Příklady k procvičení, funkce více proměnných
Příklad 1: Určete parciální derivace 1. řádu.
a)  /(*,!/) = S
b)   f(x,y) = e~x(xy-y2)
c)   f(x,y) = x.ln(x2 + y)
d)   f(x,y, z) = z.exly
Příklad 2: Najděte lokální extrémy funkcí
a)   f{x,y) = e2x(x + y2 + 2y)
b)   f(x, y) = x3 — 3xy + y3
c)   f(x,y) = (x2 + y).ey/2
d)   f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 — xy + x — 2z
Příklad 3: Napište totální diferenciál funkce
a)   f(x,y) = x2.ln(y) v bodě [1,1]
b)   f(x, y) = e2x + y v bodě [0, 0]
c)   f(x,y) = S~Y v bodě [n, 2]
d)   f(x, y, z) = z. (x + y2) v bodě [0,1,2]
Výsledky
Příklad 1: Určete parciální derivace 1. řádu.
„\     f>  —    -%2   .     f I  —      3x2
A)    Jx —  (x-y)2>   J y ~  (x-y)2
b)   f'x = e~x(-xy + y2 + y); fý = e~x(x - 2y)
c)   f'x = ln{x* + y) + ^ f> = ^-y
d)   fx = z.ď/y.l/y;  fy = -z.ex'y.x/y2- f'z = ex'*
Příklad 2: Najděte lokální extrémy funkcí
a)  V bodě [1/2, —1] je lok. minimum
b)  V bodě [0, 0] není extrém, v bodě [1,1] je lok. minimum
c)  V bodě [0, —2] je lok. minimum
d)  V bodě [—2/3, —1/3,1] je lok. minimum
Příklad 3: Napište totální diferenciál funkce
a)   df = O.dx + l.dy
b)   df = 2.dx + l.dy
c)   df = =Y.dx + O.dy
d)   df = 2.dx + 2.dy + l.dz