Cvičení z Teorie ekonometrie I ­ 12.3.2008, 19.3.2008
* Obsah: Metoda nejmenších čtverců - vybrané otázky a ilustrace.
* Změna v součtu čtverců. Předpokládejme, že b je vektor parametrů získaný metodou
nejmenších čtverců regresí y na X a c je jiný vektor rozměru K × 1. Dokažte, že rozdíl dvou
součtů čtverců reziduí je
(y - Xc) (y - Xc) - (y - Xb) (y - Xb) = (c - b) X X(c - b)
Dokažte,že tento rozdíl je kladný.
* Lineární transformace dat. Předpokládejme regresi metodou nejmenších čtverců y na
K proměnných (s konstantním členem) X. Předpokládejme alternativní sadu regresorů Z =
XP, kdy P je nesingulární matice. Každý sloupec matice Z je tedy mixem některých sloupců
X. Dokažte, že vektor reziduí v regresi y na X a y na Z jsou identické. Jaký význam to má
pro otázku kvality (vystižení) regrese změnou měřítek u nezávislých proměnných?
* Frisch and Waugh. V regresi pomocí metody nejmenších čtverců y na konstantu a X
můžeme spočítat regresní koeficienty i tak, že nejdříve transformujeme y na své odchylky od
střední hodnoty (průměru) y a stejně tak i upravíme sloupce matice X. Po té provedeme
regresi takto centrovaných hodnot na transformované hodnoty matice X (bez konstanty).
Získáme stejné výsledky pokud takto budeme transformovat jen y? A co když transformujeme
pouze X? Zkuste si tento postup i na empirických datech.
* Předpokládejme, že Ed, En, Es jsou výdaje na tři kategorie zboží (consumer durables, nondurables
and services). Celkový příjem (důchod) je pak dán jako Y = Ed + En + Es.
Předpokládejme dále, že je dán výdajový systém:
Ed = d + dY + ddPd + dnPn + dsPs + d
En = n + nY + ndPd + nnPn + nsPs + n
Es = s + sY + sdPd + snPn + ssPs + s
­ Jestliže všechny rovnice odhadneme metodou nejměnších čtverců, dokažte, že součet
důchodových koeficientů bude jednička a součet ostatních koeficientů (po sloupcích)
bude nulový.
* Využijte data v matlabovském datovém souboru wage2.mat k odhadu jednoduché regrese
vysvětlující měsíční plat (wage) na dosaženém počtu bodů IQ (IQ). Datový soubor je nahrán
a "zpracován" v m-fajlu cv02_wage2.m.
1
­ Nalezněte průměrnou mzdu a průměrné IQ ve vzorku. Vykreslete datové vzorky (se
svými průměry). Jaká je standardní odchylka IQ? (IQ je standardizováno tak, že průměr
populace e 100 a standardní odchylka 15)
­ Odhadněte jednoduchý regresní model kde jednobodové zvýšení IQ změní mzdu o konstantní
výši (v dolarech). Využijte tento moel k predikci zvýšení mzdy pokud by IQ
vzrostlo o 15 bodů. Vysvětluje IQ většinu variability ve mzdě?
­ Odhadněte model, kde každé zvýšení IQ o jeden bod má podobný procentní efekt na
mzdu. Pokud se IQ zvýší o 15 bodů, jaké bude přibližné procentní zvýšení predikované
mzdy?
­ K výpočtu si zkuste vytvořit jednak svou vlastní funkci s názvem např. moje_ols.m
popř. pak využijte funkci ols.m z ekonometrického toolboxu.
* Soubor USGas_Greene.dat obsahuje údaje o spotřebě benzínu v USA v letech 1960-1995 a
další časové řady, které jsou popsány v souboru usgas_greene.m.
­ Spočítejte regresi spotřeby benzínu na hlavu na všechny ostatní vysvěltující proměnné,
včetně časového trendu. Jsou znaménka odhadnutých parametrů v souladu s vaším
očekáváním?
­ Testujte hypotézu, že alespoň z pohledu poptávky po benzínu spotřebitel nerozlišuje
mezi změnami v cenách nových a použitých vozů.
­ Ohdadněte cenovou elasticitu poptávky, důchodovou elasticitu poptávky a křížovou cenovou
elasticitu s ohledem na cenu veřejné dopravy.
­ Odhadněte předchozí regresi v logaritmech, kdy koeficienty budou přímo odhady elasticit
(samozřejmě časový trend nelogaritmujte). Porovnejte tyto odhady s odhady předchozí
podotázky. Jakou specifikaci byste upřednostnili?
­ Cenové indexy trhu s automobily jsou normalizovány vzhledem k roku 1967, přičemž
agregátní cenové indexy jsou ukotveny vzhledem k roku 1982? Ovlivňuje tento nesoulad
výsledky? Jak? Pokud znormalizujete veškeré indexy tak, aby v roce 1982 měli hodnotu
1, jak to ovlivní výsledky?
­ Upravte svůj model tak, aby neobsahoval většinu statisticky nevýznamných proměnných
a zopakujte úlohu na test hypotézy o vlivu cen nových a ojetých automobilů, případně
porovnejte své nové výsledky elasticit s původními odhady.
2