Cviceni k predmetu PMMAT2
Cviceni 2 - Funkce vicepromennych
Osnova: pojem okoli a pojem vzdalenosti (priklady), pojem limity (srovnani s pristupem v R
- priklady), spojitost, parcialni derivace
Pojem okoli a vzdalenosti
V prostorech vyssich dimenzi jiz neni mozne vysetrovat okoli bodu x0, ve kterem chceme zjistovat
chovani funkce ( to je vlastne definice limity ), zleva nebo zprava. Musime tudiz zavest
pojem okoli bodu. To chapeme jako mnozinu bodu x, ktere maji od bodu x0 vzdalenost
stejnou nebo mensi jak nejake realne cislo. Vsimnete si take, ze nas vubec nezajima chovani
funkce primo v bode x0.
Pojem okoli ale vyzaduje zavedeni pojmu vzdalenosti. Vzdalenost je nejaky funkcni predpis
prirazujici dvema bodum prostoru realne cislo (vzdalenost). Toto prirazeni musi byt nezaporne
(vzdalenost bodu je vzdy kladna nebo nula, pokud merime vzdalenost bodu od sebe
sameho), symetricke (vzdalenost z bodu x do y je stejna jako z y do x), a take musi splnovat
trojuhelnikovou nerovnost (prima vzdalenost bodu x a y je mensi nez soucet vzdalenosti z
bodu x do y pres nejaky treti bod z). Opet jsem si ukazali, ze vzdalenosti mohou byt zavedeny
ruzne (na nasi planete - casti kruznic , v New Yorku - tzv. taxikarska metrika, Euklidovska vzdalenost
bodu od primky probirana na stredni skole a zjistovana pomoci kruzitka atd). Da se
ukazat, ze vsechny tyto vzdalenosti jsou "stejne dobre", hlavne vsechny splnuji vyse zminene
pozadavky.
Pojem limity
Definici limity ve vicerozmernych prostorech chapeme tak, ze chovani funkce v okoli bodu x0
nezavisi na ceste, po ktere se k danemu bodu x0 blizime.
Priklad 1
Vypoctete lim(x,y)(2,3)
y-3
x+y-5. Vsimnete si opet, ze vetsinou chceme znat chovani funkce v
okoli tech bodu, ve kterych funkce neni definovana. Priblizujme se tedy k bodu (2, 3) po vsech
moznych primkach, ktere prochazeji bodem (2, 3). Jejich obecne vyjadreni y - y0 = k(x - x0)
odpovida svazku primek y = k(x - 2) + 3. Pokud limita vyjde zavisla na smernici primky
k mame jistotu, ze limita neexistuje, protoze zalezi na ceste, po ktere se blizime bodu (2, 3).
Naopak pokud vyjde nezavisla, nemuzeme uz tvrdit, ze limita existuje, protoze jsme samozrejme
neproverili vsechny cesty (napr. priblizovani se po parabolach). Tedy pocitejme:
lim(x,y)(2,3)
k(x-2)+3-3
x+k(x-2)+3-5 = k
k+1. Limita tedy neexistuje.
Priklad 2
Vypoctete lim(x,y)(2,1)
x+3
2x-y+7. Limitu muzeme spocitat primo dosazenim, vyjde tedy 1
2.
Vyzkousejte si ale ze v tomto pripade, kdy vime, ze limita existuje, skutecne nezalezi na cestach,
pro kterych se blizime bodu (2, 1). Proverte vsechny primky y-y0 = k(x-x0) i paraboly
y - y0 = k(x - x0)2.
Poznamka: Doporucuji vsem si funkce znazornit v programu MAPLE. Zapis je napr.
f := (x, y)  (y - 3)/(x + y - 5);
plot3d(f, 1.5..2.5, 2.5..3.5);
1
V pripade funkci dvou promennych mame take nastroje, ktere nam umozni si o funkci udelat
predstavu v pripade, ze nemame k dispozici pocitac. Uvazme napr. funkci f(x, y) = x2 - y2.
Prostrednicvim tzv. vrstevnic, kdy f(x, y) pokladam rovno konstante c, dostavam vlastne
pruniky funkce a roviny rovnobezne s rovinou x, y. Vsimnete si, ze to jsou vlastne hyperboly.
Viz. obr.:
Figure 1: Funkce c = (x2 - y2)
Pokud polozim y = 0, dostavam f(x, y) = x2, tedy vlastne prunik funkce a roviny x, z, vsimnete
si opet ze to jsou paraboly otocene nahoru, na druhou stranu pro x = 0, dostavam
f(x, y) = -y2, tedy vlastne prunik funkce a roviny y, z, tedy paraboly, ale otocene dolu. Vse
je videt z obrazku.
Spojitost funkce
Spojitost funkce v bode (x0, y0) je definovana stejne jako v jednorozmernem pripade prostrednictvim
limity, a vlastne znamena, ze pokud se blizim k bodu (x0, y0) v jakemkoli smeru, tak
funkci hodnota se priblizuje funkci hodnote v bode (x0, y0), tedy
lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0). Napr. funkce z prikladu 2 je spojita v bode (2, 1).
Parcialni derivace
Pojem parcialnich derivaci je velmi uzitecni zvlaste ve spojeni s pojmem totalniho diferencialu.
Existuje veta, ktera je dava do souvislosti. Parcialni derivace je vlastne jednorozmerna
derivace ve smeru bud osy x nebo y. Geometricky vlastne definuje tecnu k "jednorozmerne"
funkci, ktera vznikne jako prusecik funkce a roviny prochazejici osou x nebo y a kolmou k
rovine x, y. Podrobneji viz. cviceni. Pocitani parcialnich derivaci je velmi jednoduche. Pokud
derivujeme podle x, pak na x pohlizime jako na promennou, vsechno ostatni povazujeme za
konstantu, tedy:
Priklad 3:
Spoctete parcialni derivace funkce f(x, y) = x
y .
f
x = fx = 1
y , f
y = fy = -x 1
y2 , 2f
x2 = fxx = 0, 2f
y2 = fyy = 2x 1
y3 , 2f
xy = fxy = - 1
y2 ,
2f
yx = fyx = - 1
y2 .
Procvicte si sami na prikladech z ucebnice.
2