Matematický dodatek č. 1 - Kvadratické formy Definice 1 Funkce n reálných proměnných [ ]tvaru [ ], kde je n-složkový vektor koeficientů (reálných konstant) a n-složkový vektor proměnných se nazývá lineární forma v n -proměných. Jak patrno, lineární forma je v podstatě lineární funkcí n proměnných neobsahující aditivní konstantu. Definice 2 Funkce n+m reálných proměnných [ ]tvaru [ ], kde [ ]je ij-tý prvek obdélníkové matice koeficientů (reálných konstant) řádu n se nazývá bilineární forma v n+m-proměných. Jak patrno, bilineární forma je (neúplnou) kvadratickou funkcí n+m proměnných neobsahující aditivní konstantu ani lineární členy ani kvadratické členy příslušné téže proměnné. Jiným vyjádřením této bilineární formy je maticový zápis nebo , kde (obecně obdélníková) matice . Definice 3 Funkce n reálných proměnných [ ]tvaru [ ], kde [ ]je prvek čtvercové matice koeficientů (reálných konstant) n se nazývá kvadratická forma v n -proměných. Jak je zřejmé, kvadratická forma je kvadratickou funkcí n proměnných neobsahující aditivní konstantu ani lineární členy. Současně je to speciální případ bilineární formy pro případ, že pro všechna ztotožníme [ ]. Obvyklým vyjádřením kvadratické formy je maticový zápis , kde (čtvercová symetrická) matice . Vzhledem k tomu, že určujícím atributem pro vlastnosti kvadratické formy jsou právě vlastnosti čtvercové matice , nebudeme v dalším výkladu striktně rozlišovat vlastnosti kvadratické formy a jí příslušné matice. Poznámka: Zpravidla se omezujeme na kvadratické formy, pro jejichž koeficienty platí symetrie, tzn. ; . Zřejmě to není na újmu obecnosti, neboť pokud tento vztah u nějaké kvadratické formy není splněn, např. u formy [ ], kde stačí zprůměrovat a dále pracovat již se symetrickou kvadratickou formou [. ]Maticový zápis kvadratické formy vychází z reprezentace koeficientů v maticovém tvaru a proměnných v podobě (sloupcového) vektoru. Matice C je tedy symetrická. Definice 4 (a) Kvadratická forma Q(x) s maticí koeficientů C se nazývá pozitivně definitní (p.d.), jestliže platí pro libovolný vektor proměnných x kromě vektoru majícího všechny složky [ ]rovny nule.[1] (b) Kvadratická forma Q(x) s maticí koeficientů C se nazývá pozitivně semidefinitní (p.sd.), jestliže platí pro každý vektor proměnných x kromě vektoru majícího všechny složky rovny nule. (c) Kvadratická forma Q(x) s maticí koeficientů C se nazývá negativně definitní (p.d.), jestliže platí pro libovolný vektor proměnných x kromě vektoru majícího všechny složky x [i ]rovny nule. (d) Kvadratická forma Q(x) s maticí koeficientů C se nazývá negativně semidefinitní (n.sd.), jestliže platí pro každý vektor proměnných x kromě vektoru majícího všechny složky rovny nule. (e) Kvadratická forma Q(x) s maticí koeficientů C se nazývá indefinitní (ind.), jestliže pro nějaký vektor x¹0 platí a pro nějaký jiný vektor z¹0 naopak [2]. Poznámka Definitnost či semidefinitnost není u kvadratických forem (resp. příslušných matic) vlastností běžnou, co do četnosti převažují kvadratické formy indefinitní. Vyšetřování typu kvadratické formy (ač snadné u matic řádu 2 nebo 3) nemusí být u matic větší dimenze až tak jednoduché (nemáme-li předem další informace, např. o vlastních číslech vyšetřované matice). Pro některé případy nicméně často vystačíme s postupem představujícím sdružování do kvadratických členů, tzv. doplněním na čtverec. Obrazně lze říci, že např. pozitivní (semi-) definitnosti napomáhá, má-li matice řádem (absolutní hodnotou) vysoké kladné prvky na hlavní dioagonále ve srovnání s mimodiagonálními prvky (bez ohledu na znaménka těchto mimodiagonálních prvků). Věta 1 Symetrická matice C má všechna charakteristická (vlastní) čísla reálná. Věta 2 (a) Kvadratická forma s maticí C= je pozitivně definitní právě tehdy, jestliže pro (konečnou) posloupnost hlavních minorů matice C platí , , , atd. tzn. všechny hlavní minory této matice jsou kladné. (b) Kvadratická forma s maticí C= je negativně definitní právě tehdy, jestliže pro (konečnou) posloupnost hlavních minorů matice C platí , , , atd. tzn. posloupnost hlavních minorů matice C střídá znaménka, přičemž pro je příslušný minor kladný. Dodatek: pro pozitivně resp. negativně semidefinitní kvadratické formy platí tvrzení věty 3 s obměnou znamének: „³„ za „>„ v (a) a obměnou „£„ za „<„ v (b). Definice 4 Charakteristický polynom čtvercové symetrické matice řádu n je determinant tvaru , kde je jednotková matice řádu n a proměnná polynomu. Charakteristický polynom tedy mnohočlen stupně n v s jedničkovým koeficientem u nejvyšší mocniny u ^ , tedy mnohočlen obecného tvaru Dodatek: Jestliže charakteristický polynom položíme roven nule , tj. , dostaneme tzv. charakteristickou rovnici matice A. Definice 5 Kořeny charakteristického polynomu tj. n-tice hodnot l[1], l[2 ],...., l[n ]se nazývají charakteristická čísla (nebo také) vlastní čísla, anglicky [eigenvalues] matice . Definice 6 Charakteristický vektor (nebo také vlastní vektor, anglicky [eigenvector]) příslušný charakteristickému číslu l[i ]se nazývá n-složkový vektor z splňující podmínku pro konkrétní pevný index i. Určení vlastních čísel matice tedy spočívá ve vyčíslení determinantu a spočtení kořenů příslušné charakteristické rovnice . Je patrné, že výpočet bez použití počítače a vhodných numerických metod je únosně zvládnutelný pouze u matic malé dimenze (do stupně 3) nebo u velmi speciálních matic. Soubor vlastních čísel matice bývá někdy nazýván spektrem matice a vyšetřování vlastnosti spojených s těmito vlastními čísly pak spektrální analýza. Věta 3 Symetrická matice má všechna charakteristická čísla reálná. Tato zde bez důkazu uváděná věta je velmi důležitá, neboť v prostředí kvadratických forem umožňuje omezit se na vyšetřování reálných (a tudíž velikostí srovnatelných) hodnot. Věta 4 : (a) Symetrická pozitivně definitní matice řádu n má všechna vlastní čísla [ ]kladná (b) Symetrická pozitivně semidefinitní matice řádu n má všechna vlastní čísla [ ]nezáporná (c) Symetrická negativně definitní matice řádu n má všechna vlastní čísla [ ]záporná (d) Symetrická negativně definitní matice řádu n má všechna vlastní čísla [ ]nekladná. (e) Symetrická indefinitní matice řádu n má alespoň jedno charakteristické číslo,řekněme l* kladné a alespoň jedno charakteristické číslo, řekněme l** záporné. Výše uvedená konstatování dávají velmi užitečný výsledek v tom smyslu, že o typu matice lze takto rozhodnout ze znalosti právě všech vlastních čísel této matice. Příčina, proč je znalost vlastních čísel matice tak důležitá, spočívá v možnosti vyšetřovat vlastnosti původní matice (a také kvadratické formy k ní příslušné) pomocí transformace provedené současně na proměnné kvadratické formy a na sloupce (či řádky) matice. Popíšeme tento postup podrobněji : Mějme kvadratickou formu (v maticovém zápisu) . Převeďme původní proměnné x do nové skupiny n proměnných pomocí maticové transformace neboli . Je přitom zřejmé, že nutným předpokladem pro uskutečnění této transformace je existence inverzní matice ^ a tedy nesingularita (čtvercové transformační) matice P. Operaci můžeme tedy zapsat jako a dále pracovat s touto kvadratickou formou tak, jakoby se vztahovala k proměnným a současně ke koeficientům představovaným prvky matice . Tato matice je (při regulární matici ) opět čtvercová, symetrická a má stejnou hodnost jako původní matice . Přitom lze dále ukázat, že při vhodné volbě matice může nabýt výsledná matice takového tvaru, že jedinými jejími nenulovými prvky budou prvky na její hlavní diagonále a tyto diagonální prvky budou hodnotami shodné s charakteristickými čísly matice , tj hodnotami . Tato skutečnost přirozeně velmi zprůhledňuje vyšetřování spektrálních vlastností matice C. Problémem, jehož řešení dále naznačíme, je však určením tvaru či konstrukce právě oné vhodné transformující matice . Po tomto objasnění se lze v analýze posuzování definitnosti či semidefinitnosti omezit na diagonální prvky matice . Transformaci lze přitom dokonce volit tak, aby charakteristická čísla nacházející se na diagonále byla seřazena (nejvhodněji sestupně). Pak tedy : a) počet nenulových prvků označuje hodnost matice (a současně i ). b) výskyt jen kladných prvků oznamuje pozitivní definitnost (a současně ) c) výskyt jen záporných prvků značí negativní definitnost (a současně ) d) současná přítomnost kladných i záporných prvků značí indefinitnost ( a tedy i ). Následující dvě věty se vztahují k vlastnostem determinantů kvadratických forem se čtvercovou symetrickou maticí , která je - v prvním řádku a prvním sloupci - ovroubena vektorem koeficientů lineární formy : Věta 5: Nechť je kvadratická forma se symetrickou maticí řádu n a podobně nechť je lineární forma s n-členným vektorem koeficientů a a n-členným vektorem proměnných x. a) Potom kvadratická forma je pozitivně definitní při vedlejší podmínce právě tehdy, jestliže pro (konečnou) posloupnost hlavních minorů platí: , , atd.... tzn. všechny hlavní minory této matice jsou záporné[3]. Podobně: Stejně definovaná kvadratická forma s maticí je při shodné podmínce představované lineární formou R pozitivně semidefinitní, jestliže výše uvedená posloupnost hlavních minorů má samá nekladná znaménka. b) Potom kvadratická forma je negativně definitní při vedlejší podmínce právě tehdy, jestliže pro (konečnou) posloupnost hlavních minorů platí, že tato posloupnost střídá znaménka, přičemž první z determinantů uvedených v tvrzení a) je kladný. , , atd....[4].. Analogicky Shodně definovaná kvadratická forma Q s maticí C je při shodné podmínce představované lineární formou R negativně semidefinitní, jestliže výše uvedená posloupnost hlavních minorů střídá znaménka ³ a £ (a začíná znaménkem ³ ). Jak patrno, matice v uvedeném tvaru může být interpretována právě jako matice vytvořená z prvních a druhých parciálních derivací užitkové funkce (při vyčíslení hodnot v nějakém, např. rovnovážném bodě . Poloha prvních a druhých parciálních derivací je shodná jako u výše uvedené matice , resp. vektoru . Jestliže na vektor proměnných uplatníme regulární transformaci tvaru , neboli , potom můžeme psát , protože a dále protože pro symetrickou matici platí ^ . Dále proto platí Věta 6 : Jestliže je kvadratická forma pozitivně definitní, platí tato pozitivní definitnost stejně i pro kvadratickou formu . Analogicky Jestliže je kvadratická forma negativně definitní, platí tato negativní definitnost stejně i pro kvadratickou formu . Poznámka. Podobná tvrzení můžeme vyslovit také pro (negativní a pozitivní) semidefinitnost kvadratické formy vůči . ________________________________ [1] V tomto případě by kvadratická forma nabývala identicky (bez ohledu na volbu C) nulovou hodnotu. [2] Zápisem rozumíme, že alespoň jedna ze složek vektoru x je nenulová. Totéž u . [3] Zřejmě tato podmínka platí i pro „minory“ dimenze 2 (výraz je zajisté záporný). [4] Opět tato podmínka platí i pro „minory“ dimenze 2, kde výraz je zajisté záporný.