P14 – S paralelních kanálů

3.4  Exponenciální model s paralelní obsluhou (S-kanálový)

V realitě se častěji než s obsluhou probíhající pouze v jednom obslužném zařízení se systémy
poskytující současně obsluhu v konečném počtu homogenních kanálů. Výhodou těchto systémů je, že
může zpravidla přizpůsobit kapacitu obsluhy intenzitě vstupního proudu požadavků.

Demonstrujme situaci na otevřeném systému majícím nanejvýš S homogenních paralelně obsluhujících
zařízení, z nichž každé má intenzitu obsluhy   . jsou-li v provozu dvě zařízení, budou mít
dohromady intenzitu obsluhy   atd. Nejvýše je možné zvýšit intenzitu obsluhy na   . Fronta se
začíná vytvářet až při vstupu (S+1)-požadavku.

Předpokládám, že rozdělení intervalů mezi příchody , jakož i rozdělení dob trvání obsluhy v každém
zařízení je opět exponenciální. Dále se vychází z toho, že požadavky vstupující do systému
s konstantní intenzitou   a čekají při obsazení všech obslužných zařízení trpělivě na odbavení.
Počet míst ve frontě je neomezený a obsluha probíhá v pořadí, v jakém požadavky do systému přišly.

Marice pravděpodobností přechodu zde bude mít tvar

Stejně jako v případě jednoduchého exponenciálního MHO máme

(3.21)                                      . , kde

(3.22)                           ,

Ze vztahu (3.22) dostaneme postupně

(3.23A)

(3.23B)  pro

(3.23C)  pro


 Po přechodu k limitám pro  :

(3.24A)

(3.24B)  pro

(3.24C)  pro .

Získali jsem takto soustavu lineárních homogenních diferenciálních rovnic pro pravděpodobnosti

Předpokládáme-li ustálení systému ve stabilizovaném stavu

                                              k = 0,1,2,…

Můžeme soustavu (3.24) přepsat do tvaru

(3.25A)

(3.25B)    pro

(3.25C)    pro .

Jak patrno, pravděpodobnosti  můžeme určit postupným dosazováním. Pro zjednodušení použijeme zápis
 a dostaneme:

(3.26B)                                                  pro

(3.26C)                                            pro .

Veličinu   dostaneme opět z podmínky :

V konstruovaném součtu budou nyní dva typy výrazů, což odpovídá odlišným zápisům (3.26B), (3.26C).
Obecně lze zapsat

(3.27)                                                .

Druhý výraz na levé straně (3.27) lze upravit

(3.27A)               .


Proto dále máme

(3.28)

V tomto systému je podmínka stabilizace ve tvaru

(3.29)

Stanovme nyní některé základní charakteristiky systému frontě apod.

Průměrný počet jednotek v systému

Platí-li pro průměrný počet jednotek čekajících ve frontě

(3.30)

a pro průměrný počet nevyužitých stanic obsluhy

(3.31)                                     , bude

(3.32)

průměrný počet jednotek  v systému

(3.33)                                              , neboli

průměrný počet jednotek v systému je roven součtu průměrného počtu jednotek ve frontě a průměrného
počtu obsazených stanic obsluhy

Užijeme-li při stanovení průměrného počtu jednotek ve frontě vztah pro stacionární pravděpodobnosti
, dostaneme

(3.34)                                          , kde

Velikost  je dána vztahem (3.28).

Protože předpokládáme konstantní intenzitu příchodů  , získáme

průměrnou dobu čekání ve frontě ze vztahu

(3.35)

a průměrnou dobu, kterou stráví požadavek v systému lze určit jako

(3.36)                                           , resp.  .

Při konstantní intenzitě příchodů  vstoupí během intervalu délky t do systému v průměru  .
požadavků. Je-li průměrná doba obsluhy jednoho požadavku v kterémkoliv obslužném zařízení ,
nezávislá na stavu systému, pak průměrná doba obsluhy  požadavků je

(3.37)

Je-li v systému místo S obslužných zařízení obsluhujících během intervalu délky t s intenzitou
v provozu jen jedno obslužné zařízení s intenzitou obsluhy  , ovšem po dobu , pak průměrná doba, po
kterou je toto zařízení obsazeno, je  , resp.  je průměrná doba jeho nevyužití.

 Z předešlého vyplývá, že v systému je v průměru  obsazených obslužných linek, takže pro průměrný
počet nevyužitých obslužných linek platí

(3.38)                                                      .