + e
10.2 + e
20.22 + e
60.23 = 3.319928206 (aproximace T3(f))
Porovnejte s hodnotou e1.2 = 3.320116923. Oko vidi, ze cim vyssi stupen n Taylorova polynomu,
tim lepsi aproximace.
Priklad 2.
Aproximujte (priblizne vyjadrete) cislo cos(61). Staci jen dosadit do Taylorova vzorce za
f(x) = cos(61), f(x0) = cos(60), f(x0) = - sin(60), f(x0) = - cos(60), (x - x0) = 
180 . Pozor
na vyjadreni (x - x0), 1 stupen je nutno vyjadrit prostrednictvim , tedy  je 180 stupnu,
jeden stupen je 
180 (jednoducha trojclenka). Odtud dostavame:
cos(61)
.
= cos(60) + - sin(60)
1

180 = 0.484885005 (aproximace T1(f))
cos(61)
.
= cos(60) + - sin(60)
1

180 + - cos(60)
2 ( 
180 )2 = 0.48480885 (aproximace T2(f))
cos(61)
.
= cos(60) + - sin(60)
1

180 + - cos(60)
2 ( 
180 )2 + sin(60)
6 ( 
180 )3 = 0.484809617 (aproximace
T3(f))
Porovnejte s hodnotou cos(61) = 0.48480962. Oko vidi, ze cim vyssi stupen n Taylorova polynomu,
tim lepsi aproximace.
Poznamka: Vsimnete si, ze neni treba zavadet pojem diferencialu, diferencial je vlastne Tayloruv
polynom radu 1, navic v diferecialnim poctu funkci jedne promenne pojem diferencialu
a derivace splyvaji. V diferencialnim poctu funkci vicepromennych ziskava diferencial zcela
novy rozmer, tam uz prehlizet nemuzeme.
Priklad 3.
Aproximujte cislo e s presnosti 10-3.
Jednoduchym dosazenim dostavame: e = e1 = 1 + 1
1! + 1
2! + ˙+ 1
n! + Rn, kde Rn = 1
(n+1)! e, kde
0 <  < 1. Tedy plati 0 < Rn < e
(n+1)! < 3
(n+1)! . Nerovnost 3
(n+1)! < 10-3,tj. (n + 1)! > 3000
1
je splnena pro n  6. Tedy e
.
= 1 + 1
1! + 1
2! + 1
3! + 1
4! + 1
5! + 1
6! ma chybu mensi nez 10-3.
Domaci ukol 1. (neni samozrejme povinny, ale neco podobneho bude v pisemce, takze kazdy
by si ho ve vlastnim zajmu mel spocitat sam)
Zkuste si aproximovat hodnotu cos(61) s presnosti 10-8 v bode cos(60).
Pristi cviceni budou obrazky (i barevne)!
Figure 1: Funkce f(x, y) = (x2 + y2) a g(x, y) = x2 - y2
2