P 12 – základy teorie hromadné obsluhy (front) 3.1 Základní prvky a charakteristiky systémů/modelů hromadné obsluhy Při popisu chování MHO (SHO) matematickým popisem je třeba vyjít z analýzy jeho chování. V první etapě je především nutno zkoumat příčinné oboustranné vazby základních prvků systému, tj. specifikovat vstupní proud požadavků, způsob a mechanismus jejich obsluhy, včetně počtu a uspořádání obsluhujících zařízení (tzv. režim obsluhy), disciplínu čekání ve frontě, dále pořadí, v němž vstupují požadavky do zařízení obsluhy ( tzv. režim fronty) a charakter dob trvání obsluhy. Na základě logické analýzy a klasifikace zkoumaného SHO lze teprve formulovat odpovídající matematicko-ekonomický model. Důležitou fází modelování MHO je statistická analýza jeho jednotlivých prvků. Spočívá v získání a zpracování adekvátních dat charakterizujících např. rozdělení počtu požadavků vyžadujících obsluhu za určitý časový interval, popř. rozdělení dob mezi vstupujícími požadavky nebo rozdělení dob trvání obsluhy. Zároveň je nutno (nebo aspoň patřičné) statisticky testovat výchozí hypotézy o charakteru rozdělené odpovídajících veličin předpoklady o režimu fungování zkoumaného systému. Vstupní proud požadavků Vlastnosti a intenzita vstupního proudu mají rozhodující vliv na činnost SHO a na jeho základní charakteristiky. Vstupní proud požadavků lze obecně charakterizovat jako stochastický proces, neboť požadavky přicházejí do systému obsluhy obvykle v náhodných okamžicích, takže délky intervalů mezi nimi představují hodnoty spojitých náhodných veličin. Empirické údaje získané ze systému obsluhy např. na základě časového snímku vstupního proudu vyhovují velmi často předpokladu Poissonova rozdělení počtu vstupních požadavků za určitý interval. Tomuto rozdělení počtu požadavků odpovídá exponenciální rozdělení intervalů mezi jejich příchody, takže modely s Poissonovým vstupním proudem se také nazývají exponenciální systémy. V praxi s lze však setkat i s jinými zákony rozdělení vstupního proudu, jako jsou např. Erlangovo rozdělení, logaritmicko.-normální rozdělení, hyperexponenciální rozdělení. Řešení modelů SHO s jiným než Poissonovským proudem vstupních požadavků je však analyticky obtížnější. Je-li zdroj, z něhož přicházejí požadavky do SHO omezený (konečný), jde o uzavřený systém, v opačném případě jde o otevřený systém. Zdroj požadavků po pokládá v praktických úlohách za neomezený i v případě, že nelze s jistotou určit, kolik požadavků si může vyžádat obsluhu. Doba trvání obsluhy Obdobně jako u vstupního proudu je třeba při modelování SHO popsat i dobu trvání obsluhy jednotlivých požadavků. Dobu obsluhy ovlivňuje řada náhodných faktorů, takže ji lze také pokládat za náhodnou veličinu. Empiricky zjištěná rozdělení dob trvání obsluhy se obvykle řídí také exponenciálním zákonem rozdělení. Disciplína čekání ve frontě Podle trpělivosti požadavků vyžadujících obsluhu se dělí SHO na systémy bez čekání a systémy s čekáním. V prvním případě požadavek do systému, jehož všechna zřízení obsluhy jsou obsazena, nevstoupí a na obsluhu rezignuje. V systému druhého typu každý vstupující požadavek buď trpělivě čeká, takže opustí systém až po ukončení obsluhy nebo aspoň nějakou dobu čeká, a teprve pokud není v této době obsloužen, opouští systém. Mezi systémy obsluhy s čekáním patří jednak systémy s neomezenou délkou fronty, jednak systémy s omezenou délkou fronty (systému). Je-li počet míst ve frontě a v systému omezen, patří při jejich plném obsazení není již dalším požadavkům přicházejícím do fronty obsluha poskytnuta. Při neomezené délce fronty jsou naopak všechny požadavky , které přicházejí do systém a jsou ochotny čekat, obslouženy. SHO, ve kterých nejsou z různých důvodů obsloužena všechny přicházející požadavky, se nazývají systémy se ztrátami. Jde tudíž o systémy bez čekání a o systémy s čekáním avšak s omezenou kapacitou nebo s netrpělivostí požadavků během čekání ve frontě. Režim fronty Způsob, jakým se požadavky vstupující do systému řadí do fronty, popř. pořadí, v němž jsou čekající požadavky obsluhovány, charakterizují tzv. režim fronty . Správně volený režim fronty je mj. významným faktorem ovlivňujícím efektivnost obsluhy. Systémy s uspořádanou frontou: FIFO : obsluha v pořadí podle pořadí příchodu do systému LIFO : obsluha v obráceném pořadí než je pořadí příchodu do systému Systémy s prioritami: PRI: obsluha v pořadí podle stanovených priorit Systémy s neuspořádanou frontou SIRO: obsluha v náhodném bez předem daných pravidel (selection in random order) Jsou-li jednotlivé druhy priorit známy před vstupem požadavků do systému, jde o apriorní priority. Přiřazuje-li priority samotný systém v průběhu čekání požadavků na obsluhu, jde o aposteriorní priority. V některých systémech s prioritami se dále rozlišují Priority absolutní – znamená to, že preferovaný požadavek je okamžitě obsloužen i za cenu případného přerušení již probíhající obsluhy jiného požadavku s nižší prioritou. Priority relativní – zajišťují zvýhodněným požadavkům přednostní obsluhu před požadavky s nižší prioritou nebo bez priority. Požadavek s určitým stupněm relativní priority je při všech obsazených zařízeních obsloužen, jakmile se uvolní některé místo v obsluze. Počet front Z hlediska počtu front, které se v systému vytvářejí, rozlišujeme ještě systémy s jedinou frontou pro všechna zařízení obsluhy systémy s více frontami, kdy pro každé obslužné zařízení existuje zpravidla samostatná fronta. V takovýchto případech je možné během čekání na obsluhu přecházet z jedné fronty do jiné. Režim obsluhy Počet a uspořádání obslužných zařízení je dalším faktorem, na kterém závisí efektivnost provozu SHO. Probíhá-li obsluha pouze v jednom obslužném zařízení, hovoříme o systému systému s jednoduchou obsluhou ( jednokanálový systém obsluhy ) Lze-li obsluhovat současně několik požadavků, jde o systém s vícenásobnou obsluhou (vícekanálový systém obsluhy) Řazení kanálů obsluhy Paralelně řazené kanály Sériově řazené kanály – vyskytují se řidčeji, v systémech s vícefázovým neboli s Erlangovým režimem obsluhy, kde požadavky procházejí postupně několika různorodými zařízeními obsluhy. V reálných situacích přibývají k předchozímu ještě okolnosti vyžadující specifikaci dalších individuálních rysů systému HO: měnící se trpělivost požadavků v závislosti na době čekání ve frontě, proměnlivá průměrná intenzita vstupního proudu, nestejnorodost požadavků nebo obsluhujících zařízení, skupinově vstupující požadavky apod. Stanovení základních charakteristik kvality a efektivnosti složitějších SHO analytickým způsobem je zpravidla obtížné a často je nutné přistoupit k postupům založeným na simulačních metodách. V praktických úlohách rozlišujeme, zda je zkoumaný SHO již v provozu nebo se teprve projektuje. V prvém případě půjde o to, abychom na základě analýzy zkvalitnili fungování SHO neboli zlepšili jeho organizaci a řízení, takže např. snížíme celkové ztráty v systému nebo zkrátíme dobu obsluhy jedné jednotky spod. V druhém případě se snažíme odhadnout s určitou prstí kvalitativní charakteristiky systému, přičemž vycházíme z různých variant jeho budoucí kapacity a z podmínek, ve kterých bude fungovat.- Zároveň je třeba zkoumat prst vzniku nežádoucích situací v SHO jako jsou např. růst fronty nebo čekací doby ve frontě nad předem stanovenou hranici. Klasifikace systémů hromadné obsluhy Konkrétní SHO popsané podrobně na základě specifikace jejich základních prvků ,lze klasifikovat z různých hledisek. Nejčastěji užívanými kritérii jsou charakter a typ rozdělení vstupního proudu požadavků, charakter a typ rozdělení dob obsluhy, režim a struktura obsluhy, disciplína čekání a počet míst ve frontě a režim fronty. Základní klasifikace navržená D.G.Kendallem: Třímístný kód ve formě A/B/s, kde označuje A – rozdělení intervalů mezi příchody požadavků B - označení rozdělení dob trvání obsluhy s – počet paralelních zařízení obsluhy v systému. Pro „parametry“ A, B jsou nejčastější užívané symboly tyto: D – deterministické rozdělení M – exponenciální rozdělení Ek – Erlangovo k-fázové rozdělení GI – obecné nezávislé rozdělení G – obecné (nikoliv nezávislé) nezávislé rozdělení Nejjednodušší příklady: M/M/1 - SHO s exponenciálním rozdělením intervalů mezi příchody požadavků i dob obsluhy s jedním obsluhujícím zařízením D/E2/1 - SHO s jednokanálovým s pravidelným (deterministickým) vstupním proudem požadavků a s dvoufázovým Erlangovým rozdělením dob trvání obsluhy. Vedle třímístného kódu se někdy užívá i rozšířený pětimístný kód tvaru A/B/s/x/y , kde navíc X - označuje maximální počet míst ve frontě Y - označuje velikost zdroje požadavků Poznámka: Pokud je X nebo Y vynecháno, předpokládá se, že jeho hodnota je nekonečně velká. Erlangovo k-fázové rozdělení má hustotu Prst, že člověk potká infikované individuum pro , k celé , pro , k celé , Jeho zobecněním je gamma –rozdělení (pro reálná kladná k) Agner Krarup Erlang 1878-1929 (dánský průkopník statistických metod v analýze v telefonních sítí) Při modelování MHO se uplatňují ze stochastických procesů především Markovovy procesy se spojitým časem a s diskrétními stavy. Zpravidla jde o poměrně jednoduché procesy, neboť přechody mezi stavy jsou dost omezené. Předpokládá se,že přechody z libovolného stavu S[k] jsou možné pouze do sousedních stavů S[k-1], S[k+1]. Přechod ze stavu S[k ]do stavu S[k+1 ]znamená příchod jednoho požadavku do systému a obdobně S[k ]do stavu S[k-1] znamená odbavení požadavku v systému po skončení obsluhy. Nachází-li se v systému obsluhy v libovolném okamžiku právě k požadavků (systém je ve stavu S[k]), pravděpodobnosti přechodů mezi sousedními stavy jsou nezávislé na čase a závisí jen na stavu S[k (]jde-li o homogenní proces).