PMZMII - Cviceni 1 (matice prechodu) Cilem je najit matici, ktera umi vyjadrit vektor v ruznych bazich. Upozorneni do pisemky: V pisemce bude cilem jen prislusne matice sestavit, nikoliv konkretne pocitat(to by byla ztrata casu v dobe, kdy mame k dispozici pocitace). Duraz je tedy kladen na pochopeni latky, nikoliv na vase pocetni schopnosti. Priklad 4.4B20 Naleznete matici prechodu od baze (1) k bazi (2) vektoroveho prostoru V , je-li: V = R2, (1): u1 = (2, -3), u2 = (-1, 1) (2): v1 = (1, 0), v2 = (0, -2). Reseni: Ukazme si napriklad, jak vypada vektor (1,0) v danych bazich. Hledame tedy linearni kombinace vekoru (u1, u2) a (v1, v2), abychom dostali dany vektor: 1 0 = a 2 -3 + b -1 1 Protoze (u1, u2) tvori bazi, musi to byt linearne nezavisle vektory a tudiz musime dostat jednoznacne reseni systemu linearnich rovnic, kokretne (-1, -3). Takto tedy vypada vektor (1, 0) v bazi (u1, u2). Podobne v bazi (v1, v2) vypada vektor (1, 0) jako vektor (1, 0). Skutecne plati: 1 0 = -1 2 -3 + -3 -1 1 = 1 1 0 + 0 0 -2 Maticove to muzeme zapsat jako 1 0 = 2 -1 -3 1 -1 -3 = 1 0 0 -2 1 0 . Tedy matice prechodu od baze (1) k bazi (2) je 1 0 0 -2 -1 2 -1 -3 1 -1 -3 = 2 -1 1.5 0.5 -1 -3 = 1 0 , a matice prechodu od baze (2) k bazi (1) 2 -1 -3 1 -1 1 0 0 -2 1 0 = -1 2 -3 4 1 0 = -1 -3 . 1 Pozor na definici matice prechodu. Tahle se mi zda logictejsi (i doc. Veselemu), nicmene v ucebnici je definice obracene, proto i vsechny vysledky budou opacne. Priklad 4.4B21a Je dana baze (1) vektoroveho prostoru V a matice A. Naleznete bazi (2) prostoru V takovou, aby A byla matici prechodu od baze (1) k bazi (2). V = K nad R (1): u1 = 1 + 2i, u2 = 2 - 3i -1 3 1 2 Reseni: Nejprve si uvedomte, ze vektorovy prostor V = K nad R ma dimenzi 2. Proto je take matice prechodu typu 2x2. Proto muzeme komplexni cislo chapat jako dvojrozmerny vektor, tedyu1 = (1, 2), u2 = (2, -3). Nyni je dulezite si uvedomit, co vlastne vyjadruje matice prechodu: Matice prechodu od baze (1) k bazi (2) jsou vlastne linearni kombinace vektoru baze (1) v bazi (2) naskladane do sloupcu. Pouzitim teto definice resime 1 2 = -1v1 + 1v2 2 -3 = 3v1 + 2v2, coz se da zapsat maticove jako 1 2 2 -3 = v1 v2 -1 3 1 2 odkud plyne, ze v1 v2 = 1 2 2 -3 -1 3 1 2 -1 = 0 1 -1.4 0.6 . Tedy resenim je jsou komplexni cisla v1 = -1.4i a v2 = 1 + 0.6i. Pokud bychom prijali definici matice prechodu z ucebnice, pak by v1 v2 = 1 2 2 -3 -1 3 1 2 = 1 7 -5 0 , 2 coz odpovida vysledkum. Priklad 4.4B21b,c V priklade b si staci uvedomit, ze existuje izomorfismus mezi prostorem polynomu radu 2 a prostorem R3, tedy napriklad polynom u1 = x2 + 3x + 2 muzeme chapat jako vektor u1 = (1, 3, 2). V priklade c si uvedomme, ze prostor matic V = Mat22(R) je ctyr dimenzionalni (overte si to), tedy napriklad matici 1 0 1 1 lze chapat jako vektor (1, 0, 1, 1). Priklad 4.4B22c Z definice matice prechodu plyne, ze u1 = (-1 + i) 1 2 - i 0 + (4 + 3i) 1 + i 0 1 + (-2 + i) 0 2i 2 + i . Podobne vektory u2 a u3. Tedy maticove u1 u2 u3 = 1 1 + i 0 2 - i 0 2i 0 1 2 + i -1 + i 1 - 2i -2 - i 4 + 3i -8 - 3i -3 + 9i -2 + i 3 - 3i -3 - 3i = 8i -4 - 13i -14 + 5i -3 - i 6 + i 1 - 6i -1 + 3i 1 - 6i -6 . Pokud bychom opet zamenili definici, vysledek by byl u1 u2 u3 = 1 1 + i 0 2 - i 0 2i 0 1 2 + i -1 + i 1 - 2i -2 - i 4 + 3i -8 - 3i -3 + 9i -2 + i 3 - 3i -3 - 3i -1 = -3 - 3i 1 + i 1 + 4i -7 + i 2 5 + 2i 5 2 - 2i 3 + 3i . Priklad 4.4B23d Abychom nalezli matici prechodu musime resit U1 = a1V1 + b1V2 + c1V3 + d1V4 U2 = a2V1 + b2V2 + c2V3 + d2V4 U3 = a3V1 + b3V2 + c3V3 + d3V4 U4 = a4V1 + b4V2 + c4V3 + d4V4. 3 Protoze opet matice jsou ze 4dimenzionalniho prostoru, je mozne je chapat jako vektory, tedy vysezminenou rovnici je mozno maticove zapsat jako U1 U2 U3 U4 = V1 V2 V3 V4 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c1 c2 c3 c4 . Vysledkem je matice V1 V2 V3 V4 -1 U1 U2 U3 U4 = a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c1 c2 c3 c4 . Pokud bychom opet zamenili definici, dostali bychom to, co je ve vysledcich cvicebnice, tedy 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 0 -1 0 0 -1 -1 -1 1 0 0 0 3 -1 2 0 -1 1 2 -2 0 -1 1 0 = 1 -1 1 0 0 1 1 -1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 . 4