Klasický model časové řady Významné trendové funkce Modely časových řad 4 4. Modely časových řad Cíl kapitoly Poté co jsou vytvořeny předpoklady studia časových řad, je možno přistoupit k jejich matematicko-statistické analýze. Základní úlohou, která je v případě časových řad řešena, je nalezení obecné tendence vývoje časové řady - trendu. Tato kapitola Vám nabídne několik možností jak lze přistoupit k nalezení trendu časové řady. Východiskem je zejména tzv. klasický model časové řady a následné využití regresního počtu. Časová zátěž 6 hodin (3. týden v březnu) Uvod Charakteristiky uvedené v předchozí kapitole podávají poměrně představu o vývoji sledovaného procesu v čase. Například tempa růstu se užívá v prak- tických úlohách velmi často jako základního (a mnohdy jediného) údaje, který má danou časovou řadu charakterizovat. Pro konkrétní ekonomické aplikace je však mnohem významnější oblast analytická, kdy se snažíme o popis sledo- vaného jevu pomocí modelů. Oblast modelování časových řad tvoří poměrně výraznou statistickou disciplínu, jež v poslední době prochází obrovským roz- vojem. Tento rozvoj je vyvolán především masivním nástupem výpočetní techniky a jejího využití. Výpočetní technika umožňuje používání některých typů metod, které jsou bez jejího využití technicky velmi náročné. Stejně tak využití výpočetní techniky přiblížilo oblast analýzy časových řad běžnému použití, nebot' základní nástroje a modely jsou obvykle součástí běžného sta- tistického software. K modelování časové řady je možno využít několika přístupů. Tyto přístupy se liší v míře zahrnutí náhodných vlivů do modelu, z čehož také vyplývají adekvátní matematicko-statistické metody. Následující kapitola se věnuje především prezentaci základních " klasických" metod analýzy časových řad. Jednorozměrný model časové řady Východiskem bude princip jednorozměrného modelu časové řady, který je možno definovat jako yt = f(t, t), kde yt je hodnota modelovaného ukazatele v čase t, t je časová proměnná, nabývající hodnot t = 1, 2, . . . , n a t označuje hodnotu náhodné složky (tzv. poruchy) v tomto čase t. Vedle jednorozměrných modelů je možno časové řady analyzovat také pomocí modelů vícerozměrných. Tedy takových, kdy v roli vysvětlující proměnné nevystupuje pouze čas, ale i některé další faktory. V tomto případě je nutno užít složitějších metod, které však již přesahují záměr této publikace. Uvedené vícerozměrné modely časových řad zahrnují především modely vy- cházející z regresního počtu, jako je například Koyckův model. Je však možno se setkat i s jinými přístupy, jedním z nejznámějších jsou tzv. autoregresní modely, které vycházejí z vysvětlení proměnné v časové řadě pomocí jejích 54 změn v čase (minulými pozorováními). Autoregresním metodám se věnuje například učebnice Artla Moderní metody modelování časových řad. Konkrétní podobu uvedeného jednorozměrného modelu je možno vyvodit zejména následujícími třemi způsoby: a) pomocí klasického modelu, který vychází z dekompozice časové řady na čtyři základní složky ­ trendovou, sezónní, cyklickou a náhodnou. b) pomocí Box-Jenkinsonovy metodologie, která při popisu časové řady vychází z existence náhodné složky a využívá korelační analýzy. c) pomocí spektrální analýzy, kdy časovou řadu popisujeme pomocí soustavy sinusoid a cosinusoid. Tento přístup akcentuje. Pokud je cílem analýzy časové řady především postihnutí formy pohybu sle- dované veličiny, je vhodné použít klasického modelu. Jeho výhodou je velmi dobrá interpretace struktury modelu, včetně interpretace významu a smyslu jednotlivých složek. Použití klasického modelu časové řady však není příliš praktické v úlohách, kde analýza má sloužit pro postižení věcných příčin chování časové řady. Například je-li cílem analýzy zachycení chování časové řady s možností její ex- trapolace (vytvoření predikce), je klasický model vhodný jen u těch modelů, které vykazují poměrně stabilní vývoj všech složek. Pokud není vývoj jed- notlivých složek příliš stálý, resp. je v časové řadě velmi významná náhodná složka, je vhodnější užít např. metody Box-Jenkinsonovy. 4.1 Klasický model časové řady Jak jsme již zmínili, klasický model časové řady vychází z dekompozice (rozčlenění) časové řady do následujících čtyř složek: trendové (Tt), sezónní (St), cyklické (Ct), náhodné (t). Klasický model může obsahovat všechny uvedené složky, stejně jako může obsahovat pouze některé z nich. Přítomnost jednotlivých složek v modelu je dána zejména věcným obsahem časové řady. Proto by analýze časové řady měla předcházet (stejně jako tomu bylo v případě regresní analýzy) důkladná věcná analýza vycházející především ze známých teoretických a praktických poznatků o vývoji zkoumaného jevu. Klasický model časové řady je obvykle popsán pomocí tzv. aditivního tvaru, kdy je časová řada ukazatele yt modelována jako součet jednotlivých složek. yt = Tt + St + Ct + t V některých úlohách je výhodnější využít multiplikativního modelu, kdy je proměnná yt vyjádřena jako součin jednotlivých složek. Tuto úlohu lze však snadno převést na předchozí (aditivní) typ pomocí vhodné logaritmické transformace. 55 4. Modely časových řad Uvědomte si, že logaritmováním součinu dvou proměnných dostáváme součet logaritmů těchto proměnných (logaritmus součinu je roven součtu logaritmů). 4.1.1 Trendová složka časové řady Ve většině úloh tvoří trendová složka nejvýznamnější část časové řady. Po- pisuje tzv. trend řady ­ nějakou hlavní (nejsilnější) tendenci vývoje sle- dovaného ukazatele v čase. Obecně může být rostoucí i klesající. Pokud nastává situace, kdy se hodnoty ukazatele pohybují okolo určité stálé úrovně, hovoříme o časové řadě bez trendu. K popisu trendové složky časové řady vycházíme z poznatků regresní a ko- relační analýzy. S určitou mírou zjednodušení se dá říci, že analýza trendové složky přechází na klasickou úlohu hledání vhodné regresní funkce. V roli nezávisle proměnné však v případě trendu vždy vystupuje časová proměn- ná t. 4.1.2 Kritéria volby trendové funkce Jak jsme již zmínili formulace vhodné trendové funkce je do jisté míry zá- kladní úlohou při analýze časové řady. Otázka, zda daný ukazatel má v čase spíše tendenci k růstu či poklesu, je kardinální otázkou například analýzy produkčních funkcí. Stejně tak je významná informace o charakteru tohoto růstu. Jako východisko pro nalezení vhodné trendové funkce musí (stejně jako u regresních vztahů) sloužit věcná ekonomická analýza. Je nutno zhodnotit, zda existují věcné důvody pro růst daného ukazatele v čase, či zda se může jednat pouze o dočasný jev, který bude vystřídán poklesem. Věcně ekonomickou analýzu je vhodné doplnit analýzou grafu časové řady. Graf funkce umožňuje srovnat teoretická východiska s empiricky získanými údaji. Oba typy analýz však mohou sloužit pouze jako východisko pro další odhady. Analýza grafu je do jisté míry subjektivní záležitostí, ovlivněná například měřítkem zobrazení, předsudky analytika, náhodným nahromaděním někte- rého typu dat v určitém období apod. Kritéria pro volbu trendu Je proto nutné nalézt objektivnější kritéria pro volbu trendové funkce. Mezi nejčastěji užívaná patří především: metody vycházející z regresního počtu Patří sem především metody založené na hledání minimálních odchylek empirických a vyrovnaných odchylek (např. MNČ). index korelace, či determinace Kritériem pro volbu konkrétní trendové funkce je v tomto případě na- lezení takového tvaru, kdy je hodnota indexu korelace nejvyšší. Tato informace je však sama o sobě velmi závislá na typu procesu, který analyzujeme. Je vhodnější v případech, kdy jsou k dispozici poměrně jasné předpoklady o tvaru trendové funkce a je vhodné ji použít spíše jako doplňující informaci. 56 statistické testy a intervaly spolehlivosti Stejně jako u regresních metod je možno využít k rozhodnutí o volbě trendu některých standardních statistických testů. analýza diferencí a tempa růstu Jak jsme již zmínili v předchozí kapitole věnované charakteristikám časových řad, podávají hodnoty prvních a druhých diferencí význam- nou informaci, která může být vodítkem k volbě trendu. klouzavý průměr Metoda vytvoření trendové funkce pomocí klouzavých průměrů je v praxi velmi oblíbená pro svou jednoduchost. Spočívá v nahrazení empirických pozorování, která tvoří členy časové řady, řadou průměrů vypočítaných z těchto pozorování. extrapolační kritéria Extrapolační kritéria jsou odlišným pohledem na volbu trendu. Všech- ny výše uvedené postupy, někdy nazývané interpolační, posuzovaly vhodný trend pomocí míry vystižení již známých hodnot sledovaného ukazatele. Extrapolační kritéria jsou založena na simulaci sledovaného jevu, kdy z časové řady vybereme určitý časový úsek a na jeho základě se snažíme " simulovat" následující (již známá) pozorování. Pro volbu trendové funkce je pak kritériem co nejlepší shoda simulovaných a skutečně zjištěných hodnot ukazatele. Jelikož některá výše uvedená kritéria ­ analýza diferencí a klouzavé průměry ­ jsou poměrně jednoduchá, ukážeme jejich princip a použití. Poté se budeme podrobněji věnovat užívaným trendovým funkcím a jejich použití. 4.1.3 Analýza diferencí časové řady Diference časové řady udávají rozdíl mezi po sobě jdoucími hodnotami uka- zatelů. Vyjadřují tedy o kolik jednotek došlo ke zvýšení, či snížení hodnoty sledovaného ukazatele. Jak jsme již popsali v předchozí kapitole, diference je možno konstruovat i vyšších řádů jako rozdíly diferencí. Lze snadno dokázat, že v momentu, kdy jsou diference některého řádu konstantní, případně se velmi málo odlišují od určité hodnoty, lze zkoumanou časovou řadu popsat trendovou funkcí řádu stejného jako je diference. Obdržíme-li tedy konstantní diference prvního řádu (tedy diference druhého řádu rovny nule), lze danou časovou řadu popsat pomocí lineárního trendu. Nulové hodnoty diferencí třetího řádu ukazují na využití parabolického tren- du apod. Podobně jako diferencí (rozdílů) je možno využít i indexů (počítaných jako podíl sousedních hodnot v časové řadě). Je-li index prvního řádu, který jsme v předchozí kapitole nazvali tempo růstu, roven konstantě, je možno posuzo- vanou časovou řadu popsat exponenciálním trendem. Příklad 4.1 Jistý hypermarket sleduje počet návštěvníků v prvních měsících po otevření. Zajímá se o charakter vývoje počtu návštěvnosti s možností její prognózy 57 4. Modely časových řad do budoucna, proto opakuje sledování vždy každý měsíc. Pro prvních devět měsíců roku 2001 je návštěvnost uvedena v následující tabulce: leden únor březen duben květen počet 103 254 415 587 770 červen červenec srpen září počet 965 1 171 1 387 1 613 Tabulka 4.1: Návštěvnost v hypermarketu v roce 2001 (v tis. obyvatel) Řešení: Jako východisko volby trendové funkce využijeme analýzy diferencí. Vypo- čítané diference prvního, druhého a třetího řádu jsou uvedeny v následující tabulce. leden únor březen duben květen počet 103 254 415 587 770 D1 x 151 161 172 183 D2 x x 10 11 11 D3 x x x 1 0 červen červenec srpen září počet 965 1 171 1 387 1 613 D1 195 206 216 226 D2 12 11 10 10 D3 1 -1 -1 0 Tabulka 4.2: První, druhé a třetí diference návštěvnosti v hypermarketu Z výsledků uvedených v tabulce je patrné, že diference druhého řádu nabývají víceméně konstantních hodnot a diference třetího řádu se pohybují velmi blízko nulovým hodnotám. Lze tedy usuzovat, že vývoj počtu návštěvníků se řídí parabolickým trendem. Výsledky příkladu naznačují jistá omezení těchto jednoduchých analýz. Z praktických důvodů lze očekávat, že růst počtu návštěvníků se nutně musí v určitý moment zastavit. Použití parabolického trendu, i když výsledky dife- renční analýzy v jeho prospěch hovoří, není proto vhodné. Věcné důvody spíše hovoří ve prospěch některého asymptotického (shora omezeného) trendu, které jsou prezentovány v následující části kapitoly. 4.1.4 Metoda klouzavého průměru Jistou alternativu analytickým metodám odhadu trendové funkce (využíva- jící především regresních metod) je použití klouzavého průměru. Výhodou tohoto postupu je především jeho jednoduchost a dostupnost. 58 Klouzavý průměr Metoda klouzavých průměrů vychází z principu postupného nahrazování em- pirických pozorování odpovídajícími průměry hodnot vypočítaných z těchto pozorování. Každý z těchto průměrů je tedy vypočítán pouze z výseku časové řady a reprezentuje pouze tuto část. Narozdíl od analytické trendové funkce tak klouzavý průměr disponuje větší pružností na změny v hodnotách zkou- mavé veličiny. Metody klouzavého průměru je také možno využít pro tzv. sezónní očištění časové řady, o kterém se zmíníme v části věnované analýze sezónní složky. Klouzavý průměr pro dané období obvykle počítáme jako průměr hodnot jež tomuto období předcházejí a stejnému počtu hodnot následujících. Každou následující hodnotu klouzavého průměru vypočítáme tak, že vyřadíme nej- starší člen a nahradíme ho dalším následujícím pozorováním. Postupně tedy " kloužeme" po časové řadě. Jelikož je do průměru zahrnuta i nahrazovaná hodnota za dané období, má klouzavý průměr obvykle lichý počet členů. V praktických úlohách se nejčastěji užívá tří-, pěti- a sedmičlenných klouzavých průměrů. Z metody jejich výpočtu vyplývá, že s prodlužující se délkou období zahrnutého do průměru dochází ke stále většímu zplošt'ování grafu klouzavého průměru. Délku klouzavé části průměru je tedy nutno vhodně zvolit, nejlépe opět s využitím věcných argumentů. Pro m-členný prostý klouzavý průměr dostáváme vztah ^a0t = y = 1 m p i=-p yt,i = yt-p + yt-p+1 + + yt+p m , kde m = 2p + 1 je délka klouzavé části (3, 5, 7, 9, . . . ) a yt,i jsou vyrovnávané hodnoty. Odvození vztahu pro prosté klouzavé průměry, stejně jako odvození dalších typů klouzavých průměrů (vážené, centrované) naleznete v učebnici Seger, Hindls: Statistika v hospodářství na str. 382­391. Princip výpočtu i možná využití klouzavého průměru ilustruje následující příklad. Příklad 4.2 Vyrovnejte řadu hodnot hrubého domácího produktu v České republice v jed- notlivých čtvrtletích let 1994­2000 pomocí klouzavého průměru. Porovnejte různé délky období zahrnutého do průměru. Pro tříčlenné klouzavé průměry počítáme průměr za hodnotu pro dané období, jednu předchozí a jednu následující hodnotu. Jelikož hodnoty starší než I.94 nejsou k dispozici, je první hodnotou klouzavého průměru II. čtvrtletí 1994. K3(II.94) = 266016 + 289773 + 313991 3 = 289927 59 4. Modely časových řad HDP b.c (mil. Kč) I.94 266 016 II.94 289 773 III.94 313 991 IV.94 313 004 I.95 310 714 II.95 340 381 III.95 368 855 IV.95 361 099 I.96 346 842 II.96 392 106 III.96 416 569 IV.96 411 451 HDP b.c (mil. Kč) I.97 375 304 II.97 427 470 III.97 435 517 IV.97 441 630 I.98 417 096 II.98 464 627 III.98 478 850 IV.98 476 487 HDP b.c (mil. Kč) I.99 432 037 II.99 477 352 III.99 485 067 IV.99 492 869 I.00 441 373 II.00 490 264 III.00 505 797 IV.00 522 151 Tabulka 4.3: Vývoj čtvrtletního HDP b.c. (v mil. Kč) pro III. čtvrtletí 1994 K3(III.94) = 289773 + 313991 + 313004 3 = 305589 Pětičlenné klouzavé průměry zahrnují mimo daného období dvě před- chozí a dvě následující pozorování. První počítanou hodnotou je hodnota pro III. čtvrtletí roku 1994: K5(III.94) = 266016 + 289773 + 313991 + 313004 + 310714 5 = 298700 pro IV. čtvrtletí 1994 K5(IV.94) = 289773 + 313991 + 313004 + 310714 + 340381 5 = 313573 Sedmičlenné klouzavé průměry mimo daného období zahrnují tři před- chozí a tři následující pozorování. První počítanou hodnotou je proto hodnota pro poslední čtvrtletí roku 1994: K7(IV.94) = = 266016 + 289773 + 313991 + 313004 + 310714 + 340381 + 368855 7 = = 314676 pro I. čtvrtletí 1995 K7(I.95) = = 289773 + 313991 + 313004 + 310714 + 340381 + 368855 + 361099 7 = = 328260 Kompletní výsledky uvádí následující tabulka. 60 HDP b.c 3-členné 5-členné 7-členné I.94 266 016 II.94 289 773 289 927 III.94 313 991 305 589 298 700 IV.94 313 004 312 570 313 573 314 676 I.95 310 714 321 366 329 389 328 260 II.95 340 381 339 983 338 811 336 412 III.95 368 855 356 778 345 578 347 572 IV.95 361 099 358 932 361 857 362 367 I.96 346 842 366 682 377 094 376 758 II.96 392 106 385 172 385 613 381 747 III.96 416 569 406 709 388 454 390 120 IV.96 411 451 401 108 404 580 400 751 I.97 375 304 404 742 413 262 414 292 II.97 427 470 412 764 418 274 417 862 III.97 435 517 434 872 419 403 424 728 IV.97 441 630 431 414 437 268 434 356 I.98 417 096 441 118 447 544 448 811 II.98 464 627 453 524 455 738 449 463 III.98 478 850 473 321 453 819 455 440 IV.98 476 487 462 458 465 871 461 645 I.99 432 037 461 959 469 959 472 470 II.99 477 352 464 819 472 762 469 148 III.99 485 067 485 096 465 740 470 778 IV.99 492 869 473 103 477 385 474 966 I.00 441 373 474 835 483 074 487 839 II.00 490 264 479 145 490 491 III.00 505 797 506 071 IV.00 522 151 Tabulka 4.5: Vyrovnání časové řady HDP klouzavými průměry Centrovaný klouzavý průměr Mimo výše uvedených prostých tvarů klouzavých průměrů se užívají i další typy průměrů. Jedná se především o vážené klouzavé průměry a centro- vané průměry. Pro konkrétní výpočty jsou významné zejména centrované klouzavé průměry, kterých je možno využít v případech, kdy klouzavá část má délku rovnu sudému číslu. V tomto případě se příslušná hodnota pro dané období stanoví jako aritmetický průměr dvou klouzavých průměrů počítaných pro dané období ­ průměru dvou předchozích a jednoho následují- cího pozorování a průměru jednoho předchozího a dvou následujících období. 61 4. Modely časových řad Obrázek 4.1: Srovnání skutečných hodnot HDP a hodnot vyrovnaných sedmičlenným klouzavým průměrem Použití vážených centrovaných průměrů naleznete v příkladu věnovaném sezónnímu očišt'ování. (Tvar, odvození a použití dalších typů klouzavých průměrů naleznete v učebnici Seger, Hindls Statistické metody v tržním hos- podářství na stranách 382­391.) 4.2 Významné trendové funkce Pro popis trendu volíme matematickou trendovou funkci, která opět vychází z okruhu elementárních funkcí. Na základě empirických zkušeností patří dále mezi často užívané trendové funkce některé další tvary, jako například logis- tická funkce, či Gompertzova křivka. Trendové funkce Mezi nejvýznamnější trendové funkce proto patří zejména následující tvary: lineární trend, parabolický trend, exponenciální trend, logistický trend, Gompertzova křivka. Odhad prvních tří typů trendových funkcí je možno provést poměrně jed- noduchými metodami a je zde možno využít především metod regresního a korelačního počtu. Všechny tyto trendové funkce mají společnou vlastnost neomezenosti jejich růstu. Zbylé typy používaných funkcí již touto vlastností nedisponují a jejich růst je omezen. Tato vlastnost je také klíčovou informací pro rozhodování o volbě konkrétní trendové funkce. Modelujeme-li ekonomické jevy, u nichž lze předpokládat, že existuje určitá mez nasycení, daná například poptávkou nebo mírou využití určitého výrobku, je vhodnější využít druhého typu trendových funkcí. Při 62 modelování běžných jevů, kdy k těmto zastavením růstu obvykle nedochází ­ např. vývoj průměrné hrubé mzdy, je vhodnější využít spíše jednoduchých trendů. 4.2.1 Lineární trend Stejně jako u metod regresních je i v případě trendových funkcí základním používaným typem přímka (lineární funkce). Ačkoli se u všech jevů zpravi- dla nedá předpokládat lineární průběh posuzované závislosti (časové řady), je lineární trend obvykle používán ke získání výchozí informace pro zob- razení vývoje dané časové řady. V kratších časových intervalech je lineární trend také používán jako vhodná aproximace jiných (složitějších) trendových funkcí. Obecný tvarem lineárního trendu je Tt = a0 + a1t, kde a0, a1 jsou neznámé parametry a t je časová proměnná nabývající hodnot 1, 2, . . . , n. Neznámé parametry trendové funkce je možno odhadnout několik metodami, nejčastěji se (stejně jako u regresní analýzy) využívá metody nejmenších čtverců (MNČ). Odvození naleznete například v učebnici Seger, Hindls Statistické metody v tržním hospodářství na stranách 340­342. 4.2.2 Parabolický a exponenciální trend Parabolický a exponenciální trend Podobně jako v případě přímkové regrese je možno postupovat i při odhadu zbylých dvou jednoduchých typů trendových funkcí. Odhad parametrů tren- dových funkcí vychází z následujících tvarů: parabolický trend Tt = a0 + a1t + a2t2 , exponenciální trend Tt = a0 + at 1, kde a0, a1, a2 jsou neznámé parametry a t je časová proměnná nabývající hodnot 1, 2, . . . , n. Pro odhad parametrů a0, a1, resp. a2 je opět možno využít metod regresní analýzy, v případě parabolického trendu jsou parametry odhadovány meto- dou nejmenších čtverců, exponenciální trend je odhadován vhodnou lineari- zující transformací a následně metodou MNČ. Jelikož je odvození obou typů trendových funkcí do jisté míry obdobou přímkového trendu, není nutno již uvedené skutečnosti opakovat. Postup odvození uvedených parametrů naleznete opět v učebnici Seger, Hindls Sta- tistické metody v tržním hospodářství na stranách 345­354. 63 4. Modely časových řad 4.2.3 Logistický trend a Gompertzova křivka Logistický odhad Odhad trendu pomocí logistické, resp. Gompertzovy funkce patří mezi pod- statně složitější úlohy. Oba tvary patří mezi tzv. asymptotické, tedy funkce, jejichž růst je omezen. Tato vlastnost je také určující pro hlavní oblasti jejich využití. Jelikož smysl i forma jejich použití je obdobné, omezíme se pouze na výklad použití logistické křivky. Jelikož smysl i forma použití obou typu křivek je obdobné, omezíme se pouze na výklad použití logistické křivky. Podobu, odvození a použití dalších typů asymptotických trendů (Gompertzovy křivky a modifikovaného expo- nenciálního trendu) naleznete v učebnici Seger, Hindls: Statistické metody v tržním hospodářství na stranách 354­361 a 369­372. Logistická křivka se využívá pro modelování vývoje dlouhodobé poptávky po vybraných spotřebních předmětech. Podle tvaru jejího průběhu je graf lo- gistického trendu nazýván S-křivka. Vývoj časové řady popsaný dle S-křivky obvykle lze rozdělit do několika fází. Jejich popis uvádí následující obrázek. Obrázek 4.2: Fáze logistického trendu Fáze logistického trendu I. fáze -- zachycuje období formování nové technologie (výrobku) II. fáze -- období, kdy se nová technologie postupně začíná plně prosazovat a vytlačuje technologii stávající III. fáze -- technologie zcela ovládá trh, přičemž se již objevují tlumící síly, spojené s postupným vývojem nastupující technologie (ta se může nacházet někde ve své I. fázi). Třetí fázi je možno velmi dobře popsat pomocí lineárního trendu. IV. fáze -- dochází k postupnému nástupu další technologie, která stávající postupně vytlačuje. Křivka se postupně ohýbá a ztrácí svou progresi. V. fáze -- Zcela se vytratil nárůst hodnot ve sledované proměnné. Vývoj technologie se zcela zastavil. Dochází k jejímu postupnému odchodu z trhu, případně naprostému zakonzervování . 64 Konkrétní tvar logistické trendové funkce je relativně jednoduchý. Jeho od- had je však již výrazně obtížnější než je tomu u výše uvedených trendů. Tvar S-křivky i její odvození obvykle bývá součástí všech standardních sta- tistických učebnic. Můžete jej nalézt napříkald v učebnici Seger, Hindls Sta- tistické metody v tržním hospodářství na stranách 361­368. Shrnutí kapitoly Východiskem studia ekonomických časových řad je obvykle využití klasického modelu časové řady, kdy si údaje v řadě rozdělíme do čtyř složek - trendové, sezónní, cyklické a náhodné. Kapitola se zaměřila především na analýzu trendové složky, která je obvykle nejvýznamnější informací obsaženou v časové řadě. Trend časové řady nám podává informaci o vývoji zkoumané veličiny v čase, o tom zda dochází k jejímu růstu, či poklesu. K nalezení trendu je možno využít celé řady nejrůznějších technik. Základní techniky jsou odvozeny z regresního počtu, druhou významnou skupinu tvoří využití nejrůznějších klouzavých průměrů. Analýzou dalších složek klasického modelu časové řady, zejména složek spo- jených se sezónními a cyklickými výkyvy je věnována následující kapitola. Otázky k zamyšlení 1 Jaká kritéria musíte zvážit při volbě trendové funkce časové řady? Uvažujte časovou řadu některého z významných makroekonomických ukazatelů a pokuste se tato kritéria aplikovat. 2 Pokuste se nalézt příklady technologií, kdy by bylo možno využít lo- gistického trendu. Diskutujte jeho jednotlivé fáze a odhadněte příčiny, které vedou k ústupu technologie. 3 Vysvětlete princip výpočtu klouzavého průměru. 65 4. Modely časových řad 66