Příklady k procvičení - nekonečné řady Matematika II
Rozhodněte o konvergenci, případně absolutní konvergenci nekonečné řady:
a)

n=1
(-2)n
3n+1
b)

n=1
(n+2)!
(n!)2
c)

n=1
(2n)!
n!(n+1)!
d)

n=1
5n+1
(3n)n
e)

n=1
(-3)n+1
n
2n(n+1)
f)

n=1
2n+3
(n+2)3
g)

n=1
(-1)n+1
(n+1)
n2+2n
Postup řešení
a)

n=1
(-2)n
3n+1
|an+1|
|an| =
1
3 ( 2
3 )n+1
1
3 ( 2
3 )n = 2
3  0, 7 < 1, podle podílového kritéria konverguje
absolutně.
b)

n=1
(n+2)!
(n!)2
limn
an+1
an
= limn
(n+3)!
(n+1)!(n+1)!  (n!)2
(n+2)! = limn
n+3
(n+1)2 = 0 < 1, podle
limitního podílového kritéria konverguje absolutně.
c)

n=1
(2n)!
n!(n+1)!
limn
an+1
an
= limn
(2(n+1))!
(n+1)!(n+2)!
n!(n+1)!
(2n)! = limn
(2n+2)(2n+1)
(n+2)(n+1) = 4,
diverguje.
d)

n=1
5n+1
(3n)n
limn
n

an = limn
5 n
5
3n = 0, podle odmocninového kritéria konverguje
absolutně.
e)

n=1
(-3)n+1
n
2n(n+1)
limn |an| = limn 3 (3)n
n
2n(n+1) = 3 limn(3
2 )n n
n+1 = , nekonverguje,
není splněna nutná podmínka konvergence.
f)

n=1
2n+3
(n+2)3
an = 2(n+2)-1
(n+2)3 = 2 n+2
(n+2)3 - 1
(n+2)3 = 2 1
(n+2)2 - 1
(n+2)3 < 2 1
(n+2)2 , tedy podle
srovnávacího kritéria konverguje absolutně.
g)

n=1
(-1)n+1
(n+1)
n2+2n
|an| = n+1
(n+1)2-1 > n+1
(n+1)2 = 1
(n+1) , podle srovnávacího kritéria absolutně
nekonverguje,
limn |an| = limn
n+1
n2+2n = 0, nutná podmínka konvergence je splněna,
navíc: |an+1| - |an| = n+2
(n+2)2-1 - n+1
(n+1)2-1 = (n+2)((n+1)2
-1)-(n+1)((n+2)2
-1)
((n+2)2-1)((n+1)2-1) =
-(n+2)(n+1)-1
((n+2)2-1)((n+1)2-1) < 0, tedy posloupnost absolutních hodnot členů je klesající,
takže původní alternující řada konverguje relativně.
1