P9B – Spojité MŘ - Yuleův proces

2.4  Yuleův proces

Yuleův proces popisuje vývoj početnosti souboru jedinců, kteří nezanikají a rozmnožují se dělením
nebo štěpením. Pravděpodobnost, že jedinec existující v čase  dá v intervalu  vznik dalšímu
jedinci, nechť je    pro . Chování jedinců není nijak vzájemné ovlivňováno. Stav procesu  je dán
celkovým počtem jedinců (=rozsahem populace) v čase t.

Přechodové intenzity náhodného procesu jsou dány tímto předpisem:

                 , ,  přičemž     pro   ,

Matice intenzit přechodu Yuleova procesu tedy vypadá takto:

Číslování stavů:                                   1          2           3           4         5

(2.30)

Tomu odpovídající matice pravděpodobností přechodu Yuleova procesu je následující:

Číslování stavů:                           1                   2
3                    4              5

 (2.31)

Odvození

(2.32)   pro   [1]

Po obdobné úpravě (2.32) máme

Levá strana v limitě pro  dává derivaci , přičemž členy  zanedbatelné svou velikostí odpadnou

(2.33)                          .                               □ .


Poznámka: V případě, že uvažujeme pravděpodobnosti přechodu z jiných stavů, platí retrospektivní
rovnice:

(2.34)

s počáteční podmínkou    ,

Řešení těchto rovnic je

(2.35A)

(2.35B)                                                                                 □ .


Určitým zobecněním Yuleova procesu je


2.4A  Divergentní proces růstu

Ten je popsán intenzitami přechodu

                                         ,     neboli maticemi

Číslování stavů:                                   1          2           3           4         5

(2.36)                                 a

(2.37)


Doby mezi přechody ze stavu do stavu označme     : Jsou to vzájemně nezávislé náhodné veličiny
s exponenciálním rozdělením se střední hodnotou [2]

              Platí-li  , dostaneme  .

Odtud máme mj. že   s pravděpodobností 1. Trajektorie tohoto procesu v konečném čase diverguje do
nekonečna. To se projeví mj. v nejednoznačnosti řešení retrospektivních rovnic pro pravděpodobnosti
přechodu.


________________________________

[1] Případ k=0 se vyskytnout nemůže, protože jedinci neodumírají a na druhé straně z nulové
populace nevzejde

   žádný živý jedinec.

[2]  Lze to ověřit shodně jako v případě Poissonova procesu.