Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko­správní fakulta Matematika B distanční studijní opora Miloslav Mikulík Luboš Bauer Brno 2005 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES -- Grundtvig. Za obsah produktu odpovídá výlučně autor, produkt nereprezentuje názory Evropské komise a Evropská komise neodpovídá za použití informací, jež jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES -- Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product Recenzoval: Doc. RNDr. Jindřich Klapka, CSc. Matematika B Vydala Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko­správní fakulta Vydání první Brno, 2005 c Miloslav Mikulík, Luboš Bauer, 2005 ISBN 80-210-3640-0 Identifikace modulu Znak KMMATB Název Matematika B Určení kombinované bakalářské studium Garant/autor doc. RNDr. M. Mikulík, CSc. Spoluautor RNDr. L. Bauer, CSc. Cíl Vymezení cíle Cílem textu " Matematika B" je přiblížit čtenáři ty partie matematiky, které jsou potřebné ve statistice a řadě ekonomických disciplín. Cílem textu není naučit studenta provádět perfektně numerické výpočty. Jde o to, aby čtenář pochopil jednotlivé matematické pojmy a naučil se je používat při řešení úloh ekonomického charakteru. To ale neznamená, že by se neměl brát zřetel i na numerickou stránku. Dovednosti a znalosti získané po studiu textů Student by se měl naučit kritickému přístupu k numerickým výpočtům, obzvláště v případě, že nad jejich prováděním nemá dostatečnou kontrolu (zaokrouhlování čísel, nevhodný výpočtový postup atd.). Student by měl získat schopnost používat posloupnosti a řady a to zejména ve finanční matematice. Měl by získat dostatečné znalosti z diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné a více proměnných potřebné v aplikacích. Časový plán (Pro celý předmět) prezenční část 12 hodin samostudium 102 hodin elaboráty 16 hodin Celkový studijní čas: 130 hodin Způsob studia Studijní pomůcky doporučená literatura: Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky. ISBN 80-85849-78-X Jan Coufal, Jindřich Klůfa, Miloš Kaňka, Jiří Henzler: Učebnice Matematiky pro ekonomické fakulty. ISBN 80-7187-1484 Vybavení ­ internet Návod práce se studijními texty Učební text předpokládá znalost středoškolské matematiky minimálně v rozsahu uvedeném v učebním textu " Matematika A". Učební text " Matematika B" je rozdělen do osmi kapitol. Každá kapitola je dále členěna do podkapitol. Na začátku každé kapitoly je uveden cíl, kterého by se studiem kapitoly mělo dosáhnout. Na konci kapitoly je shrnutí učiva a úlohy k procvičení. Na uvedený cíl i na uvedený souhrn je nutno se dívat orientačně. Jsou zde uvedeny pouze hlavní body. Jednotlivé kapitoly je nutno studovat podrobněji. Jednotlivé pojmy jsou sice zaváděné definicemi a vztahy mezi nimi matematickými větami, avšak nedoporučuji se definicím a větám učit " slovo od slova". Je nutno všemu porozumět a říci to vlastními slovy, případně s doprovodným náčrtkem. Jde o znalosti a ne o definice a věty. Doufám, že zvolená úprava textu zvýší jeho čitelnost. Zavádění vybraných důležitých pojmů a jejich vlastností je vloženo do rámečků. Na text vytištěný malým písmem se dívejte jen jako na orientační text. Slouží k získání nadhledu. Na odhad potřebný k samostudiu se dívejte jen orientačně. Látka obsažená v " Matematika B" je částečně probírána (nebo má být probírána) na gymnáziích. Záleží tedy na znalostech, s nimiž ke studiu přistupujete. Upozorňuji, že důkazy vět nejsou předmětem zkoušky. Kdo však chce látce dokonale porozumět, neměl by je zcela zavhrnout. Několik poznámek ke studiu. Bylo by ideální, abyste na každé soustředění byli připraveni, to znamená, abyste studovali látku dopředu. Na soustředěních byste se mohli pak zaměřit na část nepochopeného textu. Během semestru musíte vypracovat dva eleboráty, jejichž zadání dostanete od svého tutora s termínem odevzdání. Tutor má právo tento termín posunout. Dovoluji si Vás upozornit, že tato forma studia vyžaduje pravidelnost a soustavnost. V tomto učebním textu se seznamujete s větším počtem pojmů než v " Matematice A". Proto je nutno pravidelně studovat. Informace o zkoušce. Každý musí složit zkoušku v termínu, který je stano- ven studijním řádem. Zkouška sestává ze dvou částí: z písemné a z ústní. Obě tyto části absolvujete ve stejný den. Písemná zkouška obsahuje 4­6 otázek, výpočet příkladů a případně teoretické otázky. Obtížnost příkladů je stejná jako u příkladů na konci každé kapitoly, resp. u příkladů v textu. U zkoušky můžete používat kalkulačku a seznam vzorců, které si vlastnoručně napíšete. Ústní zkouška je zaměřena převážně na teorii. Upozorňuji, že důkazy vět se nezkoušejí. Definice a věty se neučte doslova. Uvádějte je vlastními slovy. Obsah Obsah Stručný obsah Kapitola 1 Posloupnosti a řady Zavádí se pojem posloupnosti a její limity. Vyšetřují se především aritmetické a geometrické posloupnosti. Zavádí se pojem řady a řeší se problematika její konvergence. Stručně je pojednáno o posloupnostech a řadách funkcí. Kapitola 2 Funkce ­ základní pojmy Tato kapitola je věnována především možnostem grafického zobrazení geometrických útvarů v prostoru En. Kapitola 3 Limita a spojitost funkce jedné proměnné Zavádí se pojem limity funkce jedné proměnné a spojitost funkce jedné proměnné. Vyšetřuje se spojitost součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou spojitých funkcí. Rovněž se vyšetřuje limita složené funkce a spojitost složené funkce. Kapitola 4 Derivace reálné funkce reálné proměnné Zavádí se pojem derivace funkce jedné proměnné. Odvozují se derivace elementárních funkcí. Dále se ukazuje, jak derivovat součet, součin, podíl dvou funkcí a složenou funkci. Kapitola 5 Použití derivací Zavádí se pojem lokálního extrému funkce jedné proměnné a globálního extrému funkce jedné proměnné na množině. Vyšetřuje se průběh funkce. Dále se výklad soustřeďuje na diferenciál a Taylorovu větu funkcí jedné proměnné. Kapitola 6 Neurčitý integrál Zavádí se pojem neurčitého integrálu a uvádějí se metody na jeho výpočet. Je rozebírán rozklad racionální lomené funkce na součet polynomů a parciálních zlomků a jejich integrace. Je zde též zmínka o integraci některých tříd funkcí. Kapitola 7 Určitý integrál Zavádí se pojem určitého integrálu, vyšetřuje se jeho existence a vlastnosti. Uvádějí se způsoby jeho výpočtu: metoda per partes a metody substituční. Zavádí se pojem nevlastního integrálu vzhledem k funkci a vzhledem k intervalu. Kapitola 8 Funkce n­proměnných Zavádí se pojem limity a spojitosti funkce n­proměnných. Vyšetřuje se spojitost součtu, součinu a podílu spojitých funkcí. Zavádí se pojem parciálních derivací. Uvádí se též lokální diferenciál a Taylorova věta funkcí n­proměnných. Je pojednáno o hledání extrémů funkcí n­proměnných. Úplný obsah 1. Posloupnosti a řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Zavedení pojmu posloupnosti 14 1.2. Aritmetická a geometrická posloupnost 17 1.3. Limita posloupností 21 1.4. Vlastnosti posloupností reálných čísel 29 1.5. Posloupnosti funkcí 36 1.6. Nekonečné řady 38 Číselné řady 38 1.7. Řady funkcí 50 1.8. Shrnutí, úlohy 52 2. Funkce ­ základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1. Shrnutí, úlohy 70 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 3.1. Limita a spojitost funkce jedné proměnné v daném bodě 73 3.2. Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí 83 3.3. Shrnutí, úlohy 92 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1. Zavedení pojmu derivace funkce 96 4.2. Derivace elementárních funkcí 109 4.3. Shrnutí, úlohy 127 5. Použití derivací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.1. Extrémy funkcí, věty o funkcích spojitých na intervalu 130 5.2. Věty o funkcích spojitých na intervalu a, b 133 5.3. Funkce monotónní na intervalu a lokální extrémy 136 5.4. Absolutní extrémy 143 5.5. Konvexita a konkávnost funkce 144 5.6. Hledání kořenů rovnice f(x) = 0 " metodou půlení intervalu". 153 5.7. ĽHôospitalovo pravidlo 154 5.8. Průběh funkce 158 5.9. Diferenciál a Taylorova věta 164 5.10. Shrnutí a úlohy 169 6. Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.1. Primitivní funkce 174 6.2. Metoda per partes (po částech). 181 6.3. Výpočet neurčitého integrálu substitucí. 183 Obsah 6.4. Integrování racionálních lomených funkcí 190 Polynom a jeho rozklad 191 Racionální lomená funkce a její rozklad 196 Integrace racionální lomené funkce 202 Integrace některých významných tříd funkcí 209 6.5. Shrnutí, úlohy 213 7. Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.1. Zavedení Riemanova integrálu 220 7.2. Vlastnosti Riemanova integrálu 228 7.3. Existence Riemanova integrálu 233 7.4. Výpočet Riemanova integrálu 236 Metoda per partes a metoda substituční pro výpočet určitého integrálu 243 7.5. Nevlastní integrály 247 7.6. Numerický výpočet určitého integrálu 252 7.7. Shrnutí, úlohy 256 8. Funkce n­proměnných .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 8.1. Limita a spojitost funkcí více proměnných 264 8.2. Parciální derivace 277 8.3. Totální diferenciál a Taylorova věta 287 8.4. Extrémy funkcí více proměnných 293 8.5. Shrnutí, úlohy 306 Úvod Úvod Znalosti diferenciálního a integrálního počtu jsou předpokladem při řešení řady ekonomických problémů. Výklad je zaměřen na výklad matematického aparátu potřebného při řešení konkrétních problémů. I tak je rozsah poměrně značný. Řešení praktických úloh je nutno většinou provádět na počítači. Proto porozumění jednotlivým pojmům a vztahům mezi nimi je důležitější než mechanické počítání. Tento učební text vychází z pilotní verze studijního textu Matematika B. Některé pasáže z pilotní verze byly přepracované. Doufám, že to přispělo ke zvýšení srozumitelnosti výkladu. Přesto se může stát, že při studiu narazíte na překlep. Předem se za každý případný překlep omlouvám. Prosím, abyste mne informovali o Vašich potížích při studiu tohoto textu. (Tel. 601 305677). Rád bych poděkoval panu Bc. Davidu Holcovi, který text nejen pečlivě vysázel, ale i vytvořil všechny obrázky uvedené v textu. Jimi přispěl nemalou mírou k jeho čitelnosti. Zároveň mu děkuji za tvůrčí přístup při přepisování textu. Autor Zavedení pojmu posloupnosti Aritmetická a geometrická posloupnost Limita posloupností Vlastnosti posloupností reálných čísel Posloupnosti funkcí Nekonečné řady Řady funkcí Shrnutí, úlohy Posloupnosti a řady 1 1. Posloupnosti a řady Cíl kapitoly Seznámit se s pojmem posloupnosti, zejména posloupnosti reálných čísel. Seznámit se s aritmetickými a geometrickými posloupnostmi. Pro tyto posloupnosti zvládnout výpočet n­tého členu užitím prvního členu a diference u aritmetické posloupnosti a prvního členu a kvocientu u geometrické posloupnosti. Osvojit si výpočet prvních n členů těchto posloupností. Seznámit se s pojmem limity posloupnosti reálných čísel a s pojmem divergence posloupnosti reálných čísel. Naučit se určovat limitu posloupnosti vytvořené z jiných posloupností, jejichž limity jsou známé. Seznámit se se zavedením Eulerova čísla e. Seznámit se s pojmem nekonečné číselné řady a se způsobem zavedení jejího součtu. Seznámení se s pojmem divergence číselné řady. Zavedení pojmu absolutní konvergence řad. Seznámit se s metodami na určování konvergence resp. divergence nekonečné číselné řady. Seznámit se se základními pojmy posloupností funkcí a řad funkcí. Časová zátěž Předpokládaná náročnost je 10 hodin. Úvod. V této kapitole pojednáme o posloupnostech a řadách. S těmito pojmy jste se již setkali. Hlavní pozornost věnujte aritmetickým a geometrickým řadám. Mají uplatnění např. ve finanční matematice. V aplikacích se setkáváme i s posloupnostmi a řadami funkcí. Číselná řada představuje číslo, ovšem jen v případě, že je konvergentní. Proto je v této kapitole věnována pozornost i metodám na zjišťování konvergence řady. Kriteria pro zjišťování konvergence řad není nutno znát zpaměti, ale je nutno se v nich dobře orientovat a správně je aplikovat v konkrétních případech. Posloupnosti a řady se často používají v numerických metodách matematiky. 1.1 Zavedení pojmu posloupnosti příklady posloupností Začněme s několika příklady. Příklad 1.1. Předpokládejme, že na začátku roku je založen účet se vstupním vkladem Z. Úrok ve výši p% se k vkladu připisuje vždy na konci roku a takto vzniklá částka se dále úročí. Určete částku Sn, na níž se vstupní kapitál Z zúročí za n let. Řešení. Úrok se počítá podle vzorce u = K i t, (1.1) 14 kde i = p 100 , t je doba v rocích, K kapitál, z něhož se počítá úrok. Za první rok se vložený kapitál Z zvýší o úrok Zi, tedy na částku S1 = Z + Zi. (1.2) Je tedy na začátku druhého roku na účtě kapitál S1 = Z(1 + i). (1.3) Tento kapitál vzroste za druhý rok o úrok S1i, tedy na částku S2 = S1 + S1i. (1.4) Je tedy po druhém roce na účtě podle (1.3), (1.4) kapitál S2 = Z(1 + i)2 . Tímto způsobem postupujeme dále. Po n-tém roce je na účtě kapitál Sn = Z(1 + i)n . Je-li např. p = 2%, Z = 1000 Kč, je za 10 let na účtě kapitál S10 = 1000 (1 + 0, 02)10 , to jest S10 = 1219 Kč. Ke každému přirozenému číslu n jsme tedy přiřadili číslo Sn. Budeme říkat, že čísla S1, S2, S3, . . . , Sn, . . . tvoří (nekonečnou) posloupnost. Příklad 1.2. Uvažujme interval a, b . Nechť n N a nechť x0, x1, . . . , xn jsou čísla, pro něž platí a = x0 < x1 < < xn-1 < xn = b. (1.5) Potom k číslu n je přiřazeno n intervalů x0, x1 , x1, x2 , . . . , xn-1, xn . Toto rozdělení označme Dn. Budeme říkat, že D1, D2, D3, . . . (1.6) tvoří posloupnost dělení intervalu a, b . 15 1. Posloupnosti a řady Přikročme nyní k definování posloupnosti. Definice 1.1. (Posloupnost) Nechť M je množina nějakých objektů. Každé zobrazení definované na množině přirozených čísel se závislým oborem M nazveme (nekonečnou) posloupností v M. Každé zobrazení definované na množině {1, 2, . . . , n} nazýváme konečnou po- sloupností. Jestliže M je množina reálných (komplexních) čísel, budeme mluvit o posloupnosti reálných (komplexních) čísel. Nechť a(n) je funkce definovaná na množině přirozených čísel. Jak bylo uvedeno, tvoří čísla a(1), a(2), . . . (1.7) posloupnost. Místo a(n) jsme zvyklí u posloupností psát an. Číslo an nazýváme n-tým členem posloupnosti. Posloupnost (1.7) lze pak psát jako a1, a2, . . . (1.8) nebo jako {an} n=1 . (1.9) Na obr. 1.1 je znázorněno několik členů dané posloupnosti {an} n=1 reálných čísel. 1 2 3 . . . n a1 a2 a3 an x y Obrázek 1.1: Body reprezentující členy posloupnosti. Ke grafickému znázornění posloupnosti {an} n=1 reálných čísel stačí většinou znázornit průměty bodů [n, an], n = 1, 2, . . . do osy y. Tuto osu jsme zvyklí kreslit na vodorovnou přímku. Viz obr. 1.2. 16 a1 a2 a3an Obrázek 1.2: Znázornění posloupnosti. Jako příklad uveďme posloupnost 1 n2 n=1 . Jestli n-tý člen této posloupnosti označíme an, to jest, jestliže an = 1 n2 , n = 1, 2, . . . , je např. a5 = 1 25 , a7 = 1 49 , atd. Jestliže M je množina funkcí, definovaných na intervalu I, budeme mluvit o posloupnosti funkcí. Jestliže se tedy ke každému přirozenému číslu n přiřadí funkce fn(x), x I, dostáváme posloupnost f1(x), f2(x), . . . x I. Zapisujeme ji též jako {f(x)} n=1 , x I. Jako příklad uveďme posloupnost funkcí {xn } n=1 na intervalu 0, 1 . Na obr. 1.3 jsou nakresleny první tři členy této posloupnosti. y = x y = x2 y = x3 0 1 1 Obrázek 1.3: Posloupnosti funkcí {xn } n=1. Zopakujme si následující speciální číselné posloupnosti, které byste měli znát z dřívějšího studia. 1.2 Aritmetická a geometrická posloupnost aritmetická posloupnostAritmetická posloupnost. Číselnou posloupnost {an} n=1 nazýváme aritmetickou, jestliže existuje takové číslo d, zvané diference, že an+1 - an = d, n = 1, 2, . . . . (1.10) 17 1. Posloupnosti a řady Jako příklad uveďme posloupnost n + 3 5 n=1 . (1.11) Označíme-li an = n+3 5 pro n = 1, 2, . . . , dostáváme an+1 - an = (n + 1) + 3 5 n + 3 5 . Po úpravě an+1 - an = 1 5 pro n = 1, 2, . . . . Je tedy posloupnost (1.11) aritmetická. Aritmetická posloupnost {an} n=1 je určena např. prvním členem a1 a diferencí d. Potom an = a1 + (n - 1)d, n = 2, 3, . . . (1.12) V různých aplikacích se pracuje se součtem sn prvních n členů aritmetické posloupnosti {an} n=1. Připomeňme si, že sn = a1 + an 2 n. (1.13) Jako příklad si uveďme aritmetickou posloupnost {an} n=1, v níž a1 = 4 5 , d = 1 5 . (1.14) V tomto případě je podle (1.12) an = 4 5 + (n - 1) 1 5 . Po úpravě dostáváme an = n + 3 5 . Např. a5 = 5+3 5 , to jest a5 = 8 5 . V tomto příkladě je např. podle (1.13) s5 = a1 + a5 2 5, takže po dosazení s5 = 4 5 + 8 5 2 5. Po vyčíslení dostáváme s5 = 6. 18 Příklad 1.3. Předpokládejme, že na konto v pěněžním ústavu začneme ukládat částku K na začátku každé m-tiny roku (m je dané přirozené číslo). Částka K uložená na začátku j-té m-tiny roku, j = 1, 2, . . . , m, se úročí danou úrokovou mírou p% po dobu t = m-j+1 m roku. Na konci roku se úroky připisují najednou na uvedené konto. Určeme uloženou částku i s úrokem z této částky za dobu jednoho roku. Řešení. Na obr. 1.4 je na číselné ose vyznačeno rozdělení roku na m stejně dlouhých období a vyznačeny vklady ve výši K na začátku každé m-tiny roku. Položme i = p 100 . První vklad se úročí po dobu celého roku, takže je 0 1 2 3 m - 1 m. . . K K K K K Obrázek 1.4: Znázornění vkladů. z něho podle (1.1) úrok ve výši u1 = Ki m m . Druhý vklad se úročí po dobu m-1 m roku, takže ke konci roku je z něho úrok u2 = Ki m - 1 m . Tímto způsobem dále postupujeme. Poslední m-tý vklad se úročí po dobu 1 m roku, takže ke konci roku je z něho úrok um = Ki 1 m . Čísla u1, u2, . . . , um tvoří m členů aritmetické posloupnosti. Jejich součet je sm = K i m (m + (m - 1) + + 2 + 1) a podle (1.13) odtud dostáváme sm = K i m m + 1 2 m, to jest sm = K m + 1 2 i. Na konci roku bude na účtu celkem částka S rovna uložené částce mK vkladů plus úroky ve výši sm. Je tedy S = mK + K m + 1 2 i. Úpravou dostáváme S = mK 1 + m + 1 2m i . (1.15) 19 1. Posloupnosti a řady geometrická posloupnost Geometrická posloupnost. Číselnou posloupnost {an} n=1 nazýváme geometrickou, jestliže existuje takové číslo q, zvané kvocient, že an+1 = an q, n = 1, 2, . . . . (1.16) Jako příklad uveďme posloupnost 2n 3n+1 n=1 . Abychom dokázali, že tato posloupnost je geometrická, položme an = 2n 3n+1 a vypočítejme an+1 an . Dostáváme an+1 an = 2n+1 3n+2 2n 3n+1 = 2n+1 3n+1 2n 3n+2 = 2 3 pro n = 1, 2, . . . . Je tedy daná posloupnost geometrická s kvocientem q = 2 3 . Geometrická posloupnost {an} n=1 je určena např. prvním členem a1 a kvocientem q. Potom an = a1 qn-1 , n = 2, 3, . . . (1.17) V různých aplikacích se pracuje se součtem sm prvních m členů posloupnosti. Připomeňme si, že sm = a1 1 - qm 1 - q pro q = 1. (1.18) Skutečně, sm = a1 + a1q + + a1qm-1 . Úpravou sm = a1(1 + q + + qm-1 ). (1.19) Poněvadž (1 - q) (1 + q + + qm-1 ) = 1 - qm , (1.20) dostáváme z (1.19), (1.20) vztah (1.18). Jako praktický příklad na geometrickou posloupnost je možno uvést výše uvedený příklad 1.1 nebo následující příklad. Příklad 1.4. Předpokládejme, že na začátku každého roku se uloží na konto částka K. Na konci každého roku se stav konta zvýší o úrok. Určeme částku S na kontě po n letech při roční úrokové míře p%. Řešení. Na obr. 1.5 jsou na číselné ose vyznačeny vklady na začátku každého roku. Označme i = p 100 a počítejme stav konta po n letech. První vklad se 20 0 1 2 3 n - 1 n. . . K K K K K Obrázek 1.5: Znázornění vkladů. podle příkladu 1.1 zúročí po n letech na částku S1 = K(1 + i)n . (1.21) Druhý vklad se podle příkladu 1.1 zúročí po n - 1 letech na částku S2 = K(1 + i)n-1 . (1.22) Tímto způsobem pokračujeme dále, až poslední vklad se podle příkladu 1.1 zúročí za jeden rok na částku Sn = K(1 + i). (1.23) Stav konta S po n letech bude tedy roven S = S1 + S2 + + Sn. (1.24) Dosazením (1.21), (1.22), (1.23) do (1.24) dostáváme S = K(1 + i) 1 + (1 + i) + + (1 + i)n-1 . (1.25) Výraz v hranaté závorce je součet n členů geometrické posloupnosti. Podle (1.18) dostáváme z (1.25) S = K(1 + i) 1 - (1 + i)n 1 - (1 + i) . Tedy S = K 1 + i i ((1 + i)n - 1) . (1.26) 1.3 Limita posloupností limita posloupnosti Začněme s několika příklady, jimiž se pokusíme přiblížit čtenáři pojem limity posloupnosti. Příklad 1.5. Uvažujme posloupnost reálných čísel 1 n n=1 . (1.27) Položme an = 1 n . Znázorněme si několik členů této posloupnosti na číselné ose, viz obr. 1.6. Vidíme, že s rostoucím n se číslo an " přibližuje" k nule, avšak žádné číslo z an není rovno 0. Po precizování slova " přibližuje se" budeme říkat, že posloupnost {an} má limitu rovnu 0. 21 1. Posloupnosti a řady 0 a4 = 1 4a3 = 1 3 a2 = 1 2 a1 = 1 Obrázek 1.6: První členy posloupnosti {1/n}. Příklad 1.6. Uvažujme posloupnost reálných čísel n2 + 1 n n=1 . (1.28) Položme an = n2+1 n , n = 1, 2, . . . . Je tedy a1 = 2, a2 = 5 2 , a3 = 10 3 , a4 = 17 4 , . . . Vidíme, že množina čísel obsahující všechna čísla an není shora ohraničená. Budeme říkat, že posloupnost (1.28) diverguje k +. Opět je nutno precizovat, co znamená, že posloupnost diverguje k +. Příklad 1.7. Uvažujme posloupnost reálných čísel {(-1)n } n=1 . (1.29) Položme an = (-1)n , n = 1, 2, . . . . Tedy a1 = -1, a2 = 1, a3 = -1, a4 = 1, . . . Vidíme, že množina obsahující všechna čísla an, to jest množina {-1, 1}, je jak shora, tak i zdola oharničená, avšak čísla an se s rostoucím n " nepřibližují" k žádnému číslu. Budeme říkat, že posloupnost (1.29) diverguje (osciluje). Po tomto úvodu přikročme k zavedení pojmu limita posloupnosti. Definice 1.2. (Limita posloupnosti) Nechť M je množina nějakých objektů s metrikou . Dále nechť {an} n=1 (1.30) je posloupnost prvků z M. Řekneme, že M je limitou posloupnosti (1.30), a píšeme lim n an = , nebo an (pro n ), jestliže k libovolnému > 0 existuje takové n0 N, že pro všechna n > n0 platí (an, ) < . 22 Jestliže posloupnost (1.30) má v M limitu, nazveme ji konvergentní. Jestliže posloupnost (1.30) nemá v M limitu, nazveme ji divergentní. Poznámka. Definice 1.2 nic nevypovídá o způsobu nalezení limity posloupnosti. Uvádí pouze jak zjistit, zda určité M je nebo není její limitou. (Jak to zjistit, může být v konkrétních úlohách obtížný problém.) Na obr. 1.7 je znázorněna konvergentní posloupnost {an} n=1 s limitou . a1 a2 an0+1 an0+2 M Obrázek 1.7: K definici limity posloupnosti. Jestliže lim n an = , potom (an, ) < pro n > n0. Body a1, a2, . . . , an0 (tedy konečný počet bodů) mohou mít od libovolnou vzdálenost. Jestliže (an, ) < (1.31) platí pro všechna n s výjimkou konečného počtu bodů, říkáme, že (1.31) platí skoro všude. Definici limity posloupnosti prvků z metrického prostoru M můžeme tedy pozměnit takto: Definice. Nechť M je množina s metrikou . Řekneme, že posloupnost {an} n=1, an M, konverguje k M, jestliže pro libovolné > 0 je (an, ) < pro skoro všechna n. Věta 1.1. (Počet limit) Každá posloupnost {an} n=1 prvků z M s metrikou má nejvýše jednu limitu. Důkaz: Předpokládejme, že existuje posloupnost {an} n=1 prvků z M, která má alespoň dvě limity, označme je , , kde = . 23 1. Posloupnosti a řady Zvolme libovolné > 0. Potom existují taková n1, n2, že (an, ) < 2 pro n > n1 (an, ) < 2 pro n > n2. Položme n0 = max(n1, n2). Potom pro n > n0 platí (, ) (, an) + (an, ) < . (1.32) Poněvadž , jsou pevné body v M a = , nemůže (1.32) platit pro libovolné > 0. Má tedy každá posloupnost {an} n=1 prvků z M nejvýše jednu limitu. Jestliže množinou M v definici 1.2 je množina reálných čísel R a vzdálenost v ní je definovaná vztahem (x, y) = |y - x| pro x, y R, lze definici 1.2 nahradit následující definicí. Definice 1.3. (Limita číselné posloupnosti) Nechť {an} n=1 (1.33) je posloupnost reálných čísel. Nechť R. Řekneme, že posloupnost (1.33) má limitu rovnu a píšeme lim n an = , resp. an (pro n ), (1.34) jestliže k libovolnému číslu > 0 existuje takový index n0, že pro všechny indexy n > n0 je |an - | < . (1.35) Jestliže neexistuje vlastní limita lim n an, potom posloupnost (1.33) nazýváme divergentní. Poznámka. Vztah (1.35) lze nahradit ekvivalentním vztahem - < an < + , pro n > n0. (1.36) Na obr. 1.8 je znázorněno několik členů posloupnosti (1.33) reálných čísel s limitou . divergentní posloupnosti Rozdělení divergentních posloupností reálných čísel. Divergentní posloupnosti se dělí do následujících skupin. 24 - + y x 1 2 3 4 . . . n0 n0 + 1n0 + 2n0 + 3n0 + 4 Obrázek 1.8: K definici limity posloupnosti reálných čísel. a) Řekneme, že posloupnost reálných čísel {an} n=1 diverguje k + (-) a píšeme lim n an = ( lim n an = -), jestliže k libovolnému číslu K existuje takové číslo n0, že pro všechna n, pro něž je n > n0, platí an > K (an < K). Místo rčení " posloupnost {an} n=1 diverguje k + (-)" se používá též rčení " posloupnost {an} n=1 má nevlastní limitu + (-)". b) Jestliže posloupnost reálných čísel je divergentní a nemá ani nevlastní limitu + ani nevlastní limitu -, říkáme, že osciluje. Nechť {an} n=1 (1.37) je posloupnost reálných čísel. Jestliže lim n an = (-), říkáme, že posloupnost (1.37) diverguje k + (-). Jestliže neexistuje vlastní ani nevlastní lim n an, říkáme, že posloupnost (1.37) osciluje. Příklad 1.8. Nechť c je libovolné reálné číslo. Položme an = c pro n = 1, 2, . . . Potom lim n an = c. 25 1. Posloupnosti a řady Důkaz: Nechť > 0 je libovolné reálné číslo. Položme n0 = 1. Potom pro všechna n n0 platí |an - c| = |c - c| = 0 < . Je tedy skutečně lim n c = c. Příklad 1.9. Posloupnost 1 n n=1 je konvergentní a limn 1 n = 0. Důkaz: Zvolme libovolné číslo > 0. Nechť n0 je číslo pro něž je n0 > 1 . Je-li tedy n > n0, je n > 1 , takže an = 1 n < . To znamená, že pro n > n0 je |1 n - 0| < . Je tedy skutečně lim n 1 n = 0. Příklad 1.10. Nechť an = n2 pro n = 1, 2, . . . . Potom posloupnost {an} n=1 diverguje k +. Důkaz: Předpokládejme, že k je libovolné číslo větší než 1. Zvolme n0 tak, že n0 > k. Potom pro všechna n > n0 je an = n2 > n2 0 > k2 , takže an > k. Odtud lehce nahlédneme, že an > k pro libovolné k. Tedy lim n an = . Příklad 1.11. Nechť an = (-1)n pro n = 1, 2, . . . . Potom posloupnost {an} n=1 nemá vlastní ani nevlastní limitu, tedy osciluje. Uvažujme tyto možné případy. a) Poněvadž pro K = 2 není an > K pro žádné n, není lim n an = . b) Poněvadž pro K = -2 není an < K pro žádné n, není lim n an = -. c) Předpokládejme, že existuje R tak, že lim n an = . Zvolme = 1 4 . Potom v intervalu ( - , + ) nemohou ležet současně čísla a2n = (-1)2n = 1, a2n+1 = (-1)2n+1 = -1, neboť |a2n - a2n+1| = 2 > . Tedy číslo není limitou vyšetřované posloupnosti. Posloupnost {(-1)n } n=1 tedy nemá ani vlastní ani nevlastní limitu, tedy osciluje. Příklad 1.12. Uvažujme posloupnost bodů z R2 {[an, bn]} n=1, (1.38) kde an = 1 - 1 n , bn = 1 n . V R2 uvažujme Euklidovskou metriku . Ukažme, že limitou posloupnosti (1.38) je bod [1, 0]. Skutečně, zvolme > 0. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že 0 < < 1. Potom ([an, bn], [1, 0]) = 1 n2 + 1 n . 26 Tedy pro n > 2 2 je ([an, bn], [1, 0]) < . Posloupnost (1.38) tedy konverguje k bodu [1, 0]. Vybraná posloupnost. Nechť {an} n=1 (1.39) je posloupnost a nechť {ki} i=1 je taková posloupnost přirozených čísel, že k1 < k2 < k3 < . . . . Potom posloupnost {aki } i=1 nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti 1.39. Příklad 1.13. Nechť ki = 2i, i = 1, 2, 3, . . . . Potom posloupnost 1 2 , 1 4 , 1 6 , . . . je vybraná z posloupnosti 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , 1 7 , . . . . Je zřejmé, že jestliže lim n an = , kde R a {aki } i=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {an} n=1, potom lim i aki = . Posloupnosti reálných čísel Definice 1.4. (Ohraničená posloupnost) Nechť {an} n=1 je posloupnost reálných čísel. Řekneme, že {an} n=1 je shora (zdola) ohraničená, jestliže množina P, obsahující právě všechny prvky posloupnosti {an} n=1, je shora (zdola) ohraničená. Posloupnost {an} n=1 je ohraničená, je-li zdola i shora ohraničená. Příklad 1.14. Posloupnost {1 n } n=1 je ohraničená, neboť 0 < 1 n 1 pro všechna n = 1, 2, . . . . 27 1. Posloupnosti a řady Definice 1.5. (Posloupnost neklesající) Nechť {an} n=1 je taková posloupnost reálných čísel, že a1 a2 an . . . (a1 < a2 < < an < . . . ). Potom říkáme, že posloupnost {an} n=1 je neklesající (ros- toucí). Příklad 1.15. Posloupnost {1 - 1 n } n=1 je rostoucí, neboť 1 - 1 n < 1 - 1 n + 1 pro n = 1, 2, . . . . Definice 1.6. (Posloupnost nerostoucí) Nechť {an} n=1 je posloupnost reálných čísel. Říkáme, že {an} n=1 je nerostoucí (klesající), jestliže a1 a2 an . . . (a1 > a2 > > an > . . . ). Příklad 1.16. Posloupnost {1 n } n=1 je klesající, neboť 1 n > 1 n + 1 pro n = 1, 2, . . . . Pro neklesající (nerostoucí) posloupnosti platí tyto dvě věty: Věta 1.2. (Věta o existenci limity) Nechť {an} n=1 je ohraničená a neklesající (nerostoucí) posloupnost reálných čísel. Potom lim n an = sup n an = lim n an = inf n an = , kde R. Důkaz: Důkaz provedeme pro neklesající posloupnosti. Nechť sup n an = . Zvolme > 0. Pak podle definice suprema existuje n0 tak, že - < an0 < . 28 Potom ale pro všechna n n0 je - < an < . Je tedy lim n an = . Podobně se dokáže další část věty. Tento důkaz ponecháváme čtenáři. Věta 1.3. (Věta o existenci limity) Nechť {an} n=1 je neklesající (nerostoucí) a neohraničená posloupnost. Potom lim n an = lim n an = - . Důkaz: Důkaz vyplývá z definice nevlastních čísel -, . 1.4 Vlastnosti posloupností reálných čísel Věta 1.4. Nechť {an} n=1 je posloupnost reálných čísel a nechť lim n an = A, kde A R 1) . (1.40) Nechť c R. Pak lim n can = cA, pokud cA má smysl. (1.41) Důkaz: Mohou nastat tyto případy. ) Nechť A R a nechť c > 0. Podle definice vlastní limity posloupnosti k libovolnému > 0 existuje takové n0, že A - c < an < A + c pro n > n0. (1.42) Vynásobíme-li (1.42) číslem c, dostáváme cA - < can < cA + . Je tedy v tomto případě lim n can = cA = c lim n an. 1) R = R {-, } 29 1. Posloupnosti a řady ) Nechť A R a nechť c < 0. Podle definice vlastní limity posloupnosti k libovolnému > 0 existuje n0 tak, že A + c < an < A - c pro n > n0. (1.43) (Zvažte, že c < 0.) Vynásobíme-li (1.43) daným záporným číslem c, dostáváme cA - < can < cA + pro n > n0. Je tedy v tomto případě lim n can = cA = c lim n an. ) Je-li c = 0, A R, je can = 0 pro n = 1, 2, . . . , takže lim n can = 0 = cA. ) Je-li c = 0, A = +, resp. A = -, nemá cA smysl. ) Nechť A = , c > 0. Potom k libovolnému K R existuje n0 tak, že an > K c pro n > n0. (1.44) Vynásobením (1.44) číslem c dostáváme can > K pro n > n0. Je tedy v tomto případě lim n can = . ) Nechť A = , c < 0. Potom k libovolnému K R existuje n0 tak, že an > - K c pro n > n0. (1.45) Vynásobením (1.45) číslem c (c < 0 dle předpokladu) dostáváme can < -K pro n > n0. Je tedy v tomto případě lim n can = c lim n an = cA = -. Podobně se dokáže případ, kdy A = -. 30 Věta 1.5. Nechť {an} n=1, {bn} n=1 jsou takové posloupnosti reálných čísel, že lim n an = A, lim n bn = B, kde A, B R 2) . (1.46) Potom platí lim n (an bn) = A B, (1.47) lim n (an bn) = A B, (1.48) a je-li navíc bn = 0, n = 1, 2, . . . , potom platí lim n an bn = A B , (1.49) pokud pravé strany v (1.47), (1.48), (1.49) mají význam. Důkaz: Dokážeme (1.47). Vztahy (1.48), (1.49) se dokazují analogicky. Mohou nastat tyto případy. ) Nechť A = a, B = b, kde a, b R. Zvolme libovolné > 0. Existují tedy n1, n2 tak, že |an - a| < 2 pro n > n1, |bn - b| < 2 pro n > n2. (1.50) Položme n0 = max(n1, n2). (1.51) Potom |an - a| < 2 , |bn - b| < 2 pro n > n0. (1.52) Užitím (1.52) dostáváme |(an + bn) - (a + b)| = |(an - a) + (bn - b)| (1.53) |an - a| + |bn - b| 2 + 2 = . Je tedy v tomto případě lim n (an + bn) = a + b = A + B. ) Nechť A = , B = b R. Potom A + b = . Zvolme libovolné R, > 0. Poněvadž lim n bn = b, existuje n1 tak, že b - < bn < b + pro n > n1. (1.54) 2) R = R {-, } 31 1. Posloupnosti a řady Poněvadž lim n an = , k libovolnému K existuje n2 tak, že K - b + < an < pro n > n2. (1.55) Položme n0 = max(n1, n2). Potom pro n > n0 platí (1.54), (1.55). Součtem (1.54), (1.55) dostáváme K < an + bn < pro n > n0. (1.56) Je tedy lim n (an + bn) = . ) Případ, kdy A = a R, B = , se dokáže analogicky jako bod ). ) Nechť A = , B = . Potom k libovolnému K existuje n0 tak, že pro n > n0 je an > K 2 , bn > K 2 . Odtud dostáváme pro n > n0 an + bn > K 2 + K 2 = K a tedy lim n (an + bn) = . Podobně se dokazuje (1.47) v Ostatních případech. Příklad 1.17. Vypočítejte a) lim n n + 1 n2 + 1 , b) lim n n2 + 1 n + 1 , c) lim n 2n2 + 1 n2 + n . Řešení. a) Pokusme se aplikovat větu 1.5. * Položme an = n + 1, bn = n2 + 1, n = 1, 2, . . . . Zřejmě lim n an = , lim n bn = . Aplikací (1.49) je lim n an bn = . Avšak není definováno v R . Tedy tento způsob výpočtu nevede k cíli. * Výraz n+1 n2+1 napřed zjednodušíme. Dělíme-li čitatele i jmenovatele číslem n2 , dostáváme n + 1 n2 + 1 = n n2 + 1 n2 n2 n2 + 1 n2 = 1 n + 1 n2 1 + 1 n2 . Položme cn = 1 n + 1 n2 , dn = 1 + 1 n2 . Zřejmě lim n cn = 0, lim n dn = 1. Podle (1.49) je tedy lim n n + 1 n2 + 1 = lim n cn dn = 0 1 = 0. 32 b) ˇ Položme an = n2 + 1, bn = n + 1. Zřejmě lim n an = lim n (n2 + 1) = , lim n bn = lim n (n + 1) = . Aplikací (1.49) bychom dostali lim n n2 + 1 n + 1 = lim n an bn = . Avšak není v R definováno, takže tímto způsobem nelze vypočítat lim n n2+1 n+1 . * Výraz n2+1 n+1 upravme. Zřejmě n2 + 1 n + 1 = n + 1 n 1 + 1 n . Položme dn = n + 1 n , cn = 1 + 1 n . Podle (1.49) je lim n n2 + 1 n + 1 = lim n dn cn = lim n n + 1 n lim n 1 + 1 n = 1 = . c) ˇ Položme an = 2n2 + 1, bn = n2 + n. Zřejmě lim n an = lim n bn = , takže opět lim n 2n2+1 n2+n nelze počítat jako lim n an lim n bn . * Výraz 2n2+1 n2+n upravme. Zřejmě 2n2 + 1 n2 + n = 2 + 1 n2 1 + 1 n . Položme dn = 2 + 1 n2 , cn = 1 + 1 n . Podle (1.49) je lim n 2n2 + 1 n2 + n = lim n dn cn = lim n 2 + 1 n2 lim n (1 + 1 n ) = 2 1 = 2. Zavedení Eulerova čísla V matematice hraje velkou úlohu Eulerovo číslo, které se všeobecně značí e. Toto číslo bylo již sice zavedeno v učebním textu " Matematiky A", v dalším však ukážeme zavedení čísla e podrobněji. 33 1. Posloupnosti a řady Věta 1.6. (Eulerova číslo) Posloupnosti {an} n=1, {bn} n=1, kde an = 1 + 1 n n , bn = 1 + 1 n n+1 , n = 1, 2, . . . , (1.57) jsou konvergentní a mají stejnou limitu. Označíme ji e a nazveme Eulerovým číslem. Tedy lim n an = lim n bn = e. Posloupnost {an} n=1 je rostoucí a posloupnost {bn} n=1 je klesající. Číslo e je iracionální a platí an < e < bn pro n = 1, 2, . . . . Důkaz: Především dokažme, že posloupnost {an} n=1 je rostoucí a omezená. Užitím binomické věty dostáváme 1 + 1 n n = 1 + n 1 1 n + n 2 1 n2 + + n n 1 nn . To jest an = 1 + n 1! 1 n + n(n - 1) 2! 1 n2 + + n(n - 1) . . . 1 n! 1 nn . (1.58) Poněvadž n(n - 1) . . . (n - k + 1) nk = n(n - 1) . . . (n - k + 1) n n n = = 1 1 - 1 n 1 - 2 n 1 k - 1 n , dostáváme z (1.58) an = 2 + 1 2! 1 - 1 n + 1 3! 1 - 1 n 1 - 2 n + . . . + 1 n! 1 - 1 n 1 - 2 n . . . 1 n - 1 n . (1.59) Z (1.59) dostáváme an+1 = 2 + 1 2! 1 - 1 n + 1 + 1 3! 1 - 1 n + 1 1 - 2 n + 1 + . . . + 1 n! 1 - 1 n + 1 1 - 2 n + 1 . . . 1 n - 1 n + 1 + . . . (1.60) + 1 (n + 1)! 1 - 1 n + 1 1 - 2 n + 1 . . . 1 n - 1 n + 1 1 - n n + 1 34 Poněvadž 1 - k n < 1 - k n + 1 pro k = 1, 2, . . . , n - 1, dostáváme porovnáním (1.59), (1.60) an < an+1 pro n = 1, 2, . . . , (1.61) takže posloupnost {an} n=1 je rostoucí. Dokažme nyní, že posloupnost {an} n=1 je shora omezená. Nahradíme-li ve vyjádření (1.59) všechny výrazy (1 - k n ) číslem 1, tedy větším číslem, dostáváme an 1 + 1 1! + 1 2! + + 1 n! . (1.62) Poněvadž 1 k! 1 2k-1 , k = 1, 2, . . . , (1.63) dostáváme z (1.62) an 1 + 1 1 + 1 2 + + 1 2n-1 . Poněvadž 1 + 1 2 + + 1 2n-1 je součet n členů geometrické posloupnosti, dostáváme an 1 + 1 - 1 2n 1 - 1 2 = 1 + 2(1 - 1 2n ) < 3. Je tedy posloupnost {an} n=1 shora ohraničená. Poněvadž {an} n=1 je zároveň rostoucí, je podle věty 1.2 konvergentní. Označme lim n 1 + 1 n n = e. Tedy pro každé n je an < e. (1.64) Položme nyní bn = 1 + 1 n n+1 , n = 1, 2, . . . (1.65) a dokažme, že {bn} n=1 je klesající a lim n bn = e. Užitím binomické věty dostáváme (bereme dva členy rozvoje) 1 + 1 n(n + 2) n+2 > 1 + n + 2 1 1 n(n + 2) = 1 + 1 n . (1.66) Z (1.66) vyplývá n2 + 2n + 1 n(n + 2) n+2 > 1 + 1 n . (1.67) Násobením (1.67) výrazem n+2 n+1 n+2 dosáváme n + 2 n + 1 (n + 1)2 n(n + 2) n+2 > n + 1 n n + 2 n + 1 n+2 . (1.68) Odtud n + 1 n n+2 > n + 1 n n + 2 n + 1 n+2 . (1.69) 35 1. Posloupnosti a řady Násobíme-li (1.69) výrazem n n+1 , dostáváme n + 1 n n+1 > n + 2 n + 1 n+2 , takže bn = 1 + 1 n n+1 > 1 + 1 n + 1 n+2 = bn+1. Je tedy posloupnost {bn} n=1 klesající. Dokažme nyní, že lim n bn = e. (1.70) Skutečně, vztah (1.65) lze přepsat na tvar bn = 1 + 1 n n 1 + 1 n = an 1 + 1 n . (1.71) Podle věty 1.5 je tedy lim n bn = lim n an lim n 1 + 1 n = e 1 = e. (1.72) S ohledem na (1.64) dostáváme an < e < bn pro n = 1, 2, . . . Lze tedy e vypočíst s libovolnou předem zvolenou absolutní chybou. Pro n = 10 dostáváme 1 + 1 10 10 < e < 1 + 1 10 11 , takže 2,59 < e < 2,86. Důkaz, že číslo e je iracionální, nebudeme provádět. Poznámka. Existuje řada jiných způsobů k získání aproximace čísla e s požadovanou přesností. 1.5 Posloupnosti funkcí Limita posloupnosti funkcí. Definice 1.7. (Bodová konvergence) Nechť {fn(x)} n=1, x I (1.73) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I. Potom řekneme, že (1.73) konverguje bodově k funkci f(x), x I, jestliže pro každé x I konverguje číslená posloupnost {fn(x)} n=1 k číslu f(x). Píšeme pak lim n fn(x) = f(x) pro x I. 36 Příklad 1.18. Uvažujme posloupnost funkcí {xn } n=1, x 0, 1 . (1.74) V každém bodě x 0, 1) je lim n xn = 0 a pro x = 1 je xn = 1 pro n = 1, 2, . . . , takže lim n xn = 1 pro x = 1. Limitou posloupnosti (1.74) je tedy funkce f(x) = 0 pro x 0, 1), 1 pro x = 1. Všimněme si, že funkce xn , n = 1, 2, . . . jsou funkce spojité na intervalu 0, 1 , avšak jejich (bodovou) limitou je funkce f(x), která je nespojitá na intervalu 0, 1 . Definice 1.8. (Stejnoměrná konvergence) Nechť {f(x)} n=1, x I, (1.75) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I. Řekneme, že posloupnost (1.75) konverguje stejnoměrně k funkcí f(x) na intervalu I, jestliže lim n sup xI |fn(x) - f(x)| = 0. Poznámka. Lehce nahlédneme, že jestliže posloupnost (1.75) stejnoměrně konverguje k funkci f(x) na intervalu I, potom též bodově konverguje k funkci f(x) na intervalu I. Opak neplatí. Konverguje-li posloupnost funkcí (1.73) bodově k funkci f(x) na intervalu I, nemusí tato posloupnost na intervalu I konvergovat stejnoměrně k funkci f(x). Např. posloupnost {xn } n=1 konverguje bodově na intervalu 0, 1 , ale nekonverguje na něm stejnoměrně. (Dokažte!) Příklad 1.19. Nechť fn(x) = 1 n 1 - x2, x -1, 1 . Potom (fn(x), 0) = 1 n , x -1, 1 , n = 1, 2, . . . . 37 1. Posloupnosti a řady Poněvadž lim n 1 n = 0, konverguje posloupnost funkcí {fn(x)} n=1 stejnoměrně na intervalu -1, 1 k funkci f(x) 0. V tomto případě jsou jak funkce fn(x), n = 1, 2, . . . , tak i funkce f(x) 0 spojité na intervalu -1, 1 . To platí obecně. Nechť posloupnost spojitých funkcí {fn(x)} n=1, x I, konverguje stejnoměrně na intervalu I k funkci f(x). Potom funkce f(x) je spojitá na I. 1.6 Nekonečné řady 1.6.1 Číselné řady zavedení pojmu Budiž dána posloupnost čísel a1, a2, a3, . . . , an, . . . . Symbol a1 + a2 + a3 + + an + . . . , (1.76) utvořený pomocí čísel dané posloupnosti, nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Zavádíme pro něj též označení n=1 an. (1.77) Čísla an nazýváme členy nekonečné řady, a číslo an n­tým členem. V dalším budeme užívat také názvu řada místo nekonečná řada. Označme sn = a1 + a2 + + an. Tedy s1 = a1, s2 = a1 + a2, . . . Číslo sn nazýváme n­tým částečným součtem řady (1.76). řady konvergentní a řady divergentní Mohou nastat dva případy: a) Posloupnost s1, s2, . . . , sn, . . . (1.78) je konvergentní a má limitu lim n sn = s, kde s R; řadu (1.76) nazýváme pak konvergentní a říkáme, že má součet s. Symbol (1.76) nebo (1.77) značí pak současně řadu i její součet. b) Posloupnost (1.78) částečných součtů je divergentní; řadu (1.76) nazýváme pak divergentní a symbol (1.76) nebo (1.77) nemá pak význam čísla, má pouze význam řady. V případě divergence řady (1.76) jsou možné tyto případy: 38 I. Posloupnost částečných součtů {sn} n=1 má nevlastní limitu lim n sn = +; říkáme pak, že řada (1.76) diverguje k + a symbol (1.76) nebo (1.77) značí pak také +. II. Posloupnost částečných součtů {sn} n=1 má nevlastní limitu lim n sn = -; říkáme pak, že řada (1.76) diverguje k - a symbol (1.76) nebo (1.77) značí pak také -. III. Posloupnost částečných součtů {sn} n=1 nemá ani limitu, ani nevlastní limitu; říkáme pak, že řada (1.76) osciluje. Jako příklad uveďme tuto řadu. Příklad 1.20. geometrická řada Řadu a + aq + aq2 + aq3 + + aqn-1 + . . . (1.79) nazýváme geometrickou řadou s kvocientem q. Její částečný součet sn je sn = a + aq + aq2 + aq3 + + aqn-1 = a 1 - qn 1 - q pro q = 1. Pro |q| < 1 je řada (1.79) konvergentní a má součet s = a 1 - q . Pro a > 0 (a < 0), q 1, řada (1.79) diverguje k + (-) a pro a = 0, q -1, řada (1.79) osciluje. Ukažme to. Dostáváme sn = a(1 + q + q2 + q3 + + qn-1 ), Uvážíme-li, že 1 - qn = (1 - q)(1 + q + q2 + + qn-1 ), dostáváme pro q = 1 sn = a 1 - qn 1 - q . (1.80) Je-li |q| < 1, je lim n qn = 0, takže lim n sn = a 1 - q . Zbývající část důkazu přenechávám čtenáři. Vyšetřete konvergenci geometrické řady pro případ |q| = 1. 39 1. Posloupnosti a řady Věta 1.7. (Harmonická řada) Řada 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n + . . . diverguje. Tuto řadu nazýváme obyčejnou harmonickou řadou, krátce harmonickou řadou. Důkaz: Posloupnost částečných součtů {sk} k=1 je rostoucí. Zřejmě s2 = 3 2 , s2k+1 = s2k + 1 2k + 1 + 1 2k + 2 + + 1 2k+1 2k , k = 1, 2, . . . Je tedy s2k+1 > s2k + 2k 1 2k+1 , s2k+1 > s2k + 1 2 . Takže posloupnost {s2k } k=1 je shora neomezená. Tedy posloupnost {s2k } k=1 je divergentní a tedy i posloupnost {sk} k=1 je divergentní. Příklad 1.21. Řada 1+(-1)+1+(-1)+ +(-1)n-1 + = 1-1+1-1+ +(-1)n-1 +. . . (1.81) osciluje, neboť posloupnost jejích částečných součtů je 1, 0, 1, 0, . . . . Příklad 1.22. Řada [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + + [1 + (-1)] + . . . (1.82) konverguje a má součet roven 0, protože posloupnost jejich částečných součtů věty o konvergenci řad je 0, 0, . . . , 0, . . . . Všimněme si, že řada (1.81) vzniká z řady (1.82) pouhým vynecháním hranatých závorek a mění se tím charakter řady. U konečných součtů se s ničím podobným nesetkáváme. Přesto však zde platí: Věta 1.8. Nechť a1 + a2 + + an + = s, kde s může být též +, nebo -. Nechť k1, k2, . . . je vybraná posloupnost přirozených čísel; potom platí (a1 + a2 + + ak1 ) + (ak1+1 + ak1+2 + + ak2 ) + +(ak2+1 + ak2+2 + + ak3 ) + = s.(1.83) 40 Důkaz: Je-li sn = a1 +a2 + +an, platí lim n sn = s; posloupnost částečných součtů řady (1.83) je zřejmě posloupnost sk1 , sk2 , sk3 , . . . vybraná z posloupnosti částečných součtů řady (1.76) a má tedy tutéž limitu. Hlavní význam věty 1.8 je v její platnosti pro konvergentní řady. Příklad 1.23. Jaká částka D, vložená na začátku roku, poskytne stálé pobírání důchodu ve výši a Kč, vyplácené na konci každého roku při neměnné nominální úrokové míře j? Řešení. Uvažujme roční úrokovu míru j = p 100 , kde p je procentní úroková míra. Potom kapitál K na začátku roku se za jeden rok zúročí na částku S = K + Kj, tj. na částku S = K(1 + j). Tedy kapitál na konci roku je " ekvivalentem" částku K = S 1 1+j . Zavedeme označení v = 1 1 + j . Je tedy K = Sv. Počítejme hodnotu vypláceného důchodu k začátku prvního roku, kdy byla uložena částka D. Zřejmě k začátku prvního roku je hodnota první splátky a v, hodnota druhé splátky je a v2 , atd.. Je tedy D = a v + a v2 + a v3 + . . . . (1.84) Jde o součet geometrické řady s kvocientem q = v. Poněvadž 0 < q < 1, je D = a v 1 - v = a j . Rovnice (1.84) vyjadřuje vztah mezi vloženou částkou D a ekvivalentních hodnot všech částek a přepočítaných k začátku 1. roku. Věta 1.9. (Nutná podmínka konvergence řady) Je-li řada a1 + a2 + a3 + . . . (1.85) konvergentní, je lim n an = 0. Důkaz: Platí lim n sn = s, značí-li sn n­tý částečný součet řady (1.85). Platí však také lim n sn-1 = s. Dále dostáváme lim n an = lim n (sn - sn-1) = s - s = 0 podle věty 1.5. Je tedy podmínka lim n an = 0 nutná pro konvergenci řady (1.85), není však postačující, jak vidíme na příkladě harmonické řady. 41 1. Posloupnosti a řady Věta 1.10. Nechť n=1 an, n=1 bn jsou dvě řady reálných čísel, které se liší jen v konečném počtu členů. Potom obě tyto řady současně konvergují nebo divergují. Důkaz: Důkaz přenechávám čtenáři. Věta 1.11. (Součet nekonečných řad) Nechť n=1 an = s, n=1 bn = t jsou konvergentní řady. Nechť c, A, B R jsou libovolná čísla. Potom je: n=1 can = cs, n=1 (Aan + Bbn) = As + Bt. Důkaz: Značíme-li a1 + a2 + + an = sn, b1 + b2 + + bn = tn, mají vyšetřované dvě řady n­tý částečný součet csn resp. Asn + Btn. Podle věty 1.5 je pak lim n (csn) = cs, lim n (Asn + Btn) = As + Bt. Nalezení součtu nekonečné řady je obtížná úloha. Proto se často musíme spokojit s vyšetřením, zda daná řada konverguje nebo diverguje. Jestliže se zjistí, že řada je konvergentní, lze aproximovat její součet jejím n­tým částečným součtem sn. Ale i pak je třeba vyšetřit, jak velké musí být n, aby sn aproximovalo součet řady s dostatečnou přesností. V dalším textu budeme problematiku konvergence vyšetřovat pro řady určitých tříd (to jest řad s jistými vlastnostmi). Poznamenejme, že bez vyšetření, zda řada je konvergentní, by bylo chybné aproximovat součet řady číslem sn. Řada by mohla být divergentní. Pro jednotlivé třídy řad si uvedeme podmínky -- kritéria, při jejichž splnění řada je konvergentní nebo divergentní. Řady s nezápornými členy kriteria konvergence řad s nezápornými členy Jestliže pro každý člen řady (1.76) platí an 0, nazýváme řadu (1.76) řadou s nezápornými členy. Pro částečné součty sn řady s nezápornými členy je 42 zřejmě sn sn+1. Posloupnost částečných součtů takové řady je tedy neklesající. Řada s nezápornými čísly proto budťo diverguje k +, nebo konverguje k číslu z R. V prvním případě není posloupnost částečných součtů shora omezená, ve druhém případě je shora omezená. Věta 1.12. (Srovnávací kriterium I.) Nechť a1 + a2 + a3 + . . . , (1.86) b1 + b2 + b3 + . . . , (1.87) jsou řady s nezápornými členy. Nechť platí an bn pro všechna n. Potom platí: a) Je-li řada (1.87) konvergentní, je i řada (1.86) konver- gentní. b) Je-li řada (1.86) divergentní, je i řada (1.87) diver- gentní. Důkaz: Označíme-li sn částečné součty řady (1.86) a n částečné součty řady (1.87), platí sn n. Je-li (1.87) konvergentní, je posloupnost 1, 2, 3, . . . shora ohraničená, takže i posloupnost s1, s2, s3, . . . je shora ohraničená a tedy řada (1.86) je konvergentní. Tím je dokázáno tvrzení a). Nechť řada (1.86) je divergentní. Kdyby řada (1.87) byla konvergentní, musela by i řada (1.86) být konvergentní podle a), což je spor s předpokladem. Tím je dokázáno tvrzení b). Poznámka. Jestliže an bn pro n = 1, 2, . . . , potom řadu n=1 an nazýváme minorantní vzhledem k řadě n=1 bn a řadu n=1 bn nazýváme majorantní vzhledem k řadě n=1 an. Příklad 1.24. Určeme konvergenci řady 1 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + + 1 n2 + . . . (1.88) Nechť řadou (1.86) je vyšetřovaná řada a řadou (1.87) nechť je řada 1 + 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 + + 1 (n - 1) n + . . . (1.89) Zřejmě platí 1 n2 < 1 (n - 1) n pro n > 1. 43 1. Posloupnosti a řady Mezi prvními členy obou řad platí rovnost. Dokážeme-li, že řada (1.89) je konvergentní, je podle věty 1.12 řada (1.88) konvergentní. Vyšetřeme tedy řadu (1.89). Zřejmě a1 = 1, an = 1 (n - 1)n pro n = 2, 3, . . . . Lehce se přesvědčíme, že an = 1 n - 1 - 1 n , n = 2, 3, . . . Je tedy sn = a1 + a2 + + an = 1 + 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 + + 1 n - 1 - 1 n . Úpravou dostáváme sn = 2 - 1 n Je tedy lim n sn = 2, takže řada (1.87) je konvergentní. Poněvadž řada (1.88) je řada s kladnými členy a je minorantní ke konvergentní řadě (1.89), je řada (1.88) konvergentní. Věta 1.13. (Konvergence řady (1.90)) Řada 1 1s + 1 2s + 1 3s + + 1 ns + . . . (1.90) je pro s 1 divergentní a pro s > 1 je konvergentní. Důkaz: Důkaz provedeme jen pro s 1. Pro s = 1 je řada (1.90) harmonická a tedy divergentní. Nechť tedy s < 1. Potom 1 n 1 ns , n = 1, 2, . . . . Poněvadž harmonická řada diverguje, podle věty 1.12 diverguje i řada (1.90). Z věty 1.12, v níž řada n=1 bn je geometrickou, plyne tato věta. 44 Věta 1.14. (Cauchyovo kritérium) Nechť a1 + a2 + a3 + . . . (1.91) je řada s nezápornými členy. I. Jestliže existuje q, 0 < q < 1, tak, že platí n an < q pro všechna n k, je řada (1.91) konvergentní. II. Jestliže n an 1 pro nekonečně mnoho n, je řada (1.91) divergentní. Důkaz: S ohledem na větu 1.10 se omezíme na případ k = 1. I. Nechť existuje takové q, že 0 < q < 1 a n an < q pro všechna n. Potom řada q + q2 + q3 + . . . (1.92) je pro toto q konvergentní. Z podmínky n an < q plyne, že an < qn . Je tedy řada (1.91) minorantní k řadě (1.92) a tedy podle věty 1.12 je konvergentní. II. Zkonstruujme řadu n=1 bn takto: Pro každé n, pro nějž je n an 1 položme bn = 1 a pro každé n, pro nějž je n an < 1, položme bn = 0. Takto vytvořená řada n=1 bn je zřejmě divergentní. Řada n=1 an je majorantní k řadě n=1 bn. Podle věty 1.12 je tedy řada n=1 an divergentní. Příklad 1.25. Dokažme, že řada n=1 1 2 n (1.93) je konvergentní a řada n=1 5 2 n (1.94) je divergentní. Řešení. Dokažme, že řada (1.93) je konvergentní. Zřejmě n 1 2 n = 1 2 < 1, takže podle věty 1.14 je řada (1.93) konvergentní. Dokažme, že řada (1.94) je divergentní. Zřejmě n 5 2 n = 5 2 > 1, takže podle věty 1.14 je řada (1.94) divergentní. Při aplikování věty 1.14 bývá často obtížné určit q, pro nějž je n an < q pro všechna n. Uveďme si následující větu 1.15, kterou se lze v některých případech vyhnout hledání q, které splňuje podmínky věty 1.14. 45 1. Posloupnosti a řady Věta 1.15. (Limitní Cauchyovo kritérium) Nechť a1 + a2 + a3 + . . . (1.95) je řada s nezápornými členy. Je-li lim n n an < 1, je řada (1.95) konvergentní, je-li lim n n an > 1 (nebo rovna +), je řada (1.95) divergentní. Důkaz: Nechť lim n n an = < 1, potom lze zvolit q tak, že < q < 1. Zvolíme-li q - = , existuje přirozené číslo n0 tak, že - < n an < + = q pro všechna n > n0. Položme k = n0 + 1. Potom n a < q pro všechna n k. Vyšetřovaná řada je konvergentní podle věty 1.12. Nechť lim n n an = > 1. Zvolme = - 1. Potom existuje přirozené n0 tak, že 1 = - < n an < + pro všechna n > n0. Zvolíme-li k = n0 + 1, platí n an > 1 pro všechna n k, tedy řada je divergentní podle věty 1.12. Zřejmě věta 1.15 nic neříká o případu, kdy lim n n an = 1. kritéria konvergence řad s kladnými členy Uveďme si ještě následující kritérium. Věta 1.16. (Srovnávací kritérium II.) Nechť a1 + a2 + a3 + . . . , (1.96) b1 + b2 + b3 + . . . (1.97) jsou řady s kladnými členy (tj. an > 0, bn > 0 pro všechna n). Nechť platí an+1 an bn+1 bn pro všechna n. (1.98) Potom platí: I. Je-li n=1 bn konvergentní, je i n=1 an konvergentní. II. Je-li n=1 an divergentní, je i n=1 bn divergentní. 46 Důkaz: Z (1.98) pro n 1 dostáváme an a1 = an an-1 an-1 an-2 . . . a2 a1 bn bn-1 bn-1 bn-2 . . . b2 b1 = bn b1 , tj. an a1 b1 bn pro všechna n. I. Konverguje-li řada (1.97), konverguje i řada a1 b1 b1 + a1 b1 b2 + + a1 b1 bn + . . . (podle věty 1.11 pro c = a1 b1 ). Podle věty 1.12 konverguje tedy i řada (1.96). II. Diverguje-li řada (1.96), nemůže řada (1.97) konvergovat, neboť by podle I. musela konvergovat i řada (1.96) proti předpokladu. Věta 1.17. (ďAlembertovo kriterium) Nechť n=1 cn je řada s kladnými členy. I. Existuje-li číslo 0 < q < 1 tak, že cn+1 cn < q pro všechna n, je řada n=1 cn konvergentní. II. Jestliže cn+1 cn 1 pro nekonečně mnoho n, je řada n=1 cn divergentní. Důkaz: Tvrzení I. vyplývá z věty 1.16, zvolíme-li za řadu n=1 an řadu n=1 cn a za řadu n=1 bn řadu n=1 qn pro 0 < q < 1. Tvrzení II. vyplývá z věty 1.16, zvolíme-li řadu n=1 an tak, že an = 1 pro n = 1, 2, . . . , a za řadu n=1 bn řadu n=1 cn. Z této věty bezprostředně plyne tzv. limitní ďAlembertovo kritérium: 47 1. Posloupnosti a řady Věta 1.18. (Limitní ďAlembertovo kritérium) Nechť n=1 an je řada s kladnými členy. Je-li lim n an+1 an < 1, je řada n=1 an konvergentní, je-li lim n an+1 an > 1, je řada n=1 an divergentní. Důkaz: Důkaz je veden podobně jako důkaz věty 1.15. Přenechávám jej čtenáři. Tato věta nic neříká o případu lim n an+1 an = 1. Příklad 1.26. Dokažme, že řada n=1 xn n! (1.99) je konvergentní pro každé x 0. Skutečně. Pro x = 0 je řada evidentně konvergentní. Nechť tedy x je libovolné kladné číslo. Potom řada (1.99) je číselná řada s kladnými členy. Poněvadž xn+1 (n+1)! xn n! = x n + 1 a lim n x n+1 = 0, je podle limitního ďAlembertova kriteria řada (1.99) pro toto x konvergentní. Poněvadž x je libovolné kladné číslo, je řada (1.99) konvergentní pro každé x 0. Řady s obecnými členy. Absolutní konvergence absolutní konvergence řad Předpoklad o nezápornosti členů dané řady není vždy splněn. V některých případech k vyšetření těchto řad použijeme řadu, jejíž členy jsou rovny absolutním hodnotám členů původní řady. Platí pak tato věta. 48 Věta 1.19. Konverguje-li řada |a1| + |a2| + |a3| + + |an| + . . . , (1.100) pak konverguje i řada a1 + a2 + a3 + + an + . . . . Důkaz: Předpokládejme, že (1.100) konverguje. Utvořme řady b1 + b2 + + bn + . . . , (1.101) c1 + c2 + + cn + . . . , (1.102) kde bn = an, je-li an > 0 a bn = 0, je-li an 0, cn = |an|, je-li an < 0, a cn = 0, je-li an 0. Řady (1.101) a (1.102) jsou řady s nezápornými členy a protože platí bn an, cn |an| pro každé n, jsou konvergentní podle věty 1.12. Řada (1.101) nechť má součet b, řada (1.102) součet c. Zřejmě platí an = bn - cn pro každé n. Tedy: n=1 an = n=1 (bn - cn) = b - c. Je tedy řada n=1 an konvergentní. Konverguje-li řada (1.100), říkáme, že řada n=1 an je absolutně konvergentní. Konverguje-li řada n=1 an a řada (1.100) diverguje, říkáme někdy, že řada n=1 an je relativně nebo neabsolutně konvergentní. Je tedy každá konvergentní řada s nezápornými členy absolutně konvergentní. Podobně každá konvergentní řada s nekladnými členy je absolutně konver- gentní. Zavedením absolutní konvergence převádíme vyšetřování konvergence dané řady na vyšetřování řady s nezápornými členy. Řada n=1 an však může konvergovat a řada n=1 |an| divergovat. 49 1. Posloupnosti a řady Řady alternující řady alternující Nechť an > 0 pro n = 1, 2, . . . . Potom řadu a1 - a2 + a3 - a4 + + (-1)n+1 an + . . . , tj. řadu, ve které se znaménka jednotlivých členů pravidelně střídají, nazýváme řadou alternující. Pro takové řady platí následující věta. Věta 1.20. (Konvergence alternující řady) Nechť a1, a2, a3, . . . je nerostoucí posloupnost nezáporných čísel. Potom řada a1 - a2 + a3 - a4 + . . . je konvergentní právě tehdy, je-li lim n an = 0. Příklad 1.27. Řada 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + + (-1)n+1 1 n + . . . je konvergentní podle předcházející věty. Není však absolutně konvergentní, neboť řada absolutních hodnot jejích členů je harmonická řada, o níž již víme, že diverguje. 1.7 Řady funkcí Zaveďme si pojem řady funkcí a jejího součtu. Nechť {fn(x)} n=1 je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I. Potom symbol f1(x) + f2(x) + . . . x I, (1.103) nazýváme řadou funkcí na intervalu I. Tento symbol lze zapsat též jako n=1 fn(x). Funkci sn(x) = f1(x) + + fn(x) pro n = 1, 2, . . . nazýváme n-tým částečným součtem řady (1.103). O řadě (1.103) budeme říkat, že 50 a) konverguje bodově na intervalu I, jestliže posloupnost {sn} n=1 jejich částečných součtů konverguje bodově na I. Jestliže lim n sn(x) = f(x) pro x I, nazýváme f(x) součtem řady (1.103). b) konverguje stejnoměrně na intervalu I k funkci f(x), jestliže posloupnost {sn(x)} n=1 jejich částečných součtů konverguje stejnoměrně k funkci f(x). c) konverguje absolutně na intervalu I jestliže posloupnost {n(x)} n=1, kde n(x) = |f1(x)| + + |fn(x)|, konverguje bodově na I. Vyšetřování konvergence řady funkcí je tedy převedeno na vyšetřování konvergence posloupnosti částečných součtů. Příklad 1.28. Řada n=1 xn n! , x J = (-, ) (1.104) je na intervalu J absolutně konvergentní. Skutečně. Vyšetřujme řadu n=1 |x|n n! , x J = (-, ) Tato řada konverguje pro x J, jetliže řada n=1 xn n! konverguje pro x 0, ). Tuto konvergenci jsme ukázali v příkladě 1.26. Poznámka. Lze ukázat, že n=0 xn n! = ex . Mocninné řady Zvláštním případem nekonečných řad funkcí jsou mocninné řady, to jest řady tvaru a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + . . . , (1.105) kde an, n = 0, 1, 2, . . . , jsou konstanty -- říkáme jim koeficienty mocninné řady. Číslo x0 nazýváme středem mocninné řady (1.105). Mohou nastat tyto případy: I. Řada (1.105) konverguje pouze pro x = x0 a diverguje pro všechna x = x0. Tím spíše nekonverguje absolutně a nekonverguje ani stejnoměrně. V tomto případě říkáme, že mocninná řada 1.105 má poloměr konvergence r = 0. II. Řada (1.105) konverguje absolutně pro všechna x a konverguje stejnoměrně v každém konečném uzavřeném intervalu. V tomto případě říkáme, že mocninná řada 1.105 má poloměr konvergence r = . 51 1. Posloupnosti a řady III. Existuje číslo r > 0 takové, že řada (1.105) konverguje absolutně pro všechna x, pro něž je |x - x0| < r a diverguje pro všechna x, pro něž je |x - x0| > r. Konvergence řady (1.105) je stejnoměrná v každém intervalu x0 - r, x0 + r , kde 0 < r < r. Číslo r nazýváme poloměr konvergence řady (1.105). Příklad 1.29. Řada 1 + n=1 xn n! (1.106) má poloměr konvergence r = . Skutečně. Ukázali jsme, že řada konverguje absolutně pro každé x. Tedy podle bodu II odstavce o mocninných řadách je r = . 1.8 Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly Hlavní body, probrané v této kapitola, jsou tyto: Definice posloupnosti (Definice 1.1), zejména posloupnosti číselné. Pro aplikace, zejména ve finanční matematice, jsou důležité aritmetické a geometrické posloupnosti. Jsou zde uvedeny vzorce pro součet prvních n členů aritmetické a geometrické posloupnosti. Je zaveden pojem limity posloupnosti (Definice 1.2 a Definice 1.3). Číselné posloupnosti lze rozdělit do těchto skupin: posloupnosti - konvergentní - divergentní - divergují k - divergují k - - oscilující Je zavedeno Eulerovo číslo e (Věta 1.6) Toto odvození je jen pro Vaši orientaci. Je nutno vědět, že e je číslo iracionální a dá se aproximovat číslem (1 + 1 n )n pro dostatečně velké n N. V dalších kapitolách se ukáže jeho důležitost. Bylo zavedeno již na střední škole. Vyšetřují se vlastnosti posloupností. Ukazeje se, že posloupnost má nejvýše jednu limitu. Věta 1.5 pak vypovídá o limitě posloupností {an bn} n=1, {anbn} n=1, {an bn } n=1, známe-li lim n an a lim n bn (Věta 1.5). Zavádí se pojem posloupností funkcí (Definice 1.7) a její bodové a stejnoměrné konvergence (Definice 1.7 a 1.8). Zavádí se pojem číselné řady a jejího součtu. Číselné řady lze rozdělit do několika skupin 52 číselné řady - konvergentní - divergentní - divergující k - divergující k - - oscilující Jsou uvedeny příklady konvergentních a divergentních řad. Věta 1.11 pojednává o konvergenci řady, jejíž členy jsou součty členů konvergentních řad. Je-li číselná řada konvergentní, dá se její součet aproximovat součtem prvních n členů řady. Pro určování součtu číselných řad jsou uvedeny věty 1.8, 1.9, 1.11. Zde hraje důležitou roli otázka volby počtu n členů řady, jejichž součtem se má součet řady aproximovat, aby se dosáhlo požadované přesnosti. Tato problematika není v tomto učebním textu řešena. Prvním krokem je tedy zjistit, zda řada konverguje nebo ne. V textu se uvádějí různá kriteria, která nám mohou pomoci při vyšetřování konvergence resp. divergence dané řady. Tato problematika se řeší pro různé skupiny řad: a) Řady s kladnými (zápornými) členy. Jsou uvedena kriteria: Věta 1.12, Věta 1.13, Věta 1.14, Věta 1.15, Věta 1.16, Věta 1.17, Věta 1.18. b) Řady alternující. Je uvedeno kriterium konvergence: Věta 1.20. c) Řady jejiíž některé člené jsou kladné a některé členy jsou záporné. Pro tyto řady je zaveden pojem absolutní konvergence a ve větě 1.19 je uveden vztah mezi konvergencí dané řady a její absolutní konvergencí. V textu je uveden pojem posloupnosti funkcí na daném intervalu. a bodové a stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí. Dále je zaveden pojem řady funkcí a její bodové konvergence a stejnoměrné konvergence na daném intervalu. Úlohy 1. Stroj byl zakoupen za z Kč na začátku roku. Na konci každého roku se odepisuje na opotřebení p% ceny z předcházejícího roku. Jaká bude cena stroje po n letech? Provedťe výpočet obecně a potom pro z = 1 000 000 Kč a p = 10%. [z 1 - p 100 n ] 2. Při složeném ročním úročení s roční úrokovou mírou se na konci každého roku k uložené částce P na začátku roku připisuje úrok ve výši p% z částky na začátku roku. Jaká bude tzv. splatná částka S za n let? (Splatná částka je částka, na kterou vzroste základní kapitál P za n let.) [S = P 1 + p 100 n ] 3. Jaká roční úroková míra zúročí za 10 let při ročním složeném úročení vloženou částku na její dvojnásobek? [7,18%] 53 1. Posloupnosti a řady 4. Při tzv. spojitém úročení se splatná částka S počítá vzorcem S = Pejt , kde P je vložený kapitál, j = p 100 , kde p je roční úroková míra v %, t je doba v rocích, po níž se splatná částka počítá. Vypočítejte splatnou částku pro P = 500 000 Kč, dobu 1,5 roku a p = 10%. [S = 580 917,12 Kč] 5. Každé reálné číslo a lze v dekadickém zápisu zapsat ve tvaru a = a0,a1a2 . . . an . . . , kde a0 je přirozené číslo, ai, i = 1, 2, . . . , je jedna z cifer 0, 1, 2, . . . , 9. Je tedy a = lim n a0 + a1 10 + a2 100 + + an 10n . Vyjádřete číslo 2,375 ve tvaru p q , kde p, q N. [2 375 = 2 + 37 100 + 0,005(1 + 1 10 + 1 100 + . . . ), 2138 900 ] 6. Eulerovo číslo e lze definovat vztahem e = lim n 1 + 1 n n . Přesným výpočtem se zjistí, že e = 2,7182 . . . . Vypočítejte na kalkulačce (1 + 1 n )n pro několik hodnot n = 5, 10, 50 a porovnejte s přesnou hodnotou. 7. Kolik obyvatel bude mít město o 10 000 obyvatelích za 10 let, jestliže počet obyvatel každým rokem roste o 1,5%? [11 605] 8. Předpokládejme, že někdo uložil částku odpovídající hodnotě 10 Kč. Úroky se připisují na konci každého roku, roční úroková míra je p = 2%. Předpokládejme, že se při případných změnách měny převede uspořená částka na částku ekvivalentní v nové měně a že se neplatí poplatky za vedení účtu. Na jakou částku by vzrostla uložená částka za n = 2000 let? [S = 10 1,022000 1,5861 1018 ] 9. Co je to geometrická řada? 10. Nechť {an} n=1 je geometrická řada a nechť a1 = 2, q = -1 2 . Určete a5 a s5. [a5 = 1 8 , s5 = 11 8 ] 11. Vysvětlete pojem nekonečné číselné řady a pojem součet nekonečné řady. 12. Jak se určí součet geometrické řady? 13. Určete součet řady n=1 2 (-1 2 )n . [-2 3 ] 14. Napište harmonickou řadu. Je konvergentní? Na kalkulačce vypočítejte součet několika jejich prvních členů. 15. Určete geometrickou posloupnost {an}, víte-li že a2 = -1 3 , a5 = 1 81 . [{(-1)n+1 3n-1 }, a1 = 1, q = -1 3 ] 54 16. Určete limity posloupností, výpočet zdůvodněte. a) { 1 n+3 } [0] b) { 1 n! } [0] c) {2 + (-1)n n } [2] 17. Zjistěte, zda konvergují řady: a) n=1 5 2 n [diverguje] b) n=1 1 n+ 1 3 [diverguje] c) n=1 (2n)! (n!)2 5-n [konverguje] 18. Rozhodněte o konvergenci, resp. absolutní konvergenci řad: a) n=1 (-1)n+1 1 n- 1 2 [konverguje] b) n=1 (-1)n+1 1 2n [konverguje absolutně] 19. Dokažte, že řady n=1 1 n2 cos nx, n=1 1 n2 sin nx stejnoměrně konvergují na intervalu (-, ). 20. Dokažte, že řada x 1! - x3 3! + x5 5! - x7 7! + . . . má poloměr konvergence r = . 55 1. Posloupnosti a řady 56 Shrnutí, úlohy Funkce ­ základní pojmy 2 2. Funkce ­ základní pojmy Cíl kapitoly zopakovat si pojem zobrazení zavést pojem křivky a její tečny seznámit se s možnostmi grafického znázornění geometrických útvarů v En. Časová zátěž 5 hodin Úvod. I když pojem funkce je Vám znám jak z předešlého studia, tak i z učebního textu " Matematika A", nebude jistě na škodu se na tento pojem znovu podívat. Pojem funkce n­proměnných, n 1, je zaveden jako zobrazení prostoru En do prostoru E1. V této kapitole jsou uvedeny dva důležité příklady zobrazení. Je pojednáno o zobrazené F(x) prostoru Vn do prostoru Vm definovaném vztahem y = Ax, kde x Vn, y Vm, A je matice typu (m, n). Doporučuji, abyste tomuto zobrazení věnovali pozornost. Dále je pojednáno o křivkách v prostoru En, definovaných jako zobrazení prostoru E1 do En. Zavádí se pojem tečny křivky v jejím bodě. V této kapitole je též pojednáno o grafickém znázornění geometrických útvarů v En. Zobrazení zobrazení A do B Pojem zobrazení množiny A do množiny B byl zaveden již na gymnáziích a byl znovu uveden ve studijním materiálu " Matematika A". Vzhledem k jeho zásadní důležitosti se k osvětlení tohoto pojmu ještě jednou vraťme. Zobrazení množiny A do množiny B Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Pravidlo F, jimž ke každému prvku x A je přiřazen právě jeden prvek y B, nazýváme zobrazením množiny A do množiny B. Označíme-li x proměnnou s oborem A a y proměnnou s oborem B, píšeme y = F(x). O prvku y přiřazenému k prvku x říkáme, že je obrazem prvku x, a o prvku x říkáme, že je vzorem prvku y. Množinu A (to jest množinu prvků, k nimž v zobrazení F přiřazujeme prvky 58 z B), nazýváme definičním oborem nebo též neodvislým oborem zobrazení F. Značíme jej často DF , resp. D(F) a množinu B nazýváme odvislým oborem zobrazení F. Podmnožinu množiny B, která obsahuje všechny ty prvky y B, které jsou v zobrazení F přiřazeny k prvkům x z množin A, nazýváme oborem zobrazení F. Značíme ji H(F), resp. HF . Jestliže HF B, potom říkáme, že zobrazení F je zobrazením množiny A do B. Jestliže HF = B, potom říkáme, že zobrazení F je zobrazením množiny A na B. Jestliže B A, potom říkáme, že zobrazení F je zobrazením množiny A do sebe. Jestliže HF = A, říkáme, že zobrazení F je zobrazením na sebe. Proměnnou s oborem hodnot A nazýváme neodvisle proměnnou a proměnnou s oborem hodnot B nazýváme závisle proměnnou. V této definici jsme použili symbol x pro neodvisle proměnnou a symbol y pro odvisle proměnnou. Na obrázku 2.1 je znázorněno zobrazení F množiny A do množiny B, rovněž je znázorněn obor zobrazení F, to jest množina H(F). Je zde znázorněn též prvek u B, který nepatří do H(F). Není tedy obrazem žádného prvku x A. A BH(F) x y u F Obrázek 2.1: Zobrazení A do B Zaveďme si několik pojmů, souvisejících se zobrazením. Zobrazení prosté Zobrazení prosté. Nechť F je zobrazení množiny A do množiny B. Toto zobrazení nazýváme prostým, jestliže má tuto vlastnost: Jestliže x, y A a x = y, potom F(x) = F(y). Příklad 2.1. Nechť A = {a, b, c} a B = {, , }. Zobrazení F dané následující tabulkou je prostým zobrazením A na B. x a b c y 59 2. Funkce ­ základní pojmy Inverzní zobrazení Inverzní zobrazení. Nechť F je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Potom existuje zobrazení, nazveme je inverzním zobrazením množiny B na množinu A a označíme je F-1 , kterým ke každému y B přiřadíme ten prvek x A, pro nějž platí F(x) = y. (Viz obr. 2.2) A B x yF F-1 Obrázek 2.2: Inverzní zobrazení Označení. Symbolem F-1 jsme označili inverzní zobrazení k zobrazení F, nejedná se o umocnění funkce F na číslo (-1). Tyto pojmy si ozřejmíme na následujícím příkladě. Příklad zobrazení Vn do Vm. Nechť m, n N, m n a nechť Vm, Vn jsou aritmetické vektorové prostory. Nechť A je matice typu (m, n). Ke každému vektoru x Vn přiřaďme vektor y Vm vztahem y = A x. (2.1) Poněvadž ke každému vektoru x Vn je vztahem (2.1) přiřazen právě jeden vektor y Vn, jde o zobrazení Vn do Vm. Označíme je F(x). Tedy F(x) = A x (2.2) je zobrazení Vn do Vm. Podívejme se blíže na toto zobrazení. 1. Vyšetřeme HF . Nechť tedy x Vn. Označme F(x) = y, tj. A x = y, takže y HF . a) Označme L vektorový podprostor prostoru Vm, generovaný sloupci matice A. Rozepsáním systému rovnic A x = y dostáváme a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = y2 ... ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = ym . (2.3) Odtud dostáváme a11 a21 ... am1 x1 + a12 a22 ... am2 x2 + + a1n a2n ... amn xn = y1 y2 ... ym . (2.4) 60 Označme i a = a1i a2i ... ami , i = 1, 2, . . . , n. Vztah (2.4) pak lze zapsat jako x1 1 a + x2 2 a + + xn n a = y. Vektor y je lineární kombinací sloupců matice A. Je tedy y L, takže HF L. b) Nechť y L. Ukažme, že existuje vektor x Vn tak, že A x = y. (2.5) Poněvadž řádková hodnost matice je rovna její sloupcové hodnosti a vektor y je lineární kombinací sloupců matice A, je h(A) = h(A|y), takže rovnice (2.5) má podle Frobeniovy věty řešení. Existuje tedy skutečně x Vn tak, že A x = y. Je tedy HF = L. 2. Vyšetřeme, kdy F je prosté zobrazení Vn na HF . Nechť 1 x, 2 x jsou takové dva vektory z Vn, že F(1 x) = F(2 x), tj. A 1 x = A 2 x. (2.6) Položme u = 1 x - 2 x. (2.7) Z (2.6) vyplývá, že A u = 0. (2.8) Uvažujme dva případy. a) Nechť hodnost h(A) = n. Matice (A|0) má pak též hodnost n. Podle Frobeniovy věty má systém (2.8) obecné řešení závislé na n-n (= 0) parametrech. Tedy systém (2.8) má právě jedno řešení u, kde u = 0. Ze vztahu (2.7) vyplývá, že pak 1 x = 2 x. Má-li tedy matice A hodnost n, je F prosté zobrazení vektorového prostoru Vn na HF = L. Existuje tedy inverzní zobrazení F-1 prostoru HF = L na prostor Vn. Jestliže navíc m = n, lze toto inverzní zobrazení vyjádřit jako F-1 (y) = A-1 y, kde A-1 je matice inverzní k matici A. b) Nechť hodnost h(A) < n. V tomto případě má systém rovnic Au = 0 řešení závislé na n - h(A) parametrech. Jestliže 1 x je libovolný vektor z Vn a u je libovolný nenulový vektor z Vn pro nějž je A u = 0, potom A 1 x = A (1 x + u), to jest F(1 x) = F(1 x + u). Tedy zobrazení F není v tomto případě prosté. 3. Řešitelnost systému lineárních rovnic Ax = b. Nechť b Vm. Potom systém rovnic A x = b (2.9) má řešení právě tehdy, když b L. a) Jestliže b L, má systém rovnic (2.9) řešení závislé na n-h(A) parametrech. b) Jestliže b L, nemá systém (2.9) řešení. Situaci v tomto případě znázorněme na následujícím obrázku 2.3. 61 2. Funkce ­ základní pojmy x F(x) F Vn Vm x0 Ax0 b HF = L Obrázek 2.3: Ilustrace k příkladu. Pojem řešení systému rovnic (2.9) si můžeme pro tento případ rozšířit následovně. Za zobecněné řešení budeme považovat ten vektor x Vn, jehož obraz A x je " nejblíže" k vektoru b. Přesněji řečeno, za zobecněné řešení systému rovnic Ax = b rozumíme ten vektor x0 , pro nějž je A x0 - b = min xVn A x - b . (2.10) Použijeme-li ve V n Euklidovskou vektorovou normu, dostáváme stejné řešení jako jsme obdrželi metodou nejmenších čtverců, popsanou v učebním textu " Matematika A". Lze ukázat, že v případě, že matice A má hodnost n, vyhovuje vztahu (2.10) právě jeden vektor x0 . V případě, že matice A má hodnost menší než n, vyhovuje (2.10) více vektorů, tedy systém rovnic (2.9) má více zobecněných řešení. úsečka Úsečka ­ zobrazení 0, 1 E1 do En. Nechť nyní A = [a1, a2, . . . , an], B = [b1, b2, . . . , bn] jsou dva různé body n-rozměrného prostoru En. Označme s = (s1, s2, . . . , sn) vektor, kde si = bi - ai, i = 1, 2, . . . , n. Úsečkou AB budeme rozumět množinu všech bodů X = [x1, x2, . . . , xn], kde xi = ai + si t, t 0, 1 . Těmito rovnicemi je definováno zobrazení 0, 1 E1 do En. Zavedeme-li uspořádání bodů této úsečky tak, že pro t1, t2 0, 1 , t1 < t2, je bod 1 X, odpovídající parametru t1, před bodem 2 X, odpovídajícím parametru t2, nazveme tuto úsečku orientovanou souhlasně s parametrickým vyjádřením a označíme ji AB. Bod A nazveme jejím prvním a B posledním bodem. Podobně se zavádí opačná orientace úsečky k jejímu parametrickému vyjádření. Vektor s nazýváme směrovým vektorem úsečky AB. přímka Přímka ­ zobrazení E1 do En. Přímkou v tomto n-rozměrném prostoru, danou body A = [a1, a2, . . . , an], B = [b1, b2, . . . , bn], nazveme množinu bodů X = [x1, x2, . . . , xn], kde xi = ai + (bi - ai)t, i = 1, 2, . . . , n, t (-, ) Obecně množina bodů X = [x1, x2, . . . , xn], xi = ai + si t, i = 1, 2, . . . , n, t (-, ) (2.11) 62 kde A = [a1, a2, . . . , an] je bod, s = (s1, s2, . . . , sn) = 0 je vektor, zvaný směrový, je přímka jdoucí bodem A se směrem s. Rovnicemi (2.11) je realizované zobrazení I E1 do En. křivkaSpojitá křivka ­ zobrazení a, b do En. Nechť n N, xi = i(t), i = 1, 2, . . . , n, jsou spojité funkce na intervalu I E1. Potom množinu bodů [1(t), 2(t), . . . , n(t)], t I E1 nazýváme spojitou křivkou v prostoru En. Rovnicemi xi = i(t), t I E1, je realizované zobrazení I E1 do En. Příklad 2.2. Nechť n = 2, r R, r > 0. Potom rovnicemi x1 = r cos t, x2 = r sin t, t 0, 2) (2.12) je určena spojitá křivka v prostoru E2. Jestliže z rovnic (2.12) vyloučíme parametr t (např. sečtením jejich kvadrátů), dostáváme rovnici x2 1 + x2 2 = r2 . Je tedy rovnicemi (2.12) určena kružnice se středem v bodě [0, 0] o poloměru r. Příklad 2.3. Zvolme a, b R, a > 0, b > 0. Pro tato čísla a, b je rovnicemi x1 = a cos t, x2 = a sin t, x3 = bt, kde t 0, 2 . (2.13) dána křivka v E3. Speciálním případem zobrazení je funkce n­proměnných. Funkce n­proměnných zavedení pojmu funkce n­proměnných Nechť n N, A En, B E1. Pravidlo f, jimž ke každému bodu X = [x1, x2, . . . , xn] A přiřadíme právě jedno číslo y B, nazýváme funkcí n­proměnných. Píšeme y = f(X), resp. y = f(x1, x2, . . . , xn). Množinu A nazýváme definičním oborem funkce f, značíme jej též Df nebo D(f). Bod X nazýváme neodvisle proměnnou funkce f, resp. x1, x2, . . . , xn nazýváme neodvisle proměnnými. Číslo y = f(X) B nazýváme hodnotou funkce f v bodě X = [x1, x2, . . . , xn] A. Množinu těch čísel y B, která jsou přiřazena alespoň k jednomu bodu X A, nazýváme oborem hodnot funkce f a značíme Hf , resp. H(f). Zřejmě Hf B. 63 2. Funkce ­ základní pojmy V zápisu y = f(X) nazýváme též X argumentem funkce f. Je-li funkce f(X) zadaná výrazem bez uvedení jejího definičního oboru, rozumí se jím množina A všech těch bodů X, pro něž má výraz význam. Množinu všech bodů [x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)], kde [x1, . . . , xn] En, nazýváme grafem funkce f. Pro n = 1 nazýváme funkci y = f(x), x A E1 reálnou funkcí jedné proměnné. Příklad 2.4. Při rovnoměrném pohybu při konstantní rychlosti v ujede auto za dobu t dráhu s = vt. Z povahy úlohy vyplývá, že t 0, . Je tedy s = vt funkce jedné neodvisle proměnné t s definičním oborem 0, ). Příklad 2.5. Obvod O obdélníka o stranách a, b se určí podle vztahu O = 2(a+b). Je tedy O = 2(a+b) funkcí bodu [a, b], resp. funkcí dvou proměnných a, b. Z povahy úlohy vyplývá, že definičním oborem je A = {[a, b] : a 0, b 0}. Uveďme si několik dalších příkladů Příklad 2.6. Funkce y = sin(x2 1 + x2 2 + 1) x2 1 + x2 2 je definovaná na množině A = E2 - {[0, 0]}. Příklad 2.7. Funkce y = ln(x1 + 2x2 - 3) x1 - 3x2 je definovaná na množině A všech bodů [x1, x2], pro něž platí x1 + 2x2 - 3 > 0 x1 - 3x2 = 0. (2.14) Poznámka 1. Neodvisle proměnná funkce f se často označuje symbolem X, resp. (x1, . . . , xn) a odvisle proměnná symbolem y. Např. y = f(X), X A, y B. Pro tutéž funkci můžeme použít jiné označení, např. u = f(t), t A, u B. Tedy např. zápisy y = sin(x), x (-, ); y = sin(t), t (-, ) vyjadřují tutéž funkci. Podobně u = sin(x1 + 2x2), [x1, x2] A vyjadřuje tutéž funkci jako u = sin(x + 2t), [x, t] A. Poznámka 2. U některých funkcí je zvykem nedávat argument do závorky, pokud nemůže dojít k omylu. Např. píšeme y = sin x místo y = sin(x), y = log x místo y = log(x). Avšak v zápisu y = sin(2x + 3) nesmíme závorky vynechat. Poznámka 3. Místo funkce y = (f(x))n lze psát y = fn (x). Zde n je exponent. Nedáváme jej do závorky. Zápis f(n) (x) se používá pro n­tou derivaci funkce f(x), jak bude uvedeno později. Symbol f-1 (x) je používán pro označení inverzní funkce k funkci f(x). 64 Poznámka 4. Upozorňuji na chybu, které se někdy studenti dopouštějí. Například místo sin(x2 + x + 1) píší chybně sin (x2 + x + 1)! Upozorňuji, že x2 + x + 1 je argumentem funkce sinus. K lepšímu pochopení některých matematických pojmů a při řešení úloh nám často pomůže grafické znázornění (pokud je to možné) geometrických útvarů v příslušném prostoru. Grafické znázornění geometrických útvarů v prostoru En Prostor E1. Body v E1 znázorňujeme na číselné ose. Není nutno dělat rozdíl mezi bodem na číselné ose a číslem, které je tomuto bodu přiřazeno. znázornění geometrických útvarů v E2 Prostor E2. V rovině zvolme dvě číselné osy se stejným nulovým bodem, které leží na dvou různoběžkách. Číselné osy označme x1 a x2, společný nulový bod nazveme počátkem souřadného systému a označíme 0. Nechť A je libovolný bod této roviny. Veďme jím rovnoběžku p s osou x2 a rovnoběžku q s osou x1. Přímka p protne osu x1 v bodě a1 a přímka q protne osu x2 v bodě a2. Bodu A přiřadíme pak uspořádanou dvojici reálných čísel [a1, a2]. Nebudeme dělat rozdíl mezi bodem A a touto uspořádanou dvojicí [a1, a2]. Číslo a1 budeme nazývat první a číslo a2 budeme nazývat druhou souřadnicí bodu A v souřadném systému 0x1x2. Jsou-li osy x1, x2 navzájem kolmé, mluvíme o pravoúhlém souřadném systému. Mají-li souřadné osy x1, x2 navíc stejné měřítko, souřadný systém nazýváme kartézským souřadným systémem. Na obr. 2.4 je znázorněn kartézský souřadný systém a v něm bod A[a1, a2]. x1 x2 a1 a2 0 q p A Obrázek 2.4: Bod A[a1, a2] v kartézském souřadném systému. Na obr. 2.5 je šedě vyznačen definiční obor funkce y = ln(x1 + 2x2 - 3) x1 - 3x2 z příkladu 2.7. Definičním oborem je množina bodů [x1, x2], která vyhovují (2.14). Body na přímkách x1 + 2x2 - 3 = 0, x1 = 3x2 nepatří do definičního oboru. Jiným příkladem je znázornění grafů funkcí jedné proměnné. Tak na obr. 2.6 je znázorněn graf funkce f(x) = -x, pro x (-, 0 , x2 , pro x (0, ). 65 2. Funkce ­ základní pojmy 3 2 1 1 3 x1 x2 x1 = 3x2 x1 + 2x2 - 3 = 0 Obrázek 2.5: Ilustrace definičního oboru funkce y = ln(x1+2x2-3) x1-3x2 . 0 x y y = f(x) Obrázek 2.6: Graf funkce jedné proměnné. Některé funkce, jako jsou např. f(x) = 1, x je racionální, -1, x je iracionální, nemůžeme dobře graficky znázornit. Grafické znázornění bodů neumožňuje totiž rozlišit body [x1, 1], [x2, -1] pro x1 racionální a x2 iracionální. znázornění geometrických útvarů v E3 Prostor E3. Zvolme tři číselné osy se stejným nulovým bodem, které neleží v jedné rovině. Označme je x1, x2, x3. Společný nulový bod označíme 0 a nazveme počátkem souřadného systému. Nechť A je libovolný bod v prostoru. Veďme jím rovinu určenou osami x2, x3, rovinu určenou osami x1, x3 a rovinu určenou osami x1, x2. Nechť rovina protne číselnou osu x1 v bodě a1, nechť rovina protne číselnou osu x2 v bodě a2 a nechť rovina protne osu x3 v bodě a3. Bodu A přiřadíme uspořádanou trojici [a1, a2, a3] reálných čísel. Nebudeme dělat rozdíl mezi bodem A a touto uspořádanou trojicí. Číslo a1 nazýváme první souřadnicí bodu A, číslo a2 budeme nazývat druhou souřadnicí bodu A a číslo a3 budeme nazývat třetí souřadnicí bodu A. Jestliže osy x1, x2, x3 jsou navzájem ortogonální, mluvíme o pravoúhlém souřadném systému. Mají-li souřadné osy x1, x2, x3 stejná měřítka, mluvíme o kartézském souřadném systému. Chceme-li znázornit geometrické útvary v rovině (na papíře), musíme použít nějakou projekci. Ukažme tyto možnosti. a) V rovině sestrojíme kartézský souřadný systém s počátkem 0 a souřadnými osami x1, x2. Jestliže A je bod v E3 o souřadnicích [a1, a2, a3], vyznačíme 66 v rovině bod A1[a1, a2] (resp. označme opět A) a k němu připíšeme souřadnici a3. Číslo a3 budeme nazývat kótou bodu A. x1 x2 A1(a3) vrstevniceChceme-li např. si udělat představu o funkci x3 = x2 1+x2 2, můžeme postupovat takto. Zvolíme kartézský souřadný systém v rovině. Jeho osy označíme x1, x2. Zvolme c. Je-li c > 0, protne rovina x3 = c plochu x3 = x2 1 +x2 2 v kružnici x2 1 + x2 2 = ( c) 2 . Nazveme ji vrstevnicí. V rovině x1, x2 vykreslíme tuto kružnici a k ní připíšeme číslo c, tj. kótu všech bodů kružnice na ploše. Pro c = 0 obdržíme bod [0, 0, 0]. Vykreslením několika vrstevnic si uděláme náhled na vyšetřovanou plochu x3 = x2 1 + x2 2. Viz obr. 2.7 0 1 2 1 2 x1 x2 c = 1 4 c = 1 c = 4 Obrázek 2.7: Vrstevnice plochy x3 = x2 1 + x2 2. Analogický způsobem se znázorňují vrstevnice jiné plochy. Pro " slušné" funkce je vrstevnicí křivka, jak ji intuitivně chápeme. Vykreslení průmětu těchto křivek u složitějších ploch se provádí užitím počítače, na němž je instalovaný k tomu určený software. Na obr. 2.8 je grafické znázornění vrstevnic plochy užitím programového systému Matlab. Pokuste se představit si znázorněnou plochu! projekce E3 do E2 b) Vykreslíme (viz. obr. 2.9) navzájem kolmé souřadné osy x2, x3. Dále vykreslíme souřadnou osu x1, která svírá s osou x2 zvolený úhel . Dále zvolíme 67 2. Funkce ­ základní pojmy 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -6 -4 -4 -4 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 6 6 6 8 Obrázek 2.8: Vrstevnice plochy. číslo 0 < k < 1, tzv. faktor zkrácení. Potom bod A[a1, a2, a3] znázorníme jako bod Ak dle obr. 2.9. Bod A jsme vykreslili v tzv. šikmém promítání (jak jsme byli zvyklí znázorňovat geometrické útvary na gymnáziích). Ak a3 a2 x1 x2 x3 ka1 Obrázek 2.9: Šikmé promítání. Příkladem je obr. 2.10, na němž je znázorněna funkce x3 = 5x2 1(x2 1-2)+x2 2+5. Pro větší čitelnost jsou na ploše vykresleny křyvky, které jsou průsečnicemi plochy s rovinami x1 = konst., a vykresleny křivky, které jsou průsečnicemi plochy s rovinami x2 = konst.. K vykreslení byl použit programový systém Mathematica. 68 -2 -1 0 1 2 -5 0 5 0 20 40 60 80 100 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 2 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 Obrázek 2.10: Graf funkce a vrstevnice funkce f(x, y) = 5x2 1(x2 1 -2)+x2 2 +5. Rozdíl kót dvou sousedních vrstevnic je 3. Vrstevnice mají kóty 3 ÷ 60. Na obr. 2.11 je znázorněna křivka x1 = a cos t, x2 = a sin t, x3 = bt, t 0, 2 . Průmětem této křivky do roviny (x1, x2) je kružnice c1 o rovnici x2 1 +x2 2 = a2 . Křivka určená rovnicí (2.13) leží na válcové ploše s povrchovými přímkami rovnoběžnými se souřadnou osou x3. x1 x2 x3 c1 [a, 0, 0]0 Obrázek 2.11: Křivka x1 = a cos t, x2 = a sin t, x3 = bt, t 0, 2 v prostoru V3. Prostor En, n > 3. Geometrické útvary v prostorech En, n > 3, si nemůžeme smyslově představit. V konkrétních případech je možno postupovat např. 69 2. Funkce ­ základní pojmy takto: Je-li z = f(X), X E4, je možné provést znázornění ploch z = f(x1, x2, x3, c), kde c R jsou zvolená čísla. 2.1 Shrnutí, úlohy V kapitole jsme si zopakovali pojem zobrazení množiny A do B. Jako zvláštní případ jsme pojednali o zobrazení y = Ax, kde A je matice typu (m, n), x Vn, y Vm. O tomto zobrazení bude pojednáno ještě jednou v kapitole 8. V této kapitole je zaveden též pojem křivky v prostoru En. Hlavním tématem je pojednání o grafickém znázornění geometrických útvarů v En. Úlohy 1. Nakreslete vrstevnice plochy z = x2 - y2 s kótami 1, 2, 3, -1, -2, -3. 2. Nakreslete vrstevnice plochy z = x2+y2 x+y pro kóty 1, 2, 3. 3. Určete definiční obory funkcí a) z = x2+y2-4 y-x [Df = {[x, y] : x2 + y2 - 4 0 y - x = 0}. Označme k kružnici se středem v bodě [0, 0] o poloměru 2, p přímku y = x. Df je množina těch bodů ležících vně k a na k, která neleží na přímce p.] b) z = log(x-y) x+y [Df = {[x, y] : x - y > 0 x + y = 0}. Df je množina těch bodů [x, y], které leží pod přímkou y = x a neleží na přímce y = -x.] a graficky je znázorněte. 70 Limita a spojitost funkce jedné proměnné v daném bodě Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí Shrnutí, úlohy Limita a spojitost funkce jedné proměnné 3 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné Cíl kapitoly Seznámit se s pojmem limity funkce v daném bodě a s pojmem spojitosti funkce f(x) v daném bodě a pomocí limity funkce v bodě a. Seznámit se s výpočtem limity a spojitosti v daném bodě součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí. Určit spojitost složené funkce na základě spojitosti její vnitřní a vnější složky. Seznámit se s výpočtem limity složené funkce v daném bodě. Časová zátěž 8 hodin Úvod. V této kapitole se zaměříme na zavedení pojmu limity reálné funkce f(x) jedné proměnné v daném bodě. Pojem limity funkce f(x) v daném bodě pak použijeme k zavedení pojmu spojitosti funkce f(x) v daném bodě. S pojmem spojitosti funkce f(x) v daném bodě jste se setkali již na střední škole. Jeho zavedení způsobem nezávislým na pojmu limity funkce v daném bodě byl zopakován v učebním textu " Matematika A". V této kapitole budeme tam, kde nemůže dojít k omylu, používat pojem funkce místo reálná funkce reálné proměnné. Pojem limity je důležitým pojmem, který je základním pojmem např. pro zavedení pojmu " derivace funkce" a určitého integrálu z dané funkce. Před jeho vlastním zavedením si zopakujeme pojem okolí bodu a R a rozšíření operací " +, -, , :" na R . Pojmu " limita" je nutno dobře porozumět. (Porozumění není totéž jako odříkání definicí a vět!) množina R a operace v ní Připomeňme si některé pojmy, které jsme již uvedli v textu " Matematika A". Označili jsme R množinu R = R{-, }. Symbolem -, jsme nazvali nevlastními čísly. Prvky množiny R nazýváme většinou prostě čísla, resp. body. V textu " Matematika A" jsme rozšířili aritmetické operace " +, -, , :" pro reálná čísla i na některé případy, v nichž jeden nebo oba operandy jsou symboly +, resp. -. Pro a R jsme definovali: a + = , + a = , + = , a - = -, -+a = -, -- = -, a = 0, = , (-) = -, - (-) = , - = -, a = pro a > 0, a = pro a < 0, a (-) = - pro a > 0, a (-) = pro a < 0. Některé operace, jako - , , 0 nejsou definovány. Dále jsme zavedli pojem okolí každého bodu a R takto: 72 okolí bodu a R Nechť a R, potom pro každé > 0 nazýváme interval (a - , a + ) okolím bodu a a značíme jej U(a). Podobně, interval (a-, a ( a, a+)) nazýváme levým (pravým) okolím bodu a a značíme jej U- (a) (U+ (a)). Nechť a = (a = -). Potom pro každé nazýváme interval (, ) ((-, )) ­okolím bodu (-) a značíme jej U() (U(-)). Množinu U+ (a) - {a} (U- (a) - {a}) nazýváme pravým (levým) ryzím okolím bodu a. Podobně U(a)-{a} nazýváme ryzím ­okolím bodu a. 3.1 Limita a spojitost funkce jedné proměnné v daném bodě V učebním textu " Matematika A" jsme zavedli pojem spojitosti funkce f(x) v bodě a R zleva (zprava) a pojem spojitosti funkce f(x) v bodě a. Doporučuji, abyste si tyto pojmy zopakovali před dalším studiem tohoto textu. Úvodní poznámky k zavedení pojmu " limita reálné funkce jedné proměnné" intuitivní zavedení pojmu limity funkce v bodě Začněme s funkcí f(x) = sin x x . Tato funkce není definovaná v bodě x = 0. Uveďme si hodnoty této funkce v několika bodech: x 1,5 1 0,5 f(x) 0,664996 . . . 0,841470 . . . 0,958851 . . . x 0,1 0,01 0,001 f(x) 0,998334 . . . 0,999983 . . . 0,999999 . . . Uvedený výpočet nás vede k domněnce, že čím x je " blíže" k číslu 0, tím je f(x) " blíže" k číslu 1. Slovo " blíže" budeme precizovat takto: K libovolnému > 0 lze určit číslo > 0 tak, že pro x U(0), x = 0, je sin x x U(1), to jest pro x (-, ), x = 0, je 1 - < sin x x < 1 + . Důkaz pravdivosti této domněnky nebudeme teď provádět. Poněvadž tato domněnka je pravdivá, budeme říkat, že funkce sin x x má v bodě 0 limitu rovnu 1 a budeme psát lim x0 sin x x = 1. V dalším pojednání si uvedeme definici limity funkce f(x) dvěma různými způsoby. Druhý způsob je založen na pojmu limity posloupnosti. Dříve, než přikročíme k exaktnímu zavedení pojmu " limita funkce f(x)" v daném bodě a R , zavedeme si tento pojem na základě neupřesněných pojmů. Doufám, že to pomůže k pochopení tohoto pojmu. Pojem limity funkce je základním 73 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné pojmem, jemuž je nutno dobře porozumět. Toto porozumění je důležitější než naučení se přesnému znění definic a vět, které dávají návod k jejich výpočtu. Rčení " limita funkce f(x) v bodě a R je rovna R ", které symbolicky zapisujeme jako lim xa f(x) = , znamená, nepřesně řečeno, toto: Číslo lze aproximovat hodnotou funkce f se zvolenou přesností v kterémkoliv bodě x ležícím dostatečně blízko k číslu a, x = a. Jinak řečeno: jestliže " x se blíží k a", potom " f(x) se blíží k ". Například: a) lim x2 x + 2 x2 + 1 = 4 5 znamená, že pro x = 2, která se málo liší od 2, je x+1 x2+1 definováno a x+1 x2+1 se málo liší od 4 5 = 0,8. (Např. pro x = 2,01 dostáváme x + 2 x2 + 1 x=2,01 = 0,795619 . . . a pro x = 2,001 dostáváme x + 2 x2 + 1 x=2,001 = 0,7995602 . . . . b) lim x 2x2 + x + 1 x2 - 1 = 2 znamená, že pro " hodně velké x" je 2x2+x+1 x2-1 definováno a liší se málo od 2. Např pro x = 100 je 2x2 + x + 1 x2 - 1 x=100 = 2,010301 . . . a pro x = 1000 je 2x2 + x + 1 x2 - 1 x=1000 = 2,002003 . . . . c) lim x-4 x2 - 16 x + 4 = -8 znamená, že pro " všechna x dostatečně blízká k číslu -4", ale různá od -4, je x2-16 x+4 definováno a x2-16 x+4 je " blízko k číslu -8". Např. pro x = -4,01 je x2 - 16 x + 4 x=-4,01 = -8,01 a pro x = -3,99 je x2 - 16 x + 4 x=-3,99 = -7,99 . 74 d) lim x0 1 x2 = znamená, že když " x se blíží k 0" a je x = 0, pak " 1 x2 roste nade všechny meze". Například pro x = 10-2 je 1 x2 x=10-2 = 104 a pro x = 10-3 je 1 x2 x=10-3 = 106 . Rčení " limita zprava (zleva) funkce f(x) v bodě a R je rovna R ", které symbolicky zapisujeme jako lim xa+ f(x) = lim xaf(x) = znamená toto: Hodnota funkce f(x) aproximuje číslo se zvolenou přesností ve všech číslech x, x > a (x < a) dostatečně blízkých k číslu a. Jinak řečeno: Jestliže " x se blíží k a" a přitom je stále x > a (x < a), potom " f(x) se blíží k číslu ". Osvětlete si tyto zápisy a) lim x0+ ln x = b) lim x2+ 3x x-2 = c) lim x2- 3x x-2 = a nakreslete grafy funkcí, jejichž limity v příslušných bodech jsou uvedeny. Limita funkce jedné proměnné Po úvodních slovech k zavedení pojmu limity uveďme si její přesné zavedení. limita funkce v boděDefinice 3.1. (Limita funkce jedné proměnné) Nechť y = f(x) je reálná funkce reálné proměnné x. Nechť a R . Řekneme, že funkce f(x) má v bodě a limitu R a píšeme lim xa f(x) = , jestliže ke každému ­okolí bodu existuje ­okolí bodu a tak, že 1. funkce f(x) je definovaná v U(a) - {a} 2. pro všechna x U(a) - {a} platí f(x) U(). 75 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné V bodech a R zavádíme i limitu zprava a limitu zleva funkce f(x) takto: Řekneme, že funkce f(x) má v bodě a R limitu zprava (zleva) rovnu číslu R a píšeme lim xa+ f(x) = lim xaf(x) = , jestliže ke každému ­okolí bodu R existuje pravé (levé) ­okolí bodu a tak, že 1. funkce f(x) je definována v U+ (a)-{a} (U- (a)-{a}) 2. pro všechna x U+ (a) - {a} (x U- (a) - {a}) platí f(x) U(). Poznámka 1. Jestliže funkce f(x) je definovaná v intervalu (c, d), můžeme místo lim xc+ f(x) psát lim xc f(x), místo lim xdf(x) psát lim xd f(x). Poznámka 2. Všimněte si, že označení lim xf(x) ( lim x f(x)) je vlastně rovněž označení pro jednostranné limity. Lehce nahlédneme platnost této věty. Věta 3.1. Nechť funkce f(x) je definovaná na intervalu I a nechť a je vnitřní nebo koncový bod intervalu I. Potom funkce y = f(x) má v bodě a limitu R , když a jenom když platí: Jestliže posloupnost {xn} n=1, kde xn Df , má limitu a, potom posloupnost {f(xn)} n=1 má limitu . Je tedy možno limitu funkce f(x) definovat alternativně takto: Nechť funkce f(x) je definovaná na intervalu I a nechť a je vnitřní nebo koncový bod intervalu I. Potom řekneme, že funkce f(x) má v bodě a limitu R a píšeme lim xa f(x) = , jestliže platí: Je-li {xn} n=1, kde xn Df , posloupnost s limitou a, potom {f(xn)} n=1 je konvergentní a platí lim n f(xn) = . Podobně se definuje užitím posloupností limita zprava (zleva) funkce f(x) v bodě a. Definici 3.1 si osvětlíme na několika příkladech. Graf 1. Na obrázku 3.1 je graf funkce y = f(x) pro níž je lim xa+ f(x) = , kde a R, R. 76 V tomto případě je U() = (-, +), U+ (a)-{a} = (a, a+). Z obrázku je patrno, že k libovolnému > 0 existuje > 0 tak, že pro x (a, a + ) je funkce f(x) definovaná a - < f(x) < +. Graf funkce y = f(x) probíhá v intervalu (a, a + ) v pásu vytvořeném přímkami y = - a y = + . x y 0 x a + a - + f(x) y = f(x) U+ (a) - {a} Obrázek 3.1: lim xa+ f(x) = , a R, R. Graf 2. Na obrázku 3.2 je graf funkce y = f(x), pro níž platí lim xa+ f(x) = , kde a R, = . V tomto případě je U() = U() = (, ), kde R, U+ (a) - {a} = (a, a + ). Z obrázku je patrno, že k libovolnému existuje > 0 tak, že pro x (a, a + ) = U+ (a) je f(x) > . V intervalu (a, a + ) probíhá graf funkce y = f(x) nad přímkou y = . x y 0 x a + U+ (a) - {a} a U() f(x) f(a) y = f(x) y = x=a I Obrázek 3.2: lim xa+ f(x) = , a R, = . Graf 3. Na obr. 3.3 je graf funkce y = f(x), pro níž je lim x f(x) = , kde R. V tomto případě je U() = ( - , + ) pro libovolné > 0 a U() = (, ) pro libovolné . K libovolnému > 0 existuje tak, že pro x U() = (, ) je f(x) U() = (-, +). Graf funkce f(x) v intervalu (, ) probíhá v pásu vytvořeném přímkami y = - a y = + . 77 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné x y 0 U()x U() - + f(x) y = f(x) y = - y = + y = I Obrázek 3.3: lim x f(x) = , R. Graf 4. na obr. 3.4 je graf funkce y = f(x), definované na intervalu I = (b, ), pro níž platí lim x f(x) = , kde = . V tomto případě je U() = U() = (, ) a U() = (, ). Z obrázku je vidět, že k libovolnému číslu R lze určit R tak, že pro x (, ), tj. pro x U() je f(x) > , tj. f(x) U(). x y 0 f(x) xb U() U() y = f(x) y = Obrázek 3.4: lim x f(x) = . Graf 5. Na obr. 3.5 je graf funkce y = f(x), pro níž platí lim xa f(x) = , kde a, R. V tomto případě je U() = (-, +) pro libovolné > 0 a U(a)-{a} je (a-, a)(a, a+). Tedy pro x (a-, a)(a, a+) je a- < f(x) < +. Ukažme, že platí tato věta: Věta 3.2. Nechť f(x) je funkce. Potom lim x f(x) = ( lim xf(x) = ), kde R , když a jenom když lim y0+ f 1 y = lim y0- f 1 y = . 78 x y 0 a - a + a cx - + y = - y = + f(a) y = f(x) U(a) - {a} Obrázek 3.5: lim xa f(x) = , a, R. Důkaz: Důkaz vychází z toho, že vztahem y = 1 x je ke každému x U(), = 0 přiřazeno právě jedno y U+ 1 (0) a každé y U+ 1 (0) je přiřazeno právě k jednomu x U(). Pro lim xf(x) je důkaz analogický. Úloha. Zvolte si funkci y = f(x) a načrtněte její graf pro tyto případy: a) lim xaf(x) = , R, lim xa f(x) = , a R, R b) lim xa+ f(x) = , lim xaf(x) = , lim xa f(x) = , a R c) lim xa+ f(x) = -, lim xaf(x) = -, lim xa f(x) = -, a R d) lim x f(x) = , lim x f(x) = -, lim x f(x) = , R e) lim xf(x) = , lim xf(x) = -, lim xf(x) = , R Limita funkce f(x) v daném bodě a nezávisí na hodnotě funkce f(x) v bodě a. Tedy funkce f(x) nemusí být v bodě a ani definovaná. Platí tedy tato poučka: Nechť a R , nechť existuje R tak, že f(x) = g(x) pro x U(a) - {a}. Potom existuje-li lim xa f(x), existuje i lim xa g(x) a platí lim xa f(x) = lim xa g(x). Podobně pro lim xa+ f(x), lim xaf(x), lim xf(x), lim x f(x). 79 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné Funkce f(x) nemusí mít v daném bodě limitu. Uveďme tyto příklady. Příklad 3.1. Nechť f(x) = 1 pro x racionální, -1 pro x iracionální. Nechť a R. Potom neexistuje lim xa+ f(x) ani lim xa- f(x). Skutečně. V každém intervalu (a, a + ) ((a - , a)) jsou jak body x, v nichž je f(x) = 1, tak body x, v nichž je f(x) = -1. Tedy neexistuje ani lim xa+ f(x) ani lim xa- f(x). Příklad 3.2. Ukažme, že neexistuje lim x0+ sin 1 x . Řešení. Především zvažme, že funkce sin 1 x je definovaná pro všechna x = 0. Položme xk = 1 (2k + 1) 2 , k = 1, 2, . . . Zřejmě posloupnost {xk} k=1 má limitu rovnu 0, tj. lim k xk = 0. Dále sin 1 xk = sin(2k + 1) 2 = -1 pro k liché, 1 pro k sudé. Tedy v každém intervalu (0, ) jsou jednak body, v nichž funkce sin 1 x nabývá hodnoty -1, jednak body, v nichž funkce sin 1 x nybývá hodnoty 1, takže neexistuje lim x0+ sin 1 x . Na obr. 3.6 je vyznačen graf funkce sin 1 x pořízený na počítači. x y 0 -1 1 Obrázek 3.6: Graf funkce sin 1 x . V učebním textu " Matematika A" jsme zavedli pojem spojitosti funkce f(x) v daném bodě a. Zavedení tohoto pojmu lze provést pomocí pojmu limity funkce f(x) v bodě a takto. 80 spojitost funkce v bodě Definice 3.2. (Spojitost funkce v bodě) Nechť funkce f(x) je definovaná v bodě a R a nechť lim xa f(x) = f(a) ( lim xa+ f(x) = f(a)) [ lim xaf(x) = f(a)]. Potom f(x) je v bodě a spojitá (spojitá zprava) [spojitá zleva]. Je-li a levým (pravým) koncovým bodem intervalu I, na němž je funkce definovaná, můžeme říkat, že funkce f(x) je v bodě a spojitá místo f(x) je v bodě a zprava (zleva) spojitá. Jestliže funkce f(x) je v bodě a R spojitá, potom výpočet limity funkce f(x) v bodě a lze určit pouhým výpočtem hodnoty funkce f(x) v bodě a. V učebním textu " Matematika A" jsme uvedli, že elementární funkce polynom, racionální lomená funkce n x, ax loga x, sin x, cos x, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Uveďme si několik příkladů. Příklad 3.3. Dokažme, že lim x10 log x = 1, lim x 4 sin x = 2 2 . Skutečně. Funkce log x, sin x jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Tedy lim x10 log x = log 10 = 1, lim x 4 sin x = sin 4 = 2 2 . Příklad 3.4. Nechť n N. Dokažme lim x- xn = , n je sudé, -, n je liché. Skutečně. Nechť n je sudé. Nechť > 0 je libovolné číslo. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že > 1. Položme = - n . Potom pro x U(-), tj. pro x (-, - n ) je xn > , tj. xn U(), takže lim x- xn = pro n sudé. 81 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné Podobně se dokáže, že pro n liché je lim x- xn = -. Příklad 3.5. Vypočítejte lim x2 (3x2 - 4x + 1). Řešení. Polynom je funkce spojitá v každém bodě x R, tedy i v bodě 2. Limita v bodě a, v němž je funkce spojitá, je rovna její funkční hodnotě v bodě a. Tedy lim x2 (3x2 - 4x + 1) = 3 22 - 4 2 + 1 = 5. Příklad 3.6. Vypočítejte lim x2 3x + 2 x2 - 1 . Řešení. Funkce f(x) = 3x+2 x2-1 je racionální lomená funkce. Víme, že racionální lomená funkce je spojitá v každém bodě svého definičního oboru, to jest v každém bodě, v němž je jmenovatel nenulový. V našem případě je jmenovatel x2 - 1 v bodě 2 roven 22 - 1 = 3, takže lim x2 f(x) je rovna f(2). Dostáváme lim x2 3x + 2 x2 - 1 = 3 2 + 2 22 - 1 = 8 3 . Příklad 3.7. Vypočítejte lim x2 x2 - 4 x2 - 5x + 6 . Řešení. Položme f(x) = x2 - 4 x2 - 5x + 6 . Zřejmě Df = R - {2, 3}. Funkce f(x) není tedy v bodě 2 spojitá, neboť v něm ani není definovaná. Funkci f(x) přepišme na tvar f(x) = (x - 2)(x + 2) (x - 2)(x - 3) . Položme g(x) = x + 2 x - 3 . Zřejmě f(x)=g(x) pro x = 2. Poněvadž limita funkce nezávisí na její hodnotě v bodě, v němž limitu počítáme, je lim x2 f(x) = lim x2 g(x). (3.1) Funkce g(x) je však spojitá v bodě 2, takže lim x2 g(x) = g(2), 82 tj. lim x2 g(x) = 2 + 2 2 - 3 . Podle (3.1) je tedy lim x2 f(x) = -4. 3.2 Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí Pro funkce, které vzniknou sečítáním, odečítáním, násobením a dělením funkcí, jejichž uvažované limity v daném bodě a známe, můžeme počítat limitu podle následující věty. Věta 3.3. Nechť f(x), g(x) jsou funkce pro něž platí lim f(x) = A, lim g(x) = B, kde lim značí jeden ze symbolů lim xa , lim xa+ , lim xa, lim x , lim x- , a R a symboly A, B představují reálná čísla nebo jeden ze symbolů + nebo - (to jest A, B R ). Potom platí lim(f(x) g(x)) = A B, (3.2) lim f(x) g(x) = A B, (3.3) lim f(x) g(x) = A B , (3.4) pokud má pravá strana význam v R . Důkaz: Důkaz věty proveďme jen pro některé případy. Dokažme vztah (3.2) pro limitu v bodě a pro tyto případy. Ostatní případy se dokazují podobně. ) Nechť a, A, B R. Nechť lim xa f(x) = A, lim xa g(x) = B. Dokažme, že lim xa (f(x) g(x)) = A B. Nechť > 0 je libovolné číslo. Poněvadž lim xa f(x) = A, existuje takové 1 > 0, že pro x = a, x (a - 1, a + 1) je funkce f(x) definovaná a platí |f(x) - A| < 2 . (3.5) Podobně, poněvadž lim xa g(x) = B, existuje 2 > 0 tak, že pro x (a - 2, a + 2), x = a, je funkce g(x) definovaná a platí |g(x) - B| < 2 . (3.6) 83 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné Položme = min(1, 2). Ze vztahů (3.5),(3.6) dostáváme pro x = a, x (a - , a + ) |f(x) g(x) - (A B)| = |(f(x) - A) (g(x) - B)| |f(x) - A | + |g(x) - B| < 2 + 2 = . Tedy lim xa (f(x) g(x)) = A B. ) Nechť a, A R, B = . Nechť , K > 0 jsou libovolná čísla. Poněvadž lim xa f(x) = A, lze k číslu určit 1 > 0 tak, že pro x (a - 1, a + 1), x = a, je funkce f(x) definovaná a platí |f(x) - A| < , tj. A - < f(x) < A + . Poněvadž lim xa g(x) = , lze k číslu (K + - A) určit 2 > 0 tak, že pro x (a - 2, a + 2), x = a, je funkce g(x) definovaná a platí g(x) > K + - A. Označme = min(1, 2). Potom pro x (a-, a+), x = a, je funkce g(x) definovaná a platí f(x) + g(x) > A - + (K + - A) = K. Je tedy lim xa (f(x) + g(x)) = A + B = A + = . Podobně se dokáže, že lim xa+ (f(x) - g(x)) = -. Poznámka. Nechť g(x) = c, kde c je reálná konstanta. Potom lim xa g(x) = c pro libovolné a, neboť pro libovolné > 0 a pro všechna x platí |g(x) - c| = |c - c| = 0 < . Je-li lim xa f(x) = A, A R , c R je libovolná konstanta, platí tedy podle věty 3.3 lim xa c f(x) = c lim xa f(x) = c A, pokud má cA význam. 84 Z věty 3.3 dostáváme pro funkce spojité tuto větu. Věta 3.4. Nechť funkce f(x), g(x) jsou spojité v bodě a. Potom i funkce f(x) g(x), f(x) g(x) je spojitá v bodě a. Jestliže navíc g(a) = 0, je i funkce f(x) g(x) spojitá v bodě a. Příklad 3.8. Funkce sin x, x2 -1 jsou spojité v každém bodě. Tedy i funkce sin x+x2 -1, sin x-x2 +1, (x2 -1)sin x jsou spojité v každém bodě. Poněvadž x2 - 1 = 0 pro x = 1 a pro x = -1, je funkce sin x x2-1 spojitá v každém bodě x, kde x = 1. Příklad 3.9. Vypočítejte lim x (anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0), an = 0. Řešení. Položme f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0. Funkci f(x) přepišme na tvar f(x) = xn an + an-1 xn-1 xn + + a1 x xn + a0 1 xn , tj. f(x) = xn an + an-1 1 x + + a1 1 xn-1 + a0 1 xn . Podle věty 3.3 je lim x f(x) = lim x xn lim x an + lim x an-1 x + + lim x a1 xn-1 + lim x a0 xn . Poněvadž lim x c xm = c = 0 pro m N, c R, lim x xn = , dostáváme lim x f(x) = lim x an. Je tedy lim x f(x) = pro an > 0, - pro an < 0. Příklad 3.10. Vypočítejte lim x- (anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0), an = 0. Řešení. Postupujeme podobně jako v předchozím příkladě. Položme f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0. 85 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné Dostáváme lim xf(x) = lim x- xn lim xan + lim x- an-1 x + + lim x- a1 xn-1 + lim x- a0 xn . Poněvadž lim x- c xm = 0, m N, c R a lim x- xn = pro n sudé, - pro n liché, dostáváme 1) lim xf(x) = sgn an pro n sudé, -sgn an pro n liché. Tedy např. lim x- (2x2 - 3x + 1) = , lim x- x2 (2 - 3 x + 1 x2 ) = . Příklad 3.11. Podle věty 3.3 je např. lim x0+ (x2 + 1/x) = , neboť x2 je funkce spojitá, takže lim x0+ x2 = 0 a lim x0+ 1/x = . Příklad 3.12. Vypočítejte lim x 2x2 - 3x + 1 -x2 - 2x + 1 . Řešení. Položme f(x) = 2x2 - 3x + 1 -x2 - 2x + 1 . Poněvadž lim x (2x2 - 3x + 1) = , lim x (-x2 - 2x + 1) = -, nemůžeme bezprostředně použít žádnou větu o limitě podílu, kterou jsme zatím uvedli, neboť není definováno ani v R . Avšak pro x = 0 je f(x) = g(x), kde g(x) = 2 - 3 x + 1 x2 -1 - 2 x + 1 x2 . Zřejmě lim x g(x) = lim x 2 - 3 x + 1 x2 lim x -1 - 2 x + 1 x2 = 2 -1 = -2. Je tedy lim x f(x) = -2. Příklad 3.13. Vypočítejte lim x 3x4 - x + 1 x2 + x - 1 . 1) sgn a = 1, je-li a > 0, sqn a = -1, je-li a < 0 86 Řešení. Zřejmě, dělíme-li čitatele i jmenovatele číslem x2 , kde x = 0, dostá- váme lim x 3x4 - x + 1 x2 + x - 1 = lim x 3x2 - 1 x + 1 x2 1 + 1 x - 1 x2 = lim x (3x2 - 1 x + 1 x2 ) lim x (1 + 1 x - 1 x2 ) = 1 = . Příklad 3.14. Vypočítejte lim x x2 + x + 1 x4 + x - 1 . Řešení. Zřejmě, dělíme-li čitatele i jmenovatele x4 pro x = 0, dostáváme lim x x2 + x + 1 x4 + x - 1 = lim x 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 1 + 1 x3 - 1 x4 = lim x ( 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 ) lim x (1 + 1 x3 - 1 x4 ) = 0 1 = 0. Větu 3.3 pro výpočet lim f(x) g(x) nelze použít, jestliže lim f(x) = A, lim g(x) = 0. Je-li A = 0, je tento případ řešen následující větou. O případě, kdy lim f(x) = lim g(x) = 0, pojednáme později. Věta 3.5. (Limita podílu f(x)/g(x), je-li lim g(x) = 0) Nechť a, A R, A = 0. Nechť lim xa+ f(x) = A, lim xa+ g(x) = 0. Nechť existuje > 0 tak, že pro x U+ (a)-{a} je funkce f(x) g(x) definovaná a platí f(x) g(x) > 0 f(x) g(x) < 0 . Potom lim xa+ f(x) g(x) = (-). Příklad 3.15. Vypočítejte lim x2+ 3x x2 - 4 . Řešení. Zřejmě lim x2+ 3x = 6, lim x2+ (x2 - 4) = 0. Tedy limita čitatele je různá od nuly a limita jmenovatele je rovna 0. Určeme znamení funkce 3x x2-4 . Znamení je znázorněno na obr. 3.7. Poněvadž existuje pravé okolí bodu 2, v němž je funkce 3x x2-4 kladná, je podle věty 3.5 lim x2+ 3x x2 - 4 = . 87 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné -2 0 2 - + - + Obrázek 3.7: Znamení funkce z příkladu 3.15. Podobně bychom zjistili, že lim x2- 3x x2 - 4 = -. Poznámka. Schematicky chování funkce 3x x2-4 pro x " blízko" k číslu 2 znázorňujeme podobně jako na obr. 3.8. 2 x Obrázek 3.8: Znázornění chování funkce 3x x2-1 v okolí bodu x = 2, x = 2. Příklad 3.16. Vypočítejte lim x1+ 3x + 1 x2 - 1 . Řešení. Poněvadž lim x1+ (3x + 1) = 4, lim x1+ (x2 - 1) = 0, 3x+1 x2-1 > 0 pro x > 1 (určete znamení racionální lomené funkce 3x+1 x2-1 ), dostáváme podle věty 3.5, že lim x1+ 3x + 1 x2 - 1 = . Spojitost složené funkce Věta 3.6. (Spojitost složené funkce) Nechť funkce u = (x) je spojitá v bodě a R a nechť funkce f(u) je spojitá v bodě = (a). Potom složená funkce f((x)) je spojitá v bodě a. Je tedy lim xa f((x)) = f((a)). 88 Důkaz: Ze spojitosti funkce f v bodě = (a) vyplývá, že k libovolnému > 0 existuje takové > 0, že pro u U() (tj. pro x ( - , + )) je funkce f(u) definovaná a platí f(u) U(f()) (tj. f() - < f(u) < f() + ). Poněvadž funkce je spojitá v bodě a, k uvedenému číslu existuje takové > 0, že pro x U(a) (tj. pro a - < x < a + ) je funkce (x) definovaná a (x) U() (to jest - < (x) < + ). Je-li tedy x U(a), je u = (x) U() a f(u) U(f()), tj. f((x)) U(f()). Funkce f((x)) je tedy spojitá v bodě a. Příklad 3.17. Funkce sin(x2 + x + 1) je spojitá v každém bodě a R. Skutečně. Položme u = (x) = x2 + x + 1, f(u) = sin u. Nechť x R. Víme, že polynom je funkce spojitá v každém bodě. Je tedy (x) spojitá i v bodě a. Označme = a2 +a+1. Funkce f(u) je spojitá v každém bodě, tedy i v bodě . Podle věty 3.6 je tedy f((x)) spojitá v bodě a. Poněvadž a byl libovolný bod z intervalu (-, ), je f((x)) spojitá v každém bodě a (-, ). Věta 3.7. (Spojitost složené funkce) Nechť funkce (x) je spojitá v bodě a R. Položme = (a). Nechť existují taková čísla , , že (U(a)) = U+ () ((U(a)) = U- ()). Nechť funkce f je spojitá zprava (zleva) v bodě . Potom funkce f((x)) je spojitá v bodě a. Důkaz: Nechť > 0 je libovolné číslo. Poněvadž funkce f(u) je spojitá zprava v bodě , existuje > 0 tak, že f(u) je definovaná v U+ () a f(u) U(f()). Poněvadž (x) je spojitá v bodě a, k uvedenému číslu existuje 1 > 0, že pro x U1 (a) je funkce (x) definovaná a (x) U+ (). Položme = min(, 1). Potom pro x U(a) je (x) U+ () a f((x)) U(f((a)). Je tedy lim xa f((x)) = f(a)), takže f((x)) je spojitá v bodě a. Uveďme si nyní větu o limitě složené funkce, je-li její vnější složka spojitá. Věta 3.8. (Limita složené funkce) Nechť , f jsou funkce, a R , R a nechť lim xa (x) = . Nechť funkce f je spojitá v bodě . Potom existuje > 0 tak, že f((x)) existuje v U(a) a platí lim xa f((x)) = f(lim xa (x)) = f(). (3.7) 89 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné Důkaz: Nechť > 0 je libovolné číslo. Poněvadž funkce f je spojitá v bodě , existuje > 0 tak, že pro u U() je funkce f definovaná a f(u) U(f()). Poněvadž limxa (x) = , k číslu existuje takové > 0, že pro x U(a) - {a} je funkce (x) definovavá a (x) U(). Tedy pro x U(a) - {a} má f((x)) význam. Je-li x U(a) - {a}, je u = (x) U() a tedy f((x)) U(f()). Platí tedy (3.7). Příklad 3.18. Ukažme, že lim x e 3x+1 2x-1 = e 3 2 . Skutečně. Položme (x) = 3x+1 2x-1 , f(u) = eu . Zřejmě lim x (x) = lim x 3 + 1 x 2 - 1 x = 3 2 . Funkce eu je spojitá v bodě u = 3 2 , takže lim x e 3x+1 2x-1 = e 3 2 . Příklad 3.19. Nechť (x) = x2 + 1, f(u) = u. Funkce f((x)) je spojitá v bodě 0. Skutečně. (x) je spojitá v bodě a = 0. Položme = (a), tj. = 1. Funkce u je spojitá v bodě = 1. Podle věty 3.8 je tedy funkce x2 + 1 spojitá v bodě a = 0. Poznámka. K domněnce, že funkce x2 + 1 je v bodě a = 0 spojitá, můžeme dospět i touto úvahou. Když x je dostatečně blízko k 0, je x2 + 1 blízko k 1 a stále je x2 + 1 > 0. Tedy x2 + 1 je blízko k číslu 1 = 1. Poněvadž funkce x2 + 1 má v bodě a = 0 hodnotu 1, je funkce x2 + 1 v bodě a = 0 spojitá. Poznámka. Je možno vyslovit řadu dalších vět podobných k větě 3.8, které vzniknou za předpokladu, že funkce f(x) je pouze zprava, resp. zleva spojitá v a místo lim xa (x) se uvažuje lim xa+ (x) resp. lim xa- (x). Věta 3.9. (Limita složené funkce) Nechť , f jsou funkce jedné proměnné a nechť a, , R . Nechť lim xa (x) = , lim u f(u) = . (3.8) Nechť existuje takové okolí U(a) a k němu okolí U() tak, že (U(a) - {a}) = U() - {}. (3.9) Potom lim xa f((x)) = (tj. lim xa f((x)) = lim u lim xa (x) f(u)). 90 Důkaz: Dříve, než přikročíme k vlastnímu důkazu, uvažme, že z (3.9) vyplývá, že pro x U(a) - {a} je (x) = . Nechť U() je libovolné okolí bodu . Poněvadž lim u f(u) = , existuje okolí U1 () tak, že funkce f je v U1 () - {} definovaná a platí f(u) U() pro u U1 () - {}. (3.10) Poněvadž lim xa (x) = , k okolí U1 () existuje takové okolí U2 bodu a, že funkce je definovaná v U2 (a) - {a} a pro x U2 (a) - {a} je (x) U1 (). (3.11) Položme U(a) = U2 (a) U(a). (3.12) Věta bude dokázána, dokážeme-li, že pro všechna x U(a) - {a} je f((x)) U(). (3.13) Nechť tedy x U(a) - {a}. Vzhledem k (3.9), (3.11), (3.12), (3.13) u = (x) U1 () {}. Je tedy f(u) U(), to jest f((x)) U(). Je tedy lim xa f((x)) = . Příklad 3.20. Ukažme, že lim x e3x+1 = . Skutečně. Položme (x) = 3x + 1, f(u) = eu . Zřejmě lim x (x) = = , lim u eu = . Podle věty 3.9 je lim x e3x+1 = . Podobně dokážeme, že lim x- e3x+1 = 0. Je řada vět analogických k větě 3.9. Např. následující věta. Věta 3.10. (Věta o limitě složené funkce) Nachť , f jsou funkce jedné proměnné a nechť a, , R . Nechť lim xa (x) = , lim u+ f(u) = . (3.14) Nechť existuje takové okolí U(a) a k němu okolí U+ () tak, že (U(a) - {a}) = U+ () - {}. (3.15) Potom lim xa f((x)) = . 91 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné 3.3 Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly V kapitole je zaveden pojem limity funkce f(x) v bodě a R a tento pojem je použit k zavedení pojmu spojitosti funkce f(x) v bodě a R. Jsou vyšetřovány limity funkcí f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) v daném bodě pomocí limit funkcí f(x), g(x) v tomto bodě. Je vyšetřována spojitost funkcí f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) v daném bodě, jsou-li v tomto bodě spojité funkce f(x) a g(x). Rovněž je vyšetřovaná limita složené funkce v daném bodě a spojitost složené funkce v daném bodě. Úlohy 1. Vysvětlete pojem limity funkce f(x) v bodě a R . 2. Vysvětlete pojem spojitosti funkce f(x) v bodě a R. 3. Nechť f(x) < g(x) < h(x), x I, x = a. Nechť lim xa f(x) = lim xa h(x) = . Existuje lim xa g(x)? V případě, že existuje, určete lim xa g(x). 4. Jaké věty znáte pro výpočet limity součtu, součinu a podílu dvou funkcí? 5. Vysvětlete pojem funkce spojité daném v bodě. 6. Jaké věty znáte o spojitosti součtu, součinu a podílu dvou funkcí? 7. Co víte o spojitosti složené funkce? 8. Jakou větu znáte pro výpočet limity složené funkce? 9. Nechť f(x) = 1 pro x > 0, 0 pro x = 0, -1 pro x < 0. Vypočítejte lim x0+ f(x), lim x0f(x), lim x0 f(x). [1, -1, neexistuje] 10. Vypočítejte limity a) lim x2 (3x + 1) [7] b) lim x-1 2x+1 x2+1 [-1 2 ] c) lim x3 sin x x+1 - 2 [sin 3 4 - 2] 11. Vypočítejte limity a) lim x 2x2+x-1 3x+1 [] b) lim x- 3x2+1 4x2+x-1 [3 4 ] c) lim x arctg x [ 2 ] d) lim xarccotg x [0] 92 e) lim x0+ |x| x , lim x0- |x| x [+1, -1] f) lim x ex , lim x- ex [, 0] g) lim x0+ log x, lim x0log x [-, neexistuje] h) lim x0log 1 10 x [] i) lim x sin x [neexistuje] j) lim x sin x x [0] k) lim x0+ sin 1 x [neexistuje] v) lim x0+ x sin 1 x [0] 12. Vypočítejte a) lim x1+ 3x+1 x2-1 , lim x1- 3x+1 x2-1 , lim x-1+ 3x+1 x2-1 , lim x-1- 3x+1 x2-1 [, -, -, ] b) lim x- 2 3 3x (3x+2)2 [-] c) lim x2+ 1 x-2 + 3 x2-2x , lim x2- 1 x-2 + 3 x2-2x [+, -] d) lim x3+ x2-5x+6 x2-3x [1 3 ] e) lim x arctg x2+1 3x+1 , lim xarctg x2+1 3x+1 [ 2 , - 2 ] 13. Vypočítejte a) lim x ( 4x2 - 1 - 2x2 + 3) [+] 14. Je funkce f(x) = sin x x spojitá v bodě 0? Je funkce g(x) = f(x) pro x (-, 0) (0, ), g(0) = 1 spojitá v bodě a = 0? [f(x) není, g(x) je] 15. Je funkce a) f(x) = 4x2+1 x spojitá v bodě 0? [není] b) g(x) = f(x) pro x = 0, g(0) = 2 spojitá v bodě 0? [není] 16. Vypočítejte a) lim x e x+1 x2 [1] b) lim x ln(1 - x) [nemá limitu] c) lim xe+ ln(x-e) x [-] d) lim x0+ 2 x+1 x , lim x0- 2 x+1 x [, 0] 93 3. Limita a spojitost funkce jedné proměnné 94 Zavedení pojmu derivace funkce Derivace elementárních funkcí Shrnutí, úlohy Derivace reálné funkce reálné proměnné 4 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Cíl kapitoly Zavést pojem derivace reálné funkce reálné proměnné. Porozumět jejímu zavedení s ohledem na aplikace v ekonomii. Odvodit derivace elementárních funkcí. Odvodit pravidla pro derivování součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí. Odvodit pravidla pro derivování složené a inverzní funkce. Časová zátěž 14 hodin. 4.1 Zavedení pojmu derivace funkce zavedení derivace funkce Začneme s touto úlohou. Nechť y = f(x) je reálná funkce reálné proměnné definovaná na intervalu I. Nechť a je vnitřním bodem intervalu I. Upřesněme si intuitivně chápaný pojem tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě T[a, f(a)] (viz obr. 4.1) x y 0 a xI f(x) T[a, f(a)] M[x, f(x)] p t Obrázek 4.1: Tečna ke grafu funkce y = f(x) v bodě T[a, f(a)]. Názor nás vede k této definici. Zvolme bod x I, x = a, a uvažujme přímku p jdoucí body T[a, f(a)], M[x, f(x)] (p je sečnou grafu funkce f(x)). Její směrnice, označme ji k(x) (to jest tangens úhlu, který svírá přímka p s kladným směrem osy x), je rovna k(x) = f(x) - f(a) x - a . Lze tedy při pevně zvoleném a považovat k(x) za funkci proměnné x. Tato funkce není v bodě a definovaná. 96 Existuje-li k = lim xa k(x) = lim xa f(x) - f(a) x - a , pak přímku jdoucí bodem T[a, f(a)] se směrnicí k nazveme tečnou grafu funkce y = f(x) v bodě T. Přímku na ni kolmou nazveme normálou křivky y = f(x) v bodě T. (Podobně mluvíme o pravé (levé) polotečně grafu funkce y = f(x).) V řadě aplikací se setkáváme s touto úlohou. Nechť f(x) je daná funkce. Má se určit limita (resp. limita zprava (zleva)) v bodě a funkce F(x) definované vztahem F(x) = f(x) - f(a) x - a . Pro tyto limity, pokud existují, zavádíme pojem derivace funkce f(x) v bodě a následující definicí. Definice 4.1. (Definice derivace funkce) Nechť f(x) je funkce, a je reálné číslo. Jestliže existuje číslo, označme jej f+ (a) R (f(a) R) tak, že f+ (a) = lim xa+ f(x) - f(a) x - a , f(a) = lim xaf(x) - f(a) x - a , (4.1) pak tuto limitu nazýváme derivací zprava funkce f(x) v čísle a (derivací zleva funkce f(x) v čísle a). Jestliže funkce f(x) má v bodě a derivaci zprava f+ (a) a derivaci zleva f(a) a jestliže f+ (a) = f(a), nazýváme tuto společnou hodnotu derivací funkce f(x) v bodě a a značíme ji f (a). Je tedy f (a) = lim xa f(x) - f(a) x - a . Dohoda o označování. Jestliže uvažujeme funkci f(x) na intervalu I, jehož levým (pravým) koncovým bodem je bod a, budeme někdy používat označení f (a) místo f+ (a) (f- (a)). Poznámka 1. Všimněmě si, že funkce F(x) = f(x) - f(a) x - a vystupující v definici derivace funkce f(x) v (4.1) není definovaná v bodě a, neboť jmenovatel je v bodě a roven 0. 97 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Poznámka 2. Položíme-li v (4.1) x = a + h, můžeme derivaci funkce f(x) v čísle a definovat též jako lim h0 f(a + h) - f(a) h . (4.2) Na h se můžeme dívat jako na přírustek neodvosle proměnné x, to jest h je číslo, o něž se změní x­ová souřadnice, přejdeme-li z bodu a do bodu a + h. Přírustek neodvisle proměnné se často označuje též jako x. Čitatel v (4.2) je pak přírustkem odvisle proměnné y a označujeme jej obvykle y, resp. f. Tedy y je hodnota, o níž se změní funkční hodnota při přechodu z bodu a do bodu a + h. Tedy (4.2) lze zapsat jako lim x0 y x . Poznámka 3. Pojem derivace funkce má značné uplatnění v ekonomických aplikacích. Vyjdeme z příkladu, který nám pomůže pochopit problematiku využití derivací v některých ekonomických aplikacích. Nechť s = s(t) vyjadřuje ujetou vzdélenost auta za dobu t. Nechť t1, t2, kde t1 < t2, jsou dva časové okamžiky. Potom za dobu t2 - t1 auto ujede vzdálenost s(t2) - s(t1). Číslo s(t2) - s(t1 t2 - t1 vyjadřuje tedy průměrnou rychlost, kterou auto dosáhne v době od časového okamžiku t1 do časového okamžiku t2, tj. za dobu t2 - t1. Potom derivaci s (t0) funkce s(t) v bodě t0, tj. lim tt0 s(t) - f(t0) t - t0 můžeme nazvat okamžitou rychlostí auta v časovém okamžiku t0. význam derivace Jestliže proměnné x a y značí nějaké ekonomické veličiny, vyjadřuje funkce y = f(x) jejich vzájemnou závislost. Potom f(x)-f(a) x-a vyjadřuje průměrný a f (a) okamžitý poměr změny těchto ekonomických veličin. V závislosti na ekonomické aplikaci dostává derivace f (a) vhodný ekonomický název. Jestliže y = f(x) má v bodě a derivaci f (a), potom přímka jdoucí bodem T[a, f(a)] se směrnicí f (a) je tečnou ke grafu y = f(x) v jejím bodě T. Přímka k ní kolmá, jdoucí bodem T, je její normálou v bodě T. 98 Derivace funkce f(x) = c, c (-, ) Nechť f(x) = c, c (-, ). Potom podle definice 4.1 dostáváme pro a (-, ) f (a) = lim xa f(x) - f(a) x - a = lim xa c - c x - a = 0. Je tedy c = 0, kde c R, x (-, ). Derivace funkce f(x) = xn Určeme derivaci funkce f(x) = xn , n N, v bodě a (-, ). Podle definice je f (a) = lim xa f(x) - f(a) x - a = lim xa xn - an x - a . Poněvadž xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + + an-2 x + an-1 ) a limita funkce nezáleží na hodnotě funkce v bodě, v němž limitu počítáme, dostáváme odtud f (a) = lim xa (xn-1 + axn-2 + + an-2 x + an-1 ). Vzhledem ke spojitosti polynomu v bodě a je f (a) rovna funkční hodnotě polynomu v závorce v bodě a, takže f (a) = nan-1 . Funkce f(x) = xn , n N, má v každém bodě x (-, ) derivaci (xn ) = nxn-1 . (4.3) Příklad 4.1. Vypočítejte derivaci funkce f(x) = x3 v jejím bodě x = 4. Řešení. Podle (4.3) dostáváme v obecném bodě x (-, ) (x3 ) = 3x2 . Tedy f (4) = 3 42 , tj. f (4) = 48. Poznámka. Místo f (4) můžeme psát (x3 ) x=4. 99 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Úmluva. Řekneme-li, že funkce f(x) má derivaci na intervalu I, bude to znamenat, že má derivaci v každém vnitřním bodě intervalu I a jestliže levý (pravý) koncový bod patří do I, potom má v něm derivaci zprava (zleva). Podobně pro vyšší derivace. Zaveďme si nyní pojem derivace funkce f(x) vyšších řádů. Derivace funkce vyšších řádů. Nechť funkce f(x) má derivaci v každém bodě intervalu I1 I = Df . Přiřadíme-li ke každému x I1 hodnotu f (x), je na I1 definována funkce f (x). Má-li funkce f (x) derivaci v každém bodě x I2 I1, potom tuto derivaci nazýváme druhou derivací funkce f(x) na I2 a značíme ji f (x) nebo f(2) (x). Analogicky definujeme f(n) (x) pro n = 3, 4, . . . . Podobně definujeme derivace vyšších řádů dané funkce zleva a zprava. Poznámka. Pro n-tou derivaci funkce f(x), n > 1, se používá zápis f(n) (x), resp. f (x) pro n = 2, f (x) pro n = 3, . . . . Čteme pak f s čárkou, f se dvěma čárkami, f se třemi čárkami, atd. Pro n > 3 nebývá zvykem používat čárek pro označení derivace. Příklad 4.2. Funkce y = 3x4 má v intervalu (-, ) derivace y = 12x3 , y = 36x2 , y = 72x, y(4) = 72, y(k) = 0 pro k 5. Zabývejme se nyní otázkou, zda všechny funkce mají v každém bodě derivaci. Odpověď je záporná, jak ukazuje následující příklad. Příklad 4.3. Zjistěme, zda funkce f(x) = |x| má v bodě 0 derivaci. Řešení. Zřejmě f(x) = x pro x > 0 a f(x) = -x pro x < 0. Podle definice derivace dostáváme f+ (0) = lim x0+ |x| - |0| x = lim x0+ x x = 1, f(0) = lim x0|x| - |0| x = lim x0- -x x = -1. Poněvadž f+ (0) = f(0), nemá funkce f(x) = |x| v bodě 0 derivaci. O vztahu mezi spojitostí funkce f(x) v daném bodě a a existencí derivace funkce f(x) v bodě a platí tato věta. 100 Věta 4.1. (Vztah spojitost ­ existence derivace) Nechť funkce f(x) má v bodě a derivaci f (a). Potom f(x) je v bodě a spojitá. Je-li funkce f(x) v bodě a spojitá, nemusí mít v bodě a derivaci. Důkaz: a) Nechť funkce f(x) má v bodě a derivaci f (a). Dokažme, že pak lim xa f(x) = f(a). Nechť x = a. Podle věty 3.3 je lim xa f(x) = lim xa (f(x) - f(a) + f(a)) = = lim xa f(x) - f(a) x - a (x - a) + f(a) = = lim xa f(x) - f(a) x - a (x - a) + lim xa f(a) = = lim xa f(x) - f(a) x - a lim xa (x - a) + lim xa f(a) = = f (a) 0 + f(a) = = f(a) Má-li tedy funkce f(x) v bodě a derivaci, je v něm funkce f(x) spojitá. Příklad 4.3 ukazuje, že funkce může být spojitá v daném bodě i když v něm nemá derivaci. Poznámka. Podobně platí: Jestliže funkce f(x) má v bodě a derivaci zprava (zleva), potom je funkce f(x) v bodě a spojitá zprava (zleva). Ukažme si pravidla pro výpočet derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí. derivace součtu, součinu a podílu dvou funkcí Věta 4.2. Nechť f(x), g(x) mají v bodě a R derivace f (a), g (a) a nechť c R je libovolné číslo. Potom platí: [c f(x)] x=a = c f (a), (4.4) [f(x) g(x)] x=a = f (a) g (a), (4.5) [f(x) g(x)] x=a = f (a) g(a) + f(a) g (a). (4.6) Je-li g(a) = 0, potom platí: f(x) g(x) x=a = f (a) g(a) - f(a) g (a) g2(a) . (4.7) 101 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Důkaz: Dokažme jen vzorec (4.5) pro derivaci součtu. Platí (f(x) + g(x)) x=a = lim xa (f(x) + g(x)) - (f(a) + g(a)) x - a = = lim xa f(x) - f(a) x - a + g(x) - g(a) x - a . (4.8) Poněvadž existují limity lim xa f(x) - f(a) x - a , lim xa g(x) - g(a) x - a , dostáváme z (4.8) podle věty 3.3 [f(x) + g(x)] x=a = f (a) + g (a). Poznámka. Analogická věta platí pro derivaci zleva a pro derivaci zprava v daném bodě. Příklad 4.4. Nechť funkce f(x), g(x) mají v bodě a derivace f (a), g (a) a nechť c1, c2 R jsou libovolná čísla. Potom funkce F(x) = c1f(x) + c2g(x) má v bodě a derivaci a platí F (a) = c1f (a) + c2g (a). (4.9) Skutečně. Podle (4.4) je [c1f(x)] x=a = c1f (a), [c2g(x)] x=a = c2g (a). Odtud a z (4.5) vyplývá (4.9). Vztah (4.5) lze zobecnit: Nechť f1(x), . . . , fn(x) jsou funkce mající v bodě a derivace f 1(a), . . . , f n(a). Nechť c1, . . . , cn R jsou libovolná čísla. Potom funkce f(x) = c1f1(x) + + cnfn(x) má v bodě a derivaci a platí f (a) = c1f 1(a) + + cnf n(a). Příklad 4.5. Vypočítejte derivaci polynomu f(x) = 4x4 - 3x2 + 2x - 1 v bodě 2. 102 Řešení. Dostáváme f (2) = 4 (4 x3 )x=2 - 3 (2 x)x=2 + 2 (1). Vyčíslením f (2) = 128 - 12 + 2 = 118. Příklad 4.6. Nechť f(x) = x3 + 2x2 - 4x + 1. Potom pro x (-, ) platí f (x) = 3x2 + 4x - 4, f (x) = 6x + 4, f (x) = 6, f(n) (x) = 0 pro n 4. Příklad 4.7. Vypočítejme druhou derivaci funkce F(x) = x2 - 1 x + 2 . Řešení. Označme f(x) = x2 - 1, g(x) = x + 2. Poněvadž g(x) = 0 jen pro x = -2, je DF = (-, ) - {-2}. Podle (4.7) je pro x DF f (x) = 2x, g (x) = 1. Podle (4.7) dostáváme F (x) = f (x) g(x) - f(x) g (x) g2(x) , tj. F (x) = 2x (x + 2) - (x2 - 1) 1 (x + 2)2 . Úpravou F (x) = x2 + 4x + 1 (x + 2)2 , x DF . (4.10) Funkce F(x) má první derivaci určenou vztahem (4.10) pro x DF . Podobně vypočítáme i F (x). První derivaci (po zavedení derivací složených funkcí lze výpočet realizovat jednodušeji) F (x) přepíšeme na tvar F (x) = f1(x) g1(x) , kde f1(x) = x2 + 4x + 1, g1(x) = x2 + 4x + 4. Podle (4.7) dostáváme F (x) = f 1(x)g1(x) - f1(x)g 1(x) g2 1(x) . 103 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Tedy F (x) = (2x + 4) (x2 + 4x + 4) - (x2 + 4x + 1) (2x + 4) (x + 2)4 . Po úpravě dostáváme F (x) = 6x + 12 (x + 2)4 , x R - {-2}, tj. F (x) = 6 (x + 2)3 , x R - {-2}. Cílem našich dalších úvah bude odvodit větu o derivování složené funkce odvodit větu o derivování inverzní funkce odvodit derivace elementárních funkcí. derivace složených funkcí Derivace složené funkce Začněme se složenou funkcí. Znovu si připomeňme zavedení pojmu " složené funkce" a větu o spojitosti složené funkce. Nechť A je neodvislý obor funkce u = (x), B = H její odvislý obor. Nechť dále funkce f(u) je definovaná na množině B. Ke každému číslu x A přiřaďme číslo F(x) = f[(x)], tj. hodnotu funkce f(u) v čísle (x). Tím je definovaná na množině A nová funkce F(x), zvaná složená funkce. Funkci f(u) nazýváme její vnější složkou a funkci u = (x) nazýváme její vnitřní složkou. Jako příklad uveďme funkci y = sin(3x2 + 1). Jde o složenou funkci. Její vnitřní složkou je funkce u = 3x2 +1, definovaná na intervalu A = (-, ). Odvislý oborem funkce u = 3x2 + 1 je interval B = 1, ). Na množině B je definovaná funkce f(u) = sin u. Tedy y = sin(3x2 + 1) je definovaná na intervalu A a oborem funkčních hodnot je interval -1, 1 . (Zdůvodněte!) V dřívějším výkladu jsme si dokázali tuto větu. Věta 4.3. Nechť funkce u = (x) je spojitá v bodě a a funkce y = f(u) je spojitá v bodě = (a). Potom složená funkce F(x) = f((x)) je spojitá v bodě a. Další analogické věty jsou věty, v nichž se o funkcích f, předpokládá jen jednostranná spojitost. O derivování složené funkce platí tato věta. 104 Věta 4.4. (Derivace složené funkce) Nechť funkce u = (x) má derivaci v čísle a a něchť funkce f(u) má derivaci v čísle = (a). Potom složená funkce F(x) = f((x)) má v čísle a derivaci a platí F (a) = f () (a), tj. F (a) = f ((a)) (a). (4.11) Důkaz: Položme R(y) = f(y)-f() y- f () pro y = , 0 pro y = . (4.12) Poněvadž lim y R(y) = f () - f () = 0 = R(), je funkce R(y) spojitá v bodě . Poněvadž funkce (x) má derivaci v bodě x = a, je podle věty 4.1 spojitá v bodě a. Je tedy i složená funkce R((x)) spojitá v bodě a. Užitím (4.12) lze funkci R((x)) zapsat takto R((x)) = f((x))-f((a)) (x)-(a) - f () pro (x) = (a), 0 pro (x) = (a). (4.13) Pro x = a, (x) = (a) lze užitím (4.13) psát [R((x)) + f ()] (x) - (a) x - a = f((x)) - f((a)) x - a . (4.14) Avšak, jak zjistíme dosazením (x) = (a) do (4.14), vidíme, že (4.14) platí i pro (x) = (a), x = a. Dále dostáváme (pokud jednotlivé limity existují) F (a) = lim xa F(x) - F(a) x - a = lim xa f((x)) - f((a)) x - a . (4.15) Užitím (4.14) dostáváme z (4.15) s ohledem na (4.13) F (a) = lim xa [R((x)) + f ()] (x) - (a) x - a . (4.16) Poněvadž lim xa R((x)) = R((a)) = R() = 0, lim xa (x)-(a) x-a = (a), dostáváme z (4.16) F (a) = f () (a), tj. F (a) = f ((a)) (a). 105 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Příklad 4.8. Vypočítejte derivaci funkce F(x) = (x2 + 1)7 v čísle x. Řešení. Funkce F(x) je složenou funkcí. Její vnější složkou je funkce f(u) = u7 a vnitřní složkou je funkce u = (x), kde (x) = x2 + 1. Podle věty 4.4 dostáváme F (x) = f (u) (x). Poněvadž f (u) = 7u6 a (x) = 2x, dostáváme F (x) = 7(x2 + 1)6 2x, takže po úpravě dostáváme F (x) = 14x(x2 + 1)6 , x (-, ). Je řada analogických vět k větě 4.4. Jde v nich o derivování složených funkcí v případě, že a, resp. , jsou koncovými body intervalů, na nichž se výpočty provádějí. Uveďme si bez důkazu následující větu. Věta 4.5. Nechť funkce u = (x) má derivaci v čísle a a nechť funkce f(u) má derivaci zprava (zleva) v čísle = (a). Nechť existuje takové okolí U(a), že (U(a)) = U+ (), pro nějaké . Potom složená funkce F(x) = f((x)) má v bodě a derivaci a platí F (a) = f+ () (a), to jest F (a) = f+ ((a)) (a). (4.17) Poznámka. Budeme-li se držet úmluvy, že v koncových bodech intervalu píšeme místo jednostranné derivace derivaci, můžeme vztah (4.17) nahradit vztahem (4.11), takže lze psát F (a) = f ((a)) (a). derivace inverzní funkce Derivace inverzní funkce. S pojmem inverzní funkce jste se již setkali dříve při studiu středoškolské matematiky. Byl zopakován i v textu " Matematika A". Ve stručnosti si pojem inverzní funkce ještě jednou zopakujme. Navíc si odvoďme souvislost mezi derivací funkce f(x) v bodě x = a funkce k ní inverzní f-1 (y) v bodě a = f(). Nechť funkce y = f(x) je definovaná na množině A a je na ní prostá. To znamená, že pro každá dvě čísla x1, x2 A, x1 = x2, je f(x1) = f(x2). Označme B = f(A). Ke každému y B přiřaďme to číslo x A, pro nějž je f(x) = y. Tím jsme zavedli pravidlo, jimž ke každému y B je přiřazeno x A. Je tak definovaná nová funkce, označme ji f-1 , jejímž neodvislým oborem je množina B a odvislým oborem je množina A. Ponecháme-li označení y pro proměnnou s oborem B a x pro proměnnou s oborem A, píšeme x = f-1 (y), y B, x A. V definici inverzní funkce je podstatný předpoklad, že f je na svém definičním oboru prostá. Takovými funkcemi jsou např. funkce ryze monotónní na svém definiční oboru. 106 To nám umožní odvodit vzorce pro derivování některých elementárních funk- cí. Na obr. 4.2 je znázorněn graf funkce y = f(x) rostoucí na intervalu A = D(f), tedy graf funkce prosté. Graf funkce x = f-1 (y) je totožný s grafem funkce y = f(x), pokud bychom proti zvyklostem znázornili neodvislý obor na ose y a odvislý obor na ose x. x y x f(x) A B 0 y = f(x), x = f-1 (y) Obrázek 4.2: Graf funkcí y = f(x), x = f-1 (y). Z definice inverzní funkce vyplývá je-li a D(f), potom a = f-1 (f(a)), (4.18) je-li D(f-1 ), potom = f(f-1 ()). (4.19) Označíme-li x neodvisle proměnnou jak pro funkci f, tak i pro funkci f-1 , zapíšeme obě funkce takto y = f(x), x A, y B, y = f-1 (x), x B, y A. (4.20) Jestliže jejich neodvislé obory vyznačíme na vodorovné ose, jsou grafy funkcí (4.20) symetrické s osou symetrie y = x, viz. obr. 4.3. Graf inverzní funkce f-1 (x) jsme dostali překlopením grafu f(x) kolem přímky y = x. x y A B B A 0 y = f(x) y = f-1 (x) Obrázek 4.3: Graf funkcí y = f(x), y = f-1 (x). Poznámka. Je-li prostá funkce daná rovnicí y = f(x), (4.21) 107 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné dostaneme k ní funkci inverzní tak, že z rovnice (4.21) vypočítáme x pomocí y. Pojem inverzní funkce vede k zavedení nových funkcí. Zopakujme si následující větu o vzájemném vztahu mezi spojitosti funkce f(x) a k ní inverzní funkce f-1 (x). Věta 4.6. Nechť funkce f(x) je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu I = D(f). Označme její odvislý obor (je jím interval) J = f(I). K funkci f existuje funkce inverzní f-1 , jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f-1 je na svém definičním oboru J spojitá a rostoucí (klesající). Ukažme si nyní vztah mezi derivací dané funkce a funkce k ní inverzní. Platí následující věta. Věta 4.7. (Derivace inverzní funkce) Nechť f je funkce spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť oborem jejich funkčních hodnot je interval J = f(I). Nechť a je takový vnitřní bod intervalu J, že v čísle = f-1 (a) I má funkce f derivaci f () = 0. Pak funkce f-1 má v čísle a derivaci a platí [f-1 (a)] = 1 f() . Důkaz: Definujme F(y) = y - f(y) - f() pro y I, y = , F() = 1 f() pro y = . Vzhledem k ryzí monotónnosti funkce f na intervalu I, je f(y) - f() = 0. Funkci F(y) lze pro y = přepsat takto F(y) = 1 f(y)-f() y- . Poněvadž dle předpokladu má funkce f v bodě derivaci, je lim y f(y) - f() y - = f (). Poněvadž f () = 0, je podle (4.7) lim y F(y) = lim y 1 f(y)-f() y- = 1 f() = F(). Je tedy funkce F(y) spojitá v bodě . Funkce f-1 je podle věty 4.6 spojitá na intervalu J, tedy i v čísle a. Je tedy i funkce F(f-1 (x)) spojitá v bodě a. Je tedy lim xa F(f-1 (x)) = F(f-1 (a)) = F() = 1 f() . 108 Užitím tohoto vztahu dostáváme [f-1 (a)] = lim xa f-1 (x) - f-1 (a) x - a = lim xa f-1 (x) - f-1 (a) f(f-1(x)) - f(f-1(a)) = = lim xa F(f-1 (x)) = 1 f() . K větě 4.7 můžeme vyslovit řadu analogických vět. Vyslovme tuto. Věta 4.8. (Derivace inverzní funkce) Nechť f je funkce spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Nechť oborem jejích funkčních hodnot je interval J = f(I). Nechť a je levý (pravý) koncový bod intervalu J a nechť v čísle = f-1 (a) má funkce f derivaci f+ () = 0 (f() = 0). Potom funkce f-1 má v čísle a derivaci zprava (zleva) a platí [f-1 (a)]+ = 1 f+() , [f-1 (a)]- = 1 f-() Důkaz: Důkaz je analogický k důkazu věty 4.7. derivace elementárních funkcí 4.2 Derivace elementárních funkcí Předložený text vychází z předpokladu, že čitatel je seznámen s elementárními funkcemi v rozsahu uvedeném v učebním textu " Matematika A". I když v následujícím textu se zavádí jejich stručné zavedení a uvádějí se některé jejich význačné vlastnosti, je nutno, abyste se s těmito funkcemi dobře seznámili. Funkce y = n x Uvažujme funkci y = xn , kde n je přirozené. Tato funkce je zřejmě definovaná na intervalu (-, ). Pro n liché je tato funkce na svém definičním oboru I = (-, ) spojitá a rostoucí. Označme J = (-, ) obor hodnot této funkce. Proto k ní existuje funkce inverzní na intervalu J. Podle věty 4.6 je tato inverzní funkce rostoucí a spojitá na J. Označíme ji n x. Funkce n x pro n liché je lichá. Pro n sudé je sice funkce xn rovněž definovaná na intervalu (-, ), avšak není na něm prostá. Např. (-2)n = 2n pro každé sudé n. Budeme proto uvažovat její zúžení na interval I = 0, ). Na něm je tato zúžená funkce y = xn rostoucí a spojitá, tedy prostá. Obor hodnot této zúžené funkce je interval J = 0, ). Proto k ní existuje funkce inverzní, definovaná na intervalu J. Podle věty 4.6 je tato inverzní funkce rostoucí a spojitá. Označíme ji n x. 109 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Na obr. 4.4 jsou narýsovány grafy funkcí y = x2 a y = x, x 0, ) a na obr. 4.5 jsou narýsovány grafy funkcí y = x3 , y = 3 x. x y 1 1 y = x y = x2 Obrázek 4.4: Grafy funkcí x2 a x. x y 1 1 -1 -1 y = x3 y = x3 Obrázek 4.5: Grafy funkcí x3 a 3 x. Poznámka. Všimněte si, že funkce n x je pro pro n sudé definována jen pro x 0, ). Podle definice je pak n x pro každé x 0, ) rovno tomu číslu y 0, ), pro něž je yn = x. Je-li tedy např. a R, je an 0, ), takže n an = |a|, pro n sudé, a R. Např. (-2)2 = | - 2| = 2. Pro počítání s odmocninami platí pravidla, která jste měli odvozeny na gymnáziích. Jsou uvedeny i ve studijním textu " Matematika A". Je nutné, abyste si tato pravidla zopakovali. Derivace funkce n x. Odvoďme si nyní vzorec pro derivování funkce n x. V obou uvažovaných případech, totiž jak pro n sudé tak i pro n liché, jsme označili inverzní funkci k funkci xn jako y = n x. V každém bodě x = 0 svého definičního oboru je funkce y = xn různá od nuly, takže v něm lze vypočítat její derivaci podle věty 4.7 takto. Položme f(x) = n x. Potom ( n x) = (f-1 (x)) = 1 f(y) = 1 (yn) = 1 n yn-1 = 1 n ( n x)n-1 . (4.22) Dostáváme tedy: Funkce f(x) = n x má pro x Df , x = 0, derivaci a platí f (x) = ( n x) = 1 n ( n x)n-1 . (4.23) 110 Uveďme si nyní příklad na derivaci složené funkce obsahujících funkci n x. Příklad 4.9. Vypočítejte derivaci funkce y = 3 x + 1 x - 1 . (4.24) Řešení. Danou funkci můžeme považovat za složenou funkci. Vnitřní složkou je funkce u = (x), kde (x) = x + 1 x - 1 (4.25) a vnější složkou je funkce y = f(u) = 3 u. Funkce (x) je definovaná pro všechna x = 1. Hodnotu 0 nabývá jen v bodě x = -1. Její derivaci určíme jako derivaci podílu. Dostáváme u = (x) = 1 (x - 1) - (x + 1) 1 (x - 1)2 = -2 (x - 1)2 , x = 1. Její definiční obor je shodný s definičním oborem funkce (x). Funkce y = f(u) má derivaci v každém bodě u = 0 a je rovna f (u) = 1 3 ( 3 u) 2 . Podle věty 4.7 platí tedy f ((x)) = 1 3 3 (x) 2 (x), x = 1. Dospěli jsme k tomuto závěru. Funkce (4.24) má pro každé x = 1 derivaci y (x) = - 2 3 3 x - 1 x + 1 2 1 (x - 1)2 . (4.26) Derivace funkce ex Funkci y = ex , x R, nazýváme přirozenou exponenciální funkcí. Tuto funkci znáte ze středoškolského studia. Její zavedení bylo uvedeno i v učebním textu " Matematika A". Odvození derivace funkce y = ex , x R, provedeme ve dvou krocích. a) Odvoďme pomocný vztah lim x0 ex - 1 x = 1, (4.27) který použijeme pro výpočet derivace funkce y = ex . 111 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Při zavádění Eulerova čísla e v kapitole 1 jsme zavedli dvě posloupnosti {an} n=1, {bn} n=1, kde an = 1 + 1 n n , bn = 1 + 1 n - 1 n . (4.28) Dokázali jsme, že posloupnost {an} n=1 je rostoucí a posloupnost {bn} n=1 je klesající a lim n an = e, lim n bn = e. Nechť x (0, 1 2 ). Nechť n N je takové přirozené číslo, že 1 n + 1 < x 1 n . (4.29) Poněvadž {bn} n=1 je klesající, je e < bn = 1 + 1 n - 1 n . (4.30) Poněvadž podle (4.29) je x 1 n , dostáváme z (4.30) ex < 1 + 1 n - 1 n 1 n , (4.31) to jest ex < 1 + 1 n - 1 . (4.32) Poněvadž {an} n=1 je rostoucí, je e > an+1 = 1 + 1 n + 1 n+1 . (4.33) Poněvadž podle (4.29) je x > 1 n+1 , dostáváme z (4.33) ex > 1 + 1 n + 1 n+1 1 n+1 = 1 + 1 n + 1 . (4.34) Ze vztahů (4.32) a (4.34) vyplývá 1 n + 1 + 1 < ex < 1 + 1 n - 1 , (4.35) 1 n + 1 < ex - 1 < 1 n - 1 . (4.36) Z (4.29) plynou nerovnosti n - 1 > 1 x - 2, takže 1 n - 1 < x 1 - 2x , (4.37) n + 1 < 1 x + 1, takže 1 n + 1 > x x + 1 . (4.38) 112 Z (4.36), (4.37), (4.38) dostáváme 1 1 + x ex - 1 x 1 1 - 2x . (4.39) Poněvadž lim x0 1 1+x = 1, lim x0 1 1-2x = 1, dostáváme z (4.39) lim x0 ex - 1 x = 1. b) Počítejme nyní derivaci funkce ex . Pro libovolné x je podle definice (ex ) = lim h0 ex+h - ex h . Výpočtem dostáváme postupně (ex ) = lim h0 ex+h - ex h = lim h0 ex (eh - 1) h = ex lim h0 eh - 1 h = ex 1 = ex . Funkce ex je spojitá a rostoucí na intervalu (-, ) a nabývá všech hodnot z intervalu (0, ). V každém čísle má derivaci a platí (ex ) = ex . Derivace funkce y = ln x Z vlastností exponenciální funkce a z definice inverzní funkce vyplývá, že k funkci ex existuje funkce inverzní definovaná na intervalu (0, ). Tato inverzní funkce je spojitá a rostoucí a nabývá všech hodnot z intervalu (-, ). Nazývá se přirozený logaritmus a budeme ji značit ln x. Její graf dostaneme z grafu funkce ex překlopením kolem přímky y = x (viz obr. 4.6). Z věty 4.7 plyne, že ln x má v každém čísle svého definičního oboru derivaci a platí (ln x) = 1 (ey) = 1 ey = 1 x . Jestliže položíme y = ln x, x (0, ) potom ey = x, y (-, ) (4.40) Tedy přirozený logaritmus čísla x (0, ) je mocnitel, na nějž je nutno umocnit základ e, abychom dostali číslo x. 113 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Odtud dostáváme x = eln x . Funkce ln x je spojitá a rostoucí funkce na intervalu (0, ) a nabývá všech hodnot z intervalu (-, ). V každém čísle svého definičního oboru má derivaci a platí (ln x) = 1 x . Jsou-li x, x1, x2 (0, ), s R, potom platí ln(x1 x2) = ln x1 + ln x2 (4.41) ln xs = s ln x. (4.42) Příklad 4.10. Vypočítejte derivaci funkce y = e x+1 x-1 . Řešení. Jde o složenou funkci. Vnitřní složkou je funkce u = (x), kde (x) = x+1 x-1 . Vnější složkou je funkce y = f(u), kde f(u) = eu . Funkce f(u) má derivaci v každém bodě u. Platí f (u) = eu . (4.43) Funkce (x) má derivaci v každém bodě svého definičního oboru, tj. pro x (-, 1) (1, ). Výpočtem dostáváme (x) = -2 (x - 1)2 . (4.44) Podle věty o derivování složené funkce dostáváme z (4.43) a (4.44) y = e x+1 x-1 - 2 (x - 1)2 , tj. y = -2 (x - 1)2 e x+1 x-1 . Příklad 4.11. Vypočítejte druhou derivaci funkce y = ln(3x - 1) a určete její definiční obor. Řešení. Jde o složenou funkci. Vnější složkou je funkce y = f(u), kde f(u) = ln u. Její definiční obor je interval (0, ). Vnitřní složkou je funkce u = 3x-1. Je sice definovaná a má derivaci pro všechna x, avšak tento definiční obor je nutno omezit na ta x, pro než je u = (x) v definičním oboru funkce y = ln u a má v nich derivaci. Je to pro x (1 3 , ). Derivováním dostaneme y = 1 3x - 1 (3x - 1) , tj. y = 3 3x - 1 , x 1 3 , , 114 y x1 1 y = ex y = ln x 0 y = x Obrázek 4.6: Graf funkce ex a ln x. y = - 9 (3x - 1)2 , x 1 3 , . Uvědomte si, že funkce 3 3x-1 je definovaná pro x R - {1 3 }. Avšak y může být definovaná jen pro x Df v nichž má funkce f(x) derivaci. Podobná poznámka platí i pro definiční obor funkce f (x). Derivace exponenciální funkce a logaritmu s obecným základem Když již máme definovanou přirozenou exponenciální funkci a přirozený logaritmus, můžeme definovat exponenciální funkci s obecným základem a, to jest funkci y = ax , kde a > 0, a = 1. Pro a > 1 je funkce y = ax rostoucí na intervalu (-, ) a pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesající na intervalu (-, ). Lze ji vyjádřit ve tvaru ax = eln ax = exln a . Odtud je vidět, že je to funkce spojitá v intervalu (-, ). Její derivaci určíme jako derivaci složené funkce. Dostáváme (ax ) = (exln a ) = exln a ln a = ax ln a. Funkce y = ax pro a > 1, a = 1 nabývá všech hodnot z intervalu (0, ). Existuje k ní funkce inverzní, která se značí loga x a nazývá logaritmus o základě a. Je to funkce spojitá a ryze monotónní v intervalu (0, ), která nabývá všech hodnot z intervalu (-, ). Její derivace je podle věty 4.7 rovna (loga x) = 1 (ay) = 1 ay ln a = 1 x ln a , x (0, ). 115 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné y x1 1 y = ax y = loga x Obrázek 4.7: Graf obecné exponenciální a logaritmické funkce, 0 < a < 1. Na obr. 4.7 je náčrtek grafů funkcí y = ax a funkce y = loga x pro 0 < a < 1. Pro a = e, tedy pro a > 1, je graf funkce y = ax a graf funkce y = loga x znázorněn na obr. 4.6. Graf těchto funkcí pro a = e jsme již dříve vyšetřili. Pro logaritmy se základem a platí pravidla analogická k pravidlům uvedeným pro funkci y = ln x. Řešme ještě jednu otázku. Nechť a, b jsou kladná reálná čísla různá od nuly. V jakém vztahu jsou čísla loga x, logb x? Abychom to ukázali, předpokládejme, že a, b jsou kladná čísla různá od jedné. Nechť x je kladné číslo. Označme y = loga x. Potom postupně dostáváme: x = ay , logb x = logb ay = y logb a = loga x logb a. Je tedy logb x = loga x logb a. Funkce y = ax , kde a je kladná reálná konstanta různá od jedné, je spojitá a pro a > 1 je rostoucí na intervalu (-, ) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (-, ). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, ). V každém bodě x svého definičního oboru má funkce ax derivaci (ax ) = ax ln a. Nazývá se exponenciální funkcí se základem a. Speciálním případem je přirozená exponenciální funkce pro a = e a dekadická exponenciální funkce pro a = 10. 116 K funkci ax existuje funkce inverzní, značíme ji loga x (čteme logaritmus x při základě a). Je definována na intervalu (0, ). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, ). Je v něm spojitá. V každém bodě x (0, ) má derivaci a platí (loga x) = 1 x ln a . Jsou-li x, x1, x2 (0, ), s R potom platí loga(x1 x2) = loga x1 + loga x2 (4.45) loga xs = s loga x. (4.46) Je-li b kladné reálné číslo různé od 1 platí logb x = loga x logb a. Příklad 4.12. Vypočítejte derivaci funkce y = 2 x2+1 . Řešení. Jde o složenou funkci. Vnější složkou je funkce y = f(u), kde f(u) = 2u , u (-, ). Vnitřní složkou je u = (x), kde (x) = x2 + 1. Nechť x = a (-, ). Funkce (x) má v bodě a derivaci. Položme = (a). Funkce f má v bodě derivaci. Platí y (a) = f () (a), to jest y (a) = (2u ) u=( (x))x=a. Tedy y = 2 a2+1 ln 2 ( x2 + 1) x=a. (4.47) Vypočítejme nyní (a). Funkce u = (x) = x2 + 1 je složená. Její vnější složkou je funkce u = g(v), kde g(v) = v, v 0, ) a vnitřní složkou je funkce v = x2 + 1. 117 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Funkce u = (x) má v bodě a derivaci u (a) = ( x2 + 1) x=a = 1 2 2a a2 + 1 = a a2 + 1 . Dosazením do (4.47) dostáváme y = ln 2 2 a2+1 a a2 + 1 pro a (-, ). Derivace obecné mocniny y = xs Obecná mocnina je funkce xs definovaná pro x > 0 a jakékoliv reálné s. Dá se vyjádřit ve tvaru xs = (eln x )s = esln x . Odtud je vidět, že je to funkce spojitá pro každé x (0, ). Její derivace je podle věty 4.7 (xs ) = (esln x ) = esln x s 1 x = s xs 1 x = sxs-1 . Funkce xs je spojitá na intervalu (0, ) a má zde derivaci sxs-1 , tedy (xs ) = sxs-1 , x (0, ), s R. V závěru této části jako aplikaci na předcházející věty řešme následující příklad. Příklad 4.13. Vypočítejte derivaci funkce y = x2 ln(x2 + 1). Řešení. Jde zde o součin dvou funkcí. Druhá z nich je funkce složená. Poněvadž x2 + 1 > 0, je daná funkce definovaná v intervalu (-, ) a má zde derivaci, kterou na základě předchozích vět určíme takto y = 2x ln(x2 + 1) + x2 1 x2 + 1 2x, takže po úpravě dostáváme y = 2x ln(x2 + 1) + x2 x2 + 1 . 118 Derivace funkce f(x)g(x) Nechť F(x) = f(x)g(x) , x A. (4.48) Nechť f(x) > 0 pro x A a nechť funkce f(x), g(x) mají pro x A derivace f (x), g (x). Funkci (4.48) lze přepsat do tvaru F(x) = eln f(x)g(x) , (4.49) a po úpravě jako F(x) = eg(x) ln f(x) . (4.50) Tuto funkci můžeme derivovat jako složenou funkci. Dostáváme F (x) = eg(x) ln f(x) g(x) ln f(x) . Provedením vyznačené derivace obdržíme F (x) = f(x)g(x) g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) . Příklad 4.14. Vypočítejte derivaci funkce y = xsin x , x (0, ). Řešení. Funkci xsin x lze přepsat na tvar y = esin x ln x . Derivací dostaneme postupně y = esin x ln x (sin x ln x) y = xsin x cos x ln x + 1 x sin x , x (0, ). Derivace trigonometrický funkcí Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabývejme se nyní trigonometrickými funkcemi, zvanými někdy též funkce goniometrické. Omezíme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravoúhlém souřadném systému s osami u, v sestrojme kružnici o jednotkovém poloměru se středem v počátku. Zvolme libovolně x a sestrojme polopaprsek vycházející z počátku, který svírá s kladnou osou u úhel x. Tento polopaprsek protne kružnici v jednom bodě, označme jej A. Jeho souřadnice označme cos x, sin x (viz obr. 4.8). Tyto souřadnice závisí na x, takže cos x a sin x jsou funkce definované pro každé reálné x. 119 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné x -x r = 1 [cos x, sin x] 0 cos x = = cos(-x) sinxsin(-x) 1 A cotg x tgx cotg (-x) tg(-x) C B u v Obrázek 4.8: Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x a cotg x. Pomocí funkcí sin x a cos x definujeme další trigonometrické funkce tg x = sin x cos x , cotg x = cos x sin x pro ty úhly x, pro něž je jmenovatel různý od 0. Trigonometrické funkce jsou známy ze střední školy a bylo o nich pojednáno i v učebním textu " Matematika A". Nakreslete si jejich grafy! Zopakujte si podrobně jejich vlastnosti. Uveďme si tyto jejich vlastnosti: Funkce sin x je kladná pro úhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro úhly ve třetím a ve čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladná pro úhly v prvním a ve čtvrtém kvadrantu a je záporná pro úhly ve druhém a ve třetím kvadrantu. Obě tyto funkce jsou periodické s periodou 2. Funkce tg x je definována pro všechna x různá od lichých násobků 2 , funkce cotg x je definována pro x různá od násobků . Funkce tg x a cotg x jsou kladné pro úhly pro x v prvním a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovány a záporné pro úhly ve druhém a ve třetím kvadrantu kvadrantu v němž jsou definovány. Tyto funkce jsou periodické s periodou . 120 Odvození derivace funkce f(x) = sin x a) Dokažme napřed, že platí lim x0 sin x x = 1. Pro x (0, 2 ) je (viz obr. 4.8) 0 < sin x < x. Dále je obsah výseče OAB menší nežli obsah trojúhelníku OBC, tj. 1 2 x < 1 2 tg x. Celkem tedy platí 0 < sin x < x < tg x = sin x cos x . Odtud přechodem k převráceným hodnotám dostáváme cos x sin x < 1 x < 1 sin x . Vynásobíme-li celou nerovnost kladným číslem sin x, dostaneme cos x < sin x x < 1, tj. - 1 < sin x x < - cos x. Připočteme-li číslo 1 ke všem třem výrazům, máme 0 < 1 sin x x < 1 - cos x. Buď > 0 a = 2 > 0. Pro x (0, ) je funkce sin(x)/x definována a platí v něm sin x x - 1 = 1 sin x x = 1 sin x x < 1 - cos x = = 2 sin2 x 2 < 2 x 2 2 = x2 2 < 2 2 = , takže lim x0+ sin x x = 1. Dále je lim x0sin x x = lim x0+ sin(-x) -x = lim x0+ sin x x = 1. Tedy lim x0 sin x x = 1. b) Dokažme, že (sin x) = cos x pro x (-, ). Nechť a (-, ). Potom platí (sin x) x=a = lim xa sin x - sin a x - a = lim xa 2 cos x + a 2 sin x - a 2 1 x - a = = lim xa cos x + a 2 sin x - a 2 : x - a 2 . (4.51) 121 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Položme f(y) = sin y y pro y = 0, f(0) = 1. Tato funkce f(y) je spojitá v čísle 0. Položme dále (x) = x - a 2 . Zřejmě funkce (x) je v čísle a spojitá a nabývá zde hodnoty 0, to jest (a) = 0. Podle věty 3.6 je složená funkce F(x) = f[(x)] v čísle a spojitá, tj. lim xa sin x-a 2 x-a 2 = lim xa F(x) = F(a) = f[(a)] = f(0) = 1. (4.52) Položme nyní f(y) = cos y, (x) = (x + a)/2. Složená funkce F(x) = f[(x)] je v čísle a spojitá, takže lim xa cos x + a 2 = cos a. (4.53) Z (4.51), (4.52), (4.53) dostáváme (sin x) x=a = cos a. Funkce f(x) = sin x má v každém bodě x (-, ) derivaci a platí sin x = cos x. Derivace funkce y = cos x Užitím věty o derivování složené funkce dostáváme cos x = sin 2 - x = - cos 2 - x = - sin x. Funkce f(x) = cos x má v každém bodě x (-, ) derivaci a platí (cos x) = sin x, x (-, ). Derivace funkcí tg x, cotg x Z pravidel o derivování podílu dvou funkcí dostáváme pro x (-, ) {(2k + 1) 2 }, k Z 122 (tg x) = sin x cos x = (sin x) cos x - sin x (cos x) cos2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos2 x = 1 cos2 x . Funkce f(x) = tg x má v každém bodě x (-, )-{(2k +1) 2 }, k Z derivaci a platí (tg x) = 1 cos2 x , x (-, ) - (2k + 1) 2 , k Z. Podobně pro x (-, ) - {k}, k Z (cotg x) = cos x sin x = - 1 sin2 x . Funkce f(x) = cotg x má v každém bodě x (-, ) - {k}, k Z derivaci a platí (cotg x) = 1 sin2 x , x (-, ) - {k} , k Z. Derivace cyklometrických funkcí V předcházejícím výkladu jsme zjistili, že funkce sin x je v intervalu - 2 , 2 spojitá a rostoucí a nabývá všech hodnot z intervalu -1, 1 . Tedy k ní existuje funkce inverzní definovaná na intervalu -1, 1 . Tuto funkci označujeme arcsin x. Podle věty 4.6 je tato funkce spojitá na intervalu -1, 1 a je na něm rostoucí. Nabývá všech hodnot z intervalu - 2 , 2 . Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = sin x, x - 2 , 2 okolo přímky y = x (viz obr. 4.9). Geometrický význam funkce arcsin je tento: " arcsin x je ten úhel z intervalu - 2 , 2 , jehož sinus má hodnotu x." Funkce cos x je v intervalu 0, spojitá a klesající a nabývá všech hodnot z intervalu -1, 1 . Tedy k ní existuje funkce inverzní, je definovaná na in- 123 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné 1 -1 2 - 2 x y y = arcsin x Obrázek 4.9: Graf funkce arcsin x. 1-1 2 x y y = arccos x Obrázek 4.10: Graf funkce arccos x. tervalu -1, 1 . Tuto funkci označujeme arccos x. Podle věty 4.6 je to funkce spojitá na intervalu -1, 1 a je na něm klesající. Nabývá všech hodnot z intervalu 0, . Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = cos x, x 0, okolo přímky y = x (viz obr. 4.10). Geometrický význam funkce arccos x je tento: " arccos x je ten úhel z intervalu 0, , jehož kosinus má hodnotu x." Funkce tg x je v intervalu (- 2 , 2 ) spojitá a rostoucí a nabývá zde všech hodnot z intervalu (-, ). Tedy k ní existuje funkce inverzní, je definovaná na intervalu (-, ). Tuto funkci označujeme arctg x. Podle věty 4.6 je to funkce spojitá na intervalu (-, ) a je v něm rostoucí. Nabývá všech hodnot z intervalu (- 2 , 2 ). Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = tg x, x (- 2 , 2 ) okolo přímky y = x (viz obr. 4.11). Geometrický význam funkce arctg x je tento: " arctg x je ten úhel z intervalu (- 2 , 2 ), jehož tangens má hodnotu x." x y - 2 2 0 y = arctg x Obrázek 4.11: Graf funkce arctg x. 124 Funkce cotg x je na intervalu (0, ) spojitá a klesající a nabývá na něm všech hodnot z intervalu (-, ). Tedy k ní existuje funkce inverzní definovaná na intervalu (-, ). Tuto funkci označujeme arccotg x. Podle věty 4.6 je to funkce spojitá na intervalu (-, ) a je na něm klesající. Nabývá všech hodnot z intervalu (0, ). Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = cotg x, x (0, ) okolo přímky y = x (viz obr. 4.12). Geometrický význam funkce arccotg x je tento: " arccotg x je ten úhel z intervalu (0, ), jehož kotangens má hodnotu x." x y 2 0 y = arccotg x Obrázek 4.12: Graf funkce arccotg x. Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nazývají funkce cyklometrické. Dosavadní výsledky o spojitosti lze shrnout takto: Funkce cyklometrické jsou spojité na svém neodvislém oboru. Derivace cyklometrických funkcí. Funkce sin x je spojitá a rostoucí na intervalu - 2 , 2 . Jejím odvislým oborem je interval -1, 1 . V každém bodě a z intervalu (-1, 1) má funkce arcsin x tuto vlastnost: číslo = arcsin a je z intervalu (- 2 , 2 ), takže funkce sin x má v něm derivaci cos = 0. Podle věty 4.7 má funkce arcsin x v čísle a derivaci a platí: (arcsin x) x=a = 1 cos = 1 1 - sin2 = 1 1 - a2 , neboť sin = a. Všimněme si také, že cos a je kladný, neboť a je z intervalu (- 2 , 2 ), takže odmocninu je nutno opatřit znaménkem plus. V každém bodě x z intervalu (-1, 1) tedy platí (arcsin x) = 1 1 - x2 . 125 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné Podobně odvodíme, že v každém bodě x intervalu (-1, 1) platí (arccos x) = 1 (cos y) = - 1 sin y = - 1 1 - cos2 y = - 1 1 - x2 . V intervalu (-, ) máme (arctg x) = 1 (tg y) = cos2 y = 1 1 + tg2 y = 1 1 + x2 , (arccotg x) = 1 (cotg y) = - sin2 y = - 1 1 + cotg2 y = - 1 1 + x2 . Obdržené výsledky můžeme shrnout do následující věty. Funkce cyklometrické mají derivace v každém vnitřním bodě svého neodvislého oboru a platí: (arcsin x) = 1 1 - x2 , x (-1, 1) (arccos x) = - 1 1 - x2 , x (-1, 1) (arctg x) = 1 1 + x2 , x (-, ) (arccotg x) = - 1 1 + x2 , x (-, ). Uveďme si nyní souhrnně derivace elementárních funkcí. Derivace elementárních funkcí (c) = 0, c R, pro x (-, ) xn = nxn-1 , n N, pro x (-, ) n x = 1 n( n x)n-1 , n N, n sudé, pro x (0, ) n x = 1 n( n x)n-1 , n N, n liché, pro x (-, 0) (0, ) (ex ) = ex , pro x (-, ) (ax ) = ax ln a, a > 0, a = 1, pro x (-, ) (ln x) = 1 x , pro x (0, ) 126 (loga x) = 1 x 1 ln a , a > 0, a = 1, pro x (0, ) (xs ) = sxs-1 , s R, pro x (0, ) (sin x) = cos x, pro x (-, ) (cos x) = - sin x, pro x (-, ) (tg x) = 1 cos2 x , pro x (-, ) - (2k + 1) 2 , k Z (cotg x) = - 1 sin2 x , pro x (-, ) - {k}, k Z (arcsin x) = 1 1 - x2 , pro x (-1, 1) (arccos x) = - 1 1 - x2 , pro x (-1, 1) (arctg x) = 1 1 + x2 , pro x (-, ) (arccotg x) = - 1 1 + x2 , pro x (-, ) 4.3 Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly Byl zaveden pojem derivace funkce v bodě a R a poukázáno na význam derivace (Definice 4.1). Byly odvozeny derivace elementárních funkcí. Jsou zde uvedeny vzorce pro výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí (Věta 4.2). Dále byla uvedena věta o derivaci složené funkce (Věta 4.4). Byla odvozena věta o výpočtu derivace inverzní funkce (Věta 4.7). Dále byl vyšetřen vztah mezi existencí derivace funkce f(x) v daném bodě a a spojitostí funkce v bodě a. Úlohy 1. Napište rovnici tečny ke křivce y = 3x2 - x + 1 v bodě T[1, ?] ležícím na dané křivce. [5x - y - 2 = 0] 2. Napište rovnici normály ke křivce y = x x+1 v jejím bodě T[0, ?]. [x + y = 0] 3. Ve kterém bodě křivky y = x3 - 3x2 + 1 svírá tečna s osou x úhel 45 ? [x­ová souřadnice bodu je 1 2 3 ] 127 4. Derivace reálné funkce reálné proměnné 4. Ve kterých bodech má křivka y = x3 - 27x vodorovnou tečnu? [x­ové souřadnice těchto bodů jsou 3, -3] 5. Nechť f(y) = 3 y je vnější složkou a (x) = x+1 x-1 je vnitřní složkou funkce F(x). Napište F(x) explicitně. Určete její definiční obor. [F(x) = 3 x+1 x-1 , DF = (-, 1) (1, )] 6. Derivujte a) y = x2 + 1 [ x x2+1 , x (-, )] b) y = x sin 2x [sin 2x + 2x cos 2x, x (-, )] c) y = sin2 x [sin x cos x x , x (0, )] d) y = 3x2+1 [2 ln 3 x 3x2+1 , x (-, )] e) y = xx [Návod: xx = ex ln x ; y = xx (ln x + 1), x (0, )] 7. Vypočítejte první derivaci funkce a) y = log2 1+x 1-x [ 2 (1-x2) ln 2 ] b) y = x2 ( 1 + x2 + 3x) [2x( 1 + x2 + 3x) + x2 ( x 1+x2 + 3)] c) y = ex cos 2x [ex cos 2x (cos 2x - 2x sin 2x)] 8. Vypočítejte derivace až do 3. řádu funkce a) f(x) = x3 + 3x2 + 4x - 1 [f (x) = 3x2 + 6x + 4, f (x) = 6x + 6, f (x) = 6, x (-, )] b) f(x) = xex [f (x) = ex (x + 1), f (x) = ex (x + 2), f (x) = ex (x + 3), x (-, )] 128 Extrémy funkcí, věty o funkcích spojitých na intervalu Věty o funkcích spojitých na intervalu a, b Funkce monotónní na intervalu a lokální extrémy Absolutní extrémy Konvexita a konkávnost funkce Hledání kořenů rovnice f(x) = 0 " metodou půlení intervalu". ĽHôospitalovo pravidlo Průběh funkce Diferenciál a Taylorova věta Shrnutí a úlohy Použití derivací 5 5. Použití derivací Cíl kapitoly Osvojit si pojem lokálního extrému funkce f(x) a pojem absolutního extrému funkce f(x) na intervalu. Osvojit si znalost věty o střední hodnotě. Naučit se hledat lokální a absolutní extrémy funkce na intervalu. Umět určit intervaly monotónnosti a intervaly konvexity dané funkce. Umět vyhledat inflexní body dané funkce. Naučit se aplikovat ĽHôspitalovo pravidlo na výpočet limit. Naučit se hledat přibližnou hodnotu kořene rovnice f(x) = 0 na intervalu a, b metodou " půlení intervalu" Naučit se provést analýzu průběhu funkce. Seznámit se s pojmem diferenciálu funkce a s Taylorovou větou. Časová zátěž 16 hodin 5.1 Extrémy funkcí, věty o funkcích spojitých na inter- valu V této části uvedeme některé věty o spojitých funkcích, které mají jak v matematické analýze, tak i v aplikacích základní význam. Začneme se zavedením pojmu lokálního extrému funkce f(x). zavedení pojmu " lokální extrém funkce" Definice 5.1. (Lokální extrémy) Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 lokální maximum (minimum), jestliže existuje takové > 0, že funkce f(x) je definovaná na intervalu (x0 - , x0 + ) a platí v něm f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) pro všechna x (x0-, x0+). Podobně zavádíme pojem ostrého lokálního extrému touto definicí. Definice 5.2. (Vlastní lokální extrémy) Řekneme, že funkce f(x) má v bodě x0 vlastní lokální maximum (minimum), jestliže existuje takové > 0, že funkce f(x) je definovaná na intervalu (x0 - , x0 + ) a platí f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) pro všechna x (x0 -, x0 +) pro něž je x = x0. Lokální maxima a lokální minima nazýváme společným názvem lokální ex- 130 trémy (též relativní). Podobně vlastní lokální maxima a minima nazýváme vlastními lokálními extrémy. Na obr. 5.1 je vyznačena funkce f(x), která má v bodech a, b lokální maximum a v bodě c lokální minimum. a bc y = f(x) x Obrázek 5.1: Funkce s lokálním maximem v bodech a a b a lokálním minimem v bodě c. Zaveďme si nyní pojem absolutního extrému funkce f(x) na množině M Df . V této definici se porovnává hodnota funkce f(x) v bodě x0 s hodnotami funkce ve všech ostatních bodech dané množiny. Místo pojmu absolutního extrému můžeme mluvit o globálním extrému funkce na množině. zavedení pojmu " absolutní extrém funkce na množině" Definice 5.3. Řekneme, že funkce f(x) má absolutní maximum (minimum) na množině M v bodě x0 M, jestliže funkce f(x) je definovaná na množině M a jestliže f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) pro každé x M. Řekneme, že funkce f(x) má své vlastní absolutní maximum (minimum) na množině M v bodě x0 M, jestliže funkce f(x) je definována na množině M a jestliže f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) pro každé x M. Absolutní minimima a absolutní maxima nazýváme společným názvem absolutní extrémy. Absolutní vlastní maximum a absolutní vlastní minimum nazýváme společným názvem vlastní absolutní extrémy. Poznámka. V nahoře uvedených pojmech se místo vlastní extrém používá též termín ostrý extrém. O existenci absolutního extrému funkce f(x) na intervalu vypovídá následující věta. Ve většině aplikací nás zajímá nalezení absolutního extrému. 131 5. Použití derivací Věta 5.1. (Weierstrassova) Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b . Potom existují body x0, x1 a, b tak, že funkce f(x) nabývá svého absolutního minima (maxima) na intervalu a, b v bodě x0 (x1). Tento bod je budťo krajním bodem intervalu a, b , anebo bodem, v němž funkce nabývá svého lokálního extrému. Důkaz: Bez důkazu. Na obr. 5.2 nabývá funkce f(x) svého lokálního maxima v bodě c, lokálního minima v bodě d, absolutního maxima v bodě c a absolutního minima v bodě a. 0 x y a c d b y = f(x) Obrázek 5.2: Absolutní extrémy na a, b . Funkce na obr. 5.3 na (a, b nabývá absolutního minimum v bodě b, avšak nemá absolutní maximum na (a, b . Tato funkce f(x) je sice spojitá na (a, b), avšak není spojitá na a, b . Větu 5.1 nelze aplikovat, nejsou splněny její předpoklady. 0 x y a b y = f(x) Obrázek 5.3: Porušení předpokladů věty 5.1. hledání lokálních extrémů Napřed se zabývejme problémem určení bodů, v nichž funkce nabývá lokální extrém. K tomu budeme potřebovat několik vět. Věta 5.2. Nechť f (a) > 0 (f (a) < 0). Pak existuje takové okolí čísla a, že pro všechna čísla x < a z tohoto okolí platí f(x) < f(a) (f(x) > f(a)) a pro všechna x > a z tohoto okolí platí f(x) > f(a) (f(x) < f(a)). 132 Důkaz: Nechť f (a) > 0. Pak existuje lim xa f(x) - f(a) x - a = f (a) > 0. Existuje tedy takové okolí čísla a, že v němž je uvedený podíl definován a je stále kladný, tj. f(x) - f(a) x - a > 0. Tedy v tomto okolí jsou čísla f(x)-f(a), x-a stejných znamének. Pro x < a je tedy f(x) < f(a), pro x > a je f(x) > f(a). Podobně se provede důkaz pro druhý případ f (a) < 0. Poznámka. Jak víme, geometrický význam první derivace je směrnice tečny ke grafu funkce f(x) v bodě a. Je-li tedy f (a) > 0, svírá tečna grafu f(x) v bodě a úhel , pro nějž je 0 < < 2 . Viz obr. 5.4. 0 x y t f(x) a Obrázek 5.4: Derivace ­ směrnice tečny (f (a) > 0). Podobně, je-li f (a) < 0, svírá tečna grafu funkce f(x) v bodě a úhel , pro nějž je 2 < < . Viz obr.5.5 0 x y t f(x) a Obrázek 5.5: Derivace jako směrnice tečny (f (a) < 0). 5.2 Věty o funkcích spojitých na intervalu a, b věta RolleovaVěta 5.3. (Rolleova) Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b a nechť má v každém vnitřním bodě tohoto intervalu derivaci. Buď dále f(a) = f(b). Pak existuje takové číslo c (a, b), že f (c) = 0. 133 5. Použití derivací Důkaz: Je-li funkce f(x) v a, b konstantní, tvrzení je správné a za c lze vzít kterékoliv číslo uvnitř a, b . Nechť tedy f(x) není v a, b konstantní. Pak tedy aspoň v jednom čísle x (a, b) platí f(x) = f(a) = f(b). Dejme tomu, že f(x) > f(a). Podle věty Weierstrassovy nabude funkce f(x) v některém čísle c, kde a < c < b, své maximální hodnoty. Dokažme, že f (c) = 0. Kdyby bylo totiž f (c) > 0, pak by podle věty 5.2 existovalo jisté okolí čísla c tak, že pro všechna x > c z tohoto okolí by platilo f(x) > f(c), podobně, kdyby f (c) < 0, pak by existovalo jisté okolí čísla c tak, že pro všechna x < c z tohoto okolí by platilo f(x) > f(c). To však není možné, neboť f(c) je ze všech funkčních hodnot maximální. Tedy opravdu f (c) = 0. Poznámka. Geometrický smysl věty je tento: graf funkce y = f(x) má za daných předpokladů aspoň v jednom bodě vodorovnou tečnu (viz obr. 5.6). xa c b t f(x) Obrázek 5.6: Tečna grafu f(x) v lokálním maximu. Příklad 5.1. Buď f(x) = |x|, x -1, 1 . Tvrzení věty neplatí, v čísle 0 je porušen předpoklad o existenci derivace. Viz obr. 5.7 -1 1 x y Obrázek 5.7: Graf funkce y = |x|, x -1, 1 . věty o přírustku funkce Věta 5.4. (Obecná věta o přírůstku funkce) Nechť funkce f(x), g(x) jsou spojité na intervalu a, b a nechť mají v každém vnitřním bodě tohoto intervalu derivace. Pak existuje takové číslo c (a, b), že [f(b) - f(a)] g (c) = [g(b) - g(a)] f (c). Důkaz: Zaveďme pomocnou funkci F(x) = [f(b) - f(a)] g(x) - [g(b) - g(a)] f(x). 134 Z předpokladů o funkcích f(x) a g(x) vychází, že funkce F(x) je na intervalu a, b spojitá a uvnitř má derivaci. Dále F(a) = F(b). Podle věty 5.3 existuje c (a, b) tak, že F (c) = [f(b) - f(a)] g (c) - [g(b) - g(a)] f (c) = 0. Odtud tvrzení věty. Poznámka. Rolleova věta 5.3 je zválštním případem věty 5.4 pro g(x) = x a funkci f(x), pro níž platí f(a) = f(b). věta o přírustku funkceVěta 5.5. (Věta o přírustku funkce) Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b a nechť existuje f (x) pro x (a, b). Potom existuje alespoň jedno c (a, b) tak, že f(b) - f(a) = f (c) (b - a). (5.1) Důkaz: Důkaz vychází bezprostředně z předcházející věty pro g(x) = x. Poznámka 1. Vztah (5.1) lze přepsat takto f(b) - f(a) b - a = f (c). Levá strana tohoto vztahu vyjadřuje průměrný přírustek funkce f(x) při přechodu z bodu a do bodu b. Větu lze interpretovat takto. Existuje bod c (a, b) tak, že tečna ke grafu funkce y = f(x) v bodě [c, f(c)] je rovnoběžná se spojnicí bodů [a, f(a)], [b, f(b)]. Věta je schematicky znázorněna na obr. 5.8. a bc y = f(x) t Obrázek 5.8: Interpretace věty 5.5. Jestliže známe konstantu M pro níž je |f (x)| M pro x a, b , potom 135 5. Použití derivací podle (5.1) platí |f(b) - f(a)| < M (b - a). Věta umožňuje odhadnout f(b) - f(a). Poznámka 2. Věta 5.5 se nazývá též " Větou o střední hodnotě diferenciálního počtu". Příklad 5.2. Odhadněte sin 3 - sin 6 . Řešení. Použijeme větu 5.5. Položme v ní f(x) = sin x, a = 6 , b = 3 . Potom je f (x) = (sin x) = cos x. Pro x 6 , 3 je |f (x)| = | cos x| cos 6 = 3 2 , takže M = 3 2 . Je tedy sin 3 - sin 6 M 3 - 6 , tj. sin 3 - sin 6 3 2 6 = 3 12 . Pomocí kalkulačky zjistíme, že sin 3 - sin 6 = 0,36603 a 3 12 = 0,45345. 5.3 Funkce monotónní na intervalu a lokální extrémy funkce monotónní Připomeňme si, že funkce f(x) se nazývá rostoucí (klesající) na intervalu I, jestliže má tuto vlastnost: Jestliže x1, x2 I, x1 < x2, potom f(x1) < f(x2) f(x1) > f(x2) . Funkce rostoucí a klesající se nazývají společným názvem funkce ryze mo- notónní. Funkce f(x) se nazývá neklesající (nerostoucí) na intervalu I, jestliže má tuto vlastnost: Jestliže x1, x2 I, x1 < x2, potom f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) . Funkce neklesající a nerostoucí se nazývají společným názvem funkce mo- notónní. Je tedy každá funkce ryze monotónní též monotónní. Opak nemusí platit. Určit intervaly, na nichž je vyšetřovaná funkce monotónní, nám často pomůže tato věta. 136 Věta 5.6. (Monotónnost funkce na intervalu) Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu I a nechť I0 je množina všech vnitřních bodů intervalu I. Nechť funkce f(x) má derivaci f (x) na I0. Jestliže f (x) > 0 (f (x) < 0) pro x I0, potom f(x) je rostoucí (klesající) na I. Jestliže f (x) 0 (f (x) 0) pro x I0, potom f(x) je neklesající (nerostoucí) na intervalu I. Důkaz: Nechť f (x) > 0 pro x I0. Nechť x1, x2 I, x1 < x2. Podle věty 5.5 platí f(x2) - f(x1) = f (c)(x2 - x1), kde c je vhodný bod z intervalu (x1, x2) I0. Podle předpokladu je f (c) > 0. Poněvadž x2 - x1 > 0, je f (c)(x2 - x1) > 0, takže f(x2) > f(x1). Funkce f(x) je tedy rostoucí na I. Podobně se věta dokáže v ostatních případech. Ukažme nyní, jak určit intervaly monotónnosti funkce f(x) definované na intervalu I v případě, že funkce f(x) má dále uvedené vlastnosti. Předpokládejme, že funkce f(x) je spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu všech vnitřních bodů intervalu I. Předpokládejme, že f (x) je spojitá na intervalu I0, a že má na něm konečný počet nulových bodů. Tyto nulové body rozdělí interval I na konečný počet částečných intervalů. Ve všech vnitřních bodech každého z těchto částečných intervalů je f (x) > 0 nebo f (x) < 0. Takže v něm je funkce f(x) rostoucí nebo klesající. Při grafickém znázornění vyznačíme interval I na číselné ose a nulové body funkce f (x). Tyto nulové body rozdělí interval I na několik částečných intervalů. Nad každým z těchto intervalů vyznačíme " +", jeli v jeho vnitřních bodech f (x) > 0, a " -", je-li v jeho vnitřních bodech f (x) < 0. Pod interval, nad nímž je symbol " +" ( " -") dáme symbol " " ( " ") a tak vyznačíme, že funkce f(x) je na tomto částečném intervalu rostoucí (klesající). Ilustrujme to na následujícím příkladě. Příklad 5.3. Nalezněte intervaly monotónnosti funkce f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 5. Řešení. Funkce f(x) je spojitá a má i spojitou derivaci f (x), kde f (x) = 6x2 - 30x + 36. Řešením rovnice f (x) = 0 dostáváme x1 = 2, x2 = 3. 137 5. Použití derivací Vyznačme číselnou osu. Interval I je celá tato číselná osa. Na ní vyznačíme body x1 = 2, x2 = 3. Tyto body rozdělí interval I na 3 částečné intervaly: (-, 2 , 2, 3 , 3, ). Znamení f (x) a monotónnost funkce f(x) jsou patrny z obr. 5.9. f (x) + - + f(x) x1 = 2 x2 = 3 Obrázek 5.9: Monotónnost funkce f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 5. Funkce f(x) je rostoucí na intervalu (-, 2 a na intervalu 3, ) a je klesající na intervalu 2, 3 . Příklad 5.4. Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) = 1 x ln x rostoucí a intervaly, na nichž je tato funkce klesající. Řešení. Funkce f(x) je definovaná na intervalu (0, ). Vypočítejme f (x). Dostáváme f (x) = - 1 x2 ln x + 1 x 1 x , tedy f (x) = 1 x2 (1 - ln x). Funkce f(x), f (x) jsou spojité na intervalu (0, ). Určeme znamení funkce f (x). Řešením rovnice f (x) = 0 dostáváme ln x = 1. Odtud x = e. Znamení funkce f (x) = 1 x2 (1-ln x) je vyznačeno na obr. 5.10. 0 e + -f (x) f(x) Obrázek 5.10: Znamení funkce f (x). Odtud dostáváme, že daná funkce f(x) = 1 x ln x je rostoucí na intervalu (0, e a klesající na intervalu e, ). Zabývejme se nyní podrobněji problémem nalezení lokálních extrémů. Lokální extrémy hlednání lokálních extrémů Věta 5.7. Nechť funkce f(x) má v bodě a lokální extrém a nechť existuje f (a). Potom f (a) = 0. Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem věty 5.2 a definice 5.2. Z věty 5.7 vyplývá, že funkce f(x) může mít lokální extrém pouze v bodech, v nichž nemá derivaci anebo v bodech, v nichž má derivaci rovnu nule. 138 Poznamenejme, že je-li f (a) = 0, má graf funkce f(x) v bodě a tečnu rovnoběžnou s osou x. Na obr. 5.11 je znázorněna funkce, která má v bodě x0 lokální minimum a má v něm derivaci; na obr. 5.12 je znázorněna funkce, která má v bodě x0 lokální minimum, ale nemá v něm derivaci. xx0 y = f(x) Obrázek 5.11: f(x) má v x0 derivaci. xx0 y = f(x) Obrázek 5.12: f(x) nemá v x0 deri- vaci. Zjistili jsme v kterých bodech může mít daná funkce f(x) lokální extrémy. Dále si uvedeme několik vět, kterými lze alespoň v některých případech rozhodnout, zda funkce f(x) má v nich skutečně lokální extrém. Věta 5.8. (Existence lokálního extrému) Nechť f (x0) = 0 a nechť existuje > 0 tak, že pro x (x0 - , x0) je f (x) definována a platí f (x) > 0 (f (x) < 0) a pro x (x0, x0 + ) je f (x) definováné a platí f (x) < 0 (f (x) > 0). Potom funkce f(x) má v hodě x0 lokální maximum (minimum). Jestliže f (x) > 0 (f (x) < 0) pro x (x0 - , x0) (x0, x0 + ), fukce f(x) nemá v x0 lokální extrém. Důkaz: Nechť f (x0) = 0 a nechť existuje > 0 tak, že pro x (x0 - , x0) je f (x) > 0 a pro x (x0, x0 +) je f (x) < 0. Nechť x1 (x0 -, x0). Podle věty 5.5 platí f(x1) - f(x0) = (x1 - x0) f (c), kde c (x1, x0). Poněvadž f (c) > 0 a (x1 - x0) < 0 je f(x1) - f(x0) < 0, tj. f(x1) < f(x0). Podobně se dokáže, že pro x2 (x0, x0 + ) je f(x2) < f(x0). Má tedy funkce f(x) v bodě x0 lokální maximum. Podobně se dokáže zbývající tvrzení věty. Znázorněme si graficky situaci uvedenou v této větě. Ukažme některé případy: a) f (x0) = 0, f (x) < 0 pro x (x0 -, x0), f (x) > 0 pro x (x0, x0 +), 139 5. Použití derivací kde R x0 - x0 + x0 f (x) - + f(x) f(x) má v x0 lokální minimum b) f (x0) = 0, f (x) > 0 pro x (x0 -, x0 , f (x) < 0 pro x (x0, x0 +), kde R x0 - x0 + x0 f (x) + f(x) f(x) má v x0 lokální maximum c) f (x0) = 0, f (x) > 0 pro x (x0 -, x0 , f (x) > 0 pro x (x0, x0 +), kde R x0 - x0 + x0 f (x) + + f(x) f(x) nemá v x0 lokální extrém d) f (x0) = 0, f (x) < 0 pro x (x0 -, x0 , f (x) < 0 pro x (x0, x0 +), kde R x0 - x0 + x0 f (x) - f(x) f(x) nemá v x0 lokální extrém Příklad 5.5. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce f(x) = xe 1 x . Řešení. Daná funkce je definovaná pro x R - {0}. Vypočítejme f (x). Dostáváme f (x) = e 1 x + xe 1 x - 1 x2 , x R - {0}. Odtud úpravou f (x) = e 1 x 1 - 1 x , tj. f (x) = e 1 x x (x - 1), x R - {0}. Funkce f (x) je spojitá na intervalu I = (0, ) a je rovněž spojitá na intervalu ~I = (-, 0). Má nulový bod v bodě x = 1. Abychom mohli použít větu 5.8, budeme uvažovat funkci f(x) zvlášť na intervalu (-, 0) a zvlášť na intervalu (0, ). 140 a) Nechť x I = (0, ). Nulový bod x = 1 funkce f (x) rozdělí interval I na dva částečné intervaly, na interval (0, 1 a na interval 1, ). Zřejmě f (x) < 0 pro x (0, 1) a f (x) > 0 pro x (1, ). Na obr. 5.13 je znázorněno znamení funkce f (x) pro x (0, 1) a pro (1, ). Tedy f(x) je klesající na intervalu (0, 1 a rostoucí na intervalu 1, ). V bodě x = 1 má f(x) lokální minimum. 0 1 - +f (x) f(x) Obrázek 5.13: Funkce xe 1 x pro x (0, ). Vypočítejme f(1). Dostáváme f(1) = e. b) Nechť x ~I = (-, 0). V tomto intervalu je f (x) < 0, takže f(x) je klesající na intervalu (-, 0), takže v něm nemá f(x) lokální extrém. Uveďme ještě další větu, která umožňuje určit v některých případech lokální extrémy funkce f(x). Věta 5.9. (Existence lokálního extrému) Nechť f (x0) = 0, f (x0) > 0 (< 0). Potom funkce f(x) má v bodě x0 lokální minimum (maximum). Důkaz: Nechť f (x0) > 0. Potom existuje lim xx0 f (x) - f (x0) x - x0 = f (x0) > 0. Existuje tedy takové čislo > 0, že pro x = x0, x (x0 - , x0 + ) je podíl f (x) - f (x0) x - x0 = f (x) x - x0 definován a je kladný. Tedy f (x) a x - x0 mají zde stejné znaménko. Je tedy f (x) < 0 pro x (x0 - , x0) a f (x) > 0 pro x (x0, x0 + ). Podle věty 5.8 má tedy funkce f(x) v bodě x0 lokální minimum. Podobně se dokáže zbývající část věty. Příklad 5.6. Určete lokální extrémy funkce f(x) = x2 - 5x + 6. Řešení. Funkce f(x) má derivaci pro x (-, ). Podle poznámky uvedené výše může tedy nabývat lokální extrémy pouze v bodech, v nichž je f (x) = 0. Dostáváme f (x) = 2x - 5. Řešením rovnice 2x - 5 = 0 dostáváme x0 = 5 2 . Tedy funkce f(x) může nabývat lokální extrém pouze v bodě x0 = 5 2 . Dokážeme nyní dvěma způsoby, že zde daná funkce nabývá lokální minimum. a) Zřejmě f (x) < 0 pro x (-, 5 2 ) a f (x) > 0 pro x (5 2 , ). Podle věty 5.8 má funkce f(x) v bodě x0 lokální minimum. b) Poněvadž f (x) = 2, je f (5 2 ) = 2 > 0. Podle věty 5.9 má funkce f(x) v bodě 5 2 lokální minimum. 141 5. Použití derivací Příklad 5.7. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) = x4 . Řešení. Podobnou úvahou jako v minulém příkladě zjistíme, že funkce f(x) může mít lokální extrém pouze v bodě, v němž je f (x) = 0. Zřejmě f (x) = 4x3 . Rovnice 4x3 = 0 má jediné řešení x = 0. Zřejmě f (x) < 0 pro x (-, 0) a f (x) > 0 pro x (0, ). Má tedy funkce f(x) v bodě x = 0 podle věty 5.8 lokální minimum. Poněvadž f (0) = 0, nelze o existenci lokálního extrému v bodě x = 0 rozhodnout podle věty 5.9. Příklad 5.8. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) = x3 . Řešení. Funkce f(x) má derivaci pro x (-, ). Může tedy mít podle výše uvedené poznámky lokální extrém pouze v bodě x = 0, neboť jenom v něm je f (x) = 0. Poněvadž f (x) = 3x2 > 0 pro x (-, 0)(0, ) nemá f(x) podle věty 5.8 v bodě x = 0 lokální extrém. Daná funkce tedy nemá lokální extrémy. Poněvadž f (0) = 0, nelze podle věty 5.9 rozhoudnout, zda v bodě 0 má funkce f(x) = x3 lokální extrém. Na příkladě 5.7 jsme viděli, že věta 5.9 nám někdy neumožňuje určit, zda funkce f(x) má v bodě x0, v němž je f (x0) = 0, lokální extrém, nebo nemá. Uveďme si následující větu, která je obecnější než věta 5.9. Věta 5.10. (Existence lokálního extrému) Nechť f (x0) = f (x0) = = f(n) (x0) = 0 a nechť f(n+1) (x0) = 0. Je-li n + 1 sudé, má funkce f(x) v bodě x0 lokální extrém. Jestliže f(n+1) (x0) > 0 (f(n+1) (x0) < 0), potom funkce f(x) má v bodě x0 lokální minimum (maximum). Je-li n + 1 liché, nemá funkce f(x) v bodě a lokální extrém. Příklad 5.9. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) = x4 . Řešení. Dostáváme f (x) = 4x3 , f (x) = 12x2 , f (x) = 24x, f(4) (x) = 24. Zřejmě f (0) = f (0) = f (0) = 0, f(4) (0) = 24 > 0. Má tedy funkce f(x) = x4 v bodě x = 0 lokální minimum podle věty 5.10. Příklad 5.10. Nalezněte lokální extrémy funkce f(x) = x3 . Řešení. Dostáváme f (x) = 3x2 , f (x) = 6x, f (x) = 6. Zřejmě f (0) = f (0) = 0, f (0) = 6 > 0. Podle věty 5.10 nemá funkce f(x) = x3 v bodě x = 0 lokální extrém. 142 5.4 Absolutní extrémy hledání absolutních extrémů V definici5.3 byla podána definice absolutního maxima a absolutního minima funkce f(x) na množině M. Absolutní maximum a absolutní minimum funkce f(x) na množině M nazýváme společným názvem absolutní extrémy. Absolutní extrémy funkce nemusí ovšem existovat. Tak např. funkce f(x) = tg x v intervalu (- 2 , 2 ) nenabývá ani největší ani nejmenší hodnoty, neboť je f (x) = 1 cos2 x > 0 a funkce f(x) je na (- 2 , 2 ) rostoucí. Jestliže funkce f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu, pak je existence absolutních extrémů zaručena větou Weierstrassovou. Pro nalezení absolutních extrémů je důležitá tato věta: Věta 5.11. (Existence absolutního extrému) Buď f(x) funkce definovaná na intervalu J. Nechť má v čísle a J absolutní extrém. Pak a je koncovým bodem intervalu J nebo v něm má funkce f(x) relativní extrém. Důkaz: Není-li a koncovým bodem intervalu J, dá se zvolit interval J takový, že J je částí J a bod a je vnitřním bodem v J . Pak v J je f(x) definována a platí f(x) f(a) (f(x) f(a)) na intervalu J . Potom funkce f(x) má v čísle a relativní maximum (minimum). Na absolutní extrémy funkce vede řada aplikačních úloh. Uveďme příklad. Příklad 5.11. Obdélníkový kus plechu má rozměry 60 × 28 cm. V rozích se odříznou čtverce a zbytek se ohne tak, že vznikne otevřená krabice. Jak veliká musí být strana odřízutých čtverců, aby objem krabice byl maximální? Řešení. Je-li x strana odříznutých čtverců (viz obr. 5.14), je objem krabice f(x) = (60 - 2x)(28 - 2x)x = 4x(30 - x)(14 - x). Platí, že x 0, 14 a f(0) = f(14) = 0, pro x (0, 14) je f(x) > O. Absolutní maximum splyne tedy s maximem relativním. Dostáváme f (x) = 4(3x2 - 88x + 420), f (x) = 8(3x - 44). Úloze vyhovující kořen rovnice f (x) = 0 je x = 6. Poněvadž f (6) < 0, má funkce f(x) v bodě x = 6 lokální maximum. Platí f(6) = 4608. Objem krabice je maximální, odříznou-li se čtverce o straně 6 cm. Objem krabice pak je 4,608 dm3 . 143 5. Použití derivací x x 60 xx 28 Obrázek 5.14: Tvar plechu na krabici. 5.5 Konvexita a konkávnost funkce Nechť funkce f(x) má v bodě a derivaci f (a). Potom graf funkce f(x) má v bodě [a, f(a)] tečnu y - f(a) = f (a) (x - a). Označme (x) = f(x) - f(a) - f (a)(x - a), x Df . odchylku funkce y = f(x) a funkce y = f(a) + f (a) (x - a), jejíž graf je tečna ke grafu funkce f(x) v bodě a. (viz obr. 5.15) 0 x y t f(x) aa - a + x T[a, f(x)] (x) Obrázek 5.15: Zavedení funkce (x). inflexní bod Definice 5.4. (Inflexní bod) Řekneme, že funkce f(x) probíhá v bodě a nad tečnou (pod tečnou), existuje-li takové > 0, že na intervalu (a-, a+) je definována funkce (x) = f(x) - f(a) - f (a)(x - a) (5.2) a (x) > 0 ((x) < 0), pro x (a - , a) (a, a + ). (Viz obr. 5.15.) 144 Řekneme, že bod a je inflexním bodem funkce f(x), (viz obr. 5.16) jestliže existuje > 0 tak, že (x) je definována na intervalu (a - , a + ) a platí (x) > 0 ((x) < 0) pro x (a - , a) a (x) < 0 ((x) > 0) pro x (a, a + ). (Graf funkce přechází v bodě dotyku z jedné strany tečny na druhou.) xa - a + a T t y = f(x) Obrázek 5.16: K definici inflexního bodu. Věta 5.12. Nechť f (a) > 0 (f (a) < 0). Potom funkce f(x) probíhá v bodě a nad tečnou (pod tečnou). Důkaz: Nechť f (a) > 0. Pak podle definice derivace existuje takové okolí U(a), že pro x U(a) - {a} je f (x) - f (a) x - a definováno a je f(x)-f(a) x-a > 0. Tedy v U(a) je definována derivace f (x). Nechť x je libovolný bod z intervalu U(a) - {a}. Potom funkce f(x) je v intervalu o koncových bodech a, x spojitá a uvnitř má derivaci. Totéž platí pro funkci (x). Podle věty o přírustku funkce platí pro funkci danou vztahem (5.2) (x) = (x) - (a) = (c)(x - a), (5.3) kde c leží mezi a, x. Úpravou (5.3) dostáváme (x) = f (c) - f (a) (x - a) = f (c) - f (a) c - a (x - a)(c - a). Poněvadž c leží mezi a, x, je (x - a)(c - a) > 0. Je tedy znamení (x) v U(a) - {a} stejné jako je znamení f(c)-f(a) c-a a tedy stejné i jako je f (a). Je tedy (x) > 0 pro x U(a) - {a}. Podobně se dokáže věta v ostatních případech. Z této věty bezprostředně vyplývá tato věta: 145 5. Použití derivací Věta 5.13. Nechť a je inflexním bodem funkce f(x). Existuje-li f (a), potom f (a) = 0. Funkce f(x) může mít inflexní bod pouze v bodech, v nichž má první derivaci, ale nemá druhou derivaci nebo v těch bodech, v nichž tato druhá derivace existuje a je rovna 0. Ukažme si nyní větu, která nám umožní alespoň v některých případech zjistit inflexní body daná funkce. Věta 5.14. (Existence inflexního bodu) Nechť f (a) = 0 a nechť existuje > 0 tak, že pro x (a - , a) je f (x) > 0 (f (x) < 0) a pro x (a, a + ) je f (x) < 0 (f (x) > 0). Potom funkce f(x) má v bodě a inflexní bod. Znázorněme si graficky situaci uvedenou ve větě 5.14. a + a - a f : + - f (a) = 0 a je inflexní bod funce f(x) a + a - a f : - + f (a) = 0 a je inflexní bod funce f(x) Příklad 5.12. Určete inflexní body funkce f(x) = x3 - 3x2 + 5x + 4. Řešení. Pro x (-, ) dostáváme f (x) = 3x2 - 6x + 5, (5.4) f (x) = 6x - 6. (5.5) Určeme nulové body funkce f (x). Z rovnice f (x) = 0, to jest z rovnice 6x - 6 = 0 dostáváme x = 1. Funkce f(x) má první a druhou derivaci pro x (-, ). 1 f : - + 1 je inflexní bod funce f(x) Má tedy funkce f(x) v bodě x = 1 podle věty 5.14 inflexní bod. Další větou, kterou lze v některých případech určit inflexní body, je následující věta. 146 Věta 5.15. (Existence inflexního bodu) Nechť funkce f(x) splňuje v bodě x = a tyto vztahy f (a) = = f(n) (a) = 0, f(n+1) (a) = 0. Je-li n + 1 liché, potom funkce f(x) má v bodě a inflexní bod. Příklad 5.13. Nalezněte inflexní body funkce f(x) = x3 - 3x2 + 5x + 4. (Viz příklad 5.12.) Řešení. Dostáváme f (x) = 3x2 - 6x + 5, (5.6) f (x) = 6x - 6, (5.7) f (x) = 6. (5.8) Poněvadž f (1) = 0, f (1) = 0 má funkce f(x) v bodě x = 1 inflexní bod. Zaveďme si pojem ryze konvexní (ryze konkávní) funkce na intervalu. konvexita a konkávnost funkce na intervalu Definice 5.5. (Ryze konvexní a ryze konkávní funkce) Řekneme, že funkce f(x) je ryze konvexní (ryze konkávní) na intervalu I, jestliže má tuto vlastnost: Jestliže x1, x2, x3 I, x1 < x2 < x3 a jestliže p je přímka jdoucí body A[x1, f(x1)], C[x3, f(x3)], potom bod B[x2, f(x2)] leží pod (nad) přímkou p. Na obr. 5.17 je znázorněna funkce ryze konvexní na intervalu I a na obr. 5.18 je znázorněna funkce ryze konkávní na intervalu I. A B C x1 x2 x3 I p y = f(x) Obrázek 5.17: Funkce ryze konvexní na intervalu I. A B C x1 x2 x3 I p y = f(x) Obrázek 5.18: Funkce ryze konkávní na intervalu I. Podobným způsobem zavádíme pojem konvexnosti a pojem konkávnosti funkce na intervalu. 147 5. Použití derivací Definice 5.6. (Konvexní a konkávní funkce) Řekneme, že funkce f(x) je na intervalu I konvexní (konkávní), jestliže má tuto vlastnost: Jestliže x1, x2, x3 I, x1 < x2 < x3 a jestliže p je přímka jdoucí body A[x1, f(x1)], C[x3, f(x3)], potom bod B[x2, f(x2)] leží pod (nad) přímkou p nebo na ní. Na obr. 5.19 je znázorněna funkce konvexní na intervalu I a na obr. 5.20 je znázorněna funkce konkávní na intervalu I. A B C x1 x2 x3 I p y = f(x) Obrázek 5.19: Funkce konvexní na intervalu I. A B C x1 x2 x3 I p y = f(x) Obrázek 5.20: Funkce konkávní na intervalu I. Poznámka 1. Nechť f(x) je funkce definovaná na intervalu I. Nechť x1, x2, x3 I, x1 < x2 < x3. Potom přímka p, jdoucí body A[x1, f(x1)], C[x3, f(x3)], má rovnici p : y = f(x1) + f(x3) - f(x1) x3 - x1 (x - x1). Bod B[x2, f(x2)] leží pod přímkou p, jestliže f(x2) < f(x1) + f(x3) - f(x1) x3 - x1 (x2 - x1). Úpravou postupně dostáváme f(x2)(x3 - x1) < f(x1)(x3 - x2) + f(x3)(x2 - x1) f(x2)(x3 - x2 + x2 - x1) < f(x1)(x3 - x2) + f(x3)(x2 - x1) f(x2) - f(x1) (x3 - x2) < f(x3) - f(x2) (x2 - x1). Tedy bod B[x2, f(x2)] leží pod přímkou p, jestliže platí f(x2) - f(x1) x2 - x1 < f(x3) - f(x2) x3 - x2 . (5.9) 148 Podobně se ukáže, že bod B[x2, f(x2)] leží pod přímkou p nebo na ni, jestliže platí f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 . (5.10) Analogicky se odvodí, že bod B[x2, f(x2)] leží nad přímkou p, jestliže platí f(x2) - f(x1) x2 - x1 > f(x3) - f(x2) x3 - x2 . (5.11) Podobně, bod B[x2, f(x2)] leží nad přímkou p nebo na ni, jestliže platí f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 . (5.12) O vztahu mezi konvexností (konkávností) funkce f(x) a znamením druhé derivace f (x) funkce f(x) vypovídají následující věty. Věta 5.16. (Vztah konvexnosti a druhé derivace funkce) Nechť f(x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu všech vnitřních bodů intervalu I. Nechť funkce f(x) má druhou derivaci f (x) na intervalu I0. Potom platí: Funkce f(x) je konvexní (konkávní) na intervalu I, když a jenom když f (x) 0 (f (x) 0) pro x I0. Důkaz: Důkaz rozdělíme do dvou částí. a) Nechť f(x) je spojitá na intervalu I a nechť existuje f (x) pro x I0. Nechť f(x) je konvexní na I. Dokažme, že potom je f (x) 0 pro x I0. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že existuje bod x2 I0, tak, že f (x2) < 0. Existuje tedy > 0 tak, že pro x (x2 - , x2 + ), x = x2, existuje f(x)-f(x2) x-x2 a platí f (x) - f (x2) x - x2 < 0. (5.13) Zvolme x1 (x2 - , x2), x3 (x2, x2 + ). Poněvadž dle předpokladu je funkce f(x) konvexní na I, platí (5.10) i pro takto zvolené body x1, x2, x3. Aplikujeme-li větu o přírustku funkce na (5.10), dostáváme, že existuje c (x2 - , x2) a d (x2, x2 + ) tak, že f (c) f (d). (5.14) Avšak z (5.13) vyplývá, že f (c) > f (x2) > f (d). (5.15) Poněvadž (5.14), (5.15) nemohou současně platit, dospěli jsme ke sporu. Je tedy f (x) 0 pro x I. 149 5. Použití derivací b) Nechť f(x) je spojitá na I a nechť f (x) 0 pro x I0. Dokažme, že potom je f(x) konvexní na I. Poněvadž f (x) 0 pro x I0, je f (x) neklesající na I0. Předpokládejme, že f(x) není konvexní na I. Existují tedy body x1, x2, x3 I tak, že neplatí (5.10), tedy že je f(x2) - f(x1) x2 - x1 > f(x3) - f(x2) x3 - x2 , x1 < x2 < x3. (5.16) Aplikujeme-li na (5.16) větu o přírustku funkce, dostáváme, že existuje c (x1, x2) a d (x2, x3) tak, že f (c) > f (d). (5.17) Poněvadž c, d I0, c < d a f (x) je neklesající na I0, nemůže (5.17) platit. Je tedy f(x) konvexní na I. Podobně se dokáže věta pro funkce konkávní. Poznámka. K větě 5.16 lze vyslovit analogickou větu pro funkce ryze konvexní a pro funkce ryze konkávní. Uveďme si ještě další větu, která je zobecněním tvrzení ve větě 5.16. Věta 5.17. (Ryze konvexní funkce na intervalu) Nechť f(x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodů. Nechť f (x) 0 pro x I0, přičemž f (x) = 0 jen v konečném počtu bodů z I0. Potom funkce f(x) je na intervalu I ryze konvexní. Důkaz: Princip důkazu ukažme v následujícím případě. Nechť f(x) je funkce spojitá na intervalu I = a, b . Nechť c (a, b), f (c) = 0 a nechť f (x) > 0 pro x (a, c) (c, b). Za těchto předpokladů je f (x) spojitá na (a, b). Jsou-li x1, x2 (a, c , x1 < x2, je podle věty o přírustku funkce f (x2) - f (x1) x2 - x1 = f (), kde (x1, x2). Je tedy f (x2) - f (x1) > 0. Je tedy f (x1) < f (x2) pro x1, x2 a, c), x1 < x2. Funkce f (x) je tedy rostoucí na (a, c . Podobně se dokáže, že f (x) je rostoucí na intervalu c, b). Tedy f (x) je rostoucí na intervalu (a, b). Předpokládejme, že funkce f(x) není ryze konvexní na a, b . Pak existují taková čísla x1, x2, x3 a, b , x1 < x2 < x3, že pro ně neplatí (5.9), to jest, že platí f(x2) - f(x1) x2 - x1 f(x3) - f(x2) x3 - x2 . (5.18) Aplikujeme-li na každou stranu (5.18) větu o přírustku funkce, dostáváme f () f (), kde (x1, x2), (x2, x3). (5.19) 150 Nelezli jsme tedy , (a, b), < , pro něž platí (5.19). To však nemůže platit, neboť f (x) je rostoucí na (a, b). Je tedy f(x) ryze konvexní na a, b . Věta 5.18. (Ryze konkávní funkce na intervalu) Nechť f(x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodů. Nechť f (x) 0 pro x I0, přičemž f (x) = 0 jen v konečném počtu bodů z I0. Potom funkce f(x) je na intervalu I ryze konkávní. Důkaz: Důkaz je analogický důkazu věty 5.17. Při hledání intervalů konvexity a konkávnosti a inflexních bodů lze často použít následující postup. Nechť funkce f(x) je na intervalu I spojitá. Nechť I0 je množina jeho vnitřních bodů. Na číselné ose vyznačíme interval I. Nad číselnou osu napíšeme " f (x)", budeme totiž nad číselnou osou vyznačovat znamení funkce f (x). Pod číselnou osu napíšeme " f(x)", budeme totiž pod číselnou osou vyznačovat symboly konvexnost, resp. konkávnost funkce f(x). Nechť funkce f(x) má na intervalu I0 druhou derivaci f (x). Nechť f (x) má na I0 konečný počet nulových bodů. Tyto nulové body rozdělí interval I na několik částečných intervalů. Je-li c I0 takový bod, že f (c) = 0, počítáme bod c k oběma sousedním intervalům s koncovým bodem c. Ve všech vnitřních bodech každého z těchto částečných intervalů je budťo f (x) > 0 nebo f (x) < 0. V případě, že je zde f (x) > 0 (f (x) < 0), napíšeme nad tento interval symbol " +" (sym- bol " -") a pod tento interval symbol " " ( " ") vyjadřující, že je na něm funkce f(x) ryze konvexní (ryze konkávní). Je-li f(x) ryze konvexní (ryze konkávní) ve dvou sousedních intervalech, je ryze konvexní (ryze konkávní) i na jejich sjednocení. Ve společném bodě c těchto sousedních intervalů, v němž je f (c) = 0, nemá funkce f(x) inflexní bod. Je-li f(x) ryze konvexní (ryze konkávní) v některém částečném intervalu a v sousedním intervalu je f(x) ryze konkávní (ryze konvexní), má funkce f(x) ve společném bodě c těchto intervalů inflexní bod. Příklad 5.14. Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) = x3 - 6x2 + x konvexní a intervaly, na nichž je funkce f(x) konkávní. Řešení. Funkce f(x) je spojitá na intervalu I = (-, ). Výpočtem dostáváme f (x) = 6x-12, x (-, ). Řešme rovnici f (x) = 0, tj. 6x-12 = 0. Tato rovnice má jediné řešení x1 = 2. Tento nulový bod rozdělí interval I na dva částečné intervaly: (-, 2 , 2, ). Ve vnitřních bodech intervalu (-, 2 je f (x) < 0 a ve vnitřních bodech intervalu 2, ) je f (x) > 0. Je tedy funkce f(x) ryze konkávní na intervalu (-, 2 a ryze konvexní na intervalu 2, ). V bodě x = 2 má funkce f(x) inflexní bod. (Viz obr. 5.21) 151 5. Použití derivací 2 - +f (x) f(x) inflexní bod Obrázek 5.21: Konvexita funkce f(x) = x3 - 6x2 + x. Příklad 5.15. Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) = x4 - 4x3 + 6x2 + 12x+1 konvexní, intervaly, na nichž je funkce f(x) konkávní a inflexní body. Řešení. Funkce f(x) je spojitá na intervalu I = (-, ). Zřejmě I0 = (-, ) je množina vnitřních bodů intervalu I. Výpočtem dostáváme f (x) = 12x2 - 24x + 12. Řešením rovnice f (x) = 0, tj. rovnice x2 - 2x + 1 = 0, dostáváme x1,2 = 1. Body x1 = 1, x2 = 1 rozdělí interval I na dva částečné intervaly (-, 1 , 1, ). Ve vnitřních bodech každého z nich je f (x) > 0. Je tedy f(x) ryze konvexní jak na intervalu (-, 1 , tak i na intervalu 1, ). Je tedy ryze konvexní i na jejich sjednocení, to jest na intervalu (-, ). Viz obr. 5.22. Tato funkce nemá inflexní bod. 1 + +f (x) f(x) bod x = 1 není inflexním bodem Obrázek 5.22: Konvexita funkce f(x) = x4 - 4x3 + 6x2 + 12x + 1. Příklad 5.16. Určete inflexní body funkce f(x) = 1 x ln x. Řešení. Funkce f(x) je spojitá na svém definičním oboru I = (0, ). Výpočtem dostáváme f (x) = 1 x2 (1 - ln x), f (x) = 1 x3 (2 ln x - 3). Řešením rovnice f (x) = 0, tj. rovnice 1 x3 (2 ln x - 3), dostáváme ln x = 3 2 , tj. x = e 3 2 . Určením znamení f (x) dostáváme, že f(x) je konkávní v intervalu (0, e 3 2 , konvexní na intervalu e 3 2 , ). V bodě x = e 3 2 má inflexní bod. Viz obr. 5.23. 0 e 3 2 - +f (x) f(x) bod x = e 3 2 je inflexní bod Obrázek 5.23: Konvexita funkce f(x) = 1 x ln x. 152 5.6 Hledání kořenů rovnice f(x) = 0 " metodou půlení in- tervalu". metoda půlení intervalu Ukažme si nyní větu, která je velice prospěšná při hledání kořenů rovnic. Tuto větu jsme mohli vyslovit již dříve, ale na tomto místě můžeme využít v následujícím příkladě poznatky o hledání extrémů funkce. Věta 5.19. Nechť funkce f(x) je spojitá na a, b a nechť f(a)f(b) < 0. Potom existuje alespoň jedno takové číslo (a, b), že f() = 0. (Viz obr 5.24.) xb c a f(a) f(b) f(c) y = f(x) Obrázek 5.24: Ilustrace významu věty 5.19. Tato věta umožňuje nalézt kořen rovnice f(x) = 0 s libovolnou přesností postupným dělením intervalu a, b . Určíme bod c = (a+b)/2. Je-li f(c) = 0, je = c. V opačném případě, je-li f(c) f(a) > 0, položíme a = c; je-li f(c) f(a) < 0, položíme b = c. Tím se obdrží nový zúžený interval a, b v němž leží číslo . Celý postup opakujeme tak dlouho, až obdržíme budťo číslo c, v němž je f(c) = 0 anebo interval a, b , v němž leží kořen a jehož délka b - a je menší než zvolené číslo, udávající požadovanou přesnost. Příklad 5.17. Nalezněme reálné kořeny polynomu f(x) = x3 - 3x2 + x - 1. Řešení: Abychom určili reálné kořeny daného polynomu, určeme napřed jeho znamení. Určeme lokální extrémy dané funkce. Výpočtem dostáváme f (x) = 3x2 - 6x + 1. Polynom f (x) má kořeny x1 = 1-1/3 6, x2 = 1+1/3 6. Určeme znamení funkce f (x) a intervaly monotónnosti funkce f(x). Dostáváme f (x) + - + f(x) x1 x2 153 5. Použití derivací Je tedy f(x) rostoucí v intervalu (-, x1 , klesající v intervalu x1, x2 , rostoucí v intervalu x2, ). Funkce f má tedy v bodě x1 lokální minimum. Poněvadž výpočtem zjistíme, že f(x1) < 0, f(x2) < 0, lim x f(x) = , má funkce f(x) jenom jeden reálný kořen (x2, ). Funkce f(x) je záporná pro x (-, ) a kladná pro x (, ). Počítáním hodnot funkce f(x) v bodech intervalu (x2, ), zjistíme, že např. f(2) = -3, f(3) = 2. Poněvadž f(x) je funkce spojitá a rostoucí na intervalu 2, 3 a f(2) < 0, f(3) > 0, má funkce f(x) na intervalu (2, 3) právě jeden kořen. Tento kořen můžeme hledat metodou půlení intervalu. Položme a := 2, b := 3. Postupně dostáváme f(a) := -3, f(b) := 2; c := a + b 2 , c := 5 2 , f(c) = - 13 8 , a := c f(a) := - 13 8 , f(b) := 2; c := a + b 2 , c := 11 4 , f(c) = - 9 64 , a := c f(a) := - 9 64 , f(b) := 2; c := a + b 2 , c := 23 8 , f(c) = 431 512 , b := c f(a) := - 9 64 , f(b) := 431 512 ; c := a + b 2 , c := 89 32 , f(c) = 1349 4096 , b := c f(a) := - 9 64 , f(b) := 1349 4096 ; c := a + b 2 , c := 5 2 , f(c) = 2921 32768 , b := c f(a) := - 9 64 , f(b) := 2921 32768 ; c := a + b 2 , c := 177 64 , f(c) = - 7087 262144 , a := c f(a) := - 7087 262144 , f(b) := 2921 32768 ; c := a + b 2 , c := 355 128 , f(c) = 64443 2097152 , b := c Tedy a . = 2,7656, b . = 2,7734, takže . = 2,7695. Úkol. Načrtněte si graf funkce f(x) a vyznačte body x1, x2, a = 2, b = 3 a kořen . 5.7 ĽHôospitalovo pravidlo Nechť f(x), g(x) jsou dvě funkce a nechť lim f(x) = A, lim g(x) = B, kde A, B R . Symbol lim zde zastupuje kterýkoliv ze symbolů lim xa+ , lim xa- , lim xa , lim x , lim x, kde a R. Zatím jsme uvažovali dva případy pro výpočet lim f(x) g(x) . 154 a) Ve větě 3.3 jsme uvedli, že lim f(x) g(x) = A B , pokud A B má význam v R . Podíl A B nemá význam v případě, že B = 0, a v případě, že A = , B = . b) Ve větě 3.5 jsme uvedli případ, kdy A = 0, B = 0. Doporučuji, abyste si obě tyto věty zopakovali. Přistoupíme nyní k další větě pro výpočet limity podílu dvou funkcí. c) V další větě, zvané ĽHôspitalovo pravidlo, vyšetříme případy ) A = B = 0, ) A = , B = . ĽHôspitalovo pravidlo ĽHôspitalovo pravidloVěta 5.20. (ĽHôspitalovo pravidlo) Nechť f(x), g(x) jsou takové funkce, že lim f(x) = lim g(x) = 0 nebo lim f(x) = , lim g(x) = . Existuje-li vlastní nebo nevlastní limita lim f (x) g(x) = , pak existuje lim f(x) g(x) a platí lim f(x) g(x) = lim f (x) g(x) = . Symbol lim zde může nabýt kteréhokoliv z pěti významů: lim xa+ , lim xa, lim xa , lim x, lim x+ . Důkaz: Omezme se na případ, že lim f(x) = lim g(x) = 0 a pro určitost předpokládejme, že jde o limity zprava v čísle a a že je reálné číslo. Položme f(a) = g(a) = 0. Pak funkce f(x) a g(x) jsou v čísle a zprava spojité. Poněvadž lim xa+ f (x) g(x) = , existuje k libovolnému > 0 takové číslo > 0, že funkce f(x), g(x) mají 155 5. Použití derivací v intervalu (a, a + ) derivaci a v něm platí f (x) g(x) - < . (5.20) Odtud též vyplývá, že g (x) = 0. Buď x libovolné číslo tohoto intervalu. Pak na intervalu a, x splňují funkce f, g předpoklady věty o přírustku funkce. Podle ní tedy existuje c (a, x) tak, že [f(x) - f(a)] g (c) = [g(x) - g(a)] f (c). Poněvadž f(a) = g(a) = 0, dostáváme odtud f(x) g (c) = g(x) f (c). Poněvadž g (x) = 0 pro x (a, x), je též g (c) = 0. Ukažme, že je g(x) = 0. Předpokládejme, že g(x) = 0. Pak by podle věty o přírustku funkce existovalo uvnitř (a, x) číslo c1 tak, že g (c1)(x - a) = g(x) - g(a) = 0. To by byl spor, neboť g (x) = 0 na intervalu (a, a + ), tedy i g (c1) = 0. Tedy g(x) = 0. Je tedy f(x) g(x) = f (c) g(c) . Odtud a ze vztahu (5.20) pak dostáváme, že f(x) g(x) - < . Proto platí: lim xa+ f(x) g(x) = . Podobně se důkaz provede i v ostatních případech. Příklad 5.18. Vypočítejte lim x0+ 1 - x2 - 1 x . Řešení: Položme f(x) = 1 - x2 - 1, g(x) = x. Zřejmě f(x) i g(x) jsou funkce spojité v bodě 0. Je tedy lim x0+ f(x) = f(0) = 0, lim x0+ g(x) = g(0) = 0. Podle ĽHôspitalova pravidla platí lim x0+ 1 - x2 - 1 x = lim x0+ -x 1-x2 1 = -x 1 - x2 x=0 = 0. 156 Poznámka. Užitím věty 5.20 lze počítat i limitu tzv. neurčitých výrazů. Jsme zvyklí je zapisovat takto " 0 0 ", jestliže limita čitatele i jmenovatele je rovna 0, " ", jestliže čitatel i jmenovatel mají nevlastní limity, " 0 , 0 (-)", pro případ výpočtu lim f(x)g(x), kdy lim f(x) = 0 a lim g(x) = (-), " - ", kdy limita jednoho sčítance je + a druhého je rovna -, " 00 ", pro případ výpočtu lim f(x)g(x) , kdy lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 " 0 ", pro případ výpočtu lim f(x)g(x) , kdy lim f(x) = 0, lim g(x) = . Limity takovýchto výrazů počítáme převedením na výpočet podílu takových funkcí, abychom mohli použít ĽHôspitalovo pravidlo. Výpočet limity f(x)g(x) počítáme tak, že zapíšeme f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) a limitu počítáme výpočtem limity funkce g(x) ln f(x) a použijeme větu o výpočtu limity složené funkce. Příklad 5.19. Vypočítejte lim x ( x2 - 1 - x). Řešení. Zde menšenec i menšitel mají limitu rovnu +. Jde o případ, který jsme označili " - ". Dostáváme lim x ( x2 - 1 - x) = lim y0+ 1 - y2 |y| - 1 y = lim y0+ 1 - y2 - 1 y . Poněvadž lim y0+ 1 - y2 - 1 = 1 - y2 - 1 y=0 = 0, lim y0+ y = 0 použijeme ĽHôspitalovo pravidlo. Dostáváme lim y0+ 1 - y2 - 1 y = lim y0+ 1 2 (1 - y2 )- 1 2 (-2y) 1 = lim y0+ -y 1 - y2 = 0. Příklad 5.20. Vypočítejte a) lim x0+ xe 1 x , b) lim x0- xe 1 x . Řešení. a) Zřejmě lim x0+ x = 0, lim x0+ e 1 x = lim y ey = . 157 5. Použití derivací Jde tedy o výpočet limity typu " 0 ". Úpravou dostáváme lim x0+ xe 1 x = lim x0+ e 1 x 1 x , tedy jde o typ " ". Použitím ĽHôspitalova pravidla dostáváme lim x0+ xe 1 x = lim x0+ e 1 x 1 x = lim x0+ e 1 x - 1 x2 - 1 x2 = lim x0+ e 1 x = . b) Zřejmě lim x0x = 0, lim x0- e 1 x = lim y- ey = 0. Tedy lim x0- xe 1 x = 0. Příklad 5.21. Vypočítejte lim x ln x x . Řešení. Jde o výpočet limity typu " ". Užitím ĽHôspitalova pravidla do- staneme lim x ln x x = lim x 1 x 1 = lim x 1 x = 1 = 0. Příklad 5.22. Vypočítejte lim x0+ xx . Řešení. Jde o výpočet limity typu " 00 ". Funkce xx je definovaná pro x (0, ). Lze ji přepsat na tvar xx = ex ln x . Jde o složenou funkci, její vnější složkou je funkce eu , vnitřní složkou je funkce x ln x. Dostáváme lim x0+ x ln x = lim x0+ ln x 1 x . Užitím ĽHôspitalova pravidla obdržíme lim x0+ ln x 1 x = lim x0+ 1 x - 1 x2 = - lim x0+ x = 0. Poněvadž eu je funkce spojitá, je lim x0+ ex ln x = e lim x0+ (x ln x) = e0 = 1. 5.8 Průběh funkce asymptoty Zavedeme nyní pojem asymptot funkce f(x). Jde o přímky, které dále uvedeným způsobem charakterizují průběh funkce. Dělíme je na a) asymptoty bez směrnice a na b) asymptoty v nevlastních bodech -, . 158 asymptoty Definice 5.7. (Asymptoty bez směrnice) Přímku x = a R nazýváme asymptotou bez směrnice funkce y = f(x), jestliže lim f(x) = nebo lim f(x) = -, kde lim značí alespoň jeden ze symbolů lim xa, lim xa+ , lim xa . Poznámka. Otázkou je, jak určit a, pro nějž je lim xa+ f(x) = + (nebo lim xa+ f(x) = -) nebo lim xaf(x) = + (nebo lim xaf(x) = -). Lehce nahlédneme, že a je bodťo bodem, v němž funkce f(x) není spojitá, nebo koncovým bodem intervalu J Df . Příklad 5.23. Určeme asymptotu bez směrnice funkce f(x) = 3x2 + 1 2x - 1 . Řešení. Funkce f(x) je spojitá pro x (, )-{1 2 }. Výpočtem dostáváme lim x1/2+ 3x2 + 1 2x - 1 = +, lim x1/2- 3x2 + 1 2x - 1 = -. Je tedy x = 1 2 asymptotou bez směrnice funkce f(x). Při vyšetřování průběhu funkce 3x2+1 2x-1 vyznačíme asymptotu bez smernice takto 0 1 2 x x = 1 2 Obrázek 5.25: Asymptoty bez směrnice ­ x = 1 2 . 159 5. Použití derivací Definice 5.8. (Asymptota v nevlastním bodě) Přímku y = Ax + B (A, B jsou reálná čísla) nazýváme asymptotou funkce y = f(x) v nevlastním bodě (-), jestliže (viz obr. 5.26) lim x (x) = 0 lim x(x) = 0 , kde (x) = f(x) - Ax - B. (x) xx y = Ax + B y = f(x) Obrázek 5.26: Asymptotou v bodě . K určení asymptot se směrnicí používáme následující věty. Věta 5.21. (Určení asymptoty v nevlastním bodě) Přímka y = Ax + B je asymptotou grafu y = f(x) v nevlastním bodě (-), když a jen když A = lim x f(x) x , B = lim x (f(x) - Ax) A = lim x- f(x) x , B = lim x(f(x) - Ax) . Poznámka. Místo " asymptota bez směrnice" se používá též termín " asymptota rovnoběžná s osou y". Název vychází z toho, že přímka rovnoběžná s osou y svírá s osou x úhel 90 a tato přímka nemá směrnici (tg 90 není definováno). Místo " asymptota v nevlastním bodě" lze použít i termínu " asymptota se směrnicí". Příklad 5.24. Určete asymptoty se směrnicí funkce f(x) = 3x2 - 1 2x - 1 . 160 Řešení. Výpočtem dostáváme A = lim x f(x) x = lim x 3x2 - 1 2x2 - x = lim y0+ 3 y2 - 1 2 y2 - 1 y = lim y0+ 3 - y2 2 - y = 3 2 . Dále dostáváme: B = lim x (f(x) - Ax) = lim x 3x2 - 1 2x - 1 - 3 2 x = = lim x 6x2 - 2 - 6x2 + 3x 2(2x - 1) = lim x 3x - 2 2(2x - 1) = 3 4 . Je tedy y = 3 2 x + 3 4 asymptotou grafu funkce y = 3x2-1 2x-1 v nevlastním bodě . Lehce se přesvedčíme, že tato přímka je i asymptotou dané funkce v nevlastním bodě -. Příklad 5.25. Určete asymptoty funkce f(x) = 2x2 + 1 x + 1 . Řešení. a) Asymptoty bez směrnice. Definičním oborem je množina (-, )-{-1}. Tedy f(x) není spojitá jen v bodě -1. Abychom určili lim x-1+ f(x) a lim x-1f(x) určíme znamení funkce f(x). Dostáváme -1 f(x) - + Poněvadž lim x-1+ (2x2 + 1) = 3 = 0, lim x-1+ (x + 1) = 0, použijeme k výpočtu lim x-1+ f(x) větu 3.5. Poněvadž existuje U+ (-1) tak, že pro x U+ (-1) - {-1} je f(x) > 0, je lim x-1+ f(x) = . Podobně zjistíme, že lim x-1f(x) = -. Je tedy x = -1 asymptotou bez směrnice funkce f(x). (Viz následující náčrtek.) -1 161 5. Použití derivací b) Asymptoty se směrnicí. Hledejme asymptotu v nevlastním bodě . Asymptotou je přímka Ax+ B kde A, B, se určí podle věty 5.21. Dostáváme A = lim x f(x) x = lim x 2x2 + 1 x(x + 1) = lim x 2 + 1 x2 1 + 1 x = 2 B = lim x (f(x) - Ax) = lim x 2x2 + 1 x + 1 - 2x = = lim x 2x2 + 1 - 2x2 - 2x x + 1 = lim x -2x + 1 x + 1 = = lim x -2 + 1 x 1 + 1 x = -2. Je tedy y = 2x - 2 asymptotou v nevlastním bodě . Tato přímka je zárověň asymptotou v nevlastním bodě -. Poznámka. Lze ukázat, že u racionálních lomených funkcí je asymptota v nevlastním bodě + totožná s asymptotou v nevlastním bodě -. postup při vyšetřování průběhu funkce Při vyšetřování průběhu funkce zjišťujeme: 1. Kde je funkce definovaná, kde má nulové body, kde je nad osou x a kde je pod osou x (znamení funkce). Zda je funkce sudá, lichá, periodická. 2. Kde funkce roste, kde klesá, kde má extrémy. 3. Kde je funkce konvexní, kde je konkávní a kde má inflexní body. 4. Jaké má asymptoty. 5. Graf. Příklad 5.26. Vyšetřeme průběh funkce y = 2x + 1 x(x + 1) . 1. Jde o reálnou racionální lomenou funkci. Čitatel 2x + 1 má kořen x = -1 2 , jmenovatel x(x + 1) má dva kořeny, a to x = 0 a x = -1. Poněvadž čitatel a jmenovatel funkce nemají stejné kořeny a každý kořen čitatele a jmenovatele je jednoduchý (liché násobnosti), rozdělí tyto kořeny interval (-, ) na 4 částečné intervaly. V sousedních 162 intervalech má funkce opačné znaménko (viz náčrtek). f : -1 -1 2 0 - + - + Funkce není definovaná v bodech x = 0, x = -1. Graf funkce protíná osu x v bodě x = -1 2 . Funkce není ani sudá ani lichá, není periodická. 2. Vypočítejme f (x). Dostáváme: f (x) = - 2x2 + 2x + 1 x2(x + 1)2 . Čitatel nemá reálné kořeny, jmenovatel má čísla -1, 0 za dvojnásobné kořeny. Znamení f (x)a monotónnost funkce f(x) jsou patrny z následujícího náčrtku: f : f : -1 0 - - - Podle věty 5.6 funkce f(x) klesá v intervalech (-, -1), (-1, 0), (0, ). Poněvadž f (x) existuje v Df a je zde f (x) = 0, nemá f(x) lokální extrémy. 3. Výpočítejme f (x). Dostáváme f (x) = 2 2x3 + 3x2 + 3x + 1 x3(x + 1)3 . Zřejmě f (-1 2 ) = 0. Funkce f (x) nemá jiné reálné kořeny. Znamení f (x) a konvexita funkce f(x) jsou patrny z náčrtku: -1 -1 2 0 - + - +f : f : Je tedy f(x) konkávní v intervalech (-, -1), -1 2 , 0) a konvexní v intervalech (-1, -1 2 , (0, ). Bod x = -1 2 je inflexním bodem. 4. Přímka x = a může být asymptotou bez směrnice grafu y = f(x) pouze tehdy, není-li funkce f v bodě a spojitá zprava nebo zleva. V našem případě se jedná o body x = 0, x = -1. Výpočtem dostáváme (podívejte se na znamení funkce f(x)): lim x0+ f(x) = , lim x0f(x) = -, lim x-1+ f(x) = , lim x-1f(x) = -. 163 5. Použití derivací Tedy přímky x = -1, x = 0 jsou asymptoty bez směrnice. K určení asymptot se směrnicí vypočítáme: A = lim x = f(x) x = 0, B = lim x f(x) = 0. Tedy y = 0 je asymptotou se směrnicí v bodech , -. 5. Náčrtek grafu: x-1 -1 2 0 y = f(x) Obrázek 5.27: Náčrtek grafu funkce 2x+1 x(x+1) . Příklad 5.27. Na obr. 5.28 je znázorněna funkce y = f(t), t 0, ) popisující množství y prodeje nějakého zboží jako funkci času t. A 0 t0 y = f(t) Obrázek 5.28: Prodej zboží. Na následujících náčrtcích je znázorněno znamení f (t), f (t). Z nich lze vyvodit tyto závěry f (t) + 0 f f + 0 t0 Funkci f (t) lze chápat jako funkci " rychlosti" prodeje. Rychlost prodeje se zvyšuje až do časového okamžiku t0, potom rychlost prodeje klesá. 164 5.9 Diferenciál a Taylorova věta V této části se budeme zabývat přibližným vyjádřením funkce. Řešme tuto úlohu. Je dána funkce f(x); nahraďme ji pro x v blízkosti bodu a polynomem. Úloha je nejjednodušeji rešena, nahradíme-li ji polynomem prvního stupně ­ tečnou, za předpokladu, že existuje f (a). zavedení pojmu " diferenciál funkce" Zvolme h. Položme x = a + h. Výraz f(a) = f(a + h) - f(a) nazveme diferencí ­ jde o přírustek funkce, při přechodu z bodu a do bodu a + h. Přírustek na tečně t funkce y = f(x) v jejím bodě T[a, f(a)] při přechodu z bodu a do bodu a + h je roven f (a)h. (Viz obr. 5.29) 0 x y t y = f(x) a a + h df(a) f(a) f(x) f(a) Obrázek 5.29: Význam diferenciálu. Zaveďme si nyní pojem diferenciálu funkce y = f(x) v bodě a touto definicí. Definice 5.9. (Diferenciál funkce y = f(x)) Nechť funkce y = f(x) má v bodě a derivaci f (a). Potom df(a) = f (a)h, h R je proměnná nazýváme diferenciálem funkce f(x) v bodě a. Poznámka. Poněvadž pro y = x je dx = h, píšeme často dx místo h. Potom df(a) = f (a)dx. Má-li funkce y = f(x) derivaci na intervalu I, potom píšeme df = f (x)dx, resp. dy = f (x)dx, x I. (5.21) Potom diferenciál dy je funkcí dvou proměnných: x, dx. Vztah (5.21) lze přepsat jako podíl dy dx = f (x), x I. (5.22) 165 5. Použití derivací Zde dx je diferenciál neodvisle proměnné x a dy je diferenciál odvisle proměnné y. Na derivaci f (x) se můžeme dívat jako na podíl diferenciálu odvisle proměnné a neodvisle proměnné. Ukažme, že pro dostatečně malé h je f(a) rovno přibližně df(a). Zaveďme (h) jako chybu aproximace f(a) diferenciálem df(a) f(a + h) - f(a) = f (a)h + (h). Dělíme-li tento výraz číslem h, dostáváme f(a + h) - f(a) h = f (a) + (h) h . Výpočtem limity levé i pravé strany v bodě h = 0 dostáváme lim h0 (h) h = 0. Tedy Pro malé h je f(a) rovno přibližně df(a): f(a + h) . = f(a) + f (a)h. Příklad 5.28. Určete diferenciál funkce f(x) = sin 2x v bodě x = 8 . Řešení. V obecném bodě x je df(x) = (sin 2x) dx. Tedy df(x) = 2 cos 2x dx. V bodě a = 8 pak platí df 8 = 2 cos 2 8 dx = 2dx. Příklad 5.29. Určete přibližně sin(31 ), víte-li, že sin(30 ) = 0,5, cos(30 ) = 3 2 . Řešení. Úhel 31 vyjádřený v obloukové míře je roven 6 + 180 . Položme a = 6 , dx = 180 . Potom sin 6 + 180 . = sin 6 + cos 6 180 = 0,5 + 180 3 2 . Zabývejme se nyní aproximací funkce f(x) polynomem stupně n 1. 166 Taylorova věta Taylorova věta Nechť funkce f(x) má v bodě x = a derivace až do řádu n včetně. Potom polynom v proměnné h Tn(a + h) = f(a) + f (a) 1! h + f (a) 2! h2 + + f(n) (a) n! hn (5.23) se nazývá Taylorovým polynomem stupně n příslušným k funkci f(x) v bodě a. Lehce se přesvědčíme, že polynom Tn(x) a funkce f(x) mají v bodě a stejnou funkční hodnotu a derivace až do řádu n včetně. Označíme-li h = x - a, dostáváme z (5.23) Tn(x) = f(a)+ f (a) 1! (x-a)+ f (a) 2! (x-a)2 + + f(n) (a) n! (x-a)n (5.24) Příklad 5.30. Určete Taylorův polynom příslušný k funkci f(x) = sin x v bodě a = 0 pro n = 5. Řešení. Zřejmě (sin x) = cos x, (sin x) = - sin x, (sin x) = - cos x, (sin x)(4) = sin x, (sin x)(5) = cos x. Je tedy T5(x) = x 1! - x3 3! + x5 5! . Lze tedy pro x blízká číslu a = 0 psát přibližný vztah sin x x 1! - x3 3! + x5 5! . Zabývejme se nyní otázkou, jaké chyby se dopouštíme, nahradíme-li funkci f(x) polynomem Tn(x). Odpověď dává tato věta. Věta 5.22. (Taylorova věta) Nechť funkce f(x) má na otevřeném intervalu I derivace až do řádu n + 1 včetně. Nechť a I. Potom pro každé x I platí f(x) = Tn(x) + Rn+1, (5.25) kde Tn(x) je Taylorův polynom určený vztahem (5.24) a Rn+1 je chyba aproximace, určená např. vztahem Rn+1 = f(n+1) () (n + 1)! (x - a)n+1 , (5.26) kde leží mezi body a, x. 167 5. Použití derivací Důkaz: Důkaz používá Rolleovu větu. Není obtížný, ale nebudeme jej však provádět. Poznámka 1. Rn+1 představuje chybu, které se dopustíme, aproximujeme-li hodnotu funkce f v bodě x hodnotou polynomu Tn v bodě x. Číslo , které zde vystupuje, není větou určeno. Pouze je uvedeno, že leží mezi body a, x. Jestliže platí odhad |f(n+1) (t)| M pro všechna t z intervalu o koncových bodech a, x, lze psát |Rn+1| M (n + 1)! |x - a|n+1 . Poznámka. Specielně pro a = 0 dostáváme z (5.24) Tn(x) = f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x2 + + f(n) (0) n! xn a z (5.26) Rn+1 = f(n+1) () (n + 1)! xn+1 , kde leží mezi 0 a x. Poněvadž případ a = 0 se často vyskytuje, uvádí se někdy pro a = 0 místo " Taylorova věta" název " Maclaurinova věta". Taylorova a Maclaurinova řada Předpokládejme, že a, x jsou dvě navzájem různá čísla a že funkce f(x) má v uzavřeném intervalu I o koncových bodech a, x derivace všech řádů. Na intervalu I uvažujme řadu f(a) + f (a) 1! (x - a) + + f(n) (a) n! (x - a)n + . . . . (5.27) Potom řada (5.27) je konvergentní a její součet je f(x) na intervalu I, když a jenom když lim n Rn(x) = 0, x I, kde Rn+1 je dáno vztahem (5.26). Je-li tedy (5.27) konvergentní, lže psát f(x) = f(a) + f (a) 1! (x - a) + f (a) 2! (x - a)2 + . . . . (5.28) Řada (5.28) se nazývá Taylorova řada, resp. pro a = 0 se nazývá Maclaurinova řada. 168 Příklad 5.31. Napište Maclaurinovu řadu pro funkci f(x) = ex . Řešení. Pro každé n je (ex )(n) = ex . Je tedy f(0) = f (0) = f (0) = = e0 = 1. Dosadíme-li tyto hodnoty do (5.27), obdržíme řadu 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + . . . . (5.29) Tato řada je absolutně konvergentní pro každé x. Skutečně, pro každé x jde o číselnou řadu. Aplikací limitního podílového kriteria obdržíme lim n xn+1 (n+1)! xn n! = lim n |x| n + 1 = 0 < 1. Je tedy řada (5.29) absolutně konvergentní pro každé x. Tedy konverguje na intervalu (-, ). Lze tedy psát ex = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + . . . . Jde o mocninnou řadu se středem konvergence x0 = 0 a poloměrem konvergence r = . 5.10 Shrnutí a úlohy Shrnutí kapitoly V kapitole je zaveden pojem lokálního extrému funkce f(x) a absolutního extrému funkce (Definice 5.1, Definice 5.3). V kapitole se pojednává o jejich existenci a způsobu jejich nalezení. V kapitole se uvádí důležitá věta " Věta o přírustku funkce". Ukazuje se též postup při hledání intervalů, na nichž je vyšetřovaná funkce monotónní. Dále se vyšetřuje konvexita a konkávnost funkcí. Zavádí se též pojem inflexního bodu funkce. Je uveden postup, jak je v jistých případech možno určit intervaly, na nichž je daná funkce konvexní, resp. konkávní. Je prezentovaná metodika hledání inflexních bodů dané funkce. V kapitole se též pojednává o numerické metodě hledání kořene rovnice f(x) = 0 na intervalu a, b , je-li f(x) spojitá na a, b a je-li f(a)f(b) < 0. V kapitole je pojednáno o zatím neřešeném případě výpočtu limity lim xa f(x) g(x) , je-li lim xa f(x) = lim xa g(x) = 0, resp. lim xa f(x) = a lim xa g(x) = (ĽHôspitalovo pravidlo). Jedna podkapitola je pak věnována vyšetřování průběhu funkce. Poslední podkapitola pak pojednává o diferenciálu funkce f(x) a o Taylorově větě. 169 5. Použití derivací Úlohy 1. Vysvětlete pojem lokálního extrému funkce f(x) a popište způsob jeho hledání. 2. Vysvětlete pojem absolutního extrému funkce f(x) na intervalu a způsob jeho hledání. 3. Vyslovte větu o přírustku funkce (neboli větu o střední hodnotě funk- ce). 4. Jak hledáme intervaly, na nichž je vyšetřovaná funkce monotónní? 5. Vysvětlete pojmy: funkce konvexní na intervalu, funkce konkávní na intervalu a pojem inflexního bodu. Jak se hledají intervaly, na nichž je funkce konvexní, resp. konkávní? Jak se hledají inflexní body funkce? 6. Popište metodu hledání kořenů rovnice y = f(x) metodou půlení inter- valu. 7. Vyslovte ĽHôspitalovo pravidlo. 8. Co je to diferenciál funkce? Uvedťe definici a vysvětlete tento pojem na obrázku. 9. Vyslovte Taylorovu větu. 10. Určete body, v nichž má funkce f(x) = 3x - |x - 2| + |x + 1| lokální extrémy. Danou funkci načrtněte. 11. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkcí: a) f(x) = x2 - 5x + 6 [klesá (-, 5 2 , roste 5 2 , ), lok. min. v bodě x = 5 2 ] b) f(x) = x ln x [klesá (0, 1 e , roste 1 e , ), lok. min. x = 1 e ] c) f(x) = x + 4 x+1 [roste (-, -3 , 1, ), klesá -3, -1), (-1, 1 , lok. max. x = -3, lok. min. x = 1] d) f(x) = 1 x+3 [klesá (-, -3), (-3, )] e) f(x) = (1 - x) x [roste 0, 1 3 , klesá 1 3 , ), lok. max. x = 1 3 ] f) f(x) = sin 2x, x (- 2 , 2 ) [roste - 4 , 4 , klesá (- 2 , - 4 , 4 , 2 ), lok. min. v bodě x = - 4 , lok. max. v bodě x = 4 ] g) f(x) = ln x x [roste (0, e2 , klesá e2 , ), lok. max. v bodě x = e2 ] h) f(x) = x 1-x2 [roste (-, -1), (-1, 1), (1, ), lok. extrémy nemá] i) f(x) = x2 2x [roste 0, 2 ln 2 , klesá (-, 0 , 2 ln 2 , ), lok. max. v bodě x = 2 ln 2 , lok. min. v bodě x = 0] j) f(x) = x2 + |x| - 1 [Návod: f(x) = x2 +x-1 pro x 0, f(x) = x2 -x-1 pro x < 0; roste 0, ), klesá (-, 0 , lok. min. pro x = 0] 12. Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) konvexní, intervaly, na nichž je funkce f(x) konkávní, a určete inflexní body. 170 a) f(x) = x3 - 5x2 + 3x - 5 [konv. 5 3 , ), konk. (-, 5 3 , infl. bod x = 5 3 ] b) f(x) = (x + 1)4 + ex [konv. (-, ), nemá infl. body] c) f(x) = ln(1 + x2 ) [konv. -1, 1 , konk. (-, -1 , 1, )] d) f(x) = 1 x ln x [konv. e 3 2 , ), konk. (0, e 3 2 , infl. bod x = e 3 2 ] e) f(x) = e 1 x [konk. (-, -1 2 , konv. -1 2 , 0), (0, ), infl. bod. x = -1 2 ] 13. Určete absolutní extrémy funkce f(x) na daném intervalu. a) f(x) = x2 - 5x + 6, x 0, 10 [abs. min. v bodě x = 5 2 , abs. max. v bodě x = 10] b) f(x) = 1-x2 1+x2 , x (-1, 1) [abs. max. v bodě x = 0, abs. min. není] c) f(x) = sin 1 x , x (0, ) [abs. max. pro x = 1 2 +k2 , k N0, abs. min. pro x = 1 2 +(2k+1) , k N0] 14. Určete asymptoty funkce. a) f(x) = 2x2 x+1 [bez směrnice x = -1, v bodech : y = 2x - 2] b) f(x) = 3x+1 x-2 [bez směrnice x = 2, v bodech : y = 3] c) f(x) = 1 + x2 [asymptoty bez směrnice nemá, y = x v bodě , y = -x v bodě -] 15. Vyšetřete průběh funkce. a) f(x) = x3 - 6x2 + 9x [Df = (-, ), znamení f : 0 3 - + + f (x) = 3x2 - 12x + 9, f : f : 1 3 + - + lok. max. lok. min. f(1) = 4, f(3) = 0, f (x) = 6x - 12, f : f : 2 - + infl. bod f(x) nemá asymptoty] b) f(x) = 1+x2 1-x2 [Df = (-, ) - {-1, 1}, f : -1 1 + - + f (x) = 4x (1-x2)2 , f : f : -1 0 1 - - + + lok. min. f(0) = 1 f (x) = -4(1+3x2) (1-x2)3 , f : f : -1 1 - + - asymptoty: x = 1, x = -1, y = -1] c) f(x) = ln x x [Df = (0, ), f : 0 1 - + f (x) = 1-ln x x2 , f : f : 0 e + - lok. max. f(e) = 1 e f (x) = -3+2 ln x x3 , f : f : 0 e 3 2 - + infl. bod lim x0+ ln x x = -, asymptoty: x = 0, y = 0] 171 5. Použití derivací 16. Vypočítejte limity a) lim x ex x2+1 [] b) lim x0+ sin x x2 [] c) lim x0+ (1 x - 1 ex-1 ) [1 2 ] d) lim x ln x x [0] e) lim x x ln x [] f) lim x x 1 x [1] 17. Nalezněte diferenciál funkce a) f(x) = x3 - 3x + 1 v bodě x = 2 [df = (3x2 - 3)dx, df(2) = 9dx] b) y = sin 2x [dy = 2 cos 2xdx] c) y = x - 1 [dy = 1 2 x-1 dx] 18. Vypočítejte přibližně podle Taylorovy věty ln e2,1 pro n = 1, 2, 3. Odhadněte chybu. 19. Napište MacLaurinovu řadu funkce a) f(x) = sin x [sin x = x 1! - x3 3! + x5 5! - . . . , x (-, )] b) f(x) = cos x [cos x = 1 - x2 2! + x4 4! - . . . , x (-, )] c) f(x) = ln(1 + x) [ln(1 + x) = x 1 - x2 2 + x3 3 - . . . , -1 < x 1] 20. Vytvořte tabulku, v níž vyznačíte funkční hodnoty funkcí sin x, T5(x) v bodech x {0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9}. 172 Primitivní funkce Metoda per partes (po částech). Výpočet neurčitého integrálu substitucí. Integrování racionálních lomených funkcí Shrnutí, úlohy Neurčitý integrál 6 6. Neurčitý integrál Cíl kapitoly Seznámit se s pojmy primitivní funkce, neurčitý integrál a s problematikou jejich existence. Naučit se neurčité integrály základních funkcí a integraci lineárních kombinací funkcí, jejichž neurčité integrály dovedeme určit. Zvládnout základní metody výpočtu neurčitých integrálů ­ metodu per partes a metodu substituční. Zvládnout integraci racionálních lomených funkcí. Časová zátěž 10 hodin Úvod. V této kapitole se setkáte s novým pojmem ­ neurčitý integrál. S tímto pojmem jste se již asi setkali v předcházejícím studiu, avšak vzhledem k jeho závažnosti se nebudou předpokládat žádné předcházející znalosti. Jde o tento problém: Na daném intervalu nalézt k dané funkci f(x) všechny funkce F(x), pro něž platí F (x) = f(x). Množina všech takovýchto funkcí F(x) k funkci f(x) na daném intervalu se nazývá neurčitým integrálem z funkce f(x). Tato úloha je poměrně složitá a její řešení vyžaduje často dosti důvtipu. Znalost určení neurčitého integrálu je základem pro určení určitého integrálu a pro řešení vícerozměrných integrálů. Probírání těchto pojmů bude navazovat na tuto kapitolu. S integrály se setkáte v řadě aplikací, např. při řešení úloh statistickými metodami. 6.1 Primitivní funkce V minulých kapitolách jsme se naučili derivovat. Nechť derivováním funkce F(x) na intervalu I obdržíme funkci, kterou označíme f(x). Potom tedy F (x) = f(x). Např. derivováním funkce F(x) = x3 na intervalu (-, ) obdržíme funkci f(x) = 3x2 . K funkci F(x) přiřaďme nyní derivováním funkci f(x) = F (x). Symbolicky zapišme toto přiřazení takto: F(x) --- deriv f(x), x I. V různých situacích však jsme postaveni před úlohu opačnou. K dané funkci f(x) se má na intervalu I, na němž je f(x) definovaná, přiřadit taková funkce F(x), že její derivací je funkce f(x) (pokud existuje; je-li takových funkcí více, zvolit jednu z nich). Tedy k dané funkci f(x) se má na intervalu I nalézt taková funkce F(x), aby F (x) = f(x). Toto opačné přiřazení nazveme prozatimně antiderivováním a vyznačíme je takto f(x) ------ antideriv F(x), x I. 174 Je-li tedy např. f(x) = sin x, potom k ní antiderivovámím přiřadíme na intervalu (-, ) např. funkci F(x) = - cos x, neboť (- cos x) = sin x pro x (-, ). Zatímco derivování funkcí je záležitost přímočará a poměrně jednoduchá, antiderivování je záležitost mnohem složitější. Zavedeme si nyní několik základních pojmů. Co je to primitivní funkce Definice 6.1. Zavedení pojmu primitivní funkce Nechť F(x), f(x) jsou takové funkce na intervalu I, že F (x) = f(x) pro každý vnitřní bod intervalu I a jestliže jeho levý (pravý) koncový bod a patří do intervalu I, potom v něm platí F+ (a) = f(a) (F(a) = f(a)). Pak říkáme, že funkce F(x) je na intervalu I primitivní k funkci f(x). a) Funkce F(x) = ln x je primitivní k funkci f(x) = 1 x na intervalu (0, ), neboť (ln x) = 1 x pro x (0, ). b) Funkce F(x) = x3 - 3x2 + x + 4 je na intervalu (-, ) primitivní k funkci f(x) = 3x2 - 6x + 1, neboť pro každé x (-, ) platí F (x) = 3x2 - 6x + 1. Poznámka 1. Jestliže funkce F(x) je na intervalu I primitivní k funkci f(x), potom má na něm derivaci, takže funkce F(x) je na intervalu I spojitá. Kdy existuje k funkci f(x) funkce primitivní Zabývejme se nyní otázkou, zda k dané funkci vždy existuje primitivní funkce a jestliže existuje, zda je určena jednoznačně. Ukazuje se, že existují funkce, k nimž neexistuje funkce primitivní na uvažovaném intervalu. Uveďme příklad takovéto funkce f(x). Nechť f(x) = -1 pro x (-1, 0) 0 pro x = 0 1 pro x (0, 1). (6.1) Předpokládejme, že k této funkci f(x) existuje na intervalu (-1, 1) primitivní funkce. Označme ji F(x). Tento předpoklad vede ke sporu. Vypočítejme F+ (0). Výpočtem dostáváme postupně: F+ (0) = lim x0+ F (x)-F (0) x . Užitím věty o střední hodnotě diferenciálního počtu dostáváme F+ (0) = lim x0+ F (c) x x = lim x0+ f(c) x x = 1, kde c je vhodné číslo z intervalu (0, x). Podobně dokážeme, že F(0) = -1. Tedy F (0) neexistuje. Funkce F(x) není tedy primitivní k funkci f(x) na intervalu (-1, 1), což je spor s předpokladem. Existence primitivní funkce k funkci f(x) na intervalu I je však zaručena pro širokou třídu funkcí ­ pro funkce spojité na uvažovaném intervalu I. Platí totiž věta 6.1. 175 6. Neurčitý integrál Poznámka 2. V dalším většinou budeme uvádět primitivní funkce na otevřených intervalech. Pokud budeme mluvit o primitivní funkci F(x) na intervalu I, jehož levý (pravý) koncový bod a je jeho bodem, můžeme místo F+ (a) (F(a)) používat zápis F (a). Věta 6.1. Nechť f(x) je funkce spojitá na intervalu I. Pak k ní na intervalu I existuje funkce primitivní. Důkaz: Věta bude dokázána později. Viz věta 7.15. Ukažme, že spojitost funkce f(x) na intervalu I není nutnou, ale je jen postačující podmínkou k existenci primitivní funkce F(x) na intervalu I. Uveďme příklad funkce f(x) nespojité na intervalu (-1, 1) a funkce k ní primitivní. Uveďme příklad funkce f(x), která sice není spojitá na (-1, 1), avšak přesto k ní existuje na intervalu (-1, 1) funkce primitivní. Jde o obtížnější příklad. Pokud Vám bude obtížný, není nutno jej znát. Musíte však vzít na vědomí, že existují funkce nespojité na a, b , k nimž existuje primitivní funkce. Příklad 6.1. Uvažujme funkci f(x) = 2x cos 1 x + sin 1 x pro x (-1, 1), x = 0 0 pro x = 0. (6.2) Tato funkce je v bodě x = 0 nespojitá, neboť lim x0 f(x) neexistuje; funkce sin 1 x nabývá totiž v každém ryzím okolí bodu 0 všechny hodnoty z intervalu -1, 1 . Ukažme, že funkce F(x) = x2 cos(1 x ) pro x (-1, 1), x = 0 0 pro x = 0 je na intervalu (-1, 1) primitivní k funkci f(x). Řešení: Výpočtem dostáváme, že pro x (-1, 1), x = 0 je F (x) = 2x cos 1 x + sin 1 x . Vypočítejme nyní ještě derivaci funkce F(x) v bodě 0. Z definice derivace funkce v daném bodě dostáváme postupně F (0) = lim x0 F(x) - F(0) x - 0 = lim x0 x2 cos 1 x x = lim x0 x cos 1 x . Poněvadž pro x = 0 je |x cos(1 x )| |x|, a lim x0 |x| = 0, je lim x0 x cos(1 x ) = 0, takže F (0) = 0. 176 Dostali jsme tedy tento výsledek F (x) = 2x cos 1 x + sin 1 x pro x (-1, 1), x = 0, 0 pro x = 0. Je tedy F (x) = f(x), takže funkce F(x) je na intervalu (-1, 1) primitivní k funkci f(x), která je nespojitá v bodě 0. Počet primitivních funkcí Nyní k otázce, kolik primitivních funkcí má daná funkce na intervalu I. Lehce nahlédneme, že je-li F(x) primitivní funkcí k funkci f(x) na intervalu I a c je libovolné číslo, pak (F(x) + c) = f(x), takže i funkce F(x) + c je primitivní k funkci f(x) na intervalu I. Ukažme nyní následující vlastnost primitivních funkcí. Nechť F(x), G(x) jsou dvě funkce primitivní k funkci f(x) na intervalu I. Pak existuje číslo c tak, že G(x) = F(x) + c na intervalu I. Skutečně, položme H(x) = F(x) - G(x). Pak H (x) = F (x) - G (x) = f(x) - f(x) = 0 pro každé x I. Jsou-li x1, x2 dva body z intervalu I, x1 < x2, potom podle věty o přírustku funkce je H(x2) - H(x1) = H () (x2 - x1) = 0 (x2 - x1) = 0, kde (x1, x2). Je tedy H(x1) = H(x2) a odtud H(x) = konstanta. Označíme-li tuto konstantu c, je F(x) = G(x) + c na intervalu I. Známe-li tedy jednu primitivní funkci F(x) k funkci f(x) na intervalu I, známe všechny. Každá z nich se dá zapsat jako F(x) + c, kde c je vhodná konstanta. Pro množinu všech primitivních funkcí k dané funkci zavádíme zvláštní pojem ­ neurčitý integrál následující definicí. Co je to neurčitý integrál Definice 6.2. (Neurčitý integrál) Množinu všech primitivních funkcí k funkci f(x) na intervalu I nazýváme neurčitým integrálem funkce f(x) na intervalu I a označujeme symbolem f(x) dx. Píšeme f(x) dx = F(x) + c, x I, kde F(x) je libovolná primitivní funkce k funkci f(x) na intervalu I. Funkci f(x) nazýváme integrandem, symbol integračním znakem a dx je diferenciál neodvisle proměnné. 177 6. Neurčitý integrál Poznámka. Úkon, kterým určujeme neurčitý integrál F(x)+c k dané funkci f(x), nazýváme integrací či integrováním funkce f(x). Konstantu c nazýváme integrační konstantou. Kvůli zjednodušení nebudeme někdy integrační konstantu zapisovat. Ze vzorců pro derivování funkcí lze snadno odvodit odpovídající vzorce pro integraci. Např. ze vztahu (xn+1 ) = (n + 1)xn , pro x (-, ), n N vyplývá, že xn dx = 1 n + 1 xn+1 + c, n N, x (-, ). Podobně víme, že (sin x) = cos x, (cos x) = - sin x, pro x (-, ). Odtud dostáváme, že sin x dx = - cos x + c, cos x dx = sin x + c, x (-, ). Uveďme nyní několik základních neurčitých integrálů, které vyplývají z dříve odvozených vzorců pro derivování. V uvedených vzorcích značí c integrační konstantu. Tabulka význačných neurčitých integrálů 0 dx = c pro x (-, ); xn dx = xn+1 n + 1 + c x (-, ) pro n 0, celé, nebo x (0, ), n < 0, n = -1, n celé, nebo x (-, 0), n < 0 celé, n = -1 nebo x (0, ), n necelé; dx x = ln |x| + c pro x (-, 0) nebo x (0, ); ex dx = ex + c pro x (-, ); sin x dx = - cos x + c pro x (-, ); cos x dx = sin x + c pro x (-, ); dx 1 + x2 = arctg x + c pro x (-, ); dx 1 - x2 = arcsin x + c pro x (-1, 1); dx cos2 x = tg x + c v libovolném otevřeném intervalu, v němž je cos x = 0; 178 dx sin2 x = - cotg x + c v libovolném otevřeném intervalu, v němž je sin x = 0; f (x) dx f(x) = ln |f(x)| + c v libovolném otevřeném intervalu, v němž je f(x) = 0 a v němž má funkce f(x) derivaci Důkaz: Důkaz plyne ze základních vzorců pro derivování. Příklad 6.2. Vypočtěte a) x5 dx, b) dx 4 x . Řešení: a) x5 dx = x6 6 + c pro x (-, ), b) dx 4 x = x-1/4 dx = 4 3 x3/4 + c pro x (0, ). Poznámka. Derivací pravé strany se přesvědčte o platnosti následujících vztahů : ekx dx = 1 k ekx + c pro x (-, ), k R, k = 0 sin kx dx = - 1 k cos kx + c pro x (-, ), k R, k = 0 cos kx dx = 1 k sin kx + c pro x (-, ), k R, k = 0 dx 1 + k2x2 = 1 k arctg kx + c pro x (-, ), k R, k = 0 dx 1 - k2x2 = 1 k arcsin kx + c pro kx (-1, 1), k R, k = 0. Ukážeme si nyní několik vět, které nám umožní hledat integrály některých funkcí vytvořených pomocí funkcí, jejichž integrály známe. Integrace lineární kombinace funkcí Věta 6.2. (Integrace lineární kombinace funkcí) Buď I interval, v němž existují neurčité integrály funkcí f1(x), f2(x), . . . , fn(x). Budťe c1, c2, . . . , cn reálná čísla. Potom existuje v intervalu I neurčitý integrál funkce c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x) a platí 179 6. Neurčitý integrál (c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x)) dx = = c1 f1(x) dx + c2 f2(x) dx + (6.3) + + cn fn(x) dx + c, kde c je integrační konstanta. Důkaz: Položme Fi(x) = fi(x) dx, x I, i = 1, 2, , n. Podle známých vět z diferenciálního počtu platí (c1F1(x) + c2F2(x) + + cnFn(x)) = c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x). Tedy funkce c1F1(x) + c2F2(x) + + cnFn(x) je v intervalu I primitivní k funkci c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x). Platí tedy (6.3). Příklad 6.3. Vypočtěte: a) (x4 + x - cos 2x + 1) dx, b) 2 1 + 2x2 + 3 2x + 5ex/2 dx. Řešení: Integrací člen po členu podle předešlé věty dostáváme a) (x4 + x - cos 2x + 1) dx = 1 5 x5 + 2 3 x3/2 - 1 2 sin 2x + x + c, x 0, ) b) 2 1 + 2x2 + 3 2x + 5ex/2 dx = 2 1 2 arctg( 2x) + 3 2 ln |x| + +5 2ex/2 + c = 2 arctg( 2x) + 3 2 ln |x| + 10ex/2 + c, x I, 0 = I. Poznámka. K výpočtu neurčitých integrálů některých funkcí je někdy vhodné integrované funkce přepsat na jiný ekvivalentní tvar. Jako příklad uveďme výpočet těchto integrálů. a) cos2 x dx, b) sin2 x dx, c) x + 1 x2 + 1 . V případech a), b) použijeme k úpravě trigonometrické vzorce cos2 x = 1 + cos 2x 2 , sin2 x = 1 - cos 2x 2 , 180 čímž dostaneme funkce, jejichž integrál lze spočítat pomocí předchozích vět takto. a) cos2 x dx = 1 2 (1 + cos 2x) dx = 1 2 (x + 1 2 sin 2x) + c; x (-, ) b) sin2 x dx = 1 2 (1 - cos 2x) dx = 1 2 (x - 1 2 sin 2x) + c, x (-, ). c) V tomto případě převedeme integrand na součet dvou zlomků. Postupně dostáváme x + 1 x2 + 1 dx = x x2 + 1 + 1 x2 + 1 dx = 1 2 2x x2 + 1 dx + 1 x2 + 1 dx = = 1 2 ln(x2 + 1) + arctg x + c, x (-, ). 6.2 Metoda per partes (po částech). Metoda per partes Poměrně jednoduchou metodou pro výpočet neurčitých integrálů je v některých případech metoda per partes. Věta 6.3. (Integrace per partes) Buď I interval. Nechť funkce u(x), v(x) mají v interalu I spojité derivace u (x), v (x). Potom v intervalu I platí u (x)v(x) dx = u(x)v(x) - u(x)v (x) dx. Důkaz: Funkce u(x)v(x) má v intervalu I derivaci u (x)v(x) + u(x)v (x), a tedy platí u(x)v(x) = (u (x)v(x) + u(x)v (x)) dx. Funkce u(x), v(x) jsou v intervalu I spojité, neboť zde mají derivace. Tedy funkce u (x)v(x), u(x)v (x) jsou také spojité v intervalu I a existují k nim proto primitivní funkce u (x)v(x) dx, u(x)v (x) dx. Podle věty 6.2 tedy platí u(x)v(x) = u (x)v(x) dx + u(x)v (x) dx a odtud plyne tvrzení věty. 181 6. Neurčitý integrál Příklad 6.4. Následující integrály jsou řešeny metodou per partes. Ověření splnění předpokladů pro aplikaci naznačeného postupu výpočtu přenechávám čtenáři. a) xe2x dx = u = e2x v = x u = 1 2 e2x v = 1 = 1 2 xe2x - 1 2 e2x dx = = 1 2 xe2x - 1 4 e2x + c, pro x (-, ). b) x2 cos 3x dx = u = cos 3x v = x2 u = 1 3 sin 3x v = 2x = = 1 3 x2 sin 3x - 2 3 x sin 3x dx = u = sin 3x v = x u = -1 3 cos 3x v = 1 = = 1 3 x2 sin 3x + 2 9 x cos 3x - 2 9 cos 3x dx = = 1 3 x2 sin 3x + 2 9 x cos 3x - 2 27 sin 3x + c, pro x (-, ). c) x ln2 x dx = u = x v = ln2 x u = 1 2 x2 v = 2 x ln x = = 1 2 x2 ln2 x - x ln x dx = u = x v = ln x u = 1 2 x2 v = 1 x = = 1 2 x2 ln2 x - x2 2 ln x + 1 2 x dx = x2 2 ln2 x - x2 2 ln x + 1 4 x2 + c, pro x (0, ). d) ex sin x dx = u = ex v = sin x u = ex v = cos x = = ex sin x - ex cos x dx = u = ex v = cos x u = ex v = - sin x = = ex sin x - ex cos x - ex sin x dx. Dostali jsme rovnici ex sin x dx = ex (sin x - cos x) - ex sin x dx, ve které hledaný integrál je neznámou, jejím řešením dostáváme ex sin x dx = 1 2 ex (sin x - cos x) + c, pro x (-, ). e) ln x dx = u = 1 v = ln x u = x v = 1 x = x ln x - x 1 x dx = x ln x - 1 dx = x ln x - x + c = x (ln x - 1) + c, pro x (0, ). Poznámka. Jak je patrné z předchozího příkladu, je metoda integrace per partes vhodná zejména pro řešení některých neurčitých integrálů, jejichž in- 182 tegrand je tvořen součinem dvou různých funkcí. Touto metodou lze řešit např. integrály těchto typu: xm ekx dx, xm cos kx dx, xm sin kx dx, xk (ln x)m dx, ekx sin lx dx, ekx cos lx dx, kde m je přirozené, k, l libovolná reálná čísla. Při aplikaci metody per partes je nutno si uvědomit, že každou funkci můžeme považovat za součin této funkce a funkce rovné 1 pro všechna x; viz případ e) v minulém příkladě nebo arctg x dx. 6.3 Výpočet neurčitého integrálu substitucí. Substituční metody Výklad další metody, zvané substituční metoda, začneme bez nároku na preciznost. Zpřesnění bude následovat. Uvažujme integrál f(x) dx. (6.4) Nechť x = (t) je funkce proměnné t, mající derivaci (t). Víme, že diferenciál funkce (t) je roven součinu derivace této funkce a diferenciálu její neodvisle proměnné t. Tedy dx = (t) dt. Dosadíme-li do (6.4) za x a dx, dostáváme f( (t)) (t) dt (6.5) Budeme řešit otázku, jak mezi sebou souvisí neurčité integrály (6.4), (6.5). Dovedeme-li vypočítat jeden z nich, dovedeme určit druhý z nich? Odpověď na tuto otázku dávají následující dvě věty. metoda substituční I Věta 6.4. (I. výpočet integrálu substitucí) Nechť F(x), x J, je primitivní funkce k funkci f(x), x J, na intervalu J. Nechť funkce x = (t), t I, má na intervalu I derivaci (t) a nechť (I) J. Potom na intervalu I existuje f((t)) (t) dt a platí na něm f((t)) (t) dt = f(x) dx x= (t) + c = F((t)) + c, t I. (6.6) 183 6. Neurčitý integrál Poznámka. Jde o výpočet integrálu ze složené funkce f((t)), násobené funkcí (t), tedy derivací vnitřní složky této složené funkce. Vztah (6.6) si snadno zapamatujete. Položme (t) = x. Diferenciál levé strany tohoto vztahu je roven diferenciálu jeho pravé strany. Tedy (t) dt = dx. Dosadíme-li tedy do integrálu f((t)) (t) dt (t) za x, a (t) dt za dx dostáváme f(x) dx. Věta nám říká, že dovedeme-li vypočítat f(x) dx, potom za ve větě uvedených podmínek dovedeme vypočítat i f((t)) (t) dt a platí (6.6), to jest f((t)) (t) dt = f(x) dx x=(t) . Důkaz: Derivací funkce F( (t)), jakožto složené funkce, postupně dostáváme pro t I. [F((t))] = F ((t)) (t) = f((t)) (t), takže [F((t))] je pro t I primitivní funkcí k funkci f((t)) (t). Je tedy F((t)) = f(x)dt x=(t) , t I, takže f((t)) (t) dt = f(x) dx x=(t) , t I. Příklad 6.5. Vypočítejte A = et2 t dt. Řešení. Máme nalézt integrál ze složené funkce et2 , násobené, až na multiplikativní konstantu, derivací funkce t2 tj. derivací vnitřní složky složené funkce et2 . Zvolíme tedy substituci x = t2 . Je to funkce se spojitou derivací 2t na intervalu(-, ). Funkce x = t2 zobrazuje interval I = (-, ) na interval J = 0, ) (-, ), na němž je funkce ex spojitá. Diferenciálem funkce x = t2 je dx = 2t dt. 184 Odtud t dt = 1 2 dx. Jsou tedy splněny předpoklady věty 6.4. Platí A = et2 t dt = 1 2 ex dx x=t2 = 1 2 et2 , pro t (-, ). Derivováním obdrženého výsledku (jako zkoušku správnosti výsledku) dostá- váme 1 2 (et2 ) = t et2 , pro t (-, ). Tím jsme se přesvědčili o správnosti výpočtu. Poznámka. Označení proměnné v integrálu je nepodstatné. Nenechte se zmást změněným označením v následujícím příkladě. Příklad 6.6. Vypočítejte hodnotu integrálu B = x x2 + 1 dx (6.7) Řešení. Všimněte si, že x2 + 1 je složená funkce, její vnitřní složkou je funkce x2 + 1. Zřejmě (x2 + 1) = 2x. Tedy x x2 + 1 = 1 2 (x2 + 1) x2 + 1. Zvolme tedy t = (x), kde (x) = x2 + 1. Tato funkce je spojitá na intervalu (-, ) a má v něm derivaci. Dále zobrazuje interval (-, ) na interval 1, ) (0, ). Položme f(t) = t. Tato funkce je spojitá na intervalu (0, ) a má na něm tedy primitivní funkci. Podle věty 6.4 tedy dostáváme x x2 + 1 dx = 1 2 t dt t=x2+1 , pro x (-, ). Výpočtem dostáváme x x2 + 1 dx = 1 3 (x2 + 1)3, pro x (-, ). formální výpočet f((t)) (t) dt Při aplikaci věty 6.4 k výpočtu integrálu f((t)) (t) dt může být někomu obtížné zjišťování splnění předpokladů věty 6.4. Chceme-li se vyhnout zkoumání splnění předpokladů věty 6.4, lze postupovat zcela formálně, ale nakonec je nutno derivováním výsledek prověřit, zda výsledná funkce je skutečně primitivní funkcí a je nutno zjistit i interval, na němž je obdržená funkce primitivní k dané funkci. Lze tedy postupovat následovně, ovšem za předpokladu, že jednotlivé kroky lze provést. 185 6. Neurčitý integrál Máme vypočítat f((t)) (t) dt. Zvolíme substituci x = (t). Vypočítáme dx = (t) dt (diferenciál levé strany substituce se rovná diferenciálu její pravé strany). Dosazením do daného integrálu za (t) a (t) dt, dostaneme f(x) dx. Výpočtem dostaneme F(x) = f(x) dx. Provedeme zkoušku derivováním; zjistíme, zda (F((t))) = f((t)) (t) (6.8) a určíme interval I, na němž platí (6.8). Jestliže (6.8) platí na intervalu I, potom f((t)) (t) dt = F((t)) + C, t I. Příklad 6.7. Vypočítejte t t2 + 4 dt. Řešení. Zaveďme substituci x = t2 + 4. Potom dx = 2t dt. Dosazením do daného integrálu obdržíme 1 2 dx x . Jeho řešením dostáváme F(x) = 1 2 2 x. Tedy F((t)) = t2 + 4. Derivací t2 + 4 dostáváme t2 + 4 = t t2 + 4 pro t (-, ). Tedy t t2 + 4 dt = t2 + 4 + c pro t (-, ). 186 metoda substituční II Věta 6.5. (II. Výpočet integrálu substitucí) Nechť funkce x = (t) má na intervalu I spojitou derivaci (t) a nechť (t) = 0 pro všechny vnitřní body intervalu I. Nechť (I) = J. (Potom existuje inverzní funkce t = -1 (x) zobrazující interval J na I.) Nechť f(x), x J, je taková funkce na intervalu J, že složená funkce f((t)) (t), t I, má na intervalu I primitivní funkci, označme ji G(t). Potom existuje f(x) dx, x J a platí f(x) dx = f((t)) (t) dt t=-1 (x) + c, (6.9) tj. f(x) dx = G(-1 (x)) + c. Důkaz: Dokažme (6.9). Nechť funkce G(t) je primitivní k funkci f((t)) (t) na intervalu I. Vzhledem k předpokladům je funkce (t) ryze monotónní, existuje k ní tedy funkce inverzní t = -1 (x). Derivujeme-li pravou stranu v (6.9), to jest funkci G(-1 (x)) podle věty o derivování složené funkce, dostáváme na intervalu J postupně: [G(-1 (x))] = G (-1 (x))(-1 (x)) = G (t) 1 (t) = = f((t)) (t) 1 (t) = f((t)) = f(x), takže G(-1 (x))] je pro x J primitivní funkcí k funkci f(x). Je tedy f(x) dx = f((t)) (t) dt t=-1 (x) + c. Věta ovšem nic nevypovídá o nalezení vhodné substituce. Pro jisté třídy funkcí jsou v literatuře popsané vhodné substituce. 187 6. Neurčitý integrál Poněvadž podle předpokladů věty je funkce (t) ryze monotónní na intervalu I, vychází se někdy místo substituce x = (t) z ekvivalentu t = -1 (x), resp. z jiného ekvivalentu (x) = (t). Tento zápis totiž často lépe vyjadřuje záměry, které substitucí sledujeme. Při řešení konkrétních integrálů se může stát, že se zvolí nevhodná substituce a integrál je nutno řešit jinak. Příklad 6.8. Určete A = 3x + 1dx. Řešení. Především je vidět, že integrand je funkce spojitá na svém definičním oboru. Budeme tedy úlohu řešit na intervalu J = (-1 3 , ), tedy x J. Daný integrál budeme řešit zavedením vhodné substituce. Jak ji zvolíme? Dovedeme nalézt t dt, který je podobný k danému integrálu. To nás vede k pokusu zavést mezi proměnnými t, x vztah t = 3x + 1, což je ekvivalentní se vztahem x = 1 3 (t - 1). Jestliže x J, potom t, vyhovující tomuto vztahu, patří do intervalu I = (0, ), t I. Pokusíme se tedy zavést substituci x = (t) = 1 3 (t - 1) pro t I. Funkce (t) má na intervalu I spojitou kladnou derivaci (t) = 1 3 . Zřejmě (I) = J a dx = 1 3 dt. Podle nahoře uvedené věty je tedy A = 3x + 1 dx = t 1 3 dt t=3x+1 = 2 9 (3x + 1)3 +c, x - 1 3 , . Příklad 6.9. Vypočítejte A = a2 - x2 dx, a > 0, x (-a, a). Řešení. Označme f(x) = a2 - x2. Tato funkce je na intervalu (-a, a) spojitá, takže v něm k dané funkci existuje primitivní funkce. Integrál se pokusíme řešit vhodnou substitucí x = (t). Ale jak zvolit x = (t)? Pokusíme se zavést takovou substituci x = (t), abychom po dosazení x = (t) do a2 - x2 dostali výraz bez odmocniny. To nás vede k pokusu zvolit substi- tuci x = (t) = a sin t, pro t I = - 2 , 2 . Funkce (t) zobrazuje interval I na interval J = (-a, a). Její derivací je funkce (t) = a cos t. Funkce (t) = a cos t je spojitá a kladná na intervalu I. Existuje proto k ní funkce inverzní t = arcsin x a , která zobrazuje interval J = (-a, a) na interval I = -( 2 , 2 ). Podle věty 6.5 o substituci dostáváme A = a2 - x2 dx = a2 - a2 sin2 t a cos t dt t=arcsin x a Odtud A = a2 cos2 t cos t dt t=arcsin x a = a2 | cos t| cos t dt t=arcsin x a . 188 Poněvadž pro t I je cos t > 0, dostáváme A = a2 cos2 t dt t=arcsin x a = a2 2 (1 + cos 2t)dt t=arcsin x a = = a2 2 t + sin 2t 2 t=arcsin x a + c Teď bychom mohli dosadit zpětnou substituci t = arcsin x a . Abychom si zjednodušili výpočet, vyjádříme sin 2t jako sin 2t = 2 sin t cos t. Ze substituce x = a sin t vyplývá sin t = x a , cos t = 1 - sin2 t = 1 - x2 a2 = 1 a a2 - x2, takže A = a2 2 arcsin x a + x a 1 a a2 - x2 . Po malé úpravě tedy dostáváme a2 - x2dx = a2 2 arcsin x a + x 2 a2 - x2 + c, v intervalu (-a, a). Provedťe si zkoušku správnosti výpočtu. Vraťme se znovu k příkladu 6.5. Stejný příklad budeme řešit nyní ještě jednou, ale trochu odlišnou metodou. Výsledek nebude tak uspokojující. Tento způsob řešení uvádíme, abychom upozornili na některé problémy se substituční metodou. Tedy řešme znovu tento příklad. Příklad 6.10. Vypočítejte x ex2 dx. (6.10) Řešení. K výpočtu použijeme větu 6.5. Integrand, funkce x ex2 , je spojitá funkce na intervalu (-, ) a tedy na intervalu (-, ) existuje k ní primitivní funkce. Pokusíme se zavést takovou substituci, aby v integrálu, vytvořeném substitucí x = (t), bylo " ex2 " nahrazeno " et ". To nás vede k vyšetření, zda by nebylo možno zavést substituci x2 = t. Tedy zavést jednu ze substitucí ) x = t, ) x = - t, t (0, ) = I. ) Uvažujme substituci x = t = (t). Zřejmě funkce (t) zobrazuje interval I = (0, ) na interval J = (0, ). Funkce (t) = 1 2 t je na intervalu I spojitá a je kladná. Proto k funkci (t) existuje funkce inverzní t = -1 (x) = x2 . Jsou splněny předpoklady věty 6.5. Podle této věty dostáváme xex2 dx = tet 1 2 t dt t=x2 = 1 2 et dt t=x2 + c = 1 2 ex2 + c pro x J = (0, ). 189 6. Neurčitý integrál ) Uvažujme substituci x = - t = (t). Zřejmě funkce (t) zobrazuje interval I = (0, ) na interval J = (-, 0). Funkce (t) = - 1 2 t je na intervalu I spojitá a je na něm záporná. K funkci (t) existuje tedy funkce inverzní. Dostáváme -1 (t) = x2 , t I, x J. Jsou splněny předpoklady věty 6.5. Podle této věty dostáváme na intervalu J xex2 dx = (- t)et (- 1 2 t ) dt t=x2 = 1 2 et dt t=x2 + c = 1 2 ex2 + c pro x J = (-, 0). Dospěli jsme tímto způsobem k tomuto výsledku xex2 dx = 1 2 ex2 + c v každém intervalu, který neobsashuje 0 . Derivováním funkce 1 2 ex2 + c zjistíme, že tato funkce je primitivní v každém intervalu, tedy i v intervalu, který obsahuje 0. Ve větě o výpočtu integrálu substitucí jsou uvedené postačující podmínky a ne nutné. Přikročíme-li k výpočtu integrálu substitucí podle věty 6.5 bez kontroly předpokladů věty, je možno výpočet A = f(x) dx provádět následovně. (Předpokládá se, že jednotlivé kroky je možno provést.) Formální výpočet f(x) dx Máme vypočítat A = f(x) dx. Zvolíme substituci x = (t). Vypočítáme dx = (t) a formálním dosazením do daného integrálu A dostaneme integrál B = f((t)) (t) dt Vypočítáme integrál B. Do integrálu B dosadíme t = -1 (x). Dostaneme tak funkci, označme ji F(x). Funkci F(x) zderivujeme. Je-li J interval, na němž integrál A existuje a je-li na něm F (x) = f(x), dospěli jsme ke správnému úplnému řešení. Jestliže jsme nedospěli k tomuto závěru, je nutno provádět hlubší roz- bory. 6.4 Integrování racionálních lomených funkcí Dříve, než přistoupíme k popisu metody integrace racionální lomené funkce, ukážeme si, jak lze racionální lomenou funkci přepsat do tvaru vhodného pro 190 integraci. Jde o její vyjádření ve tvaru součtu polynomu a tzv. parciálních zlomků. Začneme s rozkladem polynomu. 6.4.1 Polynom a jeho rozklad O polynomu a jeho rozkladu bylo pojednáno v učebním textu " Matematika A". Stručně uveďme závěry z tohoto pojednání. co je to polynom Nechť an, an-1, . . . , a1, a0 jsou komplexní čísla. Jestliže ke každému komplexnímu číslu x C přiřadíme číslo f(x) vztahem f(x) = anxn + + a1x + a0, (6.11) je jím definována komplexní funkce na množině všech komplexních čísel C. Tato funkce se nazývá polynom. Čísla an, . . . , a0 nazýváme koeficienty polynomu f(x). Číslo a0 nazýváme absolutním členem polynomu f(x). Jestliže an = 0, polynom f(x) nazýváme polynomem n-tého stupně. Např. f(x) = x2 + 1 je polynom 2. stupně. Podle definice stupně polynomu není polynomu f(x) 0 přiřazen žádný stupeň. Nazýváme jej nulovým po- lynomem. kořen polynomu Číslo nazýváme kořenem polynomu f(x), jestliže f() = 0. Znamená to, že každý kořen polynomu f(x) je řešením rovnice f(x) = 0. Např. polynom P(x) = x3 + x (6.12) má kořeny 0, i, -i, neboť P(0) = 0, P(i) = i3 + i = 0. Podobně P(-i) = (-i)3 + (-i) = 0. Nechť je kořenem polynomu f(x) stupně n 1. Potom existuje takový polynom g(x) stupně n - 1, že pro každé komplexní číslo x platí f(x) = (x - ) g(x). (6.13) Faktor (x - ) nazýváme kořenovým činitelem příslušným ke kořenu . 191 6. Neurčitý integrál Známe-li kořen polynomu f(x), obdržíme polynom g(x) dělením polynomu f(x) kořenovým činitelem (x-). (Jestliže dělení polynomu f(x) polynomem (x - ) nevyjde beze zbytku, není kořenem polynomu f(x)!) Příklad 6.11. Uvažujme polynom f(x) = x3 + 2x - 12. (6.14) Dosadíme-li x = 2 do (6.14), vidíme, že f(2) = 0. Je tedy x = 2 kořenem polynomu (6.14). Dělením polynomu f(x) kořenovým činitelem x - 2 dostáváme (x3 +2x -12 ) : (x - 2) = x2 + 2x + 6 x3 2x2 2x2 +2x -12 2x2 4x 6x -12 6x 12 0 Je tedy x3 + 2x - 12 = (x - 2)g(x), kde g(x) = x2 + 2x + 6, takže x3 + 2x - 12 = (x - 2)(x2 + 2x + 6). k-násobný kořen polynomu k-násobný kořen polynomu Nechť f(x) je polynom n-tého stupně a je jeho kořen. Potom existuje polynom 1 g(x) stupně n - 1 tak, že f(x) = (x - ) 1 gn-1(x). (6.15) Jestliže je kořenem polynomu 1 gn-1(x), existuje polynom 2 gn-2(x) tak, že 1 gn-1(x) = (x - ) 2 gn-2(x). (6.16) Dosadíme-li 1 gn-1(x) do (6.15), dostáváme f(x) = (x - )2 2 gn-2(x). Jestli je kořenem polynomu 2 gn-2(x), pokračujeme dále. Nakonec po k krocích dospějeme k tomuto vyjádření polynomu f(x) f(x) = (x - )k k gn-k(x), kde k gn-k(x) je polynom, který nemá číslo za svůj kořen. 192 Říkáme, že číslo je k­násobným kořenem polynomu f(x), jestliže pro každé komplexní číslo x platí f(x) = (x - )k g(x), (6.17) kde g(x) je takový polynom, že g() = 0. Příklad 6.12. Polynom x3 - 3x2 + 4 lze zapsat ve tvaru x3 - 3x2 + 4 = (x - 2)2 (x + 1). Číslo x = 2 není kořenem polynomu g(x) = x + 1, neboť g(2) = 0. Je tedy x = 2 dvojnásobným kořenem polynomu x3 - 3x2 + 4. Podobně, x = -1 je jednoduchým kořenem polynomu f(x). Zatím jsme pouze zavedli pojem kořene polynomu, ale nezabývali jsme se problémem existence kořene polynomu. O tom vypovídá následující věta: existence kořene polynomu Věta 6.6. (Fundamentální věta algebry) Každý polynom stupně n 1 má v oboru komplexních čísel kořen. Důkaz: Bez důkazu. Z předcházejících úvah a z věty 6.6 vyplývá následující důsledek. Důsledek. Polynom n­tého stupně f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, an = 0 má právě n kořenů, počítáme-li k­násobný kořen za k kořenů. Věta 6.6 vypovídá o existenci kořene polynomu, ale neudává metodu, jak kořeny polynomu f(x) n­tého stupně určit. hledání kořenů polynomu Kořeny polynomu 1. a 2. stupně Polynom 1. stupně P1(x) = a1x + a2, a1 = 0 má právě jeden kořen, jak se můžeme lehce přesvědčit, a to x1 = - a2 a1 . Polynom 2. stupně P2(x) = a2x2 + a1x + a0, a2 = 0 (6.18) 193 6. Neurčitý integrál má dva kořeny, počítáme-li dvojnásobný kořen za dva kořeny. Jsou to řešení kvadratické rovnice a2x2 + a1x + a0 = 0. (6.19) Tato rovnice má dva kořeny, označme je x1, x2, počítáme-li dvojnásobný kořen za dva kořeny. Tyto kořeny x1, x2 lze určit podle vzorců x1,2 = -a1 a2 1 - 4a2a0 2a2 . (6.20) Číslo D = a2 2 - 4a2a0 nyzýváme diskriminantem rovnice (6.19). Čísla x1, x2 jsou kořeny polynomu P2(x) určeného vztahem (6.18). Kořeny polynomů stupňů > 2 V učebním textu " Matematika A" jsme uvedli, že existují výpočtové postupy, jimiž lze určit všechny kořeny obecného polynomu třetího i čtvrtého stupně konečným počtem operací sečítání, odečítání, násobení, dělení a odmocňování. Tedy tak, jak je to u polynomů 2. stupně. Je však dokázáno, že takovéto výpočetní postupy neexistují pro polynomy stupňů > 4. Avšak uvedené výpočtové postupy pro polynomy třetího a čtvrtého stupně dávají často výsledky v nevhodném tvaru. Proto se většinou nepoužívají. V některých konkrétních případech se nám podaří kořeny nalézt vzhledem ke speciálnímu zadání polynomu, nebo nalezením několika kořenů zkusmo a pak dělením polynomu součinem kořenových činitelů k nalezeným kořenům převést úlohu na úlohu nalezení kořenů polynomu nižšího stupně. Někdy je možno načrtnout alespoň část grafu polynomu a tím se vést při hledání kořenů polynomu. Existuje řada numerických metod na hledání přibližných hodnot kořenů polynomů. Těmto metodám se nemůžeme vzhledem k našim časovým možnostem věnovat. Jsou implementované v řadě programových systémů. Nejčastěji je třeba určit kořeny polynomů, jejichž koeficienty jsou reálná čísla. Polynom s reálnými koeficienty budeme nazývat reálným polynomem. Je-li + i, = 0 k-násobným kořenem reálného polynomu f(x) = anxn + an-1xn+1 + + a1x + a0, an = 0, (6.21) je též číslo - i jeho k-násobným kořenem. Předpokládejme, že reálný polynom f(x) má k-násobné komplexně sdružené kořeny + i, - i. Potom polynom f(x) lze dělit součinem kořenových činitelů d(x) = [x - ( + i)][x - ( - i)] k . (6.22) 194 Úpravou d(x) dostáváme d(x) = [x - ( + i)][x - ( - i)] k = (x - )2 + 2 k . Tedy d(x) = (x2 + px + q)k , kde p = -2, q = 2 + 2 . Potom je f(x) = d(x)gn-2k(x). Dále pak hledáme kořeny polynomu gn-2k(x). Z toho, co jsme o kořenech polynomu uvedli, lze dospět k tomuto tvrzení. reálný rozklad polynomu Nechť f(x) = anxn + + a1x + a0 je reálný polynom. Nechť , , . . . jsou všechny jeho navzájem různé reálné kořeny a to k­násobný, l­ násobný, . . . , m­násobný. Nechť a ib, . . . , c id jsou všechny jeho navzájem různé dvojice nereálných komplexně sdružených kořenů. Nechť a + ib je p­násobný,. . . , c + id je q­násobný kořen. Potom platí f(x) = an (x - )k (x - )l (x - )m [(x - a)2 + b2 ]p [(x - c)2 + d2 ]q . (6.23) pro každé komplexní číslo x. Polynom f(x) zapsaný ve tvaru (6.23) nazýváme rozkladem reálného polynomu v reálném oboru. Příklad 6.13. Určete rozklad reálného polynomu p(x) = x5 + 6x4 + 9x3 + x2 + 6x + 9. Řešení. Zkusmo zjistíme, že x = -3 je kořenem polynomu p(x). Dělením polynomu p(x) výrazem (x + 3) dostáváme q(x) = p(x) : (x + 3) = x4 + 3x3 + x + 3. Zkusmo zjistíme, že x = -3 je kořenem polynomu q(x). Dělením polynomu q(x) výrazem x + 3 dostáváme q(x) = (x + 3)(x3 + 1). Tedy p(x) = (x + 3)2 (x3 + 1). 195 6. Neurčitý integrál Polynom x3 +1 zapišme ve tvaru x3 +13 . Podle vzorce a3 +b3 = (a+b)(a2 ab + b2 ) dostáváme x3 + 13 = (x + 1)(x2 - x + 1). Tedy p(x) = (x + 3)2 (x + 1)(x2 - x + 1) je reálný rozklad polynomu p(x). Příklad 6.14. Určete kořeny polynomu p(x) = x4 + 4x3 - 16x - 16. Řešení. Zkusmo zjistíme, že číslo x = 2 je kořenem polynomu p(x), neboť p(2) = 0. Dělením p(x) kořenovým činitelem x - 2 dostáváme q(x) = p(x) : (x - 2) = x3 + 6x2 + 12x + 8. Tedy p(x) = (x - 2)(x3 + 6x2 + 12x + 8). Číslo x = -2 je kořenem polynomu q(x). Dělením q(x) polynomem (x - 2) dostáváme q(x) = (x + 2)(x2 + 4x + 4), takže p(x) = (x - 2)(x + 2)(x2 + 4x + 4). Řešením rovnice x2 + 4x + 4 = 0 dostáváme x1,2 = -2. Tedy p(x) = (x - 2)(x + 2)3 je hledaným reálným rozkladem polynomu p(x). 6.4.2 Racionální lomená funkce a její rozklad co je to racionální lomená funkce Racionální lomenou funkcí nazýváme každou funkci tvaru F(x) = f(x) g(x) , kde f(x) a g(x) jsou polynomy. Jsou-li tyto polynomy reálné, je F(x) reálná racionální lomená funkce. Poněvadž polynom je definován v každém komplexním čísle, je racionální lomená funkce definována ve všech komplexních číslech v nichž je g(x) = 0, tj. ve všech číslech x, která nejsou kořeny funkce g(x). Příklad 6.15. Funkce F(x) = 2x + 3 x3 + x 196 je racionální lomená funkce. Jmenovatel funkce g(x) = x3 + x lze psát ve tvaru g(x) = x(x + i)(x - i). Je tedy F(x) definovaná ve všech komplexních číslech různých od 0, -i, i. Nechť čitatel i jmenovatel racionální lomené funkce F(x) mají společného kořenového činitel x - . Zkrátíme-li tímto společným kořenovým činitelem, dostaneme novou racionální lomenou funkce, označme ji G(x). Funkce F(x), G(x) mají stejné hodnoty pro x = . Může se ale stát, že funkce G(x) je v definována, zatímco F(x) není v čísle definována. V dalším budeme předpokládat, že čitatel a jmenovatel racionální lomené funkce nemají žádný stejný kořen. Nechť n je stupeň polynomu čitatele a m je stupeň polynomu jmenovatele racionální lomené funkce F(x). Jestliže je n < m, funkci F(x) nazýváme ryze lomenou, jestliže n m, nazýváme funkci F(x) neryze lomenou. Nechť F(x) = f(x) g(x) je neryze lomená funkce. Dělením funkce f(x) funkcí g(x) dostaneme f(x) = P(x) g(x) + Q(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy. Polynom Q(x) je zbytek po dělení, jeho stupeň je menší než stupeň polynomu g(x). Je tedy F(x) = P(x) + Q(x) g(x) . Funkce Q(x) g(x) je ryze lomená racionální funkce. Slovy: Neryze lomenou racionální funkci lze napsat jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Rozklad reálné ryze lomené racionální funkce na součet parciálních zlomků. rozklad na parciální zlomky Věta 6.7. (Rozklad na parciální zlomky) Nechť R(x) = f(x) g(x) (6.24) je ryze lomená reálná racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají stejný kořen. Nechť g(x) = an(x - )k (x - )l (x - )m [(x - a)2 + b2 ]p [(x - c)2 + d2 ]q , (6.25) 197 6. Neurčitý integrál kde , , . . . , , a, b, . . . , c, d jsou reálná čísla, k, l, . . . , m, p, . . . , q jsou přirozená čísla, je rozklad jmenovatele v reálném oboru. Potom existují reálná čísla A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bl, ... C1, C2, . . . , Cm, M1, N1; M2, N2; . . . ; Mp, Np, ... P1, Q1; P2, Q2; . . . ; Pq, Qq, tak, že platí R(x) = Ak (x - )k + Ak-1 (x - )k-1 + + A2 (x - )2 + + A1 x - + Bl (x - )l + Bl-1 (x - )l-1 + + + B2 (x - )2 + B1 x - + + Cm (x - )m + + Cm-1 (x - )m-1 + + C2 (x - )2 + C1 x - + + Mpx + Np [(x - a)2 + b2]p + Mp-1x + Np-1 [(x - a)2 + b2]p-1 + + + M2x + N2 [(x - a)2 + b2]2 + M1x + N1 (x - a)2 + b2 + + + Pqx + Qq [(x - c)2 + d2]q + Pq-1x + Qq-1 [(x - c)2 + d2]q-1 + + + P2x + Q2 [(x - c)2 + d2]2 + P1x + Q1 (x - c)2 + d2 (6.26) pro všechna komplexní čísla x, jež nejsou kořeny jmenova- tele. Důkaz: Nechť A je libovolné číslo a je k­násobný kořen plynomu g(x), takže g(x) = (x - )k g1(x), kde g1(x) = 0. Položme F(x) = R(x). Potom platí identita F(x) = R(x) = f(x) g(x) = A (x - )k + f(x) - Ag1(x) (x - )kg1(x) . (6.27) 198 Číslo A je možno zvolit tak, aby výraz f(x) - Ag1(x) měl číslo za svůj kořen. Tedy položíme A = f() g1() . Toto číslo A označme Ak. Poněvadž je kořenem polynomu f(x) - Akg1(x), lze psát f(x) - Akg1(x) = (x - )f1(x), kde f1(x) je polynom. Dosazením do (6.27) dostáváme F(x) = Ak (x - )k + f1(x) (x - )k-1g1(x) . Funkce f1(x) (x-)k-1g1(x) je ryze lomená racionální funkce. Je-li k-1 1, postupujeme s touto funkcí stejně jako s F(x). Tím od ní oddělíme zlomek Ak-1 (x-)k-1 . Po k krocích dostaneme F(x) = Ak (x - )k + Ak-1 (x - )k-1 + + A2 (x - )2 + A1 x - + fk(x) g1(x) . Poněvadž g1(x) má reálné kořeny , . . . , o násobnostech l, . . . , m, postupujeme s funkcí fk(x) g1(x) stejně jako jsme postupovali s funkcí F(x). Oddělíme tak další zlomky a dostaneme F(x) = Ak (x - )k + + A1 x - + + Cm (x - )m + + C1 x - + u(x) v(x) . Zde funkce u(x) v(x) je ryze lomená racionální funkce, jejíž jmenovatel v(x) má nereálné kořeny a + ib, a - ib, . . . , c + id, c - id o násobnostech p, p, . . . , q, q. Rozklad reálného polynomu v(x) je pak tvaru v(x) = [(x - a)2 + b2 ]p [(x - c)2 + d2 ]q . Analogicky lze funkci u(x) v(x) rozložit na součet zlomků u(x) v(x) = Mpx + Np [(x - a)2 + b2]p + + M1x + N1 (x - a)2 + b2 + + + Pqx + Qq [(x - c)2 + d2]q + + P1x + Q1 (x - c)2 + c2 . Tím vznikne rozklad funkce R(x) uvedený ve větě. Zlomky, vystupující v rozkladu ve větě 6.7, se nazývají parciální zlomky. Věta 6.7 sice zaručuje existenci konstant Ak; Ak-1; . . . ; A2; A1; . . . ; Cm; Cm-1; . . . ; C2; C1; Mp, Np; . . . ; M1, N1; . . . ; Pq, Qq; . . . ; P1, Q1, (6.28) ale nevypovídá o způsobu jejich určení. K výpočtu těchto konstant existuje řada metod. Uvedeme z nich následující metodu. Metoda neurčitých koeficientů. Tato metoda spočívá v tom, že rovnici (6.27) vynásobíme funkcí g(x). Tím dostáváme rovnost mezi dvěma polynomy, která platí pro všechna x, která nejsou kořeny polynomu g(x), tedy 199 6. Neurčitý integrál pro nekonečně mnoho čísel x. (Z toho lze vydedukovat, že oba tyto polynomy se rovnají pro všechna x, tedy včetně kořenů polynomu g(x).) Oba polynomy mají pak stejné koeficienty u stejných mocnin x. Vyjádřením rovnosti mezi těmito koeficienty u stejných mocnin x obdržíme systém lineárních rovnic pro neznámé konstanty (6.28). Příklad 6.16. Rozložte funkci F(x) = x5 - x3 + 4x2 + x + 2 x4 + x2 (6.29) na součet polynomu a parciálních zlomků. Řešení. Funkce F(x) je neryze lomená racionální funkce, neboť její čitatel je stupně n = 5, jmenovatel je stupně m = 4 a n > m. Provedeme-li dělení jmenovatelem, dostáváme F(x) = x + R(x), (6.30) kde R(x) = -2x3 + 4x2 + x + 2 x4 + x2 je ryze lomená racionální funkce. Zřejmě x2 (x2 + 1) je reálným rozkladem polynomu x4 + x2 . Funkci R(x) = -2x3 + 4x2 + x + 2 x4 + x2 lze psát podle věty 6.7 jako součet parciálních zlomků R(x) = A2 x2 + A1 x + M1x + N1 x2 + 1 . Násobením této rovnice funkcí x2 (x2 + 1) dostáváme -2x3 + 4x2 + x + 2 = A2x2 + A2 + A1x3 + A1x + M1x3 + N1x2 . Úpravou -2x3 + 4x2 + x + 2 = (A1 + M1)x3 + (A2 + N1)x2 + A1x + A2. (6.31) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x v (6.31) dostáváme systém čtyř lineárních rovnic A1 +M1 = -2, A2 +N1 = 4, A1 = 1, A2 = 2, o neznámých A1, A2, M1, N1. Jeho řešením dostáváme A1 = 1, A2 = 2, M1 = -3, N1 = 2. 200 Je tedy F(x) = x + 2 x2 + 1 x + -3x + 2 x2 + 1 hledaný rozklad. Příklad 6.17. Rozložte funkci F(x) = x4 + 6x2 + x - 2 x4 - 2x3 na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Řešení. Funkce F(x) je neryze lomená. Dělením čitatele jmenovatelem do- stáváme F(x) = 1 + R(x), kde R(x) = 2x3 + 6x2 + x - 2 x3(x - 2) (6.32) je ryze lomená racionální funkce. Funkci R(x) lze podle věty 6.7 zapsat ve tvaru R(x) = A3 x3 + A2 x2 + A1 x + B1 x - 2 . (6.33) Vynásobením rovnice (6.33) výrazem x3 (x - 2) dostáváme 2x3 + 6x2 + x - 2 = A3(x - 2) + A2x(x - 2) + A1x2 (x - 2) + B1x3 . Úpravou dostáváme odtud 2x3 +6x2 +x-2 = (A1 +B1)x3 +(A2 -2A1)x2 +(A3 -2A2)x-2A3. (6.34) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin v (6.34) dostáváme tento systém lineárních rovnic A1 +B1 = 2, -2A1 +A2 = 6, -2A2 A3 = 1, -2A3 = -2. (6.35) Jeho řešením dostáváme A3 = 1, A2 = 0, A1 = -3, B1 = 5. Je tedy F(x) = 1 + 1 x3 - 3 x + 5 x - 2 hledaný rozklad. 201 6. Neurčitý integrál 6.4.3 Integrace racionální lomené funkce integrace parciálních zlomků I.) Výpočet integrálů z parciálních zlomků tvaru A (x - a)k , kde k N, a, A R. Rozlišujeme dva případy. a) k = 1. Řešme E1 = 1 x - a dx. Čitatel integrandu je derivací jmenovatele. Je tedy E1 = 1 x - a dx = ln |x - a| + c v každém intervalu I, který neobsahuje číslo a. b) k > 1. Řešme Ek = 1 (x - a)k dx. Čitatel integrandu je derivací výrazu v závorce ve jmenovateli. Zaveďme substituci x - a = t, to jest x = t + a. Zřejmě dx = dt. Dosazením do daného integrálu dostáváme dx (x - a)k = dt tk t=x-a = t-k+1 -k + 1 t=x-a = - 1 k - 1 1 (x - a)k-1 + c v každém intervalu I, který neobsahuje číslo a. II.) Výpočet integrálů z parciálních zlomků tvaru Pk = Mx + N (x2 + px + q)k , (6.36) kde k N, M, N, p, q R, p2 - 4q < 0. Před integrací převedeme daný parciální zlomek na součet dvou zlomků Mx + N (x2 + px + q)k = A 2x + p (x2 + px + q)k + B (x2 + px + q)k , (6.37) kde A, B jsou vhodné konstanty. Zjistíme je např. metodou neurčitých koeficientů z rovnice A(2x + p) + B = Mx + N. Z ní dostáváme A = M 2 , B = N - pM 2 . Všimněte si, že první zlomek má v čitateli derivaci výrazu v závorce jmenovatele a druhý zlomek má v čitateli konstantu. 202 Řešení integrálu z parciálního zlomku (6.36) je tedy převedeno na řešení následujících dvou integrálů. 1 Pk = 2x + p (x2 + px + q)k dx (6.38) 2 Pk = 1 (x2 + px + q)k dx. (6.39) Jejich řešení popíšeme v následujících bodech c), d). c) Výpočet integrálu 1 Pk = 2x + p (x2 + px + q)k dx. (6.40) Budeme jej řešit substitucí x2 + px + q = t. Dostáváme (2x + p) dx = dt. Odtud 2x + p (x2 + px + q)k dx = dt tk t=x2+px+q . Pro k = 1 odtud dostáváme 1 P1 = 2x + p x2 + px + q dx = dt t t=x2+px+q = ln(x2 + px + q). Pro k > 1 dostáváme 1 Pk = 2x + p (x2 + px + q)k dx = dt tk t=x2+px+q = - 1 k - 1 1 tk-1 t=x2+px+q = - 1 k - 1 1 (x2 + px + q)k-1 . d) Výpočet integrálu 2 Pk = 1 (x2 + px + q)k dx. (6.41) Označme r = 4q-p2 4 . Potom lze psát 2 Pk = 1 (x2 + px + q)k dx = 1 ((x + p 2 )2 + r2)k dx. (6.42) Tento integrál řešíme substitucí x + p 2 = rt. Potom dx = r dt. Je tedy 1 ((x + p 2 )2 + r2)k dx = r dt r2k(t2 + 1)k t= 2x+p 2r = = 1 r2k-1 dt (t2 + 1)k t= 2x+p 2r . Označme nyní Kk = dt (1 + t2)k , 203 6. Neurčitý integrál kde k je přirozené číslo. Potom 1 ((x + p 2 )2 + r2)k dx = 1 r2k-1 [Kk]t= 2x+p 2r . Výpočet integrálu Kn = dt (1 + t2)n , kde n je libovolné přirozené číslo. Všimněmě si, že index n v označení integrálu Kn je roven exponentu výrazu (1 + t2 ) ve jmenovateli. K výpočtu použijeme metodu per partes. Zvolíme u = 1, v = 1 (1 + t2)n . Odtud u = t, v = -2nt (1 + t2)n+1 . Pak platí Kn = dt (1 + t2)n = t (1 + t2)n + 2n t2 dt (1 + t2)n+1 = = t (1 + t2)n + 2n t2 + 1 - 1 (1 + t2)n+1 dt = = t (1 + t2)n + 2n t2 + 1 (1 + t2)n+1 dt - 2n dt (1 + t2)n+1 = = t (1 + t2)n + 2nKn - 2nKn+1. Dospěli jsme tedy ke vztahu mezi Kn, Kn+1 Kn = t (1 + t2)n + 2nKn - 2nKn+1, který lze přepsat takto Kn+1 = 1 2n t (1 + t2)n + (2n - 1)Kn . (6.43) Integrál K1 známe. Platí K1 = dt 1 + t2 = arctg t. (6.44) Vztahem (6.43) lze vypočíst Kn+1, známe-li Kn pro libovolné n. Poněvadž známe K1, můžeme vypočíst podle (6.43) pro n = 1 integrál K2. Dostáváme K2 = t 2(1 + t2) + 1 2 arctg t. Pro k = 3 vypočítáme K3 podle z (6.43) pro n = 2 pomocí již spočítané hodnoty integrálu K2. Dostáváme K3 = t 4(1 + t2)2 + 3 4 t 2(1 + t2) + 1 2 arctg t , atd. 204 Integrál Kk pro určité k vyjádříme pomocí Kk-1 podle vzorce (6.43) pro n = k - 1. To znamená, že pro jeho výpočet postupně musíme vypočítat integrály K1, K2, , Kk-1. Můžeme tedy užitím vztahů (6.43) a (6.44) vypočítat Kk pro libovolné k. Říkáme, že Kk je určeno rekurentní formulí. Uveďme si ji ještě jednou. Integrál Kn = dt (1 + t2)n počítáme podle rekurentní formule K1 = arctg t, Kn+1 = 1 2n t (1 + t2)n + (2n - 1)Kn , n = 2, 3, . . . (6.45) příkladyVýpočet několika integrálů z racionálních lomených funkcí. Příklad 6.18. Vypočítejte E = 2 x - 1 dx. Řešení. Integrál přepíšeme na tvar, v němž je čitatel derivací jmenovatele. Tedy E = 2 1 x - 1 dx = 2 ln |x - 1| + c, pro x v každém intervalu, který neobsahuje 1. Příklad 6.19. Vypočítejte E = 3 dx (x + 2)3 . Řešení. Integrál přepíšeme na integrál ze zlomku, v němž čitatel je derivací výrazu v závorce jmenovatele. Dostáváme E = 3 dx (x + 2)3 . Zavedením substituce x + 2 = t dostáváme E = 3 dt t3 t=x+2 = - 3 2 1 (x + 2)2 + c v každém intervalu, který neobsahuje (-2). 205 6. Neurčitý integrál Příklad 6.20. Vypočítejte E = x + 2 x2 + 2x + 2 dx. Řešení. Jmenovatel má komplexně sdružené kořeny. Jde o integrál z parciálního zlomku. Integrál přepíšeme na součet dvou integrálů E = 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 2 dx + dx x2 + 2x + 2 . V prvním z těchto integrálů je čitatel derivací jmenovatele, takže 1 2 2x + 2 x2 + 2x + 2 dx = 1 2 ln(x2 + 2x + 2). Druhý z těchto integrálů přepíšeme na tvar dx x2 + 2x + 2 = dx (x + 1)2 + 1 . Zavedením substituce x + 1 = t dostáváme dx (x + 1)2 + 1 = dt t2 + 1 t=x+1 = arctg(x + 1). Celkem tedy dostáváme E = 1 2 ln(x2 + 2x + 2) + arctg(x + 1), x (-, ). Příklad 6.21. Vypočítejte x - 1 (x2 + 4x + 5)2 dx. Řešení. Jde o integrál z parciálního zlomku. Integrand převedeme na součet dvou parciálních zlomků, z nichž jeden má v čitateli derivaci výrazu v závorce jmenovatele. x - 1 (x2 + 4x + 5)2 = 1 2 2x + 4 (x2 + 4x + 5)2 - 3 1 (x2 + 4x + 5)2 . (6.46) Hledaný integrál je tedy roven součtu integrálů z těchto dvou zlomků. V čitateli prvního zlomku je derivace výrazu v závorce jmenovatele. Řešíme jej tedy substitucí t = x2 + 4x + 5. Dostáváme 1 2 (2x + 4) dx (x2 + 4x + 5)2 = 1 2 dt t2 t=x2+4x+5 = - 1 2 1 x2 + 4x + 5 . (6.47) 206 Integrál z druhého zlomku v (6.46) počítáme následovně 3 dx (x2 + 4x + 5)2 = 3 dx ((x + 2)2 + 1)2 . Zavedením substituce x + 2 = t dostáváme odtud 3 dx ((x + 2)2 + 1)2 = 3 dt (t2 + 1)2 t=x+2 = 3[K2]t=x+2. Integrál K2 počítáme rekurentní formulí (6.45). Dostaneme K2 = t 2(1 + t2) + 1 2 arctg t, takže [K2]t=x+2 = x + 2 2(1 + (x + 2)2) + 1 2 arctg(x + 2). Užitím těchto mezivýsledků dostáváme po úpravě x - 1 (x2 + 4x + 5)2 dx = - 1 2 3x + 7 x2 + 4x + 5 - 3 2 arctg(x + 2) + c pro x (-, ). Příklad 6.22. Vypočtěte 2x + 1 x2(x2 + 1)2 dx. Řešení. Jde o integrál z ryze lomené racionální funkce. Napřed ji rozložíme na součet parciálních zlomků. Rozklad bude mít tvar 2x + 1 x2(x2 + 1)2 = A x2 + B x + Cx + D (x2 + 1)2 + Ex + F x2 + 1 . (6.48) Abychom určili konstanty A, B, C, D, E, F násobme (6.48) výrazem x2 (x2 + 1)2 . Dostaneme 2x + 1 = A(x2 + 1)2 + Bx(x2 + 1)2 + (Cx + D)x2 + +(Ex + F)x2 (x2 + 1) = A(x4 + 2x2 + 1) + B(x5 + 2x3 + x) + +(Cx3 + Dx2 ) + E(x5 + x3 ) + F(x4 + x2 ) Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x na obou stranách dostáváme systém rovnic 0 = B + E, 0 = A + F, 0 = 2B + C + E 0 = 2A + D + F, 2 = B, 1 = A. Jehož řešením dostaneme A = 1, B = 2, C = -2, D = -1, E = -2, F = -1. 207 6. Neurčitý integrál Dostáváme tedy 2x + 1 x2(x2 + 1)2 dx = dx x2 +2 dx x 2x + 1 (x2 + 1)2 dx2x + 1 x2 + 1 dx (6.49) Zavedeme nyní označení I1 = dx x2 , I2 = 2 dx x , I3 = 2x + 1 (x2 + 1)2 dx, I4 = 2x + 1 x2 + 1 dx. Vypočítejme nyní jednotlivé integrály na pravé straně (6.49). Dostáváme I1 = dx x2 = - 1 x , I2 = 2 dx x = 2 ln |x|. Integrál I3 = 2x + 1 (x2 + 1)2 dx zapíšeme jako součet dvou integrálů 1 I3, K2, kde 1 I3 = 2x (x2 + 1)2 dx, K2 = 1 (x2 + 1)2 dx. První z nich, integrál 1 I3, řešíme substitucí x2 + 1 = t. Dostáváme 1 I3 = 2x (x2 + 1)2 dx = - 1 1 + x2 , druhý z nich, integrál K2 = 1 (x2 + 1)2 dx, se řeší rekurentní formulí (6.45). Dostáváme K2 = x 2(1 + x2) + 1 2 arctg x. Celkem tedy dostáváme I3 = 2x + 1 (x2 + 1)2 dx = - 1 1 + x2 + x 2(1 + x2) + 1 2 arctg x. Integrál I4 vypočítáme snadno rozepsáním na součet dvou integrálů. Dostá- váme I4 = 2x + 1 x2 + 1 dx = 2x x2 + 1 dx + 1 x2 + 1 dx = ln(x2 + 1) + arctg x. Jestliže dosadíme dosažené výsledky do (6.49), dostáváme 2x + 1 x2(x2 + 1)2 dx = - 1 x + 2 ln |x| + 1 1 + x2 - - x 2(1 + x2) - 1 2 arctg x - ln(x2 + 1) - arctg x. 208 Úpravou pak dostáváme 2x + 1 x2(x2 + 1)2 dx = -3x2 + 2x - 2 2x(1 + x2) + ln x2 x2 + 1 - 3 2 arctg x + c. Lehce nahlédneme, že výpočet platí pro každý interval, který neobsahuje x = 0. 6.4.4 Integrace některých významných tříd funkcí Upozornění Funkce, která je vytvořena z elementárních funkcí aritmetickými operacemi, nebo skládáním, nemusí mít primitivní funkci, kterou lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Jako příklad uveďme např. sin x x dx. Namnoze je nutno přikročit k jejich numerickému výpočtu. V literatuře se uvádí řada tříd funkcí, pro každou z nich se uvádí postup, který zaručuje možnost nalezení integrálu funkce této třídy. Naším cílem není podat výklad běžně popisovaných tříd jak se v učebnicích uvádějí. Kdo má o ně zájem ať si vezme na pomoc podrobnější učebnice. Zde si ukážeme několik příkladů tříd funkcí, které se naznačeným postupem převádějí na integrace racionální lomené funkce. Zaveďme si pojem racionální lomené funkce ve dvou proměnných. Tento pojem použijeme k vymezení třídy funkcí, na které se bude uvedený postup integrace vztahovat. Racionální lomenou funkci v proměnných u, v budeme rozumět funkci, označme ji R(u, v), s touto vlastností: díváme-li se na v jako na konstantu, potom tato funkce je racionální lomenou funkcí proměnné u a díváme-li se na proměnnou u jako na konstantu, potom tato funkce je racionální lomenou funkcí v proměnné v. Podobně se zavádějí racionální lomené funkce n proměnných, n N. V této kapitole bude R vždy značit racionální lomenou funkci. Nebude to vždy zdůrazněno. 209 6. Neurčitý integrál Jako příklad racionální lomené funkce si uveďme tyto funkce. (Napřed si zopakujte pojem racionální lomené funkce jedné proměnné diskutovaný v textu " Matematika A".) Příklad 6.23. a) Funkce f(u, v) = u + v3 1 + u je racionální lomenou funkcí v proměnných u, v. Položíme-li do této funkce u = x, v = 2x + 1, je složená funkce F(x, 2x + 1) = x + (2x + 1)3 1 + x racionální lomenou funkcí v x, a v 2x + 1 avšak není racionální lomenou funkcí v proměnné x. b) Funkce g(u, v) = 1 + u2 uv je racionální lomenou funkcí v proměnných u, v. Dosadíme-li do této funkce u = sin x, v = cos x, dostaneme složenou funkci G(sin x, cos x) = 1 + sin2 x sin x cos x . Funkce G je racionální lomenou funkcí v proměnných sin x, cos x. Není však racionální lomenou funkcí v proměnné x. c) Funkce h(u, v) = u + 1 v + u v není racionální lomenou funkci v proměnných u, v. Integrál z funkce R(x, s ax + b) Nechť R(x, s ax + b) kde a, b R, a = 0, s N, s > 1 (6.50) je racionální lomená funkce ve dvou proměnných x, s a x + b. Uveďme si tři příklady z této třídy funkcí a) x + x 1 + x2 b) 2 x + 3 x + 3 2 x + 3 , c) x + x 1 + 3 x . Funkce d) x + x x + 1 do třídy těchto funkcí nepatří (zdůvodněte !) 210 Postup výpočtu. Integrály funkcí této třídy řešíme substitucí s ax + b = t. (6.51) Ukažme nyní způsob řešení integrálů funkcí této skupiny zcela formálně. Splnění předpokladů pro oprávněnost uvedeného postupu je nutno ověřit u každého jednotlivého příkladu zvlášť. Pokud tak neučiníte, je zapotřebí se přesvědčit o správnosti provedeného výpočtu derivováním dosaženého výsledku s diskuzí o intervalu, v němž výpočet platí. Z (6.51) dostaneme povýšením na s­tou ax + b = ts . Odtud x = 1 a (ts - b), takže dx = 1 a s ts-1 dt. (6.52) Tedy R(x, s a x + b) dx = R( 1 a (ts - b), t) 1 a s ts-1 dt t= s ax+b . Tím jsme převedli výpočet zadaného integrálu proměnné x na integrál z racionální lomené funkce proměnné t. Příklad 6.24. Vypočítejte A = 2x + 1 x dx. Řešení. Jedná se o integrál z racionální lomené funkce v proměnných x, 2x + 1. Integrand je funkce spojitá jak na intervalu J1 = (-1 2 , 0), tak na intervalu J2 = (0, ). Podle nahoře uvedeného návodu zavedeme substituci 2x + 1 = t. Intervalu J1 odpovídá touto transformací interval I1 = (0, 1) a intervalu J2 odpovídá interval I2 = (1, ). Ze vztahu 2x + 1 = t vypočítejme x. Dostáváme x = t2 - 1 2 , dx = t dt. Označme (t) = t2-1 2 pro t I1, resp. pro t I2. Lehce nahlédneme, že funkce (t) splňuje předpoklady věty o substituci:je spojitá a má spojitou nenulovou derivaci na I1, resp. na I2. Zřejmě (I1) = J1, (I2) = J2. In- tegrál 2x+1 x dx na intervalu J1, resp. na intervalu J2 se převádí uvedenou substitucí na výpočet integrálu 2 t2 t2 - 1 dt na intervalu I1, resp. na intervalu I2. 211 6. Neurčitý integrál Jde o integrál z neryze lomené racionální funkce. Jejím rozkladem na součet polynomu a parciálních zlomků a jejich následnou integrací dostáváme 2 t2 t2 - 1 dt = 2 dt + 1 t - 1 dt - 1 t + 1 dt = 2t + ln t - 1 t + 1 + c. Zpětnou substitucí t = 2x + 1 dostaneme pak A = 2 2x + 1 + ln 2x + 1 - 1 2x + 1 + 1 + c (6.53) pro x (-1 2 , 0) a pro x (0, ). Provedťe zkoušku správnosti výpočtu derivováním výsledku (6.53) Následující třídy funkcí jsou uvedeny pouze informativně. Jsou uvedeny pouze transformace, které zaručují převod integrálu z funkce dané třídy na integrál z racionální lomené funkce. Integrál z funkce R x, s ax+b cx+d . Ukažme si postup integrace funkce tvaru R x, s ax + b cx + d , kde ad - bc = 0, a2 + c2 = 0. Integrál se substitucí s a x + b cx + d = t převede na integrál z racionální lomené funkce v proměnné t. Je totiž x = d ts - b c ts - a ; dx = ad - bc (cts - a)2 s ts-1 dt. Integrál z funkce R x, ax2 + bx + c . Na řešení integrálů tohoto typu je známá řada metod. K řešení je možno použít tzv. Eulerových substitucí a to: 1) Je-li a > 0 položíme ax2 + bx + c = x a + t. 2) Je-li a < 0 má odmocnina ax2 + bx + c význam jenom tehdy, má-li polynom ax2 + bx + c dva různé reálné kořeny. Označme je x1, x2. Nechť x1 < x2. V tomto případě položíme ax2 + bx + c = -a(x - x1) x2 - x x - x1 . Tím je integrál převeden na integrál typu R x, ax + b cx + d . 212 Integrál typu cosm x sinn x dx. Integrály typu cosm x sinn x dx, kde m, n jsou celá čísla, přičemž alespoň jedno z nich je liché. Je-li m (n) sudé, zavedeme substituci cos x = t (sin x = t). Jsou-li obě čísla m, n lichá, je možno použít jak substituce sin x = t, tak i substituce cos x = t. Řídíme se jen tím, aby výpočet integrálu byl co nejjednodušší. Příklad 6.25. Vypočtěte a) sin3 x cos2 x dx, b) sin5 x dx, c) cos3 x sin5 x dx. Řešení. a) sin3 x cos2 x dx = cos x = t, sin2 x = 1 - t2 - sin x dx = dt = = 1 - t2 t2 dt = 1 t + t + c = 1 cos x + cos x + c, x I, kde I neobsahuje čísla (2k + 1) 2 , k Z. b) sin5 x dx = cos x = t, sin4 x = (1 - t2 )2 - sin x dx = dt = - (1 - t2 )2 dt = = - (1 - 2t2 + t4 ) dt = -t + 2 3 t3 - t5 5 + c = = - cos x + 2 3 cos3 x - cos5 x 5 + c, x (-, ). c) cos3 x sin5 x dx = sin x = t cos x dx = dt = 1 - t2 t5 dt = = - 1 4t4 + 1 2t2 + c = - 1 4 sin4 x + 1 2 sin2 x + c, pro x I, kde I neobsahuje čísla k, k Z. 6.5 Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly V této kapitole se zavádí pojem primitivní funkce k dané funkci a vyšetřuje se otázka existence primitivní funkce k dané funkci. Ukazuje se, že na každém intervalu existuje široká třída funkcí, k nímž existují funkce primitivní. Jsou to funkce spojité na daném intervalu. V příkladě na straně 176 je uvedena funkce nespojitá na intervalu (-1, 1), která má na něm funkci primitivní. Takovéto funkce se v aplikacích vyskytují jen zřídka. Nalezení primitivní funkce k dané funkci může být velice obtížné. K funkci, vytvořené racionálními operacemi z elementárních funkcí nemusí existovat funkce primitivní, kterou by bylo možno vyjádřit elementárními funkcemi. V kapitole je uveden seznam důležitých funkcí a k nim odpovídajících funkcí primitivních. Dále se ukazují metody na nalezení primitivní funkce k funkci, která je lineární kombinací funkcí, k nímž jsou primitivní funkce známé. Dále jsou uvedeny dvě důležité metody na hledání primitivní funkce k dané funkci. 213 6. Neurčitý integrál Je to metoda per partes a metoda substituční. Neexistuje obecný postup pro výpočet neurčitého integrálu. Existují pouze popisy metod pro hledání primitivních funkcí k funkcím z jistých specifikovaných tříd funkcí. V textu je pojednáno podrobně o nejdůležitější z nich ­ o třídě racionálních lomených funkcí. Na konci kapitoly je uvedeno i několik dalších tříd se stručným popisem postupu řešení. Na tuto část textu je nutno se dívat jen orientačně. Úlohy 1. Co je to neurčitý integrál na intervalu? Co víte o jeho existenci? 2. Vysvětlete metodu per partes na hledání neurčitého integrálu. 3. Vysvětlete metody substituční na hledání neurčitého integrálu. 4. Popište metodu integrace racionální lomené funkce. 5. Co je to racionální lomená funkce v proměnných u, v? 6. Co je to racionální lomená funkce v proměnných sin x, cos x? 7. Co je to racionální lomená funkce v proměnných x, s ax+b cx+d ? 8. Popište postup řešení integrálu R x, s ax+b cx+d dx. 9. Vypočítejte následující neurčité integrály: a) (3x2 - 2x + 1) dx [x3 - x2 + x + c, x (-, )] b) 1 2 x dx [ x + c, x (0, )] c) x + 1 x 2 dx [x2 2 + 2x + ln |x|, x (0, )] d) x+1 x dx [2 3 x x + 2 x + c, x (0, )] e) 2x+3x 6x dx [- 3-x ln 3 + 2-x ln 2 , x (-, )] f) sin2 x 2 dx [1 2 (x - sin x), x (-, )] 10. Vypočítejte následující neurčité integrály: a) xex dx [ex (x - 1) + c, x (-, )] b) ln x dx [x ln x - x + c, x (0, )] c) x sin x dx [-x cos x + sin x + c, x (-, )] d) ln x x dx [1 2 ln2 x + c, x (0, )] e) 1 - x2 dx [Per partes: u = 1, v = 1 - x2; 1 2 (x 1 - x2 + arcsin x) + c, x (-1, 1)] f) arcsin x dx [x arcsin x + 1 - x2 + c, x (-1, 1)] 11. Nalezněte rekurentní formule pro výpočet integrálů: a) In = xn ex dx, kde n N{0} [Per partes: u = ex , v = xn ; In = xn ex - nIn-1, I0 = ex , x (-, )] 214 b) In = sinn x dx, kde n N {0} [Per partes: u = sin x, v = sinn-1 x; pro n 2 je In = -1 n (cos x sinn-1 x - (n - 1)In-2), I0 = x, I1 = - cos x, ] 12. Vypočítejte integrály: a) sin(5 - 6x) dx [1 6 cos(5 - 6x) + c, x (-, )] b) 1 x ln x dx (Substituce ln x = t) [ln | ln x| + c, x (0, 1) (1, )] c) x x2 + 1 dx (Substituce x2 + 1 = t) [1 3 (x2 + 1)3 + c, x (-, )] d) x2 5 1 + x3 dx (Substituce x3 + 1 = t) [ 5 18 5 (1 + x3)6 + c, x (-, )] 13. Vypočítejte integrály: a) dx x2-4x+4 [- 1 x-2 + c, x (-, -2) a pro x (2, )] b) x-1 x2+2x+5 dx [1 2 ln(x2 + 2x + 5) - arctg x+1 2 + c, x (-, )] c) dx (x2+3)2 [1 6 1 3 arctg x 3 + x x2+3 + c, x (-, )] d) x-1 (x2+2x+3)2 dx [- 2 4 arctg x+1 2 - x+2 2(x2+2x+3) + c, x (-, )] 14. Vypočítejte integrály: a) x 1+ x dx [x - 2 x + 2 ln(1 + x) + c, x (0, )] b) sin3 x cos3 x dx [1 4 sin4 x - 1 6 sin6 x + c, x (-, )] 215 6. Neurčitý integrál 216 Zavedení Riemanova integrálu Vlastnosti Riemanova integrálu Existence Riemanova integrálu Výpočet Riemanova integrálu Nevlastní integrály Numerický výpočet určitého integrálu Shrnutí, úlohy Určitý integrál 7 7. Určitý integrál Cíl kapitoly Cílem je seznámit se se zavedením Riemanova integrálu seznámit se se základními vlastnostmi Riemanova integrálu seznámit se s některými třídami integrovatelných funkcí seznámit se s integrálem jako funkcí horní meze seznámit se s metodami na vyčíslení určitého integrálu seznámit se se zavedením nevlastních integrálů vzhledem k funkci a vzhledem k intervalu seznámit se s pojmem numerického výpočtu určitého integrálu. Časová zátěž 10 hodin Úvod k zavedení pojmu určitého integrálu S pojmem určitého integrálu b a f(x) dx jste se již setkali v dřívějším studiu. Dříve, než si tento pojem zobecníme, tak si jej zopakujme tak, jak jste jej měli zavedený. Definice 7.1. Nechť a, b R, a < b. Nechť funkce f(x) je spojitá na a, b a nechť F(x) je jakákoliv primitivní funkce k f(x) na a, b . Definujeme určitý integrál z funkce f(x) od a do b, označíme jej b a f(x) dx, vztahem b a f(x) dx = F(b) - F(a). (7.1) Číslo a nazýváme dolní a číslo b horní mezí integrálu b a f(x) dx. Poznámka 1. Je-li G(x) jiná primitivní funkce k funkci f(x) na a, b , potom G(x) = F(x) + c, kde c je vhodná konstanta. Potom G(b) - G(a) = (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a). Tedy (7.1) nezávisí na volbě primitivní funkce k funkci f(x) na a, b . Dále de- finujeme a b f(x) dx vztahem a b f(x) dx = - b a f(x) dx a, je-li a = b, položíme a a f(x) dx = 0. Příklad 7.1. Nechť f(x) = x2 , x 2, 3 , F(x) = x3 3 , x 2, 3 . Funkce f(x), F(x) mají vlastnosti uvedené v definici 7.1. Je tedy 3 2 x2 dx = F(3) - F(2) = 33 3 - 23 3 = 9 - 8 3 = 19 3 . 218 Podívejme se nyní podrobněji na vztah (7.1). Nechť n N a {xk}n+1 k=1 jsou takové body z intervalu a, b , že a = x1 < x2 < < xn+1 = b. Potom F(b) - F(a) = F(xn+1) - F(xn) + F(xn) - F(xn-1) + + + F(x3) - F(x2) + F(x2) - F(x1) . (7.2) Podle věty o střední hodnotě diferenciálního počtu je F(xk+1) - F(xk) = F (k)(xk+1 - xk), kde k (xk, xk+1) je vhodné číslo. Existují tedy čísla 1 (x1, x2), 2 (x2, x3),. . . , n (xn, xn+1) tak, že F(b) - F(a) = n k=1 F (k)(xk+1 - xk). Tedy b a f(x) dx = n k=1 f(k)(xk+1 - xk). (7.3) Na obr. 7.1 je znázorněna funkce f(x) spojitá na a, b . Jsou na něm vyznačeny body x1, x2, . . . , xn+1 (pro n = 4). Byly zvoleny tak, že mezi nimi jsou všechny nulové body funkce f(x). Je-li xk, xk+1 interval, na němž je funkce f(x) 0 (f(x) 0), představuje (xk+1 - xk)f(k) obsah (obsah násobený " -1") obdélníka o stranách xk+1 - xk, |f(k)|. Čím je číslo xk+1 - xk menší, tím je tento obsah bližší k intuitivně chápanému obsahu rovinného obrazce vytvořeném osou x, přímkami x = xk, x = xk+1 a grafem funkce y = |f(x)|. Uvažujme nyní útvar vytvořený osou x, přímkami x = a, x = b a grafem funkce y = f(x). Tento útvar rozdělme na části nad osou x a na části pod osou x. Pravá strana v (7.3) představuje aproximaci rozdílu P1 - P2, kde P1 je součet intuitivně chápaných obsahů částí útvarů nad osou x a P2 je součet obsahů částí útvaru pod osou x. Odtud lze odvodit, že b a f(x) dx je roven P1 - P2. V definici 7.1 se mimo jiné předpokládalo, že funkce f(x) je spojitá na a, b . V dalším zavedeme b a f(x) dx i pro případy, kdy funkce f(x) není spojitá na a, b . 219 7. Určitý integrál y = f(x) a = x1 1 x2 2 x3 3 x4 4 b = x5 [1, f(1)] [2, f(2)] [3, f(3)] [4, f(4)] Obrázek 7.1: K významu určitého integrálu. 7.1 Zavedení Riemanova integrálu dělení intervalu, norma dělení Dělení intervalu, norma dělení Nechť a, b R, a < b a nechť n N. Nechť {xk}n+1 k=1 jsou takové body z intervalu a, b , že a = x1 < x2 < < xi < xi+1 < < xn < xn+1 = b. Těmito body je určeno n intervalů x1, x2 , x2, x3 , . . . , xi, xi+1 , . . . , xn, xn+1 . Budeme říkat, že tvoří dělení intervalu a, b na n částečných intervalů. Označíme je např. D, resp. Dn, chceme-li zdůraznit počet částečných intervalů. Body xi nazveme dělicími body. Číslo D = max i |xi+1 - xi| nazveme normou dělení D. Nechť D, ~D jsou dělení intervalu a, b . Řekneme, že dělení ~D je zjemněním dělení D, jestliže každý dělicí bod dělení D je i dělicím bodem dělení ~D. Příklad 7.2. Uvažujme interval 1, 2 . Zvolme n = 4 a dělicí body x1 = 1; x2 = 1,2; x3 = 1,3; x4 = 1,35; x5 = 2. Těmito body je určeno dělení D4 intervalu 1, 2 na 4 částečné intervaly 1; 1,2 , 1,2; 1,3 , 1,3; 1,35 , 1,35; 2 . Normou tohoto dělení je D4 = 0,65. Dělení D6 určené body x1 = 1, x2 = 1,2, x3 = 1,25, x4 = 1,3, x5 = 1,35, x6 = 1,7, x7 = 2, dělí interval 1, 2 na 6 částečných intervalů 1; 1,2 , 1,2; 1,25 , 1,25; 1,3 , 1,3; 1,35 , 1,35; 1,7 , 1,7; 2 . Poněvadž každý dělicí bod dělení D4 je i dělicím bodem dělení D6, je dělení D6 zjemněním dělení D4. 220 Řekneme, že funkce f(x) je na intervalu J omezená, jestliže je na něm definovaná a jestliže existují taková čísla m, M R, že m f(x) M pro všechna x J. Příklad 7.3. Funkce y = x2 je na intervalu 0, 1 omezená, neboť 0 x2 1 pro všechna x 0, 1 . Funkce f(x) = 1 x pro x (0, 1 , f(0) = 0, není na intervalu 0, 1 omezená, neboť lim x0+ 1 x = . Neexistuje číslo M R, pro něž by platilo f(x) M, x 0, 1 . definice Riemanova integrálu Riemanův integrál ­ zavedení pojmu Nechť f(x) je omezená funkce na intervalu a, b a nechť Dn je dělení intervalu a, b s dělicími body xk, k = 1, 2, . . . , n + 1. Označme mi = inf x xi,xi+1 f(x), Mi = sup x xi,xi+1 f(x). Potom s(f, Dn) = n i=1 mi(xi+1 - xi) nazveme dolním Riemanovým součtem funkce f pro dělení Dn a S(f, Dn) = n i=1 Mi(xi+1 - xi) nazveme horním Riemanovým součtem funkce f pro dělení Dn. V dalším textu této kapitoly budou mít čísla mi, Mi výše uvedený význam, pokud nebude uvedeno jinak. Poznámka. Číslo mi(xi+1 - xi) představuje plošný obsah obdélníka o stranách |mi|, xi+1 - xi, je-li mi 0, a představuje obsah tohoto obdélníka násobeného -1, je-li mi < 0. Podobný význam mají čísla Mi(xi+1 - xi). Na obr. 7.2 je interval a, b rozdělen na n = 5 částečných intervalů. Je na něm vyznačen význam čísla s(f, D5). Na obr. 7.3 je vyznačen význam čísla S(f, D5) pro totéž dělení D5. x1 a x2 x3 x4 x5 x6 b x y = f(x) Obrázek 7.2: Význam s(f, D5). x1 a x2 x3 x4 x5 x6 b x y = f(x) Obrázek 7.3: Význam S(f, D5). 221 7. Určitý integrál Poznámka. Z definice čísel s(f, D), S(f, D) je patrno, že pokud označíme m = inf x a,b f(x), M = sup x a,b f(x), potom m(b - a) s(f, D) S(f, D) M(b - a) pro každé dělení D intervalu a, b . Je-li tedy f omezená funkce na intervalu a, b , potom množina všech dolních (horních) Riemanových součtů příslušných ke všem dělením D intervalu a, b je shora (zdola) omezena číslem M(b - a) (m(b - a)), takže existuje její suprémum (infimum). Označme b a f(x) dx = sup D s(f, D) a nazveme je dolním Riemanovým integrálem funkce f(x) od a do b. Označme b a f(x) dx = inf D S(f, D) a nazveme je horním Riemanovým integrálem funkce f(x) na intervalu a, b . Definice 7.2. (Definice Riemanova integrálu) Nechť funkce f(x) je omezena na intervalu a, b . Řekneme, že funkce f(x) má na intervalu a, b Riemanův integrál a značíme jej b a f(x) dx, jestliže b a f(x) dx = b a f(x) dx. Klademe pak b a f(x) dx = b a f(x) dx = b a f(x) dx. 222 Poznámka 1. V označení b a f(x) dx se symbol nazývá integračním znakem, číslo a se nazývá dolní mez a číslo b se nazývá horní mez Riemanova integrálu. Místo Riemanův integrál budeme často říkat jen integrál. Funkci f(x) nazýváme integrandem. Jestliže existuje (neexistuje) b a f(x) dx, budeme říkat, že funkce f(x) je (není) na intervalu a, b integrabilní resp. integrovatelná. Poznámka 2. Uvědomte si, že označení b a f(x) dx má dvojí význam: označení integrálu, který budťo existuje nebo neexistuje, a označení jeho hodnoty, to jest čísla. vysvětlení zavedení Riemanova integrálu na příkladě Příklad 7.4. Uvažujme funkci f(x) = ex , x 23 . Označme h = 3-2 10 = 0,1. Položme xk = 2 + (k - 1)h, k = 1, 2, . . . , 11. Body {xk}11 k=1 tvoří dělení D10 intervalu 2, 3 . Určeme s(f, D10) a S(f, D10). Řešení. Poněvadž f(x) je na intervalu 2, 3 rostoucí, platí mk = inf x xk,xk+1 f(x) = exk = e2+(k-1)h = e2 e(k-1)h Mk = sup x xk,xk+1 f(x) = exk+1 = e2+kh = e2 ekh Je tedy s(f, D10) = 10 k=1 e2 e(k-1)h 0,1 = 0,1e2-h 10 k=1 ekh S(f, D10) = 10 k=1 e2 ekh 0,1 = 0,1e2 10 k=1 ekh Poněvadž {ekh }10 k=1 je geometrická posloupnost s kvocientem eh , dostáváme s(f, D10) = 0,1e2-h eh 1 - e10h 1 - eh = 0,1e2 1 - e 1 - e0,1 . = 12,0722 S(f, D10) = 0,1e2 eh 1 - e10h 1 - eh = 0,1e2,1 1 - e 1 - e0,1 . = 13,3419 (Výpočtem 3 2 ex dx bychom obdrželi 12,69648 . . . .) Přikročme nyní k porovnání dolního (horního) Riemanova integrálního součtu příslušnému k dělení D a k jeho zjemnění ~D. Nechť f(x) je omezená funkce na intervalu a, b a nechť D je dělení intervalu a, b s dělicími body a = x1 < x2 < < xi < xi+1 < < xn < xn+1 = b. 223 7. Určitý integrál Označme ~D dělení intervalu a, b , které vznikne z dělení D přidáním dalšího dělicího bodu c (xi, xi+1). Tedy nechť a = x1 < x2 < < xi < c < xi+1 < < xn < xn+1 = b jsou dělicí body dělení ~D. Porovnejme hodnoty s(f, ~D), s(f, D), S(f, ~D) S(f, D). Dostáváme s(f, D) = m1(x2 - x1) + + mi(xi+1 - xi) + + mn(xn+1 - xn), kde mi = inf x xi,xi+1 f(x). Číslo s(f, ~D) vznikne z čísla s(f, D) tak, že výraz mi(xi+1 - xi) nahradíme součtem mi1(c - xi) + mi2(xn+1 - c), kde mi1 = inf x xi,c f(x), mi2 = inf x c,xi+1 f(x). Poněvadž mi1 mi, mi2 mi je s(f, D) s(f, ~D). Podobně S(f, ~D) S(f, D). Je tedy s(f, D) s(f, ~D) b a f(x) dx b a f(x) dx S(f, ~D) S(f, D). Výše uvedené dělení ~D intervalu a, b je zjemněním dělení D. Přidáním dalších dělicích bodů k dělicím bodům dělení D dostaneme jeho zjemnění. Platí proto toto tvrzení: Nechť f(x) je omezená funkce na a, b . Nechť D je dělení intervalu a, b a ~D je jeho zjemnění. Potom platí s(f, D) s(f, ~D) b a f(x) dx b a f(x) dx S(f, ~D) S(f, D). (7.4) Uveďme si nyní nutné a postačující podmínky pro existenci integrálu z omezené funkce f(x) na a, b . Věta 7.1. Nechť funkce f(x) je omezená na intervalu a, b . Nutnou a postačující podmínkou pro existenci b a f(x) dx je, že k libovolnému > 0 existuje takové dělení D intervalu a, b , že S(f, D) - s(f, D) < . (7.5) 224 Důkaz: a) Nechť existuje b a f(x) dx. Poněvadž b a f(x) dx = sup D s(f, D), existuje takové dělení D1 , že b a f(x) dx - s(f, D1 ) < 2 . (7.6) Podobně, poněvadž b a f(x) dx = inf D S(f, D), existuje takové dělení D2 , že S(f, D2 ) - b a f(x) dx < 2 . (7.7) Nechť D je zjemnění obou dělení D1 , D2 . Pro toto dělení dostáváme z (7.6), (7.7) s ohledem na (7.4) b a f(x) dx - s(f, D) < 2 , S(f, D) - b a f(x) dx < 2 . Sečtením těchto vztahů dostáváme (7.5). b) Nechť platí (7.5). Z nerovností b a f(x) dx S(f, D), b a f(x) dx s(f, D), dostáváme odečtením 0 b a f(x) dx - b a f(x) dx S(f, D) - s(f, D) < . 225 7. Určitý integrál Poněvadž je libovolné, platí b a f(x) dx = b a f(x) dx = b a f(x) dx. Graficky znázorněno: S(f, D) s(f, D) b a f(x) dx < Uvedeme si nyní ekvivalentní způsob zavedení Riemanova integrálu. Napřed uveďme několik pojmů, které k tomu použijeme. Nulová posloupnost dělení intervalu a, b . Nechť {Dn} n=1 je posloupnost dělení intervalu a, b . Jestliže lim n Dn = 0, potom posloupnost {Dn} n=1 nazveme nulovou posloupností dělení intervalu a, b . Zaveďme si nyní " Reimanův integrální součet" a možnost jeho použití k alternativnímu způsobu zavedení určitého integrálu. Riemanův integrální součet Riemanův integrální součet. Nechť f(x) je omezená funkce na intervalu a, b , Dn dělení intervalu a, b na n částečných intervalů s dělicími body a = x1 < x2 < < xi < < xn < xn+1 = b. Označme dále Z(Dn) množinu všech takových uspořádaných skupin n-čísel n = (1, . . . , n), že i xi, xi+1 . Potom číslo (f, Dn, n ) = n i=1 f(i)(xi+1 - xi), kde n Z(Dn), nazýváme Riemanovým integrálním součtem funkce f příslušným k dělení Dn a skupině čísel n Z(Dn). Na obr. 7.4 je znázorněn Riemanův integrální součet pro zvolené dělení D4 a zvolená čísla 4 Z(D4). Na obr. 7.4 je funkce f(x) > 0 pro x a, b . Číslo (f, D4, 4 ) aproximuje intuitivně chápaný plošný obsah rovinného obrazce vytvořeného osou x, přímkami x = a, x = b a křivkou y = f(x). Lehce nahlédneme, že pro každé dělení Dn intervalu a, b platí s(f, Dn) (f, Dn, n ) S(f, Dn) 226 1 2 3 4a = x1 x2 x3 x4 x5 = b x y = f(x) Obrázek 7.4: Riemanův integrální součet. pro každou volbu skupiny čísel n = {1, 2, . . . , n} Z(Dn), to jest takových čísel, že xi i xi+1. (Udělejte si náčrtek a tvrzení zdůvodněte!) Lze dokázat následující větu. Věta 7.2. Nechť funkce f(x) je omezená na intervalu a, b . Potom funkce f(x) má na intervalu a, b Riemanův integrál b a f(x) dx roven A když a jenom když pro každou nulovou posloupnost dělení {Dn} n=1 a každou volbu n Z(Dn) je lim n (f, Dn, n ) = A. Důkaz: Bez důkazu. Z věty vyplývá, že jestliže existuje b a f(x) dx, lze jej aproximovat Riemanovým součtem. Představa Riemanova integrálního součtu nám pomůže v různých aplikacích použít určitý integrál. Platí tedy následující věta. Věta 7.3. Nechť funkce f(x) je integrovatelná na uzavřeném intervalu a, b . Nechť {Dn} n=1 je libovolná nulová posloupnost dělení intervalu a, b a n Z(Dn), n = 1, 2, . . . . Potom lim n (f, Dn, n ) = b a f(x) dx. Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem věty 7.2. Poznámka. Věta je využitelná v různých aplikacích. 227 7. Určitý integrál definice b a f(x) dx pro b = a a pro b < a Definice 7.3. (Rozšíření pojmu Riemanova integrálu.) Zatím jsme zavedli Riemanův integrál b a f(x) dx z omezené funkce pro případ a < b. Tuto definici rozšíříme. Nechť a < b. Položme a a f(x) dx = 0, a b f(x) dx = - b a f(x) dx, pokud existuje integrál na pravé straně. 7.2 Vlastnosti Riemanova integrálu Uveďme si několik užitečných vět. Věty 7.4--7.9 lehce pochopíte nakreslením funkce f(x) na příslušných intervalech a uvědomíte-li si geometrický význam určitého integrálu. Věta 7.4. Nechť funkce f je integrovatelná na a, b a nechť , a, b . Potom je integrovatelná na , . Důkaz: Bez důkazu. Věta 7.5. Nechť existují integrály c a f(x) dx, b c f(x) dx. Potom exis- tuje b a f(x) dx a platí b a f(x) dx = c a f(x) dx + b c f(x) dx. Důkaz: Bez důkazu. 228 Věta 7.6. Nechť funkce f(x) je integrovatelná na a, b a nechť {ci}m i=1 jsou takové body z a, b , že a = c1 < c2 < < cm-1 < cm = b. Potom existují integrály ci+1 ci f(x) dx, i = 1, 2, . . . , m - 1, a platí b a f(x) dx = m-1 i=1 ci+1 ci f(x) dx. Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem vět 7.4 a 7.5. Věta 7.7. b a (f(x) + g(x)) dx Nechť f a g jsou integrovatelné funkce na a, b a nechť , R. Potom funkce f + g je integrovatelná na a, b a platí b a (f(x) + g(x)) dx = b a f(x) dx + b a g(x) dx. (7.8) Důkaz: Nechť {Dn} n=1 je nulová posloupnost dělení intervalu a, b . Ke každému dělení intervalu Dn utvořme Riemanovy integrální součty (f, Dn, n ), (g, Dn, n ), kde n Z(Dn). Zřejmě (f + g, Dn, n ) = (f, Dn, n ) + (g, Dn, n ) (7.9) je integrální součet funkce f(x) + g(x). Poněvadž lim n ((f, Dn, n ) + (g, Dn, n )) = b a f(x) dx + b a g(x) dx, existuje též lim n (f + g, Dn, n ), takže platí (7.8). 229 7. Určitý integrál Věta 7.8. Nechť funkce f je integrovatelná na a, b a nechť pro všechna x a, b je f(x) 0. Potom b a f(x) dx 0. Geometrickým významem b a f(x) dx je plošný obsah útvaru vytvořeného osou x, přímkami x = a, x = b a grafem funkce y = f(x), x a, b . Viz obr. 7.5 (útvar je vyznačen šedě). Důkaz: Pro každé dělení D intervalu a, b je s(f, D) 0, takže dostáváme sup D s(f, D) 0, a proto b a f(x) dx 0. 0 y xa b y = f(x) Obrázek 7.5: Význam b a f(x) dx, f(x) 0, x a, b . Věta 7.9. Nechť f a g jsou integrovatelné na a, b a nechť f(x) g(x) pro x a, b . Potom platí b a f(x) dx b a g(x) dx. Důkaz: Podle předpokladů věty je g(x) - f(x) 0 pro x a, b a podle věty 7.7 je funkce g(x) - f(x) integrace schopna a platí 0 b a (g(x) - f(x)) dx = b a g(x) dx - b a f(x) dx. 230 Odtud b a f(x) dx b a g(x) dx. Uveďme si nyní větu o střední hodnotě integrálního počtu. Věta 7.10. (Věta o střední hodnotě integr. počtu) Nechť f je integrabilní v a, b . Nechť m = inf x a,b f(x), M = sup x a,b f(x). Potom existuje m, M tak, že b a f(x) dx = (b - a), neboli 1 b - a b a f(x) dx = . Jestliže navíc je funkce f(x) spojitá na a, b , existuje a, b tak, že b a f(x) dx = f()(b - a), což lze zapsat jako 1 b - a b a f(x) dx = f(). Důkaz: Uvedené tvrzení vyplývá bezprostředně ze vztahu m f(x) M, x a, b a aplikací věty 7.9. Poznámka. Číslo 1 b-a b a f(t) dt, kde a < b, f(t) je integrovatelná funkce na a, b , se nazývá střední hodnota funkce f(t) na intervalu a, b . Jestliže např. f(t) vyjadřuje počet obyvatel žijících na jistém území v období t1 ÷t2, potom 1 t2 - t1 t2 t1 f(t) dt je průměrný počet obyvatel žijících na uvažovaném území v období t1 ÷ t2. 231 7. Určitý integrál Věta 7.11. Nechť funkce f je integrovatelná na intervalu a, b . Potom je i funkce |f| integrovatelná na a, b a platí b a f(x) dx b a |f(x)| dx. Důkaz: Bez důkazu. Věta 7.12. Nechť g je funkce definovaná na intervalu a, b a nechť g(x) = 0 pro x (a, b (x a, b)). Potom g(x) je na a, b integrovatelná a platí b a g(x) dx = 0. Důkaz: Důkaz provedeme pro případ, že g(x) = 0 pro x (a, b . Druhý případ je analogický. Jestliže g(a) = 0, potom g(x) = 0 pro x a, b , takže b a f(x) dx = 0. Nechť tedy g(a) = 0, např. nechť g(a) > 0. Nechť tedy D je dělení intervalu a, b s dělicími body a = x1 < x2 < < xn < xn+1 = b. Potom m1 = 0, M1 = g(a). Je tedy s(f, D) = 0, S(f, D) = g(a)(x2 - x1). Nechť > 0 je libovolné číslo. Nechť D g(a) . Potom 0 < S(g, D) g(a) g(a) = , s(g, D) = 0. Odtud dostáváme S(g, D) - s(g, D) < . Podle věty 7.1 existuje b a g(x) dx. Poněvadž sup D s(g, D) = 0, je b a g(x) dx = 0. 232 Věta 7.13. Nechť funkce h je integrovatelná na a, b a nechť f je taková funkce na a, b , že h(x) = f(x) pro x (a, b (x a, b)). Potom existuje b a f(x) dx a platí b a f(x) dx = b a h(x) dx. Důkaz: Důkaz vyplývá z předešlé věty, položíme-li g(x) = h(x) - f(x). Věta 7.14. Nechť funkce h je integrovatelná na a, b . Nechť f je funkce, která se od funkce h liší jen v konečně mnoha bodech intervalu a, b . Potom funkce f je integrovatelná na a, b a platí b a f(x) dx = b a h(x) dx. Důkaz: Nechť ci, i = 1, 2, . . . , m, kde a = c1 < c2 < < cm = b jsou takové body z a, b , že pro x = ci, i = 1, . . . , m, je f(x) = h(x). Dostáváme b a h(x) dx = m-1 i=1 ci+1 ci h(x) dx. Užitím věty 7.13 obdržíme b a h(x) dx = m-1 i=1 ci+1 ci h(x) dx = m-1 i=1 ci+1 ci f(x) dx = b a f(x) dx. 7.3 Existence Riemanova integrálu existence b a f(x) dx, f(x) spojitá na a, b Věta 7.15. (Věta I o existenci integrálu.) Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b . Potom f(x) je na a, b integrovatelná. Důkaz: K důkazu použijeme následující větu, kterou uvedeme bez důkazu. Pomocná věta. Nechť funkce f(x) je spojitá na a, b . Potom k libovolnému číslu > 0 existuje takové > 0, závislé na , že pro všechna x , x a, b , pro něž |x - x | < je |f(x ) - f(x )| < . Tato věta připomíná definici spojitosti funkce f(x) v daném bodě. Podstatný rozdíl je v tom, že , určené k číslu , se vztahuje na celý interval a, b . Nechť > 0 je libovolné číslo. Poněvadž f(x) je spojitá na a, b existuje > 0 tak, že pro x , x a, b , |x - x | < je |f(x ) - f(x )| < b-a . Nechť D je takové dělení a, b , že D < . Nechť dělení D je určeno dělicími 233 7. Určitý integrál body {xi}n+1 i=1 , pro něž je a = x1 < x2 < < xn < xn+1 = b. Poněvadž funkce f(x) je spojitá na každém intervalu xi, xi+1 , existuje c i xi, xi+1 v němž funkce f nabývá svého minima, označme je mi, a existuje c i xi, xi+1 , v němž nabývá svého maxima, označme je Mi. Tedy mi = f(c i), Mi = f(c i ). Poněvadž D < , je |c i - c i | < a tedy f(c i ) - f(c i) < b-a . Odtud S(f, D) - s(f, D) = n i=1 (Mi - mi)(xi+1 - xi) b - a n i=1 (xi+1 - xi) = . Podle věty 7.1 je tedy funkce f(x) integrovatelná na intervalu a, b . Zaveďme si nyní pojem funkce po částech spojité na intervalu a, b . Definice 7.4. (Po částech spojitá funkce.) Řekneme, že funkce f(x) je na intervalu a, b po částech spojitá, je-li spojitá ve všech jeho bodech s vyjímkou konečného počtu bodů c1, c2, . . . , cn a, b a v každém vnitřním bodě z nich má konečnou limitu zprava i zleva; pokud c1 = a, má v něm limitu zprava a pokud cn = b, má v něm limitu zleva. Na obr. 7.6 je vyznačen graf po částech spojité funkce. a = c1 c2 c3 c4 b = c5 y = f(x) Obrázek 7.6: Funkce po částech spojitá. existence b a f(x) dx, f(x) po částech spojitá Věta 7.16. (Věta II o existenci integrálu.) Každá po částech spojitá funkce na intervalu a, b je na něm integrovatelná. Důkaz: Nechť f(x) je v intervalu a, b spojitá s případnou výjimkou bodů {ci}n i=1, kde a = c1 < c2 < < cn = b. Předpokládejme, že existuje lim xc+ i f(x) pro i = 1, 2, . . . , n - 1 a existuje lim xc- i f(x) pro i = 2, 3 . . . , n. Definujme funkci ~fi(x) na intervalu ci, ci+1 takto. Položme 234 ~fi(ci) = lim xc+ i f(x), ~fi(ci+1) = lim xc- i+1 f(x), ~fi(x) = f(x), pro x (ci, ci+1). Funkce ~fi(x) je spojitá na ci, ci+1 a je tedy na ci, ci+1 integrabilní. Je na něm tedy i funkce f(x) integrabilní. Podle věty 7.5 je funkce f(x) integrabilní na a, b . Lze dokázat existenci integrálu pro širší třídu funkcí. Platí tato věta: podmínky existence b a f(x) dx Věta 7.17. (Věta III o existenci integrálu.) Nechť funkce f(x) je omezená na intervalu a, b a je na něm spojitá s případnou vyjímkou konečného počtu bodů nespojitosti. Potom je na a, b integrovatelná. Důkaz: Nechť funkce f(x) je spojitá ve všech bodech x a, b s případnou vyjímkou bodů {ci}n i=1, kde a = c1 < c2 < < cn-1 < cn = b. Položme di = 1 2 (ci + ci+1), i = 1, 2, . . . , n - 1. Uvažujme funkci f(x) na intervalech ci, di , i = 1, 2, . . . , n - 1. Mohou nastat tyto případy: () lim xc+ i f(x) = f(ci). Potom f(x) je na intervalu ci, di spojitá a tedy integrovatelná na ci, di . () lim xc+ i f(x) existuje, ale je různá od f(xi). Avšak funkce ~fi(x) = f(x) pro x (ci, di lim xc+ i f(x) pro x = ci je na intervalu ci, di spojitá a tedy integrovatelná. Podle věty 7.13 je i funkce f(x) na intervalu ci, di integrovatelná. () Neexistuje lim xc+ i f(x). Zvolme libovolné > 0 a číslo ~ci (ci, ci + 4M ), kde M = sup x ci,di |f(x)|. Funkce f je spojitá na intervalu (ci, di a tedy i na intervalu ~ci, di . Je tedy na něm integrovatelná. Podle věty 7.1 existuje dělení D intervalu ~ci, di tak, že S(f, D) - s(f, D) < 2 . Dělicí body tohoto intervalu označme ~ci = x2 < x3 < < xn < xn+1 = di. K tomuto dělení přidáme dělicí bod x1 = ci. Označme D dělení intervalu ci, di s dělicími body {xi}n+1 i=1 . Označme m1 = inf x x1,x2 f(x), M1 = sup x x1,x2 f(x). 235 7. Určitý integrál Potom S(f, D) = S(f, D) + M1(x2 - x1), s(f, D) = s(f, D) + m1(x2 - x1). Odtud dostáváme S(f, D) - s(f, D) = S(f, D) - s(f, D) + (M1 - m1)(x2 - x1). S ohledem na předešlé odhady platí S(f, D) - s(f, D) 2 + 2M(~ci - ci) = 2 + 2M 4M = . Podle věty 7.1 odtud plyne, že funkce f(x) je na intervalu ci, di integrovatelná pro i = 1, 2, . . . , n - 1. Podobně lze dokázat, že funkce f(x) je integrovatelná na každém intervalu di, ci+1 pro i = 1, 2, . . . , n - 1. Je tedy funkce f(x) integrovatelná na celém intervalu a, b . Poznámka. Funkce po částech spojitá na intervalu a, b je omezená na a, b s případnou výjimkou konečného počtu bodů nespojitostí. Příklad 7.5. Funkce f(x) = 2x cos 1 x + sin 1 x pro x (-1, 1), x = 0 0 pro x = 0 je podle příkladu 6.1 v bodě 0 nespojitá. Je na intervalu -1, 1 omezená, neboť 2x cos 1 x + sin 1 x 3. Je tedy na intervalu -1, 1 integrace schopna. 7.4 Výpočet Riemanova integrálu Věta 7.18. Nechť funkce f je integrovatelná na intervalu a, b . Nechť x0 a, b . Potom funkce F(x) = x x0 f(t) dt, je spojitá na a, b a v každém bodě x a, b , v němž je f(t) spojitá, má funkce F(x) derivaci a platí F (x) = f(x). (7.10) 236 Důkaz: Poněvadž f je integrovatelná na a, b , integrál x x0 f(t) dt existuje podle věty 7.4 pro každé x a, b . () Dokažme, že F(x) je spojitá na intervalu a, b . Zvolme c a, b) a dokažme, že F(x) je v bodě c spojitá zprava. Nechť h > 0 je takové číslo, že c + h b. Potom x0 c f(t) dt + c+h x0 f(t) dt = c+h x0 f(t) dt - c x0 f(t) dt. Tedy F(c + h) - F(c) = c+h c f(t) dt. Označíme-li M = sup x c,c+h |f(x)|, dostáváme |F(c + h) - F(c)| Mh. Zvolme > 0 a položme = M . Potom pro 0 h < je |F(c + h) - F(c)| Mh < M M = . Je tedy F(x) spojitá zprava v bodě c. Podobně se ukáže, že F(x) je spojitá zleva v každém bodě c (a, b . Je tedy F(x) spojitá na a, b . () Dokažme, že je-li funkce f(t) spojitá v bodě x a, b , potom platí F (x) = f(x). (V bodě a se F (x) chápe jako derivace zprava a v bodě b jako derivace zleva.) Předpokládejme, že funkce f(t) je v bodě c a, b) spojitá zprava. Nechť h > 0 je takové číslo, že c + h < b. Potom platí F(c + h) - F(c) h - f(c) = 1 h c+h c f(t) dt - c+h c f(c) dt . Odtud F(c + h) - F(c) h - f(c) 1 h c+h c |f(t) - f(c)| dt. (7.11) Zvolme libovolné > 0. Poněvadž funkce f(t) je spojitá v bodě c, existuje > 0 tak, že pro t c, c + ) je |f(t) - f(c)| < . Je-li 0 < h < , dostáváme 1 h c+h c |f(t) - f(c)| dt 1 h c+h c dt = , 237 7. Určitý integrál takže z (7.11) plyne F(c + h) - F(c) h - f(c) < . Je tedy lim h0+ F(c + h) - F(c) h = f(c), to jest F+ (c) = f(c). Poznámka. Nechť funkce f je spojitá na intervalu a, b . Nechť x0 a, b . Položme F(x) = x x0 f(t) dt. Nechť G(x) je funkce spojitá na a, b a nechť G (x) = f(x) pro x (a, b). Potom existuje konstanta C tak, že G(x) = F(x) + C. Skutečně. Položme H(x) = G(x) - F(x). Podle věty 7.18 a předpokladů této poznámky je H (x) = f(x) - f(x) = 0 pro x (a, b), takže existuje konstanta C tak, že H(x) = C pro x (a, b). Poněvadž H(x) je spojitá na a, b , platí lim xa+ H(x) = C, lim xbH(x) = C. Je tedy H(x) = C pro x a, b . Je tedy G(x) - F(x) = C, tj. G(x) = F(x) + C. Platí tato věta: Věta 7.19. Nechť funkce f je integrovatelná na a, b . Nechť dále , a, b . Označme F(x) = x x0 f(t) dt, x0 a, b je libovolné. 238 Potom existuje f(x) dx a platí f(x) dx = F() - F() = [F(x)] . Důkaz: Podle věty 7.5 platí f(t) dt = x0 f(t) dt + x0 f(t) dt = x0 f(t) dt - x0 f(t) dt. Je tedy f(t) dt = F() - F(). Poznámka. Nechť a = c1 < c2 < < cn-1 < cn = b. Nechť funkce f(x) je spojitá v každém intervalu (ci, ci+1), i = 1, 2, . . . , n - 1, a nechť v každém bodě ci, i = 2, 3, . . . , n, existuje vlastní limita lim xc+ i f(x) a v každém bodě ci, i = 1, 2, . . . , n - 1, existuje vlastní limita lim xc- i f(x). (To znamená, že funkce f(x) je na intervalu a, b po částech spojitá.) Nechť x0 a, b . Potom podle věty 7.18 je funkce F(x) = x x0 f(t) dt (7.12) spojitá na a, b . Je spojitá i na každém intervalu ci, ci+1 , i = 1, 2, . . . , n - 1. V každém vnitřním bodě ~x (ci, ci+1), i = 1, 2, . . . , n - 1, má funkce F(x) podle věty 7.18 derivaci F (~x) = f(~x). Je tedy funkce F(x) spojitá na intervalu ci, ci+1 , i = 1, 2, . . . , n - 1 a F (x) = f(x) pro x (ci, ci+1), i = 1, 2, . . . , n - 1. Pro , , x0 ci, ci+1 , i = 1, 2, . . . , n - 1, platí f(t) dt = x0 f(t) dt + x0 f(t) dt. (7.13) Tedy f(t) dt = x0 f(t) dt - x0 f(t) dt. 239 7. Určitý integrál Podle věty 7.19 je f(t) dt = F() - F(). (7.14) Nechť G(x) je libovolná spojitá funkce na intervalu ci, ci+1 , která je na intervalu (ci, ci+1) primitivní k funkci f(x). Potom podle výše uvedené poznámky existuje konstanta C tak, že G(x) = F(x) + C. Je tedy f(t) dt = G() - G(). (7.15) Jestliže tedy ci, ci+1 , cj, cj+1 pro i j, platí f(t) dt = ci+1 f(t) dt + j-1 k=i+1 ck+1 ck f(t) dt + cj f(t) dt. (7.16) Každý z integrálů na pravé straně (7.16) lze vypočíst podle (7.15). (Není nutno používat tutéž funkcí G(t).) Platí tedy Metoda výpočtu b a f(x) dx Věta 7.20. (Výpočet určitého integrálu) Nechť a, b R, a < b a nechť ci a, b jsou taková čísla, že a = c1 < c2 < < cn < cn+1 = b. Nechť f(x) je funkce omezená na intervalu a, b a nechť je spojitá v každém intervalu (ci, ci+1), i = 1, . . . , n. Nechť funkce Fi(x), i = 1, 2, . . . , n je primitivní k funkci f(x) na intervalu (ci, ci+1) a nechť je spojitá na ci, ci+1 . Potom b a f(x) dx = n i=1 (Fi(ci+1) - Fi(ci)). 240 Jestliže F(x) je funkce spojitá na a, b a jestliže je primitivní k funkci f(x) na každém intervalu (ci, ci+1), i = 1, . . . , n, potom b a f(x) dx = F(b) - F(a). Speciálním případem věty 7.19 je následující věta. (Srovnejte s definicí 7.1.) Věta 7.21. Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b a F(x) je libovolná primitivní funkce k funkci f(x) na a, b . Potom f(x) dx, , a, b existuje a platí f(x) dx = F() - F(). (7.17) Důkaz: Nechť x0 0, 1 . Označme G(x) = x x0 f(t) dt =. Podle věty 7.5 je f(x) dx = x0 f(x) dx + x0 f(x) dx = x0 f(x) dx - x0 f(x) dx. Podle věty (7.19) odtud plyne f(x) dx = G() - G(). (7.18) Poněvadž f(x) je spojitá na a, b , je podle věty 7.18 G (x) = f(x) pro x a, b . Je tedy G(x) primitivní k funkci f(x) na intervalu a, b . Existuje tedy c R tak, že G(x) = F(x) + c. Z (7.18) dostáváme pak f(x) dx = F() - F(). Příklad 7.6. Vypočítejme 3 2 (3x2 - 2x + 1) dx. Řešení. Funkce f(x) = 3x2 - 2x + 1 (7.19) je spojitá na intervalu 2, 3 . Funkce F(x) = x3 - x2 + x (7.20) 241 7. Určitý integrál je primitivní k funkci (7.19) na intervalu 2, 3 , takže podle věty 7.19 je 3 2 (3x2 - 2x + 1) dx = [x3 - x2 + x]3 2 = (33 - 32 + 3) - (23 - 22 + 2) = 15. Příklad 7.7. Nechť f(x) = 2x + 1 pro x 0, 1 , 2x pro x (1, 2 , 4 pro x (2, 4 . Vypočítejte A = 3,5 0,5 f(x) dx. Řešení: Funkce f(x) je po částech spojitá. Způsob 1. Určeme funkci F(x) = x x0 f(t) dt, např. pro x0 = 0, x 0, 4 . Položme F1(x) = x 0 (2t + 1) dt = [t2 + t]x 0 = x2 + x, x 0, 1 F2(x) = 1 0 (2t + 1) dt + x 1 2t dt = 2 + [t2 ]x 1 = 2 + x2 - 1 = x2 + 1, x (1, 2 F3(x) = 2 0 f(t) dt + x 2 4 dt = 5 + [4t]x 2 = 5 + 4x - 4 2 = 4x - 3, x (2, 4 Tedy F(x) = x2 + x pro x 0, 1 , x2 + 1 pro x (1, 2 , 4x - 3 pro x (2, 4 . Je tedy A = 3,5 0,5 f(x) dx = [F(x)]3,5 0,5 = (4 3,5 - 3) - (0,52 + 0,5) = 11 - 0,75 = 10,25. 242 Způsob 2. Integrál A = 3,5 0,5 f(t) dt napišme jako A = A1 + A2 + A3, kde A1 = 1 0,5 f(t) dt = 1 0,5 (2t + 1) dt = [t2 + t]1 0,5 = 1,25, A2 = 2 1 f(t) dt = 2 1 2t dt = [t2 ]2 1 = 3, A3 = 3,5 2 f(t) dt = 3,5 2 4 dt = [4t]3,5 2 = 6. Je tedy A = 1,25 + 3 + 6, takže A = 10,25. 7.4.1 Metoda per partes a metoda substituční pro výpočet určitého integrálu Ukažme si nyní věty pro výpočet určitého integrálu odpovídající metodě per partes a metodám substitučním pro výpočet neurčitého integrálu. metoda per partesVěta 7.22. (Metoda per partes.) Nechť funkce u(x), v(x) mají na intervalu a, b spojité derivace u (x), v (x). Potom platí b a u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)]b a - b a u(x)v (x) dx. Důkaz: Derivováním u(x)v(x) pro x a, b dostáváme (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x). Je tedy funkce u(v)v(x) primitivní k funkci u (x)v(x) + u(x)v (x) na a, b . Je tedy podle věty 7.21 b a (u (x)v(x) + u(x)v (x)) dx = [u(x)v(x)]b a (7.21) Užitím věty 7.7 lze levou stranu v (7.21) přepsat na tvar b a u (x)v(x) dx + b a u(x)v (x) dx. (7.22) 243 7. Určitý integrál Tedy z (7.21), (7.22) dostáváme b a u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)]b a - b a u(x)v (x) dx. Příklad 7.8. Vypočítejte hodnotu integrálu 2 0 x sin x dx. Řešení. a) K výpočtu použijeme metodu per partes 2 0 x sin x dx = u = sin x u = - cos x v = x v = 1 = = [-x cos x] 2 0 - 2 0 (- cos x) 1 dx = = - 2 cos 2 - (-0 cos 0) + [sin x] 2 0 = sin 2 = 1. b) Integrál lze řešit též tak, že určíme napřed x sin x dx. Použijeme metodu per partes. Dostáváme x sin x dx = u = sin x u = - cos x v = x v = 1 = = -x cos x + cos x dx = = -x cos x + sin x + c. Jako primitivní funkci k funkci x sin x zvolíme F(x) = -x cos x + sin x. Podle věty 7.21 pak dostáváme A = [-x cos x + sin x] 2 0 = 1. Příklad 7.9. Určeme In = 1 e 1 0 xn ex dx pro n = 1, 2, . . . , 20. 244 Řešení. K výpočtu použijeme metodu per partes. Dostáváme In = 1 e 1 0 xn ex dx = u = xn u = nxn-1 v = ex v = ex = = 1 e [xn ex ]1 0 - 1 0 nxn-1 ex dx . Tedy In = 1 - nIn-1. In lze vypočíst, známe-li In-1. Vypočítejme tedy I1. I1 = 1 e 1 0 xex dx = 1 e [xex ]1 0 - 1 0 ex dx = 1 e . Integrál In se tedy určí rekurentní formulí In = 1 - nIn-1, I1 = 1 e . (7.23) Uveďme si hodnoty In pro n = 1, 2, . . . , 20, obdržené numerickou realizací rekurentní formule (7.23) na počítači při výpočtech přibližně s 10 ciframi. Obdržíme např. I1 = 0,367879, I2 = 0,264241,. . . ,I20 = -200,0. Poněvadž integrand xn ex > 0 pro všechna n, je In > 0. Je tedy I20 evidentně chybný. Na tomto příkladě chci ukázat, že ne každý výpočtový postup dá při numerickém výpočtu dobrý výsledek, i když z matematického hlediska je postup správný. výpočet f((t)) (t) dt Věta 7.23. (I. věta o substituci.) Nechť funkce x = (t) má na intervalu , spojitou derivaci. Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu ( , ). Potom platí f((t)) (t) dt = () () f(x) dx. (7.24) Důkaz: Podle předpokladů je funkce f((t)) (t) spojitá na , a funkce f(x) je spojitá na intervalu ( , ). Tedy oba integrály v (7.24) existují. Nechť funkce F(x) je primitivní funkcí k funkci f(x) na intervalu ( , ). Poněvadž [F((t))] = F ((t)) (t) = f((t)) (t), je funkce F((t)) primi- 245 7. Určitý integrál tivní k funkci f((t)) (t) na , . Je tedy f((t)) (t) dt = [F((t))] = F(()) - F(()) (7.25) () () f(x) dx = F(()) - F(()) (7.26) Ze vztahů (7.25), (7.26) vyplývá rovnice (7.24). Příklad 7.10. Vypočítejte A = 4 2 t2 t3 + 2 dt. Zaveďme substituci x = (t), kde (t) = t3 + 2. Odtud (t) = 3t2 . Je tedy A = 4 2 t2 t3 + 2 dt = 1 3 4 2 t3 + 2 3t2 dt = = 1 3 (4) (2) x dx = 1 3 66 10 x dx = 1 3 2 3 x 3 2 66 10 , takže A = 2 9 ( 663 - 103), to jest A = 44 3 66 - 20 9 10. výpočet b a f(x) dx (substituce) Věta 7.24. (II. věta o substituci.) Nechť funkce x = (t) má na intervalu , spojitou derivaci (t) a nechť existuje inverzní funkce -1 (x) na intervalu o koncových bodech a = (), b = (). Potom platí b a f(x) dx = f((t)) (t) dt. Důkaz: Důkaz je analogický jako důkaz minulé věty. V této větě je další předpoklad ­ existence inverzní funkce t = -1 (x), takže ze vztahů a = (), 246 b = (b) lze určit , . Příklad 7.11. Vypočítejte A = 2 0 4 - x2 dx. Řešení. Zaveďme substituci x = (t), kde (t) = 2 sin t. Pro t 0, 2 je x = (t) 0, 2 . Funkce x = (t) má na intervalu 0, 2 spojitou derivaci (t) = 2 cos t. K funkci x = (t) existuje funkce inverzní t = -1 (x) = arcsin x 2 . Podle věty 7.24 platí A = 2 0 4 - x2 dx = 2 0 4 - 4 sin2 t 2 cos t dt = 2 0 2 cos t 2 cos t dt = = 4 2 0 cos2 t dt = 4 2 0 1 + cos 2t 2 dt = 2 t + 1 2 sin 2t 2 0 = = 2 2 + 1 2 sin - 0 - 1 2 sin 0 = . Je tedy A = . Poznámka. Příklady 7.10 a 7.11 lze počítat i použitím věty 7.21 7.5 Nevlastní integrály Při zavádění určitého integrálu z funkce f(x) jsme předpokládali, že 1. a, b jsou reálná (konečná) čísla, 2. f(x) je omezená na a, b . Zavedeme si nyní integrály pro případy, že tyto předpoklady nebudou splněny. To vede k zavedení tzv. nevlastních integrálů. Není-li funkce omezena, mluvíme o nevlastním integrálu vzhledem k funkci. Jsou-li jedno nebo obě čísla a, b nevlastní, mluvíme o nevlastním integrálu vzhledem k intervalu. nevlastní integrály vzhledem k intervalu Nevlastní integrály vzhledem k intervalu Definujme integrály a f(x) dx, b f(x) dx, f(x) dx takto: 247 7. Určitý integrál Integrál a f(x) dx. Nechť funkce f je integrabilní v každém intervalu a, X , X R. Potom a f(x) dx nazýváme nevlastním integrálem vzhledem k intervalu. Tyto integrály dělíme do dvou skupin. a) Jestliže existuje lim X X a f(x) dx, (7.27) nazýváme a f(x) dx konvergentním a hodnotu limity (7.27) hodnotou nevlastního integrálu a f(x) dx. b) Jestliže neexistuje limita (7.27), nazýváme a f(x) dx divergentním. Divergentní integrály pak zařazujeme dále do těchto skupin. ) Jestliže lim X X a f(x) dx = (-), říkáme, že a f(x) dx diverguje k + (-). ) Jestliže lim X X a f(x) dx neexistuje a není ani ani -, říkáme, že nevlastní integrál a f(x) dx osciluje. Význam definice a f(x) dx je patrný z obrázku 7.7. a X y = f(x) Obrázek 7.7: Definice nevlastního integrálu a f(x) dx. 248 Příklad 7.12. Vyšetřete integrál A = 1 dx x2 + 1 . Počítejme lim X X 1 dx x2 + 1 = lim X [arctg x]X 1 = lim X (arctg X - arctg 1) = = 2 - 4 = 4 . Tedy 1 dx x2+1 je konvergentní a jeho hodnota je 4 . Píšeme 1 dx x2 + 1 = 4 . Integrál b f(x) dx. Nechť funkce f(x) je integrabilní v každém intervalu X, b . Potom b f(x) dx nazýváme nevlastním integrálem vzhledem k intervalu. Tyto integrály dělíme do dvou skupin. a) Jestliže existuje lim X- b X f(x) dx, (7.28) nazýváme integrál b f(x) dx konvergentním a hodnotu limity (7.28) hodnotou nevlastního integrálu b f(x) dx. b) Jestliže neexistuje limita (7.28), nazýváme b f(x) dx divergentním. Divergentní integrály zařazujeme pak do dvou skupin. ) Jestliže lim X- b X f(x) dx = (-), říkáme, že b f(x) dx diverguje k = (-). ) Jestliže 249 7. Určitý integrál lim X- b X f(x) dx neexistuje a není ani -, říkáme, že nevlastní integrál b f(x) dx osciluje. Integrál f(x) dx. Zvolme c R. Řekneme, že f(x) dx konverguje když a jenom když konvergují oba integrály c f(x) dx, c f(x) dx. Konvergují-li oba tyto nevlastní integrály, jejich součet pak nazveme hodnotou integrálu f(x) dx, to jest f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Hodnota f(x) dx nezávisí na volbě čísla c. Ostatní pojmy jsou analogické jako u a f(x) dx. Příklad 7.13. Vyšetřete integrál x dx x2 + 1 . Zvolme c = 0. Vyšetřeme tedy integrály 0 x dx x2 + 1 , 0 x dx x2 + 1 . Zřejmě 0 x dx x2 + 1 = lim X- 0 X x dx x2 + 1 = 1 2 lim X- [ln(x2 + 1)]0 X = -. Podobně 0 x dx x2+1 = . Tedy x dx x2+1 diverguje. 250 nevlastní integrály vzhledem k funkci Nevlastní integrály vzhledem k funkci Nechť a, b R, a < b. Nechť funkce f(x) je definovaná na a, b a nechť není na něm omezena. Potom b a f(x) dx se nazývá nevlastním integrálem vzhledem k funkci. Předpokládejme, že f(x) není omezena na a, b , ale je omezena na každém intervalu a + , b , kde 0 < < b - a. Vyšetřujme lim 0+ b a+ f(x) dx. (7.29) Jestliže tato limita existuje a je vlastní, nazýváme ji hodnotou nevlastního integrálu b a f(x) dx a píšeme b a f(x) dx = lim 0+ b a+ f(x) dx. Jestliže limita (7.29) neexistuje nebo je nevlastní, potom nazýváme integrál b a f(x) dx divergentním. Říkáme též, že diverguje. Divergentní integrály dělíme pak do dvou skupin. ) Jestliže lim 0+ b a+ f(x) dx = (-), říkáme, že b a f(x) dx diverguje k = (-). ) Jestliže limita (7.29) neexistuje ani jako nevlastní, říkáme, že in- tegrál b a f(x) dx osciluje. Podobně se vyšetřuje integrál b a f(x) dx, kde f(x) není na a, b omezena, ale je omezena v každém intervalu a, b - , kde 0 < < b - a. Definujeme pak b a f(x) dx = lim 0+ b- a f(x) dx. Příklad 7.14. Vyšetřete konvergenci integrálu 1 0 dx x . 251 7. Určitý integrál Řešení. Funkce 1 x není omezena na intervalu (0, 1 . Je však omezena na každém intervalu , 1 , kde 0 < < 1. Počítejme lim 0+ 1 dx x = lim 0+ [ln x]1 = lim 0+ (ln 1 - ln ) = . Daný integrál diverguje k . Příklad 7.15. Vyšetřete konvergenci integrálu 1 0 dx 1 - x . Funkce 1 1-x není omezena na intervalu 0, 1). Je však omezena na intervalu 0, 1 - pro každé , pro něž 0 < < 1. Počítejme A = lim 0+ 1- 0 dx 1 - x . Dostáváme A = lim 0+ -2 1 - x 1- 0 = -2 lim 0+ - 1 = 2. Tedy 1 0 dx 1-x = 2. Integrál konverguje. Poznámka. Jiné nevlastní integrály b a f(x) dx převádíme na součet nevlastních integrálů nahoře uvedených typů. 7.6 Numerický výpočet určitého integrálunumerický výpočet určitého integrálu Uvedli jsme si třídy funkcí integrace schopných na daném intervalu. Primitivní funkce některých funkcí, i když jsou na první pohled jednoduché, nelze vypočítat užitím elementárních funkcí. Jako příklad uveďme 1 0 sin x x dx. Někdy je zapotřebí integrovat funkce, jejichž analytické vyjádření neznáme, známe jen jejich funkční hodnoty v určitých bodech. Integrály z takovýchto funkcí počítáme numericky. V dalším textu si nastíníme některé metody numerického řešení určitého integrálu. Věta 7.3 nabízí náhradu b a f(x) dx Riemanovým integrálním součtem. Jestliže známe jenom hodnoty integrandu f(x) v bodech i a, b , i = 1, 2, . . . , n, zvolíme body xi, i = 1, 2, . . . , n, tak, že a = x1 < x2 < < xn < xn+1 = b, i xi, xi+1 , i = 1, 2, . . . , n. 252 Potom položíme b a f(x) dx n i=1 f(i)(xi+1 - xi). (7.30) Tato aproximace b a f(x) dx nevypovídá nic o chybě aproximace. Chybu lze odhadnout jen v případě, že máme další informace o funkci f(x). Obdélníková metoda výpočtu b a f(x) dx. Předpokládejme, že známe analytické vyjádření funkce f(x) na a, b . Rozdělme interval a, b na n částečných intervalů délky h = b-a n , kde n N je zvolené číslo. Položme xi = a+(i-1)h, i = 1, 2, . . . , n+1. Nechť funkce f(x) má na intervalu a, b spojitou derivaci f (x). Označme M1 = max |f (x)| pro x a, b . Označíme-li fi = f(xi), i = 1, 2, . . . , n, platí b a f(x) dx = h(f1 + f2 + + fn) + R, (7.31) b a f(x) dx = h(f2 + f3 + + fn+1) + ~R, (7.32) kde R, ~R sice neznáme, ale lze ukázat, že |R| M1(b - a)h, | ~R| M1(b - a)h. Zanedbáme-li v (7.31), resp. (7.32) hodnotu R, resp. ~R, dostáváme pro výpočet b a f(x) dx b a f(x) dx h(f1 + f2 + + fn), (7.33) resp. b a f(x) dx h(f2 + f3 + + fn+1). (7.34) Vzorce (7.33), (7.34) nazýváme obdélníkovou metodou výpočtu b a f(x) dx. Jejich použitím se dopouštíme chyby R, resp. ~R. V případě, že f(x) je polynom stupně 0, tj. f(x) = konst., potom M1 = 0, takže R = ~R = 0. Tedy obdélníkové metody jsou přesné pro polynomy stupně 0. 253 7. Určitý integrál Lichoběžníková metoda na výpočet b a f(x) dx. Předpokládejme, že známe analytické vyjádření funkce f(x) na a, b . Rozdělme interval a, b na n částečných intervalů délky h = b-a n , kde n N je zvolené číslo. Položme xi = a + (i - 1)h, i = 1, 2, . . . , n + 1. Nechť funkce f(x) má na a, b spojitou druhou derivaci f (x). Označme M2 = max |f (x)| pro x a, b . Označíme-li fi = f(xi), i = 1, 2, . . . , n + 1, potom platí b a f(x) dx = h 2 (f1 + 2f2 + 2f3 + + 2fn + fn+1) + R, (7.35) kde R sice neznáme, ale lze dokázat, že |R| b - a 12 M2h2 . (7.36) Zanedbáme-li v (7.35) hodnotu R, dostáváme b a f(x) dx h 2 (f1 + 2f2 + 2f3 + + 2fn + fn+1). (7.37) Tento vzorec nazýváme lichoběžníkovou metodou výpočtu b a f(x) dx. Jejím použitím se dopouštíme chyby R, jejíž odhad je uveden v (7.36). V případě, že f(x) je polynom stupně 1, t.j. jestliže f(x) = Ax + B, kde A, B R, je f (x) = 0, takže M2 = 0. Ze vztahu (7.36) pak vyplývá, že R = 0. Je tedy lichoběžníková metoda přesná pro polynomy 1. stupně. Vzorec (7.37) obdržíme jako průměrnou hodnotu b a f(x) dx ze vztahů (7.31), (7.32). Simpsonova metoda na výpočet b a f(x) dx. Předpokládejme, že známe analytické vyjádření funkce f(x) na a, b . Rozdělme interval a, b na 2n (t.j. na sudý počet) částečných intervalů délky h = b-a 2n , kde n N je zvolené číslo. Položme xi = a + (i - 1)h, i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Nechť funkce f(x) má na a, b spojitou derivaci 4. řádu. Označme M4 = max |f(4) (x)| 254 pro x a, b . Položme opět fi = f(xi), i = 1, 2, . . . , 2n + 1. Funkci f(x) na a, b aproximujeme funkcí ~f(x), definovanou takto ~f(x) = Pi 3(x), x xi, xi+2 , i = 1, 3, . . . , 2n - 1, (7.38) kde Pi 3(x) je polynom stupně 2, který je určen těmito podmínkami (viz. obr. 7.8) Pi 3(xi) = fi, Pi 3(xi+1) = fi+1, Pi 3(xi+2) = fi+2. (7.39) xi xi+1 xi+2 Pi 3(x) f(x) Obrázek 7.8: Aproximace f(x) polynomem Pi 3(x). Výpočet b a f(x) dx aproximujeme výpočtem b a ~f(x) dx. Platí pak b a f(x) dx = b - a 6n (f1 +4f2 +2f3 +4f4 +2f5 + +2f2n-1 +4f2n +f2n+1)+R, (7.40) kde R sice přesně neznáme, avšak lze dokázat, že |R| b - a 180 M4h4 . (7.41) Zanedbáním R dostáváme tzv. Simpsonův vzorec pro výpočet b a f(x) dx b a f(x) dx b - a 6n (f1 +4f2 +2f3+4f4 +2f5 + +2f2n-1+4f2n +f2n+1). (7.42) Jestliže f(x) je polynom stupně 3, je f(4) (x) = 0, takže R, určeno vztahem (7.41), je rovno 0. Je tedy Simpsonova metoda přesná pro polynomy stupně 3. 255 7. Určitý integrál Příklad 7.16. Vypočítejte integrál 2 1 sin x x dx a) lichoběžníkovou metodou pro n = 4, b) Simpsonovou metodou pro 2n = 4. Řešení. Interval 1, 2 rozdělíme na 4 částečné intervaly délky h = 2-1 4 = = 0,25. Položme x1 = 1; x2 = 1,25; x3 = 1,5; x4 = 1,75; x5 = 2. Označme f(x) = sin x x . Položme f(xi) = fi, i = 1, 2, 3, 4, 5. Dostáváme xi 1 1,25 1,5 1,75 2 fi 0,8415 0,7592 0,6650 0,5623 0,4546 Je tedy a) 2 1 sin x x dx = = 0,25 2 (0,8415 + 2 0,7592 + 2 0,6650 + 2 0,5623 + 0,4546) = 0,6586, b) 2 1 sin x x dx = = 1 12 (0,8415 + 4 0,7592 + 2 0,6650 + 4 0,5623 + 0,4546) = 0,6593. 7.7 Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly V této kapitole se zavádí definicí 7.2 určitý integrál b a f(x) dx, kde a < b. Větu 7.2 by bylo možno použít jako alternativu k zavedení určitého integrálu pomocí integrálních součtů. Dále se definicí 7.3 rozšiřuje definice integrálu b a f(x) dx pro případ a = b, a > b. Ve větách 7.7­7.11 se uvádějí důležité vlastnosti určitého integrálu b a f(x) dx. 256 V podkapitole 7.3 se uvádějí třídy funkcí, které jsou integrace schopné. Věta 7.21 udává způsob výpočtu určitého integrálu pro dostatečně širokou třídu funkcí. Dále jsou uvedeny metody per partes a metoda substituční pro výpočet určitého integrálu. Určitý integrál je dále zobecněn na integrály nevlastní a to na nevlastní integrály vzhledem k intervalu a na nevlastní integrály vzhledem k funkci. V kapitole jsou nastíněny některé numerické metody na řešení určitého in- tegrálu. Úlohy 1. Vysvětlete zavedení určitého integrálu b a f(x) dx. 2. Vyslovte věty o existenci b a f(x) dx. 3. Vysvětlete výpočet b a f(x) dx pomocí primitivních funkcí. 4. Vysvětlete metodu per partes pro výpočet určitého integrálu. 5. Vyslovte větu o výpočtu určitého integrálu substitucí. 6. Co jsou to nevlastní integrály? Jak je dělíme a jak je počítáme? 7. Co víte o numerickém řešení určitého integrálu? 8. Vypočítejte hodnotu integrálu a) 2 0 (3x3 - 2x + 5) dx [18] b) 2 -3 (3x3 - x2 + 1) dx [-665 12 ] c) 2 0 sin x dx [0] d) b a ex dx [eb - ea ] e) 2 1 (x + 1 x ) dx [3 2 + ln 2] f) 2 1 ( x + 1 x )2 dx [ln 2 + 7 2 ] g) 2 1 ( 3 x + 1)3 dx [-31 20 + 18 5 3 4 + 9 2 3 2] h) 4 - 4 (tg x - 2 cotg x) dx [neexistuje] 9. Vypočítejte hodnotu integrálu a) 0 x sin x dx [] 257 7. Určitý integrál b) 2 0 x2 cos x dx [4] c) 2 1 xex dx [e2 ] d) 4 2 (x ln x + 3) dx [14 ln 2 + 3] e) 1 0 x2 arctg x dx [ 12 - 1 6 + 1 6 ln 2] 10. Vypočítejte hodnotu integrálu a) 2 1 dx 1+x [ln 3 - ln 2] b) 1 2 x+1 x2+x+1 dx [-1 2 ln 7 - 3 3 arctg 5 3 3 + 1 2 ln 3 + 1 9 3] c) 3 2 2 dx x-4 [-2 ln 2] d) 1 0 dx x2-5x+6 [2 ln 2 - ln 3] e) 2 1 x4+1 x3+1 dx [3 2 + 1 3 ln 3 - 2 3 ln 2] f) 1 2 0 3x 1 - x2 dx [-3 8 3 + 1] g) 3 2 dx x(x2+1)2 [- 1 20 + ln 3 - 3 2 ln 2] 11. Vypočítejte hodnotu integrálu a) 2 4 sin3 x cos x dx [ 3 16 ] b) 1 0 xe2x2 dx [1 4 e2 - 1 4 ] c) 4 1 x x+1 dx [4 3 5 + 2 3 2] d) 4 x2 sin(x3 ) dx [-1 3 cos(3 ) + 1 3 cos(3 64 )] 12. Vypočítejte hodnotu integrálu a) 1 0 x2+1 x dx [12 5 ] b) 2 1 3 dx 2-x [6] c) 1 dx x2+1 [ 4 ] d) 0 dx x2+2 [1 4 2] 258 e) 1 dx x(x+1) [ln 2] 13. Vypočítejte hodnotu integrálu, pokud existuje a) 2 2 dx (x-1)2 [2] b) 0 dx x+2 [diverguje k +] c) 2 dx x2 [1 2 ] d) 1 0 ln x dx [-1] e) 2 dx x-1 [diverguje] f) 1 0 dx x2+x dx [diverguje k +] g) 2 1 x x-1 dx [8 3 ] 14. Vypočítejte numericky integrály zadané v 10f) a v 11c) obdélníkovou a Simpsonovou formulí a porovnejte obdrženou hodnotu s přesným výsledkem. 259 7. Určitý integrál 260 Limita a spojitost funkcí více proměnných Parciální derivace Totální diferenciál a Taylorova věta Extrémy funkcí více proměnných Shrnutí, úlohy Funkce n­proměnných 8 8. Funkce n­proměnných Cíl kapitoly Seznámit se s pojmy vnitřní bod, hromadný bod, hraniční bod a izolovaný bod množiny, zavést pojem oblasti a uzavřené oblasti. Seznámit se s pojmem limity a spojitosti funkce více proměnných. Seznámit se s pojmem parciálních derivací funkcí více promměných. Časová zátěž 20 hodin Zavedení několika základních pojmů Uvažujme prostor En. V postoru En lze zavést metriku rozmanitým způsobem. Omezíme se zde na dvě metriky, označme je 2, 3. Jestliže A = [a1, . . . , an] En, B = [b1, . . . , bn] En, potom 2(A, B) = (b1 - a1)2 + + (bn - an)2, (8.1) 3(A, B) = max i=1,...,n |ai - bi|. (8.2) Většinou budeme pracovat s metrikou definovanou vztahem (8.1) Tam, kde není třeba dělat rozdílu mezi 2, 3 budeme vzdálenost označovat . Okolí bodu v En Zaveďme si pojem okolí bodu A = [a1, . . . , an] En. Okolí bodu Nechť A En, > 0, je metrika v En. Potom množinu U = {X En : (A, X) < } nazveme ­okolím bodu A. Na obrázku 8.1 je znázorněno ­okolí bodu A E2 pomocí metriky 2 a na obr. 8.2 je znázorněno ­okolí bodu A pomocí metriky 3. x1 x2 A[a1, a2] 0 Obrázek 8.1: Okolí U(A) = {X E2 : 2(A, X) < }. 262 x1 x2 A[a1, a2] 0 a2 + a2 a2 - a1 - a1 a1 + Obrázek 8.2: Okolí U(A) = {X E2 : 3(A, X) < }. Připomeňme, že jsme zavedli množinu R = R {-, }. Definovali jsme okolí U(a) pro a R vztahem U(a) = {x R : |x - a| < }. Zde |x - a| je vzdálenost bodů a, x, tedy (a, x) = |x - a|. Tato metrika je totožná s metrikou 2, resp. 3 pro n = 1. Dále jsme definovali U() a U(-) takto. Nechť R. Potom U() = (, ) a U(-) = (-, ). Vnitřní bod, hromadný bod a hraniční bod množiny M En vnitřní bod vnější bod Nechť M En. Bod A En nazveme vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje > 0 tak, že U(A) M. Bod B En nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže existuje > 0 tak, že U(B) M = , to jest, jestliže žádný bod tohoto okolí nepatří do množiny M. Viz obr. 8.3. MA B H x y Obrázek 8.3: Vnitřní, vnější a hraniční bod množiny. 263 8. Funkce n­proměnných hromadný bod Nechť M En. Bod L En nazveme hromadným bodem množiny M, jestliže v každém jeho okolí leží bod množiny M různý od L (viz obr. 8.4). Bod L může, ale nemusí patřit do množiny M. 11 2 1 3 1 4 x1 x2 0 L Obrázek 8.4: Hromadný bod množiny. izolovaný bod Bod A M En nazýváme izolovaným, jestliže existuje takové okolí U(A), že U(A) M = {A}. hraniční bod otevřená množina oblast Nechť M En. Bod H se nazývá hraničním bodem množiny M, jestliže v každém jeho okolí leží body, které patří do množiny M a body které nepatří do M. Množinu všech hraničních bodů množiny M nazýváme hranicí množiny M. Množinu M En nazýváme otevřenou, jestliže všechny její body jsou jejími vnitřními body. Obsahuje-li množina M En všechny své hraniční body, nazývá se uzavřenou. Množinu M nazveme oblastí, jestliže je otevřená a jestliže ke každým dvěma bodům A, B M existují body P1, P2, . . . , Pm tak, že P1 = A, Pm = B a každá z úseček PiPi+1 leží v M. Příkladem oblasti je množina {X En : (A, X) < }, kde A je daný bod a je dané kladné číslo. Poznámka 1. Každý hraniční bod množiny M je jejím hromadným bodem. Opak vždy neplatí. Na obr. 8.3 je bod A hromadným bodem množiny M, ale není jejím hraničním bodem. 8.1 Limita a spojitost funkcí více proměnných Před započetím studia této podkapitoly si zopakujte pojmy limita funkce jedné proměnné v bodě, spojitost funkce jedné proměnné v bodě, věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí a též větu o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu dvou funkcí jedné proměnné. Připomeňme si pojem reálné funkce n­proměnných. Nechť n N, D En. Potom zobrazení f množiny D do E1 nazýváme reálnou funkcí n-proměnných. Označíme-li X = [x1, x2, . . . , xn] En, lze tuto funkci zapsat jako z = f(x1, x2, x3, x4), resp. z = f(X). Nemůže-li dojít k omylu, budeme často v další části textu místo termínu 264 " reálné funkce n-proměnných" používat jednoduše termín " funkce". Poznámka. Proměnné funkcí n-proměnných budeme většinou označovat x1, x2, . . . , xn. Je-li těchto proměnných jen několik, někdy pro jejich označení použijeme např. označení x, y, z, u, t nebo označení obvyklé příslušné apli- kaci. Poznámka. Je-li f funkce n-proměnných zadaná předpisem bez uvedení definičního oboru, rozumíme jejím definičním oborem množinu všech bodů [x1, . . . , xn] En, pro něž má uvedený předpis význam. Příklad 8.1. Určete definiční obor funkce z = 4 - x2 - y2 + ln(1 - x - y). (8.3) Řešení. Poněvadž definiční obor funkce (8.3) není uveden, rozumí se jím množina všech bodů [x, y], pro něž lze výraz na pravé straně (8.3) vypočítat. Zřejmě jsou to ty body [x, y], pro něž platí 4 - x2 - y2 0 1 - x - y > 0. (8.4) Odtud dostáváme x2 + y2 4 x + y < 1. (8.5) Rovnicí x2 +y2 = 4 je definovaná kružnice k se středem v počátku o poloměru 2. Označme A1 E2 množinu těch bodů [x, y], které leží uvnitř kružnice k a A2 E2 množinu těch bodů, které leží vně kružnice k. Poněvadž bod [0, 0] A1 vyhovuje nerovnici x2 + y2 < 4, (8.6) všechny body z A1 vyhovující rovněž nerovnici (8.6) a všechny body [x, y] A2 vyhovují nerovnici x2 + y2 > 4. (8.7) Nerovnici x2 + y2 4 vyhovují tedy všechny body [x, y] E2, které leží uvnitř a na kružnici k. Rovnicí x + y = 1 je definovaná přímka, která protíná osu x v bodě [1, 0] a osu y v bodě [0, 1]. Tato přímka rozděluje rovinu (0xy) na dvě poloroviny B1, B2. Označení volme tak, že počátek 0 = [0, 0] B1. Poněvadž bod [0, 0] vyhovuje nerovnici x + y < 1, (8.8) vyhovují nerovnici (8.8) všechny body [x, y] B1 a pro body [x, y] B2 platí x + y > 1. Je tedy definičním oborem funkce (8.3) množina všech bodů [x, y] B1, které leží uvnitř a na obvodu kružnice k. Viz obr. 8.5. Poznámka. Uvažujme funkci jedné proměnné z = 3x1 + 1. (8.9) 265 8. Funkce n­proměnných x y k 1 2 1 2 0[0, 0] Obrázek 8.5: Definiční obor funkce (8.3) Tuto funkci lze přepsat na tvar, obsahující více proměnných, např. na funkci z = 3x1 + 0x2 + 0x3 + 1. (8.10) Potom (8.10) a tedy i (8.9) lze chápat jako funkci tří proměnných x1, x2, x3. Budeme říkat, že funkce (8.9) vznikla z (8.10) vypuštěním nevýznamných proměnných x2, x3, resp. že funkce (8.10) vznikla z (8.9) přidáním nevýznamných proměnných x2, x3. Definice 8.1. Nechť z = f(x1, . . . , xn), pro [x1, . . . , xn] D En, z = g(x1, . . . , xn, . . . , xm), pro [x1, . . . , xm] ~D Em, m > n, a nechť f(x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn, . . . , xm) pro [x1, . . . , xm] ~D. Potom říkáme že funkce f vznikla vypuštěním nevýznamných proměnných funkce g, resp., že funkce g vznikla přidáním nevýznamných proměnných k proměnným funkce f. Limita funkce limita funkce Zaveďme si nyní pojem limity reálné funkce n proměnných. Definice 8.2. (Limita funkce) Nechť n N. Označme X = [x1, . . . , xn] En. Řekneme, že funkce z = f(x1, . . . , xn), 266 má v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n] En limitu A a píšeme lim XX0 f(X) = A, A R , jestliže ke každému U(A) existuje takové číslo > 0, že 1. funkce f(X) je definovaná pro všechna X U(X0 ), X = X0 , 2. pro tato X platí f(X) U(A). Z obr. 8.6 je patrný význam definice lim XX0 f(X) = A, kde A E1. X0 X U(X0 ) A + A f(X) A - f E1 U(A) Obrázek 8.6: lim XX0 f(X) = A, A R. Poznámka. V bodě X0 funkce f může, ale nemusí být definovaná. Je-li v něm definovaná, nemusí být f(X0 ) rovno A. Z obr. 8.7 je patrný význam definice lim XX0 f(X) = a z obr. 8.8 je patrný význam definice lim XX0 f(X) = -. Příklad 8.2. Ukažme, že lim [x,y][0,0] 1 x2 + y2 = . Řešení. -okolí definujeme pomocí Euklidovy vzdálenosti. Zvolíme > 0. Položme = 1 . Potom pro [x, y] U([0, 0]), [x, y] = [0, 0], je funkce z = 267 8. Funkce n­proměnných X0 X U(X0 ) f(X) f E1 U() Obrázek 8.7: Nevlastní limita lim XX0 f(X) = X0 X f(X) f E1 U(-) U(X0 ) Obrázek 8.8: Nevlastní limita lim XX0 f(X) = - 1 x2+y2 definovaná a platí pro ně x2 + y2 < 2 , to jest x2 + y2 < 1 . Přechodem k reciprokým hodnotám dostáváme 1 x2 + y2 > . Tedy 1 x2+y2 U(), takže lim [x,y][0,0] 1 x2 + y2 = . Příklad 8.3. Nechť f(x, y) = x2 + y2. Definičním oborem této funkce je D = E2. Dokažme, že lim [x,y][3,4] x2 + y2 = 5. Řešení. Skutečně, zvolme > 0. Položme = . Nechť [x, y] U([3, 4]), [x, y] = [3, 4]. Zaveďme pomocné proměnné h, k vztahy: x = 3 + h, y = 4 + k. Je tedy (x - 3)2 + (y - 4)2 = h2 + k2 , ([3, 4], [x, y]) = h2 + k2 < . Potom x2 + y2 = 32 + 42 + 6h + 8k + h2 + k2 25 + 2|3h + 4k| + h2 + k2 . 268 Užitím Cauchyovy nerovnice dostaneme |3h + 4k| 32 + 42 h2 + k2. Je tedy x2 + y2 52 + 2 25 h2 + k2 + h2 + k2 5 + h2 + k2 2 . Úpravou dostaneme x2 + y2 < 5 + = 5 + . Odtud x2 + y2 - 5 < . Je tedy lim [x,y][3,4] x2 + y2 = 5. Zaveďme si nyní pojem spojitosti funkce f(x) n­proměnných, n N, v bodě X0 . spojitost funkce v bodě Definice 8.3. (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce z = f(X) n­proměnných je spojitá v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n], jestliže je v bodě X0 definovaná, má v bodě X0 limitu a platí lim XX0 f(X) = f(X0 ). Příklad 8.4. Funkce f(x, y) = x2 + y2 je spojitá v bodě [3, 4]. Skutečně. V příkladě 8.3 jsme ukázali, že lim [x,y][3,4] x2 + y2 = 5 = f(3, 4). rozšíření pojmů limita, spojitost Limita a spojitost funkce vzhledem k množině Uvědomme si, že úvahy o funkcích n­proměnných, kde n N, zahrnují v sobě i úvahy o funkcích jedné proměnné (pro n = 1). Některé úvahy, které jsme uvedli pro funkce jedné proměnné, zobecníme pro funkce více proměnných. Otevřený interval (a, b) lze chápat jako oblast v prostoru E1. Koncové body intervalu jsou jeho hraničními body. Hledejme nyní analogii limity zprava (zleva) v levém (v pravém) koncovém bodě intervalu funkce definované na uvažovaném intervalu. 269 8. Funkce n­proměnných V prostoru En, n N, jsme nedefinovali limitu funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru. Definici 8.2 limity ve vnitřních bodech definičního oboru nemůžeme aplikovat např. na limitu funkce z = f(x, y), kde f(x, y) = 1 xy , v bodech na ose x, resp na ose y. Definičním oborem této funkce je totiž množina všech bodů [x, y], kde x = 0 y = 0. Body [x0, 0] a body [0, y0] jsou hraničními body definičního oboru funkce f(x, y) = 1 xy . Funkce f(x, y) není definovaná v žádném okolí těchto bodů. Zobecníme tedy definici limity funkce definované na množině D En pro všechny hromadné body množiny D. Definice 8.4. (Limita funkce vzhledem k množině) Nechť n N a nechť D En je definiční obor funkce z = f(x1, . . . , xn). Nechť X0 = [x0 1, . . . , x0 n] je hromadným bodem množiny D. Řekneme, že funkce f(X), X = [x1, . . . , xn], má v bodě X0 limitu vzhledem k D rovnu A R , jestliže k libovolnému okolí U(X0 ) existuje číslo > 0 tak, že pro všechny body X (U(X0 ) - {X0 }) D je f(X) U(A). Píšeme pak lim XD X0 f(X) = A. (8.11) Význam této definice je objasněn na obr. 8.9 pro n = 2. Funkce z = f(X) je definovaná na oblasti D. Jestliže X0 je vnitřním bodem oblasti D, potom zřejmě lim X D X0 f(X) = lim XX0 f(X). Jestliže H je hraničním bodem oblasti D, potom limXX0 f(X) neexistuje ve smyslu definice 8.2, neboť v každém ­okolí bodu H leží body X = H, v nichž funkce f(X) není definovaná. Avšak lim X D H f(X) může existovat, poněvadž funkce f(X) je definovaná na množině U(H) D - {H} vyznačené šedě na obr. 8.9. 270 X0 HD U(X0 ) U(H) x1 x2 0 Obrázek 8.9: Poznámka 1. Dokažte si platnost tohoto tvrzení: Nechť X0 je hromadným bodem množiny D. Potom platí lim X D X0 f(X) = A Pro každou množinu M D s hromadným bodem X0 platí lim X M X0 f(X) = A. Vzhledem k této vlastnosti můžeme vyslovit definici limity funkce f(X) vzhledem k množině, která je ekvivalentem definice 8.4. Věta 8.1. (Ekvivalentní vyjádření limity funkce) Nechť n N a nechť D En je definiční obor funkce z = f(x1, . . . , xn). Nechť X0 = [x0 1, . . . , x0 n] je hromadným bodem množiny D. Potom platí T1 T2, kde T1, T2 mají tento význam: T1: lim XD X0 f(X) = A, A R T2: Jestliže {Xk } k=1, Xk = X0 , je posloupnost bodů z D, která konverguje k bodu X0 , potom posloupnost {f(Xk )} k=1 konverguje k A. Důkaz: ) Nechť platí T1. Dokažme, že pak platí T2. Poněvadž lim X D X0 f(X) = A, k libovolnému okolí U(A) existuje > 0 tak, že pro X U(X0 ) D, X = X0 , je f(X) U(A). Jestliže {Xk } k=1, Xk = X0 , je libovolná posloupnost bodů z D, která konverguje k X0 , potom k uvedenému číslu existuje k0 tak, že pro k > k0 je (Xk , X0 ) < . Tedy body Xk pro k > k0 leží v U(X0 ) D - {X0 }. Platí tedy pro ně f(Xk ) U(A), takže {f(Xk )} k=1 konverguje k A. 271 8. Funkce n­proměnných ) Nechť platí T2. Dokažme, že pak platí T1. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že platí T2 a neplatí T1, to jest, že funkce f(X) nemá v bodě X0 limitu rovnu A. Pak existuje > 0 tak, že pro každé = 1 k lze určit Xk D, Xk = X0 , tak, že (Xk , X0 ) < = 1 k , avšak f(Xk ) U(A). (8.12) Takto konstruovaná posloupnost bodů {Xk} k=1 konverguje k bodu X0 a tedy podle T2 posloupnost {f(Xk } k=1 konverguje k A. To je však ve sporu s (8.12). Věta 8.2. (Limita součtu, součinu a podílu funkcí) Nechť n N a nechť D En je definiční obor funkcí f(X), g(X). Nechť X0 je hromadný bod D. Nechť existují limity vzhledem k D lim XD X0 f(X) = A, lim XD X0 g(X) = B, A, B R . Potom platí lim xD X0 (c1f(X) + c2g(X)) = c1A + c2B, c1, c2 R, lim XD X0 f(X)g(X) = A B a je-li B = 0, je též lim xD X0 f(X) g(X) = A B , pokud má pravá strana v těchto vzorcích význam. Příklad 8.5. Určete lim [x,y][0,0] 1 |xy| . Zřejmě definičním oborem funkce 1 |xy| je D = E2 - {[x, y] : xy = 0}. Zvolme > 0. Položme = 1 . Potom U([0, 0]) = {[x, y] : - < x < - < y < }. Pro [x, y] (U([0, 0]) D) - {[0, 0]} platí |x, y| = |x||y| < 1 1 = 1 . Tedy pro tyto body [x, y] platí 1 |xy| > . Je tedy 1 |xy| U() pro [x, y] (U([0, 0]) D) - {[0, 0]}, takže lim [x,y] D [0,0] 1 |xy| = . 272 Příklad 8.6. Ukažme, že funkce z = 2xy x2 + y2 , [x, y] = [0, 0], nemá v bodě [0, 0] limitu. Skutečně. Označme f(x, y) = 2xy x2+y2 Definiční obor D této funkce je E2 {[0, 0]}. Bod [0, 0] je hromadným bodem množiny D. Nechť = 0. Zvolme posloupnost bodů Xk , k = 1, 2, . . . , kde Xk = [1 k , k ]. Zřejmě lim k Xk = [0, 0]. Dostáváme f(Xk ) = 21 k k 1 k 2 + k 2 = 2 2 + 1 . Tedy lim k f(Xk ) = 2 1+2 . Tato limita závisí na zvoleném čísle , takže neexistuje lim [x,y] D [0,0] 2xy x2+y2 . Zaveďme si nyní pojem spojitosti funkce z = f(X), X D En, v bodě X0 D vzhledem k množině D. spojitost funkce vzhledem k množině Definice 8.5. (Spojitost funkce v bodě vzhledem k množině) Nechť n N a nechť D En je definiční obor funkce z = f(x1, . . . , xn). Nechť X0 = [x0 1, . . . , x0 n] je hromadným bodem množiny D. Řekneme, že funkce f(X), X = [x1, . . . , xn], je v bodě X0 spojitá vzhledem k množině D, jestliže je v bodě X0 definovaná a jestliže existuje lim XD X0 f(X) a platí lim XD X0 f(X) = f(X0 ). Z věty 8.1 a z definice 8.5 spojitosti funkce f(X) v hromadném bodě X0 definičního oboru D funkce f(X) vyplývá následující věta 8.3, která umožňuje definovat spojitost funkce v bodě jiným, ekvivalentním způsobem. Věta 8.3. Nechť n N a nechť D Vn je definiční obor funkce z = f(x1, . . . , xn). 273 8. Funkce n­proměnných Nechť X0 = [x0 1, . . . , x0 n] je hromadným bodem množiny D. Potom funkce z = f(X), X = [x1, . . . , xn] je spojitá v bodě X0 vzhledem k D když a jenom když platí: Jestliže {Xk } k=1 je posloupnost bodů z D konvergující k bodu X0 , potom posloupnost {f(Xk )} k=1 konverguje k f(X0 ). Nechť n N a nechť D1 En. Nechť funkce z = f(x1, . . . , xn), je definována na D1. Zaveďme nevýznamné proměnné xn+1, . . . , xm, - < xi < , i = n + 1, . . . , m. Označme D = {[x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xm] : [x1, . . . , xn] D1}, Položme z = g(x1, . . . , xn, . . . , xm) = f(x1, . . . , xn) pro všechny body X = [x1, . . . , xn, . . . , xm] D. Potom funkce g m-proměnných je spojitá v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n, . . . , x0 m] D když a jenom když je funkce f n-proměnných spojitá v bodě [x0 1, . . . , x0 n] D1. Můžeme tedy funkci f(X), X = [x1, . . . , xn] D1 považovat za funkci m-proměnných, kde m > n. Místo označení g lze dále i po přidání nevýznamných proměnných označovat jako funkci f. Elementární funkce jedné proměnné lze tedy chápat jako funkce n-proměnných v odpovídajících bodech. Uveďme si nyní souvislost mezi spojitostí funkcí f(X), g(X) n-proměnných v daném bodě X0 a funkce, která z nich vznikne jejich součtem, součinem a podílem. Zopakujte si napřed větu 3.1. spojitost součtu, součinu a podílu dvou funkcí Věta 8.4. Nechť n N a nechť D En je definiční obor funkcí z = f(x1, . . . , xn), z = g(x1, . . . , xn) spojitých vzhledem k D v hromadném bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n] D. Potom i funkce c1f(X) + c2g(X) pro libovolné c1, c2 R a f(X) g(X) jsou spojité v bodě X0 vzhledem k D. Je-li navíc g(X0 ) = 0, je i funkce f(X) g(X) spojitá v bodě X0 vzhledem k D. 274 Důkaz: Důkaz přenecháme čtenáři. Příklad 8.7. Funkce z = ln x x2 + y2 je spojitá vzhledem k D v každém bodě [x, y] D, kde D = {[x, y] : 0 < x y (-, )}. Skutečně. Funkci ln x lze považovat za funkci dvou proměnných x, y. Je definovaná v D. Funkce x2 +y2 je definovaná v každém bodě [x, y] E2. V každém bodě [x, y], [x, y] = [0, 0], je x2 + y2 = 0. Podle věty 8.4 je funkce z = ln x x2+y2 spojitá v každém bodě [x, y] D, [x, y] = [0, 0], vzhledem k D. spojitost složené funkce Složená funkce a její spojitost Dříve, než přistoupíme ke studiu této části textu, zopakujte si pojem složené funkce jedné proměnné, větu o spojitosti a větu o derivování složené funkce jedné proměnné. složená funkceDefinice 8.6. (Složená funkce n-proměnných) Nechť z = f(y1, . . . , ym) je funkce definovaná na množině Em. Nechť funkce y1 = 1(x1, . . . , xn), . . . , ym = m(x1, . . . , xn) jsou definované na množině D En. Nechť pro každý bod X = [x1, . . . , xn] D je [1(X), . . . , m(X)] . Potom funkce F(X) = f(1(X), . . . , m(X)), X D se nazývá složenou funkcí. Funkce z = f(y1, . . . , ym) se nazývá její vnější složkou a funkce 1(X), . . . , m(X) se nazývají jejími vnitřními složkami. Uveďme si následující větu o spojitosti složených funkcí. Věta 8.5. (Věta o spojitosti složené funkce) Nechť funkce yi = i(X), i = 1, 2, . . . , m, X = [x1, . . . , xn] D En, jsou spojité v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n] D vzhledem D. Označme Y 0 = [y0 1, . . . , y0 m], kde y0 i = i(X0 ), i = 1, 2, . . . , m. 275 8. Funkce n­proměnných Nechť na En je dána funkce z = f(Y ), Y Em. Nechť pro všechna X D je [1(X), . . . , m(X)] . Jestliže funkce f(Y ) je spojitá v bodě Y 0 vzhledem k , je i složená funkce F(X) = f(1(X), . . . , m(X)) spojitá v bodě X0 vzhledem D. Důkaz: Nechť {Xk } k=1 je taková posloupnost bodů z D, že Xk X0 D. Poněvadž i(X), i = 1, 2, . . . , m, jsou spojité v bodě X0 , dostáváme podle věty 8.3, že i(Xk ) y0 i = i(X0 ), i = 1, 2, . . . , m. (8.13) Podle předpokladů věty leží body Y k = [1(Xk ), . . . , m(Xk )] v a z (8.13) vyplývá, že Y k Y 0 . Poněvadž f(Y ) je spojitá v bodě Y 0 vzhledem k , platí f(Y k ) f(Y 0 ), to jest F(Xk ) = f(1(Xk ), . . . , m(Xk )) f(1(X0 ), . . . , m(X0 )) = F(X0 ). Je tedy složená funkce F(X) spojitá v bodě X0 vzhledem k D. Příklad 8.8. Funkce z = x2 1 + x2 2 je spojitá v bodě [0, 0]. Skutečně. Položme y = (x1, x2), kde (x1, x2) = x2 1 + x2 2. Funkce je definovaná na množině D = E2 a je spojitá v bodě [0, 0]. Označme y0 = (0, 0). Platí (0, 0) = 0. Položme z = f(y), kde f(y) = y. Funkce f(y) je na intervalu = 0, ) spojitá vzhledem k . Pro každý bod [x1, x2] D je (x1, x2) . Funkce f(y) je spojitá v bodě y0 vzhledem k . Podle věty 8.5 je tedy funkce z = x2 1 + x2 2 spojitá v bodě [0, 0]. 276 8.2 Parciální derivace parciální derivace funkce dvou proměnných Zavedení parciálních derivací 1. řádu funkce dvou proměnných Uvažujme funkci z = f(x, y), [x, y] E2. (8.14) Dosaďme do (8.14) za y pevnou hodnotu y = y0. Předpokládejme, že dostaneme funkci jedné proměnné x, totiž funkci g(x) = f(x, y0), x I E1, (8.15) kde I je takový interval, že [x, y0] pro x I. Jako příklad uveďme funkci z = x3 y2 , [x, y] E2. (8.16) Zvolme y = 5 a dosaďme tuto hodnotu do (8.16). Dostáváme z = x3 52 , to jest z = 25x3 , x (-, ), (8.17) to jest funkci jedné proměnné. Uvažujme funkci g(x) určenou vztahem (8.15). Předpokládejme, že tato funkce má v bodě x0 I derivaci g (x0), potom g (x0) = lim h0 g(x0 + h) - g(x0) h , tj. g (x0) = lim h0 f(x0 + h, y0) - f(x0, y0) h . (8.18) Tuto derivaci nazýváme parciální (částečnou) derivací funkce f(x, y) podle x v bodě [x0, y0]. Jestliže bod x0 je levým (pravým) koncovým bodem intervalu I, nahradíme limitu v (8.18) limitou zprava (zleva) v bodě h = 0. Bod [x0, y0] může být libovolný z . Místo x0, y0 pišme x, y. Parciální derivaci funkce f(x, y) v bodě [x, y] budeme značit jako f(x, y) x , nebo f x(x, y) nebo fx(x, y). Poněvadž v (8.14) jsme označili funkci f(x, y) jako z, můžeme též psát z x , z x, zx. Chceme-li vyznačit, že se jedná o parciální derivaci v bodě [x0, y0], můžeme použít např. tyto zápisy f(x0, y0) x , f x [x0,y0] , f x(x0, y0), fx(x0, y0), z x(x0, y0), zx(x0, y0). (8.19) V označení parciální derivace je použit symbol . Tento symbol není písmenem žádné abecedy. Srovnejte si označení derivace (5.22) funkce jedné proměnné s označením f x pro parciální derivaci. 277 8. Funkce n­proměnných Parciální derivaci funkce z = f(x, y) v bodě [x, y] podle proměnné x lze tedy definovat jako f(x, y) x = lim h0 f(x + h, y) - f(x, y) h , (8.20) pokud tato limita existuje. Analogicky zavádíme parciální derivaci funkce z = f(x, y) podle y v bodě [x0, y0]. Dosaďme do (8.14) za x pevnou hodnotu x = x0. Předpokládejme, že dostaneme funkci jedné proměnné y, totiž funkci h(y) = f(x0, y), y J, (8.21) kde J je takový interval, že [x0, y] , y J. Uvažujme funkci h(y) určenou vztahem (8.21). Může se stát, že tato funkce má v bodě y0 J derivaci, to jest, že existuje lim k0 h(y0 + k) - h(y0) k , tj. lim k0 f(x0, y0 + k) - f(x0, y0) k . (8.22) Tuto derivaci nazýváme parciální (částečnou) derivací funkce f(x, y) podle y v bodě [x0, y0]. Jestliže bod y0 je levým (pravým) koncovým bodem intervalu J, nahradíme limitu v (8.22) limitou zprava (zleva) v bodě h = 0. Bod [x0, y0] může být libovolný bod z . Místo x0, y0 pišme x, y. Parciální derivaci funkce f(x, y) v bodě [x, y] podle y budeme značit jako f(x, y) y , nebo f y(x, y) nebo fy(x, y). Zápisy z y , z y, zy lze rovněž použít pro parciální derivaci funkce z = f(x, y) podle y. Je tedy f(x, y) y = lim k0 f(x, y + k) - f(x, y) k , pokud tato limita existuje. Jestliže f(x,y) x (f(x,y) y ) existuje pro [x, y] 1 , je ke každému bodu [x, y] 1 přiřazeno číslo f(x,y) x (f(x,y) y. ) Je tedy f x (f y ) funkce proměnných x, y na 1. Symbolem (z x )[x0,y0] ((z y )[x0,y0]) budeme značit též z(x0,y0) x (z(x0,y0) y ). Příklad 8.9. Nechť z = 2x3 y4 - 3xy5 + 2x - 3y + 1. (8.23) Abychom vypočítali z x , považujeme v (8.23) y za konstantu a derivujeme (8.23) podle x. Dostáváme z x = 2 3x2 y4 - 3y5 + 2, tj. z x = 6x2 y4 - 3y5 + 2. (8.24) 278 Abychom vypočítali z y , považujeme v (8.23) x za konstantu a derivujeme (8.23) podle y. Dostáváme z y = 8x3 y3 - 15xy4 - 3. (8.25) Funkce (8.24), (8.25) jsou definované v každém bodě [x, y] . Např. z x [2,3] = [6x2 y4 - 3y5 + 2][2,3] = 6 22 34 - 3 35 + 2, to jest z x [2,3] = 1944 - 729 + 2 = 1217. Podobně např. z y [0,2] = [8x3 y3 - 15xy4 - 3][0,2] = -3. Podívejme se nyní na geometrický význam parciálních derivací z x [x0,y0] , z y [x0,y0] . Sledujme obr. 8.10. x y z T [x0, y0] 0 x0 y0 z = f(x0, y) 2 C 1 C z = f(x, y0) z = f(x, y) 1 t 2 t Obrázek 8.10: Geometrický význam parciálních derivací. Označili jsme g(x) = f(x, y0) a položili jsme (f x )[x0,y0] = g (x0). Rovnicí z = g(x), tj. z = f(x, y0) 279 8. Funkce n­proměnných je definována křivka, označená na obrázku 8.10 jako 1 C. Rovnicí z = h(y), tj. z = f(x0, y) je definována křivka, označená na obrázku 8.10 jako 2 C. Je tedy g (x0) = f x [x0,y0] h (y0) = f y [x0,y0] směrnice tečny 1 t (2 t) ke křivce 1 C (2 C) v jejím bodě T. parciální derivace funkce f(X) Zavedení parciálních derivací funkcí n­proměnných Uvažujme nyní funkci n-proměnných z = f(x1, x2, . . . , xn), n N, X = [x1, . . . , xn] En. (8.26) Zvolme i {1, 2, . . . , n}. Dosaďme za každou proměnnou xj, j = 1, 2, . . . , n, j = i, v (8.26) pevnou hodnotu x0 j . Dostali jsme tak funkci jedné proměnné xi, označme ji i g(xi). Dostáváme i g(xi) = f(x0 1, . . . , x0 i-1, xi, x0 i+1, . . . , x0 n). (8.27) Jestli tato funkce má v čísle x0 i derivaci i g (x0 i ), nazveme ji parciální derivací funkce (8.26) podle xi v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 i-1, x0 i , x0 i+1, . . . , x0 n] . Značíme ji jedním ze symbolů f(X0 ) xi , f xi X0 , z(X0) xi , z xi X0 , xi f(X0), z xi (X0 ), zxi (X0 ). (8.28) Bod X0 = [x0 1, x0 2, . . . , x0 n] může být libovolný bod z . Místo parciálních derivací v bodě X0 je můžeme uvažovat v bodě X = [x1, x2, . . . , xn]. Parciální derivace z xi , i = 1, 2, . . . , n nazýváme parciálními derivacemi prvního řádu. Příklad 8.10. Uvažujme funkci z = x1 sin x2 x3 x2 2 + x2 3 + 1 . (8.29) Tato funkce je definovaná v každém bodě X = [x1, x2, x3] E3, X = [x1, x2, 0]. Určeme z x2 . Derivujme (8.29) podle proměnné x2. Proměnné x1, x3 uvažujeme jako konstanty. Dostáváme z x2 = x1 1 x3 cos x2 x3 (x2 2 + x2 3 + 1) - x1 sin x2 x3 2x2 (x2 2 + x2 3 + 1)2 . 280 Úpravu přenechávám čtenáři. parciální derivace vyšších řádů Zavedení parciálních derivací vyšších řádů. Předpokládejme, že funkce z = f(x1, x2, . . . , xi, . . . , xn), X = [x1, . . . , xi, . . . , xn] En (8.30) je definovaná na En a má parciální derivace z xi , i = 1, 2, . . . , n (8.31) v každém bodě X = [x1, x2, . . . , xn] 1 . Můžeme se na ně tedy dívat jako na funkce n-proměnných na 1. Jestliže parciální derivace z xi má parciální derivaci podle xj v bodě X0 = [x0 1, x0 2, . . . , x0 n], označíme ji 2z(X0) xixj . Uveďme si několik dalších užívaných označení 2 f(X) xixj X0 , 2 f(X0) xixj , z xixj (X0), zxixj (X0), f xixj (X0), fxixj (X0). (8.32) Nazýváme ji druhou parciální derivací funkce f podle xi, xj (v tomto pořadí) v bodě X0 . Jestliže i = j, píšeme většinou 2z x2 i místo 2z xixi , resp. z x2 i místo z xixi . Jestliže i = j, nazýváme parciální derivaci 2z xixj smíšenou. Příklad 8.11. Nechť z = 3x2 1x4 2x3 3. Vypočítejte všechny její parciální derivace 2. řádu. Napřed vypočítáme parciální derivace 1. řádu. Dostáváme z x1 = 6x1x4 2x3 3, z x2 = 12x2 1x3 2x3 3, z x3 = 9x2 1x4 2x2 3. Přikročme k výpočtu všech parciálních derivací 2. řádu. Dostáváme 2 z x2 1 = 6x4 2x3 3, 2 z x1x2 = 24x1x3 2x3 3, 2 z x1x3 = 18x1x4 2x2 3, 2 z x2x1 = 24x1x3 2x3 3, 2 z x2 2 = 36x2 1x2 2x3 3, 2 z x2x3 = 36x2 1x3 2x2 3, 2 z x3x1 = 18x1x4 2x2 3, 2 z x3x2 = 36x2 1x3 2x2 3, 2 z x2 3 = 18x2 1x4 2x3. Poznámka. Všimněme si, že v tomto příkladě je 2 z xixj = 2 z xjxi , i, j = 1, 2, 3, i = j. Jinými slovy, v tomto případě nezáleží na pořadí derivivání. 281 8. Funkce n­proměnných Podobně se definují parciální derivace vyšších řádů. Je-li dána např. funkce z = f(X), X = [x1, x2, . . . , xn], X En, (8.33) potom např. parciální derivace 3. řádu 3f x2 2x1 obdržíme takto. Vypočítáme f x2 . to znamená, že x1, x3 . . . , xn považujeme za pevné hodnoty a derivujeme (8.33) podle x2. Předpokládáme, že tato derivace existuje na jisté podmmnožině 1 . V dalším kroku derivujeme funkci f x2 opět podle proměnné x2, tj. počítejme x2 ( f x2 ). To znamená, že x1, x3 . . . , xn ve funkci f x2 považujeme za pevné hodnoty a derivujeme ji podle x2. Předpokládáme, že tato derivace existuje na jisté podmmnožině 2 . Dostaneme tak na 2 funkci 2f x2 2 . V dalším kroku derivujeme funkci 2f x2 2 , definovanou na 2, podle proměnné x1. To znamená, že x2, x3 . . . , xn považujeme za pevné hodnoty a derivujeme funkci 2f x2 2 , definovanou na 2, podle x1. Jestliže tato parciální derivace existuje na 3 2, máme v každém bodě množiny 3 definovanou parciální derivaci 3f x2 2x1 . Je otázkou, co lze říci o vzájemném vztahu mazi parciálními derivacemi 3f x2 2x1 , 3f x2x1x2 , 3f x1x2 2 . Tyto parciální derivace se liší pořadím proměnných, podle nichž jsme prováděli derivování. Platí tato věta. smíšené parciální derivace Věta 8.6. Nechť funkce n-proměnných z = f(X), X = [x1, x2, . . . , xn], X má v jistém okolí U(X0 ), X0 , spojité všechny parciální derivace řádu k, potom nezáleží na pořadí proměnných, podle nichž derivujeme. Tedy např. má-li funkce f(x1, x2) v okolí bodu X0 = [x0 1, x0 2] spojité všechny parciální derivace 2. řádu, potom 2f x1x2 = 2f x2x1 . Poznámka. Věta 8.6 je vyslovena za poněkud silnějších předpokladů, než je nutno. Příklad 8.12. Nechť z = x3 y2 t4 . Potom platí z x = 3x2 y2 t4 , 2 z xy = 6x2 yt4 , 3 z xyt = 24x2 yt3 . Podobně z t = 4x3 y2 t3 , 2 z ty = 8x3 yt3 , 3 z tyx = 24x2 yt3 . 282 Vidíme, že 3z xyt = 3z tyx . K tomuto závěru bychom přišli přímo užitím věty 8.6, neboť všechny parciální derivace funkce z = x3 y2 t4 jsou spojité ve E3. Parciální derivace složené funkce Před započetím studia této problematiky si zopakujte výpočet derivace složené funkce jedné proměnné. derivace složené funkceVěta 8.7. (Derivace složené funkce) Nechť funkce i(X), X = [x1, . . . , xn] En, i = 1, 2, . . . , m, mají všechny parciální derivace v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n]. Nechť funkce z = f(Y ), Y = [y1, . . . , ym], má spojité všechny parciální derivace 1. řádu v bodě Y 0 = [y0 1, . . . , y0 m], kde y0 i = i(X0 ), i = 1, 2, . . . , m. Potom složená funkce z = F(X) = f([1(X), . . . , m(X)]) má v bodě X0 všechny parciální derivace 1. řádu a platí F(X0 ) xi = m j=1 f(Y 0 ) yi j(X0) xi , i = 1, 2, . . . , n. Důkaz: Bez důkazu. Příklad 8.13. Nechť z = 1 + (x + y)2, [x, y] E2. (8.34) Vypočítejte 2z xy . Řešení. Funkce (8.34) je složená funkce. Funkce z = f(u), kde f(u) = u, je její vnější složkou a u = (x, y), kde (x, y) = 1 + (x + y)2 , je její vnitřní složkou. Podle věty 8.7 dostáváme z x = 1 2 1 1 + (x + y)2 2(x + y). Po úpravě dostáváme z x = x + y 1 + (x + y)2 . (8.35) Parciální derivací funkce z x podle y dostáváme 2 z xy = 1 1 + (x + y)2 - (x + y)1 2 1 1+(x+y)2 2(x + y) 1 + (x + y)2 2 . 283 8. Funkce n­proměnných Úpravou dostaneme 2 z xy = 1 1 + (x + y)2 1 + (x + y)2 . Tečná rovina k ploše z = f(X) Začneme se zavedením pojmu tečny ke křivce. tečna ke křivce Tečna ke křivce. Nechť xi = i(t), t I E1, i = 1, 2, . . . , n, (8.36) jsou spojité funkce na intervalu I. Rovnicemi (8.36) je vyjádřena křivka, označme ji c, v tak zvaném parametrickém vyjádření. Nechť t0 I. Položme x0 i = i(t0), i = 1, 2, . . . , n. Označme T = [x0 1, x0 2, . . . , x0 n]. Nechť M je bod na křivce c odpovídající parametru t0 + h I, kde h E1. Tedy M = [1(t0 + h), 2(t0 + h), . . . , n(t0 + h)]. Směrovým vektorem přímky určené body T, M je vektor s = (s1(h), s2(h), . . . , sn(h)), kde si(h) = i(t0 + h) - i(t0) h , i = 1, 2, . . . , n. Jestliže existují s0 i = lim h0 si(h), i = 1, 2, . . . , n, to jest, jestliže funkce i(t), i = 1, 2, . . . , n, mají v bodě t0 derivace s0 i = i(t0), i = 1, 2, . . . , n, potom přímku xi = x0 i + s0 i t, i = 1, 2, . . . , n, t (-, ) nazýváme tečnou ke křivce c v bodě T. Na obr. 8.11 je znázorněno zavedení tečny ke křivce pro n = 2. Dospěli jsme k tomuto závěru. 284 0 x1 x2 T[1(t0), 2(t0)] M[1(t0 + h), 2(t0 + h)] c Obrázek 8.11: Zavedení tečny ke křivce. Nechť xi = i(t), t I E1, i = 1, 2, . . . , n, jsou spojité funkce na intervalu I. Nechť t0 I a nechť funkce i(t) mají v bodě t0 derivace i(t0), i = 1, 2, . . . , n. Potom přímka xi = i(t0) + i(t0), i = 1, 2, . . . , n, (-, ) je tečnou ke křivce xi = i(t), t I, i = 1, 2, . . . , n, v bodě T[1(t0), . . . , n(t0)]. Příklad 8.14. Ke křivce x1 = 2 cos t, x2 = 2 sin t, x3 = 3t, t (-, ) (8.37) napište rovnici tečny v jejím bodě T daném parametrem t = 4 . Řešení. Dosazením t = 4 do (8.37) dostáváme bod T = [ 2, 2, 3 4 ]. Poněvadž (2 cos t) = -2 sin t, (2 sin t) = 2 cos t, (3t) = 3, je směrový vektor s tečny v bodě T roven s = (- 2, 2, 3). Tedy tečna k zadané křivce v jějím bodě T má parametrické vyjádření x1 = 2 - 2, x2 = 2 + 2, x3 = 3 4 + 3, kde (-, ). 285 8. Funkce n­proměnných tečná rovina k ploše Tečná rovina k ploše. Nechť z = F(X), X = [x1, . . . , xn] D En má v D spojité všechny parciální derivace 1. řádu. Nechť T0 = [x0 1, . . . , x0 n] D a T = [x0 1, . . . , x0 n, z0 ], kde z0 = F(x0 1, . . . , x0 n) je bod na ploše z = F(X). Nechť funkce xi = (t), t I, i = 1, 2, . . . , n, mají derivace 1. řádu v bodě t0 I a nechť x0 i = i(t0), i = 1, 2, . . . , n. Označme c křivku v En+1 danou v parametrickém vyjádření rovnicemi x1 = 1(t), . . . , xn = n(t), z = F(1(t), . . . , n(t)) (8.38) ležící na ploše z = F(x1, . . . , xn). Směrový vektor tečny křivky c v jejím bodě T je s = 1(t0), . . . , n(t0), F x1 T0 1(t0) + + F xn T0 n(t0) . Vektor s je kolmý na vektor n = F x1 T0 , . . . , F xn T0 , -1 . (Skalární součin těchto vektorů je roven nule.) Označme rovinu z - F(T0) = F x1 T0 (x1 - x0 1) + + F xn T0 (xn - x0 n). Tečna ke křivce (8.38) v bodě T leží v rovině . Tato rovina závisí pouze na rovnici plochy z = F(X) a na bodě T. Nazýváme ji tečnou rovinou plochy z = F(X) v bodě T. Nechť funkce z = F(x1, . . . , xn) má spojité všechny parciální derivace 1. řádu v bodě T0 = [x0 1, . . . , x0 n]. Označme z0 = F(x0 1, . . . , x0 n), T = [x0 1, . . . , x0 n, z0 ] bod na ploše z = F(x1, . . . , xn). Potom rovina z - z0 = F x1 T0 (x1 - x0 1) + + F xn T0 (xn - x0 n) je tečnou rovinou k ploše z = F(x1, . . . , xn) v bodě T. 286 Příklad 8.15. Napište rovnici tečné roviny k ploše z = x2 + y2 v bodě T = [4, 3, ?] na dané ploše. Řešení. Napřed určíme z. Dostáváme z0 = 42 + 32 = 5. Určíme parciální derivace 1. řádu funkce z = x2 + y2 v bodě T0 = [4, 3]. Dostáváme z x = x x2 + y2 , z y = y x2 + y2 ; z x [4,3] = 4 5 , z y [4,3] = 3 5 . Tedy hledanou tečnou rovinou je rovina z - 5 = 4 5 (x - 4) + 3 5 (y - 3). 8.3 Totální diferenciál a Taylorova věta Totální diferenciál funkce dvou proměnných Totální diferenciál se v literatuře zavádí obecněji, než jej zavedu v definici 8.7. Vede mne k tomu toto: Tento způsob zavedení je jednodušší a takto zavedený totální diferenciál je zaveden pro dostatečně širokou třídu funkcí. Před započetím studia této podkapitoly si přečtěte podkapitolu kapitoly 5, " Diferenciál a Taylorova věta", o diferenciálu funkce jedné proměnné. totální diferenciálDefinice 8.7. (Totální diferenciál funkce z = f(x, y)) Nechť z = f(x, y) je funkce definovaná v daném -okolí U([a, b]) bodu [a, b]. Nechť funkce f(x, y) má v bodě [a, b] spojité parciální derivace f x , f y . Potom funkci df v proměnných h, k, danou vztahem df(a, b, h, k) = f x [a,b] h + f y [a,b] k, (8.39) nazýváme totálním diferenciálem funkce f(x, y) v bodě [a, b]. Pro takto zavedený totální diferenciál platí tato věta. Věta 8.8. Nechť funkce z = f(x, y) má v bodě [a, b] spojité parciální derivace 1. řádu. Potom existují > 0 a funkce (h, k) tak, že pro h, k, pro něž [a + h, b + k] 3 U([a, b]) 1) platí f(a + h, b + k) - f(a, b) = f x [a,b] h + f y [a,b] k + (h, k), (8.40) lim [h,k][0,0] (h,k) |h|+|k| = 0. (8.41) 1) 3 U([a, b]) je okolí bodu [a, b] určené metrikou 3. 287 8. Funkce n­proměnných Dříve, než přikročíme k důkazu této věty, zamysleme se trochu nad jejím obsahem. Především z(a, b, h, k) = f(a + h, b + k) - f(a, b) (8.42) je přírustek funkce při přechodu z bodu [a, b] do bodu [a + h, b + k]. Vztah (8.40) lze tedy zapsat takto z(a, b, h, k) = df(a, b, h, k) + (h, k). (8.43) Jestliže nahradíme z diferenciálem df, dopustíme se chyby (h, k). S ohledem na (8.41) je tedy přibližně z(a, b, h, k) df(a, b, h, k). Tedy přírustek z funkce z = f(x, y) při přechodu z bodu [a, b] do bodu [a + h, b + k] je přibližně roven diferenciálu df = f x [a,b] h + f y [a,b] k. Důkaz: Poněvadž dle předpokladu jsou funkce z x , z y spojité v bodě [a, b], existuje > 0 tak, že pro [x, y] 3 U([a, b]) existují z x , z y . Nechť h, k jsou taková čísla, že [a + h, b + k] 3 U([a, b]). Potom platí f(a+h, b+k)-f(a, b) = (f(a+h, b+k)-f(a, b+k))+(f(a, b+k)-f(a, b)). (8.44) Zaveďme pomocné funkce g(x) = f(x, b + k), h(y) = f(a, y), (8.45) kde x (a - , a + ), y (b - , b + ). Funkce g(x) je spojitá na uzavřeném intervalu o koncových bodech a, a+h a má v každém vnitřním bodě derivaci. Podle věty 5.5 o střední hodnotě diferenciálního počtu existuje c1 mezi body a, a + h tak, že platí g(a + h) - g(a) = g (c1)h. (8.46) S ohledem na (8.45)dostáváme f(a + h, b + k) - f(a, b + k) = f x [c1,b+k] h. (8.47) Podobně dostáváme, že existuje c2 mezi body b, b + k tak, že f(a, b + k) - f(a, b) = f y [a,c2] k. (8.48) 288 Vztah (8.44) lze s ohledem na (8.47), (8.48) zapsat takto f(a + h, b + k) - f(a, b) = f x [c1,b+k] h + f y [a,c2] k. (8.49) Poněvadž podle předpokladu jsou funkce f x , f y spojité v bodě [a, b], existují takové funkce 1(h, k), 2(h, k), že f x [c1,b+k] = f x [a,b] + 1(h, k), (8.50) f y [a,c2] = f y [a,b] + 2(h, k), (8.51) a lim [h,k][0,0] 1(h, k) = 0, lim [h,k][0,0] 2(h, k) = 0. (8.52) Z (8.49) s ohledem na (8.50), (8.51) dostáváme f(a + h, b + k) - f(a, b) = f x [a,b] h + f y [a,b] k + h 1(h, k) + k 2(h, k). (8.53) Označme (h, k) = h1(h, k) + k2(h, k). (8.54) Poněvadž h |h| + |k| 1, k |h| + |k| 1, dostáváme z (8.54) s ohledem na vztah (8.52) lim [h,k][0,0] (h, k) = 0. Platí tedy (8.40). Poznámka. V diferenciálu (8.39) se často místo h, k píše dx, dy. Diferenciál df funkce f(x, y) v bodě [a, b] se pak zapisuje takto df = f x [a,b] dx + f y [a,b] dy. Příklad 8.16. Napište diferenciál funkce z = x3 y4 v bodě [2, 3]. Řešení. Funkce z = x3 y4 má spojité parciální derivace v každém bodě [x, y], tedy i v bodě [2, 3]. Podle (8.39) dostáváme dz = (3x2 y4 )[2,3]dx + (4x3 y3 )[2,3]dy, tj. dz = 972 dx + 864 dy. 289 8. Funkce n­proměnných Analogicky lze zavést diferenciál funkce n-proměnných. Definice 8.8. Nechť funkce z = f(X), X = [x1, . . . , xn], n N, má v oblasti spojité parciální derivace 1. řádu. Potom df = f x1 X dx1 + + f xn X dxn (8.55) nazýváme totálním diferenciálem funkce z = f(X) v bodě X = [x1, . . . , xn] . Je tedy df v bodě X funkcí proměnných dx1, . . . , dxn. Věta 8.9. Nechť funkce z = f(X), X = [x1, . . . , xn] má v bodě X0 = [x0 1, . . . , x0 n] spojité parciální derivace 1. řádu. Potom existuje > 0 a funkce (dx1, . . . , dxn) tak, že pro dx1, . . . , dxn, pro něž [x0 1 + dx1, . . . , x0 n + dxn] U(X0 ) platí f(x0 1 + dx1, . . . , x0 n + dxn) - f(x0 1, . . . , x0 n) = = f x1 X0 + + f xn X0 + (dx1, . . . , dxn), při čemž limita (dx1,...,dxn) |dx1|++|dxn| v bodě [0, . . . , 0] má hodnotu 0. Důkaz: Důkaz je analogický jako důkaz speciálního případu n = 2 uvedeném ve větě 8.8. Z této věty vyplývá, že f(x0 1+dx1, . . . , x0 n+dxn)-f(x0 1, . . . , x0 n) f x1 X0 dx1+ + f xn X0 dxn. Totální diferenciál vyjadřuje přírustek na tečné rovině, přejdeme-li z bodu X0 = [x0 1, . . . , x0 n] do bodu X = [x0 1 + dx1, . . . , x0 n + dxn]. Taylorova věta Taylorova věta Dříve, než začnete studovat následující text, přečtěte si pojednání o Taylorově větě pro funkci jedné proměnné v podkapitole " Diferenciál a Taylorova věta kapitoly" 5. Začněme s funkcí dvou proměnných z = f(x, y) mající v jistém okolí bodu [a, b], označme je U([a, b]), spojité všechny parciální derivace až do řádu k+1 290 včetně, kde k N. Označme Tk(x, y) následující polynom v proměnných x, y Tk(x, y) = f(a, b) + 1 1! f x [a,b] (x - a) + f y [a,b] (y - b) + + 1 2! 2 f x2 [a,b] (x - a)2 + 2 2 f xy [a,b] (x - a)(y - b)+ (8.56) + 2 f y2 [a,b] (y - b)2 + + 1 k! (x - a) x + (y - b) y k f(a, b). Zápisem (x - a) x + (y - b) y j f(a, b), 1 j k, rozumíme symbolické provedení povýšení dvojčlenu a vynásobení f(a, b). Např. pro j = 2 dostáváme postupně (x - a) x + (y - b) y 2 f(a, b) = = (x - a)2 2 x2 + 2(x - a)(y - b) 2 xy + (y - b)2 2 y2 f(a, b) = = (x - a)2 2f(a, b) x2 + 2(x - a)(y - b) 2f(a, b) xy + (y - b)2 2f(a, b) y2 = = 2f x2 [a,b] (x - a)2 + 2 2f xy [a,b] (x - a)(y - b) + 2f y2 [a,b] (y - b)2 . Pro j = 3 dostáváme postupně (x - a) x + (y - b) y 3 f(a, b) = = (x - a)3 3 x3 + 3(x - a)2 (y - b) 3 x2y + +3(x - a)(y - b)2 3 xy2 + (y - b)3 3 y3 f(a, b) = = (x - a)3 3f(a, b) x3 + 3(x - a)2 (y - b) 3f(a, b) x2y + +3(x - a)(y - b)2 3f(a, b) xy3 + (y - b)3 3f(a, b) y3 = = 3f x3 [a,b] (x - a)3 + 3 3f x2y [a,b] (x - a)2 (y - b) + +3 3f xy2 [a,b] (x - a)(y - b)2 + 3f y3 [a,b] (y - b)3 . Podíváme-li se blíže na polynom Tk(x, y), vidíme, že tento polynom má v bodě [a, b] stejnou funkční hodnotu jako funkce f(x, y) a všechny odpovídající si parciální derivace 291 8. Funkce n­proměnných funkcí f(x, y), Tk(x, y) řádů k se v bodě [a, b] sobě rovnají. Polynom Tk(x, y) nazýváme Taylorovým polynomem řádu k (stupně k) příslušným k funkci f(x, y) v bodě [a, b]. Lze očekávat, že pro body [x, y] blízké bodu [a, b] lze funkci f(x, y) aproximovat Taylorovým polynomem Tk(x, y). Pro k = 1 jde vlastně o aproximaci funkce f(x, y) pomocí totálního diferenciálu. Pojednejme o chybě této aproximace. Položme f(x, y) = Tk(x, y) + Rk+1, kde Rk+1 je chyba aproximace. Platí tato věta: Věta 8.10. Nechť funkce f(x, y) má v jistém -okolí U([a, b]) spojité parciální derivace až do řádu k + 1 včetně, kde k N. Potom pro každý bod [x, y] U([a, b]) platí f(x, y) = Tk(x, y) + Rk+1, kde Tk(x, y) je Taylorův polynom určený vztahem (8.56) a Rk+1 je chyba aproximace, kterou lze vyjádřit např. vzorcem Rk+1 = 1 (k + 1)! (x - a) x + (y - b) y k+1 f(, ), kde [, ] je bod na úsečce o koncových bodech [a, b], [x, y]. Přejděme nyní k aproximaci funkce n-proměnných, n N, Taylorovým po- lynomem. Nechť funkce z = f(X), X = [x1, x2, . . . , xn] je funkce mající všechny parciální derivace až do řádu k + 1, kde k N, spojité v jistém okolí U(X0 ), X0 = [x0 1, . . . , x0 n]. Označme Tk(X) polynom Tk(X) = f(X0 ) + k j=1 1 j! (x1 - x0 1) x1 + + (xn - x0 n) xn j f(X0 ). (8.57) Polynom Tk(X) a funkce f(X) mají v bodě X0 stejné funkční hodnoty a všechny odpovídající parciální derivace polynomu Tk(X) a funkce f(X) až do řádu k včetně se v bodě X0 sobě rovnají. Lze tedy považovat funkci Tk(X) za aproximaci funkce f(X) pro X U(X0 ). Pro tuto aproximaci platí tato věta. 292 Věta 8.11. (Aproximace funkce f(X) Taylorovým polynomem) Nechť funkce f(X) má v jistém -okolí U(X0 ) bodu X0 spojité všechny parciální derivace až do řádu k + 1 včetně, k N. Potom pro každý bod X U(X0 ) platí f(X) = Tk(X) + Rk+1, kde Tk(X) je Taylorův polynom daný vztahem (8.57) a Rk+1 je chyba, kterou lze vyjádřit např. vzorcem 1 (k + 1)! (x1 - x0 1) x1 + + (xn - x0 n) xn k+1 f(), kde leží na úsečce o koncových bodech X0 , X. 8.4 Extrémy funkcí více proměnných lokální extrémyLokální extrémy Lokální extrémy funkcí n-proměnných zavádíme analogicky jeko u funkcí jedné proměnné. Definice 8.9. Nechť f(X), X = [x1, x2, . . . , xn], je funkce n-proměnných definovaná na oblasti . Nechť X0 = [x0 1, x0 2, . . . , x0 n] . Nechť existuje > 0 tak, že U(X0 ) a že pro všechna X U(X0 ) platí f(X) f(X0 ) (f(X) f(X0 )). Potom říkáme, že funkce f má v bodě X0 lokální maximum (lokální minimum). Lokální maxima a lokální minima nazýváme společným názvem lokální extrémy. Nechť existuje > 0 tak, že U(X0 ) a že pro všechna X U(X0 ), X = X0 platí f(X) < f(X0 ) (f(X) > f(X0 )). 293 8. Funkce n­proměnných Potom říkáme, že funkce f má v bodě X0 vlastní lokální maximum (vlastní lokální minimum). Vlastní lokální maxima a vlastní lokální minima nazýváme společným názvem vlastní lokální extrémy. Z této definice je patrno, že jestliže funkce f(X) má v bodě X0 lokální maximum (minimum), potom mají i všechny funkce Fi(t) = f(x0 1, . . . , x0 i-1, t, x0 i+1, . . . , x0 n), i = 1, 2, . . . , n v bodě xi, i = 1, 2, . . . , n, lokální maximum (minimum). Má-li tedy funkce Fi(t), i = 1, 2, . . . , n, v bodě x0 i derivaci, je rovna 0. Podle definice parciální derivace funkce f je však derivace funkce Fi(t) v bodě x0 i rovna parciální derivaci funkce f(X) podle xi v bodě X0 , takže F i (x0 i ) = f xi (X0 ) = 0, i = 1, 2, . . . , n. Funkce f(X), X = [x1, . . . , xn], definovaná na oblasti , může nabývat lokální extrém pouze v těch bodech, v nichž má všechny parciální derivace 1. řádu rovny 0, nebo v těch bodech, v nichž nemá některou parciální derivaci. Bod X0 , v němž má funkce f všechny parciální derivace 1. řádu rovny nule, se nazývá stacionárním bodem funkce f. Příklad 8.17. Určete stacionární body funkce z = x3 + y3 - 3xy. (8.58) Řešení. Vypočítejme parciální derivace 1. řádu. Dostáváme z x = 3x2 - 3y, z y = 3y2 - 3x. Stacionární body jsou ty body [x, y], pro něž platí z x = 0, z y = 0. Z těchto podmínek dostáváme systém rovnic 3x2 - 3y = 0, (8.59) 3y2 - 3x = 0. (8.60) Je to systém nelineárních rovnic o dvou neznámých. Z (8.59) vypočítáme y. Dostáváme y = x2 . (8.61) 294 Dosazením (8.61) do (8.60) dostáváme x4 - x = 0. Tuto rovnici lze přepsat na tvar x(x - 1)(x2 + x + 1) = 0. (8.62) Z (8.62) dostáváme x1 = 0, x2 = 1. Další dva kořeny dostáváme řešením rovnice x2 + x + 1 = 0. Tyto kořeny jsou komplexně sdružené. Poněvadž uvažujeme jenom reálné body, nebudeme je uvažovat. Dosadíme-li x = 0 do (8.61), dostáváme y = 0. Dosadíme-li x = 1 do (8.61), dostváme y = 1. Má tedy funkce (8.58) dva stacionární body A[0, 0], B[1, 1]. Funkce y = x3 + y3 - 3xy má parciální derivace ve všech bodech. Na základě dosavadních úvah vyplývá, že vyšetřovaná funkce může mít lokální extrémy pouze v bodech A, B. Uvažujme nyní opět funkci z = f(X), X = [x1, . . . , xn] n-proměnných, definovanou na oblasti . Budeme vyšetřovat, zda funkce f(X) má ve stacionárních bodech extrém. Začneme s případem n = 2, tedy s funkcemi z = f(x, y) dvou proměnných na oblasti . Nechť bod [a, b] je stacionárním bodem funkce f(x, y). Podle Taylorovy věty pro k = 1 dostáváme f(a + h, b + k) = f(a, b) + 1 1! f x [a,b] h + f y [a,b] k + R2, (8.63) kde R2 = 1 2! 2 f x2 [,] h2 + 2 2 f xy [,] hk + 2 f y2 [,] k2 . (8.64) Bod [, ] je na úsečce o koncových bodech [a, b], [a + h, b + k]. Poněvadž [a, b] je stacionárním bodem funkce f, je (f x )[a,b] = 0, (f y )[a,b] = 0. Proto (8.63) lze zapsat jako f(a + h, b + k) - f(a, b) = R2. (8.65) Je-li tedy R2 > 0 (R2 < 0) pro všechna dostatečně malá h, k,má funkce f v bodě [a, b] lokální minimum (maximum). Rozborem R2 se dokáže tato věta. 295 8. Funkce n­proměnných Věta 8.12. Nechť funkce f(x, y) má v jistém okolí U([a, b]) bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace 2. řádu. Nechť f x [a,b] = 0, f y [a,b] = 0. Pro body [x, y] U([a, b]) položme (x, y) = 2 f x2 2 f xy 2 f xy 2 f y2 . Je-li (a, b) > 0, má funkce f(x, y) v bodě [a, b] lokální extrém. Je-li (a, b) < 0, nemá funkce f(x, y) v bodě [a, b] lokální extrém. V případě, že (a, b) > 0 a (2 f x2 )[a,b] > 0 (< 0) má funkce f(x, y) v bodě [a, b] vlastní lokální minimum (maximum). Příklad 8.18. Zjistili jsme, že funkce z = x3 + y3 - 3xy má dva stacionární body A[0, 0], B[1, 1]. Rozhodněte, zda tato funkce má v těchto bodech lokální extrémy. Řešení. Funkce z = x3 + y3 - 3xy má spojité parciální derivace 2. řádu ve všech bodech. Výpočtem dostáváme 2 z x2 = 6x, 2 z xy = 2 z yx = -3, 2 z y2 = 6y. Tedy (x, y) = 6x -3 -3 6y = 36xy - 9. Poněvadž (0, 0) = -9 < 0, nemá vyšetřovaná funkce ve stacionárlním bodě [0, 0] lokální extrém. Poněvadž (1, 1) = 36 - 9 = 27 > 0, má vyšetřovaná funkce ve stacionárním bodě [1, 1] lokální extrém. Poněvadž 2 z x2 [1,1] = (6x)[1,1] = 6 > 0, má vyšetřovaná funkce v bodě [1, 1] lokální minimum. Pro funkce n-proměnných platí analogická věta. 296 Věta 8.13. Nechť funkce f(X), X = [x1, x2, . . . , xn] je definovaná na oblasti . Nechť X0 = [x0 1, x0 2, . . . , x0 n] je jejím stacionárním bodem, tj. nechť f x1 X0 = 0, . . . , f xn X0 = 0. Nechť v jistém okolí U(X0 ) má funkce f(X) spojité všechny parciální derivace 2. řádu. Označme Dk = 2 f x2 1 2 f x1x2 . . . 2 f x1xk 2 f x2x1 2 f x2 2 . . . 2 f x2xk ... ... ... ... 2 f xkx1 2 f xkx2 . . . 2 f x2 k , k = 1, 2, . . . , n. Je-li D1(X0 ) > 0, D2(X0 ) > 0, . . . , Dn(X0 ) > 0 (D1(X0 ) < 0, D2(X0 ) > 0, . . . , (-1)n Dn(X0 ) > 0), má funkce f v bodě X0 lokální minimum (maximum). Příklad 8.19. Určete lokální extrémy funkce u = x2 + y2 + z2 + xy - xz. Řešení. Položme parciální derivace u x = 2x + y - z, u y = 2y + x, u z = 2z - x rovny nule. Řešením vzniklého systému rovnic určíme jediný stacionární bod [0, 0, 0]. Pomocí matice u xx u xy u xz u yx u yy u yz u zx u zy u zz = 2 1 -1 1 2 0 -1 0 2 297 8. Funkce n­proměnných určíme D1 = 2, D2 = 2 1 1 2 , D3 = 2 1 -1 1 2 0 -1 0 2 . Protože D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0, má vyšetřovaná funkce v bodě [0, 0, 0] ostré lokální minimum. Globální etxrémy Nechť funkce f(X) je definovaná na uzavřené oblasti (tj. na sjednocení oblasti s její hranicí). Řekneme, že funkce f(X) n­proměnných má globální (absolutní) maximum v bodě X0 , jestliže pro všechny body X platí f(X) f(X0 ). Podobně řekneme, že funkce f(X) n­proměnných má globální (absolutní) minimum v bodě X0 , jestliže pro všechny X platí f(X) f(X0 ). Globální maxima a globální minima se nazývají společným názvem globální extrémy. Platí tato věta. Věta 8.14. Nechť funkce n­proměných f(X) je spojitá na uzavřené oblasti . Potom má na globální maximum a globální minimum. Je-li X0 bod, v němž funkce f nabývá na globální maximum (minimum), potom X0 je buď hraničním bodem , anebo funkce f má v něm lokální maximum (minimum). Jako příklad nalezení globálního minima funkce f(X) n­proměnných uveďme následující příklad. Řešení systému lineárních rovnic metodou nejmenších čtverců zavedení několika potřebných pojmů Dříve, než přikročíme k výkladu vlastního tématu, uveďme si několik pojmů. V dalším vektorem z Vn budeme rozumět sloupcový vektor. Čtvrecovou matici B řádu n nazýváme symetrickou, jestliže bij = bji pro i, j = 1, 2, . . . , n. Symetrickou matici B řádu n nazveme pozitivně definitní (semidefinitní), jestliže pro každý nenulový vektor x Vn je xT Bx > 0 (xT Bx 0). Symetrickou matici B řádu n nazveme negativně definitní (semidefinitní), jestliže pro každý nenulový vektor x Vn je xT Bx < 0 (xT Bx 0). Věta 8.15. (Pomocná) Nechť A je matice typu (m, n), kde m > n. Nechť hodnost matice A je h(A) = n. Potom matice B = AT A je pozitivně definitní. Matice B je regulární. 298 Důkaz: Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že submatice A matice A vytvořená ze všech sloupců matice A a z jejích prvních n řádků je regulární. Nechť x je nenulový vektor typu (n, 1). Dokažme, že potom vektor y = Ax je nenulový. Skutečně, kdyby vektor y byl nulový, byl by nulový i vektor y vytvořený z prvních n složek vektoru y. Avšak systém Ax = 0 má jediné řešení a to vektor x = 0. Tedy, je-li x = 0, je Ax = 0. Nechť x = 0. Označme y = Ax. Potom yT y = (Ax)T (Ax) = xT AT Ax. Poněvadž yT y = y2 1 +y2 2 + +y2 n > 0, je xT AT Ax > 0. Je tedy matice AT A pozitivně definitní. Matice AT A je symetrická, neboť (AT A)T = AAT . Dokažme, že AT A je regulární. Kdyby nebyla regulární, existoval by takový nenulový vektor x Vn, že AT Ax = 0. Potom by xT AT Ax = 0. To je spor, neboť AT A je pozitivně definitní. Začněme nyní s výkladem nahoře uvedeného tématu. Vyjdeme z příkladu. motivační příkladUvažujme systém lineárních rovnic Ax = b, kde A = 1 1 2 1 3 1 4 1 , b = 3 5,1 6,9 9,1 , x = x1 x2 . Hodnost matice soustavy A je 2 a hodnost matice rozšířené (A|b) je 3. Tedy systém rovnic Ax = b nemá řešení. Označme r vektor určený vztahem r = Ax - b, to jest r1 r2 r3 r4 = 1 1 2 1 3 1 4 1 x1 x2 - 3 5,1 6,9 9,1 . Zvolme tři vektory 1 x, 2 x, 0 x takto: 1 x = 1 1 , 2 x = 2 1 , 0 x = 2,01 1,00 . Označíme-li 1 r = A1 x, 2 r = A2 x, 0 r = A0 x, dostáváme 1 r = -1 -2,1 -2,9 -4,1 , 2 r = 0 -0,1 0,1 -0,1 , 0 r = 0,01 -0,08 0,13 -0,06 . Potom ||1 r||2 = 12 + 2,12 + 2,92 + 4,12 = 30,63, ||2 r||2 = 02 + 0,12 + 0,12 + 0,12 = 0,03, ||0 r||2 = 0,012 + 0,082 + 0,132 + 0,062 = 0,027. 299 8. Funkce n­proměnných Protože ||0 r||2 ||2 r||2 ||1 r||2 , řekneme, že vektor 0 x z vektorů 1 x, 2 x, 0 x " nejlépe" vyhovuje systému rovnic Ax = b. Lze ukázat, že žádnému vektoru x neodpovídá vektor r, pro nějž by ||r||2 ||0 r||2 . Proto vektor 0 x nazveme zobecněným řešením uvažovaného systému rovnic Ax = b. popis metody nejmenších čtvreců Nyní přikročme k zavedení pojmu " zobecněné" řešení systému lineárních rov- nic Ax = b. (8.66) Nechť A je matice typu (m, n), b je vektor typu (m, 1) a x je neznámý vektor. Předpokládejme, že hodnost h(A) matice soustavy je n a hodnost h(A|b) je > n. Potom systém rovnic nemá řešení v klasickém slova smyslu. Pro některé aplikace se jeví účelným zobecnit pojem řešení systému (8.66). Zaveďme vektor r vztahem r = Ax - b. (8.67) Nazveme jej vektorem reziduí. Každé uspořádané n­tici reálných čísel x1, . . . , xn přiřaďme číslo z vztahem z = ||Ax - b||2 , neboli z = ||r||2 . (8.68) Je tedy z = ||Ax - b||2 funkcí n­proměnných x1, . . . , xn. Bod [x0 1, . . . , x0 n], v němž funkce (8.68) nabývá svého minima, nazveme zobecněným řešením systému (8.66), resp. řešením metodou nejmenších čtverců. Poznámka. Pojem " metoda nejmenších čtverců" vyplývá z tvaru funkce (8.68), tj. z = r2 1 + r2 2 + + r2 m a hledáním bodu [x1, . . . , xn], pro nejž je tento součet minimální. Zabývejme se úlohou nalézt bod [x0 1, . . . , x0 n], v němž funkce (8.68) nybývá svého minima. Funkci (8.68) lze určit jako skalární součin z = (Ax - b, Ax - b), to jest (Ax - b)T (Ax - b). (8.69) Výpočtem tohoto součinu dostáváme postupně z = (xT AT - bT ) (Ax - b) = xT AT Ax - xT AT b - bT Ax + bT b. Lehce nahlédneme, že xT AT b a bT Ax jsou matice typu (1, 1), takže xT AT b = bT Ax Lze tedy (8.69) zapsat jako z = xT AT Ax - 2xT AT b + bT b. (8.70) Označíme-li D = AT A, c = AT b, lze funkci (8.70) přepsat na tvar z = xT Dx - 2xT c + bT b. (8.71) 300 Abychom nalezli bod, v němž tato funkce nabývá svého absolutního minima, hledejme stacionární bod funkce (8.71) jako řešení systému rovnic z x1 = 0, . . . , z xn = 0. (8.72) Vypočítejme tedy z xi , i = 1, 2, . . . , n derivací (8.71) podle xi. z xi = (di1x1 + di2x2 + + diixi + + dinxn) + +(d1ix1 + d2ix2 + + diixi + + dnixn) - 2ci Poněvadž dij = dji i, j = 1, 2, . . . , n, dostáváme z xi = 2(di1x1 + + djixj + + dinxn) - 2ci. (8.73) Systém rovnic (8.72) lze zapsat jako di1x1 + + dinxn = ci, i = 1, 2, . . . , n. (8.74) V maticové notaci lze tento systém zapsat jako Dx = c, neboli AT Ax = AT b. (8.75) Poněvadž D = AT A je podle věty 8.15 regulární maticí, má systém rovnic (8.75) právě jedno řešení x0 , takže funkce (8.71) má právě jeden stacionární bod X0 = [x0 1, . . . , x0 n]. Dokažme nyní, že funkce (8.71) má v tomto bodě lokální a tedy i absolutní minimum. Vypočítejme 2z xixj , i, j = 1, 2, . . . , n. Derivováním (8.73) podle xj dostáváme 2 z xixj = 2dij, i, j = 1, 2, . . . , n. (8.76) Zvolme libovolně n čísel h1, h2, . . . , hn, z nichž alespoň jedno je nenulové. Dokážeme, že z(x0 1 + h1, x0 2 + h2, . . . , x0 n + hn) > z(x0 1, x0 2, . . . , x0 n). (8.77) Označme h = (h1, . . . , hn)T . Užitím Taylorovy věty dostáváme z(x0 1 + h1, x0 2 + h2, . . . , x0 n + hn) = z(x0 1, x0 2, . . . , x0 n) + + n i=1 z(x0 1, . . . , x0 n) xi hi + 1 2 x1 h1 + + xn hn 2 z(x0 1, . . . , x0 n). (8.78) Poněvadž z(x0 1,...,x0 n) xi = 0, dostáváme z (8.78) s ohledem na (8.76) z(x0 1 + h1, . . . , x0 n + hn) = z(x0 1, . . . , x0 n) + hT Dh. Poněvadž D je pozitivně definitní, dostáváme z(x0 1 + h1, . . . , x0 n + hn) - z(x0 1, . . . , x0 n) = hT Dh > 0. Má tedy funkce (8.72) v bodě [x0 1, . . . , x0 n] lokální minimum. Dospěli jsme k tomuto závěru. 301 8. Funkce n­proměnných Nechť v systému rovnic Ax = b je A matice typu (m, n), kde m > n. Nechť její hodnost je n. Nechť b Vm je nenulový vektor. Označme r = Ax - b. Vektor r nazýváme vektorem reziduí. Existuje právě jeden vektor x0 , pro nějž je r2 1 + r2 2 + + r2 n minimální. Tento vektor x0 je řešením tzv. systému normálních rovnic AT Ax = AT b. O vektoru x0 říkáme, že byl získán ze systému Ax = b metodou nejmenších čtverců. Příklad 8.20. Řešte metodou nejmenších čtverců systém Ax = b kde A = 1 1 1 4 2 1 9 3 1 16 4 1 25 5 1 36 6 1 49 7 1 64 8 1 81 9 1 100 10 1 121 11 1 144 12 1 , b = 6,10 12,80 24,12 39,30 57,60 81,20 107,70 139,10 173,70 219,80 256,40 303,30 . Řešení: Dostáváme AT A = 60710 6084 650 6084 650 78 650 78 12 , AT b = 1,2959538 0,1306446 0,0141512 . 302 Řešením systému AT Ax = AT b. obržíme hledané řešení daného systému metodou nejmenších čtverců x0 = 2,01002 0,90596 0,01415 . Vypočítejte si vektor reziduí r = Ax0 - b. Několik poznámek k hledání globálních extrémů funkcí n-proměnných na dané množině M En. Hledání absolutních extrémů funkce na dané množině je velice důležitou matematickou aplikací. Jde např. o minimalizaci rozvozu zboží, o optimalizaci výroby, atd. Řešení takových úloh bývá obtížné. První problém je už ve vytvoření matematického modelu. K řešení je nutno používat výpočetní tech- niku. Je vypracována efektivní metoda na řešení velice často se vyskytujících úloh následujícího typu. Obecná formulace úlohy lineárního programování Nechť n N. Nalezněte minumum funkce z = c1x1 + c2x+ + cnxn, (8.79) kde c1, c2, . . . , cn jsou daná čísla, na množině M En definované podmínkami n j=1 aijxj = bi, i = 1, 2, . . . , k, (8.80) n j=1 aijxj bi, i = k + 1, . . . , m, (8.81) kde aij, bi jsou daná čísla, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, xj 0 pro některá j {1, 2, . . . , n}. (8.82) Funkce (8.79) se nazývá účelovou funkcí. Podmínky (8.80), (8.81), (8.82) jsou takzvané omezující podmínky. Každý bod X = [x0 1, . . . , x0 n], který těmto podmínkám vyhovuje, se nazývá přípustným řešením. Jako příklad úloh tohoto typu si uveďme tyto dvě úlohy. Příklad 8.21. 2) Formulujme úlohu, která konkretizuje tzv. " dopravní problém": Ze tří mlýnů jsou zásobovány moukou čtyři pekárny. Kapacity 2) převzato z [4] 303 8. Funkce n­proměnných mlýnů jsou 24, 18 a 8 t. Požadavky pekáren jsou 10, 14, 16 a 10 t. Vzdálenosti od každého mlýna ke každé pekárně jsou dány v km v následující tabulce. Pekárny 1 2 3 4 Mlýny 1 35 85 80 105 2 20 35 50 60 3 40 55 15 40 Je třeba stanovit dopravní program takový, aby celkový objem dopravy byl minimální. Jednotkou objemu dopravy budou tunokilometry. Nechť xij je dopravované množství v tunách z i­tého mlýna do j­té pekárny (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4). Protože součet kapacit je roven součtu požadavků (50 t), mohou být podmínky splněny pouze jako rovnice. Matematický model, odpovídající formulovanému problému, je pak následu- jící. Hledáme nezáporné hodnoty proměnných x11, x12, x13, x14, x21, x22, x23, x24, x31, x32, x33, x34, vyhovující podmínkám. x11 + x12 + x13 + x14 = 24 x21 + x22 + x23 + x24 = 18 x31 + x32 + x33 + x34 = 8 x11 + x21 + x31 = 10 x12 + x22 + x32 = 14 x13 + x23 + x33 = 16 x14 + x24 + x34 = 10 a minimalizující kriteriální funkci z = 35x11 + 85x12 + 80x13 + 105x14 + 20x21 + 35x22 + +50x23 + 60x24 + 40x31 + 55x32 + 15x33 + 40x34. První tři rovnice omezujících podmínek vyjadřují kapacity mlýnů, poslední čtyři vyjadřují požadavky pekáren. Koeficienty kriteriální funkce z čteme přitom z výše uvedené tabulky. Příklad 8.22. 3) Služby zřízenců jsou na daném nádraží osmihodinové s nástupem o půlnoci, ve čtyři hodiny, atd. vždy po čtyřech hodinách. K tomu, aby byl udržen hladký provoz musí být ve službě minimálně tento počet zřízenců (viz tabulka). Hodiny Počet zřízenců Hodiny Počet zřízenců 0 ­ 4 3 12 ­ 16 8 4 ­ 8 8 16 ­ 20 14 8 ­ 12 10 20 ­ 24 5 Kolik zřízenců má nastoupit do služby v každou nástupní dobu, aby nutné služby byly zajištěny s celkově minimálním počtem osob? 3) převzato z [4] 304 K vyřešení tohoto problému označme x1 . . . počet zřízenců, kteří nastoupí službu v 0 hodin x2 . . . počet zřízenců, kteří nastoupí službu ve 4 hodiny x3 . . . počet zřízenců, kteří nastoupí službu v 6 hodin ... x6 . . . počet zřízenců, kteří nastoupí službu ve 20 hodin Například v hodinách 0 až 4 budou sloužit zřízenci, kteří nastoupili ve 20 hodin, a zřízenci, kteří nastoupili o půlnoci. Hledáme tedy nezáporné celočíselné hodnoty proměnných xi (i = 1, 2, . . . , 6), vyhovující podmínkám x1 + x6 3 x1 + x2 8 x2 + x3 10 x3 + x4 8 x4 + x5 14 x5 + x6 5 a minimalizující funkci z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6. Poznámka. Věta 8.13 se zdá být jednoduchá. Je srozumitelná, avšak při řešení konkrétních úloh můžeme narazit na řadu obtíží. Hledáme-li extrémy funkce z = f(X) na množině M En, hledáme podle věty 8.13 napřed stacionární body. Určení stacionárních bodů vede na řešení systému n rovnic. To může být v konkrétních případech velice složitá záležitost. Namnoze je zapotřebí použít numerických metod. Navíc absolutní extrém je často v hraničním bodě množiny M, na níž absolutní extrém hledáme. Je řada metod, jak takovéto úlohy řešit užitím výpočetní techniky. Předpokládejme, že hledáme globální minimum funkce f(X) na množině M. Zvolíme výchozí bod X0 v M a v něm určíme funkční hodnotu, označme ji z0 . Nějakým algoritmem (je známa řada algoritmů) se přejde k dalšímu bodu X1 , v němž funkce nabývá menší hodnoty než z0 . Tímto způsobem postupujeme, dokud uvedeným algoritmem jsme schopni nalézt bod, v němž je hodnota funkce menší než v minulém kroku. Při složitější úloze však nemáme jistotu, že jsme skutečně dosáhli absolutního minima. Někdy se však musíme spokojit, nalezneme-li bod, v němž je hodnota funkce " dostatečně malá". 305 8. Funkce n­proměnných 8.5 Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly V kapitole se pojednává o reálných funkcích n­proměnných. Uvádí se pojem limity funkce n­proměnných ve vnitřních bodech množiny i v jejích hraničních bodech. Zavádí se pojem parciálních derivací. Dále se zavádí pojem totálního diferenciálu funkce n­proměnných a Taylorova věta. Důraz je položen na hledání lokálních a absolutních extrémů na dané množině. Úlohy 1. Vysvětlete pojem limity funkce n­proměnných (stačí vlastními slovy). 2. Pojednejte o spojitosti funkce n­proměnných v daném bodě. 3. Osvětlete pojem parciálních derivací funkcí n­proměnných, včetně jejich geometrického významu. 4. Jak nalezneme tečnu ke křivce v daném bodě? 5. Jak se určí tečná rovina k dané ploše z = f(X) v jejím bodě? 6. Co je to lokální diferenciál funkce n­proměnných? 7. Vyslovte Taylorovu větu. 8. Pojednejte o hledání extrémů funkcí n­proměnných. 9. Pojednejte o metodě řešení systému m lineárních rovnic o n neznámých metodou nejmenších čtverců. 10. Určete definiční obor funkce z = x + y -x2 + x - 1 . [Df = ] 11. Určete definiční obor funkcí a) z = x+y x2+y2 [E2 - {[0, 0]}] b) z = 1 (x-1)2+y2-4 [Vnějšek kruhu se středem S = [1, 0] o poloměru 2.] c) z = ln(2x + y - 1) [Množina bodů [x, y], pro něž je 2x + y - 1 > 0. 1 2 1 y x0 ] d) z = 2x-y (x+y)(x2-4y2) [{[x, y] : x = -y, x = 2y}] 12. Vypočítejte a) lim [x,y][1,1] 1 (x-1)2+(y-1)2 [] 306 b) lim [x,y][2,3] 3x+y x2+y2 [ 9 13 ] 13. Vypočítejte parciální derivace 1. a 2. řádu (ve výsledcích jsou uvedeny v pořadí z x, z y, z xx, z xy, z yy) a) z = x y [1 y , - x y2 , 0, - 1 y2 , 2x y3 ] b) z = 3x5 - 7x2 y2 + 3xy2 - 2y2 + x [15x4 - 14xy2 + 3y2 + 1, -14x2 y + 6xy - 4y, 60x3 - 14y2 , -28xy + 6y, -14x2 + 6x - 4] c) z = x x2+y2 [ y2 (x2+y2)3/2 , -xy (x2+y2)3/2 , -3xy2 (x2+y2)5/2 , y(2x2-y2) (x2+y2)5/2 , -x(x2-2y2) (x2+y2)5/2 ,] d) z = ln(x + y2 ) [ 1 x+y2 , 2y x+y2 , -1 (x+y2)2 , -2y (x+y2)2 , 2(x-y2) (x+y2)2 ] 14. Vypočítejte (bez použití kalkulačky) přibližně hodnotu e0,1 sin 0,2 užitím totálního diferenciálu. [0,2] 15. Nalezněte lokální extrémy funkcí a) z = x2 + (y - 1)2 [v bodě [0, 1], minimum] b) z = x2 + xy + y2 - 4 ln x - 10 ln y [v bodě [1, 2], minimum] c) u = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z [v bodě [-1, -2, 3], minimum] 16. Napište tečnou rovinu k ploše z = arctg y x v jejím bodě T[1, 1, ?]. 17. Napište totální diferenciál funkce u = x2 +y2 +z2 +2x+4z -6z v bodě [1, 2, 3]. 307 8. Funkce n­proměnných 308 Rejstřík Rejstřík ,D, derivace definice, 97 parciální, 277 řád, 100 diferenciál, 165 totální, 287, 290 ,E, Eulerovo číslo, 33 extrémy, 293 ,F, funkce arccos x, 124 arccotg x, 125 arcsin x, 123 arctg x, 124 cos x, 119 cotg x, 119 loga x, 116 sin x, 119 tg x, 119 ax, 116 ex derivace, 113 xs, 118 cyklometrické, 123 extrém absolutní, 131 lokální, 130, 138, 139, 141 inflexní bod, 144 inverzní, 106 derivace, 108 spojitost, 108 monotónnost, 136 racionální lomená, 196 složená, 275 spojitost, 275 funkce více proměnných limita, 266 limita vzhledem k množině, 269 spojitost vzhledem k množině, 269 ,I, integrál nevlastní, 247 integrace racionální funkce, 190 křivka v En, 63 kořen vícenásobný, 193 ,N, neurčitý integrál metoda per partes, 181 metoda substituční, 183, 187 zavedení pojmu, 177 Newtonův integrál, 241 ,P, parciální derivace, 277 polynom kořen, 191 kořenový činitel, 191 rozklad, 195 Taylorův, 292 posloupnost aritmetická, 17 definice, 16 divergentní, 22 rozdělení, 24 funkcí konvergence, 36 geometrická, 20 konvergentní, 22 limita, 22 číselná, 24 primitivní funkce zavedení pojmu, 175 přímkav En, 62 ,R, Riemanův integrál, 222 existence, 233, 234 vlastnosti, 228 Riemanův integrální součet, 226 ,Ř, řada číselná, pojem, 38 alternující konvergence, 50 divergence, 38, 43 funkcí, 50 harmonická, 40 konvergence, 38, 43 absolutní, 49 kritérium, 45­47, 49 ,T, Taylorův polynom, 292, 293 tečná rovina, 284 ,U, určitý integrál metoda per partes, 243 metoda substituční, 245, 246 numerický výpočet, 252 zavedení, 221 ,V, věta fundamentální, 193 o střední hodnotě, 135 Taylorova, 167 Weierstrassova, 132 Literatura Literatura [1] Jan Coufal, Jindřich Klůfa, Miloš Kaňka, Jiří Henzler: Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty. ISBN 80-7187-1484 [2] Jiří Kopáček: Matematika pro fyziky II. (skriptum), UK Praha [3] Josef Polák: Přehled středoškolské matematiky. ISBN 80-85849-78-X [4] Jindřich Klapka, Jiří Dvořák, Pavel Popela: Metody operačního výzkumu. VUT v Brně, 1996